institut für theoretische physik - Technische Universität Braunschweig

Prof. Dr. U. Motschmann
Dipl.-Phys. H. Kriegel
INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK
TECHNISCHE UNIVERSITÄT BRAUNSCHWEIG
Physikalische Rechenmethoden II
9. Übungsblatt
SS 2010
Abgabe: Mi, den 16.06.2010 bis 15.00 Uhr im Kasten vor A317
Fragen zu den Aufgaben: H. Kriegel, Raum A317, Tel.: 391-5187, [email protected]
Stichworte: Vektoren, Vektorfelder, Summenkonvention
27. Levi-Cività-Symbol
(11 Punkte)
Betrachten Sie das durch

 1 für (a, b, c) ∈ {(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)}
−1 für (a, b, c) ∈ {(2, 1, 3), (1, 3, 2), (3, 2, 1)}
²abc =

0 falls (a, b, c) keine Permutation von (1, 2, 3) ist
definierte total antisymmetrische Epsilon-Symbol.
(a) Zeigen Sie:
•
P
•
P
²abc ²ade = δbd δce − δbe δcd
;
•
a
P
²abc ²abc = 6
;
a,b,c
²abc ²abd = 2δcd
;
a,b
•
P
²abc δac = 0
.
a,c
P
(b) Für das Kreuzprodukt zweier Vektoren gilt [A × B]a = b,c ²abc Ab Bc . Beweisen Sie
die folgenden Beziehungen unter Benutzung der Komponentenschreibweise.
•
•
•
•
A × B = −B × A ;
A · (B × C) = C · (A × B) = B · (C × A) ;
A × (B × C) = B (A · C) − C (A · B)
(Graßmannscher Entwicklungssatz);
(A × B) · (C × D) = (A · C) (B · D) − (B · C) (A · D) .
28. Der Gradient
(4 Punkte)
Es sei r = (x1 , x2 , x3 ) und r = |r|.
(a) Berechnen Sie F (r) = ∇f (r) für eine skalare Funktion f (r). Man bezeichnet f (r)
auch als Zentralpotential und F (r) als Zentralkraft.
(b) Ein Beispiel aus der Elektrodynamik ist das elektrische Potential einer Punktladung,
1 q
φ0 (r) = 4π²
für r 6= 0. Geben Sie das elektrische Feld E = −∇φ0 an. Erläutern Sie
0 r
außerdem die Tatsache, dass das elektrische Feld immer senkrecht auf den Äquipotentialflächen steht.
1 P ·r
(c) Das Potential eines elektrischen Dipols lautet φ1 (r) = 4π²
3 für r 6= 0, P = const.
0 r
Berechnen Sie wiederum das elektrische Feld und skizzieren Sie es.