Forschungsstatistik I

Methoden der
Psychologie
Prof. Dr. G. Meinhardt
6. Stock, Taubertsberg 2
R. 06-206 (Persike)
R. 06-321 (Meinhardt)
Forschungsstatistik I
Sprechstunde jederzeit
nach Vereinbarung
Dr. Malte Persike
} [email protected]
http://psymet03.sowi.uni-mainz.de/
SS 2009
Fachbereich Sozialwissenschaften
Psychologisches Institut
Johannes Gutenberg Universität Mainz
Methoden der
Psychologie
Binomialtest
χ²-Test
Tests für Anteile
Binomialtest für unabhängige Stichproben
Ziel: Prüfung, ob Häufigkeiten aus zwei Stichproben
gleich oder unterschiedlich sind
Beispiele: Ist die Wahrscheinlichkeit für ein
Todesurteil bei farbigen und weißen Angeklagten
unterschiedlich; Werden Männer häufiger zu
Bewerbungsgesprächen eingeladen als Frauen.
Voraussetzungen: Die Auftretenswahrscheinlichkeiten in beiden Stichproben müssen
binomialverteilt sein und die Stichproben müssen
unabhängig sein.
Methoden der
Psychologie
Binomialtest
χ²-Test
Tests für Anteile
Binomialtest für unabhängige Stichproben
Es werden folgende mögliche Hypothesen geprüft:
a) H 0 : pˆ1 = pˆ 2 ; H1 : pˆ1 ≠ pˆ 2
b) H 0 : pˆ1 ≤ pˆ 2 ; H1 : pˆ1 > pˆ 2
c) H 0 : pˆ1 ≥ pˆ 2 ; H1 : pˆ1 < pˆ 2
Die geschätzten Populations-Wahrscheinlichkeiten
p_dach für die 2 Stichproben werden direkt aus den
beobachteten Wahrscheinlichkeiten p geschätzt
Methoden der
Psychologie
Binomialtest
χ²-Test
Tests für Anteile
Binomialtest für unabhängige Stichproben
Prüfgröße bei zwei Stichproben der Umfänge n1 und
n2 und des Gesamtumfangs N = n1+n2.
z=
mit
Δp
σ Δp
=
pˆ1 − pˆ 2
pˆ12 ⋅ (1 − pˆ12 ) ⋅ (1 n1 + 1 n2 )
n1
n2
pˆ12 = ⋅ pˆ1 + ⋅ pˆ 2
N
N
Die Prüfgröße ist standardnormalverteilt, wenn in
der 2x2 Kreuztabelle der beobachteten absoluten
Häufigkeiten alle nij > 5 sind.
Methoden der
Psychologie
Binomialtest
χ²-Test
Tests für Anteile
Fishers exakter Test für unabhängige Stichproben
In manchen Untersuchungen liegen zu wenige
Beobachtungen vor, um von einer Normalverteilung
der Prüfgröße bei binomialverteilten Daten aus zwei
Stichproben ausgehen zu können.
Für mindestens eines (meistens mehrere) der gilt
dann: nij ≤ 5.
In diesem Fall wird statt des Binomialtests Fishers
Exakter Test verwendet (Fisher‘s exact test).
Methoden der
Psychologie
Binomialtest
χ²-Test
Tests für Anteile
Fishers exakter Test für unabhängige Stichproben
Man habe für 2 unabhängige
Stichproben x1 und x2
folgende Kontingenztabelle
der Beobachtung A bzw. ¬A
(nicht A) erhalten:
x1
x2
h(A)
n11
n12
n1
h(¬A)
n21
n22
n2
n
n
n
1
2
Die Punktwahrscheinlichkeit für eine solche Beobachtung
von Häufigkeiten folgt der hypergeometrischen Verteilung
⎛ n1• ⎞ ⎛ n2• ⎞ ⎛ n•• ⎞
n1• !n2• !n•1 !n•2 !
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
⎝ n11 ⎠ ⎝ n21 ⎠ ⎝ n•1 ⎠ n•• !n11 !n12 !n21 !n22 !
Methoden der
Psychologie
Binomialtest
χ²-Test
Tests für Anteile
Fishers exakter Test für unabhängige Stichproben
Problem: Im Rahmen des Testens ist man nicht an
der Punktwahrscheinlichkeit interessiert, sondern an
der Intervallwahrscheinlichkeit für das erhaltene
oder ein noch extremeres Ergebnis.
Bei Fishers Exaktem Test ermittelt man diese
Wahrscheinlichkeit, indem man tatsächlich alle bei
gleichen Randhäufigkeiten noch extremeren
Kontingenztabellen konstruiert, ihre
Punktwahrscheinlichkeit bestimmt und dann die
erhaltenen Wahrscheinlichkeiten addiert.
Für einseitiges Testen sind dies die
Kontingenztabellen in Richtung der beobachteten
Abweichung, für zweiseitiges Testen auch die
entgegen gesetzte Richtung
Methoden der
Psychologie
Binomialtest
χ²-Test
Tests für Anteile
χ²-Test für unabhängige Stichproben
Wenn das an zwei Stichproben erhobene Merkmal
nicht nur in zwei, sondern in multiplen Ausprägungen
gemessen werden soll, wird zur Prüfung der
Homogenität bzw. Unterschiedlichkeit der Stichproben
der χ²-Test verwendet.
Beispiele: Wählen Frauen Parteien in anderen
Häufigkeiten als Männer? Kommen bei endogen
Depressiven andere Komorbiditäten vor als bei reaktiv
Depressiven?
Voraussetzungen: Die Auftretenswahrscheinlichkeiten in beiden Stichproben müssen
multinomialverteilt sein und die Stichproben
müssen unabhängig sein.
Methoden der
Psychologie
Binomialtest
χ²-Test
Tests für Anteile
χ²-Test für unabhängige Stichproben
Es werden folgende Hypothesen geprüft:
H 0 : pˆ (Y1 = i ) = pˆ (Y2 = i ) für alle i = 1...k
H1 : pˆ (Y1 = i ) ≠ pˆ (Y2 = i ) für mindestens ein i
Die geschätzten Populations-Wahrscheinlichkeiten
p_dach für die 2 Stichproben werden direkt aus den
beobachteten Wahrscheinlichkeiten p geschätzt
Methoden der
Psychologie
χ²-Test
Binomialtest
Tests für Anteile
χ²-Test für unabhängige Stichproben
Man habe folgende Kontingenztafel:
x1
x2
h(1)
n11
n12
n1
h(2)
n21
n22
n2
…
…
…
h(k)
nk1
nk2
nk
n
n
n
1
2
Methoden der
Psychologie
χ²-Test
Binomialtest
Tests für Anteile
χ²-Test für unabhängige Stichproben
Die Prüfgröße ist dann wie bereits gesehen:
χ2 = ∑
( beobachtet − erwartet )
erwartet
Für absolute Häufigkeiten
ni• ⋅ n• j ⎞
⎛
⎜ nij −
⎟
k
2
n
⎠
••
χ 2 = ∑∑ ⎝
ni• ⋅ n• j
i =1 j =1
2
Für relative Häufigkeiten
2
2
k
χ = n•• ⋅ ∑∑
2
i =1 j =1
(p
ij
− pi• ⋅ p• j )
2
pi• ⋅ p• j
n••
Die Prüfgröße ist χ²-verteilt mit df=k-1 Freiheitsgraden
wenn in der Kontingenztabelle der beobachteten absoluten
Häufigkeiten alle nij > 5 sind.
Methoden der
Psychologie
χ²-Test
Binomialtest
Tests für Anteile
χ²-Test für unabhängige Merkmale
Die Prüfgröße kann leicht auf den Fall einer k×m
Kontingenztabelle erweitert werden.
Für absolute Häufigkeiten
ni• ⋅ n• j ⎞
⎛
⎜ nij −
⎟
m k
n
⎠
••
χ 2 = ∑∑ ⎝
ni• ⋅ n• j
i =1 j =1
Für relative Häufigkeiten
2
m
k
χ = n•• ⋅ ∑∑
2
i =1 j =1
(p
ij
− pi• ⋅ p• j )
pi• ⋅ p• j
n••
Es kann so allgemein die Unabhängigkeit von zwei
nominalskalierten Merkmalen mit beliebig vielen
Ausprägungen geprüft werden.
Die Prüfgröße ist χ²-verteilt mit df=(k-1)·(m-1)
Freiheitsgraden wenn in der Kontingenztabelle der
beobachteten absoluten Häufigkeiten alle nij > 5 sind.
2