Exercise sheet 07

Prof. Dr. Ulrich Stadtmüller
Marius Hofert
Universität Ulm
Sommersemester 2006
Stochastik für Informatiker, Physiker, Chemiker und
Wirtschaftswissenschaftler
Übungsblatt 7
Abgabe Fr. 16.06.2006, spätestens 14.15 Uhr, im H22
Aufgabe 1
(3 Punkte)
X und Y seien zwei Zufallsvariablen mit Werten in {0, 1, 2} bzw. {−1, 0, 1}. Die folgende
Tabelle gibt die Zähldichte des Zufallsvektors (X, Y ) an.
Y
X
−1
0
1
0
1
2
1
5
1
5
1
15
1
10
1
15
1
30
1
15
(a) Berechne E(X).
(b) Sei Z = XY . Berechne E(Z) und Var(Z).
2
. Ergänze unter dieser Vorgabe die
(c) Die Kovarianz von X und Y sei Cov(X, Y ) = − 45
fehlenden Werte in der Tabelle. Sind X und Y dann unabhängig?
Aufgabe 2
(3 Punkte)
Aus einem Stapel Skat-Karten (32 Karten) werden so lange nacheinander Karten ohne Zurücklegen gezogen, bis sich keines der vier Asse mehr im Stapel befindet. Wie groß ist die
mittlere Anzahl gezogener Karten?
Hinweis: Berechne E(X) für X = Anzahl gezogener Karten bis das letzte Ass gezogen wurde.
32
P
k(k−1)(k−2)(k−3) = 5696064.
Außerdem darf benutzt werden:
k=4
Aufgabe 3
(2 Punkte)
Sei X eine absolutstetige Zufallsvariable mit einer um c ∈ R symmetrischen Dichte, d.h. f (c−
x) = f (c + x) ∀ x ∈ R. Zeige: Falls E(X) existiert, gilt: E(X) = c.
Aufgabe 4
Sei X eine Zufallsvariable mit
(2 Punkte)
E(X 2 )
< ∞. Zeige:
min E (X − a)2 = Var(X).
a∈R
Aufgabe 5
σ2 .
(2 Punkte)
Falls existent, definiert man
Sei X eine Zufallsvariable mit Erwartungswert µ und Varianz
die sogenannte Schiefe bzw. Wölbung von X durch
E (X − µ)4
E (X − µ)3
bzw. K(X) =
.
S(X) =
σ3
σ4
(a) Berechne S(X) und K(X) falls X die Dichte f (x) =
1
1
2 [−1,1] (x)
∀ x ∈ R hat.
(b) Berechne S(X) und K(X) falls X die Dichte f (x) = e −(x+1) 1[−1,∞)(x) ∀ x ∈ R hat.
Aufgabe 6
(5 Punkte)
Seien X und Y Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte
fX,Y (x, y) = 2e −(x+y) 1{0≤y≤x<∞} ∀ (x, y) ∈ R2 .
(a) Berechne E(X), E(Y ), Var(X), Var(Y ), Cov(X, Y ) und ρ(X, Y ).
(b) Sind X und Y unkorreliert? Sind sie unabhängig?
(c) Berechne E(Z) und Var(Z) für Z = X − Y .
Aufgabe 7
(3 Punkte)
Wir betrachten einen Aktienmarkt mit zwei Aktien A und B und zwei Zuständen s1 und s2 .
Mit 30%-iger Wahrscheinlichkeit tritt der Zustand s1 ein, mit 70%-iger Wahrscheinlichkeit
der Zustand s2 . Die folgende Tabelle enthält die Renditen von A und B in Prozent für den
jeweiligen Zustand.
Zustand
Aktie
s1
s2
A
B
50
0
30
70
(a) Stelle aus A und B ein Portfolio zusammen, dessen erwartete Rendite 47% beträgt.
Vergleiche die Standardabweichung von diesem Portfolio mit denen der Einzelaktien.
(b) Bestimme den Korrelationskoeffizienten der Renditen der Aktien A und B und interpretiere das Ergebnis.
Hinweis: Zum Bestimmen des Portfolios ist eine Konstante 0 ≤ c ≤ 1 zu finden, die angibt, dass sich das Portfolio aus c (bzw. 1 − c) Prozent aus Aktie A (bzw. B) zusammensetzt.
http://www.mathematik.uni-ulm.de/matheIII/lehre/sommer06/stoch_nm06.html