Übungen in Statistische Physik

Prof. Dr. Gustavo M. Pastor
Dr. Waldemar Töws
Gunnar Stegmann
David Gallina
Statistische Physik
WS 2015/16
Universität Kassel
Übungen in Statistische Physik
Übungsblatt 14
Bitte geben Sie Ihre Lösungen spätestens am Donnerstag, den 11.02.2015,
am Anfang der Vorlesung ab.
1)
15 Punkte
Bose-Einstein-Kondensation: Betrachten Sie ein freies nicht-wechselwirkendes Bosonengas mit der
Dispersionsrelation ε(k) = ~2 k 2 /2m in D Dimensionen. Die Bedingung dafür, dass in solch einem
System die Bose-Einstein-Kondensation stattfinden kann, ist die Existenz einer Temperatur TC > 0
bei der die Dichte n∗ = N ∗ /V der Teilchen in Zuständen mit k 6= 0, d.h. die Dichte der angeregten
Teilchen, selbst bei µ = 0 in diesem System endlich ist. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, ist es
klar, dass für T < TC eine endliche Dichte n0 = (N − N ∗ )/V im Ein-Teilchen-Grundzustand ist.
i) Wir möchten nun analysieren, wann die Bose-Einstein-Kondensation als Funktion der Dimensionalität D [bzw. der Form der Ein-Teilchen-Zustandsdichte ρ(ε)] in einem System stattfinden kann. Die Zustandsdichte des Gases hat die Form ρ(ε) = Kεα . Berechnen Sie ρ und im
speziellen K und α in Abhängigkeit von der Anzahl der Dimensionen D. Lösen Sie dazu die
Gleichung
ρ(ε) =
V
(2π)D
ˆ
dD k δ(ε −
~2 k 2
).
2m
Hinweis: Das Volumenelement in verallgemeinerten spherischen Koordinaten lautet
dD k = D
π D/2
k D−1 dk,
Γ(D/2 + 1)
wobei Γ die Gamma-Funktion ist.
ii) Berechnen Sie nun die Dichte n∗ = N ∗ /V der angeregten Bosonen für µ = 0 als Funktion
von T . Sie können dabei die folgende Gleichung ausnutzen
ˆ
0
∞
xα
dx = ζ(α + 1)Γ(α + 1),
ex − 1
wobei ζ die Zeta-Funktion ist. Für welche Werte von α ist n∗ endlich und positiv? Wieviele Dimensionen muss ein System freier Bosonen daher mindestens haben, damit die BoseEinstein-Kondensation stattfinden kann?
iii) Gegeben sei die Dichte der Partikel n = N/V . Berechnen Sie in Abhängigkeit von D ab
welcher Temperatur TC (D) für die Dichte der angeregten Bosonen n∗ < n gilt. Für T <
TC (D) existiert eine gemischte Phase mit n0 6= 0. TC ist die Temperatur bei der die BoseEinstein-Kondensation einsetzt.
2)
15 Punkte
Quantengas-Korrekturen: Das großkanonische Potential eines idealen Fermigases bei hohen Temperaturen bzw. geringen Dichten ist bekannt und gegeben durch
" 2 #!
1 λ3
λ3
φ = −kB T N 1 + √
+O
.
v
4 2 v
Im Vergleich zum idealen Gas treten mehrere Korrekturterme auf. Bestimmen Sie die führenden
Korrekturterme bzgl. (λ3 /v) der Wärmekapazität CV , des Expansionskoeffizienten α und der
Entropie S für ein ideales Fermigas. Interpretieren Sie die jeweiligen Resultate in Hinsicht auf das
Vorzeichen der jeweiligen Korrekturterme.
3)
10 Punkte
Das Debye-Modell: Das Debye-Modell für quantisierte Schwingungen in Festkörpern (Phononen)
nimmt eine vereinfachte Dispersionsrelation ωk = ck an, welche nicht nur linear ist, sondern auch
die gleiche Schallgeschwindigkeit für longitudinale (α = 1) und transversale (α = 2, 3) Schwingungen annimmt.
Im Gegensatz zu Photonen, dürfen auf einem Gitter keine Phononen mit beliebig langen Wellenvektoren k vorkommen, da es in einem System aus N Atomen nur 3N verschiedene Schwingungsmoden
(Phononen) geben kann. Das bedeutet, dass es eine maximale erreichbare Frequenz ωD gibt, die
man auch Debye-Frequenz nennt.
i) Leiten Sie die Zustandsdichte ρ(ω)dω für die bereits beschriebene Dispersionsrelation her und
finden Sie ωD als Funktion von c und v = V /N . Wie groß ist die Debye-Wellenlänge λD =
2π/kD , die zum größten Wellenvektor kD gehört? Ist das Resultat vernünftig? Bestimmen
Sie die Debye-Temperatur TD = ~ω/kB .
ii) Finden Sie die interne Energie E pro Volumeneinheit. Es handelt sich dabei um einen Integralausdruck, den sie möglichst kompakt als Funktion von TD /T ausdrücken sollen.
iii) Leiten Sie die Wärmekapazität bei konstantem Volumen V ab und geben Sie den führenden
nicht konstanten Term als Funktion von T für T TD und T TD an. Interpretieren Sie das
Resultat und prüfen Sie dessen Gültigkeit mittels bereits bekannter allgemeiner Resultate.