Tutoriumsblatt 5

Löhr/Manger/Winter
Sommersemester 2011
Wahrscheinlichkeitstheorie I
Tutoriumsblatt 5
Aufgabe 24:
Sei
A,
(Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A1 , . . . , An+1 ⊂ A eine Folge von Unter-σ -Algebren von
A0 := σ(A1 ∪ . . . ∪ An ). Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
sowie
(a)
A1 , . . . , An
(b)
A1 , . . . , An+1
und
A0 , An+1
sind
sind
P-unabhängig.
P-unabhängig.
Aufgabe 25:
Ava und Freja haben sich darauf geeinigt, eine faire Münze zu werfen bis vier aufeinanderfolgende
Ergebnisse entweder die Gestalt
1111
oder
0011
haben. Im ersten Fall gewinnt Ava, ansonsten Freja.
(a) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine von beiden das Spiel bereits nach vier Würfen
gewonnen hat?
(b) Haben beide dieselben Chancen, das Spiel zu gewinnen? Wenn ja, welche? Wenn nein, mit welcher
Wahrscheinlichkeit gewinnt Ava?
Ai := letztes Ergebnis war i und davor war
kein i, Aii := die letzten beiden Ergebnisse waren i und das drittletzte war kein i, Aii1 :=
die letzten drei Ergebnisse waren erst zweimal i und dann eine 1 und das viertletzte war kein
i und Aii11 := die letzten vier Ergebnisse waren erst zweimal i und dann zweimal 1, i = 0, 1.
Finde Beziehungen zwischen den bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A|Ai ),P(A|Aii ), P(A|Aii1 )
und P(A|Aii11 ).
Anleitung: Sei
A
das Ereignis, dass Ava gewinnt,
Aufgabe 26:
An verschneiten Tagen kommt Edem nur mit
schneiten Tagen immerhin mit
70%
40%
Wahrscheinlichkeit in die Vorlesung, an nicht ver-
Wahrscheinlichkeit. Angenommen
20%
aller Februartage sind ver-
schneit, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass es am 15. Februar geschneit hat, obwohl Edem in der
Vorlesung war?
Aufgabe 27:
Die Professorinnen Chang, Agnesi und Wheeler teilen sich den
20-tägigen Prüfungszeitraum im Sommer
2010 folgendermaÿen auf:
8 Tage Chang, 5 Tage Agnesi, 7 Tage Wheeler.
Die langjährigen Durchfallquoten der drei Professorinnen liegen bei
Chang:
5
1
1
6 , Agnesi: 3 , Wheeler: 7 .
Am Montag, den 2. August 2010, bestanden zwei von drei Kandidaten des Tages. Welche der drei
Professorinnen war mit der gröÿten Wahrscheinlichkeit an diesem Tag die Prüferin?
Aufgabe 28:
Es seien
X1 , . . . , Xn
unabhängige Zufallsgröÿen mit gleicher Verteilungsfunktion
(a) Berechne die Verteilungsfunktion von
Zn := max {X1 , . . . , Xn }.
(b) Berechne die Verteilungsfunktion von
Wn := min {X1 , . . . , Xn }.
(c) Zeige:
wobei
F.
X1 ∼ Exp(λ) ⇒ Wn ∼ Exp(nλ),
eine Zufallsgröÿe Exp(λ)-verteilt ist, wenn sie die Verteilungsfunktion
(
0,
x<0
F (x) =
−λx
1−e
, x≥0
besitzt.
Aufgabe 29:
Ein Experiment, bei dem ein Ereignis
A
mit Wahrscheinlichkeit
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis
A
0, 1
50-mal wiederholt.
diesen 50 Versuchen
eintritt, wird
höchstens
3-mal
in
auftritt
(a) durch exakte Rechnung,
(b) mit Hilfe der Poissonverteilung,
(c) mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes.
Aufgabe 30:
Eine Fluggesellschaft weiÿ aus Erfahrung, dass ein gebuchter Flug nur mit Wahrscheinlichkeit
0.9 auch
benutzt wird. Sie akzeptiert deshalb mehr Buchungen als tatsächlich Plätze vorhanden sind. Wieviele
Buchungen darf sie akzeptieren, damit die Wahrscheinlichkeit einer Überbuchung höchstens
wenn
400
5%
ist,
Plätze zur Verfügung stehen?
Anleitung: Geh davon aus, dass die Passagiere den Flug unabhängig voneinander antreten und
berechne approximativ die Wahrscheinlichkeit einer Überbuchung bei
mithilfe des
zentralen Grenzwertsatzes.
k > 400 akzeptierten Buchungen