Grundlagen der Grenzwertrechnung (Limes)

Wolfgang Schmitt
Aus meiner Skriptenreihe: "Keine Angst vor …"
Grundlagen der Grenzwertrechnung
(Limes)
http://www.nf-lernen.de
1
Inhalt
Seite
Fachbegriff
2
Zentrale Frage - elementare Grenzwerte
2
Hilfen zum Umformen
3
Austoben
4
2
Fachbegriff:.
limes (lat.) = Grenze, römische Grenzbefestigung, Grenzwertrechnung
Zentrale Frage: Wohin strebt y 
1
, wenn x   strebt ?
x
Lösung: Setze für x immer größere positive Werte ein und Du siehst, daß y immer kleiner
wird: y  0
Unbeantwortet bleibt die Frage, welcher positiver großer Wert für x eingesetzt werden
muß, damit y genau 0 ist, also y = O.
Offensichtlich muß für x   eingesetzt werden. Aber was ist dann y 
Mit dem Term
1
?

1
kann und darf man nicht rechnen.

Noch deutlicher wird:
Wohin strebt wenn y 
y
1
wenn x  0 strebt ? Analog zu oben, müßte man jetzt rechnen:
x
1
. Aber das ist, wie jedes Kind weiß, absolut verboten !
0
Deshalb eine neue Rechenart, die Limes-Rechnung
Es gibt 4 sog. elementare Grenzwerte, die das oben beschriebene Dilemma beheben:
I
II
III
IV
lim
x 
1
 0
x
1
 
x 0 x
lim
lim x   
x 
lim x   0
x 0
Mit diesen Grenzwerten darf ohne Nachweis gerechnet werden
3
Probleme und die Lösungen
Aufgabe
Problem
Umformen
Elementare Grenzwerte
bilden und dabei niemals
durch Null dividieren
Lösung
Problem gelöst
Piranhas Piranhas Piranhas Piranhas
Bei der Limes-Rechung mußt Du über eine Brücke gehen, die über einen tropischen Fluß
führt. Im Wasser schwimmen 1000 Piranhas. Wenn Du auf Deinem Weg einen Fehler
machst, fällst Du ins Wasser und die Piranha nagen Dich in Sekundenschnelle bis auf die
Knochen ab.
Hilfen zum Umformen
So hast Du Erfolg:
Du erreichst das andere Ufer sehr sicher, wenn Du Dich stets strikt an folgende
Anweisungen hältst:
1. Forme die Terme mit dem Ziel um, ausschließlich elementare Grenzwert zu erhalten.
2. Teile bei den Umformungen niemals durch Null.
3. Beim Umformen helfen folgende Grenzwertsätze:
lim[f(x)  g(x)]  lim f(x)  g(x)
lim[f(x)  g(x)]  lim f(x)  g(x)
lim
f(x) lim f(x)

für g(x)  0
g(x) limg(x)
lim a  f(x)  a  lim f(x)
4
Austoben:
1.
3.
lim(3 
n
lim(
n
3
)3
n2
n n
2n2
)0
2.
4.
lim(
n
n2  4n  4
1
)
2
5n  7n  1 5
2x 2
lim(
)2
x  x 2  1
na dann !