Alter - Universität Innsbruck

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Institut für Statistik, Universität Innsbruck
Sommersemester 2006
Ass.Prof. Dr.Christian Traweger
Universität Innsbruck
Sozialwissenschaftliche Methodengruppe
Institut für Politikwissenschaft
[email protected]
Semesterübersicht SS 2006
1. Block
30.3. 10.00-12.30 Uhr
X
X
X
Vorbesprechung, Gruppeneinteilung, Referate
Grundlagen der emp. Sozialforschung
Einführung in SPSS, Häufigkeiten
2. Block
27.4. 10.00-12.30 Uhr
1
2
3
Technische Erörterungen zu SPSS
Masszahlen der Lage und der Streuung
Chiquadratunabhängigkeitstest,
Kontingenztabellen
3. Block
18.5. 10.00-12.30 Uhr
4
6
Nichtparametrische Tests für ordinale Merkmale
(Mann-Whitney U-Test)
Nichtparametrische Tests für ordinale Merkmale
(Kruskal Wallis Test)
Einfaktorielle Varianzanalyse
5
4. Block
1.6. 10.00-12.30 Uhr
7
8
X
Einfache lineare Regression (R2)
Streudiagramm, Korrelationskoeffizient
Stoffwiederholung, Klausurvorbereitung
5. Block
8.6. 10.00-12.30 Uhr
X
Schlussklausur ( 2 Gruppen x á 45 Min)
6.Block
22.6. 11-13.30 Uhr
X
Klausurbesprechung
(bei Bedarf, wird noch bekanntgegeben)
Die Lehrinhalte sind dem Buch: Statistik – Der Weg zur Datenanalyse, Fahrmeir,
Künstler, et al. zu entnehmen.
2
Grundlagen der empirischen Sozialforschung
 Problemformulierung
 Bestimmung der Erhebungsmethode
 Fragebogenerstellung
 Stichprobenplanung/-größe
 Datenerhebung
 Prüfung auf Plausibilität bzw. Interviewerkontrolle
 Prüfung auf Repräsentativität
 Datenanalyse und Auswertung
 Ergebnisbericht
 Interpretation und Umsetzung der Ergebnisse
3
PROBLEMFORMULIERUNG:
Im ersten Stadium soll festgelegt werden, was recherchiert, analysiert bzw. erhoben
werden soll (Projekterfassung). Ziel dieser Phase ist es, ein klares und verständliches
Bild dessen zu erhalten, was letztendlich abgefragt werden soll. Was sind die Ziele ? Ist
das gewünschte Instrument (Befragung,...) dazu geeignet ?
BESTIMMUNG DER ERHEBUNGSMETHODE:
Welche Erhebungsmethode im einzelnen gewählt wird, richtet sich natürlich nach dem
jeweiligen Untersuchungsanliegen und hier speziell danach, ob und wie der
Informationsbedarf am ergiebigsten, ökonomischsten und/ oder schnellsten durch eine
Erhebung gedeckt werden kann. Einen wesentlichen Einflußfaktor auf die Bestimmung
der Erhebungsmethode bildet das zur Verfügung stehende Budget.
Grundsätzlich unterscheidet man 3 Arten von Interviews:
- Persönliches Interview (Vorteile: Einfache Abwicklung, hohe Erfolgsquote, unbeschränkte Thematik, kontrollierte Befragungssituation;
Nachteile: große Feldorganisation, hohe Kosten, Interviewereinfluß)
- Schriftliches Interview (Vorteile: keine Feldorganisation, geringe Kosten, räumliche Entfernungen sind unerheblich, völlige Anonymität;
Nachteile: Rücklaufquote, ungeregelte Befragungs- situation,
längerer Durchführungszeitraum)
- Telephoninterview (Vorteile: geringe Feldorganisation, rasche Durchführbarkeit;
Nachteile: eingeschränkter Frageumfang und Thematik)
Der Trend geht immer mehr zu Telefoninterviews. (CATI=Computer Assisted
Telephone Interviews). Dabei werden die Interviews in Telefonlabors durchgeführt, im
Rahmen der Stichprobenplanung werden die anzurufenden Personen ausgewählt, die
Telefonverbindung wird entweder manuell oder direkt vom Computer hergestellt und
der Interviewer liest den Fragebogen vom Bildschirm ab und kodiert die Ergebnisse
sofort in den Computer. Der letzte technische Stand ist CI (=Computerinterviewing,
dabei führt ein Sprachcomputer das Interview durch) und Befragungen über Internet
(Repräsentativität ?)
4
FRAGEBOGENERSTELLUNG:
Es gibt:
- offene Fragestellungen: jede Antwort ist denkbar; Gruppenbildung für Auswertung;
Vorsicht: nicht zu viele, da keine statistischen Tests durchgeführt werden können!!
- geschlossene Fragestellungen:
- dichotome Fragen: zwei Antworten zur Auswahl
z.B: Waren Sie heuer auf Sommerurlaub?  Ja  Nein
- Multiple choice, Alternativfragen: drei oder mehr Alternativen stehen zur
Auswahl, entweder 1 oder mehrere Antwortmöglichkeiten
z.B: Woher beziehen Sie die Infos´s zu ihrem Urlaub? (max.2 Antwortmöglk.)
 Reiseführer/ Katalog
 durch Reisebüroangestellte
 über Bekannte/ Freunde
 andere Infos
 über´s Internet/ TV
- Likert-Skala: eine Aussage, mit der die Befragten den Grad ihrer
Zustimmung bzw. Ablehnung angeben können.
z.B: Urlaubsbuchungen über das Reisebüro bieten im allgemeinen mehr Sicherheit.
Stimme ich
Stimme ich
UnentStimme
Stimme ich
überhaupt nicht zu
nicht zu
schieden
ich zu
voll zu





- Semantisches Differential: Bipolare Skala mit adjektivischen Gegensatzpaaren. Der
Befragte sucht sich eine Stelle aus, die tendenziell oder graduell seine Meinung
anzeigt. (!! Auswertung nicht eindeutig, Verwendung mehr in Psychologischen
Bereichen!!)
z.B: Das Hotel ist: modern ------------- altmodisch
- Beurteilungsskala: vorgegebene Beurteilungswerte
z.B: Wie beurteilen Sie die Möglichkeit, dass man Urlaube bereits im Internet buchen
kann?
 sehr gut  gut  mittelmäßig  schlecht  sehr schlecht
5
Finden sich im Fragebogen sogenannte "Antwortbatterien", das heißt, viele Fragen mit
den
gleichen
Antwortmöglichkeiten
hintereinander
(z.B.
Einstellungs-,
Polaritätsprofile), dann kann beim Interviewten ein Drang und "Zwang" nach
Vollständigkeit beim Beantworten entstehen, der in der Folge leicht zu willkürlichen
Angaben führt.
Skalierungen:
Im Rahmen der Fragebogenerstellung sollte man sich bereits Gedanken über die
verschiedenen Skalierungen zu machen:
- nominal (z.B.: Haarfarbe, ja/nein-Fragen, Codierung spielt keine Rolle)
- ordinal (es liegt eine Ordnung vor, z.B.: Schulnoten, Beurteilungen,...)
- metrisch bzw. quantitativ (Intervallskala, Verhältnisskala, z.B.: Gewicht,
Alter, Einkommen - nicht gruppiert)
6
STICHPROBENPLANUNG:
Eine Stichprobe ist ein Teil der Grundgesamtheit (z.B.: Tiroler Bevölkerung). Damit
die Ergebnisse der Erhebung auf die Grundgesamtheit bezogen werden können
(repräsentativ sind), muß die Stichprobe, hinsichtlich verschiedener Merkmale, ein
genaues Abbild der Grundgesamtheit sein. (verkleinert aber wirklichkeitsgetreu)
Wie wählt man nun einen bestimmten Teil der Grundgesamtheit aus ?
Man unterscheidet :
- Systematische Verfahren:
- Quotenverfahren
- systematische Auswahl
- Zufallsstichprobe:
- Einfache Zufallsstichprobe
- geschichtete Zufallsstichprobe
- Klumpenstichprobe
Quotenauswahl: Verteilung der Merkmalsausprägungen wird gezielt erreicht
z.B. Gesamtzahl der Interviews: 10
Stadtteil:
A
5
B
3
C
2
Geschlecht: männl.
6
Weibl.
4
Alter:
18- 30J
3
31- 50 J
4
über 50J
3
Beruf:
Arbeiter/Angest.
2
Jahreseinkommen: - 15.000
Beamter/VB
1
15.001- 30.000
Selbst.
1
über 30.000
Hausf/-m
2
Pension
2
Ausbildg
1
Sonstiges(K/AL) 1
3
5
2
7
systematische Auswahl: typische Auswahl
(!!ist kein methodisch gesichertes, den Repräsentationsschluß ermöglichendes
Verfahren!!)
Man greift nach freiem Ermessen solche Elemente aus der Grundgesamtheit heraus, die
als besonders charakteristisch und typisch erachtet werden und schließt von den
erzielten Ergebnissen entsprechend auf die Grundgesamtheit. (Welche Elemente sind
typisch?; in welchem Umfang kann verallgemeinert werden???)
Einfache Zufallsstichprobe:
(Urnenmodell)
Die Elemente, die in das
Stichprobensample eingehen, werden unmittelbar aus der Grundgesamtheit gezogen.
Voraussetzung: Vollständigkeit der Grundgesamtheit, gleiche Auswahlchance.
- Systematische Zufallsauswahl: Startpunkt t, s = N/ n
- Schlussziffernverfahren: aus durchnummerierten Datei werden jene Elemente mit
best. Schlußziffer genommen
- Buchstabenauswahl: Stichprobe = all jene Elemente, deren Nachname best.
Anfangsbuchstaben hat
Geschichtete Zufallsstichprobe: Grundgesamtheit wird in mehrere Untergruppen
(Schichten) aufgeteilt, aus denen dann jeweils die, in die Gesamtstichprobe
eingehenden Elemente, mittels eines reinen Zufallsverfahrens ausgewählt werden.
z.B: nach Altersgruppen
Klumpenauswahl: Grundgesamtheit wird in Klumpen (Flächen) unterteilt und dann
wird rein zufällig eine bestimmte Zahl dieser Klumpen ausgewählt und mit allen ihren
Elementen in das Sample einbezogen. Nicht einzelne Elemente, sondern ganze Gruppen
bilden die Auswahleinheit – !! die Grundgesamtheit muß vollständig vorliegen.
z.B: (Städteplanung) Planquadrate eines Stadtplans, oder Häuserblocks
( Die gezogenen Klumpen gehen entweder als Gesamtheit in die Stichprobe ein, oder es
werden aus ihnen wiederum Teilstichproben nach einfacher Zufallsauswahl gezogen)
Als ein besonders verbreitetes Beispiel für ein mehrstufig geschichtetes
Auswahlverfahren wird der folgende Musterstichprobenplan (mit 3 Auswahlstufen),
8
der von zahlreichen
führenden Marktforschungsinstituten für repräsentative
Bevölkerungsumfragen entwickelt wurde, angeführt:
1) Auswahl von sample-points: Dabei erfolgt ein sogenanntes area sampling, das
heißt es werden im Rahmen einer Zufallsauswahl Gemeinden oder Bezirke
ausgewählt.
2) Auswahl von Haushalten in den gezogenen sample-points (Zufällige Auswahl
der Haushalte aus Adressenlisten oder Telefonbüchern)
3) Auswahl der Zielpersonen in den gezogenen Haushalten (z.B.: Auswahl der
Person fortlaufend nach dem Alter oder Vornamensalphabetisch)
Eine wesentliche Bedingung für die Durchführung einer Zufallsauswahl ist, daß das
„Personenmaterial“ vollständig katalogisiert sein muß:
„Jedes Element muß die gleiche Chance haben ausgewählt zu werden“.
(Beginn der Auswahl über eine Zufallszahl).
Die Größe der Stichprobe ist meist aus finanziellen Überlegungen determiniert. Ein
wesentlicher Indikator zur Bestimmung der Größe der Stichprobe ist jedoch der
Stichprobenfehler: Das heißt, wie exakt sind die Ergebnisse bzw. wie exakt sollen die
Ergebnisse sein ? (Nicht zu verwechseln mit der Repräsentativität !!!)
(Totalerhebung) Vollerhebung vs. Teilerhebung
Stichprobenfehler:
da man noch keine Ergebnisse vorliegen hat, geht man von
einem Antwortverhalten 50:50 aus. („ungünstigster Fall“)
Stichprobenfehler e =
1,96 2  p  (1  p)
n
p = Anteile in %
z.B: Umfrage in Innsbruck; N=300 Wie groß ist Stichprobenfehler? +/-......%
Stichprobenumfang:
9
Der Marktforscher weiß von den Umständen der jeweiligen Aufgabenstellung her und
in Abstimmung mit dem jeweiligen Auftraggeber.......
- wie genau das Stichprobenergebnis sein muß (Intervall)
- mit welcher Sicherheit diese Aussage getroffen werden soll (95% Sicherheit.)
n = 1,962
.
p  (1  p)
e2
n......Stichprobenumfang
p......Anteil der Befragten, die eine best.Antwort gaben
e......Stichprobenfehler, Schwankungsbreite
z.B. Umfrage Innsbruck: Wie groß muss Stichprobe sein, bei e = +/-5,6%
10
Die anschließende Tabelle gibt Aufschluß über den Stichprobenfehler bei
unterschiedlichen Stichprobenumfängen und Anteilen: (ohne Endlichkeitskorrektur,
nur für große Grundgesamtheiten)
p........Anteil (Soviele Prozent geben eine bestimmte Antwort)
n........Stichprobenumfang
Stichprobenfehler in %
Anteile in %
10 / 90 15 / 85 20 / 80 25 / 75 30 / 70 35 / 65 40 / 60 45 / 55 50/50
=0,1
=0,15
=0,2
=0,25
=0,3
=0,35
=0,4
=0,45
=0,5
n=
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1500
2000
2500
3000
5,88%
4,16%
3,39%
2,94%
2,63%
2,40%
2,22%
2,08%
1,96%
1,86%
1,52%
1,31%
1,18%
1,07%
7,00%
4,95%
4,04%
3,50%
3,13%
2,86%
2,65%
2,47%
2,33%
2,21%
1,81%
1,56%
1,40%
1,28%
Stichprobenfehler =
7,84%
5,54%
4,53%
3,92%
3,51%
3,20%
2,96%
2,77%
2,61%
2,48%
2,02%
1,75%
1,57%
1,43%
8,49%
6,00%
4,90%
4,24%
3,80%
3,46%
3,21%
3,00%
2,83%
2,68%
2,19%
1,90%
1,70%
1,55%
8,98%
6,35%
5,19%
4,49%
4,02%
3,67%
3,39%
3,18%
2,99%
2,84%
2,32%
2,01%
1,80%
1,64%
1,96 2  p  (1  p)
n
9,35%
6,61%
5,40%
4,67%
4,18%
3,82%
3,53%
3,31%
3,12%
2,96%
2,41%
2,09%
1,87%
1,71%
9,60%
6,79%
5,54%
4,80%
4,29%
3,92%
3,63%
3,39%
3,20%
3,04%
2,48%
2,15%
1,92%
1,75%
9,75%
6,89%
5,63%
4,88%
4,36%
3,98%
3,69%
3,45%
3,25%
3,08%
2,52%
2,18%
1,95%
1,78%
9,80%
6,93%
5,66%
4,90%
4,38%
4,00%
3,70%
3,46%
3,27%
3,10%
2,53%
2,19%
1,96%
1,79%
p = Anteile in %
Beispiel:
Bei einer Umfrage unter 500 Innsbruckern geben rund 30% an, daß sie ihren
Sommerurlaub "last minute" buchen. Man kann nun behaupten, daß der tatsächliche
Anteil jener Personen, die "last minute" ihren Sommerurlaub buchen, mit einer
Wahrscheinlichkeit von 95%, zwischen 26% und 34% liegt (=+- 4,02%).
Beträgt der Stichprobenumfang mehr als 5% der Grundgesamtheit, so wird die
Schwankungsbreite mit Hilfe der Endlichkeitskorrektur (EK) berechnet
StichprobenfehlerEK =
1,96 2  p  (1  p )  ( N  n)
n  ( N  1)
p = Anteile in %, N = Grundgesamtheit
11
DATENERHEBUNG:
In dieser Phase werden nun die Interviews
- persönlich
- telefonisch
durch geschulte Interviewer
- oder postalisch durchgeführt.
Dieser Abschnitt wird auch als Feldarbeit bezeichnet.
Werden mehrer Auftraggeber in einer Umfrage mit verschiedenen Themen
zusammengefasst, so spricht man von ein OMNIBUSUMFRAGE.
PRÜFUNG AUF PLAUSIBILITÄT bzw. INTERVIEWERKONTROLLEN:
Dies ist sowohl eine visuelle wie auch computergestützte Kontrolle der erhobenen
Interviews. Dabei handelt es sich einerseits um einen Vergleich von eingebauten
Kontrollfragen (z.B.: Haushaltstyp, Haushaltsgröße, Familienstand, Kinder,...) bis hin
zur direkten Kontaktaufnahme der interviewten Person und Befragung zur
Interviewdurchführung und zum Verhalten des Interviewers.
In modernen Interviewcallcenters wird diese Überprüfung unter anderem auf die
entsprechende Telefonsoftware ausgeweitet, wo alle Interviews (=Gespräche)
hinsichtlich ihrer Dauer und Rufnummer genau aufgezeichnet werden.
(Nur zur internen Kontrolle, DATENSCHUTZ!!)
PRÜFUNG AUF REPRÄSENTATIVITÄT:
Ziel einer repräsentativen Umfrage ist es, ein möglichst exaktes Abbild der zu
befragenden Bevölkerung zu erhalten: (z.B.: bei politischen Umfragen  ein Abbild
der wahlberechtigten Bevölkerung). Anders ausgedrückt: die Untersuchung soll
Aufschlüsse über die Grundgesamtheit bringen und um dies zu erreichen muß aus dem
Ergebnis der Teilerhebung möglichst sicher und exakt auf die Verhältnisse der
Gesamtmasse geschlossen werden können. Die Grundgesamtheit soll sich also in Bezug
auf verschiedene Merkmale in der Stichprobe wiederfinden.
In der Regel wird die Repräsentativität in Bezug auf die Merkmale
Geschlecht, Alter und Bildung
überprüft.
12
DATENANALYSE UND AUSWERTUNG:
Bei der Datenanalyse ist auf das vorliegende Skalenniveau zu achten; dementsprechend
werden Modus, Median oder Mittelwert zur Interpretation verwendet. Bei den
durchzuführenden Testverfahren ist ebenfalls auf diese Unterscheidung zu achten.
Welche Maßzahlen und Graphiken sinnvoll sind richtet sich nach dem Variablentyp
bzw. dem Skalenniveau:
Variablentyp
Nominal
Ordinal
Metrisch
Maßzahlen
Häufigkeitstabelle, Modus
Häufigkeitstabelle,
Modus, Median, Quantile
Min., Max., Median,
Mittelwert, Std.Dev., Std. Err.;
Graphische Darstellung
Balken-/Kreisdiagramm
Balkendiagramm
Kreisdiagramm
Boxplots
Histogramm,....
Hinsichtlich graphischer Aufbereitung von Daten sind dem Marktforscher nahezu keine Grenzen
gesetzt; obenstehende Tabelle erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit sondern dient lediglich als
ein möglicher Leitfaden.
So wie an dieser Stelle im Rahmen der deskriptiven Statistik die einzelnen Maßzahlen
nach Variablentypen unterschieden werden, so müssen bei der bivariaten statistischen
Analyse (Sommersemester) auch die unterschiedlichen Testverfahren berücksichtigt
werden.
ERGEBNISBERICHT:
Der Ergebnisbericht sollte die Auswertung (tabellarisch, graphisch und verbal) jeder
einzelnen Frage beinhalten. In weiterer Folge sollen bei jeder Fragestellung zu
interessierende Hypothesen überprüft werden.
INTERPRETATION UND UMSETZUNG DER ERGEBNISSE:
In dieser Phase sollten mit dem Auftraggeber noch die Ergebnisse der Erhebung
analysiert werden und eventuell eine schriftliche Kurzfassung der wesentlichen
Ergebnisse erfolgen. Bei der Hilfe zur Umsetzung empfiehlt sich eine interdis-ziplinäre
Zusammenarbeit mit entsprechenden Fachleuten.
13
Deskriptive Statistik:
Häufigkeitsverteilungen:
Beispiel: Schulnoten bei 24 Schülern
Note:
xi (absolute
hi (relative Häufigkeit)
Häufigkeit)
Hi (kumulierte
Häufigkeit)
1
2
8,3
8,3
2
4
16,7
25,0
3
9
37,5
62,5
4
6
25,0
87,5
5
3
12,5
100,0
Summe
24
100,0
Berechnung der relativen Häufigkeit:
Berechnung von h2 = (x2/N)*100 = 16,7 %
Berechnung der kumulierten Häufigkeiten:
Berechnung von %H3 = h1 + h2 + h3 = 8,3 + 16,7 + 37,5 = 62,5 %
Die Verteilungskurve ergibt sich aus:
Ausgangshistogramm
Kurvenpolygon in Histogramm eintragen
Glätten des Kurvenpolygons
Dichtekurve
14
Statistische Maßzahlen:
Modus: xModus  hi max
Definition: Der Modus ist der häufigste Wert der absoluten (Mess)-werte
Arithmetisches Mittel :
x
1 N
*  xi
N i 1
Def: Der Mittelwert (Mean; arithm. Mittel) ist die Summe aller Messwerte, geteilt
durch ihre Anzahl.
Exkurs : arithmetisches Mittel bei vorgegebenen Klassenbreiten:
x
1 k
*  xi * xmi
N i 1
Bsp:
Klasse
1
2
3
4
x
IQ-Intervall
80 – 100
101 – 121
122 – 142
143 – 163
Klassenmitte xmi
90
111
132
153
xi
4
9
9
3
Σ= 25
xi xmi
360
999
1188
459
Σ= 3006
1 k
*  xi * xmi = 1/25 * 3006 = 120,24
N i 1
Geometrisches Mittel: xG = n x1 * ......xn
xi > 0 !!!!!
Def: Verwendung bei prozentualen Wachstums- und Abnahmeprozessen.
z.B. bei Firmenumsätzen der durchschnittliche Verlauf über Jahre:
Die Steigerung des Umsatzes von Jahr 1 zu Jahr 2 beträgt: 2%
Die Steigerung des Umsatzes von Jahr 2 zu Jahr 3 beträgt: 18%
WICHTIG: Man muß mit den Wachstumsfaktoren (1,02 bzw. 1,18) rechnen und nicht
mit den Wachstumsraten 2% bzw. 18%.
xG = 1,02 *1,18 = 1,097 ; d.h. 9,7% mittlere Umsatzsteigerung.
15
Harmonisches Mittel: xH =
n
1
1
 ..... 
xi
xn
z.B.: Ein Anleger kauft an zwei Tagen Wertpapiere für je 22.000,-€. Einmal zum Kurs
von 110,-€ und einmal zum Kurs von 100,-€. Zu welchem Durchschnittskurs wurden
die Wertpapiere gekauft.
xH =
44000
= 104,76 (= durchschnittlicher Kurs)
22000 22000

110
100
Median :
n ist ungerade: z  x( n 1) / 2
n ist gerade: z 
xn / 2  x( n / 2)1
2
Def: Der Median ist derjenige Punkt der Messwertskala, unterhalb und oberhalb dessen
jeweils die Hälfte der Messwerte liegen.
Quantile: In der Praxis werden meist spezielle Quantile verwendet:
Quartile: Einteilung in vier Abschnitte zu je 25%
Dezile: Einteilung in 10 Abschnitte zu je 10%
Perzentile: Einteilung in 100 Abschnitte zu je 1%
Die besonders häufig verwendeten Quartile sind:
Q1 : 1.Quartil = x 0,25
Q2 : 2.Quartil = x 0,5 = z (Zentralwert) =Median
Q3 : 3.Quartil = x 0,75
Mit Hilfe der Werte min, Q1, z, Q3, max. lässt sich ein Box-Plot-Diagramm zeichnen,
das einen guten Einblick über die Verteilung der Daten gibt.
16
1 k
*  ( xi  x ) 2
N i 1
Varianz der Stichprobe: s2 =
Empirische Varianz: s2 =
k

1
*
( xi  x ) 2
N  1 i 1
Def: Varianz s2 von N- Messwerten xi ist definiert als die Summe der quadrierten
Differenzen (xi - x ) dividiert durch ihre Anzahl.
Standardabweichung: s = s 2
Def: Die Standardabweichung s ist definiert als Quadratwurzel aus der Varianz.
Normalverteilung: Messwertverteilung unter der Glockenkurve
x ±s
= ca. 68% der Meßwerte
x ±2s
= ca. 95% der Meßwerte
x ±3s
= ca. 99,7% der Meßwerte
Standardfehler des Mittelwertes:
sx =
s
N
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt der wahre Mittelwert in einem Intervall
von x ± 2 s x .
Variationskoeffizient: VK =
s  100
%
x
Def: Der Variationskoeffizient ist ein Maß, inwieweit die Verteilung homogen ist. Bei
einem Variationskoeffizient von über 50% ist die Verteilung so inhomogen, dass man
den Mittelwert als Maßzahl besser nicht verwendet.
17
Grafische Darstellungen von Verteilungen
 Boxplot
1600,00
ek
1400,00
1200,00
1000,00
Die Fünf-Punkte Zusammenfassung einer metrischen Verteilung
führt zur komprimierten Visualisierung einer Verteilung durch den
Box-Plot. Es lässt sich schnell ein Eindruck darüber gewinnen, ob
die Beobachtungen z.B. annähernd symmetrisch sind, oder ob
Ausreißer in dem Datensatz auftreten.
Der Box-Plot besteht aus:
- x0,25 = Anfang der Schachtel ("box")
- x0,75 = Ende der Schachtel
- Der Median wird durch einen Punkt oder eine Linie in der Box
markiert
- Zwei Linien "whiskers" außerhalb der Box gehen bis zu xmin und
xmax,
18
Der modifizierte Box-Plot berücksichtigt etwaige Ausreißer, die
unterhalb bzw. überhalb der bestimmter Grenzen liegen, quasi
außerhalb der Zäune (zu und zo) sich befinden.
Zur Berechnung der Zäune benötigt man den Interquartilsabstand:
(dQ = x0,75 - x0,25 )
Die oberen und unteren Grenzen für Ausreißer errechnen sich aus:
zu = x0,25 – 1,5* dQ
zo = x0,75 + 1,5* dQ
Auf diese Weise werden die sogenannten Ausreißer, außerhalb der
Zäune im Box-Plot markiert.
19
weitere grafische Darstellungsmöglichkeiten:
Ballbesuch Ballsaison 02/03
4,2
ja
nein
vielleicht
32,8
63,0
IMAD-Jännermonitor, n=500 tirolweit, Schwankungsbreite: max +- 4,5%
Ballbesuch Ballsaison 02/03
vielleicht
4,2%
ja
32,8%
nein
63,0%
IMAD-Jännermonitor, n=500 tirolweit, Schwankungsbreite: max +- 4,5%
Ballbesuch Ballsaison 02/03
vielleicht
4,2%
ja
32,8%
nein
63,0%
IMAD-Jännermonitor, n=500 tirolweit, Schwankungsbreite: max +- 4,5%
20
Ballbesuch Ballsaison 02/03
Vielleicht
4,2%
Ja
32,8%
Nein
63,0%
21
Statistisches Testen:
Mit Hilfe statistischer Tests überprüft u.a. ob zwischen Gruppen wie
z.B. Männer und Frauen im Antwortverhalten auf eine zu
untersuchende Fragestellung hin statistisch signifikante Unterschiede bestehen, oder ob zwischen zwei Variablen (Fragestellungen) Zusammenhänge existieren.
Folgende Tabelle zeigt eine Auswahl statistischer Tests zur
Überprüfung von Unterschieden zwischen Gruppen und zur
Überprüfung von Zusammenhängen zwischen Variablen bzw.
Fragestellungen:
Skalierung Unterschiedsverfahren
Zusammenhangsverfahren
Nominal
Chiquadrattest
Kontingenzkoeffizient
Ordinal
N=2 Stichproben: Mann Whitney U-Test
Rangkorrelationskoeffizient
nach Spearman
n>2 Stichproben: Kruskal-Wallis Test
Metrisch
Varianzanalyse;
Voraussetzungen zur Durchführung:
Normalverteilung
Varianzhomogenität
Korrelationskoeffizient
nach Pearson
22
Hypothesenformulierung:
Im Rahmen der bivariaten Analyse stellt sich die Frage durch
welche demographischen Merkmale die Antworten besonders
beeinflußt werden. Unterscheiden sich z.B.: Männer und Frauen im
Hinblick auf ihren Wunschurlaub.
Dabei interessiert man sich nicht nur für die Unterschiede in der
Stichprobe, sondern man will prüfen, ob die in der Stichprobe
festgestellten Unterschiede auch für die Grundgesamtheit
Gültigkeit haben. Man kann also über die Grundgesamtheit nur
Vermutungen anstellen. Dieses Vermutungen bezeichnet man als
Hypothesen.
Es gibt zwei Arten von Hypothesen:
- Nullhypothese: H0
- Alternativhypothese: H1
Im Rahmen der Nullhypothese vermutet man, daß z.B. zwischen
Männern und Frauen kein (=Null) Meinungsunterschied besteht und
als Alternativhypothese nimmt man an, daß dieser Unterschied
gegeben ist. Die Ergebnisse der Stichprobe der Befragten dienen
dazu, sich für eine der beiden Hypothesen zu entscheiden. Bei der
Entscheidung für die Alternativhypothese möchte man möglichst
sicher sein; d.h. man möchte sich bei der Entscheidung für die
Alternativhypothese
"möglichst
wenig
irren".
Diese
Wahrscheinlichkeit, dass man sich irrt und die Alternativhypothese
23
gewählt hat, obwohl in der Realität (bezogen auf die
Grundgesamtheit) doch die Nullhypothese zutrifft, bezeichnet man
als Irrtumswahrscheinlichkeit. Diese wird von den meisten StatistikSoftware-Produkten exakt berechnet.
Das gängigste Verfahren dazu sind die Signifikanztests.
Zur Überprüfung der Hyppothesen kann folgendes Schema
herangezogen werden:
In der Grundgesamtheit gilt
H0
H1
H0 richtig Entsch. Beta-Fehler
Entscheidung auf Grund
der Stichprobe zugunsten
der:
H1 Alpha-Fehler richtige Entsch.
Als Signifikanzniveau wird in der klassischen Statistik ein =0.05
herangezogen, das heißt: beträgt das errechnete Signifikanzniveau
0.05, dann wird die Nullhypothese verworfen. Dieses Alpha
bezeichnet man auch als Irrtumswahrscheinlichkeit.
24
Unterschiedsverfahren:
Der Chiquadrattest:
Mit Hilfe der Chiquadrattests untersucht man, ob bei nominalen
Variablen Unterschiede zwischen Stichproben bestehen.
Der Chiquadratwert nach Pearson wird nach folgender Formel
berechnet:
n
2  
i 1
(O  E ) 2
E
O....... sind die beobachteten Häufigkeiten (=observed values)
E....... sind die erwarteten Häufigkeiten (=expected values), das
sind jene Häufigkeiten, die man sich bei völliger Unabhängigkeit zwischen den Stichproben erwartet hätte.
Die erwarteten Häufigkeiten werden nach folgender Formel
berechnet:
eij 
ci*r j
N
c......Spaltensumme
r.......Zeilensumme
N......Gesamtstichprobe
25
Folgendes Beispiel zeigt die Anwendung eines Chiquadrattests:
Es wird untersucht ob es Unterschiede zwischen Männern und
Frauen in Bezug auf das Leseverhalten gibt.
Die entsprechenden Hypothesen lauten:
H0: Zwischen Männern und Frauen gibt es hinsichtlich des
Leseverhaltens keinen signifikanten (=null) Unterschied.
H1: Zwischen Männern und Frauen gibt es hinsichtlich des
Leseverhaltens einen signifikanten Unterschied.
Ausgangspunkte sind die Ergebnisse einer Erhebung bei 300
Personen, die in folgender Tabelle zusammengefasst sind:
1.Schritt: Beobachtete Häufigkeiten:
Krimi
Romane
Männer
65
25
Frauen
70
50
Gesamt: abs.
135
75
in %
45%
25%
SciFi
50
40
90
30%
2.Schritt: Erwartete Häufigkeiten:
Krimi
Romane
Männer
63
35
Frauen
72
40
SciFi
42
48
Gesamt
140
160
300
100%
2err. = ((65-63)2/63) + ((25-35)2/35) +......+((40-48)2/48) = 8,333
Die Größe der Tabelle wird durch den Ausdruck Freiheitsgrade
(=degress of freedom DF) beschrieben und ist definiert aus:
DF= (c-1) * (r-1) = (3-1)*(2-1) = 2............d.h.: 2 Freiheitsgrade
26
Bei der Chiquadratverteilung (siehe Tabelle in Fahrmeier) liegt der
Grenz (Schwell-)wert zur Ablehnung der Nullhypothese bei einer
Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% (Tabelle 1- = 0,95) und 2
Freiheitsgraden bei:
2Tab.0,95;2 = 5,991
Ist der errechnete Chiquadratwert größer/gleich dem tabellierten, so
wird die Nullhypothese verworfen. Ist dieser Wert kleiner als der
Tabellierte so wird die Nullhypothese angenommen.
Die Chiquadratverteilung lässt sich durch die Normalverteilung
approximieren. Den dann gesuchten Grenzwert z erhält man durch:
z=
2

2
 2  DF  1
im vorliegenden Beispiel ist das:
z=
2  8,333  (2 * 2)  1
= 2,351
Für die Standardnormalverteilung lässt sich nun folgende Fläche
(=Signifikanz) durch Integrieren in den Grenzen z =  2,4 errechnen:
z
2
x
1
1
2

e
2
d x  0.016395
z
Die Irrtumswahrscheinlichkeit – das ist jene Fehlerwahrscheinlichkeit mit der H1 angenommen wird, obwohl H0 zutrifft - beträgt
also 0,016395 (=1,6%); sie ist daher kleiner als die 5% Grenze,
welche in der klassischen Statistik häufig Anwendung findet.
27
Aufgrund dieses Ergebnisses:
Sig=0,016395  0,05 kann die Nullhypothese verworfen werden;
anders ausgedrückt: die Alternativhypothese wird angenommen.
 Zwischen Männern und Frauen bestehen im Leseverhalten
signifikante Unterschiede.
 Es erfolgt eine Interpretation der Kontingenz (Kreuz-)tabelle.
Weiteres Beispiel mit Softwarelösung:
Fragestellung: Gibt es zwischen Männern und Frauen signifikante
Unterschiede in Bezug auf ihren Wunschurlaub ?
Die beiden Hypothesen lauten:
 H0: Zwischen Männern und Frauen bestehen hinsichtlich des
Wunschurlaubs keine Unterschiede.
H0: M = F
 H1: Zwischen Männern und Frauen bestehen hinsichtlich des
Wunschurlaubs Unterschiede.
H1: M  F
28
Das Statistikpaket SPSS liefert folgenden Output:
Wunschurlaub * Geschlecht Kreuztabelle
Wunschurlaub
flugreis e
kreuzfahrt
ös terreichurlaub
Gesamt
Anzahl
% von Wunschurlaub
% von Geschlecht
Anzahl
% von Wunschurlaub
% von Geschlecht
Anzahl
% von Wunschurlaub
% von Geschlecht
Anzahl
% von Wunschurlaub
% von Geschlecht
Geschlecht
männlich
weiblich
23
3
88,5%
11,5%
63,9%
18,8%
8
10
44,4%
55,6%
22,2%
62,5%
5
3
62,5%
37,5%
13,9%
18,8%
36
16
69,2%
30,8%
100,0%
100,0%
Gesamt
26
100,0%
50,0%
18
100,0%
34,6%
8
100,0%
15,4%
52
100,0%
100,0%
Chi-Quadrat-Tests
Wert
Chi-Quadrat nach
Pearson
Likelihood-Quotient
Zusam menhang
linear-m it-linear
Anzahl der gültigen Fälle
As ymptotisch
e Signifikanz
(2-seitig)
df
a
9,875
2
,007
10,281
2
,006
5,086
1
,024
52
a. 1 Zellen (16,7%) haben eine erwartete Häufigkeit kleiner 5.
Die minimale erwartete Häufigkeit ist 2,46.
Im vorliegenden Beispiel beträgt das =0.007 ; Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist daher 0,7%
  0.05  H0
  0.05  H1
daraus folgt   H1
Zwischen Männern und Frauen bestehen signifikante
Unterschiede hinsichtlich ihres Urlaubswunsches.
29
Ein Sonderfall des Chiquadrattests ist:
- bei 2x2 Tabellen die Kontinuitätskorrektur (bzw. Yates
Korrektur)
Der Chiquadratwert mit der Kontinuitätskorrektur wird nach
folgender Formel berechnet:
n
[ O  E  0.5]2
i 1
E
 
2
Fragestellung: Gibt es einen Unterschied zwischen Männer und
Frauen dahingehend, ob Sie letztes Jahr Urlaub machten ?
Die beiden Hypothesen lauten:
 H0: Zwischen Männern und Frauen bestehen hinsichtlich des
Urlaubsverhaltens (ob Urlaub gemacht wird ? Ja/Nein)
keine Unterschiede.
H0: M = F
 H1: Zwischen Männern und Frauen bestehen hinsichtlich des
Urlaubsverhaltens Unterschiede.
H0: M  F
30
Somm erurlaub * Geschle cht Kreuztabelle
Sommerurlaub
Ja
Nein
Gesamt
Anzahl
% von Sommerurlaub
% von Ges chlecht
Anzahl
% von Sommerurlaub
% von Ges chlecht
Anzahl
% von Sommerurlaub
% von Ges chlecht
Geschlecht
männlich
weiblic h
23
13
63,9%
36,1%
63,9%
81,3%
13
3
81,3%
18,8%
36,1%
18,8%
36
16
69,2%
30,8%
100,0%
100,0%
Gesamt
36
100,0%
69,2%
16
100,0%
30,8%
52
100,0%
100,0%
Chi-Quadrat-Tests
W ert
Chi-Quadrat nach
Pearson
a
Kontinuität skorrekt ur
Lik elihood-Quotient
Ex akter Test nach Fisher
Zusammenhang
linear-mit-linear
Anzahl der gültigen Fälle
As ymptotis ch
e S ignifikanz
(2-seit ig)
df
b
1,567
1
,211
,858
1,659
1
1
,354
,198
Ex akte
Signifik anz
(2-seit ig)
,331
1,537
1
Ex akte
Signifik anz
(1-seit ig)
,178
,215
52
a. W ird nur für eine 2x 2-Tabelle berec hnet
b. 1 Zellen (25,0% ) haben eine erwartete Häufigkeit kleiner 5. Die minimale erwartete Häufigkeit
ist 4,92.
Im vorliegenden Beispiel beträgt das =0.354, daraus folgt, daß
zwischen Männern und Frauen keine signifikanten Unterschiede
hinsichtlich des Urlaubsverhaltens bestehen. Würde man behaupten,
dass diesbezügliche Unterschiede bestehen, so "riskiert" man, dass
man sich zu rund 35% irrt, da die exakte Irrtumswahrscheinlichkeit
35,4% beträgt.
31
PARAMETERFREIE PRÜFVERFAHREN
Die folgenden beiden statistischen Testverfahren, der MannWhitney-U-Test und der Kruskal-Wallis Test dienen zum
Vergleich unabhängiger Stichproben, die entweder ordinal
skaliert oder nicht normalverteilt sind.
 Mann-Whitney U-Test:
Der U-Test von Mann und Whitney dient zum Vergleich zweier
unabhängiger Stichproben, hinsichtlich ordinalskalierter Variable
bzw. solcher, die die Voraussetzung der Normalverteilung nicht
erfüllen. Das Prinzip dieses Tests ist die Ersetzung der gegebenen
erfassten Werte durch Rangplätze. Es handelt sich dabei praktisch
um eine ordinal skalierte Variable (wie z.B. Beurteilung nach
Schulnoten) oder um eine metrische Variable, welche nicht
normalverteilt ist; dabei werden sämtliche auftretenden Werte durch
Ränge ersetzt, die Abstände zueinander werden dabei völlig
vernachlässigt. Auf Ordinalskalenniveau erhobene Daten lassen
lediglich Rechen- operationen zu, in denen Rangplätze (ordinale
Informationen) verarbeitet werden. Mittelwerte, Varianzen können
nicht berechnet werden, weil das Kriterium der Äquidistanz nicht
gegeben ist. Statt dessen werden Summen der Rangplätze berechnet,
denen die Fälle in den Substichproben zuzuordnen sind.
32
Die Vorgangsweise beim Mann-Whitney U-Test wird durch
folgendes Beispiel erörtert:
Untersucht wird die Fragestellung ob sich Studenten (männlich)
von Studentinnen (weiblich) hinsichtlich der Beurteilung der
Nebenjobmöglichkeiten unterscheiden.
Die beiden zu überprüfenden Hypothesen sind:
H0: Zwischen Männern und Frauen besteht kein Unterschied
hinsichtlich der Beurteilung der Nebenjobmöglichkeiten.
H1: Zwischen Männern und Frauen besteht ein signifikanter
Unterschied hinsichtlich der Beurteilung der Nebenjobmöglichkeiten.
(Irrtumswahrscheinlichkeit max.5%)
Folgende Tabelle zeigt die zusammengefassten Ergebnisse:
Beurteilung
Männlich
Weiblich
ti
(ti3-ti)
Gut
2
8
10
990
Mittel
3
2
5
120
Schlecht
7
3
10
990
Gesamt
n1=12
n2=13
N=25 =2100
Im ersten Schritt werden nun den einzelnen Werten, geordnet nach
männlich/weiblich und den Beurteilungen, Rangplätze zugewiesen
und so für die Gruppe der Männer und Frauen Rangsummen
berechnet: Es ergeben sich also insgesamt 25 Rangplätze, von der
ersten Person männlich+gut-Beurteilung bis zur letzten (25-sten)
Person weiblich+schlecht-Beurteilung.
33
Die Rangsummen werden nach Ermittlung der Rangziffern und
anschließender Gewichtung nach der jeweiligen Anzahl von Frauen
und Männern berechnet.
Beurteilung
Männlich
Weiblich
1+2+
5,5 x 2=11
3+4+5+6+7+8+9+10=55/10=5,5
5,5 x 8=44
11+12+13+
13 x 3=39
16+17+18+19+20+21+22+
20,5 x 7=143,5
14+15=65/5=13
13 x 2=26
23+24+25=205/10=20,5
20,5 x 3=61,5
Rangsummen R
R1=193,5
R2=131,5
Mittlerer Rang
193,5/12=16,13
131,5/13=10,12
1=Gut
2=Mittel
3=Schlecht
Es gilt:
R1 + R2 = [N*(N+1)]/2
193,5 + 131,5 = 325
In weiterer Folge wird die Testmaßzahl U bestimmt:
U1 = R1 – [n1*(n1+1)]/2
U1 = 193,5 – 78 = 115,5
U2 = R2 – [n2*(n2+1)]/2
U2 = 131,5 – 91 = 40,5
Die Prüfgröße U des U-Testes ist nun der kleinere der beiden UWerte: U = Minimum (U1, U2) = 40,5
Laut Tabelle beträgt der kritische U-Wert:
U;n1;n2 = U0,05;12;13 = 41
Da der errechnete U-Wert kleiner als U-tabelliert ist, wird H0
verworfen; es folgt die Interpretation von H1.
34
Zur Bestimmung der exakten Irrtumswahrscheinlichkeit muß zuerst
z bestimmt werden; dann kann die asymptotische significance
berechnet werden:
Zur Berechnung von z benutzt man folgende korrigierte Formel:
Warum korrigiert ? Da Messwerte auftreten, die wiederholt
vorkommen, wird in die Formel ein Korrektur-Term eingebaut:
U
z=
n1* n2
2
n1* n2
* (N 3  N 
12 * N * ( N  1)
m
 (t
3
i
 ti )
i 1
z = - 2,193
Exkurs:---------------------------------------------------------------------Tritt jeder Messwert nur einmal auf, so wird zur Berechnung
von z die folgende unkorrigierte Formel herangezogen:
n1* n2
2
n1* n2 * (n1  n2  1)
12
U
z=
-------------------------------------------------------------------------------Berechnung der Irrtumswahrscheinlichkeit: sig
z
2
x
1
1
2

2
e d x  0.028307
z
sig = 0,028 = 2,8%
Da 0,0283  0,05  H1 ; d.h. H0 wird verworfen !!
35
Schlussfolgerung:
Zwischen Männern und Frauen besteht ein signifikanter Unterschied
hinsichtlich der Beurteilung der Nebenjob-möglichkeiten.
Wo liegt nun der diesbezügliche Unterschied ?
Man betrachtet die mittleren Ränge:
Mittlerer Rang
Männer
Frauen
16,13
10,12
Der einzelne mittlere Rang sagt nichts aus und wird so auch nicht
interpretiert. Betrachtet man jedoch die Höhe des mittleren Ranges,
so kann festgestellt werden, dass der mittlere Rang bei den Männern
deutlich höher ist als jener, der Frauen.
Die ursprüngliche Codierung der Beurteilung war:
1 = gut
2 = mittel
3 = schlecht
Ein höherer Wert sagt also aus, dass "schlechter beurteilt" wurde.
Im vorliegenden Beispiel kann also festgehalten werden, dass
Männer (Studenten) die Nebenjobmöglichkeiten schlechter
beurteilen als Frauen (Studentinnen).
36
Das Statistikpaket SPSS liefert folgenden Output:
Mann-Whitney-Test
Ränge
Beurteilung
Nebenjobmögl.
Geschlecht
männlich
weiblich
Gesamt
N
12
13
25
Mittlerer Rang
16,13
10,12
Rangs umme
193,50
131,50
Statistik für Testb
Mann-Whitney-U
Wilcoxon-W
Z
As ymptotische
Signifikanz (2-seitig)
Exakte Signifikanz
[2*(1-s eitig Sig.)]
Beurteilung
Nebenjobm
ögl.
40,500
131,500
-2,193
,028
a
,040
a. Nicht für Bindungen korrigiert.
b. Gruppenvariable: Geschlecht
Zur Festlegung ob H0 oder H1 betrachtet man die Asymptotische
Signifikanz und interpretiert, wenn H0 verworfen wird und man sich für
H1 entscheidet, die mittleren Ränge.
37
 Kruskal-Wallis H-Test:
Der H-Test von Kruskal und Wallis dient zum Vergleich mehr als
zweier (n>2) unabhängiger Stichproben, hinsichtlich ordinalskalierter Variable bzw. solcher, die die Voraussetzung der
Normalverteilung nicht erfüllen. Das Prinzip dieses Tests ist die
Ersetzung der gegebenen erfassten Werte durch Rangplätze.
Es handelt sich dabei praktisch um eine ordinal skalierte Variable
(wie z.B. Beurteilung nach Schulnoten) oder um eine metrische
Variable, welche nicht normalverteilt ist; dabei werden sämtliche
auftretenden Werte durch Ränge ersetzt, die Abstände zueinander
werden dabei völlig vernachlässigt.
Auf Ordinalskalenniveau erhobene Daten lassen lediglich
Rechenoperationen zu, in denen Rangplätze (ordinale
Informationen) verarbeitet werden. Mittelwerte, Varianzen können
nicht berechnet werden, weil das Kriterium der Äquidistanz nicht
gegeben ist. Statt dessen werden Summen der Rangplätze berechnet,
denen die Fälle in den Substichproben zuzuordnen sind.
38
Die Vorgangsweise beim Kruskal-Wallis H-Test ist bis hin zur
Berechnung der mittleren Ränge gleich jener beim M-W U-Test.
Untersucht wird die Fragestellung ob sich Studenten der 4
Studienrichtungen BWL/VWL/IWW/Wipäd hinsichtlich der
Beurteilung der Nebenjobmöglichkeiten voneinander unterscheiden.
Die beiden zu überprüfenden Hypothesen sind:
H0: Zwischen den Studenten der 4 Studienrichtungen besteht kein
Unterschied hinsichtlich der Beurteilung der Nebenjobmöglichkeiten.
H1: Zwischen den Studenten der 4 Studienrichtungen besteht ein
Signifikanter Unterschied hinsichtlich der Beurteilung der
Nebenjobmöglichkeiten.
(Irrtumswahrscheinlichkeit max.5%)
Die Berechnung der Rangsummen und mittleren Ränge erfolgt
gleich wie beim Mann Whitney U-Test.
Es ergibt sich folgende Tabelle:
BWL
VWL
IWW
Wipäd
ti
(ti3-ti)
Gut
6
2
0
2
10
990
Mittel
1
2
0
2
5
120
Schlecht
0
4
6
0
10
990
Gesamt ni
7
8
6
4
N=25
2100
Rangsummen Ti
46
119
123
37
-
-
Mittlerer Rang
6,57
14,88
20,55
9,25
-
-
39
Die für den Kruskal-Wallis Test zu berechnende Prüfgröße H ist
chiquadrat-verteilt, mit
Df = k-1 Freiheitsgraden ,
wobei k= die Anzahl der Klassen/Gruppen (=4 Studienrichtungen)
Im vorliegenden Beispiel errechnet sich durch:
DF = 4 – 1 = 3
Die angeführte Formel H bezieht sich auf die Berechnung in dem
Fall, dass jeder Messwert nur einmal auftritt;
H=
12
*
N * ( N  1)
Ti2
 3 * ( N  1)
i 1 n
i

k
Die vorliegende Problemstellung zeigt jedoch, dass bei den 4
Studienrichtungen die gleichen Beurteilungen zum Teil häufiger als
nur einmal auftreten, daher verwendet man beim Kruskal Wallis
Test, ähnlich wie beim U-Test, eine korrigierte Formel:
H´ =
H

1
m
(t 3
i 1 i
3
 ti )
N N
H´err.= 15,166
Ein Blick auf die Chiquadrattabelle (siehe Fahrmeier) zeigt, dass
H´1-;DF = H´0,95;3 = 7,8147
Da der errechnete H-Wert größer dem H-Wert aus der Chiquadrattabelle ist, wird H0 verworfen; man entschließt sich für H1
und interpretiert die mittleren Ränge.
Über den H-Wert wird wie beim Chiquadrattest z errechnet und
daraus wiederum die exakte Irrtumswahrscheinlichkeit.
40
Das Statistikpaket SPSS liefert folgenden Output:
Kruskal-Wallis-Test
Rä nge
Beurteilung
Nebenjobmögl.
St udienrichtungen
BW L
VW L
IW W
W ipäd
Gesamt
N
7
8
6
4
25
Mittlerer Rang
6,57
14,88
20,50
9,25
Statistik für Te sta,b
Beurteilung
Nebenjobmögl.
Chi-Quadrat
15,171
df
3
As ymptotis che Signifikanz
,002
a. Kruskal-W allis-Test
b. Gruppenvariable: St udienric htungen
Zur Festlegung ob H0 oder H1 betrachtet man die Asymptotische
Signifikanz und interpretiert, wenn H0 verworfen wird und man sich für
H1 entscheidet, die mittleren Ränge.
41
 Varianzanalyse:
Will man untersuchen inwiefern sich zwei oder mehrere Gruppen
einer nominalen oder ordinalen Variable in Bezug auf ein
metrisches Merkmal unterscheiden, so wendet man die
einfaktorielle Varianzanalyse an. Um den Einfluß mehrerer
nominaler bzw. ordinaler Variable auf eine metrische Variable zu
überprüfen,
wird
die
mehrfaktorielle
Varianzanalyse
durchgeführt.
Von Interesse ist also der Einfluß eines sogenannten Faktors auf
eine eigentlich metrische Zielgröße.
Es ist darauf hinzuweisen, dass bei Überprüfung zweier Gruppen
(z.B. Männer/Frauen) hinsichtlich eines metrischen Merkmals (z.B.
Ausgaben für Geschenke) häufig der t-Test Anwendung findet.
Bei mehr als 2 Gruppen (n>2) findet der F-Test seine
Anwendung, da der t-Test nur im Zweistichprobenfall zu verwenden
ist. Da der F-Test jedoch auch im Zweistichprobenfall anwendbar
ist, ist seine Verbreitung wesentlich häufiger.
Wichtige Voraussetzungen für die Durchführung der
Varianzanalyse sind: Normalverteilung (K-S Test)
Varianzhomogenität (Levene-Statistik)
42
Liegen diese Voraussetzungen nicht vor, so wird in der Regel auf
Unterschiedsverfahren für ordinal skalierte Variable zurückgegriffen.
Die Varianzanalyse geht ihrem Prinzip nach von einer Zerlegung
der Varianzen aus. Diese Gesamtvarianz wird zerlegt in eine
Varianz innerhalb der Gruppen und eine Varianz zwischen den
Gruppen.
Welche Hypothesen werden überprüft:
H0 : 1 = 2 = ...... = n
H1 : 1 ≠ 2 ≠ ...... ≠ n
Da die Varianzanalyse ein Mittelwertvergleich ist, wird untersucht,
ob die Mittelwerte der einzelnen Gruppen in etwa gleich, oder ob
die Mittelwerte voneinander signifikant verschieden sind.
43
Die zu berechnende F-Teststatistik(Ferrechnet)ergibt sich aus:
SQE  2
Ferr = SQR *  1 , wobei
SQR = Summe der Streuung innerhalb der Gruppen
SQR =  (n 1) * s ;
si2=Varianz innerhalb der einzelnen Gruppen
I
2
i
i
i 1
T = Gesamtstreuung
T =  ( x  x)
N
2
i
i 1
SQE = Summe der Streuung zwischen den Gruppen
SQE =  (n *  ( x  x) ) ;
I
ni
2
i
i 1
i
j 1
d.h. rechentechnisch =
SQE =T(Gesamtstreuung)–SQR(Streuung innerhalb der Gruppen)
Zur Berechnung der Freiheitsgrade:
 1 = I – 1, wobei I ist gleich die Anzahl der Gruppen
 2 = N – I, wobei N gleich dem Stichprobenumfang
Eine andere Möglichkeit zur Berechnung der Teststatistik F ist
folgende:
W
T * 2
W
1
T
1
Fer =
r
,
wobei T = Gesamtstreuung und W die Streuung innerhalb der Gruppen ist.
44
Diese Vorgangsweise wird anhand folgendem Beispiel erörtert:
In nachstehender Tabelle sind die Daten einer Erhebung der
durchschnittlichen Ausgaben pro Urlaubstag in Euro für
Niederländer, Deutsche und Amerikaner angeführt:
Ausgaben
pro Tag
Gruppenmittelwert
Berechnung
von
T
Berechnung
von SQE
1 = Niederländer
75
80
(104-75)2
(80-104)2
1
80
(104-80)2
(80-104)2
1
85
(104-85)2
(80-104)2
2=Deutsche
90
(104-90)2
(100-104)2
2
100
(104-100)2
(100-104)2
2
110
(104-110)2
(100-104)2
3= Amerikaner
110
(104-110)2
(125-104)2
3
130
(104-130)2
(125-104)2
3
120
(104-120)2
(125-104)2
3
140
(104-140)2
(125-104)2
Gesamtmittelwert
104
Summe = 4290
Summe=3540
100
125
Aus den Daten ergeben sich folgende Varianzen:
s12 = 25;
s22 = 100;
s32 = 166,666
SQR = 2 * 25 + 2 * 100 + 3 * 166,666 = 750
SQE = 3*(80-104)2+3*(100-104)2+4*(125-104)2 = 3540
1 = I – 1 = 3 – 1 = 2
 2 = N – I = 10 – 3 = 7
45
Ferr =
3540 7
*
750 2
= 16,52
Das auf diese Weise errechnete F wird nun, wie bereits bei anderen
statistischen Tests aufgezeigt, mit dem tabellierten F-Wert
verglichen: (Irrtumswahrscheinlichkeit 5%)
F tab 0,05; 2; 7 = 4,74
Da Ferr ≥ Ftab. wird die H0 verworfen und man kann mit großer
Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass sich die Mittelwerte der
einzelnen Gruppen signifikant voneinander unterscheiden.
Zur Interpretation der signifikanten Ergebnisse werden die
Mittelwerte der einzelnen Gruppen (Gruppenmittelwerte – siehe
Tabelle) herangezogen.
Das Statistikpaket SPSS liefert folgenden Output:
Deskriptive Statistik
AUSG
N
Niederländer
Deutsche
Amerikaner
Gesamt
3
3
4
10
Mittelwert
80,0000
100,0000
125,0000
104,0000
Standardab
weichung
5,0000
10,0000
12,9099
21,8327
Standardf
ehler
2,8868
5,7735
6,4550
6,9041
95%-Konfidenzintervall für
den Mittelwert
Untergrenze Obergrenze
67,5793
92,4207
75,1586
124,8414
104,4574
145,5426
88,3818
119,6182
Minimum
75,00
90,00
110,00
75,00
Maximum
85,00
110,00
140,00
140,00
ANOVA
AUSG
Zwischen den Gruppen
Innerhalb der Gruppen
Gesamt
Quadrats
umme
3540,000
750,000
4290,000
df
2
7
9
Mittel der
Quadrate
1770,000
107,143
F
16,520
Signifik anz
,002
46
Nach der Entscheidung für H0 oder H1 auf Basis der von der
Software errechneten exakten Signifikanz (größer oder kleiner
gleich 0,05), werden bei H1 die Mittelwerte interpretiert.
47
 Regressionsanalyse
Durch die Regressionsanalyse soll der Zusammenhang zweier oder
mehrerer Variable mathematisch erfasst werden. Ziel der
Regressionsrechnung ist es dabei, Formeln zu finden, nach denen
man bei Kenntnis des Wertes der einen Variablen den zu
erwartenden Wert der anderen Variable bestimmen kann.
Ausgangspunkt ist also eine grafische Übersicht des Zusammenhangs zweier metrischer Variable. Dieser Zusammenhang wird
durch eine Regressionslinie am besten dargestellt.
An dieser Stelle wird ein Modell mit zwei Variablen ausführlich
behandelt; dieses bezeichnet man als lineare Einfachregression. Der
Zusammenhang von zwei Variablen wird durch die lineare Funktion
der Form:
ŷi = α + βxi , deren Graf eine Gerade ist, verdeutlicht.
Gesucht wird also ein objektives Verfahren zur Ermittlung der
ŷi = α + βxi mit der Steigung β und dem
Geradengleichung
Ordinatenabschnitt α. Dabei nennt man β auch den
Regressionskoeffizienten. Das Vorzeichen drückt die Art des
Zusammenhangs aus:
Positiv:
je mehr, desto mehr / je weniger, desto weniger
Negativ:
je mehr, desto weniger / je weniger, desto mehr
Null:
keine Richtung/Muster erkennbar.
48
Mit Hilfe folgender Formel kann β bestimmt werden:
n
β=
n
n
 (x * y )  n *  x *  y
1
i
i
i
i 1
i 1
n
n
x
i 1
2
i

i
i 1

1
*(
xi ) 2
n i 1
Der Ordinatenabschnitt bestimmt sich nach der Berechnung von β
zu:
α = y  *x
Folgendes Beispiel soll die Anwendung der Regressionsrechnung
besser verständlich machen:
Gegeben sind das monatliche Einkommen und die Ausgaben für
Geschenke pro Monat:
EK ( x)
1000,00
1050,00
1100,00
1200,00
1250,00
1250,00
1250,00
1500,00
1400,00
1600,00
AUSG (y)
75,00
80,00
85,00
90,00
100,00
110,00
110,00
130,00
120,00
140,00
y2
5625,00
6400,00
7225,00
8100,00
10000,00
12100,00
12100,00
16900,00
14400,00
19600,00
x2
1000000
1102500
1210000
1440000
1562500
1562500
1562500
2250000
1960000
2560000
xiyi
75000,00
84000,00
93500,00
108000,0
125000,0
137500,0
137500,0
195000,0
168000,0
224000,0
Mittelwert
1260
104
11245
1621000
134750
Summe
12600
1040
112450
16210000
1347500
ni
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
49
β=
1
*1040 *12600
10
1
16210000 
*12600 2
10
1347500 
= 0,1110778
α = 104 – 0,1110778 * 1260 = -35,958
Daraus ergibt sich folgendes Regressionsmodell für unsere Daten:
ŷi = -35,958 + 0,1110778*xi
Die Regressionsgerade kann nach der angegebenen Methode immer
berechnet werden. Sinnvoll ist ihre Berechnung aber nur dann, wenn
der Zusammenhang zwischen den beiden betrachteten Variablen
tatsächlich linear ist. Dies ist entweder aus der Erfahrung bekannt
oder in der Regel aus dem optischen Eindruck des
Korrelationsdiagramms ersichtlich.
Die zu suchende Gerade erfüllt die Modellfunktion dann am besten,
wenn die Summe der Abstände der Punkte außerhalb der Geraden
zu dieser Geraden möglichst gering ist. Im geometrischen Sinn kann
man die Abstände als euklidisches Differenzenquadrat auffassen. Es
wird also eine Zielfunktion im Sinne der Methode der kleinsten
Quadrate formuliert, wo die Quadratwerte minimal werden.
Die Differenzen der beobachteten Werte zu den geschätzten Werten,
werden als Residuen bezeichnet. Das sind jene Werte, deren Betrag
möglichst gering sein sollte;
ˆi  yi  yˆi
50
Auf Grund unseres Regressionsmodells ergeben sich für ein
Einkommen in der Höhe von 1250 Euro geschätzte Ausgaben für
Geschenke in der Höhe von 102,8892. Dieser Wert ergibt sich aus:
ŷi = 0,1110778 *1250 +(-35,958) = 102,8892
Die Differenz dieses geschätzten Wertes zum tatsächlich
beobachteten Wert 100 beträgt –2,8892; dies ist das Residuum für
den beobachteten Wert von 100 Euro.
Für die gesamten beobachteten Werte der Variable Ausgaben
(AUSG) ergeben sich auf Grund unseres Regressionsmodells, d.h.
die Erklärung der Ausgaben über die beeinflussende Variable
Einkommen (EK) folgende Werte (Residuen):
EK (x)
1000,00
1050,00
1100,00
1200,00
1250,00
1250,00
1250,00
1500,00
1400,00
1600,00
AUSG (y)
75,00
80,00
85,00
90,00
100,00
110,00
110,00
130,00
120,00
140,00
ŷ
75,11976
80,67365
86,22754
97,33533
102,8892
102,8892
102,8892
130,6587
119,5509
141,7665
Residuen
-,11976
-,67365
-1,22754
-7,33533
-2,88922
7,11078
7,11078
-,65868
,44910
-1,76647
51
Das Statistikpaket SPSS liefert folgenden Output:
b
Model lzusam menfassung
Modell
1
R
R-Quadrat
,980a
,961
Korrigiertes
R-Quadrat
,956
St andardf
ehler des
Sc hätz ers
4,5964
a. Einfluß variablen : (Kons tant e), EK
b. Abhängige Variable: AUSG
Koeffi zientena
Modell
1
(Konst ante)
EK
St andardi
sierte
Koeffiz ien
ten
Nicht s tandardisierte
Koeffiz ient en
St andardf
B
ehler
-35,958
10,126
,111
,008
Beta
,980
T
-3, 551
13,966
Signifik anz
,007
,000
a. Abhängige Variable: AUSG

140,00
ausg = -35.96 + 0.11 * ek
R-Quadrat = 0.96

Punkte/Linien zeigen Mittelw erte
Lineare Regression

ausg
120,00

100,00



80,00

1000,00
1200,00
1400,00
1600,00
ek
52
Zusammenhangsverfahren:
 Kontingenzkoeffizient: (0 bis 1)
Für nominale Merkmale wird als Zusammenhangsmaß der
Kontingenzkoeffizient (C) verwendet. Dieser Wert liegt zwischen 0
und 1 und drückt die Stärke des Zusammenhangs aus. Der
Kontingenzkoeffizient misst nur die Stärke des Zusammenhangs,
eine Richtung der Wirkungsweise wird nicht erfasst.
Als Basis zu Berechnung des Kontingenzkoeffizienten wird der
errechnete Chiquadratwert herangezogen:
C=
2
n2
Die beiden zu untersuchenden Hypothesen lauten:
H0 : Zwischen den beiden Variablen Geschlecht und
Lesegewohnheiten besteht kein wesentlicher Zusammenhang
H1 : Zwischen den beiden Variablen Geschlecht und Lesegewohnheiten besteht ein wesentlicher Zusammenhang
Bezogen auf das Beispiel zur Berechnung des Chiquadratwertes
hinsichtlich der Lesegewohnheiten (Krimi/Romane/SciFi) und dem
Geschlecht ergibt sich folgender Kontingenzkoeffizient:
53
C=
8,333
300  8,333
= 0,1644
Wie auf Grund des durchgeführten Chiquadrattests ersichtlich war
gibt es einen signifikanten Unterschied zwischen Männer und
Frauen in Bezug auf ihre Lesegewohnheiten; der Zusammenhang
zwischen den beiden Variablen ist jedoch mit 0,1644 als eher gering
zu bezeichnend, obwohl signifikant.
Das Statistikpaket SPSS liefert folgenden Output:
Symmetrische Maße
Wert
Nominal- bzgl.
Nominalmaß
Kontingenzkoeffizient
Anzahl der gültigen Fälle
Näherungs weis e
Signifikanz
,164
,016
300
a. Die Null-Hyphothese wird nicht angenommen.
b. Unter Annahme der Null-Hyphothese wird der asymptotische Standardfehler verwendet.
Es kann festgestellt werden, daß zwischen der Variable Geschlecht
und der Variable Lesegwohnheiten ein signifikanter Zusammenhang besteht (Näherungsweise Signifikanz: sig=0.016; daher wird
H0 verworfen!); der Kontingenzkoeffizient in der Höhe von 0,164
drückt die Stärke des Zusammenhangs aus.
54
 Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman: (-1 bis +1)
Wenn man für ordinalskalierte Variable von den ursprünglichen xund y-Werten zu ihren Rängen übergeht, erhält man den Korrelationskoeffizienten nach Spearman. Dabei wird analog zum MannWhitney U-Test den Werten der x Variable aber auch den Werten
der y Variable jeweils nach ihrer Ordnung ein Rangplatz zugeordnet
und man erhält nun für jede Beobachtung sogenannte Messpaare.
Zu x1 ≤ ........ ≤xn, als bereits geordnete Werte gilt rg (xi)=i, und
zu y1 ≤ ........ ≤yn, als bereits geordnete Werte gilt rg (y i)=i;
Sowohl innerhalb der x-Werte wie auch der y-Werte können
identische Werte auftreten. Die Rangvergabe ist dann nicht
eindeutig, so werden wie bereits bei der Vorgehensweise beim
Mann-Whitney U-Test Durchschnittsränge berechnet.
Die Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Spearman
erfolgt über folgende allgemeine Formel:
d
rSP= 1 -  ;
2
i
6
(n 2  1)n
da jedoch häufig sogenannte Bindungen auftreten und daher eine
diesbezügliche Korrektur angewendet werden muß (nach Bindungen
korrigiert = corrected for ties), findet folgende korrigierte Formel
ihre Anwendung:
6 d
rSP corr. = 1 ;
2
i
(n 2  1)n  (T x´  T y´ )
wobei: di sind die Rangdifferenzen und n der Stichprobenumfang.
Tx´ = 12  (t  t ) ; dadurch wird die Häufigkeit des Auftretens der
3
xi´
xi´
55
gleichen Bewertungen berücksichtigt.
Analog dazu wird Ty´ berechnet.
Gegeben sind zwei Variable:
x....Beurteilung der Nebenjobmöglichkeiten
y....Beurteilung der eigenen finanziellen Situation
Die beiden Hypothesen lauten:
H0: Zwischen der Beurteilung der Nebenjobmöglichkeiten und der
Beurteilung der eigenen finanz. Situation besteht kein Zusammenhang.
H1: Zwischen den beiden Variablen besteht ein Zusammenhang.
X
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Berechnung der Rangziffern Rg(xi)
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55/10=5,5
11+12+13+14+15=65/5=13
16+17+18+19+20+21+22+23+24+25=
= 205/10=20,5
Tx´ = 12  (t
3
xi´
 t x´ )
i
Y
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
Rg (yi)
Rg (1) = 4
Rg(2) = 12,5
Rg(3) = 21,5
Berechnung der Rangdifferenzen (d)
5,5 – 4= 1,5
5,5 – 4= 1,5
5,5 – 4= 1,5
5,5 - 4 = 1,5
5,5 – 4= 1,5
5,5, - 4 = 1,5
5,5 - 12,5 = 7
5,5 - 12,5 = 7
5,5 - 12,5 = 7
5,5 - 12,5 = 7
13 – 12,5= 0,5
13 – 12,5= 0,5
13 – 12,5 = 0,5
13 – 21,5= 8,5
13 – 21,5 = 8,5
20,5 – 4 = 16,5
20,5 – 12,5= 8
20,5 – 12,5= 8
20,5 – 12,5= 8
20,5 – 21,5 = 1
20,5 – 21,5 = 1
20,5 – 21,5 = 1
20,5 – 21,5 = 1
20,5 – 21,5 = 1
20,5 – 21,5 = 1
Summe
d2
2,25
2,25
2,25
2,25
2,25
2,25
49
49
49
49
0,25
0,25
0,25
72,25
72,25
272,25
64
64
64
1
1
1
1
1
1
825
=½*[(103-10)+(53-5)+(103-10)] = 1050
56
Ty´ = ½*[(73-7)+(103-10)+(83-8)] = 915
6 * 825
rSP corr. = 1 -
(25  1)25  (1050  915 )
2
=1-
4950
113635
= + 0,6369
Der Zusammenhang zwischen der Beurteilung der Nebenjobmöglichkeiten und der Beurteilung der eigenen finanziellen
Situation ist ein positiver Zusammenhang. Ob dieser Zusammenhang signifikant ist oder nicht kann über die z-Transformation mit
anschließender
Berechnung
der
Irrtumswahrscheinlichkeit
(=Signifikanzniveau) geklärt werden:
z=ż*
n 3 ,
wobei ż als Korrelationsziffer bezeichnet wird und wie folgt zu
berechnen ist:
ż = ½*ln( 1  r ) = ½ * ln
1  0,6369
1  0,6369
daraus folgt:
z = ż * n  3 = 0,753*
25  3
1 r
= 0,753
= 3,532
Das Signifikanzniveau errechnet sich aus:
z
2
x
1
1
2

e
2
d x  0.001229270561
z
57
Da das Signifikanzniveau ≤0,05, nämlich exakt 0,00123 ist, kann
die H0 verworfen werden und man kann behaupten, dass der Zusammenhang zwischen der Beurteilung der Nebenjobmöglich-keiten
und der Beurteilung der eigenen finanziellen Situation sta-tistisch
signifikant ist. Die Stärke des Zusammenhang ist +0,637. Das heißt:
je besser die Nebenjobmöglichkeiten beurteilt werden, desto besser
wird auch die persönliche finanzielle Situation beurteilt.
Das Statistikpaket SPSS liefert folgenden Output:
Korrelationen
Spearman-Rho
Beurteilung der
Nebenjobmöglichkeiten
Beurteilung der eigenen
finaziellen Situation
Korrelationskoeffizient
Sig. (2-seitig)
N
Korrelationskoeffizient
Sig. (2-seitig)
N
Beurteilung
Beurteilung
der
der eigenen
Nebenjobmö
finaziellen
glichkeiten
Situation
1,000
,637**
,
,001
25
25
,637**
1,000
,001
,
25
25
**. Korrelation ist auf dem Niveau von 0,01 signifikant (2-s eitig).
Es kann festgestellt werden, daß zwischen der Variable Beurteilung
der Nebenjobmöglichkeiten und der Beurteilung der eigenen
finanziellen Situation ein signifikanter Zusammenhang besteht
(Näherungsweise
Signifikanz:
sig=0.001;
daher
wird
H0
verworfen!); der Korrelationskoeffizient in der Höhe von +0,637
drückt die Stärke des Zusammenhangs aus.
58
 Korrelationskoeffizient nach Pearson (-1 bis +1)
Der Bravais-Pearson´sche Korrelationskoeffizient ist prinzipiell nur
für metrische Variable geeignet; diese sollten zudem normal-verteilt
sein. Ist diese Voraussetzung nicht gegeben so ist der
Korrelationskoeffizient nach Spearman anzuwenden.
Zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Pearson werden
jeweils zwei metrische Variable einer Person erfasst und als
sogenannte Wertepaare dargestellt. Zu jedem x1 ,......., xn, gibt es
ein entsprechendes y1 ,.....,.yn;
Der Zusammenhang zwischen den beiden metrischen Variablen
kann, wie bereits beim Korrelationskoeffizient nach Spearman
poisitiv (~+1), negativ (~ -1) bzw. annähernd Null sein.
Im vorliegenden Beispiel wird der Zusammenhang bzw. die Stärke
des Zusammenhangs zwischen dem Einkommen (x) und den
Ausgaben für Geschenke (y) berechnet.
Die beiden Hypothesen lauten:
H0: Zwischen dem Einkommen und den Ausgaben für Geschenke besteht
kein Zusammenhang.
H1: Zwischen den beiden Variablen besteht ein Zusammenhang.
Die Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Pearson erfolgt
nach:
n
rP =
 [( x
i
 x ) * ( y i  y )]
i 1
n
 (x
i 1
n
i
 x) 2 *
 (y
i
 y) 2
i 1
59
[( xi  x ) * ( y i  y )]
EK (x)
AUSG (y)
1000,00
75,00
7540,00
1050,00
80,00
5040,00
1100,00
85,00
3040,00
1200,00
90,00
840,00
1250,00
100,00
40,00
1250,00
110,00
-60,00
1250,00
110,00
-60,00
1500,00
130,00
6240,00
1400,00
120,00
2240,00
1600,00
140,00
12240,00
Mittelwert(x)=1260 Mittelwert(y)=104 Summe=37100
rP =
37100
334000 * 4290
( xi  x ) 2
67600,00
44100,00
25600,00
3600,00
100,00
100,00
100,00
57600,00
19600,00
115600,0
Su=334000
( yi  y) 2
841,00
576,00
361,00
196,00
16,00
36,00
36,00
676,00
256,00
1296,00
Su=4290
= +0,98
Der Zusammenhang zwischen dem Einkommen und den Ausgaben
für Geschenke ist stark positiv und beträgt +0,98. Das heißt: je mehr
jemand verdient, desto mehr ist er auch bereit für Geschenke
auszugeben.
Das Statistikpaket SPSS liefert folgenden Output:
Korrelationen
EK
AUSG
Korrelation nach Pearson
Signifikanz (2-s eitig)
N
Korrelation nach Pearson
Signifikanz (2-s eitig)
N
EK
1,000
,
10
,980**
,000
10
AUSG
,980**
,000
10
1,000
,
10
**. Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,01 (2-seitig)
signifikant.
Es kann festgestellt werden, daß zwischen der Variable Einkommen
und den Ausgaben für Geschenke ein signifikanter Zusammenhang
besteht (Näherungsweise Signifikanz: sig=0.000; daher wird H0
verworfen!); der Korrelationskoeffizient in der Höhe von +0,98
drückt die Stärke des Zusammenhangs aus.
60
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