¨Ubungen zur Topologie Blatt 4 Markus Szymik, Mark Ullmann
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Übungen zur Topologie
Blatt 4
Markus Szymik, Mark Ullmann
Abgabe: Freitag, 12. November, vor der Vorlesung
18. Folgenkompaktheit. Sei X ein topologischer Raum. Eine Folge in X ist eine
Abbildung a : N → X. Sei x ∈ X. Man sagt, x sei Häufungspunkt der Folge
a falls es für jede offene Menge U , die x enthält, unendlich viele Folgenglieder
von a gibt, die in U liegen. Zeigen Sie: Wenn X kompakt ist, so hat jede Folge
in X einen Häufungspunkt.
19. Möbiusband. Sei X der Raum [0, 2]×[0, 1] und gegeben die Äquivalenzrelation
auf X erzeugt von (0, t) ∼ (2, 1 − t) für t ∈ [0, 1]. Der Quotientenraum M :=
X/ ∼ heißt Möbiusband.
(1) Ist M hausdorffsch? Ist M kompakt?
(2) Basteln Sie ein Möbiusband (mit Papier und Klebstoff) und zerschneiden
Sie das Möbiusband mit einer Schere entlang der Mittellinie in zwei Teile.
20. Eindeutigkeit von Grenzwerten. Seien F = {1/n | n = 1, 2, 3, . . . } und
G = F ∪ {0} Teilräume von R. Zeigen Sie, dass F diskret und G kompakt ist.
Zeigen Sie ferner, dass jede Abbildung a : F → H in einen Hausdorff-Raum
H höchstens eine Fortsetzung zu einer stetigen Abbildung b : G → H hat, also
a = b|F . (Man nennt b(0) dann den Grenzwert von a.)
21. Kompaktifizierung. Seien X, Y kompakte Hausdorff-Räume, f : X → Y
eine Abbildung. Sei q ∈ Y so dass f −1 ({q}) genau ein Element p enthält. Zeigen
Sie: f ist genau dann stetig, wenn die Einschränkung X r {p} → Y r {q} eine
eigentliche Abbildung ist.
22. Aufwickeln. Sei f : R → C die Funktion f (x) := e2πix . Sei S 1 := {x ∈ C |
|x| = 1}. Dann definiert f eine stetige Abbildung R → S 1 . Zeigen Sie:
(1) f ist eine Identifizierung.
(2) Die Einschränkung von f auf [0, 1) ist bijektiv.
(3) Die Einschränkung von f auf [0, 1) ist kein Homöomorphismus.
23. Ziemlich kompakt. Sei X ein topologischer Raum. Sind endliche Vereinigungen von kompakten Teilmengen wieder kompakt? Sind beliebige Vereinigungen
von kompakten Teilmengen wieder kompakt? Sind endliche Durchschnitte von
kompakten Teilmengen wieder kompakt? Sind beliebige Durchschnitte von kompakten Teilmengen wieder kompakt?
