Thermodynamik und Statistik

Thermodynamik und Statistik
Wintersemester 2013/14
Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. M. Vojta
Dr. R. Schumann
2. Übung
Woche vom 28.10. bis 03.11.2013
Aufgabe 4 (K) Thermodynamische Beziehungen:
a) Leiten Sie mit Hilfe des Funktionaldeterminantenkalküls die Beziehungen
κT − κS = T V α2 /CP
CP − CV
= T V α2 /κT
her.
Hinweis: Rechnen Sie zwischendurch explizit die Funktionaldeterminante
∂(S, V )
∂(T, P )
aus und verwenden Sie die Ergebnisse aus Aufgabe 3c.
b) Ein allgemeines Stabilitätskriterium in der Thermodynamik besagt, daÿ im thermodyna-
mischen Gleichgewicht bei konstanter Temperatur eine Volumenzunahme niemals eine
Druckzunahme nach sich ziehen kann. Desweiteren, hält man das Volumen konstant und
erhöht die Temperatur, dann kann die Entropie niemals abnehmen. Benutzen Sie dies, um
zu zeigen, daÿ CP ≥ CV ≥ 0 und κT ≥ κS gilt. Verizieren Sie folgende Aussagen: In jedem Punkt des (P, V )-Diagramms ist die Steigung der Adiabaten dem Betrag nach gröÿer
gleich der Steigung der Isothermen. In jedem Punkt des (T, S)-Diagramms ist die Steigung
der Isochoren dem Betrag nach gröÿer gleich der Steigung der Isobaren.
Aufgabe 5 (K) Thermodynamische Potentiale:
a) In der (phänomenologischen!) Thermodynamik wird ein ideales Gas über die experimentell
leicht zugängliche thermische bzw. kalorische Zustandsgleichung
PV
= N k bzw. U = CV T mit CV = N cv
T
festgelegt. Dabei sind k und cv Konstanten, und N sei die Teilchenzahl (in der Thermodynamik genaugenommen nur ein zur Masse des Gases proportionaler dimensionsloser
Faktor!).
Berechnen Sie die innere Energie als Funktion von S , V und N bzw. die Enthalpie als
Funktion von S , P und N . Berechnen Sie dazu zunächst S(T, V, N ).
Hinweis: Rechnen Sie mit intensiven Gröÿen, indem Sie U , S und V auf die Teilchenzahl beziehen.
b) Berechnen Sie aus U (S, V, N ) die (Helmholtzsche) freie Energie F (T, V, N ), die (Gibbssche)
freie Enthalpie G(T, P, N ) und das chemische Potential µ(T, V, N ) !
c) Um auch Systeme mit veränderlicher Stomenge (Teilchenzahl) beschreiben zu können,
bestimme man nun das groÿkanonische Potential Ω(T, V, µ)!
Hinweis: Verfügen Sie dabei in geeigneter Weise über die Integrationskonstanten, indem Sie für die Entropie
des Referenzzustandes S0 = CP festlegen.
d) Berechnen Sie P (T, V, µ) und µ(T, P, N )! Zeigen Sie explizit
G(T, P, N ) = µ(T, P, N ) · N
und Ω(T, V, µ) = −P (T, V, µ) · V ,
sowie die Gibbs-Duhem-Beziehung
U (T, V, N ) = S(T, V, N ) · T − P (T, V, N ) · V + µ(T, V, N ) · N
!
Aufgabe 6 (K) Reversibler und irreversibler Temperaturausgleich
Gegeben seien zwei Metallblöcke (1 und 2) mit konstanten Volumina V1 und V2 , Anfangstemperaturen T1 und T2 und temperaturabhängigen Wärmekapazitäten CV 1 (T ) = γ1 T und
CV 2 (T ) = γ2 T (γ1,2 > 0). Das Gesamtsystem sei nach auÿen wärmeisoliert, d.h. die Blöcke
können Wärme nur untereinander, nicht aber mit der Umgebung austauschen.
a) Die beiden Körper werden in thermischen Kontakt zueinander gebracht. Wie groÿ ist die
gemeinsame Endtemperatur TM,irr ?
b) Der Temperaturausgleich werde auf vollkommen reversible Weise erreicht, dazu soll der
Wärmeaustausch über eine Carnot-Maschine (= ideale Wärmekraftmaschine, die einen
Carnot-Prozeÿ realisiert) mit einem idealen Arbeitsgas erfolgen. Jeder dierentielle Kreisprozeÿ transportiert eine innitesimale Wärmemenge von T2 nach T1 , indem er bei T2 isotherm
Wärme aufnimmt, diese adiabatisch nach 1 transportiert, dort bei T1 isotherm Wärme abgibt und dann adiabatisch zur Ausgangslage zurückkehrt (Es handelt sich also um einen
Carnot-Kreisprozeÿ). Berechnen Sie die vom idealen Gas bei T2 aufgenommene Wärme
δQ2 und die bei T1 abgegebene Wärme −δQ1 , eliminieren Sie CV,Gas und ermitteln Sie
dann aus den zugeführten bzw. abgeführten Wärmemengen die resultierenden Temperaturänderungen dT1 und dT2 an den Metallblöcken! Was ist nun die Endtemperatur TM,rev ?
c) Zeigen Sie, daÿ für den reversiblen Temperaturausgleich die Endtemperatur in Wirklichkeit
unabhängig von den Einzelheiten der Prozeÿ-Realisierung des reversiblen Wärmetransports
ist, d.h. jeder beliebige reversible Kreisprozeÿ und jedes beliebige Arbeitsmittel kann verwendet werden!
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