Basisprüfung in Grundlagen der Mathematik I Name - D-MATH

ETH Zürich
Dr. T. Bühler
Sommer 2015
Basisprüfung in Grundlagen der Mathematik I
Studiengänge Chemie, Chemieingenieurwissenschaften,
Interdisziplinäre Naturwissenschaften
Bitte ausfüllen!
Name:
Vorname:
Legi Nr.:
Bitte nicht ausfüllen!
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
8
Total
Punkte
Kontrolle
Vollständigkeit
Bitte wenden!
ETH Zürich
Dr. T. Bühler
Sommer 2015
Wichtig:
• Tragen Sie jetzt Ihren Namen und Ihre Leginummer in das Deckblatt ein.
• Schalten Sie Ihr Mobiltelefon aus und verstauen Sie es im Gepäck.
• Lesen Sie zuerst alle Aufgaben durch. Verweilen Sie nicht zu lange bei einem
Aufgabenteil, der Ihnen Schwierigkeiten bereitet.
• Beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt und schreiben Sie auf
jedes Blatt Ihren Namen. Lassen Sie am Rand genügend Platz für die Korrekturen.
• Begründen Sie Ihre Lösungen und notieren Sie die Zwischenschritte.
• Geben Sie pro Aufgabe nur eine Lösung ab.
• Schreiben Sie nicht mit Bleistift, roter oder grüner Farbe und verwenden
Sie keinen Tipp-Ex.
Zugelassene Hilfsmittel:
• 20 selbstverfasste A4-Seiten
• eine Formelsammlung, ein Wörterbuch
• kein Taschenrechner
• kein Handy
VIEL ERFOLG!
Siehe nächstes Blatt!
1. Betrachte das Anfangswertproblem
(
2
y 0 (x) = y x(x)
2
y(1) = −1
(∗)
a) Bestimme die Lösung y(x) von (∗).
b) Ermittle den Grenzwert lim y(x).
(6 P)
x→∞
2. Bestimme alle Zahlen z ∈ C, welche folgende Gleichung erfüllen
(z − 2)3 = 8.
(6 P)
3. Berechne das Taylorpolynom 3. Ordnung um den Punkt 0 von
x
f (x) = sin
.
1−x
(6 P)
4. Bestimme die allgemeine reelle Lösung von
u00 (x) − 2u0 (x) + u(x) = 2x + x2 ,
x ∈ R.
(9 P)
5. Gegeben sei das Polynom
p(z) = z 6 + z 5 + 3z 4 + 2z 3 + 3z 2 + z + 1.
a) Verifiziere, dass i eine doppelte Nullstelle von p ist.
b) Finde alle Nullstellen von p sowie deren Vielfachheit.
(9 P)
Bitte wenden!
6. Betrachte die Reihe
f (x) =
∞
X
(−1)n+1 xn
n2
n=1
a) Konvergiert f (1)?
b) Konvergiert f (−1)?
c) Für welche x ∈ R konvergiert die Reihe f (x)?
d) Für welche x 6= 0, x ∈ R ist die Reihe f (x) alternierend?
(9 P)
7. Gegeben sei die Kurve
γ(t) = (cos3 (t), sin3 (t)),
t ∈ [0, 2π].
Berechne die von γ eingeschlossene Fläche.
(6 P)
8. Betrachte die beiden Vektorfelder
2 1 2
2
x + 4y
y cos(y) − sin(2x) + 3x2
K(x, y) =
, G(x, y) =
2xy cos(y) − xy 2 sin(y) + e−y
3−x
a) Sind die Vektorfelder K, G wirbelfrei? Begründe die Antwort.
b) Sind die Vektorfelder K, G Potentialfelder? Wenn ja, gib eine Potentialfunktion an, wenn nein: begründe.
c) Berechne die Arbeit beider Vektorfelder K und G (unter Beachtung der
Antwort in Teilaufgabe b)) längs des Weges γ (siehe Figur).
2
γ
0
−1
1
−2
(12 P)