Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis HDoz. Dr

Karlsruher Institut für Technologie (KIT)
Institut für Analysis
HDoz. Dr. P. C. Kunstmann
Frühjahr 2010
08.03.2010
Wahrscheinlichkeitstheorie
für die Fachrichtung Elektroingenieurwesen
Aufgabe 1
(2+2+3+3=10 Punkte)
Betrachtet werde eine Urne mit drei weißen und einer schwarzen Kugel sowie eine zweite Urne mit
einer weißen und drei schwarzen Kugeln. Sukzessive werde eine Kugel rein zufällig gezogen und
anschließend wieder zurückgelegt. Dabei sollen folgende Regeln gelten:
• Die erste Kugel werde aus der ersten Urne gezogen.
• Eine gezogene Kugel wird in die Urne zurückgelegt, aus der sie entnommen wurde.
• Ist die gezogene Kugel weiß, so wird die nächste Kugel aus der ersten Urne gezogen. Ist die
gezogene Kugel schwarz, so wird die nächste Kugel aus der zweiten Urne gezogen.
Sei n ∈ N. Die Zufallsvariable Yn sei gleich 1 oder 0 je nachdem, ob die n-te gezogene Kugel weiß
oder schwarz ist. Ferner bezeichne Xn die Anzahl der in den ersten n Ziehungen gezogenen weißen
Kugeln.
a) Berechnen Sie P (Y1 = 1) und P (Y2 = 1).
b) Zeigen Sie, dass für jedes n ∈ N gilt:
P (Yn+1 = 1) =
c)
1
1
P (Yn = 1) +
2
4
Berechnen Sie E(X3 ) und D 2 (3X1 + 1).
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zweite gezogene Kugel weiß ist unter
der Bedingung, dass die dritte gezogene Kugel schwarz ist.
Aufgabe 2
(7+3=10 Punkte)
a) Die homogene Markoffkette (Xn )n∈N0 auf der Zustandsmenge {1, 2, 3, 4} besitze die Übergangsmatrix


3/4
1/4
0
0
 1/8
5/8 a − b
0 

P =
 0
0
1
0 
1/16 a + b
0
7/16
mit zwei Konstanten a, b ∈ R.
(i) Ermitteln Sie a und b.
(ii) Zeichnen Sie den Übergangsgraphen.
(iii) Berechnen Sie P (X2 = 2 | X0 = 4) und P (X3 = 3, X2 = 2 | X0 = 4).
(iv) Der Anfangszustand der Markoffkette sei X0 = 4. Bestimmen Sie die mittlere Dauer bis
zur Absorption im Rand.
b) Betrachten Sie das folgende Zufallsexperiment:
Zu jedem Zeitpunkt n ∈ N wird ein Würfel geworfen, der auf zwei Seiten mit der Ziffer 0 und
auf vier Seiten mit der Ziffer 1 beschriftet ist. Das Experiment endet, sobald zum ersten Mal
eine der Ziffernfolgen 1111 oder 0011 auftritt.
Geben Sie zur Modellierung dieses Zufallsexperiments durch eine Markoffkette (Xn )n∈N die
Zustandsmenge und den Übergangsgraphen an.
Aufgabe 3
(3+1+3+3=10 Punkte)
a) Sei a > 0. Bestimmen Sie a so, dass die Funktion F : R → R, gegeben durch
(
0,
x≤0
F (x) =
x
1+ax , x > 0,
die Verteilungsfunktion FX einer Zufallsvariablen X ist. Berechnen Sie P (1 < X ≤ 2).
b) Bestimmen Sie die Dichte fX von X.
c)
Wegen P (X ≤ 0) = 0 ist auch Y = ln(X) eine Zufallsvariable. Bestimmen Sie die Dichte fY
von Y .
d) Zeigen Sie, dass fY (y) = fY (−y) für alle y ∈ R gilt. Was ergibt sich damit für den Erwartungswert von Y ? (Die Existenz des Erwartungswertes von Y sei gesichert.)
Aufgabe 4
(2+4+4=10 Punkte)
Es seien (Xj )j∈N unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen. X1 sei gleichverteilt auf dem
N
X
Xj .
Intervall [0, 2b] mit b > 0. Für N ∈ N sei SN :=
j=1
a) Berechnen Sie E(X12 ) und D 2 (SN ).
b) Es sei b > 1. Berechnen Sie lim P (SN < N ).
N →∞
c)
Es sei α ∈ (0, 1). Approximieren Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes die Wahrscheinlichkeit
P |SN − E(SN )| ≥ αE(SN ) .
Welcher Wert ergibt sich für α = 0.01, b = 7, N = 300?
Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung:
x
Φ(x)
0.01
0.504
0.03
0.512
0.05
0.520
0.1
0.540
0.3
0.618
0.5
0.691
Viel Erfolg!
Nach der Klausur:
Die Klausurergebnisse hängen ab Freitag, den 26.03.2010, am Schwarzen Brett neben Zimmer 3A-17 (AllianzGebäude 05.20) aus und liegen unter
www.math.kit.edu/iana1
im Internet. Die Klausureinsicht findet am Mittwoch, den 14.04.2010, von 14:00 Uhr bis 16:00 Uhr im
Benz-Hörsaal statt. Die mündlichen Nachprüfungen finden ab dem 26.04.2010 im Allianz-Gebäude 05.20
statt.