Einführung in die Logik für Informatiker
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A Fachbereich Mathematik Dr. Mathias Kegelmann Peter Lietz Tobias Löw Florence Micol TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT Sommersemester 2003 28. April 2003 Einführung in die Logik für Informatiker Lösungshinweise zum ersten Übungsblatt Präsenzübungen (P 1) Aussagenlogischer Formeln Welche der folgenden Ausdrücke Ai sind vollständig geklammerte aussagenlogische Formeln (siehe Definition 1.1 im Skript)? a) A1 ≡ (¬p0 ) (:≡ (p0 → ⊥)), e) A5 ≡ ((¬p0 ) ∧ p0 ) b) A2 ≡ (¬(¬p0 )) (:≡ ((p0 → ⊥) → ⊥)) f) A6 ≡ (p0 ∧ p1 ) ∨ (p0 ∧ p2 ) c) A3 ≡ p0 ¬ ∧ p1 g) A7 ≡ (p0 → ¬p1 ∧ p2 ) d) A4 ≡ (p0 ∨ (p1 → p2 )) h) A8 ≡ (((p0 → p1 ) → p0 ) → p0 ) Die Ausdrücke a), b), d), e) und h) sind vollständig geklammerte aussagenlogische Formeln. Ausdruck c) macht keinen Sinn, bei f) fehlen die äußenren Klammern und bei g) ist die Reihenfolge nicht klar. p0 w f A1 f w erfüllbar p0 w f A2 w f erfüllbar p0 w w w w f f f f p1 w w f f w w f f p2 w f w f w f w f A4 w w w w w f w w erfüllbar p0 w f A5 f f unerfüllbar p0 w w f f p1 w f w f A8 w w w w Tautologie (P 2) Leite aus den folgende Aussagen die Aussage Es gibt immer Eis in der Mensa.“ her. ” a) Am ersten Studientag macht die Gabel wieder auf. b) Wenn das Essen nicht schmeckt, dann demonstrieren die Studenten. c) Wenn das Essen schmeckt und es kein Eis in der Mensa gibt, dann macht die Gabel wieder auf. d) Wenn die Gabel wieder aufmacht, gibt es Eis in der Mensa. e) Wenn die Studenten demonstrieren und es kein Eis in der Mensa gibt, dann ist der erste Studientag. Die Aussagen enthalten folgende atomare Aussagen: p0 erster Studientag p1 die Gabel macht wieder auf p2 das Essen schmeckt Damit erhält man folgende Propositionen p3 die Studenten demonstrieren p4 es gibt Eis in der Mensa a) p0 → p1 b) ¬p2 → p3 c) p2 ∧ ¬p4 → p1 d) p1 → p4 e) p3 ∧ ¬p4 → p0 durch Umformen folgt a) ¬p0 ∨ p1 b) p2 ∨ p3 c) ¬p2 ∨ p4 ∨ p1 d) ¬p1 ∨ p4 e) ¬p3 ∨ p4 ∨ p0 Angenommen die Proposition es gibt Eis in der Mensa“ stimmt nicht, dann wäre p4 ≡ f . Da wir davon ausgehen, ” daß die Aussagen a) - e) wahr sind folgt nun: p1 ≡ f (aus d)), p0 ≡ f (aus a)), p2 ≡ f (aus c)), p3 ≡ f (aus e)). Da p2 und p3 falsch sind, folgt jedoch, daß Proposition b) falsch ist, was ein Widerspruch ist, also gibt es immer Eis in der Mensa. (P 3) Ein logisches Rätsel Diese Rätsel löst man am besten indem man eine Tabelle von unterer Form macht. Dann fängt mit etwa mit den Aussagen g) und i) an und arbeitet sich nach nd nach voran. Die Lösung sieht folgermaßen aus: Farbe Nationalität Getränk Zigaretten Tier 1. Haus gelb Norweger Wasser Dunhill Katze 2. Haus blau Däne Tee Marlboro Pferd Also gehört dem Deutschen der Fisch! 3. Haus rot Brite Milch Pall Mall Vogel 4. Haus grün Deutscher Kaffee Rothmanns Fisch 5. Haus weiß Schwede Bier Winfield Hund
