13. Aufgabenblatt zur Vorlesung Analysis 2 (GY/BK)

PD Dr. F. Klinker
SoSe 2017
13. Aufgabenblatt zur Vorlesung Analysis 2 (GY/BK)
Aufgabe 1 (3+2+3 P.)
>0
3
3
Es
 sei M := R × ]0, 2π[ × ]0, π[ ⊂ R und Φ : M → R mit Φ(u, v, w) =
u cos(v) sin(w)
 u sin(v) sin(w) .
u cos(w)
a) Begründen Sie, warum Φ um ein Diffeomorphismus auf das Bild ist, siehe Definition 12.38.

y 2 − x2
Weiter sei f : R3 → R3 mit f (x, y, z) = 2x + 2y + z .
2xy

b) Bestimmen Sie D(f ◦ Φ)
√
.
2, π2 , 3π
4
c) Es sei Ψ die Umkehrabbildung zu Φ. Berechnen Sie die
der Funk√ Determinante
π
,
tionalmatrix von Ψ ◦ f ◦ Φ im Punkt (u0 , v0 , w0 ) =
2, 3π
.
4 4
Aufgabe 2 (4+0+3 P.)
kxk − 1
a) Es sei f : R → R mit f (x) =
. Bestimmen Sie alle Punkte
x1 x2 − x23
in denen f (x) = (0, 0) auflösbar ist, und geben Sie jeweils an, nach welchen
Variablen. Geben Sie in den Fällen, wo es möglich ist, die implizite Abbildung
explizit an.
3
2
b) Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritter Ordnung von f : B1n (0) → R mit
1
f (x) = 1−kxk
2.
c) Geben Sie das Taylorpolynom der Ordnung 2 von f (x, y) =
lungsmittelpunkt (1, 1) an.
1
x2 y 2
im Entwick-
Aufgabe 3 (5+0 P.)
a) Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f (x, y, z) = xyz unter der Nebenbedingung g(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0.
b) Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f (x, y) = sin(x) + sin(y) + cos(x + y).
Aufgabe 4 (0 P.)
Betrachten Sie die Dreiecke 4(ABC) von denen zwei Seitenlängen vorgegeben sind.
Bestimmen unter diesen das Dreieck, dessen Flächeninhalt maximal ist.
a) Gehen Sie dazu wie folgt vor und begründen Sie, warum dieser Weg das Problem
löst.
• Gegeben seien die Seitenlängen AB = `1 und AC = `2 und es seien A =
(0, 0), B = (`1 , 0). Der dritte Punkt sei C = (x, y).
• Bestimmen Sie den Flächeninhalt f (x, y) des Dreiecks 4(ABC) in Abhängigkeit von (x, y).
• Formulieren Sie eine Nebenbedingung g(x, y) = 0 an den Punkt C in
Abhängigkeit von (x, y).
• Lösen Sie das Problem als Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung, indem Sie den Lagrangeparameter einführen.
b) Lösen Sie das Problem klassisch, indem Sie den Flächeninhalt als Funktion einer
Variablen darstellen. Tun Sie dies auf zwei Arten:
• Indem Sie die Nebenbedingung g(x, y) = 0 auflösen und in f (x, y) einsetzen.
• Indem Sie als Variable einen geeigneten Winkel wählen.
Aufgabe 5 (0 P.)
Betrachten Sie alle Drachenvierecke ABCD deren zwei Seitenlängen vorgegeben sind.
Bestimmen unter diesen dasjenige, dessen Flächeninhalt maximal ist.