Formeln Physik I + II Mechanik 1.1 Gleichmäßig

Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
FH-Münster
Physikalische Technik
Formeln
Physik I + II
Mechanik
1.1 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Nr.
Gleichung
Fehlende Größe u. Bedeutung
2.11
v(t) = v0 + at
x – x0
Verschiebung zum Anfangspunkt
2.15
x – x0 = v0*t + ½ at2
v
aktuelle Geschw.
2.16
v2 = v02 +2a(x –x0)
t
Zeitpunkt, Dauer
2.17
x – x0 = ½(v0 + v)t
a
Beschleunigung
2.18
x – x0 = vt - ½ at2
v0
Anfangsgeschwindigkeit (2.11 in 2.15)
analog für die x-, y-, z-Komponenten im 3-dimensionalen Fall.
Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ergibt eine Zahl (Skalar).
a→ b→ = a→ b→cos θ
.
Projektion von a→ auf b→
.
Beträge
a = (ax2 + ay2 + az2)½
Winkel
θ = arccos[(axbx + ayby + azbz)/ab]
Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren a→ , b→ ergibt einen neuen Vektor c→.
c→ = a→ x b→
Es gilt 1)
2)
c = ab sin θ , θ kleinerer Winkel
c→ senkrecht auf a→ und b→
rechte Hand Regel:
Relativbewegung:
Ort des Autos` P:
xPA
= xBA + xPB
Geschwindigkeit
vPA
= vBA + vPB
vBA : Geschwindigkeit Bezugssystem B relativ zu Bezugssystem A
Beschleunigung
aPA = aPB
denn vBA = konstant
1.2 Kräfte
Kraft
F→ = m a→
F→ = Fx ex→ + Fy ey→ + Fz ez→ , Fx = max , Fy = may , Fz = maz
Reibungskraft:
f→ = - F→x
1
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fmax = µ N
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µ: Haftreibungskoeffizient, N: Normalkraft
Zentripetalbeschleunigung
a = v2/r
Zentripetalkraft
F = mv2/r
(je nur die Beträge)
1.3 Energie & Arbeit
Kinetische Energie
EKin = ½ mv2
Arbeit
W = F→ d→
Leistung
P = dW/dt
.
(Skalarprodukt)
P = F→ v→
.
Potenzielle Energie
U(y) = mg y (Gravitation)
Federkraft
F→ = -k d→
Pot. Federenergie
U(x) = ½ kx2
Energieerhaltung
Emech = Ekin + U
Kraft & pot. Energie
F(x) = – dU/dx
.
(Hook`sches Gesetz)
(Minuszeichen beachten)
1.4 Impuls
p→ = m v→
Impuls
F→ = dp→/dt
(Zweites Newton`sches Axiom)
Pi→ = Pf→
i: Anfang, f: Endzustand
Winkel
θ = s/r
s: Bogensegment, für kleine Winkel
Geschw.
ω = dθ/dt
Beschl.
α = dω/dt = d2θ/dt2
Impulserhaltung
1.5 Rotation
Rotation
Translation
Unbekannte
v(t) = v0 + at
x – x0
x – x0 = v0t + ½ at2
v
Rotation
θ - θ0
ω (t) = ω0 + αt
θ - θ0 = ω0 t + ½αt2
ω
Vektorielle Darstellung:
Ort
dr→ = dθ→ × r→
Geschw
v→ = dr→/dt = ω→ × r→
.
(Details siehe Vorlesung)
(für kleine Winkel)
2
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Beschl.
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a→ = dv→/dt = d/dt(ω→ × r→) => a = α r + ω2r
Trägheitsmoment:
I = Σ miri2
Satz v. Steiner
I = IS + Mh2
Rotationsenergie
Ekin = ½ I ω2
Drehmoment
T→ = r→ × F→ = rF sinθ
T=I
α
Translation (feste Richtung)
Rotation (feste Achse)
θ
Ort
x
Winkel
Geschwindigkeit
v = dx/dt
ω = dθ/dt
Beschleunigung
a = dv/dt
α = dω/dt
Masse
m
2.Newton. Axiom
F = ma
T=Iα
Arbeit
W = ∫ F dx
∫ T dθ
Kin. Energie
Ekin = ½ mv2
Ekin = ½ Iω2
Leistung (F konst)
P=F v
Trägheitsmoment
.
I
.
.
P=T ω
(T konst.)
Drehimpuls
l→ = (r→ × p→) = rp sinθ
Drehmoment & Impuls
T→ges = dl→ / dt
Drehimpuls starrer Körper
L=ωI
Translation
.
Rotation
Kraft
F→
Drehmoment T→ = r→ × F→
Impuls
p→
Drehimpuls
l→ = r→ × p→
Impuls
P→ = Mv S →
Drehimpuls
L→ = Iω→ , für starren Körper
2.newt. Axiom
F→ = dP→/dt
T→ = dL→/dt
Erhaltungssatz
P→ = konstant
L→ = konstant
Wenn System isoliert, abgeschlossen
3
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2. Fluide:
Dichte
ρ = m/V
Druck
p = F→/A Skalar ohne Richtungsabhängigkeit
Hydrostat. Druck
p = p0 + ρgh
Archimed. Prinzip
mFg→ = FA→
Thermodynamik
Temperatur: T3 = 273,16 K = 0oC
1Kelvin = 1 / 273,16 te Teil der Differenz Tripelpunkt - Nullpunkt
Längenausdehnung:
∆L = Lα ∆T
Spezifische Wärme:
Q = cm ∆T
Ideales Gasgesetz:
pV = nRT = NkT
Arbeit des Gases:
W = Vi ∫ Vf pdV
1. Hauptsatz
dEint = dQ – dW
Freiheitsgrade, T & Eint
Eint = f/2 kT
Adiabate:
pV γ = konstant
γ = Cp / CV
Prozess
konst. Größe Weg
Ergebnisse
.
Isobar
p
1
W = pdV, Q = nCpdT
Isotherm
T
2
Q = W = nRT ln{Vf/Vi}, dEint =0
3
Q = 0, W = - dEint
4
W = 0, dEint = nCVdT
Adiabatisch
pVγ , TVγ-1
Isochor
V
p
1
4
2
3
V
Entropie
S=
Q
T
4
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Schwingung & Wellen
1.1
Ungedämpfte harmonische Schwingung
m
∂2x
+ kx = 0
∂t 2
Differenzialgleichung (Dgl)
x(t) = x0 cos(ωt + ϕ) Lösung der Dgl., Bewegungsform
x(t):
Auslenkung, Ort
ändert sich
t:
Zeit
läuft als Variable
ωt + ϕ:
Phase
x0
Amplitude, maximale Auslenkung
ω= 2πf
Winkelgeschwindigkeit
ϕ:
Phasenkonstante
T = 2π/ω
Periodendauer, beachte ω , ϕ immer in rad angeben!
Allgemein gilt für harmonische Schwingung:
a(t) = - ω2 x(t)
Beschleunigung a(t) ist proportional zur Auslenkung x(t)
Eigenfrequenz
ω = (k/m)½
Gesamtenergie
E = ½ k x02
(Federsystem)
Einfaches Pendel
ω = (g/L)½
g: Gravitationskonstante, L: Pendellänge
Torsionspendel
ω = (κ/I)½
I: Trägheitsmoment, κ: Torsionskonstante
2. Gedämpfte Schwingung
Kräfte ma = -kx – bv
Dgl.
(d2x/dt2) + 2δ(dx/dt) + (k/m) x = 0
Lsg:
x(t) = x0 . exp{-δt}. cos(ωt + ϕ)
ω = (k/m – δ2 )½
δ = b/2m
1) Schwingfall: 4km > b2 => ω > 0
2) aperiodischer Grenzfall: 4km = b2 => ω = 0
3) Kriechfall: 4km < b2 => ω imaginär
5
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3. Erzwungene Schwingung
zwei schwingende Systeme a) System mit eigener Kreisfrequenz ω0, b) äußere anregende
Kraft Fa mit Kreisfrequenz ωa
m(d2x/dt2) + b(dx/dt) + kx
Kräfte
Trägheitskraft
Rückstellkraft
Externe
Kraft
(d2x/dt2) + 2δ(dx/dt) + (k/m) x = Fa/m cos(ωa t)
Dgl.
Lsg:
Reibungskraft
= Facos(ωa t)
x(t) = x0 cos(ωat + ϕ)
Ortes des Teilchens für t >> 1/δ
x0 = Fa/[m2(ω02 - ωa2)2 + b2ωa2]½
Amplitude
ω0 = (k/m)½
Eigenfrequenz ohne Dämpfung
ωr = (ω02 - 2δ2)½
Eigenfrequenz mit Dämpfung
ϕ = arctan{2δωa /(ω02 - ωa2)}
4 Wellen
räumlich und zeitlich periodischer Vorgang
Auslenkung
y(x, t) = y0 sin(kx - t)
Amplitude
y0
Phase
kx – t Argument der Sinusfunkt.
ω
max. Auslenkung aus Gleichgewicht
ω
Wellenlänge
räumlicher Abstand zwischen zwei Wiederholungen der Wellenformen
λ
gilt
y(x, 0) = y(x + )
λ
Wellenzahl
k=2 /
Periode
T
Kreisfrequ.
[k] = rad/m
λ
π
ω
zeitlicher Abstand zwischen zwei Wiederholungen der Wellenfront
= 2 /T
π
Phasengeschwindigkeit:
[ ] = rad/s
ω
c = dx/dt = /k = λf
ω
Geschw. eines Wellenpunktes
u = ∂y/∂t
Gemittelte Leistung P (Transportrate) der Welle
P = ½ µcω2y02
µ = M/L Massendichte des Seils, c: Phasengeschwindigkeit
P ~ y02
y0 = Amplitude
ω: Kreisfrequenz
6
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5 Interferenz
zwei identische Wellen y1(x, t) = y2(x, t) laufen in gleiche Richtung einziger Unterschied:
Phasenkonstante ϕ:
y1(x, t) = y0 sin (kx - t)
ω
y2(x, t) = y0 sin (kx – t+ ϕ)
ω
Interferenz:
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t)
y(x, t) = [2 y0 cos ½ϕ] * sin (kx – t + ½ϕ)
ω
Auslenkung
Amplitude
Schwingungsterm
Sinus-Welle y(x, t) mit: 1) Phasenkonst.
½ϕ
2) Amplitude 2y0cos½ϕ, abhängig von der Phase beider Wellen
Fall a) ϕ = 0 beide Wellen in Phase
=>
y0
y(x, t) = 2 y0 * sin (kx – t)
x
ω
doppelte Amplitude, konstruktive Interferenz
y2(x, t)
Fall b) ϕ = 180 beide Wellen außer Phase
=>
y0
y(x, t) = 0 da cos 180 = 0
y1(x, t)
0
immer & überall Null, destruktive Interferenz
Der Gangunterschied ∆ ist die Phasendifferenz ϕ von zwei gleichen Wellen gemessen in der
Wellenlänge λ. Die Welle wiederholt sich exakt bei ϕ = 2π bzw. ∆ = λ
6 Stehende Welle
=>
y`(x, t) = sin (kx) * 2 y0 cos t
ω
Auslenkung
Amplitude
Schwingungsterm
Knoten:
sin(kx) = 0
=>
kx = n ,
n = 0, 1, 2, 3, …..
Bäuche:
sin(kx) = 1
=>
kx = (n + ½ ) ,
π
π
n = 0, 1, 2, 3, ……
stehende Wellen bilden sich aus, wenn:
Wellenlänge:
Frequenz:
λ
= 2L/n,
n = 1, 2, 3, …..
f = c/ = nc/(2L), n = 1, 2, 3, ….
λ
n = 1: Grundschwingung (1. Harmonische)
n = 2: erste Oberschwingung (2. Harmonische) usw.
7
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7.1 Schallwellen
Welle
s(x, t) = s0 cos(kx - t)
ω
Auslenkung = Amplitude x Schwingungsterm
Amplitude
s0
max. Auslenkung der Luftmoleküle aus Gleichgewicht
Phase
kx – t
ω
Wellenlänge
räumlicher Abstand von zwei gleichen Über- bzw.
λ
Unter-Druckbereichen,
Druck-Welle
hier s0 <<
λ
∆p(x, t) = ∆p0 sin(kx - t)
(Druckdifferenz zu Normaldruck)
∆p0 = (c
c: Schallgeschwindigkeit, : Dichte
ω
)s0
ω
ρ
Kompressionsmodul: K =
ρ
∆p
∆V V
Druckänderung pro relativer Volumenänderung
K
c=
Schallgeschwindigkeit:
Massendichte
ρ
ρ
Lautstärke
ist ein uneinheitlicher, subjektiver Begriff
Schallintensität:
Energie-Übertragungsrate (Leistung P) pro absorbierender Fläche A
I=
I=
P
A
PQ
4π r
ω
ρ
Schallintensität einer Punktquelle nimmt mit 1/r2 ab
2
β = (10dB) log
Schallpegel
I = ½ c 2 s0 2
[P] = W/m2
I
I0
Dezi-Bell
I0 = 10-12 W/m2
untere Wahrnehmungsgrenze
7.2 Schwebung
Überlagerung von 2 Schwingungen s1(t) = s0 sin( 1t), s2(t) = s0 sin( 2t), mit
ω
ω
ω
2
≠
ω
1
s(t) = s1(t) + s2(t) = 2s0 cos `t *cos t
ω
ω
=2 `=
ω
Schwebung
ω
ω
1-
ω
2
, 2TSchweb = T`
7.3 Doppler-Effekt
Prinzip: Sender und Empfänger bewegen sich relativ zueinander
f `= f
c ± vD
c ± vS
f: Frequenz des Senders,
8
f `: Frequenz bei Relativbewegung
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c: Schallgeschwindigkeit in Luft
vD: Detektor-Geschwindigkeit relativ zur Luft
vS: Sender-Geschwindigkeit relativ zur Luft
Vorzeichen so wählen, dass f `> f wenn Detektor & Sender aufeinander zu laufen
Elektrodynamik
1.1 Coulombsches Gesetz
Zwei Teilchen stehen im Abstand r und tragen die Ladungen q1 und q2. Dann wirkt zwischen
ihnen die abstoßende / anziehende elektrostatische Kraft
F=
ε
0
1
q1 q 2
4πε 0
r2
= 8,85 10-12 C/(Nm)
(Dielektrizitätskonstante)
Kugelschalentheorem
1) Eine homogen über eine Kugelschale verteilte Ladung wirkt auf ein Teilchen außerhalb so,
als sei die gesamte Ladung im Zentrum der Kugel lokalisiert.
2) Die resultierende elektrostatische Kraft auf ein geladenes Teilchen im Zentrum einer
homogen geladenen Kugelschale ist Null (Abschirmung).
Gleichverteilung: Ladung auf eine elektrisch leitende Fläche verteilt sich homogen.
2 Elektrisches Feld
r
r
F = q0 E
Kraftwirkung auf Probeladung q0 durch Feld E übermittelt
Probeladung
q0 ist so klein, dass sie das E-Feld nicht stört, testet E-Feld aus
Punktladung q
E=
1
q
4πε 0 r 2
2.1 Elektrischer Dipol
qd
 2d 
=
E-Feld auf Dipolachse


4πε 0 z  z  2πε 0 z 3
r
r
p = qd
Dipolmoment, q: Ladung, d: Ladungsabstand
r r r
T = p×E
Drehmoment im externen E-Feld
E=
q
2
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2.2 Ladungsverteilung
Objekt
Zeichen
Einheit
Punkt-Ladung
q
C
Lineare Dichte
λ
C/m
Flächendichte
σ
C/m2
Raumdichte
ρ
C/m3
3. Gaußscher Satz
r
r
Φ = ∫ E • dA
elektrischer Fluss durch Fläche A
Die in einer geschlossenen Fläche befindliche gesamte Ladung q ist gleich dem durch die
Fläche tretenden elektrischen Fluss
r r
0 = ε 0 ∫ E • dA = q
E-Feld
Φ
ε
geschl. Fläche
q einge-
q
(für Vakuum, Luft)
schlossen
4. Elektrisches Potenzial
Spannung zwischen den Punkten x1 und x2:
x2
r
r
U 12 = − ∫ E • d x
[U] = Volt = J/C
x1
Arbeit
W12 = qU12
Potenzielle Energie
Ex =
E-Feld
Eel = qU
− ∂U ( x, y, z )
,
∂x
Punktladung U (r ) =
Transport der Ladung q im Potenzial U(x) von 1 nach 2
bezogen auf Nullniveau bei x =
Ey =
− ∂U ( x, y, z )
,
∂y
Ez =
∞
U(x = ) = 0
∞
− ∂U ( x, y, z )
∂z
Ableitung
1
q
4πε 0 r
5.1 Kondensator
Definition:
Ein Kondensator besitzt zwei voneinander isolierte Leiter beliebiger Form.
┤
Zeichen:
├
(Ursprung Plattenkondensator)
Ladung:
q+, q- betragsmäßig gleich, befindet sich je auf den beiden Platten
Spannung:
U zwischen den Platten
Kapazität:
C = q/U
Einheit Farad [C] = F = C/V
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C=
Plattenkondensator
ε0 A
d: Plattenabstand, A: Plattenfläche
d
Zylinderkondensator C = 2πε 0
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L
ln (b a )
a: Außenradius innerer Zylinder,
b: Innenradius äußere Zylinder, L: Zylinderlänge
Ersatzkondensator für Schaltung von Kondensatoren mit Kapazität Ci:
n
C = ∑ Ci
Parallel
i =1
Reihe
n
1
1
=∑
C
i Ci
Energie
E el =
Energiedichte
ρ el = ε 0 E 2
1
CU 2
2
gespeichert im E-Feld des Kondensators
1
2
5.2 Dielektrika
C
Dielektrizitätskonstante des Materials
C vac
r
r
ε 0 ∫ ε E • dA = q
Gaußscher Satz für Dielektrika
ε=
r
r
D = εε 0 E
D = dielektrische Verschiebung, Polarisation des Dielektrikums
Piezo-Effekt: Spannung in Kristallachsenrichtung anlegen und Kristall staucht / dehnt sich
E =δ
∆x
, oder U = ∆x ,
x
δ
δ
~ 1010 V/m
piezoelektrischer Koeffizient
6.1 Strom
Strom I ist der effektiver Ladungstransport q in einer Zeit t durch eine Fläche A
Strom
I=
dq
dt
Stromdichte
j=
I
A
j=
I
= e {n • v{
D
A
Ladungsträ −
Driftgeschw.
[I] = C/s = A
(Ampere)
Strom durch Querschnittsfläche
gerdichte
Widerstand
R=U/I
[R] = V/A =
(Ohm)
Ohmscher Widerstand: R ist unabhängig von Strom & Spannung
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ρ=
E
j
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[ρ ] = Ω m
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Spezifischer Widerstand als Materialeigenschaft
ρ = ρ 0 (1 + α T )
n(T ) = N exp{
Temperaturabhängigkeit
−W
} n: Ladungsträgerdichte, W: Elektronen-Bindungsenergie
2kT
k = 1,38x10-23 J/K
Leitfähigkeit σ =
Leistung
1
ρ
P = UI
=>
Bolzmannkonstante
r
r
j =σ E
[P] = AV = C
J
=W
s C
6.2 Stromkreis-Regeln
Maschenregel Die Summe aller Potenzialänderungen beim Durchlaufen eines geschlossenen
Weges in einem Stromkreis (Masche) ist Null. (Folge der Energieerhaltung)
Widerstandsregel: Durchläuft man einen Widerstand in Stromrichtung, so fällt das Potenzial
um U = - IR, läuft man gegen die Stromrichtung, so wächst es um U = +IR.
Spannungsregel: Läuft man durch eine ideale Spannungsquelle vom neg. zum pos. Pol so
wächst das Potential um UBat .
Verzweigungsregel (Kirchhoffsche Satz): im Verzweigungspunkt eines Stromkreises ist die
Summe aller eingehenden Ströme gleich der Summe aller ausgehenden Ströme.
Reihenschaltung: (es gibt nur einen Weg für den Strom). Liegt an einer Reihe von Widerständen Ri die Spannung U, so fließt durch jeden Widerstand der gleiche Strom.
Die Potenzialdifferenzen der Einzelwiderstände summieren sich zu U.
R = ∑ Ri
Ersatzwiderstand
Parallelschaltung: über allen Widerständen besteht die selbe Potenzialdifferenz. Der Gesamtstrom ist die Summe der Einzelströme.
n
1
1
=∑
R i =1 Ri
Ersatzwiderstand
12
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6.3 Ladevorgang am Kondensator
Aufladen
q(t ) = CU B 1 − e

Entladen
q(t ) = q0 e
Zeitkonstante
τ
−t
−t
RC


mit CUB = q0 , UB = Batteriespannung
RC
= RC
7 Magnetischer Fluss & Lorentzkraft
Definition des magnetischen Flusses B: Lorentz-Kraft auf Ladung q der Geschwindigkeit v
r
r r
F = qv × B
Lorentzkraft
F senkrecht zu B und zu v (Rechte-Hand-Regel UVW)
[B] = Tesla,
1 T = N/(A m), 1 T = 104 Gauß
8.1 Magnetfeld von Strömen
Magnetische Kraft auf Strom I im geraden Leiter der Länge L im homogenen B-Feld
r
r r
F = IL × B
8.2 Biot-Savartsches Gesetz
r
Leiterelement ds mit Strom I parallel ds
r
Magnetfeld dB am Punkt P
r µ 0 I dsr × rr
dB =
4π
r3
gegeben:
gesucht:
0
= 1,26 x10-6 Tm/A
B=
µ0 I
2πR
(Permeabilität für Vakuum)
B-Feld des ∞ langen geraden Leiters im Abstand R mit Strom I
8.3 Amperesches Gesetz
r r
B
∫ • ds = µ 0 I
um
r r
B • ds entlang einer geschlossenen Schleife, die alle Ströme umschließt, die zu Ium
beitragen
8.4 Magnetfeld einer Spule
Feld im Inneren Spule, mit Länge L >> dem Durchmesser
13
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N
L
B = µ0 I
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N: Windungszahl, L: Spulenlänge, I: Strom
8.5 Magnetischer Dipol
r
µ
Dipolmoment
r r r
T =µ×B
Drehmoment des Dipols im B-Feld
r r
E Mag (θ ) = − µ • B
Magnetische Energie des Dipols im B-Feld
9.1 Faradaysches Induktionsgesetz
r
r
Φ B = ∫ B • dA
Magnetischer Fluss durch Fläche dA
[
Φ
dΦ B
dt
U i = −N
B]
= Tm2 = Wb = Weber
induzierte Spannung in Spule mit N Windungen,
durchsetzt mit Fluss
Φ
B
Lenzsche Regel: Ein induzierter Strom ist so gerichtet, dass das von ihm erzeugte B-Feld der
Änderung des magnetischen Flusses entgegenwirkt, die den Strom hervorruft.
r r dΦ B
E
∫ • ds = dt
Induziertes E-Feld
9.2 Induktivität
L=
NΦ B
I
[L] = Tm2/A = H = Henry, N: Windungszahl, I: Spulenstrom
L = µ 0 n 2 lA
U i = −L
dI
dt
Zylinderspule mit Länge l, Windungungsdichte n, Querschnitt A
Selbstinduktion in einer Spule der Induktivität L
9.3 RL-Glieder
Verzögerung von An- / Aus-Schaltvorgängen im Stromkreis mit Widerstand R & Spule L
U
I (t ) = B
R
An-Schalten
τ
L
= L/R
R
− t 

1 − e L 




Zeitkonstante
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U
Aus-Schalten I (t ) = B
R
 − RL t 
e 




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mit I0 = UB/R
9.4 Energie des Magnetfeldes
E mag =
1 2
LI
2
magn. Energie in Spule
ρ mag =
B2
2µ 0
Energiedichte
9.5 Transformator
Primärspule P läuft mit Wechselstrom, Eisenkern führt den Fluss durch zwei Spulen mit
Windungszahlen NP ≠ NS. Spannungs- & Stromverhältnisse der Primär- & Sekundärseite der
Spule berechnen sich nach:
US NS
=
,
UP NP
IS NP
=
IP NS
10 Magnetismus der Materie
r
r
B = µ 0 µ H Vakuum
µ = (1 + κ )
κ
=1
Permeabilitätskonstante (ohne Einheit)
≠0
Suszeptibilität (ohne Einheit)
r
r
r
B = µ 0 ( H + M ) externes Feld + Feld der Materie
11.1 LCR Schwingkreis
=>
Lsg
L
d 2q
dq 1
+R
+ q=0
2
dt C
dt
q (t ) = q 0 e
ω=
−
R
t
2L
DGL gedämpfte Schwingung
cos(ω t + ϕ )
1
 R 
+ 
LC  2 L 
2
Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung
11.2 Erzwungene Schwingung
L
d 2q
dq 1
+R
+ q = U a sin ω a t
2
dt C
dt
Dgl.
Lsg. für Zeiten t >> , lange nach Einsschaltvorgang
τ
15
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Ua
Z
Strom
I=
Impedanz
Z = R2 + (X L − X C )2
Physikalische Technik
Re{I(t)} = I0sin( at - )
ω
φ
(Scheinwiderstand)
Re{Z} = Wirkwiderstand
Im{Z} = Blindwiderstand
R
ohmscher Widerstand
X L = Lω a
induktiver Widerstand
XC =
1
Cω a
XL − XC
R
tan ϕ =
Phase
Effektivwerte: I eff =
kapazitiver Widerstand
I
2
, U eff =
Pgem = U eff I eff cos ϕ
Leistung
U
2
,
(Wechselstrom)
cos
= Leistungsfaktor
φ
12 Licht
Elektro-Magnetische Welle
E(t) = E0sin(kx – t), B(t) = B0sin(kx – t)
ω
ω
c = 299 792 452 m/s
Lichtgeschwindigkeit
r 1 r r
S=
E×B
Pointingvektor = Leistung pro Fläche
µ0
I = S gem =
1 1 2
E0
µ0c 2
I = I0cos2ω
Intensität hinter 2 Polarisatoren unter dem Polarisationswinkel ω
12.2 Geometrische Optik
n=
c
cmat
α = α`
Brechungungsindex, cmat: Lichtgeschwindigkeit in der Materie
Reflexion: Einfallswinkel = Ausfallswinkel
16
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
n1 sin θ 2
=
n2 sin θ1
FH-Münster
Physikalische Technik
Brechung bei Lichtübergang vom Medium mit Brechungsindex n1 (Einfallswinkel
θ
1)
in das Medium mit Brechungsindex n2 ( 2: Brechungsθ
winkel)
sin α T =
n2
Grenzwinkel für Totalreflexion bei Lichtübergang von Medium 2 => 1
n1
1
1
f
=
β=
1
g
+
b
y′ b
=
y g
Linsengleichung, f: Brennweite, g: Gegenstandsweite, b: Bildweite
Abbildungsmaßstab, y`: Bildgröße, y: Gegenstandsgröße
′
ε ′ y1 / f 2 f 1
Γ= =
=
ε y′/ f
f2
1
1
Kepplerfernrohr
13 Wellenoptik
Zur Interferenz generell siehe auch Thema Wellen. Licht der Wellenlänge
Doppelspalt oder Gitter mit Spaltabstand g. Die im Winkel
λ
fällt auf einen
α hinter dem beugenden
Objekt beobachtete Interferenz ist:
konstruktiv
mλ = g sin α
destruktiv
2m + 1
λ = g sin α
2
m = 0, ± 1, ± 2,....
Auflösungsvermögen:
Prisma
λ
dn
=d
dλ
dλ
d: Basisbreite des Prismas, n: Brechungsindex, : Wellenlänge
Gitter
λ
≤ mN
dλ
m: Beugungsordnung, N: Gitterstriche
λ
17