Blatt 04

Übungen zur Physik IV (Statistik, Festkörper-, Kern- und Teilchenphysik), SS 2013
Prof. von Keudell
Blatt 04
Abgabe: Mittwoch, 15.05.13 (in Vorlesung, bis 12.00 Uhr Kasten NB5 Süd) ; Lösungen: Freitag, 17.05.13
Ansprechpartner: Dr. C. Corbella (NB 5/167), Dr. V. Schulz-von der Gathen (NB 5/74)
Aufgabe 10: Quadratisches zweidimensionales Gitter [4 Punkte]
Gegeben ist ein quadratisches zweidimensionales Gitter mit der folgenden Dispersion:
2α
ω2 ( ⃗
k )=
(2−cos(k x a)−cos( k y a ))
m
a) Zeichnen Sie ω(∣⃗
k∣=k ) für (i) k=k x ,k y =0 und (ii) k x =k y
k∣a <<1.
b) Bestimmen Sie aus der obigen Dispersionsrelation ω( k) für den Grenzfall ∣⃗
v =grad ⃗k ω für die Nährung aus Teil b).
c) Berechnen Sie die Schallgeschwindigkeit ⃗
Aufgabe 11: Phononenspektrum eines Kreisgitters [3 Punkte]
Einige periodische Gitterphänomene lassen sich durch einfachere Modelle beschreiben.
Ein etwas abstraktes, aber lösungstechnisch interessantes Problem ist die Bestimmung
der Dispersionsrelation (des Spektrums ) ω(k ) der longitudinalen Phononen eines
lineares Gitters von Atomen der Masse M mit der Gitterkonstant a, wenn das Gitter aus
N Atomen besteht, die einen Kreis bilden. Zwischen den Atomen soll eine Kraftkonstante
c wirken.
Gehen Sie wie in der Vorlesung von der Bewegungsgleichung aus und beachten Sie die
periodischen Randbedingungen. Vergleichen Sie dieses 'Spektrum' mit dem einer
linearen Kette.
Aufgabe 12: Wärmekapazität eines zwei-dimensionalen Gitters [3 Punkte]
Betrachten sie einen zweidimensionalen Kristall, bei der die Auslenkung der Atome nur
in der xy - Ebene erfolgt. Mit Hilfe der Zustandsdichte in der Debye-Näherung lassen sich
für akustische Phononen die Gesamtenergie U(T) und die spezifische Wärme Cv(T)
berechnen.
a) Finden Sie die Zustandsdichte g().
b) Zeigen Sie, dass bei tiefen Temperaturen die spezifische Wärme proportional zu T 2
skaliert.
Tipp:
∞
∫0
x2
dx⋅ x
=Γ (3)=2
e −1
Bitte wenden!
Aufgabe 13: Eigenschaften des freien Elektronengases in Kupfer [3 Punkte]
Kupfer hat eine fcc Struktur mit einer Gitterkonstante von 3,615 Å. Es besitzt ein
Valenzelektron und einen spezifischen Widerstand bei Raumtemperatur von  = 1.7x10-6
cm. Berechnen Sie die Elektronendichte des freien Elektronengases, die Fermi-Energie,
die Stoßzeit  und die freie Weglänge .
Aufgabe 14: Spezifische Wärme des Elektronengases [3 Punkte]
a) Berechnen Sie die spezifische Wärme pro Mol von freien Elektronen in Silber bei 2 K.
Die Fermi-Temperatur von Silber beträgt 63762 K.
b) Ermitteln Sie die gesamte spezifische Wärme für Silber bei dieser Temperatur. Die
Debye-Temperatur von Silber beträgt 215 K.
Bestimmen Sie das Verhältnis der spezifischen Wärme von Elektronen und Phononen bei
0,3 K; 2 K, und 300 K.
Aufgabe 15: Thermische Energie von Kohlenstoff klassisch und im Einstein-Modell
[2 Punkte]
Ein Modell für die thermische Energie liefert das Einstein-Modell. Wie groß ist die
thermische Energie eines Mols Kohlenstoff in Diamantform nach diesem Modell bei der
ℏ ωE
Temperatur T=1000 K? ( ΘE =
=1329K ).
kB
Wie groß wäre die thermische Energie, wenn man die klassische Theorie zugrunde legt?
Aufgabe 16: Superfluides Helium [2 Punkte]
Zur Erzeugung sehr tiefer Temperaturen für Untersuchungen im mK-Bereich verwendet
man superfluides 3He (bzw. ein 3He-4He-Gemisch). Berechnen Sie im Rahmen der FermiDirac-Statistik die Fermi-Energie und Fermi-Temperatur. (Die Dichte von flüssigem 3He
beträgt 0,081 g/cm3).