Serie 5

MAE4 – Mathematik: Analysis für Ingenieure 4
Dr. Christoph Kirsch
Frühlingssemester 2016
ZHAW Winterthur
Serie 5
Aufgabe 1 :
Geben Sie die Verteilungen der folgenden Zufallsvariablen an (z. B. “B 3, 12 ”):
a) Aus einer Urne mit 4 roten und 5 blauen Kugeln werden zufällig 6 Kugeln mit
Zurücklegen gezogen. Die Zufallsvariable sei gegeben durch X := “Anzahl gezogene rote Kugeln”.
Bemerkung: Beachten Sie, dass sich die Verteilung der Zufallsvariable X nicht
ändert, wenn anstatt der 5 blauen Kugeln 5 Kugeln beliebiger Farbe (ausser rot)
in der Urne sind.
b) In einem Behälter befinden sich 60 Kugeln, davon sind 13 gelb. Aus diesem Behälter wird eine Stichprobe vom Umfang 10 entnommen (Ziehung ohne
Zurücklegen). Die Zufallsvariable sei definiert durch X := “Anzahl gezogene gelbe Kugeln”.
Bemerkung: Beachten Sie, dass die Farben der übrigen 47 Kugeln in dem Behälter
beliebig sind (sie dürfen nur nicht gelb sein).
c) Maschinenteile werden auf einem Fliessband durch eine optische Qualitätskontrolle geführt. Aus Erfahrung weiss man, dass 3 % aller hergestellten Teile den
Qualitätsansprüchen nicht genügen (Ausschuss). Wenn ein Teil von der Qualitätskontrolle als ungenügend eingestuft wird, dann leuchtet eine Warnlampe
auf. Die Zufallsvariable X sei gegeben durch X := “Anzahl der den Qualitätsansprüchen genügenden Teile bis zum ersten ungenügenden Teil”.
Aufgabe 2 :
Sei X ∼ H(10, 4, 4). Berechnen Sie “P (X > k)” für k = −1, 0, 1, 2, 3, 4.
Aufgabe 3 :
Aus einer Urne mit 12 grünen und 4 weissen Kugeln werden nacheinander Kugeln
gezogen (mit Zurücklegen). Wir nehmen an, dass jede der 16 Kugeln in der Urne mit
derselben Wahrscheinlichkeit gezogen wird.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, in der k-ten Ziehung (k ∈ N) eine
weisse Kugel zu erhalten.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach 10 Ziehungen noch keine
weisse Kugel gezogen wurde.
c) Es werden so lange Kugeln gezogen, bis genau zwei weisse Kugeln gezogen wurden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bis zu diesem Zeitpunkt
höchstens 5 grüne Kugeln gezogen wurden.
Hinweis: Definieren Sie für jede Fragestellung eine geeignete Zufallsvariable.
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Aufgabe 4 :
In einer Urne mit insgesamt 20 Kugeln befinden sich genau 2 rote Kugeln. Aus dieser
Urne wird eine Stichprobe vom Umfang 5 entnommen (Ziehung ohne Zurücklegen).
Wir interessieren uns für die Anzahl der roten Kugeln in dieser Stichprobe.
a) Geben Sie für diese Fragestellung eine geeignete Zufallsvariable X an, und bestimmen Sie ihre Verteilung.
b) Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Zähldichte fX .
c) Wie gross darf der Umfang n der Stichprobe höchstens gewählt werden, damit
“P (X = 2)”< 2 % gilt?
d) Wir entnehmen wieder Stichproben vom Umfang 5, aber diesmal aus einer Urne
mit N ∈ N Kugeln, von denen genau 2 rot sind. Wie gross muss der Umfang N
der Grundgesamtheit mindestens sein, damit “P (X = 0)”> 65 % gilt?
Vorlesungswebseite: http://home.zhaw.ch/~kirs/MAE4
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