Theoretische Physik III (Elektrodynamik)

Theoretische Physik III (Elektrodynamik)
Prof. Dr. Th. Feldmann
23. Mai 2013
Kurzzusammenfassung – Vorlesung 10 vom 10.5.2013
Energie der Multipole einer Ladungsverteilung im externen elektrischen Feld
• Energiebeitrag einer allgemeinem Ladungsverteilung im äußeren elektr. Feld:
Z
W =
d3 x0 ρ(~x0 ) φext (~x0 )
• Wenn ρ(~x0 ) 6= 0 nur für kleine |~x0 |, kann φext (~x0 ) wieder entwickelt werden
!
2
X
1
∂
φ
ext
~ ext +
φext (~x) =
φext + ~x · ∇φ
xi xj
+ ...
2 i,j
∂xi ∂xj
(1)
(2)
~
x=0
Das externe Potential erfüllt im Bereich, wo ρ(~x0 ) 6= 0, die homogene Laplace~ ·E
~ ext = 0. Addiere Null in der Form
Gleichung, ∆φext = −∇
0 = r2 δij (∇i Ejext )~x=0
zu obiger Gleichung, so dass
φext (~x) =
X
~ ext − 1
φext − ~x · E
3xi xj − r2 δij (∇i Ejext ) + . . .
6 i,j
!
(3)
~
x=0
• Einsetzen in Energieintegral ergibt gerade wieder die Multipole der Ladungsverteilung,
1X
ext
~
Qij (∇i Ej ) + . . . (4)
W ' q φext − p~ · Eext −
6 ij
~
x=0
• Falls Multipole frei beweglich → Ausrichtung im elektrischen Feld, so dass W minimal! Insbesondere richten sich elektrische Dipole parallel zu elektrischem Feld aus,
~ → −|~p| |E|.
~
so dass W = −~p · E
1
Elektrostatik in Materie
Anwesenheit elektrisch polarisierbarer “Objekte” (z.B. Moleküle) hat Einfluß auf elektrostatische Eigenschaften. Fasse im Folgenden polarisierbare Objekte wieder als kontinuierliche Verteilung auf, so dass wir die Polarisation P~ (~x) als Dichteverteilung einführen.
• Der Gesamtbeitrag der Ladungen (Monopole) und Dipole zum Potential lautet dann
"
#
Z
0
~ (~x0 ) · (~x − ~x0 )
ρ(~
x
)
P
φ(~x) =
d3 x0
+
(5)
|~x − ~x0 |
|~x − ~x0 |3
(beachte: jetzt muss nicht mehr |~x0 | |~x| gelten)
• Wir schreiben den Zusatzterm um (Polarisation verschwinde im Unendlichen):
Z
Z
~ x0 ) · (~x − ~x0 )
1
3 0 P (~
3 0 ~
0
~ ~x0
dx
=
d x P (~x ) · ∇
|~x − ~x0 |3
|~x − ~x0 |
Z
1
3 0
~
~
= − dx
∇ · P (~x0 ) .
0
|~x − ~x |
(6)
Somit gilt
Z
φ(~x) =
Z
x0 )
− divP~ (~x0 )
3 0 ρeff (~
≡
d
x
,
|~x − ~x0 |
|~x − ~x0 |
x0 )
3 0 ρ(~
dx
(7)
d.h. neues Potential (in Anwesenheit von P~ (~x)) erfüllt modifizierte Poisson-Gleichung:
~
∆φ = −4π ρeff = −4π ρ − divP .
(8)
• Für elektrisches Feld heißt das entsprechend:
~
~
~ = 4πρ ,
div E + 4π P ≡ divD
(9)
(Gauß-System)
~ =E
~ + 4π P~ “dielektrische Verschiebung” heißt.
wobei das effektive Feld D
Die elektrostatischen Grundgleichungen in Anwesenheit von Materie lauten demnach
~ = −grad φ
E
~ = 4π ρ
div D
~ = 0)
(rotE
~ =E
~ + 4π P~ )
(D
(10)
(11)
• Vgl. Beispiel mit einzelnem Dipol: P~ ist selbst vom vorhandenen elektrischen Feld
abhängig. In erster Näherung können wir einen linearen Zusammenhang annehmen
~ – ansonsten nicht-lineare Rückkopplungseffekte)
(für hinreichend kleine elektrische Felder E
~ x)) ' χe (~x) E(~
~ x)
P~ = P~ (~x; E(~
(12)
mit “elektrischer Suszeptibilität” χe .
Für (abschnittsweise) homogene Medien gilt χe (~x) = χe = (abschnittsweise) const.
2
• Daraus erhält man
~ =E
~ + 4π P~ = E
~ (1 + 4π χe ) ≡ E
~
D
(13)
mit der “Dielektrizitätskonstanten” . Für konstantes gilt dann
~ ~
~ ·E
~ = − ∇ · D = −4π ρ ,
∆φ = −∇
(14)
~
was zunächst nur einer Umnormierung der Ladung als Quelle für das E-Feld
entspricht.
Randbedinungen an Grenzflächen zwischen Dielektrika
An Grenzflächen mit verschiedenem Wert der Dielektrizitätskonstanten, 1 6= 2 , gelten
wieder Stetigkeitsbeziehungen zwischen den Feldern, die wir analog zum Beispiel mit der
Metallplatte analysieren können:
~ = 0 und Stokes folgt wieder (Skizze mit Linienintegral, das Grenzfläche schneidet)
• Aus rotE
I
~ ≈ ∆~rk · (E
~1 − E
~ 2) = 0
d~s · E
(15)
~ sind wieder stetig an Grenzfläche.
d.h. Tangentialkomponenten von E
~ = 0 und Gauß folgt jetzt (→ Oberflächenintegral, das Grenzfläche schneidet)
• Aus divD
I
~ ≈ ∆F~ · (D
~2 − D
~ 1 ) = 4π ∆F σ
d2 f~ · D
(16)
~ springen gemäß Oberflächenladungsdichte σ.
d.h. Normalkomponenten von D
Beispiel: Grenzfläche zwischen Dielektrika entlang x2 − x3 –Ebene
• Zwei (nicht-leitende) Dielektrika mit 1 6= 2 ; Grenzfläche x2 − x3 –Ebene bei x1 = 0;
Punktladung bei ~x0 = (x0 , 0, 0) mit x0 > 0.
• Grundgleichungen für linken und rechten Halbraum:
x1 > 0 :
x1 < 0 :
~ 1 = 1 E
~1 ,
D
~ 2 = 2 E
~2 ,
D
~1 = 0 ,
rotE
~2 = 0 ,
rotE
~ 1 = 4πq δ(~x − ~x0 ) ,
divD
~2 = 0.
divD
(17)
(18)
• Randbedingungen (~n = ~e1 in x1 -Richtung; keine induzierte Oberflächenladung für
nicht-leitende Materialien)
~n × E1 = ~n × E2 ,
(19)
x1 =0
x1 =0
~n · D1 = ~n · D2 ,
(20)
x1 =0
x1 =0
3
• Ansatz: Spiegelladungen (aufgrund der Symmetrie bei ~x = ±~x0 anzusetzen)
1
x1 > 0 : φ1 (~x) :=
1
q0
q
!
p
+p
,
ρ2 + (x1 − x0 )2
ρ2 + (x1 + x0 )2
q 00
1
p
,
(ρ2 = x22 + x23 )
x1 < 0 : φ2 (~x) :=
2 ρ2 + (x1 − x0 )2
(21)
(22)
~ 2 = 0 keine physikalische Ladung bei ~x = −~x0
wobei in der linken Halbebene wg. divD
auftritt.
~ mit
• Normalkomponenten von D
1
x0
∂
p
=∓ 2
∂x1 ρ2 + (x1 ± x0 )2 x1 =0
(ρ + x20 )3/2
liefern Randbedingung
)
x0
0
~n · D1 |x1 =0 = − (ρ2 +x
2 )3/2 (q − q )
0
x0
00
~n · D2 |x1 =0 = − (ρ2 +x
2 )3/2 q
⇒
q − q 0 = q 00
(23)
0
~ mit
• Tangentialkomponenten von E
∂
1
ρ
p
=− 2
∂ρ ρ2 + (x1 ± x0 )2 x1 =0
(ρ + x20 )3/2
liefern Randbedingung
~eρ · E1 |x1 =0 = − (ρ2 +xρ2 )3/2
0
~eρ · E2 |x1 =0 = − (ρ2 +xρ2 )3/2
0
q+q 0
1
q 00
2
)
⇒
q + q0
q 00
=
1
2
(24)
• Auflösen nach q 0 , q 00 ergibt
q0 = −
2 − 1
q,
2 + 1
q 00 =
22
q
2 + 1
(25)
• Grenzfälle:
– 1 = 2 = ⇒ q 0 = 0 , q 00 = q.
√
Lösungen für beide Halbräume identisch mit normalem Coulomb-Gesetz.
– 2 → ∞ ⇒ q 0 → −q , φ2 → 0.
entspricht Beispiel mit metallener Platte.
4