Prof. Dr. Uwe Küchler Sommersemester 2007 Dr. Renate Winkler

Prof. Dr. Uwe Küchler
Dr. Renate Winkler
Institut für Mathematik
Sommersemester 2007
Stochastik I
Lösungsansätze zur 6. Zusatzübung
1) Es sei X eine mit dem Parameter λ > 0 Poissonverteilte Zufallsgröße und n eine
natürliche Zahl mit n ≥ 1. Man zeige, dass gilt
E(X n ) = λE [(X + 1)n−1 ]
Berechnen Sie damit E(X 3 ).
Lösung:
∞
∞
∞
X
X
X
λk
λk+1
λk
= e−λ
= e−λ
kn
(k + 1)n
E(X n ) = e−λ
kn
k!
k!
(k + 1)!
= λe
k=0
∞
X
−λ
k=0
k=1
k=0
k
(k + 1)n−1
λ
= λE(X + 1)n−1
k!
2
E(X ) = λE(X + 1) = λ(λ + 1) = λ2 + λ
E(X 3 ) = λE(X + 1)2 = λE(X 2 + 2X + 1) = λ(λ2 + λ + 2λ + 1) = λ3 + 3λ2 + λ
2) Eine Urne enthalte anfangs eine rote und eine schwarze Kugel. Nacheinander wird eine
der in der Urne befindlichen Kuglen rein zufällig ausgewählt und gemeinsam mit einer
weiteren Kugel derselben Farbe zurückgelegt. Es sei X die Nummer desjenigen Zuges,
bei dem zum ersten Mal eine rote Kugel gezogen wird.
a) Man berechne P (X > n).
b) Man beweise P (X < ∞) = 1, d.h., mit Wahrscheinlichkeit Eins wird irgendwann
eine rote Kugel gezogen.
c) Man bestimme EX.
Lösung Es sei Xi die Zufallsvariable mit Werten in {r, s}, die angibt, ob im i-ten Zug
eine rote oder eine schwarze Kugel gezogen wird. Dann gilt
P (X = k) = P (X1 = s, X2 = s, . . . , Xk−1 = s, Xk = r)
= P (X1 = s) · P (X2 = s|X1 = s) · · · · P (Xk−1 = s|X1 = . . . = Xk−2 = s)
· P (Xk = r|X1 = . . . = Xk−1 = s)
1 2
k−1
1
1
1
1
=
· ····
·
=
= −
2 3
k
k+1
k(k + 1)
k k+1
Pn
Pn
1
1
= n+1
a) P (X > n) = 1 − P (X ≤ n) = 1 − k=1 P (X = k) = 1 − k=1 k1 − k+1
b) P (X < ∞) = P (∪∞
n=1 X ≤ n) = limn→∞ P (X ≤ n) = 1 − limn→∞ P (X > n) = 1
P∞
P∞
P∞
1
1
c) E(X) = k=1 k · p(X = k) = k=1 k k(k+1)
= k=1 k+1
= ∞