Universität Bielefeld Bielefeld, den 11.7.2017 Prof. Dr. Thomas

Universität Bielefeld
Prof. Dr. Thomas Dahm
Bielefeld, den 11.7.2017
Übungen zur Theoretischen Festkörperphysik
SS 2017
Blatt 12
Aufgabe 23: Unteres kritisches Magnetfeld Bc1 (8 Punkte)
Typ II Supraleiter besitzen ein oberes und ein unteres kritisches Magnetfeld. Oberhalb
des unteren kritischen Feldes können Vortices in den Supraleiter eindringen. Das untere kritische Magnetfeld wird dadurch bestimmt, dass die Gibbsche freie Energie des
Supraleiters mit und ohne einen Vortex gerade gleich groß sind:
Gs |kein Vortex = Gs |ein Vortex
Betrachten Sie einen starken Typ II Supraleiter, dessen Eindingtiefe λ sehr viel größer
ist als seine Kohärenzlänge ξ. In diesem Fall darf man die Energie des Core-Bereiches
des Vortex vernachlässigen und annehmen, dass der Betrag des Ginzburg-Landau Ordnungsparameters |ψ| räumlich konstant ist (jedoch nicht seine Phase).
a) Zeigen Sie, dass man in diesem Fall für die Differenz der Gibbschen freien Energien
schreiben kann:
Z
2
1
2
2 ~
3
~
~
~
~
d r B + λ ∇ × B − 2µ0 H · B
∆G = Gs |ein Vortex − Gs |kein Vortex =
2µ0
~ = B(r)êz die zylindersymmetrische Magnetfeldverteilung um den Vortex ist.
wobei B
~ ×B
~ ausgeHinweis: die kinetische Energie kann durch die Suprastromdichte ~js = µ10 ∇
drückt werden.
(3 P.)
b) Zeigen Sie, dass
µ0 1
Bc1 =
Φ0
wobei
Z
2 1
2
2
~ +λ ∇
~ ×B
~
1 =
dS B
2µ0
die Vortex-Energie pro Längeneinheit ist und Φ0 das Flußquant.
(2 P.)
c) Die Magnetfeldverteilung in der Umgebung des Vortex ist durch folgende Näherungsformeln gegeben:
 Φ0 λ
 2πλ2 ln r + 0.12 ξ r λ
q
B(r) =
Φ0
πλ −r/λ

e
rλ
2πλ2
2r
Schätzen Sie Bc1 ab, indem Sie den wichtigsten Beitrag zu 1 aus dem Bereich ξ < r < λ
berechnen.
(3 P.)
b.w.
Aufgabe 24: Drittes kritisches Magnetfeld Bc3 (5 Punkte)
Oberhalb des oberen kritischen Magnetfeldes Bc2 wird in einem Typ II Supraleiter der
Vortexzustand energetisch ungünstiger als der Normalzustand. Saint-James und de Gennes konnten jedoch zeigen, dass bis zu einem dritten kritischen Magnetfeld Bc3 > Bc2
noch Oberflächensupraleitung möglich ist. Schätzen Sie Bc3 mit Hilfe der GinzburgLandau Theorie folgendermaßen ab:
Betrachten Sie einen supraleitenden Halbraum im Bereich x > 0. Das äußere Magnetfeld
weise in z-Richtung und sei größer als Bc2 , so dass es voll in den Supraleiter eindringt.
Zeigen Sie, dass die Differenz der Gibbschen freien Energie zwischen dem supraleitenden
und dem Normalzustand in diesem Fall gegeben ist durch

! 2 
2 Z ∞
~
~
~ ψ 
− 1 |ψ|2 + ∇ − 2π A
dx
∆G = Gs − Gn =
i
2m∗ 0
ξ2
Φ0
~ = Bxêy und verwenden Sie als Variationsansatz
Wählen Sie die Eichung A
2
ψ = e−ax eiky y
wobei a und ky zwei Variationsparameter seien. Dieser Ansatz beschreibt einen supraleitenden Zustand, der an der Oberfläche x = 0 lokalisiert ist.
Bestimmen Sie zunächst den Parameter ky durch Minimierung von ∆G und zeigen Sie,
dass dann gilt
r
B 2π
ky =
Φ0
a
Minimieren Sie den verbliebenen Ausdruck von ∆G bezüglich a. Das dritte kritische
Feld Bc3 ist dadurch bestimmt, dass ∆G = 0 wird. Hinweis: Man kann die Rechnung
vereinfachen, indem man die Minimierung bezüglich a und die Nullstellensuche ∆G = 0
gleichzeitig ausführt. Welchen Wert erhalten Sie für den Parameter a und Bc3 ? Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem exakten Wert
Bc3 = 1.695Bc2
Besprechung am 18.7.