Vorlesungen über die mathematischen Principien der Akustik. Hrsg

^'
r-.
-fl.'
M-l
VORLESUNGEN
ÜBER
THEORETISCHE PHYSK
VON
H. VON
HELMHOLTZ.
HERAUSGEGEBEN VON
ÄßTHÜE KÖNIG, OTTO KEIGAR-MENZEL, FEANZ RICHAKZ, CARL RUNGE.
BAND m.
DIE MATHEMATISCHEN PRINCIPIEN DER AKUSTIK.
HERAUSGEGEBEN VON
AKTHUR KÖNIG
und
CARL RUNGE.
LEIPZIG,
VERLAG VON JOHANN AMBROSIUS BARTH.
1898.
WJ^
VORLESUNGEN
ÜBER
DIE MATHEMATISCHEN PRINCIPIEN
DER AKUSTIK
VON
i^-^
epVon helmholtz.
HERAUSGEGEBEN VON
ARTHUR KÖNIG
MIT
21
und
CARL RUNGE.
FIGUREN IM TEXT.
,y/'^^;.
/s
LEIPZIG,
VERLAG VON JOHANN AMBROSIUS BARTH.
1898.
/
0^
QC
Hif5
Alle Rechte, insbesondere das Eecht der Uebersetzung vorbehalten.
Druck von Metzger
<St
Wittig
in Leipzig.
Vorrede.
Als kurz vor Pfingsten 1892 Helmholtz
dem Plane
zustimmte,
seinen ganzen Cnrsus der „Vorlesungen über theoretische Physik"
auf Grundlage besonders dazu nachgeschriebener Stenogramme zu
veröffentlichen, hatte er das für das
CoUeg über
„die
längst begonnen.
Sommersemester angekündigte
mathematischen Principien der Akustik" schon
Um
nun aber trotzdem mit der Ausführung des
Planes sofort beginnen zu können, wurde für den Anfang (§§ 1 bis 29)
eine im Sommer 1881 gemachte Nachschrift des einen (A. K.) der
beiden Unterzeichneten zur Ausarbeitung benutzt.
Eine Schwierigkeit bot dann noch der Umstand, dafs Helm-
—
holtz in jenem Sommer 1881 den Inhalt der jetzigen §§ 30 34 nicht
vorgetragen hatte, und dafs daher die erwähnte ältere Nachschrift
erst mit § 31 beginnenden neuen wortgetreuen Stenogramme,
Herr Dr. Beuno Boechaedt aufnahm, nicht genau anschlofs.
Zur Ausfüllung dieser im Wesenthchen den Inhalt des § 30 umfassenden Lücke hat Herr Anton Scheye seine sehr ausführliche,
wenn auch nicht ganz wörtliche stenographische Nachschrift bereit-
an die
die
willigst zur
Verfügung
Dank ausgesprochen
gestellt,
wofür ihm an dieser Stelle herzlicher
sei.
Das Manuscript des ganzen ersten Theiles hat Helmholtz
noch vorgelegen und er hat bis zum § 29, also gerade in den nach
der älteren Nachschrift ausgearbeiteten Abschnitten, den Text mehrfach
geändert und erweitert.
Zu
einer Durchsicht des siebenten
—
Abschnittes (§§ 30 34) hat er keine Zeit mehr gefunden, obschon
das betreffende Manuscript ihn Herbst 1893 auf der Reise nach
Chicago begleitet hat, wo er hoffte, während der Seefahrt die erforderliche Mufse zu finden.
Die ohnehin schon knappe Zeit des Sommersemesters wurde
noch weiter dadurch verkürzt, dafs Helmholtz wegen einer dienstlichen Reise die Vorlesungen bereits
im
Juli schliefsen mufste.
Es
VOEREDE.
yi
war ihm daher nicht mehr möglich,
die Schallbewegung in
Röhren
mit offenen Enden zu behandeln; er sprach aber sofort die Absicht
diesen
aus,
Theil
bei
der
späteren Veröffentlichung
aus seiner
früheren, den Gegenstand betreffenden Abhandlung^) hinzuzufügen.
Die unterzeichneten Herausgeber haben nun nach Helmholtz' Tode
diese Absicht
ausgeführt,
indem
sie
das Vorgetragene soweit er-
gänzten, dafs jene Abhandlung angeschlossen werden konnte.
ersten
eine
übrigen Paragraphen
ist
und an den Gleichungen
vorgenommen worden, um
wörtlich abgedruckt
sind nur wenige formelle Aenderungen
mit
Die
Paragraphen derselben mufsten dabei fortbleiben, weil sie
unnöthige Wiederholung abgegeben hätten.
Der Text der
dem Vorausgehenden Uebereinstimmung
herzustellen.
Berlin und Hannover, im Mai 1898.
Arthur König.
Carl Eunge.
^)
Joum.
Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden.
f.
reine u. angew. Mathematik.
Bd. 57.
S.
1—72
Crelle's
— Abgedruckt
Leipzig 1882. —
(1859).
Abhandlungen". Bd. 1. S. 303—382.
Eine neue Ausgabe dieser Abhandlung hat dann Hr. A. Wangerin in „Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften". No. 80. Leipzig 1896, verin „Wissenschaftliche
anstaltet,
wo auch
Ausgabe
liegt
einige im Original enthaltene Fehler verbessert
unserem Abdruck zu Grunde.
sind.
Diese
Inhalt.
Einleitung.
Seite
§
Die Akustik und ihre Beziehung zum Ohr
1.
1
Erster Theil.
Theorie der kleinen Oscillationen discreter Massenpnnkte
nm
eine Lage stabilen Gleichgewichtes.
Erster Abschnitt.
Die Bewegung eines einzelnen Massenpunktes unter dem Einflufs
einer elastischen Kraft ohne Berücksichtigung der Reibung.
§
2.
§
3.
Die Bewegungsgleichung und die Form der Bewegung
Die Beziehung der Bewegungsform zu den Eigenschaften des Klanges
2
8
Zweiter Abschnitt
Die Bewegungen eines beliebigen Systems Ton Massenpunkten unter
dem Einflufs conserrativer Kräfte in der Nähe einer stabilen
Gleichgewichtslage.
§
4.
§
5.
§
6.
§
7.
§
8.
§
§
9.
Die allgemeinen Eigenschaften des Systems
Bildung der allgemeinen Bewegungsgleichungen für imser System
Beschränkung in der Allgemeinheit der bisherigen Annahmen
Aufsuchung von Integralgleichimgen
Schwingungsformen des Systems für einfache Töne, wenn alle
Wurzeln n^ der Gleichung (22) von einander verschieden sind
10
Das vollständige allgemeine
Anpassung des allgemeinen
19
.
.
10.
§
12.
Das
Reciprocitätsgesetz
Behandlung
als
12
.
13
.
Integral
15
17
Integrals an einen gegebenen Anfangs-
20
zustand des Systems
§11.
.
und das Huyghens'sche Princip
Variationsproblem
22
24
INHALT.
YUL
Seite
Veränderte Lösung des Problems bei Existenz gleicher Wurzeln für n*
§ 13.
§ 14.
§15.
25
Die Form der Partialbewegungen
26
Indifferentes Gleichgewicht
28
Dritter Abschnitt.
Die Bewegung eines einzelnen Massenpunktes unter dem Einflufs
einer elastischen Kraft und einer Dämpfung.
§ 16.
§
17.
29
Die Bewegungsgleichung und ihre Lösungen
Die Bewegungsform der gedämpften Schwingungen
33
Vierter Abschnitt.
Die Bewegungen eines beliebigen Systems von Massenpunkten
unter dem Einflufs conserratiTer Kräfte mit Berücksiehtigrang
der Reibung.
§ 18.
§ 19.
§20.
§ 21.
Die Bewegungsgleichung
Aufsuchung von Integralgleichungen
Anpassung des allgemeinen Integrals an einen gegebenen Anfangszustand des Systems
Die Eeibung ist sehr klein
35
37
40
40
Fünfter Abschnitt.
Das Mitschwingen
§ 22.
eines einzelnen Massenpunktes.
Die Bewegungsgleichung und allgemeine Integrationsregeln
für die-
44
selbe
§ 28.
Umformimg und
§ 24.
Die Stärke des Mitschwingens
Die Gröfse des Phasenunterschiedes
§ 25.
45
Integration der Bewegungsgleichung
48
49
Sechster Abschnitt.
Das Mitschwingen
§
26.
§
§
27.
28.
§ 29.
eines Systems von Massenpunkten.
Das System der Bewegungsgleichungen und
der Lösung
Die Stärke des Mitschwingens
Das Keciprocitätsgesetz beim Mitschwingen
die allgemeine
Mitschwingen bei gezwungener Bewegung eines Punktes
Form
50
51
...
53
55
Siebenter Abschnitt.
Der Hamilton'sche
Satz.
—
Uebergang auf continuirlich ver-
breitete Massen.
§
30.
Ableitung
der
Hamilton' sehen
Gleichung
mit Benutzung
winkliger Coordinaten
§31.
Unabhängigkeit von der
recht-
57
Wahl
der Coordinaten
62
INHALT.
IX
Seite
§ 32.
§ 33.
§ 34.
—
Die Gleichung von Lagrange
Einführung allgemeiner Coordinaten.
Anwendung auf verschwindend kleine Bewegungen in der Nähe
63
stabilen Gleichgewichts
68
Uebergang zu
continuirlich verbreiteten
Zweiter
Massen
70
Theil.
Die Schwingungen von Saiten, elastischen Stäben und
Luftsäulen.
Erster Abschnitt.
Die Schwingrungen einer Saite.
§ 35.
§ 36.
§37.
§ 38.
§39.
§ 40.
§41.
§ 42.
§43.
Die Saite
als
System einer endlichen Anzahl discreter Massenpunkte
betrachtet
72
Die Saite als continuirlicher Körper betrachtet
Die Darstellung der Schwingungen als Summe von Sinusschwingungen
Die Convergenz unendlicher Reihen und besonders der Fourier'schen
Eeihen
Die Schwingimgen gezupfter Saiten
Die Schwingungen gestrichener Saiten
Die Schwingungen der Ciaviersaiten
Die Schwingungen belasteter Saiten
Die Mittheilung der Schwingungen einer Saite an den Resonanz-
83
91
96
114
121
133
139
144
boden und an die Luft
Zweiter Abschnitt.
Die Schwingungen von elastischen Stäben und LuftsSnlen.
§ 44.
§ 45.
Die Longitudinalschwingungen eines elastischen Stabes
Die Schwingungen einer Luftsäule
....
148
155
Dritter Theil.
Die Schallbewegung im Räume.
Erster Abschnitt.
Die allgemeinen Formeln.
§46.
§47.
§48.
§49.
§
§
50.
51.
Die hydrodynamischen Gleichungen und das Wellenpotential
Ebene Wellen
Kugelförmige Wellen
Der Green'sche Satz imd das Huyghens'sche Princip
Das Huyghens'sche Princip für Töne von bestimmter Höhe
Die Intensität der Erregung einer einfachen Schicht von Erregungs.
.
punkten
.
.
.
157
163
168
174
193
198
INHALT.
X
Seite
§ 52.
§
§
53.
54.
Das Wellenpotential aufserhalb einer gegebenen Fläche
Das Verhalten des Wellenpotentials im Unendlichen
Das Reciprocitätsgesetz
....
200
204
206
Zweiter Abschnitt.
Die Luftschwingnngen in
B><{Iireii
mit offenen Enden.
Röhre
209
§
55.
Wellen
§
§
56.
Form
57.
Reducirte Länge verschiedener Röhrenformen
§
58.
Einfachste Röhrenformen
238
§
59.
Tonhöhe von Resonatoren
246
in offener
der Wellen in der Röhre
221
231
EINLEITUNG.
§
1.
Die Akustik, rein physikalisch,
Gesichtspunkte
physiologische
d. h.
oder
Körpersystemen
Lehre von den
die
ist
entstehen,
welche
Gleichgewichtslage nahe sind und sich unter
vativer Kräfte bewegen,
sie
in
die
dem
wie
einer
sie
in
stabilen
Einflufs conser-
genannte Lage zurückzu-
Die Natur dieser Kräfte kann übrigens sehr ver-
führen streben.
schieden sein;
die
Ohr.
nicht mit Rücksicht auf
behandelt,
mit verschwindend kleinen AmpKtuden,
Oscillationen
Körpern
zum
Die Akustik und ihre Beziehung
in der
That beobachten wir
in
Körpern von
allen
drei Aggregatzuständen dergleichen Oscillationen.
Die Beziehung dieser Vorgänge zum Ohr
dieses
dafs
reagirt,
und
auf
einen
grofsen
dafs wir durch das
Theil
ist
dadurch gegeben,
derartiger
Ohr sehr
Schwingungen
leicht viel feinere Ver-
durch die übrigen
schiedenheiten
derselben erkennen können,
Sinnesorgane,
üebrigens gelten die Gesetze, die wir hier kennen
als
lernen werden, nicht blos für hörbare Schwingungen, sondern auch"
Schwingungen grofser Massen.
des Ohres unterscheiden wir
zunächst: Geräusche und Klänge. Ein Geräusch ist auch seinem
sinnlichen Eindrucke nach fortdauernd wechselnd und unregelmäfsig. Ein Klang giebt im Allgemeinen einen anhaltenden, gleich-
für viel langsamere sichtbare
Hinsichtlich
der Reactionsweise
bleibenden Eindruck.
möglich;
oft
Eine scharfe Grenze zu ziehen,
ist
aber un-
genug mischen sich schwache Geräusche auch musika-
Klängen bei; so können wir z. B. im Klang der Violine
auch das Kratzen des Bogens auf den Saiten bemerken.
Die Klänge werden durch das Ohr unterschieden nach der
Höhe, nach der Klangfarbe und nach der Intensität. Wir
werden später (§ 3) sehen, wie diese Eigenschaften von den physikalischen Vorgängen bedingt werden.
lischen
zeitweilig
H.
V.
Hexmholtz, Theoret. Physik.
Bd.
III.
Erster Theil.
Theorie der kleinen Oscillationen discreter
Massenpunkte um eine Lage stabilen Gleichgewichtes.
Erster Abschnitt.
Die Bewegung eines einzelnen Massenpunktes unter dem
einer elastischen Kraft ohne Berücksichtigung der
Keibung.
Einflufs
§
2.
Die Bewegungsgleichung und die
Wir
wollen die
Annahme machen,
Form der Bewegung.
dafs die Kraft, welche einen
Massenpunkt in seine Gleichgewichtslage zurücktreibt und dadurch
die Oscillationen zu Stande kommen läfst, dem Gesetz der sogenannten elastischen Kräfte
folgt,
dafs sie proportional der
d. h.
Gröfse der Verschiebung aus der Gleichgewichtslage
Der
einfachste Fall liegt vor,
wenn
ist.
ein einzelner Punkt, dessen
Masse gleich m, in der Eichtung der a;-Axe aus der Gleichgewichts-
dem Punkte a; = annehmen wollen, verschoben
Dann ist die auftretende Kraft einmal in Folge der
über sie gemachten Annahme gleich — a^x, wo a^ eine stets positive Gröfse bezeichnen soll, und ferner ist sie nach dem Newton'lage,
die wir in
worden
ist.
sehen Kräftemaafs auszudrücken durch
m
,
„
•
Wir haben daher
'^"^^-^'^
^^^
zu setzen.
Das vollständige Integral der
man dadurch
finden,
dafs
man
Differentialgleichung
einen Multiplicator für
(1)
sie
kann
sucht,
der beide Seiten derselben in Differentialquotienten nach der Zeit
§
DIE BEWEGUNGSGLEICHUNG
2.
verwandelt
U.
dx
Ein solcher
-r—
dt
ist
DIE FORM DER BEWEGUNG.
Dann
.
läXst sie sich in die
3
Form
bringen:
dx d^x
dt
dx
.
^
dt
dt^
oder
d
^•1-^1 +4a'.a:2
=
(la)
Die letztere Gleichung sagt aus, dafs die in die eckige Klammer
eingeschlossene Gröfse nicht von der Zeit abhängt.
unserem Falle keine andere Veränderliche enthält,
Da
sie
ist sie
nun
in
constant
Ihren constanten Werth bezeichnen wir mit \a^h'^\ dann
zu setzen.
ist also
^^^
m
In
dieser
Form
\a^x^=\a^h^.
dt
Gleichung
drückt die
das
(Ib)
Gesetz
von der
Constanz der Energie aus. Das erste Glied der linken Seite
ist der Werth der actuellen Energie der bewegten Masse, das
zweite mifst den noch vorhandenen Rest der potentiellen Energie,
deren Werth für das angenommene Wirkungsgesetz der elastischen
Ej^ft wir hier kennen lernen.
lichkeit dieser
naten
ist,
Gröfse
die,
ist
Die charakteristische Eigenthümdafs sie eine Function der Coordi-
deren negativ nach einer der in ihr enthaltenen Coordi-
naten gebildeter Differentialquotient
;
—
f-i-
dx
a^ x^']
"-^
= —
a^x
-^
die in Richtung der betreffenden Coordinate wirksame Kraftcompo-
nente giebt.
Gleichung (Ib) ergiebt weiter:
+
oder indem wir nach
t
dx
\
a
dt
-yjW-x^
ym
integriren:
arc
.
sm
I
—x\ =
hj
„
C
—
at
-\
j=-
V^
oder
X
=
Ä sin
.
(Ic)
ERSTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
4
Da
§
2.
Winkels immer ein echter Bruch
ein Sinus eines reellen
und — 1 liegen, so liegt der
Werth von x immer zwischen + h und — h,. Zwischen diesen
beiden Punkten ist die Bewegung hin- und hergehend (oscillirend).
Die Gröfse h heifst die Amplitude der Schwingung, der
wechselnde Werth von x die zeitweilige Elongation des schwingenden Punktes. Wächst i um die Gröfse
dessen Werthe
ist,
+
zwischen
1
a
so wächst der
Bogen
um
2 tt
und der Sinus bekommt wieder denselben
Werth, wie zu Anfang dieser
ebenso auch x und -7—.
Zeit;
Also
wiederholen sich vollkommen gleiche Zustände des bewegten Körpers,
nachdem einmal
die Zeit
derselben abgelaufen
ist.
T
oder ein beliebiges ganzes Multiplum
Man
nennt
T
die
Schwingungsdauer
oder die Periode der oscillirenden Bewegung; der reciproke Werth
—=
1
n
T
1%fm
die
ergiebt
Den Werth
einheit.
immer
—r
positiv
der Periode
zu nehmen.
a;
so
man C
bezeichnet
Anzahl der Schwingungen in der Zeit-
=
als
und der Amplitude
Schreibt
Ä.sin2:;r
die
pflegt
man
man
(Id)
T
Phasenconstante.
Diese
Gröfse
kann immer zwischen
und 1 angenommen werden, da es auf
Vielfaches von 2:7r in dem Argument des Sinus nicht ankommt;
giebt
an,
welcher Bruchtheil
Augenblick
t
— — CT
der Schwingungsperiode
des Durchgangs
zum Zeitpunkt
des Punktes
m
von
ein
sie
dem
durch die
=
vorübergegangen ist.
t
auch nach einer anderen Methode
integriren, indem man beachtet, dafs diese Gleichung zu einer gewissen Klasse von Differentialgleichungen gehört, die in der Physik
Gleichgewichtslage bis
Man kann
die Gleichung (1)
Anwendung finden.
Gleichungen, in denen die unbekannten veränderlichen Gröfsen selbst oder ihre Differentialquotienten erster oder höherer Ordnung, genommen nach
den unabhängigen Veränderlichen, in jedem Gliede vorkommen, aber nur in erster Potenz und nicht in Producten
je zweier derselben, homogene lineare Differentialgleichungen zu nennen. Für dieselben gelten folgende Sätze:
eine ausgedehnte
Man
pflegt solche
§
DIE
2.
BEWEGUNGSGLEICHUNG U. DIE FORM DEE BEWEGUNG.
Wenn
1.
wir zwei Lösungen derselben Gleichung, z.B.
|j
5
und
Ig
haben, beide als Function der unabhängigen Variablen gegeben, so
ist
jede homogene lineare Function von
Denn
Lösung.
einmal
wir in
setzen
und das andere Mal
|j
Ig
ein,
so
dition der entstehenden Gleichungen, dafs
derselben Differentialgleichung
dem
und
|j
ebenfalls eine
Ig
gegebene Differentialgleichung
die
Weil
ist.
ergiebt sich durch
Ad-
+
(|j
Ig) eine Lösung
ferner Multiplication von
auch
a oder ß
Integral | mit irgend einem constanten Factor
die
Differentialgleichung nicht ungültig macht, da der Factor aus dieser
sich wieder fortheben läfst, so sind auch «|j und ß^^ Lösungen,
und mit Berücksichtigung des eben Gesagten erhalten wir die all-
gemeine Lösung:
Falls die gelöste Differentialgleichung eine Bewegungsgleichung
ist,
nennt
man
die
zusammengesetzte
durch die Lösung « li
Bewegung
Weil wir
/?
I2
=
a;
dargestellte
Superposition (geometrische
und ß Ig dargestellten Einzelzusammengesetzten Bewegung jede
Addition) der durch die Lösungen
bewegungen.
+
eine
in dieser
cc
|j
der componirenden Bewegungen als ungestört vorhanden betrachten
können,
so
bezeichnet
man
dieses
Princip
auch
wohl
als
das
der Bewegungen. — Es
Princip der ungestörten Superposition
darf bei der Bildung dieser homogenen linearen Function aus
mehreren Einzellösungen auch ]/— 1 als Factor in den Coefficienten
gebraucht werden.
Denn da Gleichungen zwischen complexen
Gröfsen nur erfüllt werden können,
wenn sowohl
die reellen wie
die imaginären Theile beider Seiten der Gleichung einander gleich
sind, so sagt eine solche
Gleichung nichts anderes aus,
als
was man
schon bei ihrer Bildung wufste, dafs nämlich sowohl der reelle wie
der imaginäre Theil des Werthes eine Lösung darstellt.
nung wird aber
in
vielen
Fällen
Die Rechdurch Einführung imaginärer
Glieder viel kürzer und bequemer.
nun offenbar eine solche homogene
Aber sie hat noch eine andere Eigenthümlichkeit, welche eine besondere Integrationsmethode anwendbar
macht, sie hat nämlich constante Coefficienten ihrer Glieder.
Bei solchen homogenen linearen Differentialgleichungen mit constanten Coefficienten kann man particuläre Integrale immer in der
Weise finden, dafs man die Unbekannte gleich setzt einer Con2.
Die Gleichung
(1)
ist
lineare Differentialgleichung.
stanten, multiplicirt mit einer Exponentialfunction der
Variabein,
bez.
wenn
deren
mehrere
sind,
mit
unabhängigen
einer
solchen
ERSTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
6
Function,
Variablen
§2.
der genannten
deren Exponent eine lineare Function
ist.
Setzen wir in die Grleichung
ein, so ergiebt sieb,
(1)
den Werth
da nunmehr
=P^^
dt 2
ist,
mp"
-«,2
=—
a'
also
P= ±i ]/—
m
•
]/
Wir
erhalten daher die beiden Einzellösungen
Ij
™
== e
=
cos
—
U
+*sin
n/—
(2)
l2
=
it]/^
«
=
cos
[']/i]-Mii
Nach
dem, was wir soeben über die Superposition der Einzelbewegungen erfahren, ist die allgemeinste Lösung:
x
= {a { iß)
cos
(
M]/-^—
m +
/
*
.
sin
j
u
/
y
1
\
m
—^
-hir-i-iS) cos
.
sm U
[/
{s-ß)sm{t
y^\
+
(«
+
r)cos(^
17
j/-^
(3)
+
Da
in
dieser
*
]^-^M']/^)+^^'^'''{']/^],
Lösung nun der
reelle
Theil und der reelle Factor
des imaginären Theiles mit Rücksicht darauf, dafs
willkürlich
sind,
ganz übereinstimmende
ce,
ß, y,
Form haben,
so
S völlig
können
wir die allgemeine Lösung schreiben:
x
=
JP.sin
It
ml +
.
cos
t
\
\/
m
(4)
§
2.
DIE BEWEGUNGSGLEICHUNG
U.
DIE FORM DER BEWEGUNG.
7
Setzen wir nun
F = h. cos c
O = h.sine
so wird
= Ä.sin
a;
It
]/— +
o\
(5)
übereinstimmend mit dem, was wir oben in (Id) gefunden.
Durch
die Combination der beiden particulären Integrale der Gleichungen (2)
auch
gelingt es also
ein
hier,
Tollständiges Integral zu finden,
F und G oder h und e,
welches zwei willkürliche Constanten enthält,
über welche
man
verfügen kann,
so
wegte Punkt mit einer beliebig
——
Geschwindigkeit
dafs zur Zeit
Bewegung
seine
^
=
der be-
vorgeschriebenen Ablenkung x und
beginnt.
dt
Wir fanden
Schwingungszahl
seine
n
=
1
a
T
27i]/rn
Die hier beschriebene Bewegung
T nur von
wie bemerkt, eine periodische,
ist,
m
und der Gröfse
der elastischen Kraft a^ abhängt. Sie wird einfache Schwingung
(oder Sinusschwingung, bez. pendelartige Schwingung) genannt und läfst sich geometrisch so beschreiben:
deren Periode
Denken wir
der Masse
dafs ein
uns,
des Punktes
Punkt auf einem Kreise mit dem
Radius h mit gleichförmiger Geschwindigkeit herumläuft, so ist die
Projection dieser Bewegung auf einen Durchmesser eine Sinusschwingung.
Wenn
mal
unter den hier gemachten
eingeleitet
ist,
Unsere Ableitung
setzt
aller Strenge
die
Bewegung
ein-
aber voraus, dafs keine die Bewegung hin-
dernden Kräfte vorhanden
in
Annahmen
so wird sie bis in die Unendlichkeit fortbestehen.
In Wirklichkeit wird dieses nun
sind.
der Fall
nie
sein,
sondern es wird immer eine
Uebertragung der lebendigen Kraft an die Umgebung stattfinden
(durch Reibung
eine solche
u.
Form
s.
w.).
Es kommen
der Bewegung,
sich mit sehr grofser
me
Annäherung
freilich
viele
Fälle vor,
wo
wir sie hier abgeleitet haben,
vollzieht, weil die
hindernd ein-
wirkenden Kräfte verschwindend klein sind gegenüber der elastischen
Ejraft,
welche die Bewegung unterhält.
ERSTEE THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
§
3.
Die Beziehung der Bewegungsform zu den Eigenschaften
des Klanges.
3.
Von
ab,
§
der Schwingungsdauer bez. der Schwingungszahl hängt das
was das Ohr
als die
Höhe
des Tones empfindet,
und zwar
er-
geben sich für die harmonischen Intervalle einfache numerische Beziehungen zwischen den Werthen der Schwingungszahlen. Es wird
dieses
schon von Aeistoteles erwähnt,
welcher Weise er zu dieser Kenntnifs
doch
ist
gekommen
unbekannt, in
ist;
Ptthagoeas
kannte nur das Verhältnifs der Saitenlängen zu den musikalischen
Intervallen.
Das
Verhältnifs der Schwingungszahlen
harmonischen Intervallen das folgende:
1
ist
bei
den verschiedenen
§
BEZIEHUNG DER BEWEGUNGSFORM ZUM KLANGE.
3.
Durch den internationalen Musiker- Congrefs im
der Secunde an.
Jahre 1885 wurde diese Zahl auf 435 festgesetzt
bedeuten
hier
9
während deren der
Anzahl ganzer Perioden,
die
Diese Zahlen
schwingende Punkt einen ganzen Hin- und Hergang ausführt
Die
französischen Physiker rechnen meist nach halben
und
Perioden,
haben deshalb doppelt so grofse Schwingungszahlen. Diese Sitte
vom Uhrpendel hergenommen, welches bei jedem Durchgang
ist
durch die Gleichgewichtslage, von rechts, wie von links kommend,
einen Schlag
macht
der musikalisch verwendbaren Töne
40 und 4000 ganzen Schwingungen, für das Ohr
Die Schwingungszahlen
liegen zwischen
wahrnehmbar sind allerdings auch noch Schwingungen mit kleinerer
und gröfserer Schwingungszahl; aber eine scharfe Auffassung der
Intervalle ist bei ihnen nicht mehr möglich.
Die Sinusschwingungen sind nun nicht die einzigen der Zeit
nach periodischen Functionen, sondern es sind für jeden Werth
von T unendlich viele Formen periodischer Bewegung möglich. Sie
sind aber alle zusammensetzbar aus Sinusschwingungen, und ihre
Form ist die physikalische Grundlage für das, was das Ohr als
Klangfarbe auffafst Das Ohr zerlegt in der Empfindung jede
periodische Bewegung, deren Schwingungszahl innerhalb der wahrnehmbaren Grenzen liegt, in nicht weiter zerlegbare Sinusschwingungen, die einfach empfunden werden. Die einfache pendelartige
Schwingung ist also die Grundform, auf welche alle anderen
Schwingungsformen,
Die oben
sowohl
objectiv- mechanisch
subjectiv-
als
werden können.
akustisch, reducirt
(§ 2)
gefundene Gleichung:
+ i«'^' = i«'Ä2
^^f4^V
dt
(Ib)
•2-
giebt,
wie dort schon bemerkt
erste
Glied
der linken Seite
actuelle Energie
dar.
Das
Spannkräfte, die potentielle
ist,
die
stellt
Werthe der Energie
die
an.
Das
lebendige Kraft oder die
zweite Glied giebt die Quantität der
Energie
nische Bedeutung dieser Gröfsen
ist die,
an.
Die wichtige mecha-
dafs sie die unzerstörbaren
Arbeitswerthe der stattfindenden Bewegung angeben.
Diese können,
wie in der allgemeinen Dynamik gezeigt wird, nur dadurch verändert werden,
Punkt
dafs
stattfinden,
äufsere Einwirkungen
die
auf den schwingenden
entweder ihm neue Arbeitsäquivalente zu-
führen, oder ihm die vorhandenen entziehen können.
Von
diesen
Arbeitswerthen des schwingenden Punktes hängt nun überhaupt der
ERSTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
10
§
4.
Arbeitswerth aller anderen Wirkungen ab, welche die schwingende
Masse auf andere Naturkörper ausüben kann, unter anderen auf
unsere Sinnesorgane, und
man
pflegt deshalb
diesen Arbeitswerth
^a^.h^ vorzugsweise als Maafs für die Intensität des Schalles zu
benutzen. Bezeichnen wir mit u die gröfste Geschwindigkeit, welche
der schwingende Punkt annehmen
X
=
geschieht, so
kann, was offenbar im Punkt
ist:
Lan^ = \mu\
(6)
Die Intensität kann also auch durch die beim Durchgang durch
die Gleichgewichtslage eintretende lebendige Kraft
gemessen werden.
Zweiter Abschnitt.
Die Bewegungen eines beliebigen Systems ron Massenpnnkten
unter dem Einflufs conseryativer Kräfte in der Nähe einer
stabilen Grleichgewichtslage.
§
Die allgemeinen Eigenschaften des Systems.
4.
Wir
wollen jetzt dazu übergehen, eine Reihe von Eigenthüm-
und nachzuweisen, welche in Systemen von
sind, die kleine Bewegungen in der Nähe
einer Lage ausführen, in welcher sie unter anderen Umständen
lichkeiten
abzuleiten
Massenpunkten vorhanden
auch
in stabilem Gleichgewichte
Wir nehmen
ruhen könnten.
Massenpunkten zusammengesetztes
Jeder Punkt sei bezogen auf ein recht-
ein beliebig aus
mechanisches System an.
winkliges Coordinatensystem, dessen Anfangspunkt mit seiner Gleich-
gewichtslage zusammenfällt.
Die Eichtung der Coordinatenaxen
braucht für die verschiedenen Punkte nicht dieselbe zu sein. Es
nicht nothwendig, dafs dabei die drei Coordinaten jedes einzelnen
Punktes durch die Benennung unterschieden werden, und so wollen
wir sie durch s^, sj, s^ u. s. w. fortlaufend durch das ganze System
ist
ausdrücken.
m^
u.
und
s.
Die Massen der einzelnen Punkte seien mit
w. bezeichnet.
also
Da nun
auch drei Indices zukommen, so haben wir, wenn
Indices sind, die demselben Punkte angehören,
m^,
m^
=
a,
b,
c
=
m^ zu
Werthe Sa,
twj
Es giebt im Allgemeinen also dreimal so viel
Wa, doch kann ein Theil dadurch wegfallen, dafs gewisse Punkte,
setzen.
als
nia,
aber jedem Punkte drei Coordinaten
SYSTEM VON MASSENPUNKTEN.
§4.
entweder ganz unbeweglich,
auf die übrigen ausüben,
die Kräfte
11
oder gezwungen sind, sich auf gewissen Ebenen oder Geraden zu
bewegen, die dann als Coordinatebenen oder Coordinataxen für die
Lage
dieser
Es
ist
Punkte zu brauchen
die
Bedingung
sind.
worden, dafs die auf die Massen-
gestellt
punkte einwirkenden Kräfte (Kräfte des Systems selbst und äufsere
conservativ
Kräfte)
Diese Bedingung sagt aus, dafs
sein sollen.
jede Kraftcomponente Sa, welche einen der Punkte, w^, in Richtung
einer
der Coordinaten,
nach bestimmt
ihrer Gröfse
angreift,
s^,
werde durch eine Gleichung von der Form
= --^-,
Sa
WO
als
(7)
Function sämmtlicher Coordinaten
eine
dargestellt
Sq,
werden kann, welche aber nicht direct die Zeit t enthalten darf.
Die mechanische Bedeutung dieser Funktion ^ ist, dafs sie den
Werth der Arbeit (potentiellen Energie) mifst, die aufgewendet
werden mufs, um die sämmtlichen Massenpunkte Wq aus der Ruhelage in die durch die Coordinaten
dA
Bezeichnen wir mit
mufs,
um
eine
Verrückung
bestimmte Lage zu bringen.
Sa
verwendet werden
die Arbeit, welche
aller
Wq um
ds^ zu Stande zu bringen
gegen die Wirkung seiner Kräfte S^, so
ist
diese
dA= -^Sa.dsa = +^^.dsa.
Da
nur von den
s^
ganze Aenderung des
Die durch die Gleichungen
kräfte
gleich Null
Sie
Summe
abhängen soll, stellt die letzte
dar, und wir erhalten also
dA =
eine Ruhelage sein.
(8)
kann
d(D.
dies
d. h.
sein,
—=
-^
alle
Lage soll
Bewegungs-
charakterisirte
nur
d
sind,
(8a)
=
s^
die
wenn
0.
alle
Diese letztere Be-
dsa
dingung
ein
tritt ein,
Minimum
Sattelwerth,
wenn
oder
ein
in der Gleichgewichtslage die Function
ein
Maximum
Minimo-Maximum
oder auch
ist.
ein
Wir werden
sogenannter
gleich sehen,
dafs bei der Forderung, das Gleichgewicht solle stabil sein, nur die
Annahme
eines
Minimums
zulässig
ist.
BESTER THEIL. ZWEITEE ABSCHNITT.
12
§
§5.
Bildung der allgemeinen Bewegungsgleichungen für
unser System.
5.
Die Bewegungsgleichung der einzelnen Punkte erhält nun nach
Newton's Definition der Bewegungskraft die Form
df
Wir hahen
ordinaten
"
,
so
viele
(9)
d.
Gleichungen dieser Art,
vorhanden
als veränderliche
wir
Multipliciren
sind.
die
Co-
Gleichung mit
so erhalten wir:
dt
"
und wenn wir
d^ s„
d(D
dsa
dt
dt^
dsa
dt
Summe
die
2^a
Nun hängt aber
d s„
dsa
dt
(9 a)
über das ganze System bilden:
d^Sa _
~dW ~ ~
nur insofern von
(p
'
t
.^ d
^
dSa
fl>
ÖS.
'
dt
ab, als die einzelnen «„
(10)
von
t
abhängen, so dafs
ist.
Indem wir auch
Dijfferential
^d(li
ds„
dQ)
dsa
dt
dt
die linke Seite der Gleichung als vollständiges
umformen, ergiebt sich
d(D
d
~di
dt
dt
dsa
+ ^ =
(11)
oder
d
~dt
2U
dt
0,
(IIa)
also, ist:
SÜ-^a
^)1--
Const.
(IIb)
Diese Gleichung spricht das Gesetz von der Constanz der
Energie aus; denn es ist das erste Glied der linken Seite gleich
der lebendigen Kraft, der actuellen Energie, und, wie wir schon
gesehen haben, ist (P gleich der potentiellen Energie des Systems.
Wenn
soll,
so
in einer bestimmten Lage das Gleichgewicht stabil sein
mufs in dieser fp immer kleiner sein, als in allen un-
BILDUNG DER ALLGEMEINEN BEWEGUNGSGLEICHUNGEN.
§6.
13
mittelbar benachbarten Lagen, weil dann bei einer kleinen Störung
der Kuhelage durch irgend einen kleinen Anstofs die dadurch erregte lebendige Kraft L, welche eine
nothwendig positive Gröfse
ist, um so kleiner werden mufs, je mehr sich das System aus der
Gleichgewichtslage entfernt, aber keinenfalls kleiner werden kann,
als Null.
Daraus
folgt, dafs
auch die Zunahme von
nicht über
einen gewissen kleinen Betrag hinaus gehen kann, der durch die
Gröfse des Anstofses bedingt
ist.
Wissen wir
also,
Ruhelage ein Minimum ist,
Verschiebung sich über die der Zunahme des
in der
dafs
so kann das System bei keiner Art von
Grenzen hinaus entfernen.
Anders liegt es, wenn
Verschiebungen ein
Minimum
nicht
ist.
für alle
(J>
entsprechenden
Combinationen von
Denn dann kann beim Verlassen
der Euhelage die lebendige Kraft wachsen, und das System mit gesteigerter Geschwindigkeit sich aus der
Ruhelage entfernen.
Solches
Gleichgewicht heifst labil.
§
6.
Beschränkung
in der Allgemeinheit der bisherigen
Annahmen.
Wir wollen nun hinsichtlich der Function
Annahme machen, dafs
in der Nachbarschaft
die beschränkende
der Gleichgewichts-
lage des Systems den allgemeinen Charakter einer Function habe,
nach der TATLOE'schen Reihe entwickelbar sei, bez. nach der
Modification dieser Reihe, die nach Mac Laubin genannt ist und
die sich nur dadurch unterscheidet, dafs für den Ausgangspunkt
die
die
unabhängigen Variablen
alle
gleich Null gesetzt sind.
Es
ist
dann:
*=*.+2|4f-.| + i2:s[^^-».-^ +
WO
dices a
Summationen in der Weise auszuführen
und 6 unabhängig von einander durch
Werthe
laufen.
die
Die Werthe der
(12)
sind,
dafs die In-
alle
ganzzahligen
nun so klein gewählt werden, dafs
wir die Glieder dritter Ordnung vernachlässigen können.
Nun
d
sind aber für die Gleichgewichtslage die Werthe von -=
alle
«„
sollen
—
ÖSa,
und wir können aufserdem, ohne
Lösung zu beeinträchtigen,
gleich Null,
a>o
=
o
die Allgemeinheit der
(13),
ERSTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
14
setzen, weil in
dieser Gröfse
Da
§6.
den Bewegungsgleichungen nur Differentialquotienten
vorkommen. Wir erhalten alsdann:
vorkommenden zweiten Differentialquotienten alle für
einen unveränderlichen Werth jeder Variablen, nämlich für 8^ =
zu nehmen sind, so haben sie ebenfalls bestimmte constante Werthe,
und wir wollen die letzte Gleichung daher schreiben:
die hier
^ = i^^{Pa,i-s,.sA,
wobei zu beachten
dafs P^
ist,
»,
= P^ „ =
-^
(15)
—
^
dSa.ÖSf,
«a
Bilden wir nun für ein bestimmtes
die
Kraftcomponente in der Richtung
s^,
=
«b
=
0.
das wir p nennen wollen,
a,
so ist
^--^
(1«)
= -i^{Pp,a'Sa}-i^{P,,i.s,]
oder,
da wir den Sinn der letzten
Summe
nicht ändern,
(16a)
wenn wir
ihren durchgehenden Index 6 mit a bezeichnen:
=
'^i>
Da nun
ist,
-2ki',a.*«}.
(16b)
ferner
so erhalten wir als
Bewegungsgleichung für den Punkt p
^,^=-^{Pp,a'^a},
(18)
welche wir nunmehr, um auf den gerade näher betrachteten Massenpunkt auch wieder die früheren laufenden Indices anwenden zu
können, schreiben wollen:
m„
dt^
=
-2{^a,6.*b}'
(18a)
Dieser Bewegungsgleichungen sind im Allgemeinen dreimal so viel
vorhanden, als Massenpunkte in dem System. Es ist oben schon
§
AUFSUCHUNG VON INTEGRALGLEICHUNGEN.
7.
15
darauf hingewiesen, dafs die Zahl der Gleichungen verringert wird,
wenn
einzelne Punkte gezwungen sind, sich auf bestimmten Linien
oder Flächen zu bewegen.
Unbekannte
in
Dann
fehlen aber auch entsprechend viele
Die Anzahl der veränderlichen
den Gleichungen.
N bezeichnen.
Coordinaten wollen wir im Folgenden mit
§
Da
Aufsuchung von Integralgleichungen.
7.
Bewegungsgleichungen
die
alle
mit Constanten Coefficienten, so werden
= aa-e"'
5a
gesetzt wird.
Dann
homogen und linear sind
indem
sie erfüllt,
(19)
ist
nia
.
n2
«a
.
2 pa,
= -
b
•
«bj
oder
ma.n2.aa4-2{^a,b.«b}=0.
Aus diesem System von
hältnisse der
N Coefficienten
bestimmen.
Da
sind, so
dieselben
würden
sie
nur
wenn
ein,
N Bedingungsgleichungen
a und aufserdem der
homogen und
linear in
sind die Ver-
Werth von n zu
Bezug auf
die a
Werth n im AllAusnahmen hiervon
für einen beliebig gewählten
gemeinen nur die Werthe
treten
(20)
Ua
=
zulassen.
die Determinante
der Coefficienten
der Ua
was durch Wahl bestimmter Werthe des n erreicht werden kann.
Wenn diese Bedingung erfüllt wird, ist eine
der Gleichungen Folge der anderen, und es sind also dann nur
noch [N — 1) Gleichungen vorhanden, aus denen {N — 1) Gröfsen a
als Functionen der JVten bestimmt werden können. Die Gleichung,
welche die Determinante gleich Null setzt, kann man direct zur
Auffindung der Werthe von n^ benutzen. Die Gleichungen sind:
gleich Null wird,
+ Pi,3.a3 + Pj.^.a^ + .... =
=
+ (P2,2 + W3 n^a^ + Pj.g a3 + Pg.^ a^ +
+
«2 +
+ ^3^2)03 + Pg,^ a^ + .... = u
+ ^4.2 -«3 + -^4.3 -«3 + (^4.4 + ^4 «4 + ..•• =
(^M +Wi»2)a^ +Pj,3.a2
P2.1
^3.1
.
•
aj
«1
^4.1 •«!
Wir
.
-P3.2
•
(-Ps.s
.
•
.
'*')
erhalten also als Determinantengleichung:
.
•
.
(21)
ERSTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
16
{P,,,+m,n'),
+ ^2 ^
^2.1
'
('2.2
-P3.I
»
^3.2 J
P,.l'
P,,„
+
(^3.3
^4.2^
)'
P,,„
Pj......
-^2.3'
'2.4
•
•
•
^3,4
'
'
'
^3
'»')^
+
(^4.4
^^4.3.
Die diagonalen Glieder enthalten
^4
§7.
•
'
(22)
^')----
alle n^, folglich ist die Glei-
chung, wenn wir iV Coordinaten haben, iVten Grades nach n^ und
im Allgemeinen
giebt
betrifft, so läfst sich
N Werthe
ist,
Zu dem Ende
sind,
und
diese Gleichungen also
zwischen den einzelnen
lich
Wenn
zu befriedigen.
üa.
Art der Wurzeln
die
beachte man, dafs, wenn n^
den Gleichungen
auch nur
(20) reell
reelle Verhältnifswerthe
Es muss dann mögWerthe der a^
man nun jede der Gleichungen mit demergeben können.
a^
die Gleichungen (20) durch lauter reelle
sein,
jenigen
der a^ in
Coefficienten
alle
Was
n^.
zunächst zeigen, dafs dieselben nicht positiv
reell sein können.
reell
von
mit n^ multiplicirt in
multiplicirt, das
und
derselben vorkommt,
sie alle
dem
addirt, so erhält
ersten Gliede
man:
(22 a)
Wegen
sein
stabil
der Forderung,
solle,
das
dafs
müssen aber
Gleichgewicht des Systems
die schon in Gleichung (8) implicite
vorkommenden
Coefficienten Pa_ ^ von solcher Art sein, dafs sie, mit
möglichen reellen Werthen multiplicirt, die man den ver-
allen
immer einen
der Fall,
Werth des </>
wenn die homogene
Function zweiten Grades, die den Werth des
ausdrückt, in eine
schiedenen Gröfsen
ergeben.
Es
Sa beilegt,
dies
ist
bekanntlich
positiven
Summe
von Quadraten von homogenen linearen Functionen der s^
verwandelt werden kann, welche Quadrate nur mit positiven Constanten multiplicirt werden.
Daraus
folgt,
dafs
die
genannte Function auch nur positive
Werthe bekommen kann, wenn man den
in dieser Gleichung ebenfalls eine
tiven Coefficienten bildet,
Wenn
die
Wurzel
sie negativ,
bleibt
d.
h.
und
also
Sa die
Werthe
ist.
nur positiv sein kann,
Gleichung (22) reell
das n selbst imaginär sein.
n^ der
aa giebt, wie
Da nun der Coefficient des n^
Summe von Quadraten mit posi-
dies in der Gleichung (22 a) geschehen
ist,
so folgt:
so
mufs
Dieser Schlufs
auch dann noch bestehen, wenn die Gröfsen
a^
complex
§
SCHWINGUNGSFOEMEN FÜR EINFACHE TÖNE.
8.
Denn da
sind.
müfsten
so
17
ihre Verhältnisse, wie wir eben sahen, reell sind,
alle
sie
als
Producte
und desselben complexen
Hebt man das Quadrat
eines
Factors mit reellen Gröfsen darstellbar
sein.
dieses Factors auf beiden Seiten der Gleichung (22 a) weg, so folgt
wie oben, dafs
Nun
nothwendig negativ sein mufs.
falls es reell ist,
n^,
Denn
aber zeigen, dafs n^ nicht complex sein kann.
läfst sich
wäre n^ complex, so müfste auch mindestens ein Theil der Werthe
von a complex sein, wie die Gleichungen (20) erkennen lassen, und
zwei conjugirten Werthen von n^, z. B. o + ö-i und q — (ri, müfsten
auch
z.
zwei
=
B. 06
Werthe
conjugirte
ofb
+
ißh und a\
=
Lösungen
der
a^
—
für
entsprechen,
a
Schreiben wir nun die
ißi,.
Gleichungen (21) in folgender Form:
- Wj
- Wg ag
ttj
.
n2
.
w2
= P^
= p^^
j
.
a^
.
a^
+
+
Pj,2
.
ttg
p^^
.
aa
+ Pi.3
+ P2.3
.
ag
.
ag
+
+
.
. .
.
.
.
(21a)
multipliciren die erste Gleichung mit a\, die zweite mit
und addiren sämmtliche Gleichungen,
- n'^m^
ist
u.
+ ß^) = :E^(Pa,i.aa.a\).
(a^
s.
w.
(21b)
ab
b
Nun
a',
so erhalten wir:
aber die Doppelsumme auf der rechten Seite
reell,
weil
erstens die bei der Multiplication entstandenen imaginären Glieder,
wie ±:iPa,b[<^aßb
—
sich
«6/5a])
bei der
Summirung wieder
auf-
[«a 0^6
ßa ßb^t di^ Summe
zweier nothwendig positiven Functionen bilden, wie eben vorher in
heben, und die reellen Glieder, wie Pa,
Beziehung auf die entsprechende
ist.
Da demnach
reell
ist,
Summe
die
+
t,
Summe
in Gleichung (22 a) erörtert
auf der rechten Seite der Gleichung
so ist es unmöglich, dafs unsere
Annahme, n^
sei
complex,
richtig sein kann.
Daraus folgt also, dafs n^ nur negativ reell sein kann; alle
Wurzeln für n sind also imaginär, und wir dürfen daher allgemein
w^
= — v^,
also
n
—
±,i.v
setzen.
§
8.
wenn
Schwingungsformen des Systems für einfache Töne,
Wurzeln n^ der Gleichung {22) von einander ver-
alle
schieden sind.
Wir haben vorher
gesehen, dafs wir
von n^ aus der Gleichung
H. V. Helmholtz
,
Theoret. Physik.
(22)
Bd. IH,
N
Werthe
im Allgemeinen
Ausnahmsweise
erhalten können.
2
ERSTEH THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
18
kann
vorkommen,
dafs
Wenn
Ausnahme
es
werden.
solche
zwei
setzen eines richtig bestimmten
dieser
§
Wurzeln einander
nicht eintritt,
8.
gleich
wird durch Ein-
Werthes von n in das System der
Gleichungen (20) nur eine der G-leichungen eine Folge der (iV— 1)
übrigen, und aus den unabhängig von einander bleibenden übrigen
{N —
können wir die Verhältnisse von (iV— 1)
Gröfsen «„ zu einer von ihnen finden, welche Verhältnisse reell
sein müssen, da alle Coefficienten der linearen Gleichungen reell
sind.
Das eine willkürlich gewählte a kann aber auch einen complexen Factor, wie e'y, erhalten, dann mufs derselbe aber auch
allen anderen a^ zukommen.
Gleichungen
V)
wenn einer der
und zwei oder mehrere Wurzelwerthe des w^
Alle diese Verhältnisse erleiden Aenderungen,
Ausnahmefälle
eintritt,
Wir
einander gleich werden.
und
Fall behandeln,
wollen hier zunächst den allgemeinen
und den folgenden Paragraphen die
beim Einsetzen des Werthes von n^
in diesem
Voraussetzung festhalten, dafs
in die Gleichungen (21)
(JV—
wird,
nur eine der Gleichungen Folge der anderen
aber unabhängig von einander bestehen
derselben
1)
Dann bekommen
bleiben.
die
also
verschiedenen
s^
Werthe von
der Form:
s„
worin
alle a^
reell
=
«„.6')' + *»"
anzunehmen
(23)
Trennen wir die reellen und
sind.
imaginären Theile, so geben uns die ersteren:
So
=
«a
ö-a
=
«a
.
cos {v
t
+
y),
(23a)
+ y).
(23b)
die letzteren;
•
sin(«'^
Beide Lösungen sind nicht wesentlich von einander verschieden,
da die erstere in die Form der letzteren übergeht, wenn man
[/
—
wie
statt
ö-|
er
erlaubt
y
setzt.
ist,
da
Auch
n=
ein
+iv,
Wechsel im Vorzeichen des
v,
wirkt nur wie eine Aenderung
—
der Phasenconstante y in — y oder y in
y -}- 7t, so dafs also
die Form der Gleichung (23 a) mit der einen willkürlichen Con-
und dem einen willkürlichen Werth des einen a, der als
Factor in a^ steckt, die für den Werth v möglichen Bewegungsformen vollständig darstellt. Die physikalische Bedeutung des v
stanten y,
ist,
dafs
es
die Schwingungszahl
in
27r
Secunden angiebt.
sieht übrigens aus der Gleichung (23 a), dafs alle
Man
Punkte Bewegungen
ausführen, deren Componenten einfache, pendelartige Schwingungen
§
DAS VOLLSTÄNDIGE ALLGEMEINE INTEGRAL.
9.
durch die Gleichgewichtslage durch-
darstellen, die alle gleichzeitig
gehen, wenn
cos [v
i
=
-{ y]
gleichzeitig erreichen,
wenn
19
und
,
ihre
äufsersten
Elongationen
+ /) = ±1.
cos{vt
Zu jedem Punkte gehören nun
aber drei Coordinaten s^, und
im Verhältnifs des cos(i'^ + /) wachsen, so ist der
Weg, den der Punkt beschreibt, eine Gerade, und die Form der
Bewegung auf dieser Geraden ist eine einfache, pendelartige
da
drei
alle
Schwingung.
Ein solches Integral, welches auf eine Wurzel von n Bezug
nimmt, stellt eine sogenannte Eigenschwingung des Systems dar.
§
Es
Das vollständige allgemeine
9.
Integral.
nun aber nicht nur ein solches Integral unserer Be-
giebt
wegungsgleichung, sondern, da wir i\rWerthe von n^ haben, haben
wir auch
N
Bewegungsformen des Systems, welche
derartige
alle
unbeschränkt lange Zeit unverändert fortbestehen können, und von
denen
Eigenschwingung
jede, eine
des Systems darstellend, einer
N verschiedenen
Wurzeln von w* entspricht.
nunmehr die den verschiedenen Eigenschwingungen
des Systems entsprechenden Werthsysteme der a und n mit dem
der
Wir
wollen
laufenden Index
versehen, so dafs wir die der Schwingungszahl Wq
q
entsprechende Lösung schreiben können:
Sa, p
=
*o, q
•
sin
(l/p
.t)-^Ca,ti. COS (v,
= —
•
(24)
t),
io,q
«cq-sin/q Und Co^q = a^, q COS /q ist, uud wcun wir alle
Einzellösungen zum vollständigen Integral superponiren
wo
.
So
=
2
-^q
•
{K
q
•
sin
(«'q
•
+
«a, q
•
COS
(Vq
.
^l
(25)
'
»^
q
haben wir gesehen, dafs ein Werth von a willist, und dafs diese Wahl die übrigen Werthe
von a proportional beeinflufst. Wir wollen, um diesem unbestimmten
Früher
kürlich
(§ 7)
zu wählen
Factor einen festen Werth zu geben, festsetzen, dafs er so gewählt
werden
soll,
um
für jeden Einzelton Vq
2K-<q) =
l
(26)
a
ZU machen, wo der Index
q
anzeigt, dafs die
jenigen Werthe von a auszuführen
ist,
Summation über
die-
welche der qten von den
verschiedenen Werthen der Wurzeln von n^ entsprechen.
N
ERSTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
20
Nunmehr können
«a
WO
Äc^
,
=
2
wir schreiben:
•
l-^q
•
<^a. q
— Fq sin /^
ßq für
Si^
und
(*'<»
Fcf
N geht,
laufende Index q bis
•
+
^)
cos
-Bf,
•
COS
«a, q
{v^
t)\
.
(27)
Da
geschrieben sind.
;^q
haben wir
so
Constanten in dieser allgemeinsten
§ 10.
§ 10.
2N
also
Lösung
der
willkürliche
zur Verfügung.
Anpassung des allgemeinen Integrals an einen
gegebenen Anfangszustand des Systems.
Wir wollen jetzt annehmen, dafs für einen bestimmten Moment,
wählen können, für
den wir ja zum Anfangspunkt der Zeit t =
alle Punkte des Systems uns die Werthe der Coordinaten und der
Es tritt uns dann die Aufgabe
Geschwindigkeiten gegeben seien.
entgegen,
Constanten
die
des
vollständigen Integrals (27)
Anfangszustand entsprechend zu bestimmen.
und
hältnifsmäfsig leicht
Die für die Zeit
t
läfst
diesem
sich ver-
direct leisten.
=
Geschwindigkeiten mit
Dies
gegebenen Coordinaten seien mit
dg
—r^
s^,
die
haben dann
bezeichnet, wir
dt
^ = 2{^<,.«a,4
2{n.A-«^a.<,}
dt
Es
und
B
(28)
(29)
nun aus diesen gegebenen Werthen
sind
zu bestimmen.
die Coefficienten
A
Die Anzahl der Gleichungen genügt; denn
—
wir haben 2 iV Coefficienten und ebenso viel Werthe von s und
ds
dt
Zur Bestimmung des
der
Coefficienten B^,
der pten Eigen-
schwingung des Systems, also der ^ten Wurzel für n^ entspricht,
multipliciren wir die Gleichung (28) mit nia, a^^p, dann ergiebt sich:
.
»»a
•
«o,p
•
= 2 {^q
«a
q
^a.q
•
•
«a,
p
•
Wla|
(30)
•
'
l
und, wenn wir die Summation über das ganze System vornehmen:
2 {^aa
^
»a,i.
•
Sa]
'
=
22
q
{-^a
^
'
«o, q-
«0,^
•
Wla[
(30a)
'
Die rechte Doppelsumme läfst sich nun wesentlich vereinfachen,
wobei wir zunächst auf unsere früheren Bedingungsgleichungen (§ 7)
§
ANPASSUNG DES ALLGEMEINEN INTEGRALS.
10.
für
die
21
Werthe von a und n zurückgreifen müssen. Dieselben
Werthe n^
lauten zufolge Gleichung (20) für irgend einen der
< .ma.aa,y= — 2
Denken wir uns
dem Factor
{-^0, b
•
«B, v}
diese Gleichungen für alle o aufgestellt, mit
wo p
aa,p multiplicirt,
sich auf irgend einen anderen
der Werthe von n^ bezieht, und dann addirt, so erhalten wir:
Wv2 {^^a
•
«a, V
Vertauschen wir nun
ändert.
Wir
•
p und
•
«6, v
•
«a.p}
*
(31)
so bleibt die rechte Seite unver-
v,
erhalten daher bei der Subtraction
{n^
- w^)
.
2 \^a
a
Da
= ~ 2 2 {A b
aa,p}
•
«0, r
=
aa,p\
•
(31 a)
.
'
^
wir nun hier voraussetzen, dafs alle Wurzeln für w* ver-
schieden sind, so folgt
'^\ma.aa,y.aa,p\
—
(31b)
0.
Unter Berücksichtigung dieses Ergebnisses heben sich alle diejenigen
Glieder in der Gleichung (30 a) auf, in denen q von p verschieden
ist
Wir erhalten daher
2
Nun haben
ist,
und daher
{*^a
•
aa,p
•
Saj
= ^p
•
2
{'^a
•
(30 b)
<p}
wir aber festgesetzt, dafs
ergiebt sich
^p
Damit haben wir
heit des Systems
die
= 2{^a.a«,p.^}
(30c)
5
aus der Beschaffen-
Coefficienten
und den gegebenen Anfangswerthen der
Coordinaten bestimmt.
In ähnlicher Weise lassen
Werthen von —r-^ berechnen;
sich
die Coefficienten
es ergiebt sich
völlig analoge Betrachtung, dafs
Ä
aus den
nämlich durch eine
ERSTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
22
A und B
Setzen wir die Werthe für
§11.
in unser allgemeines Integral
so erhalten wir
ein,
= 2 -^•««.c-sinK-O-SJ^B-aM-^}
j
(33)
+
Somit
es
zeigt
Werth von
der
ist
die Zeit
=
t
«a, q
COS
•
(fp
2
.
*^6
{
^6, q
•
•
^fi)
vollständig ausgedrückt durch die für
s^
gegebenen Elongationen und Geschwindigkeiten, und
Form
von uns gefundene allgemeine
die
dafs
sich,
des
wirklich allen beliebig gegebenen Anfangszuständen
Integrals (25)
angepafst werden kann.
§11. Das Reciprocitätsgesetz und das Huyghens'sche Princip.
Form
In der soeben abgeleiteten
Beziehung
enthalten,
die
merkwürdige
für «„ ist eine
oscillatorischen
allen
Bewegungen
zu-
kommt.
1.
Sind für
t
=
nur eine Elongation,
»Wa
•
«a
=
aUe G-eschwindigkeiten gleich Null und
z.
2
B.
{
s^
^a, q
=
•
S,
COS
von Null verschieden, so
(«/„
^ ^a mj
•
.
.
.
a^, q
ist
ist
(34)
»S^
}
Der Factor von S
ist nach o und h symmetrisch; daraus folgt,
Masse und Elongation, m.s, im Punkte a dasselbe ist, wenn man den Punkt b zur Zeit t =
um S verschoben,
als es im Punkte 6 wird, wenn man den Punkt a zur selben Zeit
dafs das Product von
um S
auf Punkt
2.
Der Punkt a wirkt
auf Punkt b ein, wie Punkt
verschoben hätte.
lauf der Zeit
t
also ebenso
b
nach Ab-
nach derselben Zeit
a.
Wenn
zur Zeit
t
=
alle
und von den Geschwindigkeiten nur
Elongationen gleich Null sind
—d—^ =
Stx
S' von Null verschieden,
dt
so
ist:
m„
dt
Für
= ^{^a,<^- cos {v^
.
#)
.
ma
.
Wfi
.
«6, q
die Geschwindigkeiten gilt also hier dasselbe,
Elongationen fanden.
•
'S"
(35)
I
was wir für die
§
RECIPROCITÄTSGESETZ UND HUYGHENS'SCHES PRINCIP.
11.
Von
ßeciprocitätssätzen
diesen
kann
man
Fällen
vielen
in
23
Anwendung machen, besonders wenn man darauf verForm der Bewegung für ein be-
nützliche
zichten mufs, ganz allgemein die
stimmtes System zu finden.
Wenn
gungszahl
bei einer bestimmten
Eigenschwingung von der Schwin-
bestimmter Massenpunkt mit
Vq ein
dem Index
der betreffenden Coordinatenrichtung nicht bewegt,
a sich in
so ist in der-
jenigen Bewegung, welche dadurch entsteht, dafs wir allein jenem
Massenpunkte
also
ihm
von
der
a in dieser Coordinatenrichtung einen Anstofs geben,
eine
Geschwindigkeit
Schwingungszahl
Denn wenn
halten.
Schwingungszahl
von
und
dg
nur -^r^ oder
=
a^^ q
Sb
Formel
die
(33)
nicht
der
ent-
betreffenden
was auch immer für Anfangswerthe
a^, q
Null
Wenn nun
sein.
d Sft
dt
anderer-
$„
von Null verschieden
ist,
so
COS
(Vq
kommen,
weil
dt
=
=
0, in
2
q
die
Eigenschwingung
das System dadurch in Schwingungen versetzt wird, dafs für
seits
<
sollen,
gegeben sind, so mufs
sj
jene
Partialschwingung
entsprechenden Glieder für beliebige Werthe
Vp
verschwinden
t
der
in
ertheilen,
als
v^
i
l
Vq
den Ausdrücken
^6, q
sin
(l/q
der betreffenden
.
i)
.
Wa
.
«a,
q
•
-77"
ui
Schwingungszahl
+ «6,
Vq
q
.
^)
.
Wa
.
«a, q
•
«a
entsprechenden Glieder
Einen solchen Punkt nennt man einen „Knotenpunkt"
der betreffenden Eigenschwingung. Man kann also eine Bewegung
nicht vor.
hervorrufen, welche eine bestimmte Eigenschwingung nicht enthält,
man einen Knotenpunkt der letzteren kennt.
Da man den Anfangspunkt der Zeit beliebig wählen
sobald
können
kann, so
Zeitmoment vorhandenen Verschiebungen und Geschwindigkeiten der einzelnen Punkte betrachtet
werden als hervorgerufen in demselben Moment, und die in Folge
des gegebenen Bewegungszustandes ablaufende weitere Bewegung
des Systems als eine Superposition aller derjenigen Wellenformen
des Systems, welche durch die in dem genannten Zeitmoment bestehenden Elongationen und Geschwindigkeiten aller einzelnen
Massenpunkte des Systems erregt werden würden (HuYGHENs'sches
die
Princip).
in
einem
beliebigen
ERSTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
24
§ 12.
Wir
Behandlung
§ 12.
Variationsproblem.
als
hatten das System der Gleichungen (20)
oder
,>2.m„.a„
Multipliciren
8a^
u.
s.
w.,
a^,
(20a)
2{^a,b.«b}-
Gleichungen der Eeihe nach mit Sa^,
wir die
welche Gröfsen wir
zu den Werthen
dieser
=
a^ u.
s.
w.
als
verschwindend kleine Zusätze
betrachten
Werthe bezeichnen, und bilden
die
und
als
Summe
Variationen
des dann ent-
stehenden Systems von Gleichungen, so haben wir:
1 a;2.^2{^a.a^}-i^22{A,B.aa.«B}=0.
2
.
.
a
^
Bei der Bildung der Variation des letzten
(36)
Summanden
ist
zu
bemerken, dafs
22(^0,6
•
«a
SaA =
22ka,b
.
«b
SaA;
denn beide Doppelsummen bezeichnen Summen derselben
Führen wir die Bezeichnungen ein:
Glieder.
B^i^lma.al]
(37)
und
S-=i^^{Pa,f>-a,.aA,
a
b
l
(38)
'
so ist Gleichung (36) zu schreiben:
v^.SR-dS=0.
Hätten wir gleichzeitig die beiden Gleichungen zu erfüllen
SR==0
(39)
SS=0,
(40)
und
so
würden wir eine derselben mit einem willkürlichen Factor multioben in (36) durch v^ dargestellt ist, und die
pliciren können, der
beiden Gleichungen in die eine vereinigen können:
vKSR-dS=0.
Diese Gleichung sagt also aus:
dafs
SR =
0, d. h.
dafs
R
Wenn
constant bleibt, so
(41)
wir die a^ so variiren,
ist
auch
^5=0,
d. h.
§
LÖSUNG DES PROBLEMS BEI GLEICHEN WURZELN.
13.
25
Ä ist ein Grenzwerth (ein Maximum, Minimum oder MaximoMinimum), wie wir auch die «„ variiren mögen, wenn dies nur
immer so geschieht, dafs R constant bleibt, und wir können also
Form
die Bedingungsgleichungen (20 a) in der
die Doppel-
Grenzwerth werde.
ein
Der Werth der Schwingungszahl
=
Gleichung v^.R
bestimmt
R
dafs bei constant bleibendem
die Forderungstellen,
summe S
aussprechen, dafs wir
findet
dann aus der
sich
sobald die a^ der genannten Bedingung gemäXs
S,
sind.
Der
hier aufgestellte Satz ist oft nützlich,
um
angenähert rich-
Lösungen zu verbessern, namentlich wenn er auf Systeme von
unendlich vielen Massenpunkten übertragen wird. Wenn man Ausdrücke mit mehreren unbestimmten Parametern hat, kommt man
der richtigen Lösung möglichst nahe dadurch, dafs man diese Parameter der hier aufgestellten Bedingung gemäfs bestimmt.
tige
Veränderte Lösung des Problems bei Existenz gleicher
Wurzeln für n\
§ 13.
Wenn
Wurzeln für n^ nicht
die
alle
verschieden sind, so be-
stehen für die Factoren a^, welche uns die Intensität der die Ge-
sammtbewegung zusammensetzenden Einzelbewegungen angeben, zum
Theil andere Bedingungen.
Bezeichnen wir die Determinante der Bedingungsgleichungen
mit
D
und
je eine Horizontalreihe des
Dj.j,
und
Djj
.
.
80
. .,
ist,
-Q^ =
und wenn wir mit
^'•'"d^^
Nun
denen je eine Verticalreihe
die Unterdeterminanten, in
ist aber,
'^i
wenn wir
Wj
Dj,!
+
D weggelassen sind, mit D^^^, D^^^
D nach n^ differentiiren
Wg
D2,2
Wg Dg^
+
^3 A.i
..
(42)
.
Dj.j multipliciren:
•^'>
+ ^3
•
A.i A.2
•
•
•
A^ +
•
•••
(42a)
nach einer allgemeinen Eigenschaft der Determinanten,
80 oft
Z)
=
ist,
also
+
+
,
D
.D
=D
.D
D
.D
=D
.D
,
auch
.
ERSTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
26
Weil aber
in
—
unserem Falle P^^
wir haben demnach
Es verwandelt
-P„,„ ist,
§ 14.
so ist hier ^^^^
=
-D„,„;
j^------^--h~^!?s£^
sich unsere Grleichung (42 a) also in
dL
dn
= ^{maDlA
a
Nun
ist aber,
Wir
erhalten daher:
(42b)
'
^
wenn zwei Wurzeln n^ einander
gleich werden:
= 2Ua.i>la}.
a
Das
Null
ist
(43)
'
^
aber nur möglich, wenn jede Unterdeterminante D^^
ist.
Dieser Beweis
gilt
^
gleich
ebenso für die Unterdeterminanten
Z)2, a?
D3 a u. s. w. Es sind daher s am mtli che Unterdeterminanten erster
Ordnung gleich Null. In diesem Falle sind also zwei der aufgestellten allgemeinen Bedingungsgleichungen (21) von den übrigen
abhängig, und wir können zwei Werthe von a willkürlich wählen.
§ 14.
Die
Form der
Partialbe wegungen.
Als wir lauter verschiedene Wurzeln für n^ voraussetzten, waren
«a auch complexe Werthe zulässig, da wir einen Werth
von a ganz beliebig wählen konnten, aber ihre Verhältnisse unter
einander mufsten reell sein. Wenn wir hier nun z. B. zwei gleiche
Wurzeln für n^ annehmen, können wir zwei Werthe von «„ völlig
zwar für
willkürlich
wählen;
sein; es sei q .e^^.
Dabei können
üa,^
reell
das Verhältnifs
Dann haben
a^,^, q, co
iv
t
iv
t
wir
kann
derselben
z.
B. für die
f
te
complex
also
Wurzel von
v^
\
i
beliebige
(v
t
+
(44)
o>\
Werthe haben.
I
Nehmen
wir
an und beschränken die Ausdrücke für s^j und
z.
56,f
B.
^^f
die reellen Theile, so wird
5a,f
«6,
f
= aa,f.COs(«/f<)
=
COS [V^ +
«ft, f
.
()
.
^
1
\
«0)
I
(44 a)
DIE FORM DER PARTIALBEWEGUNGEN.
§ 14.
27
Daraus geht hervor, dafs «^ und Sf,^^, wenn sie auch harmoBewegungen gleicher Schwingungsdauer darstellen, erstens
^
nische
nicht wie früher zu gleicher Zeit die Gleichgewichtslage zu passiren
brauchen und zweitens jedes beliebige Amplitudenverhältnifs haben
können.
Es besteht im Allgemeinen eine
den beiden Schwingungsformen.
von irgend zwei an-
gilt
sofern sie der Eigenschwingung von der
deren Elongationen
s^, s^,
Schwingungszahl
entsprechen:
v^
Phasendiflferenz zwischen
Dasselbe
WO Aq A^ Bq Bj bestimmte reelle Werthe haben. Da nun a^, und
o^f beliebige complexe Werthe haben können, so kann man die
reellen Theüe auf die Form bringen:
f
Sp,^
wo
A, B, y^, y^
= Acos{v^t +
rp)
irgendwelche Werthe haben können.
\
.._
f
(45 a)
Auch
,
hier
stellen Sp^
und Sq^ harmonische Bewegungen derselben Periode dar.
Aber während in dem FaUe ungleicher Wurzeln n^ die Amplituden
ein bestimmtes Verhältnifs hatten und kein Phasenunterschied stattfand, können hier die Amplituden beliebige Werthe haben, und die
und s, im Allgemeinen zu verGleichgewichtslage wird bei 5p
j
j
f
f
schiedenen Zeiten passirt.
Wenn
drei gleiche Wurzeln für die Determinantengleichung
werden von den zu ihnen gehörigen Coefficienten aj, drei
willkürlich gewählt werden können, die anderen sind dann alle
existiren,
bestimmt.
Wenn
wir die Elongationen eines der materiellen Punkte des
Systems unter Eintlufs der den drei gleichen Wurzeln entsprechen-
den Bewegungen mit
x, y, % bezeichnen,
ist
aus den vorstehenden
Erörterungen leicht erkennbar, dafs wir diese auf die
Form
(46)
bringen können, wo die Coefficienten
J.,
B,
G
aber beliebige complexe Werthe haben können.
reell sind, a^, a^, a^
Schreiben wir
ERSTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
28
Aq tta
Bq
tta
Gq Ua
+
+
+
A^tti
5j «6
Ci aj
+
+
+
§15.
= Ae"^
^2 ^c = ße'*
Ca «c = Ger
A^üc
*
(47)
»,
man
so erhalten wir für die reellen Theile, auf die
ohne Ver-
sich
an Allgemeinheit beschränken kann:
lust
= A cos {v
a) = 2li cos vt + U^sinvt
y = Bcos{vt + ß) = ^^ cos vt + Sog sin v
% — Gcos [vt + y) =
cos vt + (S'^s^invt.
X
t -}-
(48)
t
Q,^
Hier sind die sechs Gröfsen
9tj 'ä^ ^ö^ SSg
Wir können
©^ ©a beliebig.
den Formeln eine geometrische Bedeutung geben.
nämlich sofort, dafs der Punkt xy% in der Ebene
Es
zeigt sich
y
2t,
2t,
=
<^i
5Ö,
(49)
e.
oder
x{^,
liegt.
-
-
+
"
=
©1
58a)
+
Dieses
ist
aber die Gleichung einer Ebene, welche durch den
(£a
yi^i
Sta
2ti (S,)
^(2t,
«a
«i
^ta)
(49a)
Anfangspunkt der Coordinaten, also durch die Gleichgewichtslage
des betrachteten Massenpunktes geht.
Femer
erhalten wir durch einfache
2ti $8a
also
die
-
»1
+
2la
^2^-^2y
1,
Gleichung eines Cylinders zweiten Grades.
Punkt beschreibt.
Die im
des Massenpunktes
(Kreis
«1^2
2X,Söa
mit der eben abgeleiteten Ebene
linie
Umformungen:
Räume
demnach
ist
und Gerade) mit
thatsächlich ausgeführte
Dies
ist
Bewegung
eine EUipse, wobei die Grenzfälle
einbegriffen sind.
Indifferentes Gleichgewicht tritt ein,
bleibt.
Seine Schnitt-
Bahn, welche der
IndifTerentes Gleichgewicht.
§ 15.
von Verschiebungen
die
ist
(50)
s die potentielle
zum
wenn
Energie
Beispiel für ein frei
für gewisse Arten
constant gleich Null
im Räume schwebendes,
von äufseren Kräften nicht angegriffenes System der Fall bei Ver-
§
BEWEGUNG
16.
BEI BESTEHENDER DÄMPFUNG.
29
um
Axen, die
Schiebungen seines Schwerpunktes und Drehungen
durch den Schwerpunkt gehen, wobei die Punkte des Systems zu
einander in relativer Euhe bleiben, dann ist dauernd
i2^{^a,B.aa.a6}=0.
(51)
Berücksichtigen wir nun, dafs ganz allgemein
- w2 2
{
Wla
.
a^
}
=
22
{
^0,
6
•
«a
.
«b }
,
so folgt daraus, dafs
=V=
(52)
r=l = oo.
(53)
«n
und
Oscillationen von endlicher Dauer werden also nicht entstehen,
und jede einmal begonnene, sowohl fortschreitende wie drehende
Bewegung erhält sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit unendlich lange.
Dritter Abschnitt.
Die Bewegung eines einzelnen Massenpnnktes unter dem
Einflufs einer elastisclien Kraft und einer Dämpfung.
§ 16.
Die Bewegungsgleichung und ihre Lösungen.
Wir haben in dem Bisherigen nachgewiesen, dafs bei der ausAnnahme conservativer Kräfte eine einmal eingeleitete
schliefslichen
oscillatorische
Bewegung
stets
unverändert fortdauert.
Die Erfahrung
Bewegungen aber thatsächlich nach
einiger Zeit stets erlöschen.
Es müssen also in Wirklichkeit stets
Ursachen vorhanden sein, die der Bewegung entgegenwirken. Bekannte Kräfte dieser Art sind gegeben in der Eeibung oder in dem
Widerstand der umgebenden flüssigen Medien.
lehrt
uns nun,
dafs
solche
Die lebendige Kraft wird scheinbar vernichtet,
verwandelt
sie sich
aber in
Wärme, oder
sie
thatsächlich
entgeht unserer Beob-
achtung, indem sie übertragen wird auf das den schwingenden
Körper umgebende Medium oder an diejenigen Körper, welche zur
EESTEK THEIL. DRITTER ABSCHNITT.
30
dienen
Befestigung
Luft
u.
Die Abgabe der
w.
s.
§ 16.
Bewegung an
die
besonders leicht zu erkennen, wenn die Schwingungszahl
ist
der Bewegung innerhalb der oben
angeführten Grenzen der
(§ 3)
Schwingungszahlen der hörbaren Töne
Wir
liegt.
dann
sind
in
Folge der Uebertragung der Schwingungen des bewegten Körpers
an unser Ohr berechtigt, den betreffenden Körper als einen tönenden zu bezeichnen. Die ganze Akustik als physiologische Wissenschaft würde ohne eine solche Abgabe der Schwingungen an die
Umgebung nicht existiren.
Wir haben also, um uns den
thatsächlichen Verhältnissen besser
anzupassen, in die frühere Bewegungsgleichung
führen,
welche eine
dingen.
Das würden
Abnahme
allmähliche
Kräfte
alle
ist die
Glieder einzu-
der Schwingungen be-
dauernd der zeitigen
die
Die einfachste
Geschwindigkeit entgegenwirken.
Annahme
thun,
(1)
Form
einer solchen
Einführung von Kräften, die der Geschwindigkeit
proportional gesetzt werden, aber mit einem negativen Coefficienten.
Auch stimmen
einer solchen Annahme mit
den Erfahrungen genügend gut überein, namentlich wenn in den
mitbewegten flüssigen und luftförmigen Körpern keine Wirbel ent-
stehen,
die Folgerungen
aus
und wenn keine „klebenden Kräfte"
Diese Ausnahmefälle
wollen
wir
ins
Spiel
kommen.
aber hier zunächst nicht weiter
beachten.
Wir haben dann
gleich
m
ist,
Gleichgewichtslage in
worin
h stets
einen
für
und der
sich
=
a;
als positiv
in
einzelnen
0) bewegt, die
anzunehmen
Nach den allgemeinen
Punkt,
Masse
dessen
der Richtung der cc-Axe (mit der
Bewegungsgleichung:
ist.
Integrationsregeln
homogener linearer
indem wir setzen
Differentialgleichungen erhalten wir eine Lösung,
a;
Dann
folgt,
und —-5-
=
wenn wir
n^x
für
=
——
dt
^.e«'.
und
-—^
dv
die
ist
nun
erfüllt,
a;
h
.n.x.
wenn entweder
=
0,
Werthe
dt
einsetzen:
m .n^ .X = — a^ .X —
Diese Gleichung
(55)
=n.x
BEWEGUNG
§ 16.
BEI
BESTEHENDER DÄMPFUNG.
wenn gar keine Bewegung vorhanden
d. h.
ist,
31
welchen Fall wir
natürlich nicht weiter zu berücksichtigen haben, oder
wenn
= — a^ — h.n,
m.n^
(56)
also
«=-^±]/^--Ob
Es
giebt also zwei
sie
reell
Werthe
(56a)
für n, welche der Gleichung genügen.
oder complex sind, hängt von der Wurzelgröfse ab.
Abgesehen von der Annahme, dafs
kommen
Abschnitt behandelt haben,
b^
=
h
=
0,
die wir schon
im
ersten
hier drei verschiedene Fälle vor.
Aa^ m.
und
P>
die wir
1.
ia^m,
nunmehr gesondert erörtern
Die Reibung
b^
wollen.
dafs
ist so klein,
< 4a^m
oder
4m^
Dann
ist die
< m
Wurzel imaginär, und indem wir setzen
a
b
=
2m
und
ß
|/
wo nunmehr a und ß
\m^
reelle positive
n
Wir
m
= —
Gröfsen bezeichnen, ergiebt sich
a ±:iß.
erhalten daher
a;
Die reelle
Form
X
Wir werden
sie
=
= ^.e"' = ^.e(-«±</^-<
= ^.e-°<.(cos/9< ±tsin/9«).
der allgemeinen Lösung
^.e-°«.cos/9i
ist
(57)
(57a)
demnach
+ B.e-^K^mßt.
im folgenden Paragraphen weiter behandeln.
(58)
EKSTER THEIL. DRITTER ABSCHNITT.
32
Die Reibung
2.
ist;
ist
dann verschwindet
§ 16.
gerade so stark, dafs
die Wurzel,
und wir erhalten
b
Es
ist
dann
die allgemeine
= Ä.6
x
Sie geht aus
Lösung
^'"
^"^
-{-B.t.e
(59)
.
der allgemeinen Lösung (58) hervor, wenn
B
in dieser statt der willkürlichen Constante
den Ausdruck
man
-3- ein-
P
der
setzt,
man nun ß
lässt
Constante bezeichnet;
eine willkürliche
ebenfalls
siu
Null werden, so geht
-~— in
-
verwandelt sich in die Gleichung
(58)
St
t
über und Gleichung
(59).
Die Bewegung besteht darin, dafs von der Anfangslage x
die zur Zeit
t
=
denn
—
A,
vorhanden, der Punkt sich mit wachsender Zeit
entweder sofort oder nach einem einmaligen Wechsel des Bewegungssinnes asymptotisch der Ruhelage
Die Reibung
3.
ist so
a;
=
nähert.
grofs, dafs
6^
also
>
4a2m,
j2
^2
4w^
w
^
'
die Wurzel reell, und wir erhalten zwei reelle, aber stets
Werthe für n, die wir mit n^ und n^ bezeichnen wollen.
Die allgemeine Lösung ist dann
a; = ^.6%' + B.e«««.
(60)
dann
ist
negative
In diesem Falle nähern sich, ähnlich wie im vorigen, falls der
Punkt einmal aus seiner Ruhelage herausgebracht ist, die Werthe
von X mit zunehmender Zeit i entweder sofort oder nach einem
einmaligen Wechsel des Bewegungssinnes asymptotisch dem Werthe
Null.
Denn
es ist
—d— ~
(T
dt
n,
^
.^e«i'
+
5.
Wo^
e««*.
Ein Umkehren kann nur eintreten für
w,
^e«i'
+
5w„e"«'
oder für
.
^2
Da
diese Gleichung
erfüllt sein
als
=
kann, so
einmal umkehrt.
B
nur für einen einzigen reellen Werth von
ist es
nicht möglich, dafs die
t
Bewegung mehr
§
BEWEGUNGSFORM DER GEDÄMPFTEN SCHWINGUNGEN.
17.
Die Bewegungsform der gedämpften Schwingungen.
§ 17.
Für
die Akustik hat
nur der erste der behandelten Fälle, wo
nämlich die Eeibung so gering angenommen wurde, dafs
Wir
praktische Bedeutung.
ist,
33
5^<4a^w
erhielten (Gleichung 58) als all-
gemeine Lösung
x
=
+ B.e-'^^.sinßt,
A.e-'^'.cosßt
Ä
worin a und ß reelle positive Gröfsen und
Constanten bezeichneten.
Setzen wir
und
B
willkürliche
nunmehr
A=
R.sinc
und
so wird
x== R.e-''*.sm{ßt
Wir haben
hier also eine
Schwingungen
artigen
nur
Factors
Bewegung, welche von den pendelabweicht, dafs die Amplitude
a, also desto
Ist für einen
hat, sondern in Folge des in ihr
mit der Zeit abnimmt.
e-°'
dämpfte Schwingungen.
auch
(61)
c).
darin
Ä.e-°' keinen constanten Werth
enthaltenen
+
Je kleiner
geringer
ist
b
sind
ge-
wird, desto kleiner wird
Abnahme
die
Es
bestimmten Werth von
i
der Amplitude,
die Elongation gleich
geht der Punkt durch die Gleichgewichtslage, so wird
Null,
d. h.
dieses
nach der Zeit
—2 ^—
71
wieder
Wir haben
eintreten.
also
die
P
Schwingungsdauer
T=^,
7»=
-
(62)
ß
und
die
Schwingungszahl
62
4 w^
&2
2n\l m
Nun
ist
gleich der Schwingungszahl,
V.
4a'
aber
2n y
H.
(63)
y
Hbuiholtz
,
Theoret. Physik.
falls
Bd. Ol.
m
keine Reibung vorhanden wäre.
3
ERSTER THEIL. DRITTER ABSCHNITT.
34
Der Einflufs der Keibung bewirkt
im Verhältnifs
§ 17.
dafs die Schwingungszahl
also,
lA^
vermindert wird.
nun
Ist b
klein gegen
Schwingungszahl unbedeutend
Punktes sehr grofs
sein,
so wird die
a,
Abnahme
der
besonders wenn die Masse des
ist.
Der Factor e-"'
dem Werthe
in
für die Elongation in der
Gleichung (61)
X
= E.6-"Ksm{ßt
bewirkt nun aber nicht nur eine stete
-^ c)
Abnahme
der Amplitude und
constante Aenderung der Schwingungszahl im Vergleich zu den un-
gedämptten Schwingungen, sondern er verschiebt auch den Zeitpunkt der maximalen Elongation. Bei der ungedämpften harmonischen Schwingung liegt, wie aus der Gleichung (Ic) und (5) unmittelbar hervorgeht, die maximale Elongation in der Mitte zwischen
zwei Durchgängen durch die Gleichgewichtslage.
Um
nun hier bei
den gedämpften Schwingungen die Lage der maximalen Elongation,
wo
—— =
also
ist,
zu finden, bilden wir
dt
—^ = — «.i2.e-°'.sin(/?^-|- + /5.Ä.e-°'.cos(/9i +
c)
c)
(61a)
(t z
und wenn wir
dieses gleich Null setzen, ergiebt sich
-j =
Da
Durchgänge durch
die
sin(/9if
+
beiden
c)
gleich Null
gelegenen
cotg iß
t
+
(64)
c).
die Gleichgewichtslage stattfinden,
ist,
so
Zeitmoment
ist
in
dem
cotg {ß
t
-{•
wenn
in
der Mitte zwischen
c)
gleich
Aus
Null.
Gleichung (64) ergiebt sich nun aber, dafs im Zeitpunkt der maximalen Elongation cotg {ßt-j-c) einen positiven Werth hat, der um
so kleiner
Umkehr
ist,
je kleiner
ci,
also je geringer die
Dämpfung
Die
ist.
des schwingenden Punktes findet mithin nicht in der Mitte,
sondern etwas näher
Gleichgewichtslage
dem vorausgegangenen Durchgang durch
statt.
Die Abweichung
ist
um
Dämpfung; sie ist unabhängig von der Gröfse der
weiligen Amplitude. Zwei maximale Elongationen sind demnach
kleiner die
die
so geringer,
je
zeit-
stets
genau durch den Zeitraum einer Schwingungsdauer von einander
getrennt.
§
DIE BEWEGUNGSGLEICHUNG.
18.
35
Bezeichnen wir zwei auf einander folgende Maxima von x mit
x^
und
iCg,
so
ist
und
_
WO C
für i28in(/9^
Daraus
+
c)
\
geschrieben
(65)
oder
ist,
\o%x^
=
loga^i
— logajg =
\ogC-a{t-\-T).
J
folgt:
«.
(65b)
!r.
Der Werth von u ist also aus zwei auf einander folgenden Maxima
und der Schwingungszeit zu berechnen. Man nennt a.T das logarithmische Decrement der Schwingungen.
Ist die Dämpfung sehr gering, so können wir die durch sie
verursachte Vergröfserung der Schwingungsdauer, die gegen a von
zweiter Ordnung ist, vernachlässigen und für T den Werth der ungedämpften Schwingung einsetzen. Wir erhalten dann das logarithmische Decrement
a.T='jt.—^aym
(66)
Vierter Abschnitt.
Die Bewegungen eines beliebigen Systems Ton Massenpnnkten
unter dem Einflufs conserrativer Kräfte mit Berücksichtigung
der Reibung.
§ 18.
Für
die
Die Bewegungsgleichung.
ungedämpfte Bewegung eines Systems von Massen-
punkten hatten wir die Gleichungen (18 a)
m.
•-
dt^
Hier
ist
nun
ein
= -21^...-.}
weiteres Glied
hinzuzufügen,
das.
sich
auf die
Reibung nun sowohl
bedingt durch die eigene Bewegung dieses Punktes in Bezug auf
Reibung
bezieht.
Bei jedem Punkte
ist
die
ERSTER THEIL. VIERTER ABSCHNITT.
36
§18.
Punkte des Systems und die äufseren Körper,
die anderen
als
auch
durch die Bewegungen der anderen Punkte. Beides wird berücksichtigt, wenn wir die Bewegungsgleichung nunmehr schreiben:
»-^li-M-M— ?|ÖM-^)
df
Q
Hinsichtlich der Coefficienten
Gleichheit von Action
zu bemerken, dafs wegen der
und Eeaction
Qa,
b
=
(68)
Qf},a
und dafs die Coefficienten Qa, „, 0^,6
Reibung der Massenpunkte w^, nif,
sein mufs,
haben auf
ist
die
Punkte, welche
(67)
dem System
nicht angehören;
Bezug
u.
s.
w. nur
u.
s.
w. gegen feste
ist
das System also
ein freies System, so ist
Qa,a
=
Qb,f)
=
=
0.
Der Factor «, den wir positiv annehmen, ist als Maafs der
Eeibung anzusehen, und durch seine Aenderung können wir jede
Aenderung in der Gesammtgröfse der Reibung ausdrücken.
ds
Multipliciren wir die G-leichung (67) mit -—-^, und summiren
dz
dann nach
a,
so erhalten wir
d s,
d^ s„
'1^' dti~ ~??{^"'''^'' dt\
(69)
Wenn
wir nun
mit
L
die
actuelle,
Energie des Systems bezeichnen, so
dL
und mit
<D
potentielle
ist
d^s„
i?S(^)}]=2h
'dT
die
dSa
(70)
}
und
d(D
dt
dSa]
= ;^[i22{n,.....^J = 2?|n,.....^}
(71)
und wir erhalten daher
dt
Es
liegt
(^^^) =
nun
in
-^22|a..^.^l
dem Wesen der Reibung,
Energie des Systems mit der Zeit abnimmt;
dafs die
(69 a)
gesammte
es ist also die linke
§
AUFSUCHUNG VON INTEGRALGLEICHUNGEN.
19.
Seite dieser Gleichung negativ,
37
und daher müssen die Coefficienten Q
dSfi
Werthe von
so beschaffen sein, dafs für alle reellen
dt
^^\0..^-^\>0.
§ 19.
Da
mit
der
(72)
Aufsuchung von Integralgleichungen.
die Gleichungen (67)
homogene
Constanten Coefficienten
lineare Differentialgleichungen
erhalten wir Lösungen von
so
sind,
Form
Sa
=
aa-e^^K
Setzen wir dies ein, so ergiebf sich
=-
ma.n^.Oa
2{^a,b-ab}
-
e-w^j^a.b-ab
}
oder
ma.nKaa
+
Wir haben nun
von
a^ haben.
entweder
alle
2
{
^o, b- «b
}
+
«.»*^{
öa,b
•
«b
}
=
0.
so viel derartige Gleichungen, als wir
(73)
Werthe
Die Gleichungen können nur dann bestehen, wenn
a^ = 0, d. h. wenn keine Bewegung vorhanden ist,
welchen Fall wir hier ausschliefsen wollen, oder wenn die Deter-
minante des Gleichungssystems verschwindet, also
(n2
m^
(^a.i
+ Pi.i + 6 n Q^,^),
+ « ^ Ö2a)>
(P3.1+€w(?3.j),
+ c n Q^,^)
(^^ ^2 + ^2.2 + « ^ ^2.2)^ (^2.3 + « ^ ^2.3)
=
7W3
(n2
P3.3
fin03,3)...
£W<?3,2),
+
+
+
(P3.a
{P^,^
+ 6 n Q^,^),
(P^.g
.
•
•
•
0. (74)
Diese Gleichung ist ebenso, wie bei den ungedämpften Schwinveränderliche
gungen eines Systems von Massenpunkten, wenn
Coordinaten vorhanden sind, vom (2 N) ten Grade für n. Sie kann
zur Bestimmung der Werthe von n benutzt werden. Multipliciren
wir jede der Gleichungen (73) mit dem im ersten Gliede vorkommenden Werthe a^, und summiren dann über das ganze System,
N
so erhalten wir
W^Sl^attal
a
y
'
+ 22(^a.6-«a.ab} + «-W^Sl
ab*
a
b
^
'
^a, b
•
«0
•
«b
}
=0.(75)
'
Positive reelle Wurzeln für n können nicht vorkommen; denn
dann würden in Folge der Gleichungen (73) auch alle Werthe der a
ERSTER THEIL. VIERTER ABSCHNITT.
38
§ 19.
angenommen werden können, und damit die linke Seite der
positiv sein, da die beiden Doppelsummen nach
reell
Grleichung (75)
Die Gleichung
früheren Erörterungen positiv sind.
Annahme nur dann
unter dieser
d. h.
bestehen,
wenn
wenn keine Bewegung vorhanden ist.
Negative reelle Wurzeln für n können
ähnlichen Ueberlegung hervorgeht, bestehen.
WO nunmehr
und
a^ reell
positiv
fi
kann
(75)
a
alle
=
also
sind,
wie aus einer
aber,
Dann haben
wir
Die Elongation jedes einzelnen
ist.
Massenpunktes nähert sich also mit wachsender Zeit t asymptotisch
dem Werthe Null. Die Bewegung des Systems ist daher eine
aperiodische.
complexe Wurzeln von n
Sind
vorhanden, so müssen, da die
Gleichung (74) nur reelle Coefficienten hat,
vorkommen,
conjugirte Paare
stets
also
=
n
fi
+ iv
dann femer, dafs einem solchen
conjugirten Paare von n auch zwei conjugirte Systeme der Werthe
von a entsprechen. Bezeichnen wir die conjugirten Werthe von a
mit Ua. und «a, «ö und «6 u. s. w., multiphciren dann jede der
Gleichungen (73) mit dem entsprechenden conjugirten Werthe cca
und Summiren wieder über das ganze System, so ergiebt sich
und aus den Gleichungen
(73) folgt
(76)
Unter den Summenzeichen heben
alle
imaginären Theile weg,
zwar positive Gröfsen
ein, so
(^2
_
so
sich,
wie früher (§
dafs
die
7)
Summen
Setzen wir nun für n den
sind.
nachgewiesen,
reelle und
Werth n ±_iv
also
erhalten wir
^2
^
2 *>
1/)
2
{
^a
.
«a
Ofa
•
I
+
22
{
^a, 6
•
O^a
•
«6
}
(76 a)
+
b(ji
±
0.
Da nun
sowohl
Summe
die
=
»l')22Wa,6-Cfa.«6}
0.
b
der reellen als auch der imaginären
Theile dieser Gleichung, jede für sich,
gleich Null sein mufs,
ergiebt sich
2
*> 1/
2
{
Wia
•
«a
•
+
ßfa
I
« *
«'
22
6
{ öa,
•
^a ^6
•
}
=
so
§
AUFSUCHUNG VON INTEGRALGLEICHUNGEN.
19.
39
oder
2iti2{^a.aa.«a}
l
a
Daraus
+ «22{öa,b.aa.a6}=0.
'
a
b
(77)
'
^
folgt:
—
^=-^
^T?
a
^^^^^
r~'
'
^
Weil nach unserer Festsetzung c positiv ist, so mufs
negativ
h.
mit
nur gleichzeitig mit «, d.
der Reibung versein, und es kann
schwinden. So lange also Reibung vorhanden ist, sind rein imaginäre Werthe von n unmöglich.
\il
^ti
Wir haben schon
erwähnt, dafs einem Paare conjugirter com-
Werthe von n auch zwei Systeme conjugirter Werthe von a
Wir wollen nun festsetzen, dafs die beiden
der früheren ften Wurzel von n^ entsprechenden Werthe
plexer
entsprechen müssen.
nj
wo wir
also für
= —
—
den Werth
^u
;cf
+ tff,
(78)
x eingeführt haben, für den aten
Massenpunkt ergeben
Wir haben dann
"
=
()a,f
=
(>a,f.e~'''"'.cos(«/f^
Da
Sftj
.
'''
e
•
"
{
cos
(t/f t
/9a, f)
±
i
sin
(vj t
+
+ /5a,f)±«>o,f-6~"^"
=
•
sin
(vj <
+
/?„,
f).
(80)
diesem Falle die Bewegung des Massen-
eine gedämpfte Sinusschwingung,
deren allgemeine
wir unter Einführung der Coefficienten A^ und
sa,f
/9a,f)
der reelle Theil sowohl wie der imaginäre eine Lösung für
darstellt, so ist also in
punktes
+
•
(>a,f
•
e
«
.
'
<
{
^f COS
•
(i/f
.
<
+
/9a, t)
+
jBj
^f sin {y^.t-\•
Form
schreiben können:
/9a,f) }•
(81)
und 5f sind dabei willkürliche Constanten. Die Form solcher
Schwingungen haben wir oben bei einem einzelnen unter dem Einflufs der Reibung schwingenden Massenpunkte in § 17 eingehend
^f
besprochen.
ERSTER THEIL. VIERTER ABSCHNITT.
40
Anpassung des allgemeinen Integrals an einen
gegebenen Anfangszustand des Systems.
§ 20.
Das
vollständige Integral für s^ erhalten wir,
liche Einzellösungen
gestellt sind,
*a
=
§§ 20. 21.
wie
s^^j,
Es
summiren.
sie in
indem wir sämmt-
der letzten Gleichung (81) dar-
ergiebt sich also:
2Ca,f.e"'''pf.C0S(i/,.^
+
+
ßa,{)
5f sin
.
(j/f
+
f
.
(82)
/?a,,)|
Die Geschwindigkeit, welche dem a ten Massenpunkte in jedem
Momente zukommt, erhalten wir durch Differentiation nach der Zeit,
so dafs
ds„
—
S
dt
+
•
H
t
+
v^.sm{v^.t
f
ßa,{))
+
B^.
(-
x^.sm{v^.t
+
/?„,,)
(83)
[
Bezeichnen wir nun die Elongationen und die Geschwindigkeiten
zur Zeit
=
t
mit
~ds~
und -—^
s.
,
so erhalten wir
dt
Sa
=
2
?a,f {
^f cos
.
/?a,f
+
B^ sin
.
/?„,
f
(84)
}
und
dsa
d
r = 2Ua,t{ - -if(^f.C0S^a,f +
+
Um
5f (- Xf sin
den Werth von
.
s^ völlig
/9a,f
+
*'f.sin/9a,f)
.
«'f
cos
•
/9a,0 1
zu bestimmen, haben wir zweimal
nach f genommene Summe Sumnach unserer früheren Festsetzung also 2N. Nun
so viel Coefficienten nöthig, als die
manden
hat;
N
haben wir aber auch
solcher Gleichungen (85).
Coefficienten
A und B
§ 21.
Wir
für
wollen uns
lineare Gleichungen (84)
Daraus kann man die 2
ebenfalls
N Werthe
N
der
eindeutig bestimmen.
Die Reibung
ist
sehr klein.
nunmehr auf den Fall beschränken, welcher
die Akustik allein praktische
Reibung sehr gering
und
sei.
Bedeutung
Dann hat
hat,
in unseren
dafs nämlich die
Gleichungen
e
einen
DIE EEIBUNG IST SEHR KLEIN.
§21.
sehr kleinen Werth, und zwar wollen wir die
41
Annahme machen,
dafs
wir die höheren Potenzen gegenüber den niederen vernachlässigen
dürfen.
früher erhaltene Gleichung (74) nach
Differentiiren wir die
und setzen
e
=
0,
so
sich zu differentiiren,
und
die
setzen.
6
haben wir jede einzelne Horizontalreihe für
z.
Summe der so
Nun kann man
B. die erste so:
entstandenen Determinanten gleich Null zu
aus jeder differentiirten Horizontalreihe den
Daher
Factor n herausziehen.
d
de
=
4- etc.
+
w^mg
P21
s
für —r- die Gleichung:
fi/
=
aus der sich, da n^ für
man
erhält
(86)
-P22J--'
ein reeller
reell ist,
Werth
dn
für
dB
ergiebt.
Bezeichnen wir nun mit n den Werth für den Fall, dafs keine
Reibung vorhanden,
zweiter Ordnung
also
=
6
n
setzen.
Im
=
ist,
,
n
so
—dn—
;
-\
können wir
6
bis auf Glieder
(87)
de
zweiten Abschnitt haben wir aber gefunden, dafs bei
einem solchen System von Massenpunkten, in dem keine reibenden
Kräfte wirksam sind,
n=
war,
wo
-\-
iv
V die Schwingungszahl in 2
im § 19 fanden
wir, dass
tt
Secunden ausdrückte, und
der reelle Theil von n negativ sein muss.
d 72
Also kann -^— nur negativ
sein.
dB
dn
£
dB
Wir
=
setzen
nun
ERSTER THEIL. VIERTER ABSCHNITT.
42
WO
§21.
X in Folge unserer Annahme einer kleinen Reibung und
also
——
des Nachweises, dafs
ist,
eine kleine posi-
Wir haben dann
tive reelle Gröfse bezeichnet.
= — X ±,iv,
n
und wenn wir
und negativ
reell
(87 a)
dieses in unsere oben (§ 19) gefundene
Lösung
einsetzen, ergiebt sich
=
e
«a
.
- " ' (cos vt
±ismv
.
(88)
t).
Ebenso, wie bei einem einzelnen schwingenden Massenpunkte,
dem Einflufs der Reibung steht, haben wir also auch
jedem Punkte des Massensystems eine gedämpfte pendelSchwingung; die Amplitude nimmt, da x dem Werthe
der unter
hier bei
artige
von
6
um
proportional,
Schwingungszahl
schneller ab, je gröfser
so
e
ist.
—
Die
aber durch die hinzugetretene Reibung inner-
ist
der hier befolgten Genauigkeit der Berechnung unverändert
halb
Erst eine weiter gehende Annäherung würde ergeben,
geblieben.
dafs
sie
um
sich
wenn
kleiner wird),
Nunmehr
s
Gröfse zweiter Ordnung ändert (und zwar
eine Gröfse erster
Ordnung
ist.
wollen wir den Einflufs einer kleinen Aenderung auf
die Gröfse der
Wir gehen
und
eine
Amplituden a„ betrachten.
aus von der Gleichung (73)
differentiiren
der a beachten.
wiederum nach
Für
6=0
c,
indem wir auch die Aenderung
erhalten wir dann:
(89)
+W
.
Eine solche Gleichung
2
{ öa,
ist
6
nun
•
«b
}
=0.
für jedes a aufzustellen,
und
dem dann entstehenden System von Gleichungen haben wir
Differentialquotienten
—-—
als die
ds
Coefficienten
sind,
sind
P
nun
und m^
reell,
n^,
in
die
Unbekannten zu betrachten. Die
mit denen diese Unbekannten multiplicirt
während
alle
übrigen Glieder rein imaginär
DIE REIBUNa IST SEHR KLEIN.
§ 21.
sind;
reell
da
denn die Werthe von w,
und n
n^, a,
sämmtlich rein imaginär
und
]
Es
müssen
rein imaginär.
ist
—dn
—
43
21 ^o, &• "6
also
die
^^^^
f
Werthe Ton
sein.
de
Durch
Reibung kommt
die
also
System entsprechenden Werthen von
zeichnen
wollen,
die
imaginärer Theil hinzu,
ein
dem
reibungsfreien
wir hier mit a
der
s
be-
proportional
wir haben also
ist;
=
«a
wo
zu den
a,
ßa eine reelle Gröfse
Für
Sa
+
a'a
(90)
*/?aß,
ist.
ergiebt sich mithin
5„
=
(a;
=
()„. e
+
*/9,6).6-«'.e±-'
(91)
oder
X
y. t
+ivt
t
.6
.e
—
=
—
t cüjj
i
{a>„
+ vt)
()a-e~'''.{cos(«a± vt)
+
i.sin((öa± vi)\,
(91a)
wo
und
tg
ist.
03a
=
-~l-
Die Amplitude wird also durch die Reibung, abgesehen von
dem Factor e-"*, nur um
eine Gröfse zweiter Ordnung geändert
Hauptwirkung der Reibung ist eine Phasenänderung.
Da nun coa mit dem Index a sich ändert, so werden die verschiedenen Massenpunkte, sowie auch die Coordinaten desselben
Massenpunktes im Allgemeinen einen Phasenunterschied gegen einander haben, und die thatsächlich ausgeführte Bewegung jedes
Massenpunktes wird demnach eine Ellipse sein, wobei die Grenzfälle (Gerade und Kreis) eingeschlossen sind.
und
die
EKSTER THEIL. FÜNFTER ABSCHNITT.
44
§ 22.
Fünfter Abschnitt.
Das Mitschwingen eines einzelnen Massenpnnktes,
Die Bewegungsgleichung
§ 22.
und allgemeine
Integrationsregeln für dieselbe.
In den bisherigen Abschnitten haben wir die Ursache, welche
am Anfang
der betrachteten Bewegung den Massenpunkt oder das
Massenpunktsystem
unberücksichtigt
nommen,
aus
seiner
Gleichgewichtslage
Wir haben nur
gelassen.
herausbrachte,
stillschweigend
ange-
Ablenkung bewirkte, zu der Zeit,
auf welche sich unsere Gleichungen bezogen, nicht mehr vorhanden
war, so dafs also ausschliefslich die sogenannte elastische Kraft und
die Eeibung in den Bewegungsgleichungen Ausdruck fanden.
Wir
wollen nunmehr annehmen, dafs neben der sogenannten elastischen
Kraft und der Reibung eine dauernde äufsere Einwirkung stattfindet.
Es entstehen dann Schwingungen, welche unter günstigen
Umständen eine beträchtliche Amplitude erhalten können. Man
nennt diesen Vorgang gewöhnlich „Mitschwingen". Wir wollen ihn
hier zunächst für einen einzelnen Massenpunkt behandeln, und zwar
dafs die Kraft, welche diese
unter der Voraussetzung, dafs wir die Entfernungen aus der Gleichgewichtslage,
also
die
Elongationen,
stets
sehr klein ansehen
als
dürfen.
Bezeichnen wir die einwirkende äufsere Kraft, welche zunächst
Funktion der Zeit gegeben sein mag, mit
haben wir die Bewegungsgleichung
als eine beliebige
'^^
dt
dt^
^
Ueber die Integration dieser Gleichung lassen sich zwei
gemeine Eegeln aufstellen.
1.
Es
seien
|^
und
Ig
^^^^
Lösungen
der
dafs also
"^
dt'
- -" Si-0
^^
+A<)
und
"^
dt'
~
"
^2
f>
^t
+A*).
so
F^^^,
Gleichung,
^
all-
so
INTEGRATION DER BEWEGUNGSGLEICHUNG.
§23.
so erhalten wir
durch Subtraction
dieselbe Bewegungsgleichung, die wir
d. h.
45
im
dritten Abschnitt be-
handelt haben, und welche sich auf das ausschliefsliche Vorhandender sogenannten
sein
Haben wir
elastischen Kraft
Gleichung, nachdem wir in ihr F(^
=
sei
**
Wir nehmen nunmehr
andere, etwa
Of^,
vorhanden
an,
sei,
Dann
dafs also
«)•
dt
der Kraft
und
rj
dafs
sei,
+ |i
dann
eine
F^^
eine
Lösung der
so dafs
erhalten wir durch Addition
»^-^(1 +
-
(92), so
dafs an Stelle
dann gültigen Bewegungsgleichung
«y
(92).
I eine Lösung der Gleichung
dt^
derselben
i]
gesetzt haben, so ist
das allgemeine Integral der Gleichung
Es
bezieht.
Bewegungsgleichung
und kennen wir das allgemeine Integral
(92) gefunden,
2.
und der Reibung
also ein einziges Integral |j unserer
^)
= - «'(I + V) -bjlii +
V)
+
F^,
+
ö,.
Daraus folgt also, dafs beim gleichzeitigen Einwirken zweier Kräfte
die Lösung erhalten wird durch Summirung der für das Vorhanden-
Es
der einzelnen Kräfte gültigen Integrale.
sein
eine vollständige Superposition der entsprechenden
findet demnach
Bewegungen bei
gleichzeitigem Einwirken mehrerer Kräfte statt
§ 23.
Umformung und
Integration der Bewegungsgleichung.
Wir können nunmehr
Gleichung (92) durch eine
für jede derselben
die
allgemeine Function
Summe
F^^^
in unserer
anderer Functionen ersetzen und
dann eine Lösung suchen.
Bei den akustischen Phänomenen
ist
die durch
F^^^
dargestellte
Kraft im Allgemeinen eine nach der Zeit periodische Function, und
Auch
diese können wir dann in eine FouRiEE'sche Reihe auflösen.
können wir uns die Glieder der FouEiEK'schen Reihe als die
reellen
(oder die imaginären) Theile von Exponentialfunctionen der
Form
A.e^* denken, wo n einen imaginären Werth
hat.
EKSTEE THEIL. FÜNFTER ABSCHNITT.
46
Wir
wollen daher
dt^
Gleichung
Diese
dx
= -a^a:- &—— +
dt
,
•>
dann
entspricht
FoTJREEE'schen Keihe,
dem
durch J^.e"' ersetzen und erhalten somit
i^(^
d^^
m-j-g-
§ 23,
wir
die
in
,
,„„,
,
^.e«'.
einem
(93)
einzelnen
Gliede
aufgelöst haben,
F^^)
der
und nach-
wir für alle Glieder die Lösung gefunden, ergieht sich durch
Summation die Lösung für die allgemeine periodische Function
Ein einzelnes particuläres Integral der Gleichung (93) ist
x
Setzen wir diesen
Werth
ein
=
B.6''K
und
F(^-^.
(94)
dividiren durch e"', so ergiebt sich
mn^B== -a^B-h.n.B+ A
(95)
oder
B{mn^
-\-
a?
-\-
h n)
=A
oder
^ = m n^2 .^2
+ a^ +
.
Somit
ist
also
.
h
aus den gegebenen Constanten der Gleichung der
Werth von B bestimmt.
Da n nach unseren Voraussetzungen imaginär
n
setzen,
(95a)'
n
und erhalten dann
= iv
ist,
so wollen wir
INTEGRATION DER BEWEGUNGSGLEICHUNG.
.^23.
Nun war
aber die einwirkende Kraft
=Ä
Dem
entspricht
also, dafs
reellen Theile des
auch der
reelle
.
[cos vt
+
isinvt].
Ausdruckes für die einwirkende Kraft
Theil des Werthes von
x.
Wir sehen
durch die einwirkende pendelartige Schwingung
der Massenpunkt
m
in eine pendelartige
x= —cos{vt —
gebracht wird.
plitude
47
Die Schwingungszahl
A
.
cos v
t
Schwingung von der Form
c)
ist
(97)
dieselbe,
aber die
im Allgemeinen verschieden; aufserdem besteht
Am-
eine Ver-
schiebung der Phase.
Das allgemeine Integral erhalten wir nun aus diesem partiindem wir das für ^ =
bestehende allgemeine Integral
addiren.
Nehmen wir an, dafs die Reibung gering sei, so können
culären,
wir das letztere [vergl. § 17, Gleichung (61)] schreiben
jB.e-°'.sin(/9i
und erhalten dann
genden Punkt
x=
+
c)
hier als allgemeines Integral für den mitschwin-
— cos{vt —
c)
+ R.e-<'Ksin{ßt +
Die beiden willkürlichen Constanten
R
und
g
e).
erlauben
(98)
die
Be-
wegung für einen bestimmten Zeitpunkt einer gegebenen Elongation
und Geschwindigkeit anzupassen.
Das zweite Glied hat aber in Folge des Factors e-°' nur für
den Anfang Bedeutung, es schwindet immer mehr, während das
erste Glied seinen Werth beibehält.
Bewegung hörbar, so treten, wenn v und ß
Anfang
Schwebungen auf, die aber je nach
am
der Gröfse von a mehr oder minder schnell verlöschen, und es
bleibt dann nur derjenige Ton bestehen, der der Schwingungszahl
Ist die entstandene
nahezu gleich sind,
erregenden Kraft entspricht, von dem Eigenton des erregten
Punktes aber vöUig unabhängig ist
der
48
ERSTER THEIL. FÜNFTER ABSCHNITT.
§ 24.
Die Stärke des Mitschwingens.
Die dauernde Form der entstehenden Bewegung
durch Gleichung
X
=
§ 24.
(97)
cos {yt
— S)
ist
gegeben
DIE GRÖSSE DES PHASENUNTERSCHIEDES.
§25.
49
Die Gröfse des Phasenunterschiedes.
§ 25.
Der Phasenunterschied zwischen der erregenden und der eroscillirenden Bewegung ist gegeben durch den Winkel c.
Nehmen wir für q den positiven Werth an, so ergiebt sich, dafs c
innerhalb der ersten beiden Quadranten liegt, da q .smc = h .v ist,
und somit sine stets einen positiven Werth hat
Wir haben femer die Beziehung (Gleichung 96)
regten
Q cos
.
c
= — mv^ a^
= m{lP-v%
-\-
(101)
nun
Ist
iV>i/, so
1)
demnach
liegt
dann
2)
N= v;
3)
iV
<
Q.cosc
ist
also
auch cose positiv;
im ersten Quadranten,
c
dann
cose
ist
=
0, also c
so ist cosc negativ,
1^;
=
90°;
und somit
liegt c
im zweiten
Quadranten.
Die nebenstehende Fig.
Weise
licher
Die
des
Phasen-
ist also
abhängig
Gröfse
unterschiedes
von dem Unterschiede zwischen
Schwingungszahl
der
Verhältnisse in übersicht-
stellt diese
1
dar.
des
N'=v
N>v
y<v
er-
und derjenigen des
regenden
Eigentones des erregten Massenpunktes.
Sind die Schwingungs-
zahlen genau gleich, so beträgt
Fig.
1.
der Phasenunterschied eine Viertelschwingung.
die
kleinere,
schwingung;
mehr
Ist
die
Schwingungszahl des erregenden Körpers
so ist die Phasendifferenz
ist
die
sie
gröfsere,
so
geringer als eine Viertel-
beträgt
Phasendifferenz
die
als eine Viertelschwingung.
Bei geringer Reibung
dieses
ist
des
erregten
Massenpunktes,
der gewöhnlich vorkommende Fall
—
,
folgt
—
und
aus
der
Gleichung (96b)
tgc
bv
=
(96 c)
dafs die Phasendifferenz c
heblich verschiedenen
H.
V.
HsLHHOLTZ Theoret
,
bv
nur dann einen von Null oder
Werth
Physik.
Bd.
hat,
HL
wenn
N
ISO*' er-
und v sehr nahe über4
EESTEK THEIL. SECHSTEK ABSCHNITT.
50
§ 26.
N
und v
Eine geringe Zunahme der Differenz zwischen
da hier nur das Verhältnifs zu dem kleinen Werthe bv in
Betracht kommt, schon eine beträchtliche Verkleinerung von tgc
Bei schwacher Dämpfung ist die Phasendifferenz von
zur Folge.
einstimmen.
hat,
den Schwingungszahlen also in ähnlicher Weise abhängig, wie die
Stärke des Mitschwingens, und sie kann in diesem Falle somit als
ein ziemlich empfindlicher Maafsstab für die Stärke der Resonanz
manchen akustischen Phänomenen
benutzt werden; bei
läfst sie sich
Beobachtungen (LissAjous'sche Figuren) leicht
also auch die Stärke des Mitschwingens in
wir
bestimmen, so dafs
einem gegebenen Falle leicht beurtheilen können.
nun
mittelst optischer
Sechster Abschnitt.
Das Mitschwingen eines Systems Ton Massenpunkten.
§ 26.
Das System der Bewegungsgleichungen und die
allgemeine
Wir
Form der Lösung.
wollen den Vorgang des Mitschwingens, den wir im vorigen
Abschnitt bei einem einzelnen Massenpunkte betrachtet haben, nun-
mehr auf ein System von Massenpunkten ausdehnen. Es wirken
dann also neben der sogenannten elastischen Kraft und der Reibung
noch äufsere Kräfte
ein.
Für diese Annahme gilt dasselbe Gesetz der Superposition der
Bewegungen bei gleichzeitigem Einwirken mehrerer Kräfte, welches
wir oben in § 22 für einen einzelnen mitschwingenden Massenpunkt
abgeleitet haben.
Wir brauchen uns daher auch
hier nur auf den
Fall zu beschränken, dafs die auf jeden Punkt einwirkende Kraft
durch eine Function von der Form^.e"' dargestellt werden kann.
Mit Benutzung der in den früheren Abschnitten gebrauchten
Bezeichnungen besteht hier für die einzelnen das System bildenden
Massenpunkte die Bewegungsgleichung:
- ^'^^=_2(P„,,..,)-«2kB--^]+A.«"'
ar
dt
b
b
\
(102)
DIE STÄRKE DES MITSCHWINGENS.
§ 27.
Nach Analogie der früheren Darlegungen
ein Integral dieser Gleichung sich in der
5a
schreiben
so sind
Haben wir
läfst.
ebenso,
=
ist
51
zu schliefsen, dafs
Form
aa.e"'
(103)
ein einziges derartiges Integral gefunden,
wie bei einem einzelnen mitschwingenden Massen-
punkt, alle anderen Integrale bekannt; denn wir erhalten
dem
wir zu
erst
sie,
indem
gefundenen die Integrale der im vierten Abschnitt
aufgestellten Gleichungen addiren.
Setzt
man nun den Werth
Gleichung (102)
man^
für s^ aus
Gleichung (103) in die
ein, so ergiebt sich
aa
+
2(^a,b.Ob)
+ «w2(a,b.ab) =
A
(104)
b
6
deren für das ganze System so viele aufwerden können, als veränderliche Coordinaten vorhanden,
sind linear nach den Gröfsen Ua, aber nicht homogen. Ist nun die
Determinante dieses Gleichungssystems von Null verschieden, so
Alle diese Gleichungen,
gestellt
lassen sich die
Werthe
a^ eindeutig
und
linear aus
den Werthen von
Aa bestimmen.
Da nun
unserem Falle die zugeleitete Bewegung eine perin eine rein imaginäre Gröfse, und daher ist die
Bedingung, dafs die Determinante nicht verschwinden darf, erfüUt.
Die Lösungen von der Form der Gleichung (103) geben ein
System von einfachen, pendelartigen Schwingungen, welche im Allgemeinen elliptisch sind und mit unveränderter Amplitude so
odische
ist,
in
so ist
lange
dauern, als die Kraft einwirkt.
Ihnen superponiren sich
dann noch in der allgemeinen Lösung Schwingungen, welche den
Eigenschwingungen des Systems entsprechen, aber, wie im vierten
Abschnitt gezeigt worden, mit der Zeit verlöschen.
Durch geeignete Bestimmungen der vorkommenden Coefficienten
kann der Anfangszustand des Systems gegebenen Bedingungen angepafst werden.
§ 27.
Die Stärke des Mitschwingens.
Wir haben oben
Massenpunkten,
welche
gesehen,
dafs
jedes
System von discreten
durch elastische Kräfte in ihrer Gleich-
gewichtslage gehalten oder wieder in diese zurückgeführt werden,
im Allgemeinen
kann,
als
so viel verschiedene
Eigenschwingungen ausführen
das System Veränderliche besitzt.
Nunmehr
wollen wir
untersuchen, ob zwischen diesen Eigenschwingungen und der Stärke
ERSTER THEIL. SECHSTER ABSCHNITT.
52
§ 27.
des Mitschwingens, welches wir jetzt betrachten, irgend welche Be-
ziehung besteht.
Wenn
zwei oder mehrere Kräfte das Mitschwingen bewirken,
so haben wir bei einem einzelnen
Punkte gesehen
(§ 22), dafs
dann
durch die einzelnen Kräfte gegebenen Bewegungen sich super-
die
poniren.
Bei
dieselbe
Form
einem System von Massenpunkten haben wir nun
der Bewegungsgleichungen, und daher
gilt
das gleiche
ist
hier durch
Gesetz auch hier.
Die Gröfse der von aufsen einwirkenden Kräfte
Wir können nun jeden
das System der Coefficienten Ä^ gegeben.
dieser Coefficienten Ä^
eine Reihe von Gliedern zerlegen,
in
von
denen jedes einzelne einer Eigenschwingung entspricht, die in dem
Punktsystem in Folge der inneren Kräfte auftreten kann.
Bezeichnen wir mit a die Amplituden der einzelnen Massen-
punkte in einem von äufseren Kräften freien System
und wählen
in § 19 u. d. folg. a genannt haben),
wir früher
und für die verschiedenen Eigenschwingungen p
laufenden Index, so können wir ein System von Gleichungen
denen Massenpunkte
als
(die
für die verschie-
a
m,
2(5^.«a,,)
A
=
(105)
P
aufstellen, aus
dem
Wirkt
nun
ma.Bp.cca,^
ein,
üa^p,
die
lassen.
eine
Eigenschwingung
Componente
des
Systems
dann bestehende Amplitude des
haben wir anstatt der Gleichung (104)
so
p
4-
^{Pa,
6
•
«D,
+
»))
«
^ 2(^a,
6
jetzt eingeführten
6
•
«&, p)
=
W« 5p
.
.
«a,
(106)
p-
6
Die früheren Gleichungen
nunmehr mit Benutzung der
(73) lauten
Bezeichnung
Den Gleichungen
(106)
kann man
für
s
=
dadurch genügen,
man
aa,p
setzt.
die
die Gleichungen
Wa w2 tta,
dafs
Aa nur
der pten
welche
aten Punktes mit
:
von
Stelle
und bezeichnen wir
entspricht,
nunmehr
Werthe Bp bestimmen
sich die
an
Multiplicirt
man
=
Cp
.
(108)
cca,p
nämlich die Gleichungen (107) mit Cp und
subtrahirt sie von den Gleichungen (106), so ergiebt sich:
Cp .\{n'- n}) .ma.c(a,p
+
6{n- rip)
2
{Qa,
b
-
cCa,
p)]
= ^a'Bp.aa,
p-
(109)
DAS RECIPROCITÄTSGESETZ BEIM MITSCHWINGEN.
§ 28.
Diese Gleichungen sind für
=
^*>
Nun
«
=
erfüllt,
wenn man
53
setzt:
(HO)
^»'-::r^-^n' — ni
aber nach Gleichung (108) in der Gröfse der Amplitude
ist
des Mitschwingens der Coefficient Cp als Factor enthalten, und es
sagt
demnach Gleichung
abhängig
(110) aus, dafs die Stärke des Mitschwingens
von der Uebereinstimmung zwischen
ist
rtp
und
n,
also
zwischen den Schwingungszahlen des Eigentones und des erregenden
Tones, und ferner davon, welche Gröfse bei der Zerlegung der Ge-
samtamplitude A^ des erregenden Tones in die Partialamplituden
Fällt der Angriffspunkt einer Kraft mit
der Coefficient B^ erhält.
dem Knotenpunkt
diese der Coefficient
Ist die
Partialschwingung zusammen,
einer
B=
so
ist
für
0.
Reibung nicht gleich Null, aber
klein, so tritt
zu dem
Werthe von a ein imaginärer Theil hinzu, der, wie wir oben bei
der Schwingung eines Punktes gesehen, einer Phasendifferenz entspricht, aber keine merkliche Aenderung der Intensität des Mitschwingens anzeigt. Nur wenn die Schwingungszahlen der erregenden
Kraft und der Eigenschwingung des Systems ganz übereinstimmen
hat die Reibung einen beträchtlicheren Einflufs.
Das Reciprocitätsgesetz beim Mitschwingen.
§ 28.
Um die Werthe der Amplituden a^ aus dem System der Gleichungen (104) zu finden, mufs man jede derselben mit der betreffenden Unterdeterminante multipliciren und dann alle addiren.
Bezeichnen wir mit D die Hauptdeterminante des Systems, und bei
der Berechnung von a
Da,p, bei der
die verschiedenen Unterdeterminanten mit
Berechnung von a
aber mit
-Da,??
so erhalten wir:
2(^a,i..A
a.
D
P
und
(111)
a
Nehmen
=
D
«
dem Falle, wo wir a
dem anderen Falle, wo also
wir nun an, dafs in
die Kraft
A
.
nur die Kraft
und
A
in
vorhanden
ist,
berechnen, nur
a
gesucht wird,
so reduciren sich die in diesen
54
ERSTER THEIL. SECHSTER ABSCHNITT.
Gleichungen vorkommenden
Summen
auf je
ein
Glied,
§
28.
und wir
erhalten
und
(112)
a„
D
=
§
ERZWUNGENES MITSCHWINGEN EINES PUNKTES.
29.
55
Mitschwingen bei gezwungener Bewegung eines
§ 29.
Punktes.
Wir
Punkt
wollen
soll
dafs
nur auf einen einzigen
Richtung einer Coordinate eine äufsere oscillirende Kraft
in
im
während
einwirke,
unter
nun annehmen,
dem
ganze
das
übrigen
System ausschliefslich
Einflufs seiner inneren Kräfte stehe.
aber so grofs sein, dafs
Bewegung
sie
Diese äufsere Kraft
Es
jeden Widerstand überwältigt.
Richtung dieser einen Coordinate geist dann die
geben. Ein solcher Fall liegt z. B. vor, wenn wir eine schwingende
Stimmgabel
am
auf
eine
in
Saite
dann wird der Saitenpunkt,
setzen;
Gabel anliegt, ohne irgend welche praktisch
Die Metallzungen
in Betracht kommende Reaction mitgenommen.
in den Blasinstrumenten bleiben ebenfalls von der mitschwingenden,
welcher
Griff der
wenig widerstrebenden Luft unbeeinflufst, während die anliegenden
Theile der letzteren ihre Schwingungen genau mitmachen müssen.
"In diesem Falle sind die Coordinaten eines Punktes,
beilegen wollen,
den Index
und zwar wollen wir setzen:
^o
als
= «o-e"S
worin n einen imaginären Werth haben
Für
dem
wir
Coordinaten der Zeit gegeben,
(115)
soll.
Punkte bestehen dann Bewegungsgleichungen,
die mit den Gleichungen (67) übereinstimmen, so dafs wir, falls das
ganze System aus
Punkten besteht, für iV — 1 Punkte Gleichungen
von der Form
die übrigen
N
erhalten.
Wir haben früher schon gesehen, dafs die Integrale solcher
homogenen linearen Differentialgleichungen sich in der Form
^a ^^
(^a
•
^
schreiben lassen. Da nun hier der Werth von v mit dem Werthe
von n in Gleichung (115) identisch sein mufs, so erhalten wir also
für die Elongationen die
Werthe
sa
Setzt
man
diese
Lösung
moW^aa
=
=
a,.e'".
(117)
in die Gleichungen (116) ein, so ergiebt sich
-2
{-Pa.b-flb}
-
€w2{öa,b.aa|'
(HS)
ERSTER THEIL. SECHSTER ABSCHNITT.
56
Da
in diesem Gleichungssystem
n einen
§ 29.
rein imaginären
Werth
hat,
so ist die Hauptdeterminante desselben nicht gleich Null, und es
können daher auch die Unterdeterminanten von je iV— 1 Vertical-
durchgängig gleich Null
nicht
reihen
demnach
sind
sein.
Die Werthe der
durch den gegebenen Werth von
alle
a^
«<,
zu be-
stimmen.
Bewegung des Systems bei sehr kleiner Dämpfung vor
kann man am besten überblicken, wenn man die Dämpfung
Wie
die
sich geht,
als
verschwindend klein annimmt, also
e
=
setzt.
jeder der Gleichungen (118) das letzte Glied
m n'
aa
fort,
Dann
fällt in
und wir haben:
= -2{^a,b.ab}-
(119)
Wenn nun n mit der Schwingungszahl einer der Eigenschwingungen des Systems zusammenfällt, so wird eben diese Eigenschwingung entstehen, und die Amplituden für die verschiedenen
Massenpunkte sind dadurch gegeben, dafs a^ gegeben ist; denn die
Verhältnisse
der verschiedenen Werthe «„ unter einander sind ja
durch das Gleichungssystem bestimmt.
so kennt
man
Kennt man
eine Amplitude,
alle.
Knotenpunkt der Eigenschwingung, also ein
sollte, in den Punkt, welcher
der vorausgesetzten Zwangsbewegung unterworfen ist, so mufs er
nun eine Bewegung mit endlicher Amplitude ausführen, d. h. es
Fällt gerade ein
Punkt, der die Amplitude Null haben
wird die Gröfse seiner Bewegung auf das Unendlichfache gesteigert,
und dem entsprechend würden
bei
alle übrigen Punkte, welchen sonst
Eigenschwingung endliche Amplituden zukommen, nun-
dieser
mehr solche von unendlicher Gröfse haben müssen. Dieses wird
nun thatsächlich durch die stets vorhandene Dämpfung verhindert;
aber
bei
mäfsiger Reibung
ist
die
schwingung doch immer bedeutend.
z.
B.,
wenn
die
Länge
mit
dem
in
Dabei
Griff
erregten
Eigen-
die
dem
Diese wird dann schwingend
auf die Saite aufgesetzt und so lange verschoben,
der letzteren
ist
Man
der
benutzt diesen Umstand
einer Saite gefunden werden soll,
Eigenton einer Stimmgabel entspricht.
bis
Stärke
natürlich
ein
Maximum
der Eigenschwingung
der nicht in Betracht
kommende
Saite durch den aufgelegten Finger zu dämpfen.
auftritt.
Theil der
ABLEITUNG DER HAMILTON'SCHEN GLEICHUNG.
§ 30.
57
Siebenter Abschnitt
Der Hamilton'sche
—
Satz.
üebergang auf continuirlich
Terbreitete Massen.
Ableitung der Hamilton'schen Gleichung mit Benutzung
rechtwinkliger Coordinaten.
§ 30.
Bisher haben wir die allgemeinen Gesetze entwickelt, welche
auf
sich
verschwindend
die
kleinen
oscillatorischen
ziehen,
Nähe
die
dem
unter
sich
Einflufs
Gleichgewichtes
stabilen
Massenpunkte
Bewegungen
von Massenpunkten be-
Massenpunktes oder eines Systems
eines
in
der
dabei
die
conservativer Kräfte
Wir haben
befinden.
frei betrachtet, höchstens wurden
Bewegung unterworfen und dadurch zu
vollkommen
als
einzelne einer gezwungenen
Centren gemacht, von denen Kräfte auf die anderen Punkte einwirkten.
einzelnen
Unter diesen Umständen konnten wir die Bewegung jedes
Punktes
ziehen, wobei wir
auf
dann
in
der verschiedenen Theile
sondern jeden derselben
als
allen Eigenschaften in sich übereinstimmendes
Nun
giebt
es
be-
den einzelnen Massenpunkten keine ver-
schiedenen Geschwindigkeiten
scheiden hatten,
Coordinatensystem
rechtwinkliges
ein
zu unter-
ein untheilbares,
in
Ganze betrachteten.
aber andere Systeme, bei denen feste Verbin-
dungen bestehen, und zwar entweder zwischen den Massenpunkten
des Systems und äufseren Körpern, oder zwischen diesen Punkten
unter einander. Es können z. B. unausdehnsame Stränge zwischen
einzelnen Punkten vorkommen, oder einige der Punkte können gezwungen sein, während der Bewegung auf einer bestimmten Linie
oder Fläche zu bleiben,
Systems
dafs
am
u.
s.
f
Man
stellt
solche Eigenschaften des
besten durch Gleichungen dar, in denen ausgesagt
gewisse
ist,
Beziehungen zwischen den Coordinaten unverändert
In einem solchen Falle sind dann nicht
bleiben sollen.
ordinaten der Punkte für die oscillatorische
Bewegung
die Zahl der veränderlichen Coordinaten wird reducirt
frei,
um
alle
Co-
sondern
die
An-
zahl der Gleichungen zwischen den Coordinaten, welche die festen
Verbindungen
u.
s.
w.
ausdrücken.
Wenn
wir in
einem solchen
Falle die rechtwinkligen Coordinaten festhalten wollten, so würde
ein
ziemlich complicirtes System von Gleichungen entstehen,
um
dies
zu vermeiden, kann
man
die
HAMiLTON'sche
Form
und
be-
ERSTER THEIL. SIEBENTER ABSCHNITT.
58
nutzen, durch welche
man
§ 30.
die Bewegungsgleichungen als Minimal-
problem ausdrücken kann.
Bezeichnen wir mit
wobei sich auf jeden
die Coordinate
x^^
des Massenpunktes mQ,
beweglichen Massenpunkt drei Indices a
frei
Werthe m^ identisch sind; ferner
sei O die potentielle Energie des Systems, dann lauten unter der
Voraussetzung frei beweglicher Massenpunkte und conservativer
beziehen, so dafs also stets je drei
Kräfte die Bewegungsgleichungen
Eine unendlich
Coordinate
Zeit
a;^
die Coordinate
t
von der Zeit abhängige Aenderung der
kleine,
J%
wollen wir mit
Es sind natürlich
denn wären
von
Werthe
diese
bezeichnen, so dafs also
Wj, nicht
mehr
ic^,
sondern
dxg, continuirliche
a^o
+
nun zur
Sx^
ist.
Functionen der
würde uns jedes Mittel fehlen,
Bewegung stattfindet, hinüber die Identität der betreffenden Massenpunkte zu beweisen.
Vollziehen sich nur continuirliche Lagenänderungen, so
kann man jeden einzelnen Punkt dauernd verfolgen.
Zeit;
sie dieses nicht, so
über den Zeitpunkt, in
dem
die Discontinuität der
Multipliciren wir die Gleichung (121) mit dx^,
und summiren
über das ganze System, so ergiebt sich:
2l^aS^a-—f7^= -2^^^a--^—Da nun
(122)
Abhängigkeit der potentiellen Energie
die
von der
Zeit nur durch die Abhängigkeit der Coordinaten x^ von der Zeit
bedingt
so
ist,
stellt
Summe
die
Gleichung die Variation von
auf der rechten Seite der letzten
dar.
Bezeichnen wir
sie
mit d
(p,
so ist:
S0 = ^Sx,.-^
d:
und wir können
also schreiben:
2 ^a Sx,
Nun
ist
(123)
.
= -S0.
45^
dt^
(122a)
aber
d
I
^
M--
dx.
dt
/
=
^---^ +
^-^
(124)
§
ABLEITUNG DER HAMILTON'SCHEN GLEICHUNG.
30.
und wenn wir mit
nia multipliciren
und nach
59
summiren:
a
(124 a)
+
Summe
Die erste
2
dXa
dSXa
dt
dt
auf der rechten Seite dieser Gleichung
ist
aber
mit der linken Seite der Gleichung (122 a) identisch und wir erhalten daher
Ferner
ist:
dt
und daher
theil der
ist,
dt
j
dt
wenn wir mit L^ den zum Index
o gehörigen
Bruch-
lebendigen Klraft bezeichnen,
dxa\^
dx„
dSx„
Summiren wir über das ganze System und bezeichnen dessen
leben-
dige Kraft mit L, so erhalten wir
^L =
^m,^.^^
dt
dt
(125a)
a
Wir können
also
nunmehr
die Gleichung (122b) schreiben:
oder
^{^«'.•^-«•^[-^(i-*)Multipliciren
(122c)
wir diese Gleichung mit dt und integriren zwischen
den Zeitgrenzen
i^
und
t^,
so erhalten wir
/^|2^a-^^a--^}rf^=J^(L-a)).di.
(122d)
Die unbestimmte Integration der linken Seite läfst sich leicht
Wenn wir nun durch Einschliefsen eines Ausdrucks in
ausführen.
ERSTER THEIL. SIEBENTER ABSCHNITT.
60
zwei horizontale Striche andeuten,
dafs sein
angeschriebenen Grenzen zu nehmen
Werth zwischen den
so ergiebt sich
h
<i
^m,Sxa^
ist,
§ 30.
=Jd{L-(li).dt
(122e)
'to
Wir
keinerlei
nunmehr
wollen
festsetzen, dafs die Variation, die bisher
Beschränkung unterlag, an den Grenzen des Integrations-
zu den Zeiten t^ und t^, gleich Null sei, so dafs also
Dann enthalten sämmtliche
sind.
Werthe
von Sx^ =
hier
Summanden, aus denen sich die Summen zusammensetzen, welche
die oberen und unteren Grenzwerthe auf der linken Seite der
Gleichung bilden, den Factor Null, und es wird also diese Seite
der Gleichung selbst gleich Null, so dafs demnach
intervalls, also
alle
<i
0=f3{L-(D)dt.
(126)
«0
Da
Grenzen der Zeit bestimmt sind, so können wir das
Variationszeichen auch vor das Integralzeichen setzen und erhalten
die
somit
<i
=
f{L-
d
(126a)
(l))dt
to
als
gewöhnliche
Aus
Form
der HAMiLTON'schen Gleichung.
Gleichung können wir nun auch
umgekehrt die Bewegungsgleichungen (121) ableiten, von
denen wir oben ausgegangen sind. Ja es können aus der HAMiLTON'schen Gleichung die Bewegungsgleichungen auch noch für den Fall
abgeleitet werden, dafs zwischen den Coordinaten irgend welche Bedingungsgleichungen bestehen. Setzen wir nämlich in
der HAMTLTON'schen
wieder
k
C{SL-
==
d(P)dt
to
3L
den Werth für
aus Gleichung (125 a) und für
^0 aus
Gleichung
(123) ein, so ergiebt sich
to
Es sind zwar
die
Werthe Sx„
willkürlich
anzunehmende Functionen
§ 30.
ABLEITUNG DER HAMILTON'SCHEN GLEICHUNG.
61
der Zeit, die nur der Einschränkung unterliegen, dafs die Gröfsen
+ dxa den Bedingungsgleichungen genügen; sind aber die Werthe
von Xa und Sx^ einmal angenommen, so sind damit auch die Werthe
d u oc°
ebenfalls gegeben, und sie können
der Geschwindigkeiten
aj(j
mehr als willkürlich betrachtet werden.
Indem wir die erste der beiden in der Gleichung
kommenden Summen partiell integriren, ergiebt sich
nicht
„/
/ "'^h
dXa
dt
(127) vor-
ERSTER THEIL, SIEBENTER ABSCHNITT.
62
§ 31.
durch die Bedigungsgleichungen im Gleichgewicht gehalten werden
Sind keine Bedingungsgleichungen vorhanden, so folgen
müssen.
sofort die
Gleichungen (121)
d^x^
d(l>
dt^
§ 31.
Wie
Unabhängigkeit von der
Wahl der
Coordlnaten.
ist in der HAMiLTON'schen Gleichung
was nicht auch schon die NEwrON'schen
Bewegungsgleichungen aussagen. Ihre grofse Bedeutung liegt darin,
dafs die HAMiLTON'sche Form unabhängig von der Wahl des Coordinatensystems ist.
Es wird nur ausgesagt, dafs die Bewegung
wir gesehen haben,
eigentlich nichts enthalten,
des betreffenden Punktes von der Anfangslage bis in die Endlage
so
geschehen
soll,
dafs
lebendige Kraft,
die
vermindert
um
die
potentielle Energie, ein
Minimum
vorausgesetzt
werden, und deren
Es war vorbehalten,
Functionen der Coordinaten und der Zeit
ist,
sollen die
Variationen hatten
wir
dafs
letztere
beliebige
sollten;
nur mufsten
8x
sie
im Anfangs- und Endzustande
Coordinaten
den
mufsten
Bei der Variation, die hier
Werthe von x
mit
sein
wird.
variirt
bezeichnet.
continuirliche Functionen der Zeit,
gleich Null sein
und
Bedingungsgleichungen
die
variirten
genügen.
Die
Gleichung hatten wir nun zwar für ein rechtwinkliges Coordinatensystem entwickelt; aber
Coordinaten
wählen.
sie gilt
Nur
ist
auch ebenso, wenn wir dafür andere
darauf Gewicht zu legen,
dafs
die
Lage jedes einzelnen Punktes zu der gegebenen Zeit durch sie
vollkommen bestimmt ist. Es sind z. B. Irrthümer dadurch vorgekommen, dafs man geglaubt hat, als Coordinaten die Länge eines
bisher zurückgelegten Weges benutzen zu dürfen, dessen Länge aber
von der eingeschlagenen Art der Bewegung abhängt. Dann ist es
aber nicht der augenblickliche Werth der Coordinaten, welcher die
Lage der Punkte bestimmt, sondern man würde auch noch den
Weg kennen müssen, auf welchem der betreifende Punkt in diese
Lage gekommen ist. Wir können aber wohl statt der rechtwinkligen
Coordinaten irgend welche Beziehungen zwischen den Punkten oder
den Winkeln, welche die Verbindungslinien der Punkte mit einander
oder mit festen Flächen bilden, oder sogar körperliche Volumina
zur Bestimmung benutzen.
EINFÜHRUNG ALLGEMEINER COORDINATEN.
§ 32.
Einführung allgemeiner Coordinaten.
von Lagrange.
§ 32.
Wir
—
63
Die Gleichung
wollen nun zu ganz allgemeinen Coordinaten übergehen,
welche mit
pf,
bestimmen,
Dann wird
bezeichnet werden sollen.
Bedingung, dafs die Coordinaten
wenn
erfüllt sein,
bestimmt werden können. Es
pi,
die geforderte
Lage der Punkte vollständig
die
die Gröfsen Xa als Functionen der p^
ist
dabei möglich, dafs die Gleichungen,
welche zwischen den Gröfsen Xa und pf, bestehen, mehrdeutige und
mehrfache Wurzeln haben. Dieses ist kein Hindemifs, falls nur die
Gleichungen der Art sind, dafs sämmtliche Werthe der Gröfsen x^
durch die Gröfsen
Dabei sollen die Gröfsen p
pf, ausgedrückt werden.
von einander unabhängig sein. Wenn
die Anzahl der Coordi-
N
naten
und
ist
so ist
ist,
r die Zahl der Bedingungsgleichungen zwischen
N—r
wir die Gröfsen x
0, welches
Werthe für
Ist Xa
—ddtr-^
die
als
Functionen der
eine Function der x
ist,
p.
durch Einsetzung der neuen
Function der p dargestellt werden können.
Function der Gröfsen p gegeben, so wird der Werth
x, als
als
oc
von
"
von
zusammensetzen
sich
weil die
dp
dt
t
Xa,
abhängig sind.
Wir
Dann
Summen
t
der
Form
abhängen, als die Gröfsen p
erhalten den
Werth von
—-^
demnach,
dt
für die verschiedenen p bilden
und dann
erhalten wir:
^
dt
Der Werth
GHedem von
aus
nur insofern von
wenn wir jene Glieder
summiren.
den Xa
Dann wird also, wenn
Gröfsen p bestimmen können,
Zahl der Gröfsen
d Xa
dpi
dpf,
dt
(129)
für die lebendige Kraft ergiebt sich,
quadriren, jede mit der Masse
—^
indem wir diese
multipliciren,
und dann
wieder über das ganze System summiren, so dafs also
J^
Wenn
= i2
m„
wir nun die Quadrate dieser
Summen
bilden,
wir homogene Ausdrücke zweiten Grades nach
Kraft
L
'-<"
:?(i^-^)]i
.
,
so
bekommen
Die lebendige
dt
wird also im Allgemeinen dargestellt durch eine Summe,
ERSTER THEIL. SIEBENTER ABSCHNITT.
64
welche homogen vom zweiten Grade nach
Doppelsumme,
eine
Glieder haben die
die
Form
nach den Indices
——
und
=-^,
und zwar durch
ist,
d
§ 32.
z
und
a
6
ihre Coefficienten
halten,
sein,
—d —
welche die Differentialquotienten
und welche aus den
Coefficienten
Q
bez.
den Doppelproducten der Gröfsen
Wir
wollen
sie
mit F^,
6
^=
Für
werden
dt
dt
7)
Gröfsen
Die
fortläuft.
mehr
m^ und den Quadraten,
°
„
zusammengesetzt
—d —
T)
sind.
lebendige Kraft:
ist die
l2?^M-#-#-
die Differentialquotienten
ent-
riß
Dann
bezeichnen.
nicht
-
(130a)
wollen wir nun die Bezeich-
nung q mit Benutzung der laufenden Indices a und 6 einführen.
Der Ausdruck für die lebendige Kraft formt sich dadurch um in
^ = i22[^a,B.?a.?6].
a
(130b)
b
—d—
7)
Es
ist
also
eine Function zweiten Grades der
oder
dt
Coefficienten von den
p abhängen,
d. h.
q,
^'
deren
irgend welche Functionen
derselben sind.
Wenn
wir daher die Variationen für die Hamilton' sehe Gleichung
ausführen,
und zwar zunächst nur nach einer der Coordinaten,
wir mit
bezeichnen wollen, so
p^^
Coefficienten Fa_
j,
der
Werth von
zunächst Glieder von der
Sp^
Demnach kommen noch
ändert.
^c, 6
•
g6
•
^
-
hinzu.
Da nun
enthalten
p^
^^'^
•
wenn wir während der Bewegung
ist,
so
Form
die
zu berücksichtigen, dafs in den
ist
ist.
Es
-ga-gti ^'^f.
treten also
Ferner aber
p^ ändern, damit
weitere
auch
Glieder von
der
g-,.
ge-
Form
aber
können wir diese Glieder schreiben
:
F^^^.q^- -r— {8pc)-
Um
die
Variation auf das ganze System auszudehnen, haben wir noch nach b
EINFÜHRUNG AluLGEMEINER COORDINATEN.
§32.
zu summiren.
Wir
65
erhalten also unter der Voraussetzung, dafs sich
die Variation auf p^ beschrankt:
*i =
dRa,i
i2S
b^
Der Factor ^
DijßFerentiation
ist
?a
dp.
•
?b
•
bei der zweiten
ddpc
+
Spz
Summe
nach einem bestimmten
Fe, b
•
?b
(131)
di
wegzulassen, weil bei der
q,
der Factor 2
auftritt,
gegen den ^ sich weghebt
Wird nun nach
p, variirt, so ist
S(l)
Da
=
00
Spc
(132)
dp.
HAMrLTON'sche Gleichung nun für alle Variationen
die
§p,
wenn wir nur nach p, variiren und,
indem wir aus den Gleichungen (131) und (132) die Werthe für JL
und ^
in Gleichung (126) einsetzen, erhalten wir:
gelten soll, so gilt sie auch,
(133)
ddpA
Ö0
^/r.
1,
+ ^(^c.b-.b-^j-^-^;>c|^^
^
Die zweite Summe, in welcher die Differentialquotienten von 8p,
vorkommen, können wir durch partielle Integration umformen. Es
ist
dann:
«1
(134)
wo
in
die Einschliefsung des ersten
zwei
horizontale Striche
zwischen
Differenz
nehmen
zur Zeit
ist
t^
stimmt, so
H.
y.
den
Ausdrucks auf der rechten Seite
wieder bezeichnet,
dafs
beiden Integrationsgrenzen
für
ihn
die
der Zeit zu
Nach den Festsetzungen, die wir gemacht haben, ist
und /^ die Lage der Punkte des Massensystems fest bedafs für diese beiden Zeitmomente die Werthe von dp,
HBUoaoLTZ, Theoret Pbyaüc. Bd. IIL
5
ERSTER THEIL. SIEBENTEE ABSCHNITT.
66
gleich Null sind.
Daher
der letzten Gleichung
fällt
fort,
das erste Glied auf der rechten Seite
und wir erhalten
also:
/[2^c,b.?5~(<^i^c)l^^= -y*^;>c^{:|;[J^c.6.?6]}.rf^.
Setzt
man
diesen
Werth
= /^i>c{-
d
§32.
(134a)
in Gleichung (133) ein, so ergiebt sich:
(p
dp.
d
~dt
-'^
DIE GLEICHUNG VON LAGRANGE.
§32.
Das
67
zweite Glied der Gleichung könnten wir ebenfalls einfacher
indem wir berücksichtigen, dafs auf Grund einer der
schreiben,
bei der Gleichung (131) angestellten völlig analogen Betrachtung
(130d)
Wir können nunmehr
die Gleichung (135) schreiben;
ÖL
d
Damit haben wir
Form
die
Es bestehen
unabhängig
als
d. h.
Durch
sie
d(I>
dpc
der Bewegungsgleichung für allgemeine
Sie wird als die Gleichung von
Coordinaten gefunden.
bezeichnet.
ÖL
_dgcj
(135 a)
dp.
Lageange
so viele derartige Gleichungen, als Indices
c,
vorhanden
sind.
wird die Lage des Systems in jedem Augenblicke
voll-
Coordinaten
veränderliche
ständig bestimmt.
Wenn
naten
ajfl
keine Gleichungen zwischen den rechtwinkligen Coordi-
bestehen,
Coordinaten
sind,
so
können wir
die
statt
rechtwinkligen
der^c, die ja beliebige
Coordinaten
setzen.
Dann
wird das erste Glied gleich
ÖL
d
dXg
(136)
~dt
und
d üc
fällt fort,
weil weder
Wa noch -3-^ von
dt
zweite Glied wird:
d
It
ÖL
Xa abhängig sind.
Das
ERSTER THEIL. SIEBENTER ABSCHNITT.
68
Das
ist
aber dieselbe
Form
§ 33.
der Bewegungsgleichung, welche wir
für rechtwinklige von einander unabhängige Coordinaten aufgestellt
Damit
hatten.
ist
nachgewiesen, dafs in der LAGBAiiGE'schen
Form
der Bewegungsgleichung die NEwroN'sche
§
enthalten
Form
ist.
Anwendung
auf verschwindend kleine Bewegungen in
der Nähe stabilen Gleichgewichts.
33.
Wir
wollen nun zunächst voraussetzen, dafs die eintretenden
Terschiebungen und Geschwindigkeiten unendlich klein
—
d
Die Differentialquotienten
-^
L
sind.
bestehen dann nach Gleichung
(130 c) aus Producten zweiten Grades von unendlich kleinen Gröfsen,
da
auch in ihrem
die Geschwindigkeiten
n
welchem der
enthält,
Differentialquotient
die
unendlich
klein
Maximum
verschwindend
im Vergleich zu dem Gliede,
Sie fallen daher fort
klein sind.
in
7"
— vorkommt, und
^
vom
ersten
Grade
welches Gröfsen
sind.
Differen-
tiiren wir
nach der Zeit, so müssen wir zunächst in jedem Gliede der Summe
den ersten Factor, das F, differentiiren.
Da dieser Differentialquotient aber eine lineare homogene Function der Gröfsen q wird,
so werden sich hier wieder Producte bilden, die vom zweiten Grade
unendlich klein
denen
q^
sind;
hingegen
nach der Zeit
endlich klein.
sind
die
weiteren
vom
Glieder,
bei
Grade unWir erhalten daher unter der hier gemachten Vorausdifferentiirt wird,
ersten
setzung für Gleichung (135 a) nunmehr
0=-^(..,^)-|^.
wobei nur
statt des
Index
c
der Buchstabe a gesetzt
(1B8)
ist.
Betrachten wir nun ebenso wie bei der Benutzung rechtwinkliger
Coordinaten
als
Function der p, und gehen von einer festen An-
fangslage, nämlich der
können wir
halten,
(P
in
Lage des
eine
stabilen Gleichgewichts,
TAYLOß'sche
wenn wir den Werth von
Eeihe
in
entwickeln
aus, so
und
er-
der Gleichgewichtslage
§ 33.
BEWEGUNGEN IN DER NÄHE STABILEN GLEICHGEWICHTS.
69
mit 0^ ^^^ ^^® ^^ Folge der Bewegung eintretende Aenderung der
Werthe von p^ mit Tt^ bezeichnen
Nun
hatten wir uns schon
davon überzeugt, dafs
früher in § 6
bei stabilem Gleichgewicht die Glieder, in
denen die ersten Potenzen
der Verschiebungen vorkommen,
gleich Null sein müssen, was ja
auch das bekannte Princip der virtuellen Geschwindigkeiten aus-
sagt
Das
was von
an geschehen
Lage im
Die zweite Bedingung für die
darin, dafs in
dem
stabilen Gleichgewicht sein soll, fort.
Stabilität des Gleichgewichts besteht
folgenden Gliede, welches die Producte zweiter
Ordnung von den Verschiebungen
wendig
sein
eine
wir,
voraussetzen, dafs das System in
soll,
seiner ursprünglichen
beschaffen
wenn
zweite Glied der Gleichung (139) fällt also,
jetzt
enthält,
ti
Function
positive
constant zu betrachten, da
sie
Diese
ist.
die Coefficienten so
Summe immer
müssen, dafs die gesammte
Coefficienten
noth-
sind
als
denjenigen Werthen der Differential-
quotienten entsprechen, welche für die Gleichgewichtslage gelten.
Wir
wollen nun für diese Coefficienten eine vereinfachte Be-
zeichnungsweise
einführen
und,
indem wir zugleich die höheren
Glieder weglassen, schreiben:
*=^o + i2:^[Ab-'fa.^b].
Da nun
:;r
(140)
der veränderliche Theil der Coordinaten
hier allein in Betracht
kommt,
ist,
dieser aber
so ist
ddi
_
dd)
dp ~ dn
und demnach
Indem wir diesen Werth benutzen und femer
dq
U
ist,
erhält Gleichung (138)
_
^
d^p
df^
nunmehr
_
^
b
Eine
solche
zustellen.
Gleichung
d^ii
dt^
die
o=-2[Ab.'r6]-2
Form
d^Tif,
'0,6
b
ist
für jeden
berücksichtigen, dafs
Index
(141)
dt^
a
dee
Systems auf-
ERSTER THEIL. SIEBENTER ABSCHNITT.
70
§ 34.
Mit unseren früheren entsprechenden Gleichungen (127 b) stimmt
hierin das Ton der potentiellen Energie herrührende Glied völlig
Ghed war dort einfacher, weil bei den
dem Gliede der lebendigen Kraft nur
überein; aber das andere
rechtwinkligen Coordinaten in
die einfachen Quadrate vorkommen, und an Stelle der Fa, g dort die
Massen der zu bewegenden Punkte stehen. Dort kam in jeder
Gleichung nur die Beschleunigung nach einer Coordinate vor,
während hier das Gleichungssystem dadurch anders
dafs
ist,
in
jeder dieser Gleichungen die Beschleunigung nach jeder Coordinate
vorkommt.
Wenn
wir berücksichtigen, dafs dieses System von Bewegungs-
gleichungen linear und homogen nach den Werthen von n^ und
ihren Differentialquotienten
constant
cienten
sind,
und
ist,
besteht
so
dafs die
vorkommenden
Coeffi-
eine unbeschränkte Möghchkeit
der Superposition der einzelnen Integrale, die sich für dieses System
ergeben.
Wir werden nun auch hier
indem wir setzen
Tii
Führt man
diese
Lösung
(vergl.
=
§
7)
Integrale finden können,
Bi.ei^K
(142)
in die Gleichung (141) ein, so erhalten wir
b
Dadurch
ist
ein
System von linearen Gleichungen gegeben,
aus
denen das Verhältnifs der Coefficienten B^ zu bestimmen ist. Wir
haben so viele Gleichungen als veränderliche Coordinaten, und
damit auch, als Unbekannte B^ vorhanden sind; es werden also die
Verhältnisse der B^ zu finden sein,
Gleichungen gleich Null
lich
anzunehmen.
ist;
wenn die Determinante dieser
Werthe B^ ist aber willkür-
einer der
Indem wir
die Determinante dieses Gleichungs-
systems gleich Null setzen, finden wir die Werthe für
bekommen
wir
deren so
viele,
als
n^,
und zwar
wir laufende Indices 6 haben.
Die ganze weitere Behandlungsweise wird aJso dieselbe wie früher
(§ 7 u.
f.),
und wir sehen,
dafs
die
für rechtwinklige
Coordinaten
durchgeführte Behandlung des Problems sich auf beliebige Coordi-
naten übertragen
§ 34.
läfst.
Uebergang zu continuirlich verbreiteten Massen.
Geht man nun von dem bisher betrachteten System discreter
auf ein continuirliches System über, so tritt der
Nutzen dieser neuen Umformung der Bewegungsgleichungen beMassenpunkte
§
34.
ÜBERGANG ZU CONTINUIRLICH VERBREITETEN MASSEN.
sonders hervor.
Da
71
wir dann gewissermafsen ein System von un-
endlich vielen Massenpunkten haben,
so ist die
Zahl der Coordi-
naten eine unendliche, wodurch eine gewisse Schwierigkeit entsteht
Wir können zwar auch
bei den
Systemen mit continuirlichen Massen
dann die einzelnen particulären
die Differentialgleichungen aufstellen,
Integrale solcher Differentialgleichungen finden und,
indem wir
die
Bewegungen, welche diesen einzelnen particulären Integralen entsprechen, superponirt denken, sehr verschiedene Bewegungsformen
herstellen; aber wir können nicht sicher die Entwicklung einer gegebenen Anfangsform- und Anfangsgeschwindigkeit des Systems in
eine Reihe ausführen, welche aus den einzelnen particulären Inte-
gralen
zusammengesetzt
ist.
Massenpunkten hatten wir so
Bewegung,
als
Bei einem System aus vereinzelten
viel
verschiedene Integrale für die
wir veränderliche Coordinaten hatten, und wir konnten
jedem Falle einfache Methoden angeben, wie die Bewegung ausfallen würde, wenn das System von einer beliebigen Anfangslage
in
mit beliebig gegebenen Greschwindigkeiten ausginge.
willkürliche
Coefficienten
fügung, welche dieses
für
die
Wir
particulären Integrale
immer ermöglichten, und
hatten
zur Ver-
es liefs sich sogar
Methode angeben, um die Coefficienten für die Integrale
zu finden. Aber sobald die Anzahl der Integrale unendlich wird,
ist wenigstens nicht immer der Beweis zu geben, dafs die gefundene
Reihe auch wirklich die gegebene Anfangslage und Anfangsgeschwineine directe
digkeit darstellt.
Die Methoden, welche dabei benutzt werden, sind
ähnlich wie die, welche wir bei einer endlichen Anzahl von Massen-
punkten gebraucht haben.
als
Man kommt im
Allgemeinen nicht weiter,
nachzuweisen, dafs eine bestimmte Reihe die richtige
ist,
falls
Bewegung durch das gegebene System von particulären Integralen dargestellt werden kann, nicht aber dahin, nachzuweisen,
Es giebt
dafs eine bestimmte Reihe wirklich den Werth darstellt.
freilich einzelne Fälle, wo man auch für eine unendliche Anzahl
die
von Massenpunkten diesen Beweis führen kann.
Zweiter Theil.
Die Schwingungen von Saiten, elastischen Stäben und
Luftsäulen.
Erster Abschnitt.
Die Schwingungen einer Saite.
Die Saite als System einer endlichen Anzahl
§ 35.
Massenpunkte betrachtet.
discreter
Die Theorie der Saitenbewegung wollen wir zunächst unter der
Voraussetzung entwickeln, dafs die Saite zusammengesetzt
wenn auch
äquidistanten Massenpunkten, die in endlicher,
grofser Zahl
ist,
welche
Sie
sie
sind,
liegen
dann
in
einer
ersten Punkt, welcher befestigt
und den
Index
Intervalle zwischen n
Kraft,
aus
und zwischen denen eine Kraft thätig
gegen einander hinzieht; dann werden sich diese so
vorhanden
zu legen streben, dafs ihre Entfernungen von einander
sind.
ist
beliebig
1
und unbeweglich
am
Wir
sein
kürzesten
wollen den
soll,
mit
dem
Das sind also n
(n)
Punkten. Ferner nehmen wir an, dafs die
letzten
+
geraden Linie.
mit
bezeichnen.
welche die Punkte gegen einander zieht, die Natur einer
elastischen Elraft
hat.
Wenn
herausgerückt sind, wobei
sie
die
Punkte aus der geraden Linie
im Allgemeinen nach
mensionen verschoben sein können,
allen drei Di-
wird die Entfernung je zweier
benachbarter Punkte geändert, und zwar würde, wenn wir die Entso
fernung zweier benachbarter Punkte nach der Verschiebung mit ds,
die Entfernung in der G-leichgewichtslage mit
dx und mit
|,
r],
^
die Verschiebungen bezeichnen, zu setzen sein
dsl
WO
sich
=
- ^a-l)^ + (?a -U- l)^ (144)
+ la - |a-l)2 +
Indices a und a — 1 auf zwei beliebige benachbarte
{dx
die
{ria
DIE SAITE ALS SYSTEM DISCRETER MASSENPUNKTE.
§ 35.
Punkte und dsa
dx auf den Abstand
resp.
dieser beiden
73
Punkte
beziehen.
Die Kraft, welche ein solcher elastischer Faden hervorbringt,
einer äufseren Kraft, die seine Form zu ändern strebt,
und welche
entgegenwirkt,
ist
der Verlängerung proportional.
Die ursprüngliche
nun aber nicht ohne Kräfte, weil
die gespannte Saite immer noch auf die Enden einwirken wird.
Wenn wir also den Ausdruck der Kräftefunction bilden wollen,
so würde bei einem elastischen Faden die Kraft zu setzen sein
gleich der Summe einer Constanten, die wir, weil sie die Spannung
repräsentirt, mit S bezeichnen, und der Zunahme dieser Spannung,
Gleichgewichtslage des Systems
ist
welche durch die Verlängerung
ihre
Länge geändert
Q und den
mit
ist,
A,
Bezeichnen wir die Ver-
eintritt.
längerung, welche die Saite erleidet,
d. h.
den Bruchtheil,
um
welchen
femer den Querschnitt der Saite mit
können wir die Zunahme
Elasticitätscoefficienten mit E, so
der Spannung durch E.Q.X ausdrücken. Dann
Werth der Kraft
S+ E.Q.X.
erhalten wir also als
Wenn
dem
K=
wir die Arbeit finden wollen, welche in
gebraucht wird, wenn es auf
dx.
l
Kdl
bilden
und
dx
erhalten
(p=dx.CK.d?.
{1
+
A)
(145)
Saitenstück
dx
verlängert wird, müssen wir
dann
= dxrS.dX + dx.fE.Q.X.dk)
J2
= dx.SA-{-dx.EQ-^-
f
(146)
J
Wir können nun
in der Gleichung (144)
indem wir berücksichtigen,
dafs
dsa
Wir
den Werth k einführen,
=
dx
(1
+ Xy
erhalten dann
dx\l+Xf = {dx + ia-la-l? + {ria-r]a-l?-^{Ca-U-l?
(147)
oder wenn wir die Wurzel ausziehen,
dx{l
+ ?.)={dx+i,
la-i)
]/l
]/
+ (^° ~!^'-'^['^ ^^t~i'-'^'
{dx + ia-ia-ir
(147a)
Die Wurzel entwickeln wir nach dem binomischen Satz:
..(l
+ .) = (..+f,-|._,)jl+4(5^^g^V...j(147b)
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
74
§35.
Die weiteren Glieder wollen wir vernachlässigen, weil ia—ia-i>
Va—Va-h Ca — Ca-1 verschwindend klein im Verhältnifs zu dx vorausgesetzt werden.
Es
ist
daher auch im Nenner ia—ia-i g&gen dx
zu vernachlässigen, und nach der Division mit d x ergiebt sich somit
i+;i =
i
ia-t
^M
dx
dx
^
'
1
( Ca
— Ca-
l
dx
(147c)
oder
,^i^^^(,,^^jV,(f^y
,
Setzt
man
Ausdruck für
diesen
([)
Werth
den durch Gleichung (146) erhaltenen
in
ein, so ergiebt sich
0^s.a,-i.^,)+is.ä..[^i^^)\is.ä..[^^J
dx
(146 a)
E.Q
,
dx
da die weiteren Glieder als unendlich klein von höherer Ordnung
weggelassen werden können.
Die ganze Kräftefunction ergiebt sich nun, indem über
einzelnen Theile von a
1 bis a
=n
summirt wird.
EQ
(la-la-i)^
alle
=
a>
+
=
(^a-^a-l)'
,
2 'S
,dx
+ -^
,
^-^—
(146b)
=
'S(|„-|„)+
Si'S.
(^a
-IIa- if
dx
EQ {^a-h- o-|
dx
Hieraus
I,
1]
ergeben
sich
die
Differentialquotienten von
welche
Kräfte,
oder ^ auf den Punkt a wirken.
^ nach !„_
•??„_
^a.
multipücirten zweiten Differentialquotienten
'
dt^
den negativen
Die Bewegungsgleichungen
erhalten wir, indem wir die Kräfte den mit der Masse
dt^
Eichtung der
in
Sie sind gleich
m
d'Ca
dt^
m des
Punktes
DIE SAITE ALS SYSTEM DISCRETER MASSENPUNKTE.
§ 35.
So ergiebt sich zunächst für
gleich setzen.
75
^a
m
EQ
la +
dx
und
—
1
+
2 lo
|a
in analoger Weise:
m
(148)
= +
df
S
Ua
dx
+
1
-
^Va
+Va-1
Ca
+
1
—
2 ^a
+
und
m
Das sind
die über die
schlufs
dx
dt^
drei in ihrer
geben;
Gleichungen,
durch
nur
sich
verschiedene
den auf die y-Axe und ;t-Axe bezüglichen Gleichungen
Spannung S
die
1
drei Coordinatenrichtungen Auf-
unterscheiden
sie
-
Ca
Form übereinstimmende
Bewegung nach den
Coefficienten. Bei
kommt nur
dHa
während für die a:-Axe
in Betracht,
vom Einilufs ist.
Wir hatten schon in der allgemeinen Theorie der oscillatorischen
Bewegungen von Systemen von Massenpunkten gesehen, dafs Lösungen
die elastische Kraft der Saitensubstanz allein
derartiger Gleichungen sich in der
Form
|a=«a.6'"'
darstellen lassen.
Setzen wir solche Lösungen für |q +
Q
durch —
dx
—
JP
ein
und
dividiren
;^
mn^ dx
«a
E.Q
,
=
1,
^ci
und
|a -
so ergiebt sich
«a +
1
+ «0 - 1 —
2 an
oder
(149)
=
«a +
1
+ «a
mn^dx
^7^1"«
2
In der Bewegungsgleichung für die
tj-
und ^-Verschiebungen
haben wir
=
Damit wir
wir für 2
einführen.
aa
alle drei
+
i
+ aa-i—
mn
2
dx
a
Systeme gemeinsam behandeln können, wollen
-—
d x resp. 2
Wird q=.
dx
e'^ gesetzt, so ist
q
•\
=
2 cos
€0.
die
Bezeichnung
j H
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
76
§ 35.
Die Gleichung
0=aa + i + aa-i-
[?
+
(a=l,2,...n-l)
-).««
(149a)
gemeinsame Form, unter welche die Gleichungen für
Diese Gleichungen sind nach den a
homogen und linear, und zwar sind eben so viele Gleichungen, wie
zu suchende Gröfsen a vorhanden; denn a^ und o^ sind Null.
ist
eine
also
alle
drei Coordinaten passen.
Sollen die Gröfsen a nicht sämmtlich Null sein, so mufs die
Determinante des Gleichungssystems verschwinden.
Das
liefert eine
Gleichung für g und damit für die Schwingungszahl der möglichen
Oscillationen.
Wir
schreiben die Gleichung nun in anderer Form, indem wir
einige Glieder auf die andere Seite bringen:
«0 +
1
—
?
«0
•
= —
>
1
«a
-
1
H
«a
(150)
Nun
stehen auf beiden Seiten dieser Gleichung dieselben
Zusammen-
fügungen von den zu suchenden Gröfsen, und zwar hat das zweite
den um 1 kleineren Index,
noch der ganze Ausdruck durch q
Glied
das
als
erste,
Nun
dividirt.
sehen, dafs wir diesen Ausdruck, dessen Indices
in derselben
Indices noch
um
und rechts
ist leicht
1
ist
einzu-
geringer sind,
Weise auf einen Ausdruck zurückführen können, dessen
um
«0
eine weitere Einheit kleiner sind:
—?
•
«a
-
1
= —K- —
1
? • aa-2j,
mithin
Oa +
und
80
1
1
— 9 «a = —2"
—
L«a r
1
«a -
können wir weiter gehen und erhalten
«a +
l-?-aa =-7-[ai
Da
der Endpunkt, der den Index
werden soU, so ist a^ = 0.
Alle
Um
<Z •
schliefslich:
-g-öo]trägt,
Gröfsen a können somit durch
a^
n
2j,
(151)
gar nicht verschoben
ausgedrückt werden.
auszudrücken, multipliciren wir die Gleichungen mit Po-
aa + i
tensen von q und schreiben:
§35.
DIE SAITE ALS SYSTEM DISCRETER MASSENPUNKTE.
tta
+
i
—
q.Oa
=
77
-z- <h
3
-5*.aa_i
=
-^^^rr
'^i
q^-aa-l- ?'.aa-2
=
-^^—4
«i
q.Oa
Wenn
wir diese Reihe von Gleichungen addiren, so bleibt auf der
linken Seite nur das erste Glied von der ersten Gleichung und das
von der letzten Gleichung stehen und es wird:
letzte Glied
aa +
i-g«.a,=
—
,a,(l+?2
+
^4^..,.^^2a-2).
(152)
oder
1
««+1
= ^-«1(1 +
?'
+
?'
+
•••
+
?'""'
+
?'")
(152 a)
1-3
was auch
in der folgenden
2
'
Form
geschrieben werden kann
1
70
«a + 1
= «1
+
_
n<»
+l
(152b)
J-'
Die Gröfse a^ selbst bleibt willkürlich, da in einem solchen System
von linearen homogenen Gleichungen immer nur das Verhältnifs
aller einzelnen Unbekannten zu einer derselben bestimmt werden
Um nun den Werth von q wirklich zu finden, müssen wir
noch die zweite Grenzbedingung hinzufügen. Diese besteht darin,
kann.
dafs das andere
On
=
ist.
Für
Ende der
a
+1=n
Saite ebenfalls fest bleiben
erhalten wir:
— o«
a„
= a1*
=
1
-3
0.
soll,
dafs also
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
78
Nun mufs
a^
;
a^
—=
*
1
wir nun
ist.
q=e'^
(ia
_
Die Bedingung
& eine ganze
_
2»sin(na))
g-iw
sin(nö?)
'
2*sin(«)
sin (n «)
Vielfachen von n
setzen, so erhalten wir für co die Gleichung:
^
gincü_e-tnct>
wo
sein, wenn die Punkte sich überkann daher nicht anders gleich Null sein,
von Null verschieden
haupt bewegen sollen
Wenn
§ 35.
=
'
sinto
verlangt, dafs n
o>
gleich einem ganzen
ist
Zahl bedeuten
g-
Mithin
soll.
ist
= e*•IfL
n
(154)
Es kann D die ganze Eeihe der ganzen Zahlen durchlaufen mit
Ausnahme der Vielfachen von n, wofür auch sin od verschwindet
und daher die Grleichung
sin (n w)
sm (o
nicht
ander
mehr
erfüllt
giebt wie
Für
ist.
Werthe,
verschiedene
=
wir nur 2 n
q erhalten
weil b
+
2n
—
denselben
2 von ein-
Werth
er-
b.
Setzen
wir den
Werth von
q in
den Ausdruck von «a +
1
ein,
so ergiebt sich:
sm(a-|-l)-jp
«0
+
1
=
7—
.0
sm
«1
•
(155)
71
n
ist der Index a + 1 gleich der Anzahl der Intervalle von dem
Anfangspunkt der Saite bis zu dem Punkte a + 1. Bezeichnen wir
daher die Entfernung vom Anfangspunkt bis zu diesem Punkte mit
Nun
X und die Länge der ganzen Saite mit
+
1
_
a;
/,
so ist
DIE SAITE ALS SYSTEM DISCRETER MASSENPUNKTE.
§ 35.
und mithin
—6
sin
+
Qo
1
79
;r
V
= «1
(155 a)
6
jr
sin
Wir haben
hiermit eine ganze Keihe von Schwingungsformen
der Saite erhalten.
erst ein,
wenn x
Ist
=
l
B. 6
z.
=
Dann
ist.
in welcher die Saite
Ist b
2a).
=
2, so wird eine
der Saite entstehen, welche in der halben Länge einen Knoten-
Fig. 2 a,
Ist b
= 3,
zwei Knotenpunkten (Fig. 2 c)
u. s.
punkt
Form,
die
ausgewichen, ohne Knotenpunkt (Fig.
Form
zweiter Nullpunkt
1, so tritt ein
ist
besitzt (Fig. 2b).
b, e.
bekommen wir
so
eine
Form mit
Dabei brauchen die Knotenpunkte nicht mit den materiellen Punkten zusammenzufallen.
w.
Die Schwingungszahl n hing mit q und
co
durch die Gleichung
zusammen
„
2
ww^
— -=r-zr
dx =
1
,
E.Q
g
^
=
-\
2. cos
co
q
oder
(156)
ww^
«
2
,
7:;—dx
5
=q
1
-\
=
«
2c0Sß>
q
mithin
2
(1
— cos
(o)
= 4. sm^— = -——dx
u
EQ
oder
(156a)
4
8m''-7r
2
Wenn
= —^^dx
Ä
wir die Wurzel ausziehen, so erhalten wir für die Schwingungs-
zahl n die Bestimmung:
4-
mdx
_
.
6;r
oder
(157)
+
mdx
„
.
6jr
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
80
Der Gröfse
2n —
2,
1
wie wir oben sahen,
sind dabei,
6
mit Ausnahme von n beizulegen.
,
.
.
die
Werthe
—
+
^
1
,
b entgegengesetzte
OTT
.
,
.
und
)
sm
1,
Die Zahl dieser
die Hälfte eingeschränkt werden,
Werthe kann noch auf
beachten, dafs b und 2 n
sm (a
§ 35.
wenn wir
Werthe von
hn
zwei sich zu 2 n ergänzende Werthe von 6 sowohl die positiv zu nehmende Schwingungszahl n wie auch der Ausdruck von «a + 1 dieselben sind. Man erhält also alle Schwingungsliefern, dafs also für
formen,
Um
wenn man
6 die
Werthe
—
2,
1,
,
n—
1
giebt.
die den verschiedenen Schwingungszahlen n entsprechenden
ata b statt üa und
Das allgemeine Integral setzt sich dann aus
Integralen zusammen und wird z. B. für die Ver-
particulären Integrale zu unterscheiden, wollen wir
Wß statt
n schreiben.
den particulären
schiebung in Richtung der y-Axe
^a
=
2«ab.e'"^'.
(158)
b
Die n — 1 Gröfsen a^ können dabei ganz beliebige reelle oder
complexe Werthe haben. Dann sind die übrigen Grröfsen a^ß nach
der Gleichung (155) durch Multiplication von aif, mit bestimmten
Factoren zu berechnen. Oder, wie wir auch sagen können, wenn
den Gröfsen
an
irgend welche bestimmte von Null verschiedene
werden und die zugehörigen Werthe von «„j berechnet sind, so erhält man die allgemeine Lösung, indem man die
mit einem beliebigen reellen
sämmtlichen Gröfsen aif,, a2i....an-i,
oder complexen Factor F^.e^n multiplicirt. Wir wollen nun den
Werthe
beigelegt
f,
geben, dann wird nach der
Gröfsen «n, die festen Werthe sin
Gleichung (155)
aab
= sm-^-
(159)
Die allgemeine Lösung nimmt dann die Form an
Va
= Si^6sin-^-e*(n« +
)'b)
(160)
n
b
oder wenn wir uns auf den reellen Theil beschränken
,,—,_,
'r]a=2j^i-
.
S"i
b
ab TT
n
•
cos
,
_,
{nf,t
+
,
^
/t,)
(160 a)
=
^JPßb
{cosy^cosn^t—
sin
n
sin yf, sinn f,t)
DIE SAITE ALS SYSTEM DISCRE^rER MASSENPUNKTE.
§35.
81
oder endlich in Uebereinstimmung mit der Gleichung (27)
wo
=
a
1?
Af,
2
{ -4 6
und Bf,
.
für
sin
sin n
— Ff, sin
yf,
6 <
+ jBb
.
und F^ cos
hin behebige reelle Werthe bedeuten.
für ia
nnd
Ca
=
t
geschrieben sind und mit-
yj,
Analoge Gleichungen gelten
•
Die Werthe der Constanten
sobald für
(160b)
cos n b i[
sin
die
und
Af,
Werthe von
?;„
lassen sich bestimmen,
Bf,
und
gegeben
Für
sind.
dt
/
=
wird nämlich
(161)
^,
drja
Wir nehmen
keit in
=
i
abn]
^[n,Asm--j.
dt
Augenblicke
r
.
im Anfangszustand der Saite d. h. in dem
und seine Geschwindig-
also
die Elongation jedes Punktes
Richtung der beweglichen Coordinate
als
gegeben an.
Die-
Formeln gelten auch für die beiden andern Coordinatenrichtungen. Der einzige Unterschied besteht darin, dafs für die
selben
Longitudinalschwingungen in der Gleichung für die Schwingungs-
S durch E. Q zu
zahl die Constante
Die Constanten
Af,
und
dargelegten Weise.
Wir
Anfangswerth von
niit sin
,^r
Tja
Bf,
ist.
nun nach der
finden wir
in
§ 10
multipHciren die Gleichung (161) für den
und addiren über a =
acTrl
.
ersetzen
r
ahn
.
.
l,2, ....n
— 1:
acTr]
(162)
c
bedeutet dabei irgend eine der Zahlen
Indem wir
Bf,
2,
—
n
—
1.
heraussetzen, wird:
—
2
1,
^a.sin—
=
^
^5
2
sin-— -sm-—
Das Product der Sinus können wir
.
(162a)
in eine Differenz zweier
Cosinus verwandeln, so dafs
,
2[ sm
<1
L
ahn
.
acn
sin
n
n
= Sicos '"'^''-'^
H. V. Hblmholtz, Theoret Physik.
Bd. ni.
-2 icos!^^^ı^.(163)
n
6
ZWEITER THEIL. EESTER ABSCHNITT.
82
Nun
zu sehen, dafs die rechte Seite der Gleichung
ist leicht
verschwindet, sobald
1
von
c
6 verschieden
Denn
ist.
—6*'»
—-ein,
TT
man
für
«o
irgend ein Vielfaches von^
_
l^
mithin
1
_|-
ei
wenn man mit
»
^_
4. ß2tüj
^
_j_
g(2n -
1)16)
_
g-"»'" multiplicirt:
g-niw^ß-(n-l)t<»_j__,^_j_
Der
so wird
n
g2nico
oder,
es ist:
+6i«»'-j-62ico_j___j_g(2n-l)Jö>_:
1
Setzt
§ 35.
l
-f...-j-e(n-l)»«=:0.
reelle Theil allein liefert die
cos (n
cö)
Gleichung
+ 1 + 2 2 cos
CO
= 0,
a
WO
CO
Werthe
a die
=
—
—
n
1, 2,
und einmal
durchläuft.
—n
=
«0
1
und bilden
^^
n
Setzen
wir
einmal
die Differenz, so
ergiebt sich:
cos(6
— c)7r — cos(b +
c):;r
— _^cos —
+ ^cos—
^^
-^^
also
2 —n
cos
Ist aber
c
= b,
- 2 cos
^
\-
— —=
^—
'-
=0
(164)
0.
so wird
2icos^^^)-2icos°-4±i>=i„.
(165)
Mithin geht die Gleichung (162 a) über in
.
rja
Für
——
aCTT
sm
die Geschwindigkeit
= 5c--f--
kann man
die analogen
(162b)
Rechnungen
vornehmen.
Für
^
=
haben wir
-—- =
dt
2
1^
"6 -^6
sm
——
n
•
(166)
§ 36.
DIE SAITE ALS CONTINUIELICHER KÖRPER BETRACHTET. 83
und addiren über
Multipliciren
wir
mit sin
a=l,
— 1,
so ergiebt sich
2,
Auf
liebig
...n
diese
alle
Werthe
Weise sind die sämmtlichen Constanten einem be-
gegebenen Anfangszustande angepafst.
Wenn
wir nun zu einer unendlichen Anzahl von Saitenpunkten
übergehen, dann
läfst
sich für
den Fall einer unbelasteten
Saite,
welche von durchaus gleichmäfsiger Beschaffenheit in ihrer ganzen
Länge ist, dieselbe Methode anwenden. Die Summe, welche die
Lösung darstellt, geht in eine unendliche Keihe über, von der sich
aber nachweisen läfst, dafs sie convergirt und wirklich den gesuchten
Werth repräsentirt. Bei der Zerlegung der Saite in eine Anzahl
discreter Massenpunkte sind wir nicht an den Fall der gleichmäfsigen Beschaffenheit gebunden. Wenn wir z. B. den Punkt in
der Mitte stärker belasten als die übrigen, so können wir allerdings
die Schwingungsformen und Perioden nach derselben Methode finden.
Ja wir können nicht nur die Punkte ungleich belasten, wir können
auch ihre Entfernungen ungleich weit annehmen. Die Methode
bleibt auch dann noch anwendbar, nur läfst sich die Elimination
nicht mehr in der einfachen Weise durchführen wie in dem betrachteten Falle.
§ 36. Die Saite als continuirlicher
Wir
hatten die potentielle Energie unserer hypothetischen Saite
dargestellt (Gleichung 146 b) durch
der
Körper betrachtet.
eine
Summe
von Gliedern von
Form
Ä(|a-|.-i) +
—
+iS
i5
+ ^E.Q
—
Lassen wir die discreten Massenpunkte in eine continuirliche Saite
dem Ausdruck fiir die potentielle Energie
übergehen, so werden wir in
die
Differenzen |a
d^,
d?], dL,
— |a-i)
Va
—
'^ia-it
^a
— Ca-i
zu verwandeln haben und erhalten
^^
di©
Differentiale
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
84
Die gesammte potentielle Energie
(P ist gleich
dem
§
Integral über x
0=/-'«•ii-i«(a^*«(iirH-wii
Bedeutet nun
die
(jl
86.
(169)
Masse der Längeneinheit der Saite, so
Die lebendige Kraft der Saite
ist
die Masse des Stückes dx.
ist
dx.fi
daher
gleich
Die Bewegungsgleichungen der Saite ergeben sich nun aus dem
HAMrLTON'schen Princip, dafs die Variation des nach der Zeit von
S verschwinden mufs:
genommenen Integrals über
ifl bis Jj
0—
'1
O==djdt\0-2].
Um
zu
zu bilden, haben wir die Coordinaten |,
zunächst d
??,
^
variiren:
J
\
dx dx
dx
dx dx
Das erste Glied läfst sich einfach
und ^1 am unteren Ende sind beide
Differenz gleich Null.
dx
'
integriren.
gleich
dx\
d^ am oberen
Null,
also
Die folgenden Glieder sind durch
ist
die
partielle
Integration umzugestalten.
Cdi]
dSri
^d^
dd^
drj
jj^'^^<^^=^
dx
dx dx
'diqsj
/:dx
dx
^^=7^
dx
C^^'n ^
^?'
,
d^ d ^dx
Idx^
<^l-j-^i^l^«'•
dx'
Die ersten Glieder der rechten Seiten verschwinden, wenn wir
die
Grenzen des Integrals einführen, da die Enden der Saite
liegen sollen.
Auf
diese
Weise ergiebt
sich:
fest-
§ 36.
DIE SAITE ALS CONTINUIRLICHER KÖRPER BETRACHTET. 85
Die Variation
j$2dt=
Durch
^2
ergiebt sich in ähnlicher Weise.
dx.fi
/
über
partielle Integration
didsi
Jät dt dt
und analoge Gleichungen
dafs
t
wird
ö|
ö'i
dt^öi
^-^Hdt
I' dt'
gelten für
r]
und
Beachtet
^.
nach den Regeln des HAMiLTON'schen Princips ^|,
den Zeitgrenzen
^^
Jd2dt=
und
man nun,
S^ an
d^],
verschwinden, so ergiebt sich:
t^
-JJdx.fi.dti^öi^^+Sv
^^^1
df
dt^
(172 a)
folglich
S dt\
-S =
/
dxdt
E.Q d^i
dx
dt^
n
(173)
+
^d^7j
d^T]
S
u* dt^
8ri
di
+
s
d^C
dx^
)n
Die Variationen über die ganze Saite sind nur der einen Bedafs sie continuirlich sein müssen, sowohl
dingung unterworfen,
nach X als nach t. Eine Discontinuität nach x würde bedeuten,
dafs an einer Stelle die Saite zerrissen wäre, und bei einer Discontinuität in der Zeit würde sie in der Zeit zerreifsen. Es würden
die Saitenpunkte an einem Orte in einem gewissen Augenblick verschwinden und an einem andern wieder auftreten, was beides ausgeschlossen sein mufs.
Da nun
die Variation des Integrals für alle Arten von Varia-
tionen gleich Null sein mufs, so folgt, dafs an jeder Stelle der Saite
und
in
jedem Zeitpunkte der
Coefficient von
8^
gleich Null ist,
das
heifst
d^i
(^
Denn wenn
dt^
er an irgend einem Punkte
einer gegebenen Zeit von
=
^^
=
setzen
(174)
der Saite und zu irgend
verschieden wäre,
so
würden wir die
J| von gleichem Zeichen machen und
können. Dann würde das Integral über lauter
entsprechende Variation
Sr]
d^i
dx^
ZWEITEE THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
86
positive Glieder
Ebenso
folgt,
genommen
sein
und nicht
§
36.
gleich Null sein können.
dafs
(174 a)
Diese drei Gleichungen hätten wir auch unmittelbar aus den
Gleichungen erhalten können, durch welche die Bewegung der
creten
Massenpunkte
gegeben
Wenn
wird.
wir
z.
B.
in
dis-
der
Gleichung (148)
m
durch pidx ersetzen, so können wir
Sa+l
^ ^
d^ä
— ^a
dx
in c?| über, so verwandelt sich
dx
Sa __ Sa
— Sa-1
dx
in das Differential des Differentialquotienten.
E-
schreiben
dx
sa+l
Seite in
Form
Sa *" sa-1
Sa
dx
dt^
Geht nun ^a+i
in der
sie
Mithin geht die rechte
über.
Q.^^
Ox^
Die drei Bewegungsgleichungen haben für alle drei Coordinaten
dieselbe Form. Der einzige Unterschied ist der, dafs in der Differentialgleichung für I das Product E. Q (Elasticitätsmodul
schnitt) steht, wo in den Differentialgleichungen für r]
mal Querund ^ die
Spannung steht. Die Longitudinalschwingungen der Saite hängen
also von dem Elasticitätsmodul ab, während für die Querschwingungen nur die Spannung der Saite in Betracht kommt. Wenn
wir irgend eine der drei Functionen i, Vj C niit cp bezeichnen, so
können wir die drei Differentialgleichungen auf die gemeinsame Form
bringen
deren allgemeines Integral wir nun suchen wollen.
§
DIE SATTE ALS CONTINUIRLICHER KÖRPER BETRACHTET. 87
36.
Setzen wir
von x
— atj
gleich einer beliebigen Function von
(p
so ist die Differentialgleichung erfüllt.
x
+
Denn
ai oder
es wird
alsdann
dw
ÖQp
^
dt
dx
und
~
dt^
Da nun
die
at)
-\-
—
at oder x
-{
und G{x
—
at, so ist
—
at)
Es
(175)
eine
Lösung der
dies
das vollständige Integral der Differentialgleichung
darin
die
Be-
Functionen
at) zwei beliebige
^ = F{x + at)+ G{x
ist
so wird
ist,
zweier Integrale wieder ein Integral sein.
zeichnen daher F{x
von X
und homogen
Differentialgleichung linear
Summe
auch die
dx^
Differentialgleichung.
Bewegung der
Saite
läfst
für jeden
sich
dafs
zeigen,
d.
ist,
beliebig
h. es
gegebenen
Anfangszustand in Bezug auf Elongation und Geschwindigkeit ent-
Es können im Anfangszustand
halten.
d(f
Werthe von
die
cp
und von
für alle Saitenpunkte ganz beliebig gegeben werden,
Für
t
=
mlich
wird nämlich
(p
=
F{x)
+ G {x)
und
(176)
^=^ar{x)-aG\x).
Aus der
ersten Gleichung folgt:
d(p
dx
Mithin
ist
für
/
F'{x)+G'{x).
(177)
=0
dw
dw
r,
^,,
y
(178)
dx
dt
^
'
j
"Wir können also,
wenn uns
die
Werthe von w
^ und von
—
dt
zu Anfang der Zeit gegeben sind, die Werthe F{x) und G'{x) daraus
;inden,
d.
h.
die
genommen nach
x,
Differentialquotienten der Functionen
und wenn wir
F
und
G
diese Differentialquotienten haben.
8S
ZWEITEE THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
SO
können wir durch eine einfache Quadratur die Functionen i^und
F
X'-at
an
G
welche nun die weitere Bewegung bestimmen, indem
selbst finden,
wir in
§ 36.
Stelle
von x das x
Nur
setzen.
-\-
Q an
at und in
Stelle
von x das
zu bemerken, dafs wir noch nicht auf die
ist
Endpunkte der Saite Rücksicht genommen haben, welche wir wie
bisher als fest ansehen wollen.
Es
Bedingung der Endpunkte
ergiebt sich sogleich, wie wir die
erfüllen können, sobald wir die physikalische Bedeutung der Func-
tionen
F
und
Q
erörtern.
Betrachten wir zunächst die Function G{x
— at)
an irgend einem
bestimmten Punkt der Saite zu irgend einer bestimmten
Der Werth von G{x —
wenn x und at um gleich
X
— at
und
t^
denselben Werth.
wachsen; denn
viel
Bezeichnet
den neuen Zeitpunkt, so
x^
Zeit.
wird offenbar ungeändert bleiben,
at)
es
behält alsdann
den neuen Punkt der Saite
ajj
ist
—X=
a{tj^
—
t)
und
G{x^
G
—
at^)
t
G{x
—
a
t).
am Punkte
am Punkte x hatte, d.
wird also für die Zeit
haben, den es zur Zeit
=
x^
#j
denselben
h. also, dieser
Werth
Werth
wird zu einer etwas späteren Zeit an einem etwas entfernteren
Punkte der Saite wieder erscheinen, und es läfst sich auch durch
die Gleichung a;^ — x = a{tj^— t) für jeden zwischen liegenden Zeitpunkt die Stelle der Saite angeben, wo dieser Werth in dem Augenblick vorhanden sein wird.
der Zeit
keit,
Er
t^
—
t,
und der
Die Entfernung
mit der dieser betreffende Werth von
läuft
x^^
Proportionalitätsfactor a
G
—x
ist
ist die
proportional
Geschwindig-
auf der Saite
auf der Saite in der Richtung der positiven
fortläuft.
x mit der
Geschwindigkeit a entlang.
In der andern Function, F{x-{-at), hat die Geschwindigkeit
den entgegengesetzten Werth — a, und es wird dies anzeigen, däfs
F mit der Geschwindigkeit a, aber in
Richtung der negativen x auf der Saite entlang läuft. Wir können
so die Saitenbewegung, so lange die Endpunkte noch nicht in Beder betreffende Werth von
tracht
kommen,
in Richtung des
Wellen darstellen, einmal
und einmal in Richtung des abneh-
als das Fortlaufen zweier
wachsenden
x,
menden X. Wenn wir uns zur Zeit t =
die Function F für
Werthe von x — — on bis £c=+oo gegeben und durch
F
alle
eine
Curve, deren Ordinaten gleich
sind, dargestellt denken, so werden
wir diese Curve in der Richtung des abnehmenden x mit der Ge-
§ 36.
DIE SAITE ALS CONTINUIRLICHER KÖRPER BETRACHTET. 89
um
schwindigkeit a zu verschieben haben,
Aehnlich werden wir die Curve
den X
G(x —
mit
der
(x)
Geschwindigkeit
F{x •{- at) zu erhalten.
Richtung des wachsen-
in der
zu
a
verschieben
geben zusammen den Werth von
(p.
nun an dem einen Endpunkt
ständig Null sein, so mufs stets
Soll
aj
=
der
Werth von
F{at)+ G{~at)=^0
da at jeden beliebigen Werth
sein oder
es müfste die
(p
be-
(179)
darstellt,
-F[x)=G{-x),
d. h.,
um
haben,
Die Ordinaten beider fortlaufenden Curven
at) zu erhalten.
(179a)
Curve G{x) gleich der Curve
sein, die
wir er-
halten, wenn wir die Curve F(x) an der x-Axe spiegeln und das
Spiegelbild noch einmal an der y-AxQ spiegeln.
Soll
auch der andere Endpunkt x
F{l-\-at)->r
sein oder, da ai jeden beliebigen
=
l
G{l-at)
fest sein, so
=
(180)
{)
Werth h annimmt,
-F{l-hh)= G{l-h);
d. h., es
mufs
(180a)
mufs die Curve G{x) aus der Curve F{x) hervorgehen da-
durch, dafs wir diese erst an der x-Axe spiegeln und dann das
an einer Parallelen zur y-Axe durch z = l
spiegeln.
aber
Oder wie wir auch sagen können, gleich weit von
auf verschiedenen Seiten von
müssen die Wellen F{x) und G{x)
entgegengesetzte Ordinaten haben, und gleich weit von l aber auf
verschiedenen Seiten von l müssen die Wellen F(x) und G {x) ebenfalls entgegengesetzte Ordinaten haben.
Daraus folgt, dafs alles
bestimmt ist, sobald F{x) für x =
Denn
bis x = 21 gegeben ist.
aus den Werthen
Spiegelbild noch einmal
= bis 2
folgen die Werthe von G{x) für x — 21 bis x = 0, weil
F{l + h)= - G[l-h).
Aus den Werthen von G [x) für x =
bis 21 folgen nun wieder die
= bis —21, weil F{— x)= — G{x) etc.
Werthe von F (x) für
F{x) für
:r
/
a:
Und zwar
ergiebt sich
F{1
+
Ä)
= -
G{l-h)
= F{-l +
h)
oder
(181)
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
90
G {x) müssen
Die Curven F{x) und
§ 36.
sich also periodisch wieder-
holen in Perioden, die gleich der doppelten Saitenlänge sind. Die
Curven sind vollständig bestimmt, wenn von einer Curve eine Periode
gegeben
ist.
Lassen wir diese beiden periodischen Wellen in entgegengesetzten
Kichtungen entlang laufen, so wird sich also die Bewegung der
Saite ebenfalls periodisch wiederholen, und zwar nach Verlauf der
Zeit, welche die Wellen brauchen, um die doppelte Saitenlänge zu
durchlaufen, also nach der Zeit
schlössen, dafs die
Bewegung
In der That kann F[x)
Dann wird
die
z.
Bewegung
T—
T=
—
Damit
.
ist
nicht ausge-
a
sich schon in kürzerer Zeit wiederholt.
B. eine halb so grofse Periode besitzen.
sich schon in der halben Zeit wiederholen.
Neben solchen Bewegungen,
21
21
welche
haben, werden also auch
die
solche
Schwingungsperiode
vorkommen können,
in
a
Wellen von
Y2 > ^/s > ^U • • ^^ grofs ist. Wenn zwei
der Mitte
in
der halben Periode sich entgegen laufen, so werden sie
T nur
denen
•
•
der Saite sich zu Null zusammensetzen, und dieser Punkt kann dann
ebenso als
fest betrachtet
werden, wie die Enden, ohne die Bewegung
der beiden Hälften zu ändern.
Das Entsprechende
von Wellen,
gilt
deren Periode ^s» V4 •
^^ S^^^^ ^^*Wenn wir verschieden lange, aber gleich gespannte Saiten von
• • •
gleichem Gewicht der Längeneinheit mit einander vergleichen, so
denn
wird die Geschwindigkeit auf allen die gleiche sein;
a^
=
Daraus
längste
dafs
folgt,
gleich
ist
dafs für eine doppelt so lange Saite die
Schwingungsperiode
für
es
doppelt so
und
gespannte
lang
gleich
ist,
und überhaupt,
Saiten
beschaffene
Schwingungszeit der Länge der Saite proportional
die
Das giebt
wenn wir
ist.
auf die praktische Akustik übertragen das Gesetz, dafs,
eine Saite verkürzen, die Schwingungsdauer in demselben Verhältnifs
wie die Saitenlänge abnimmt.
Die Schwingungszahl
Saitenlänge umgekehrt proportional.
ist
also
der
'
-
..
Die Beziehung zwischen den beiden Wellen
F{x
+
G{x
— at)
at)
und
kann man
sich
seien F{x)
und
auch in folgender Weise
{x) für die Werthe x =
vorstellen.
bis
l
Zur Zeit
gegeben.
t
==
Betrachten
SCHWINGUNGEN ALS SUMME VON SINUSSCHWINGUNGEN.
§37.
wir nun irgend eine Stelle z^ der Saite, so drückt F{x
dem Augenblick
+
91
at) aus,
=
an der Stelle Xq befindliche Ordinate F{xq) mit der Geschwindigkeit a in der Eichtung der negativen x
dafs die in
^
auf der Saite entlang rückt, und 0{x
dem Augenblick
t
=0
— at)
drückt aus, dafs die in
O [xq)
sm der Stelle x^ befindliche Ordinate
mit der Geschwindigkeit a in der Richtung der positiven x-Axe
entlang
Ende
ar
Der
rückt.
=
0,
erste
der andere
Werth
Werth
das Ende x
übergehen
Der
erste
=
Wir
l.
stellen
werden
reflectirt
zur Zeit L
=
—5- das
^
a
erreicht zur Zeit
^°~
2
den Enden
erreicht
a
'
uns nun vor, dafs beide Werthe an
in der Art, dafs sie ins Entgegengesetzte
und mit der Geschwindigkeit a wieder zurücklaufen.
ist dann nach der Reflexion durch
Werth
— F{at — x)
der zweite nach der Reflexion durch
t\+l-x)= - 0(2l-at-x)
- «("(1
dargestellt
Nun war
in
Folge der festen Enden (Gleichungen 179 a
und 181)
—
—
— x)= Gix — at)
at — x)= — G{—at — x) =
F{at
G{2l —
Wir können daher
sagen, die erste
WeUe
diese
F{x
+a
Bedingungen so aussprechen, dafs wir
geht bei ihrer Reflexion in die zweite und
die zweite geht bei ihrer Reflexion in die erste über.
mahger Reflexion geht jede Welle wieder
die
t).
Nach
zwei-
in sich selbst über.
Im Allgemeinen ist eine Periode also erst dann vollendet, wenn
Wellen einmal hin und zurück gelaufen sind, also die doppelte
Saitenlänge zurückgelegt haben.
§ 37.
Die Darstellung der Schviringungen als
Sinusschwingungen.
Summe von
Nun können wir aber auch auf unsere Bewegungsgleichung die
Methode anwenden, die wir bei einer discreten Anzahl von Massenpunkten angewendet haben und setzen:
9=
Ä.e*«S
(182)
ZWEITER THEIL. ERSTEE ABSCHNITT.
92
WO h
cp
eine Function von x sein
Wenn
soll.
in die Differentialgleichung einsetzen, so
§37.
wir diesen Ausdruck für
bekommen
wir:
d^cp
dx^
r.e int
also
(183)
=
n^Äe»««
d^h
,
a'
dx^
oder
d^h
— n^h=
Das
ist
nun wieder
a^
dx'
homogene Differentialgleichung
eine lineare
zweiter Ordnung, die wir dadurch lösen können, dafs wir setzen:
= c.e^^''.
h
Wenn
setzen, so
Werth
wir diesen
bekommen
(184)
in die Differentialgleichung für k ein-
wir:
— n^.c.e^^'^ = —
c.^^a^e'^*,
so dafs unsere Bedingungsgleichung bleibt:
n'-
Das
ist
=
n==±X.a.
l''a^
die einzige Gleichung, die zwischen
(185)
den Constanten zu
bestehen braucht.
Dann
erhält also
fp —.
Hierin kann
wir
so
c in
Q^giXx + int
c
Form
die
(p
—
+
nt) -^ (,^g,ik{x±at)^
(186)
auch einen complexen Werth haben.
Schreiben
(,^ßi{i.x
der Form:
bekommen
wir:
^
(187),
= g .cos\_k{x ±
Sowohl der
reelle
at)
+
f]
man
in
J
wie der imaginäre Theil kann als Integral
der (^rleichung benutzt werden.
selben
+ ig sin[X{x + at) + ß.
Sie sind beide wesentlich von der-
Form. Denn da f eine willkürliche Constante ist, so kann
Phase um einen rechten Winkel ändern, wodurch der Sinus
die
den Cosinus übergeht.
SCHWINGUNGEN ALS SUMME VON SINUSSCHWINGUNGEN.
§37.
Da
das
Ende der
Saite
=
jc
in
Ruhe
sein
so
soll,
einander entgegenlaufende Wellen zu nehmen, die
zu Null zusammensetzen,
a
haben wir zwei
x
sich bei
=
ß.
z.
-^ sin X (x
— at) =
2 sin A x cos
a
sin X {x
-{-
cos X{x
— at) — cos X{x •{ ai) = 28mXx.smXa
t)
93
.
oder auch
Jedes
dieser
möge mit einem constanten Factor
Dann geben sie zusammen das Integral:
Integrale
multiplicirt werden.
(p
Diese
Form
t.
= ^ sin A
ist
am
gesetzten Ausdrücke.
a:
.
cos X at
+ BsinXx.sinX at.
geschicktesten für die Bildung der
Hier
ist (p
also
zusammen-
aus zwei Schwingungen zu-
sammengesetzt, von denen die eine den Cosinus der Zeit und die
den Sinus der Zeit enthält, so dafs
andere
einer
beide Male
den Factor
= — oder -^
7t
7t/
hat sin X x für
allen
Xx
denjenigen
Seinen
sinAa:.
Stellen,
-f-
2 q
wo Xx
=
itt.
gröfsten
Dagegen
(x% ist.
ein
Viertel
Die Amplitude
Undulation gegen einander verschoben sind.
enthält
in
um
sie
ist sin
Werth
Ax
=
Zwei solche Null-
müssen mit den Endpunkten der Saite zusammenfallen,
wenn diese fest sein sollen. Dadurch sind zwei Nullpunkte gegeben.
Es braucht nun zwischen diese kein anderer Nullpunkt hineinzufallen, so dafs in dem Falle die ganze Länge der Saite einer halben
Periode entspricht; aber es kann auch eine beliebige Anzahl von
Nullpunkten in das Innere der Saite zwischen die beiden Enden
fallen.
Dann würde eine Reihe von Stellen auf der Saite existiren,
wo die Amplitude des schwingenden Punktes gleich Null ist. Das
punkte
sind Ruhepunkte, die in
der Akustik als Knotenpunkt bezeichnet
werden, weil die schwingende Saite den Anblick gewährt, als wäre
Fig.
der Raum, den
sie bestreicht,
3.
von vielen Fäden
erfüllt, die in
dem
Knotenpunkt zusammengefafst erscheinen (Fig. 3).
Es können beliebig viele Knotenpunkte vorkommen, und für
—2—
TT
jede Schwingungsart wird die Schwingungsdauer
d. h. gleich
T
der Zeit, welche die Welle gebraucht,
gleich
um
Xa
sein,
eine Wellen-
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
94
§ 37.
2
das
länge,
Periode
einer
die
ist
TT
entsprechende
Entfernung -y—
Länge der
Saite der halben
zurückzulegen.
Für den Grundton
Wellenlänge,
_
A
= —-
dafs
so
entspricht die
also
Länge
die
^,
der Saite gleich
l
also
o/
und T =
zu setzen
ist.
a
l
Wenn
d
7t
= —^—
so ist l
mehreren halben Wellenlängen entspricht,
die Saitenlänge
wo
,
= -^.
T=
Den Grundton
wir für
erhalten
Die Zahl
der Saite bilden.
a
=
1
(189)
Werthe von
gröfsere
;
a
welche mehrere Knotenpunkte in der Länge
die Obertöne,
liefern
und
eine beliebige ganze Zahl bedeutet,
a
Anzahl der Wellen-
gleich der
ist
längen, welche auf der Länge 21, der doppelten Länge der Saite,
vorkommen.
so
Die Schwingungszahl
dafs also
-^r— ist
der Zahl
a proportional,
Schwingungszahlen der Töne in dem Verhältnifs
die
wachsen, wie die Anzahl der schwingenden Saitenabtheilungen auf
der
Wenn
wächst.
Saite
tones für a
=
1
N
mit
wir
Schwingungszahl
die
bezeichnen,
so
werden
zahlen der Obertöne, bei denen die Saite in
schwingt, gleich 2N, 3N,
ist
der zweite
die Octave
c,
zum
Wenn
...
von
g,
aber etwas
die Octave
ist also
Ton
die höhere Quinte zu
c ist,
der fünfte zu diesem die grofse Terz
c,
zum
nahe dem Ton, der
Es
Abtheilungen
...
g,
lich
gegeben.
3,
zweiten
d.
als b
tiefer,
zum
i.
dritten
in der gewöhnlichen Skala der
ist
2,
B. der tiefste
Grund-
der dritte
der sechste die Octave
achte
z.
des
Schwingungs-
die
g,
der siebente
c,
ist ein
Musik nicht vorkommt;
so
der vierte
e,
Ton, der
er ist ziem-
zu bezeichnen wäre, die kleine Terz
wir wollen ihn mit
vierten
—
b
bezeichnen; der
c.
eine ganz bestimmte Reihe von
Es hängt das damit zusammen,
Tönen auf der
dafs, wie
Saite
uns das allge-
meine Integral der Differentialgleichung lehrte, die Bewegung einer
Saite, die an beiden Enden befestigt ist, nothwendig eine periodische
sein mufs.
Eine periodische Bewegung ist zu bezeichnen als eine
Bewegung, bei der sich in auf einander folgenden gleichen Zeit-
räumen genau
innerhalb
dieselbe
einer
Bewegung
Die Art der Bewegung
kann dabei ganz beliebig sein.
wiederholt.
einzelnen Periode
SCHWINGUNGEN ALS SUMME VON SINUSSCHWINGUNGEN. 95
§ 87.
Nun
liefs
uns das allgemeine Integral F{x
{- at)-{-
G{x
—
afj schliefsen,
welcher die doppelte Saitenlänge ein-
(lafs nach
mal von einer Welle durchlaufen wird, die sich mit ihrer durch
die Spannung gegebenen Geschwindigkeit fortpflanzt, sich die ganze
Bewegung genau so wiederholen mufs, wie das erste Mal. Daraus
allein folgt die Zerlegung der Saitenbewegung in harmonische Töne,
deren Schwingungszahlen der Reihe der ganzen Zahlen proportional
derjenigen Zeit, in
Der
sind.
Bewegung
Begriff einer periodischen
erfordert nämlich
nur, dafs irgend etwas, was in der ersten Periode geschehen ist,
Aber darunter
genau ebenso sich in der zweiten wiederholt.
kann auch der Fall vorkommen,
diese
Bewegung
sich
dafs schon in der ersten Periode
zweimal wiederholt.
Dann würde immerhin
Wiederholung der Bewegung ein drittes und
eine genaue Wiederholung der
ersten Doppelgruppe von Wellen sein, und wir würden überhaupt
jede Bewegung, welche wir nach irgend einer kleinsten Periode, die
wir an ihr unterscheiden können, als periodische betrachten, auch
noch
viertes
eine
weitere
Mal zusammen genommen
als periodisch
nach der doppelten Periode betrachten können,
weil,
nachdem die doppelte Periode ausgelaufen ist, sich in der dritten
und vierten genau dasselbe wiederholt, was in der ersten und zweiten
vorgekommen ist. Ebenso können wir sie auch als periodisch nach
der dreifachen Periode betrachten u.
periodische
Function
s.
auch betrachten
ganzen Anzahl ihrer Perioden.
f.
als
Wir können somit
periodisch
So können wir eine Saitenbewegung,
welche die Schwingungszahl der Octave besitzt, auch
nach
der Periode
des Grundtones
von den anderen Obertönen.
jede
nach jeder
betrachten
Weiter
ist
als periodisch
und dasselbe
leicht einzusehen,
gilt
dafs,
wenn man mehrere Bewegungen addirt, die alle die gleiche Periode
Summe herauskommen mufs, welche dieselbe Periode
besitzen, eine
besitzt, weil
nämlich in der zweiten dieser Perioden genau dieselben
Glieder sich addiren, welche in der ersten sich addirt haben.
können wir die ganze periodische Bewegung
vielen Schwingungsformen betrachten, welche
als eine
alle
Daher
Summe von
nach der Periode
des Grundtones der Saite als periodisch betrachtet werden können.
Eine Summe aus Gliedern von der Form
AsinXx. cos Xai
wo
+
BsiaXx.sinXat,
X die Werthe
T'~r'~r'
hat, stellt eine mögliche Schwingungsform der Saite dar, weil alle
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
96
G-lieder
nach der Periode des Grundtons
§ 38.
als periodisch betrachtet -wer-
Dafs wir hier eine unendliche Anzahl von Schwingungs-
den können.
zahlen erhalten, hängt damit zusammen, dafs wir unendlich viele
schwingende Punkte haben. Bei einer endlichen Anzahl von Punkten
ist auch die Anzahl der Schwingungszahlen endlich.
Wir werden nun weiter diese Summe dahin zu untersuchen
haben, ob sie alle möglichen Schwingungen der Saite darstellt, ob
sie
sich
läfst.
also
jedem gegebenen Anfangszustand der Saite anpassen
Zu dem Ende wird
ganze Reihe der unendlich
aber die
vielen Glieder nöthig sein, so dafs die
Schwingung durch eine un-
endliche Reihe dargestellt wird.
Dabei begegnen wir der mathematischen Schwierigkeit, im gegebenen Fall zu beweisen, dafs die Reihe convergent ist.
Wir wollen daher einige allgemeine Betrachtungen über die
Convergenz dieser Reihen vorausschicken.
§ 38.
Die Convergenz unendlicher Reihen und besonders
der Fourier'schen Reihen.
Wenn
wir eine Reihe haben, die aus lauter positiven Gliedern
besteht, die sich alle addiren,
so wird
fügung jedes einzelnen Gliedes die
nothwendig bei der Hinzu-
Summe
gröfser werden,
werden dabei nur zu untersuchen haben, ob die
Summe
und wir
nicht über
jeden endlichen Werth hinauswächst, wenn wir nach einander
Glieder hinzusetzen.
Thut
das
sie
nicht,
so
mufs
sie
alle
einen be-
stimmten Werth haben, dem wir durch eine hinreichende Anzahl
von Gliedern beliebig nahe kommen.
Dabei
ist es
nicht von Belang,
in welcher Reihenfolge wir die Glieder zusammensetzen.
Dasselbe
Wenn wir aber eine
gilt von einer Reihe von negativen Gliedern.
Reihe mit positiven und negativen Gliedern haben, so sind wir ihrer
Summe
nur sicher, wenn die positiven Glieder für sich und die
Summe geben oder, was auf das-
negativen für sich eine endliche
Summe der absoluten Beträge aller
Glieder endlich ist. Dann ist die Summe der Reihe gleich der
Differenz zwischen der Summe der positiven und der negativen
Glieder.
Wenn aber "die positiven Glieder für sich und die negativen für sich eine unendliche Summe geben, dann kann die Reihe
selbe hinauskommt,
wenn
die
wohl noch einen Werth besitzen; aber er ist von der Anordnung
der Glieder abhängig, und man kann durch passende Umstellung
der Glieder jeden beliebigen Werth für die Reihe herausbringen.
Gesetzt
z.
B., wir hätten eine solche Reihe, deren positive Glieder
§
CONVERGENZ UNENDLICHER REIHEN.
38.
97
und deren negative Glieder für sich eine unendliche Summe
und
wir woUten die Reihe so summiren, dafs die Zahl p
haben,
herauskommt, so fangen wir an, positive Glieder zu addiren, bis p
zum ersten Mal überschritten ist. Dann müssen wir also die Summe
wieder verkleinem, indem wir von den negativen Gliedern so viele
hinzufügen, bis wieder die Summe zum ersten Mal kleiner wird
Dies mufs jedenfalls möglich sein, da die Summe aller
als p.
Die Anordnung der positiven
negativen Glieder unendlich ist.
Glieder unter sich wie die der negativen Glieder unter sich möge
für sich
Dann fangen wir wieder an, die positiven
p abermals überschritten ist, dann wieder
die negativen etc., und wenn die Glieder von der Art sind, dafs sie,
je weiter wir fortgehen, immer kleiner und kleiner werden, so werden
die Differenzen, mit denen wir den Werth von p nach der einen
dabei nicht gestört sein.
Glieder zu brauchen, bis
oder andern Seite überschreiten, kleiner und kleiner, und wir werden
wenn wir
uns,
liebigen Genauigkeit
bestimmt
B.
z.
J^
jeder be-
Sobald die Anordnung der Glieder
nähern.
kann eine solche Reihe
ist,
So
haben.
dem Werthe p mit
weit genug fortgehen,
also einen
bestimmten Werth
ist
_
1
n+
n
1_ "^
1
"*"
n
1
+
2
n
+3
gleich der Reihe von positiven Gliedern
+
n(n+l)
was
sofort erhellt,
.
wenn wir
+
,
(n
je
^,,
2)(n
ox +
+ 3)
.
zwei aufeinander folgende Glieder
Diese hat einen von der An-
der ersten Reihe zusammenziehen.
Aber die erste Reihe
Anordnung
der
Glieder
jeden
beliebigen Werth
passender
ordnung der GHeder unabhängigen Werth.
kann bei
annehmen.
Wenn
Reihe
wir bei einer physikalischen Untersuchung auf die erste
stiefsen, so müfste,
wenn
sie
überhaupt einen Sinn haben soU,
durch die physikalischen Umstände bedingt
in der
Summation
Allerdings würden
sein, dafs die
bestimmten Reihenfolge auszuführen wäre.
wir durch die Zusammenfassung von je zwei Gliedern eine Reihe
von der Anordnung der Glieder unabhängig ist. Aber
auch ausgeschlossen, dafs wir eine willkürliche Anzahl
positiver Glieder und daraufhin eine beliebige Anzahl negativer
erhalten, die
dadurch
Glieder
ist
etc.
summiren.
tiven Glieder allein
H.
.
HEI.MHOLTZ
,
Eine Reihe, bei der die
und der negativen
Theoret. Physik.
Bd. in.
Summe
allein endlich
ist,
der posi-
deren Werth
^
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
98
also
von der Anordnung der
§38.
ganz unabhängig
Grlieder
ist,
nennen
wir unbedingt convergent.
Derselbe Begriff kann auch auf Integrale, sowohl auf einfache wie
auf mehrfache Integrale, und auf unendliche Reihen von Integralen
ausgedehnt werden. Auch da kommt es wieder darauf an, ob wir,
wenn wir sämmtliche
negativen
Wenn
für
und die
Werth bekommen.
positive Integrationselemente für sich
Summe
beide eine endhche
endlichen
einen
integriren,
sich
geben, so
ist
auch die Differenz
zwischen ihnen bestimmt und endlich; und dann dürfen wir auch
die
Regeln der Addition brauchen und können die Ordnung der
Integration oder die einzelnen Theile der Integration in beliebiger
Werth
Reihenfolge ausführen, ohne dafs der
ändert.
des Integrals sich dabei
Sowie wir aber einfache oder mehrfache Integrale haben,
bei denen die positiven Theile für sich eine unendliche
Summe
geben,
und die negativen Theile für sich ebenfalls, so ist der Werth des
gesammten Integrales zweifelhaft, weil wir dann die Form ex» — oo
haben. Er kann ein bestimmter sein für eine bestimmte Art der
Ausführung der Integration; aber er ist nicht unabhängig von der
Reihenfolge der Ausführung der Operationen.
Wir kehren nach diesen allgemeinen Erörterungen zu der oben
Frage zurück, ob
gestellten
9=
2
.
Ad sm
Tixa
^—
—
die unendliche Reihe
Tixa
iiaa.
^
sm —r— sm —7—
— + Ba
Tiaa
•
cos —^
l
.
.
t
t
l
l
(190)
l
auf jeden beliebigen Anfangszustand der Saite pafst, sowohl in Bezug
auf die Lage der Saite zur Zeit
t
=
0, als
auf die Geschwindigkeit
der einzelnen Saitenpunkte in demselben Augenblick.
Für
—
würden
welche den Sinus der
würden gleich 1 werden, und
die Elongationen des Anfangszustandes würden dargestellt werden
t
alle Grlieder wegfallen,
Zeit enthalten, dagegen die Cosinus
durch eine
Summe
To
und
=
2
"
.
,
Ad sm
dt
Es wird
=2
(190a)
l
die Geschwindigkeiten durch die
dfPo
Ttxa
Tia.a
^a
l
Summe
.
sm
27txa
also zu fragen sein, ob wir die Constanten
bestimmen können, dafs
90^,
und
(190b)
l
A^ und
Bg,
y^" einem beliebig gegebenen
so
An-
CONVERGENZ UNENDLICHER REIHEN.
§ 38.
fangszustand entsprechen.
99
Die beiden Aufgaben sind mathematisch
dem Ausdruck
von genau derselben Art; denn in
für
-^- können
dt
wir
oft
——
mit
Wir brauchen
zusammenfassen.
;
also
nur die
l
Aufgabe zu betrachten.
die Gröfsen A^ zu bestimmen, verfahren wir ähnlich wie
im Fall einer endlichen Anzahl von Punkten. Wir multipliciren cp^
erste
Um
y-, wo
mit sin
p
irgend eine ganze Zahl
Saitenpunkte, oder mit anderen Worten,
alle
bis
l.
Dann
(pQ
.
sm
'^^P
-
integriren von
vfir
ergiebt sich:
i
/• — —
und summiren über
ist
i
j
Nr.r(^
dx
= Jtil
\^a
•
•
sin
—^*Q
•
sm
—nxp\
j^-\<ix
^
j
(191)
i
Dabei
ist
aber vorausgesetzt,
Werth von
der
dafs
(p
durch eine
solche unendliche Eeihe dargestellt werden kann, die den richtigen
Werth von (p ergiebt und
Wir wissen noch nicht, ob
es eine solche
Reihe
sich
giebt, so
mufs
Coefficienten wir in der folgenden
cos
Glied für Glied integriren
Summe
eine solche
es diejenige
Weise
— — dx = —
;
T-
sm
finden.
—— =
nahme des
dem p
=
a ist
falls
Reihe sein, deren
Es
ist
,
ist.
der rechten Seite der Gleichung (191)
einen, bei
läfst.
-
sobald l eine von Null verschiedene ganze Zahl
alle Integrale
aber
existirt,
Es
fallen also
fort,
mit Aus-
Die rechte Seite reducirt sich
damit auf
2'
so dafs also
-4/^Q — — d X
Sin
sein mufs,
wenn überhaupt
weitere Frage
ist
-
Die
Weise ge-
eine solche Reihe für ^^ existirt
aber, ob die Reihe, welche in dieser
funden wird, auch den richtigen Werth hat
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
100
Da
die hier
vorkommende Zerlegung
§38.
einer periodischen Function
in eine sogenannte FouEiEE'sche Eeihe, also in eine Eeihe, die nach
Vielfachen der Sinus oder Cosinus eines Winkels fortläuft, in vielen
EoUe spielt, so wollen wir die AufWir wollen für die Function (p^
lassen, dafs (p^ an den Enden der Saite ver-
Theilen der Physik eine grofse
gabe ein wenig allgemeiner fassen.
die
Grenzbedingung fallen
schwindet und annehmen, dafs wir irgend eine periodische Function,
die innerhalb der Periode ganz willkürlich verläuft, darzustellen hätten.
Wir versuchen
nun, die Function
Summe
darzustellen als eine
cp
von der Form
<Aa
.
-j-
cos
4-
5a
.
—j->,
sin
(a
=
0, 1, 2,.
(192)
..).
Das würde jedenfalls immer eine periodische Function sein, da (f
denselben Werth annimmt, wenn x um 21 wächst; denn dann wächst
der Bogen um 2 7ta, und da a eine ganze Zahl ist, so bekommt
also jede dieser trigonometrischen Functionen denselben Werth
Jedenfalls würde in dieser Form eine sehr grofse Mannigwieder.
von periodischen Functionen dargestellt werden können,
faltigkeit
Werth des Index
weil für jeden
es
o zwei Coefficienten willkürlich ge-
Nun können
wählt werden können.
wir wie oben zeigen, dafs,
eine convergente Reihe giebt, welche die Function
und
ten
sich
A(t
Griied
für
integriren
Grlied
und Ba durch
einfache
eine
7t
können.
läfst,
wir
die
cp
wenn
darstellt
Coefficien-
Integrationsoperation
finden
xf)
wir mit sin—y— und integriren über eine
Multipliciren
+
ganze Periode Xq bis x^
21, so erhalten
wir auf der rechten Seite
Glieder von den folgenden beiden Formen:
9!0
+ 2l
Ttxa
/•cos —r—
—
Tixh ,
j— dx
.
.
sin
<Bb
+ 2I
«»
= A/..[ sin
jr a; (o -f- 6)
.
—
—
.
sm
iixla
^
— h]
und
(193)
sco
Ttxa
nxh
sm —r— sm — dx
_ r
Ba
j
+ 21
.
—
.
.
sBo
+ 21
-^H
cos
«»
,
—
—Tcxia
—
f))
—
7ix(a-\-h)'
cos
—
CONVERGENZ UNENDLICHER REIHEN.
§38.
Das
Umständen Null.
ausgenommen, wenn a = h und b >
erste Integral ist unter allen
auch Null,
Falle wird es gleich Bb
Mithin wird für b
l
.
•jixb
j—dx
f qpsm
101
Das zweite
ist.
ist
In diesem
>
= B^.l.
(194)
i
*0
Es
Aehnlich ergeben sich die Coefficienten A.
cos
——
ist
nur nöthig, mit
zu multipliciren und über eine Periode zu integriren. Auf
der rechten Seite erhalten wir dann Glieder von den beiden Formen:
,
,
Aa
I
cos
Ttxa
nxh
—
—-cos —dx
,
Xo
=
+ 2l
^J dx
[cos
+ cos—y-^J
'^
s>
(195)
und
+ 2l
*o
_ r
Pa
/
.
sin
=
Von
=
—j
Jtxh
•
cos
—
,
dx
r
dx [sm
+ sm—L
\
J
diesen Integralen verschwindet das zweite unter allen
Das
ständen.
a
nxa
=—
—
b ist
erste
verschwindet
ebenfalls,
In diesem Falle hat es für a
=b
Um-
ausgenommen wenn
> den Werth
A^A
und
für q
=b=
den Werth
A,,2l,
so dafs sich ergiebt
nx\i
/'qpCOS
dx
=
Ai.l für b
>
l
(196)
und
as(,
+ 2l
jrpdx
Nun
finden,
=
Aq.21
fragt es sich aber, ob die Reihe, die wir auf diese
convergent
ist,
und zwar ob
sie
Weise
unbedingt convergent ist
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
102
§ 38.
Die Convergenz der Reihe hängt von der Gröfse der Coefficienten
ab und diese sind hier durch ein Integral dargestellt, das über das
Product der Function (p mit einer trigonometrischen Function genommen ist, die positive oder negative Zeichen würde haben können.
Wir nehmen
aber,
an,
Function
dafs die
cp^
entweder endlich
ist
an irgend einer Stelle unendlich wird, dafs
sie
falls
sie
oder
nur
Das heifst, es soll das Integral der
auch wenn die Function unendlich wird,
integrirbar unendlich wird.
Function endlich bleiben,
"wie z.
ß
/fI--^
Dann
weiter klar,
ist
dafs
der absolute Betrag des Integrals
wenn wir sämmtliche Elemente des Integrals positiv
nehmen und noch mehr steigen würde, wenn der Cosinus oder Sinus,
mit dem das positiv genommene cp unter dem Integral multiplicirt
ist, durch 1 ersetzt wird, so dafs also die Coefficienten A^ und B^
steigen würde,
—
1
kleiner als
r
.
.
.
i(pdx und mithin jedenfalls endlich
.
Das ge-
sind.
nügt aber nicht für die Convergenz der Reihe, sondern wir müssen
auch noch nachweisen, dafs die Coefficienten hinreichend schnell abnehmen, so dafs die Summe der Reihe, auch wenn wir die absoluten Werthe der Glieder nehmen, endlich wird. Zu dem Ende
wollen wir die Ausdrücke, die wir für Ä^ und B^ gefunden haben,
durch partielle Integration umgestalten.
Es
(Gleichung 196)
ist
Xo
A
1
A\j-l
+ 21
= rcp
\
cos
•
—^^ö ax
j
-
Xo->r2l
=
—^ü--sm
l
OD
.
Tixh
l
r,
\dx
J
/
.
— —dx
Ttxh
dcp
/1Q7\
1^»«)
--.sin—Tto
l
und ebenso
/7l— —
x\i
(p
sin
dx
+ 21
r,
[ 1 dX
«0
l
W^
;rCOS
Tth
nxh
;
l
J
IB6
nxh
l
;^
nb
COS
dtp
;
-~
l
dx
-
,.„„,
(198)
CONVERGENZ UNENDLICHER REIHEN.
§38.
Hier
zunächst vorausgesetzt, dafs
ist
-^
der Differentialquotient
einen Sinn
giebt.
z.
und dafs
dafs cp an
Sprung macht,
einschliefsen,
einer Stelle x^ oder auch an mehreren Stellen einen
so zerlegen wir
sei,
kann und dem Integral
gebildet werden
Wollen wir den Fall
stetig
(p
103
B. das Integral
+ 21
aSo
/'(p
dx
cos
•
l
in die beiden Theile
+ 21
xo
h
Wenn
cos
,
^
cos
nxi)
—
dx.
,
-
wir dann beide Integrale durch partielle Integration
so
gestalten,
—— dx +
Tixf)
tritt
in
dem Ausdruck
für
Af,
l
um-
noch die Differenz
zwischen den Werthen hinzu, die
Tixh
l
sin
9
h
7t
l
auf den beiden Seiten von x^ annimmt, d. i. der Sprung, den dieser
Ausdruck macht, wenn x in zunehmendem Sinne durch a;^ hindurchDas Analoge gilt von dem Ausdruck für JB^ l. Hierin ist
geht.
auch der Fall einbegriffen, wo cp an den Enden der Periode nicht
In diesem Falle ist
die gleichen Werthe hat.
w
^
—
%xh
l
TT
- cos
b
von Null verschieden, während es sonst verschwindet.
Wenn
wir auf den
Ausdruck für
Af,
noch ein Mal
l
partielle
Integration anwenden, so ergiebt sich
10
+ 21
— /•dx —- sin nxh
d<p
l
l
71
dx
l
Ttbx
d(p
dx
cos
{7t
by
(199)
— Jdx.[dxl
und
für
Der
Bf, l
ergiebt sich ein
erste
l^
(p
7t
b
x
cos-
dx^
{71
hf
analoger Ausdruck.
durch die Integration gewonnene Theil würde nur
unter den Umständen von Null verschieden sein, wenn
—~
dx
Sprünge
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
104
Wenn
§38.
einen Sprung macht, so würde die Curve
und an einem Punkte von kleinerem zu höherem
Werthe übergehen oder umgekehrt (Fig. 4). Wenn der Differential-
macht.
tp
selbst
selbst zerrissen sein
Fig.
4.
quotient einen Sprung macht, würde die Richtung der Curve eine
Aenderung
plötzliche
bilden (Fig.
erleiden,
.
Wenn
Function
<p
wir
die
Curve würde eine Ecke
der
bei
Fig.
5.
Voraussetzung stehen
bleiben,
im Nenner
l
6^ enthalten,
wenn -^ einen Sprung macht. Wenn
°
dx
'^
Theilen des Integrals,
die
die
dafs
keine Sprünge macht, so wird der Ausdruck für A^
wohl wie der für B^
noch,
d. h.
5).
l
so-
und zwar auch dann
also
~
dx
in
durch die Sprungstelle
den einzelnen
getrennt
sind,
Grenze nicht übersteigt, so werden A^ und B^ mit
wachsendem Index wie l/b^ abnehmen; oder genauer gesprochen,
es läfst sich eine constante Zahl C angeben, so dafs A^ und B^
für alle Werthe von 6 dem absoluten Betrage nach kleiner sind als
eine
endliche
Gj^^.
Wenn auch der erste Differentialquotient keine Sprünge
macht und der zweite Differentialquotient endlich bleibt, so folgt
durch nochmalige partielle Integration, dafs A^ und B^ mit wachsendem b mindestens wie l/b^ abnehmen u. s. w.
Mit andern
Worten die Intensität der höheren harmonischen Theiltöne nimmt
um
so rascher ab, je öfter
man
differentiiren kann,
ohne dafs die
Ableitungen discontinuirlich werden.
Es
seien
nun A^ und
jBß
dem
b«
absoluten Betrage nach kleiner als
'
so läfst sich zeigen, dafs die Reihe für
bald n
>
1
ist.
(p
unbedingt convergirt, so-
\
CONVERGENZ UNENDLICHER REIHEN.
§38.
105
Die einzelnen Glieder
Af,
nxi)
—
cos
„
.
Bf,
1-
sm
—
Tixh
-
V
in der Reihe für
Summe
dafs
zeigen,
n
=
1
ist
+
für
Um
stetig
(p
ist als
+ l)n + b + 2)« +
n = 1 divergent, aber für
(p
Sobald
wäre, würde die Reihe für
Sobald aber
den wir mit;? bezeichnen
1
convergirt.
sie
b,
der absoluten Beträge kleiner
^^'^n
Diese Reihe
absoluten Betrage nach kleiner als
einem Werthe von
SO dafs von irgend
wollen, die
dem
sind
cp
V
ist,
cp
cp
selbst
n
>
unstetig
1
läfst sich
und daher
nicht unbedingt convergent sein.
wird n mindestens gleich
2.
zu zeigen, dafs die Reihe
1
+
+
...
convergirt, sobald n gröfser als 1 ist, schreiben wir
1
+
« statt
n
und betrachten das Integral
a+Vi
1
,1
+e
dx.
a-V.
Integrirt giebt dies Integral
1
1
1
6
X'
1
1
J_
1
Entwickelt
+
12o
1
und
1
nach dem binomischen
a
2a
man
+
1-1^'
2a
2a
Satz, so ergiebt sich:
+ Vt
C 1
j «! + '
l_r
^~
«.a«L
e_
_1_
l*2a'^
6.(g+l)
1.2
1
'^"'
'{2a)*
(2 a)'
a-Vi
(200)
_
"^
j6^
1
^T'l^'^
e (8
+
1.2
1)
1
l
•(2^"^*"M
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
106
Es heben
sich in der
——
tenzen von
u
und
fort,
Klammer
§ 38.
die Glieder der geraden Po-
die übrig bleibenden ergeben
Q.
_ /±4.
"^
^(«+l).(6+2)
9
a
\
1
1.2.3
'
(2a)3
"^
*
mithin
1
«1 +
a-V«
J
«
rf.
""^~
ai +
+ 2)
(^+l)(^
2
_L_4"^^^
1.2.3"'
«
1
(2a)3
Alle Glieder auf der rechten Seite sind positiv, mithin
1
ist:
1
,
f
a-V2
man
Bildet
und addirt
i»
Denn
diese Ungleichung für a
und
die linken Seiten
+r +
= p,
p-]-l,p
+
2,...,p-i-r,
die rechten Seiten, so ergiebt sich:
V»
die Intervalle der Integrale schliefsen aneinander
Summe
an und die
aller Integrale läfst sich daher als ein Integral schreiben.
Lassen wir r unendlich werden, so
1.1
J
a;i
+ «"""
^
ist
1
p""
{p-\- 1)"
'
Wenn
das Integral ausgeführt wird, so wird unter der Voraussetzung,
dafs €
>
ist,
der
Werth
für die obere Grenze Null,
und
es er-
giebt sich
1 _i_ >
Es
-i.
L—
-j-
.}-....
(202)
convergirt mithin die Reihe
1
1
"^
i?"
(p +
1)"
"^
•
*
"
und wird für hinreichend grofse Werthe von p beliebig
Damit ist gezeigt, dafs die Summe der Glieder
A^ cos
itxh
—
l
„
\-
Bi,
.
sin
—Tcxh—
-
l
klein.
f
CONVEßGENZ UNENDLICHER REIHEN.
§ 38.
Aber
unbedingt convergirt.
Summe
noch nicht
es ist
die gegebene Function
cp
Um
andere
gezeigt,
dafs diese
Das hängt noch
wirklich darstellt.
an der unbewiesenen Voraussetzung, dafs
überhaupt entwickelt werden kann.
107
in eine solche
cp
Summe
den noch fehlenden Nachweis zu liefern, wollen wir eine
einführen, die aus der Summe der Glieder
Summe
nxh
Af,
^
cos—-
itxh
.
sm
Bi
\-
l
"
'
l
dadurch entsteht, dafs wir jedes Glied mit
ß-et
multipliciren.
Für kleine Werthe von c wird der Factor e-'^ erst für hohe
Werthe von b merklich von 1 verschieden. Die Glieder mit
hohem Index werden durch den Factor verkleinert, während die
Glieder mit niedrigem Index nahezu ungeändert bleiben. Für « =
geht die neue Summe in die alte über und zwar continuirlich, so
dals für hinreichend kleine Werthe von e der Werth der neuen
Summe
beliebig wenig von
dem
Denn da
der alten abweicht.
Summe
nachgewiesen
die
werden
die
Glieder
von
einem
bestimmten
Index
an befür beide Summen
Für kleinere Indices aber stimmen die
liebig wenig ausmachen.
unbedingte Convergenz der ersten
Glieder beider
Summen
für hinreichend kleine
ist,
so
Werthe von
«
beliebig
genau überein und mithin auch die Werthe der ganzen Summen.
Wir bezeichnen die neue Summe mit ^j,. und definiren also;
(fix
Die
==y,U-'^.Af,.co3
ö^
—— +
-
-
6
«6
Bö
.
.
sm
Reihe
convergirt
cp^^
für
>
«
und
Index nicht behebig klein werden, wofern
sie
cos
—nxh
_
h -^
.
sm
nur endHche Grenzen
Af,
und
Ttxf)
i
absoluten Betrage nach kleiner als 2
e~'
q für
,
Werthe
mit wachsendem
—
i
Wird nun
beliebige
Bf,
(203)
so ist
c sind,
Af,
dem
.
i
Denn, wenn die absoluten Beträge von
nicht überschreiten.
kleiner als
-
l
von X auch dann noch unbedingt, wenn A^ und
Bf,
——
*
L
geschrieben, so
.
e-*°AiC08
nxh
—
,
1-
6
-
kleiner als
2c.
q^
c.
ist
_
'^Bf,
.
der absolute Betrag von
sm
—nxh
-
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
108
und
die
Summe von
irgend einem Index
da g
<
1
kleiner als
+ qP + ^....)
2o{gP
oder,
p an
§ 38.
kleiner als
ist,
was für hinreichend grofse Werthe von p beliebig klein ist.
Die Reihe cp^x ist also z. B. auch dann unbedingt convergent,
wenn ^ einen Sprung macht.
In die Reihe für ^j« setzen wir nunmehr die Integrale (196)
für Äi und Bf, ein, indem wir aber für die Integrationsvariable statt
X einen anderen Buchstaben s schreiben
so+21
—
Ttsh
f gj^cos—j—ds
l
Af,=^
,
(b>0)
j
«0
»0
^
Bf,
=
+
21
nah
f ^^sm—j-ds
1
.
.
—J
und
«0
4,
+
^-h-ff
21
ds.
So erhalten wir:
»0
+
1 21
»0+21
1 6=00
cos
9u
^
b=l
»0
+ sm ——
/
nxh C
^ sh
-y-J9^»cos-
ds
(204)
+ 21
(p^
sm —j-^'
)
— £f)
Die Reihenfolge der Integration und Summation dürfen wir bei
der nachgewiesenen unbedingten Convergenz der
und
Summe
vertauschen
schreiben:
»0
'p..
+ 21
= \f%[i +
——
Tixl)
cos
%{
+ sin
cos
nsh
—
-—
t
l
(204a)
nxh
l
.
sm
ns\i
l
Ae-^Ads.
CONVERGENZ UNENDLICHER REIHEN.
§38.
Das
109
ist:
«»
+ 21
^^^^^^
t/^' [^+ i^?^'^^V^^''"''] ^*'
9'ix
«b
»(»
6.i
-
X)
t.i
+e
oder wenn wir
—
^6 einführen:
für cos
l
«6
+ 21
-ei-
Summe
dem
unter
jr(»
- X]
n]
+6
+ Vl6
1
Die
-ei+—^—-bi
b=asl
1
ds.
(204 c)
Integralzeichen besteht aus zwei geo-
metrischen Reihen, die eine nach Potenzen von
-« +
nach Potenzen von
die andere
«(«-x)
Beide Gröfsen sind für
fortschreitend.
nach kleiner
als 1, so dafs die
j_
anwendbar
9'lx
=
+ 2J
9»
21
die
1
+
-« + j«(«
.
x
=
Form
+
jr(#
1
"27
.
— x)
ds. (204 d)
.
1-6
man nun den Ausdruck
«0
absoluten Betrage
ä(«-x)
— «)
gemeinsamen Nenner, so ergiebt
91
dem
-« + ä(»-«)
l-e
Bringt
>
=9 + 5^ + ?»...
Dadurch erhalten wir
ist.
«»
«
Summenformel
in
der eckigen
Klammer auf
sich:
+ 21
l-e-2'
r^P.
'
/
««
^
(204 e)
l-2e-co8-^^^^^+e-2«
oder auch:
«.
9lx
+ 21
1-6-2«
=
21
9.
(l_e-«)2
+ 46-'8in»
^—
ds.
(204f)
ZWEITER THEIL. ERSTEE ABSCHNITT.
110
Für
kleine
gleich Null.
Werthe von
1— e-^«
sind
«
und
§38.
1— e-«
nahezu
Beide Ausdrücke sind von der ersten Ordnung gegen
e.
Der Zähler des Bruches
(1
—e-^f
+ 4e-«8in
21
wird also nahezu gleich Null sein, während der Nenner nur dann
«TT
sehr klein sein wird,
wenn auch
= Sq
halb der Werthe s
bis Sq
(o
sin^
+ 21
—— sehr
I,
/>»\
klein^
was inner-
s = x und
Der Bruch wird
hinreichend kleine Werthe
nur für den Werth
die unmittelbar benachbarten der Fall sein wird.
also aufser für diese
von
Werthe von
s für
beliebig wenig
6
von Null verschieden sein, so dafs also alle
Elemente des Integrals sehr wenig zu seinem Werthe beitragen mit
Ausnahme derjenigen, für die « in der Nähe von x liegt. Für s = x
wird der Bruch sehr grofs von der Ordnung
—
,
so
dafs
diese
6
Theile des Integrals in der
geben,
s
=x
einen endlichen Beitrag
obwohl das Intervall für hinreichend kleine Werthe von
beliebig klein
ist.
6
Wenn man s als Abscisse und
l-e-2*
(1
als
Nähe von
—6-^)2
+
Ordinate aufträgt, so erhält
4e-*sin2
^{s
— x)
21
man
Fig.
eine Curve, wie Fig. 6 sie zeigt.
6.
Je kleiner e ist, desto schneller wird bei s = a; der Werth des
Bruches nach beiden Seiten abfallen, und in endlicher Entfernung
CONVERGENZ UNENDLICHER REIHEN.
§ 38.
Hl
von dieser Stelle wird er verschwindend kleine Werthe erhalten.
Die Ordinate der Curve
überall
ist
zwischen ihr und der s-Axe in
dem
wir unten zeigen, dass sie gleich 21
s
unmerklich
Werth X
Alle Flächentheile, deren
ist.
Werthe 2
1
werden
Fläche über einem kleinen den
klein, so dafs die
einschliefsenden Intervall etwa x
wenig von dem
und von der Fläche
s^ bis s^ + 2 Z, werden
unmittelbar in der Nähe von x liegen,
Abscissen s nicht
mit
positiv
Intervall
—S
bis x-{-
ö unmerklich
der ganzen Fläche abweicht.
Wird
das Integral
l-e-2^
r
1
nur über dieses den Werth x einschliefsende Intervall erstreckt, so
erhält
man
Werthe von
für hinreichend kleine
«,
wie
klein
auch
jenes Intervall festgesetzt sei, einen Integralwerth, der unmerklich
wenig von
Nun
verschieden
(p^^^
ist.
liegt
man
zwischen den beiden Werthen, die
erhält,
wenn man
(p^
durch
den gröfsten und den kleinsten Werth ersetzt, den es in dem Intervall annimmt. Da der gröfste und der kleinste Werth bei der Kleinheit des Intervalls
sehr
wenig
von
und der vorausgesetzten
verschieden
q)^
sind,
Stetigkeit von
so
wird
also
(p^
qcj ^
beide
sehr
wenig von
x+ d
j
(l-e-«)^
+
46-'8in^
^
'
x-d
abweichen.
Von dem Integral kann man nun zeigen, dafs es bei festgesetztem S für hinreichend kleine Werthe von s beliebig wenig von 21
verschieden
ist.
Zu dem Ende
führen wir die Variable
^
an
Stelle
von
s in
das Integral
n(s—x)
ein.
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
112
Dann
§ 38.
ist
+ §2
l
21
und
sm*
und somit
n{s-x)
i^
21
\
+f
ergiebt sich
1-62^
21,
l-e-2«
C
,
22
f(l_6-e)2
Die Grenzen
nun ö
sc
— ^ und x + ö liefern für j die Werthe ± tg
festgesetzt
und wird
—
und arc
tg
Mithin
verschieden.
°
—•
j^j
+
\
21
wird beliebig wenig von
tg-^y
Intervall
jc
—^
wäre, so kann
9p
-ds
4e-^sin^
mit beliebiger Genauigkeit gleich 2
9p,
Ist
ist
(1— 6-^)^
Wenn
.
,tg
l_e-2.
nauigkeit gleich
-^j
jetzt s hinreichend klein gemacht, so wird
1-6-'
beliebig grofs
(205)
+ (l4.6-.)ag2*,j'^ä
1
und
^
90^ ^
'
ist
mit beliebiger Ge-
j..
an der
bis
man
a;
Stelle s
=x
einen Sprung machte, aber in
sowohl wie in
dem
Intervall
a;
bis
zeigen, dafs (p^^ beliebig wenig von
dem
+^
stetig
dem
arith-
a;
metischen Mittel der beiden Werthe bei x abweicht. Man braucht
nur das Integral über x — 8 bis x-\-8 in zwei Theile zu theilen
CONVERGENZ UNENDLICHER REIHEN.
§38.
113
1-6-2*
.«
y
.
-\-
„ TT (s
.
.
4e-'
— x)
ds
sin^
21
-e-2e
1
ds
— e-'f + 4:6-'8in^^^^21
{1
^'
und auf jeden Theil dieselbe Betrachtung anzuwenden. Sind (p'x und
die beiden Werthe von <p^, so ist der eine Theil des Integrals
(f'^
beliebig wenig von
und
(f^^
^
der andere beliebig wenig von
,
also beliebig wenig
stetig, so
geht
definirt ist,
den Werth
93^^ in
Af,
Da nun
übergeht.
arithmetischen Mittel ^^
wenn
über,
q>^
«
verschieden
^"^
=
Ist tp^
•
Zu-
wird.
haben wir gesehen, dafs die Keihe, durch welche
für « =
in die Reihe
gleich aber
dafs ihr
vom
^
Werth
übergeht, d.
i.
Dadurch
nx\i
—
„
.
\-
gleich
nun
dem Werth
—nxh
.
Bf,
sin
diese Reihe convergent
gleich
ist
cos
(f^^
;
ist,
so ist damit bewiesen,
sein mufs, in
den
<p^^ für e
=
(p^.
also nachgewiesen, dafs die Reihe
Af,
cos
—nxh
„
1-
Bf,
.
sin
nxi)
—
die Werthe von Ä und B in der oben (Gleichung 196) angegebenen
Weise aus den Werthen von cp gefunden werden, wirklich gleich (p^
ist Wir haben einen umständlichen Weg einschlagen müssen, um
die Richtigkeit unserer Reihe nachzuweisen.
Es gelang, durch den
Zusatz eines Factors zu jedem Gliede, durch den dann die Summation der Cosinus und Sinus von Bögen, welche die ganzen Viel-
wo
fachen der Gröfse
—r—
waren, ausgeführt werden konnte.
schwieriger wird die Erörterung,
in
wenn man
statt
Sehr
der ganzen Zahlen
den Vielfachen etwa eine Reihe von Irrationalzahlen hat.
wenn man
viel
Selbst
in solchen Fällen unter der Voraussetzung, dafs die ge-
gebene Function in eine solche Reihe entwickelt werden kann, die
Coefficienten aufzufinden
H.
T.
im Stande
Hblmholtz, Theoret. Physik.
Bd.
III.
ist,
so gelingt es doch
8
nur in
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
114
§
39.
den allerseltensten Fällen, nachzuweisen, dafs die Reihe nun wirklich
den Werth der Function hat, den man herstellen will, und also auch
die Frage zu entscheiden, ob die gegebene Function so entwickelt
werden kann.
Die Schwingungen gezupfter Saiten.
§ 39.
Es
soll
in einigen einzelnen Fällen für eine gegebene Anfangs-
nun
lage der Saite ihre
Bewegung
dargestellt werden.
Zunächst möge das Beispiel der sogenannten gezupften Saite behandelt werden. Die Saite sei wie bisher von der Länge l vorausgesetzt, und es werde angenommen, dafs man durch Anlegen eines
Stiftes
oder auch der Fingerspitze einen Punkt der Saite seitwärts ge-
zogen hat, an welchem dann die Saite eine Ecke bildet. Wird die
ungestörte B.uhelage der Saite zur cc-Axe gewählt und das eine Ende
zum Coordinatenanfangspunkt, so soll a die Abscisse des Punktes
sein, in dem die Saite im Anfangszustande eine Ecke bildet (Fig. 7).
Fig. 7.
Wenn man nun
losläfst,
so dafs die Saite frei wird, so
kommt
sie
wurden
ins Schwingen.
in dieser Weise erregt, und die Saiten der Zither, der Guitarre und
der Harfe werden noch heute so erregt. Nun können wir zunächst die
Die Saiteninstrumente der alten Griechen
Bewegung, welche hierauf folgen wird, durch die zwei willkürlichen
Functionen darstellen, welchen vorwärts und rückwärts auf der Saite
fortlaufende Wellen entsprechen. Wir wollen hier nur eine seitliche
Verschiebung
und
rj
erörtern.
eines jeden einzelnen Punktes der Saite
Dann würde
also, wie wir
annehmen
gesehen haben, im
all-
gemeinen Falle
sein,
durch
und
die
Geschwindigkeit im Anfang würde darzustellen sein
DIE SCHWINGUNGEN GEZUPFTER SAITEN.
§39.
115
Aber die Anfangsgeschwindigkeit soll in unserem Falle Null
Daraus folgt, dafs für beliebige Werthe von x
sein.
auch i?(j) und ^(x) selbst sich nur um eine Constante
Die Constante können wir aber zu F^^^ oder ö(x) hinzuschlagen und i?(a.) = G'(x) setzen. Jede einzelne Function würde dann
für die Anfangszeit durch die Hälfte der in Fig. 7 gezeichneten seit-
ist,
und
dafs also
unterscheiden.
lichen
Ausweichung gegeben werden, und
es
liegende Wellen über einander liegen, die aber
gesetzten
Jenseits
Eichtungen hinlaufen.
der Befestigungspunkte
wie wir oben sahen,
müssen diese Wellen,
würden zwei gleichnun nach entgegen-
periodisch fortgesetzt
—
und
werden, so dafs jenseits des Nullpunktes zwischen
und
/
Fig. 8.
ebenso jenseits des Punktes x
gesetzten Ausbiegungen
immer
gleiche
müssen
(Fig. 8).
und
Wenn Wellen
decken,
—
und 2 / die entgegenweil an den Enden der Saite
zwischen
l
stattfänden,
entgegengesetzte
dieser Art
und nun zwei Wellen
im
l
Wellen
einander
begegnen
Moment der Bewegung sich
Art von der halben Höhe der
ersten
dieser
Fig.
9.
anfänglichen Saitenausbiegung in entgegengesetzter Richtung einander
entgegenlaufen, so wird,
ist,
die
wenn
entgegengesetzte
treten sein.
eine halbe Schwingungsdauer vergangen
Stellung
einge-
Beide Wellen sind wieder zur
Deckung gekommen
in
der in Fig. 9 ge-
zeichneten Lage. Die entsprechende Saitenlage bildet mit der Anfangslage ein Par-
allelogramm (Fig.
Wenn
Fig. 10.
10).
für irgend eine Zwischenlage die Ordinaten der beiden
entgegengesetzt laufenden Wellenzüge addirt werden, so müssen sie
eine gebrochene Linie für die Saite ergeben, die ihre
denselben Abscissen hat,
wo
die
Wellen
selbst
Ecken
Ecken
bilden.
8*
bei
Denn
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
116
§39.
zwei lineare Functionen geben addirt wieder eine lineare Function.
Gehen wir von der Anfangslage aus und
nun
lassen
die beiden
Wellenzüge auseinanderrücken, so müssen die Projectionen der Ecken
auf die Abscissenaxe in jedem Augenblick gleich weit von der Stelle
abstehen,
wo
sie in
dieser Projectionen
So lange keine
der Anfangslage zusammenfallen.
Ende der
ein
Jede dieser Ecken
ihnen je eine Ecke der Saite.
Denn
Anfangslage der Saite.
entsprechen
Saite erreicht hat,
auf der
liegt
die Ordinate des einen "Wellenzuges
hat an der Ecke jedes Mal denselben Werth, während die Ordinate
des anderen ebensoviel
abgenommen
hat, wie der Unterschied der
beiden Ordinaten der Saitenanfangslage an der betreffenden Stelle
und im Maximum
Dadurch wird
beträgt.
die
Summe
der Ordinaten
der beiden Wellenzüge gleich der Ordinate, die an der betreffenden
Die Formveränderung der Saite
Weise beschrieben werden. Die Ecke der
Anfangslage stumpft sich mehr und mehr ab, wie wenn von dem
Dreieck, das die Saite in ihrer Anfangslage mit der a>Axe büdet,
an der Ecke mehr und mehr abgeschnitten wird. Die Saite bildet
Stelle in der
kann soweit
Anfangslage besteht.
in folgender
eine aus drei geraden Stücken gebildete gebrochene Linie. Die beiden
Ecken rücken auf der Anfangslage der
so dafs sie immer
Ordinate
Saite nach den
Enden
zu,
gleich weit von der gröfsten
der Anfangslage
entfernt bleiben.
Ende der Saite,
nun zunächst der betreffende Wellenzug keinen Anlafs zu einer Ecke der Saite.
Der andere Wellenzug hat nun aber zwei
Ecken im Bereich der Saite, die zwei Ecken
Erreicht die eine Ecke das
so giebt
der Saite verursachen.
Jede
liegt
auf einer
der Langseiten des Parallelogramms, das die
Anfangslage der Saite mit der nach der halben
Schwingungsperiode eintretenden Lage
bildet.
Die beiden Ecken schreiten nach der gleichen
Seite mit gleicher Greschwindigkeit fort, bis
die
vordere
Dann
Fig. 11.
das
Ende der
Saite
verschwindet diese Ecke,
erreicht.
und
es
er-
scheint dafür wieder eine durch den ersten
Wellenzug veranlafste, die sich in der ent-
gegengesetzten Eichtung auf der kurzen Seite
des Parallelogramms fortbewegt, die der Saitenlage nach Verlauf einer
halben Schwingungsperiode angehört. Die beiden Ecken nähern sich und
laufen schliefslich nach Verlauf einer halben Schwingungsperiode zu-
DIE SCHWINGUNGEN GEZUPFTER SAITEN.
§39.
sammen
Nun
(Fig. 11).
wiederholen sich dieselben Saitenlagen in um-
Die Saite besteht
gekehrter Reihenfolge.
und
ersten
lere
117
also,
abgesehen von der
letzten Lage, aus drei geradlinigen Stücken.
Das
mitt-
Stück rückt mit gleichmäfsiger Geschwindigkeit über das Par-
Man kann diese Art der
und recht hellen Saite, welche
allelogramm hinweg und wieder zurück.
Bewegung auch an
einer sehr langen
als Lichtlinie auffallt, wenigstens für die erste Zeit
gen, mit
dem Auge
Nach
erkennen.
kommen Reibung und Steifigkeit der Saite
dann bewirken, dafs die Ecken sich schnell ab-
einiger Zeit
in Betracht,
die
In dieser Beziehung unterscheiden
stumpfen und rundlich werden.
sich
der Schwingun-
Schwingungen
die
der
wirkhchen
von
Saiten
denen
der
theoretisch dargestellten.
Die Beschreibung, die wir hier von der Saitenbewegung vermittelst der willkürlichen Functionen, mit welchen die Saitenbewegung
ausgedrückt werden kann, gegeben haben, erlaubt nun aber noch
Töne herauszufinden, welche von
Erregung der Saite gehört werden. Um
nicht die verschiedenen einfachen
dem Ohre
diese
bei einer solchen
zu finden, müssen wir die Zerlegung in
die
FouBiEE'sche
Reihe vornehmen.
Für unseren
in der
Fall haben wir nach § 37 die seitliche Ausweichung
Form
^
darzustellen.
weil
—
für
= 2[ ^a sm—p.
Die Glieder, welche
/
=
sin
.
cos
—--
(206)
J
—=—
enthalten, verschwinden,
Werthe von x Null
für beliebige
sein soll.
dt
Wenn
der Anfangswerth von
wir die Coefficienten
Vo
Aa
=
i]
mit
i]q
bezeichnet wird, so haben
so zu bestimmen, dafs
2
^.sin
Tiax
(206 a)
D. h. wir haben unsere Coefficienten Aa zu setzen
i
2
r
.
nax
,
(207)
Bei der Ableitung der Formel (193) hatten wir über die ganze
Periode 2
1
integrirt.
Das kommt
hier aber auf dasselbe hinaus,
da
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
118
§39.
Tiax
in der zweiten Periodenhälfte sowohl
rj^
sin——
wie
das entgegen-
gesetzte Zeichen haben, so dafs
/.
jy^sm
Nun
nax
in diesem Falle
ist
von X
—
his X
'
I
—
'"'^^ j
dx.
durch eine Curve dargestellt, die aus
rj^
Innerhalb des aufsteigenden Theiles
zwei geraden Linien besteht.
=
C rj^sm
n
2
-
-—dx=
a haben wir:
x.h
wenn h
das
Maximum
der
Elongation bezeichnet (Fig.
und auf dem zweiten
genden Theile der Saite
^
%=
Fig. 12.
12);
absteiist:
h.{l-x)
l
—a
Mithin wird
a
l
A.^^ß.xsm'^dx + ^fr^.{l-x).mn'^dx.
l—a
IJ a
IJ
l
(207a)
l
a
Durch
Aa
=
bekommen
partielle Integration
—
2
l
r-.
l
—2
l
a
Tia
h
.-
l
.
l—a na
,,
aj/
a
nax
cos—y-aa;
,
<
no-x
^
.(^-a;).cos
——
(207 b)
l
r
l
Was
h r
i
TT
l
l
Ä
2
sie sich
— .—
Ttax
—h .ic.cos—
— + —2
.
.
wir:
.
.
l—a
l
C
/ COS
naj
"^öic
zunächst die beiden integrirten Glieder
weg, da das erste zwischen den Grenzen
gleich
— 2h
na
Tiaa
.cos
;
l
,
,
— d X.
,
l
betrifft,
so
heben
und x zu nehmende
DIE SCHWINGUNGEN GEZUPFTER SAITEN.
§89.
das zweite zwischen den Grenzen a und
Von den
zu nehmende gleich
l
naa
2h
na
ist
119
cos
l
Integralen ergiebt das erste:
2hl,
na
na
a
jtax
.sinl
-0
das zweite
2h—
n
a
l
l
n
a
nax
—
.
sm
;
a
a
Mithin ergiebt sich
Aa
2h
=
71
l
.
Sin
na
a
a
naa
—
2
1
n
l
a
—
na
h
l—
l
a
naa
-—
—
.
-sin
l
(207 c)
oder
Ai
2h
i—
=— r
n^a^
Das
auftritt.
naa
.
•
l
,
sin
a
man
von selbst versteht.
Femer
Ab-
Der Factor
1-
a
l
—a
dem
er umgekehrt proportional a\
ist
Wir haben oben
dadurch die Reihe unbedingt convergent
für
der Saite
der Saite zu Anfang gegeben hat, wie sich das
Quadrat der Ordnungszahl.
Schwingung
dem aten Ton
der Factor, welcher bei
h proportional, d. h. proportional der gröfsten
ist
weichung, die
l—
\_a
l
ist also
Er
f
^
läfst
(§ 38) gesehen, dafs
ist.
erkennen, dafs die Amplitude der
den einzelnen Ton sich dem Unendlichen nähern
würde, wenn die Ecke der Anfangslage nach
andern Ende der
dem
einen oder
dem
Das würde aber auch gleichzeitig in der That eine unendlich starke Zerrung an der Ecke bedeuten und würde einer Zerreifsung der Saite entsprechen.
Es
Saite verlegt wird.
geht daraus hervor, dafs, abgesehen von anderen Verhältnissen, die
einzelnen
Töne
einen oder
um
so stärker sein werden, je
dem anderen Ende
Saite erhält der Factor
Werth
der Saite nähert.
[-
a
mehr man
l
—a
seinen
sich
dem
In der Mitte der
kleinsten
Werth,
den
4.
Endlich
betrachten.
ist
Er
der Factor sin
zeigt an, dafs,
—~
in
dem Ausdruck
für Jl^
wenn der gezupfte Punkt
für
zu
den
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
120
§39.
betreffenden Saitenton, dessen Amplitude wir suchen, ein Knoten-
punkt
Amplitude
die
ist,
diesem
einzelnen
der
Ton
bestätigt
oben
die
für
die
all-
wenn man
dafs,
ist,
an
sich
einem Punkt des Systems erregt, der bei einem
in
betreffenden
betreffende
Eegel,
die
Systeme abgeleitet
gemeinen schwingenden
Schwingungen
Es
verschwindet.
Beispiele
Eigentöne
nicht
nicht
in
Schwingungen
Wenn man
wird.
erregt
der
geräth,
eine
Saite
im
Knotenpunkte irgend eines ihrer Obertöne in Bewegung setzt, so
kommt der betreffende Oberton nicht zu Stande. Um also einen
an Obertönen reichen Klang der Saite zu haben,
dafs
man
sich möglichst
Flügel sich von
Wenn man
dem Ende
der Richtigkeit
dämpfen und
zeigt
dieser
ist es
rathsam,
Man kann an jedem
Ueberlegung
überzeugen.
nämlich einen Ton anschlägt und zugleich eine Finger-
spitze auf die Saite legt, so
Es
nähert.
sich
dafs
sich,
kann man dabei verschiedene Obertöne
welche Obertöne vorhanden
überzeugen,
sind.
zum Vorschein kommen,
zu nahe an der von dem Hammer
diejenigen Obertöne
welche ihre Knotenpunkte nicht
Man kann denjenigen Ton nicht hervom Hammer getroffen wird. Die
angeschlagenen Stelle haben.
vorbringen, dessen Knotenpunkt
Erregung der Ciaviersaite stimmt allerdings nicht mit der Erregung
der gezupften Saite überein, aber der allgemeine Satz umfafst auch
diesen Fall. Auf dem Monochord, der Harfe, der Zither oder der
Guitarre läfst sich die Thatsache auch für die gezupfte Saite leicht
constatiren.
Wenn man
sich
demselben Tone angehören,
unmittelbar nachher durch
Finger in
zwei Knotenpunkte bezeichnet,
in
jenigen Schwingungen der Saite
Schwingung der
Saite
einen die Saite
nimmt man dadurch
so
fort,
welche in
Wäre nun
enthalten,
zupft
die
und
Berührung mit dem weichen
schnelle
dem andern dämpft,
keinen Knotenpunkt haben.
dem
so
dem
der betreffende
müfste
er
alle die-
zweiten Punkt
auch
Ton
in der
nach der
Dämpfung bestehen bleiben. Die Thatsache, dafs er nach der
Dämpfung nicht gehört wird, beweist, dafs er nicht mit erregt
worden ist. Der Klang der Saite, welcher durch Zupfen herausist, wie die Zerlegung in die FoußiEE'sche Reihe
an Obertönen, etwa so reich, wie er bei den verschiedenen
Anschlagsweisen werden kann, welche bei der Saite, ohne ihre Continuität zu zerstören, vorkommen können.
Uebrigens ist die Art
der Saite, die Härte des berührenden Körpers und die Schärfe der
Spitze, mit welcher man arbeitet, von entschiedenem Einflufs auf
den Klang der Saite. Das rührt zum Theil von der Steifigkeit der
gebracht wird,
zeigt, reich
Saite her,
zum
Theil auch von ihrer Dicke, die mit der Steifigkeit
§ 40.
DIE
SCHWINGUNGEN GESTRICHENER
zusammenhängt
SAITEN.
121
Die vollkommen eckige Figur auf der Saite würde
nämlich nur zu Stande
Das
biegsam wäre.
kommen können, wenn
aber nicht;
ist sie
die
Saite
absolut
hat immer eine gewisse
sie
elastische Festigkeit, kleine Stücke der Saite sind ungefähr wie ein
wenn er gekrümmt wird, zwar
aber doch immer sich in einer Curve biegt,
elastischer Stab zu betrachten, der,
der Biegung nachgiebt,
und zwar wird die Krümmung der Curve um so geringer sein, je
fester die Seite ist, d. h. je mehr sie der Biegung Widerstand leistet.
Das thut sie um so mehr, je dicker sie ist. Diese Umstände werden
bewirken, dafs die Curve an der Ecke ausgeglichen ist, dafs man
nicht eine wahre geometrische Ecke hat; und je mehr die Curve
ausgeglichen ist, desto mehr sind die höheren Obertöne geschwächt,
wie wir oben gesehen haben.
Es sind z. B. die dünnen Saiten der
Zither sehr viel biegsamer, als die dickeren metallenen und die
Darmsaiten der Guitarre oder die langen Saiten der Harfe.
halb
Ton,
ergeben die Saiten
welcher also
an'^eigt,
Obertöne mit ansprechen.
Des-
der Zither immer einen viel schärferen
eine
dafs
Wenn man
Zahl der höheren
dünne metallene Saite
grofse
eine
mit einer metallenen Spitze anschlägt, so erhält
man
einen klimpern-
den Ton, während man bei dem Anschlag mit dem Finger auf einer
etwas dickeren Darmsaite einen verhältnifsmäfsig milderen und
Ton bekommt, der keine Schärfe hat, weil durch
Umstände die Intensität der höheren Obertöne vermindert v(rird. Denn nur durch die Ecke, durch die Unstetigkeit
im Differentialquotienten ergab sich die langsame Abnahme von Aa
musikalischeren
die angegebenen
proportional —3- .
Sobald die Unstetigkeit
wegfällt,
nehmen
die
Coefficienten proportional einer höheren Potenz von a ab.
Die Schwingungen gestrichener Saiten.
§ 40.
Die Theorie der Violinsaiten
unmittelbar an.
an diese Rechnung
Bewegung der Violin-
schliefst sich
Allerdings können vdr die
saite nicht als ein rein mechanisches Problem behandeln, weil wir
von vorne herein keine klare mechanische Definition von der Art
und Weise geben können, wie die Saite in Bewegung gesetzt und
in
Bewegung
erhalten wird..
Bei einer Violinsaite wird eine periodische Erregung der Saite
dadurch hervorgebracht, dafs unter leichtem Drucke der Bogen an
der Saite entlang streicht.
Die Violinsaiten sind ja meistentheils
Darmsaiten, also verhältnifsmäfsig
leicht,
und der Violinbogen
ist
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
122
etwas klebrig gemacht dadurch, dafs er mit Harz
§ 40.
eingerieben
ist,
Grad des Anklebens zwischen Bogen und Saite
stattfindet.
Wir müssen nun, da eine klare mechanische Definition
der Wirkung des Bogens nicht gegeben werden kann, durch Be80 dafs ein leichter
obachtungen seinen Einflufs bestimmen.
Wenn man mit einem Vibrationsmikroskop oder auf andere
Weise irgend eine Stelle an der Violinsaite betrachtet, während die
Saite nahe ihrem Ende, wie es auf der Violine geschieht, gestrichen
man folgendes. Die Stelle der Saite geht in solcher
Weise hin und her, dafs wenn die Zeit zur horizontalen Abscisse
und die Ausweichung zur Ordinate gemacht wird, die Bewegung
innerhalb einer Periode durch eine gebrochene Linie dargestellt ist,
wird, 80 sieht
Form
die in der halben Periode dieselbe
in der Anfangslage
und
in der zweiten Hälfte die der ersten Hälfte
entgegengesetzten Ordinaten
(Fig.
Vorausgesetzt
13).
hat wie die gezupfte Saite
ist
umgekehrter
in
Keihenfolge
ein Streichen
dabei
enthält
des Bogens von
Fig. 13.
der Art, dafs
der
Grundton der Saite deutlich
Es
erklingt.
ist
nämlich auch möglich, durch eine gewisse Art des Streichens Flageolett-Töne auf der Saite hervorzubringen,
in Abteilungen sch\^ingt
ist
nicht nothwendig,
Saite in einem
wenn
um
bei
denen die Saite also
und der Grundton nicht gehört
wird.
Es
einen Flageolett-Ton hervorzubringen, die
Knotenpunkte des betrefi'enden Tones zu berühren,
auch die Sicherheit des Flageolett-Tons erhöht. Ein solches
es
Streichen soll also ausgeschlossen sein.
An
verschiedenen Stellen der Saite
ist
das Verhältnifs der beiden
geraden Linien, die eine halbe Periode ausmachen, ein verschiedenes,
und
die
Form
maximale Ausweichung
ist
ist
eine andere; aber die allgemeine
die gleiche, dieselbe wie die einer gezupften Saite.
können daher dieselben Eechnungen,
die
Wir
uns die Anfangslage der
gezupften Saite in eine FouEiEE'sche Eeihe entwickelten, dazu ver-
wenden,
um
hier
die
Bewegung
FoüEiEB'schen Reihe darzustellen.
eines Punktes
Die Zeit
tritt
der Saite in einer
dabei an die Stelle
der Längenausdehnung und die Periode der Bewegung
Stelle der doppelten Saitenlänge.
wegung mit
r,
tritt
an die
Bezeichnen wir die Periode der Be-
den Theil der Periode
bis
zur maximalen Auswei-
DIE SCHWINGUNGEN GESTRICHENER SAITEN.
§40.
123
und die maximale Ausweichung mit ä, so haben wir nach
der früheren Formel (206a, 207c) zu schreiben:
chung mit
r,
^
2h
.
2nciT\ T
T
n^a^
\2r
T
.
sin-1^^^
T-2t
*
(208)
Die Zeit ist dabei von dem Augenblick an gerechnet, in dem i]
im wachsenden Sinne durch Null hindurchgeht. Soll dies zu irgend
einer andern Zeit t^ geschehen, so müssen wir i — tQ an Stelle von t
schreiben:
2
2h
.
sm
o
o
71^
a^
T
27taT
=
—
T
Die Einführung von
t^
ist
T
27"^
r-2r sin^(i-g.
(209)
noth wendig, wenn dieselbe Formel die
Bewegung jedes Saitenpunktes
darstellen
Da
soll.
herein nicht wissen können, dafs für denselben
wir von vorn-
Werth von
t
gleich-
Punkte der Saite die Gleichgewichtslage passiren, so mufs
der Formel die Möglichkeit ausgedrückt sein, dafs es nicht der
zeitig alle
in
ist, dafs also t^ von Punkt zu Punkt andere Werthe hat.
Ebenso können h und r von Punkt zu Punkt andere Werthe haben
oder, was auf dasselbe hinaus kommt, /„, h, r sind als Functionen
von X anzusehen. Nun haben wir andererseits (§ 37) gesehen, dafs
Fall
die
Bewegung der ganzen
V
Saite in der
Form
=2^a sm—^sin-^i + 2^aSm-y-cos— —
Da nun
darstellbar sein mufs.
Reihe eindeutig
ist,
2na
.
so folgt,
die Entwicklung in die FouEiEB'sche
wenn wir
2%a
,
<
sin -^=-
2nci
.
(t
—
t^ in
2itci
sm-^t.cos-^t^-cos-^t.sm-^t^
zerlegen,
,
„
B,
.
Ttax
.
nax
sm
-^
2h
=_
2h
^j
Hierin dürfen ä, t,
nur von
a,
2;raTr T
.
.
.
t^
sm
—-
T
2nfaTr T
nur von
\j^ +
T
x, nicht
und ebenso
1
y-2^J
nicht von x abhängig sein.
Seiten durch einander
2;ra
1
von
a,
.
sm
^
(210)
27ia
t,.
dagegen Aa und Ba
Dividirt
man
die linken
die rechten Seiten, so ergiebt sich
__ = _cotg-^/o.
(211)
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
124
Daraus
folgt,
dafs
t^
§40.
und da
nicht von x abhängig sein kann,
es
auch nicht von a abhängt, so hat es überall denselben Werth, der
durch passende Wahl des Anfangspunktes der Zeit gleich Null ge-
macht werden kann.
Tcax
.
,
Äa sm -ySchreibt
man
Dann wird B« =
2h
=
.
2n2
Tfa
sm
und
2'7iaT
=
—
diese Gleichung für a
+ T-2t\
und für a = 2
(212)
2r
=
1
und
bildet
den Quotient der linken und den der rechten Seiten, so ergiebt sich
-4,
71
X
2;rr
1
(213)
Nun
hin
zeigt die Beobachtung, dafs für
a;
=
auch t
=
wird.
Mit-
ist
A
1
und daher
2n
TtX
cos
Diese Gleichung aber kann,
erfüllt sein, als
cos
x<l
da.
T
ist
also h
unabhängig.
2h
2t
T
+ T-2t
L2t
"*"
T
(216)
•]•
nicht nur von a
,
sondern auch von x
Bezeichnen wir den Werth dieses Ausdrucks mit 4P,
der Werth,
hat.
Denn
—
L2t
Somit ergiebt sich also
«?
Er
2t
'
V
als
nicht anders
(215)
den h in der Mitte der Saite
2t
X
= ^ und
= ^, also -=der Mitte der Saite ist
so ist
in
P
ist,
nun endlich
folgt
A=
Es
2r< T
^
l
Daraus
und
wenn
"
ist.
(214)
vollständiger
J.
^ 2'-2tJ =
4.
schliefslich
= 8P
2^
nax
.
sin
sin
27iat
(217)
l
Ausdruck für die Schwingung der ganzen Saite.
jedem Augenblick t die Saite dieselbe Form hat
besagt, dafs in
DIE SCHWINGUNGEN GESTRICHENER SAITEN.
§40.
Denn
wie die gezupfte Saite in ihrer Anfangslage.
125
für die Anfangs-
lage fanden wir oben (206, 207 c) die Zerlegung
2h
[ l
/
was mit dem Ausdruck für
2t
__,
1
<
=
1
.
bis
/
Ttaa
=^
nax
.
übereinstimmt,
und
Ä
4P
=
(218)
a
l
—a
gesetzt wird.
Bei
a;
=a
liegt die
Ecke der
also in der halben Periode
Es
die Ordinate der Ecke.
und der Ordinate h
von
a;
Saite.
=
bis
Die Ecke der Saite rückt
a; = /.
Die Gröfse h ist
besteht mithin zwischen der Abscisse a
die Grleichung zweiten Grades:
4P
h=^-^a{l-a),
die einen durch die
Enden der
(218a)
Saite laufenden Parabelbogen dar-
Dieser Parabelbogen wird in der halben Periode von der
stellt
Ecke der Saite durchlaufen.
würde man
—
gleich 2
—
In der andern Hälfte der Periode
und h
4P
=—
l
a
haben,
Das
um
die Uebereinstimmung mit
heifst, die
Ecke
läuft
auf
dem
zu setzen
l
l
—
a
dem Ausdruck zu
erzielen.
entgegengesetzten Parabelbogen
4P
(219)
wieder zurück.
Die Bewegung der Saite
läfst
sich
also
kurz
so
be-
schreiben, dafs in Fig. 14 der
Fufspunkt d der Ordinate ihrer
Ecke mit constanter Geschwindigkeit auf der Linie ah hinund hereilt, während der Eckpunkt
Fig.
u.
selbst die parabolischen
Bögen ac^h und hc^a nach einander durchläuft und die Saite in den
beiden geraden Linien ac^ und hc^ oder ac^ und hc^ ausgespannt ist
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
126
Nun
§40.
übt die Saite durch ihre Spannung einen Zug auf ihren
Befestigungspunkt aus.
Auf der
Violine liegt der eine Befestigungs-
punkt auf dem Stege der Violine, der andere auf dem Stege am
Handgriff. Während die Ecke auf dem oberen Parabelbogen liegt,
ist der Zug nach oben gerichtet, springt aber plötzlich in einen
nach unten gerichteten Zug, wenn die Ecke auf den unteren Parabelbogen tritt. Dieser plötzlich wechselnde Zug ist es nun im "WesentEs ergiebt
lichen, welcher auf den Resonanzboden der Saite wirkt.
sich dieses
auch schon aus folgender Beobachtung.
Sind die Enden einer Saite an einer vollständig starren Unterlage befestigt, so hört
man, wenn man
die Saite
in
Schwingungen
setzt, fast gar keinen Ton; geht aber die Saite über einen Steg,
der auf einer breiten elastischen Fläche
an die Luft übertragen.
kräftig
Saite
der Saite,
der wesentlich
liegt, so
Es
ist
wird der Ton der
also der
Endpunkt
Erschütterung des Resonanzbodens
die
und dadurch den Ton in der Luft erzeugt.
Man kann die Bewegung der Violinsaite auch dadurch
hervorbringt
dafs
man
sie
in zwei
erläutern,
gegen einander ziehende Wellenzüge
zerlegt,
aus denen, wie oben gezeigt wurde, jede Schwingungsform der Saite
zusammengesetzt werden kann.
der Saite im Abstand x von
Für irgend einen beliebigen Punkt
dem einen Ende besteht nach dem,
was wir oben fanden, die Bewegung in einem Hin- und Hergang
mit zwei verschiedenen constanten Geschwindigkeiten.
Die Ausweichung rj wächst von dem Augenblick, wo die Ecke auf dem
dem Augendem oberen Parabelbogen die Abscisse x besitzt;
die Ausweichung nimmt ab von diesem letzten Zeitpunkt, bis die
Ecke wieder auf dem unteren Parabelbogen zur Abscisse x gelangt.
Wir fanden oben, dafs die Ecke ihre Abscisse mit constanter Geunteren Parabelbogen die Abscisse x besitzt, bis zu
wo
sie
auf
schwindigkeit
—
blick,
21
Zeit 2 T
xT
=—
—
,
ändert.
der
Der Hingang
Hergang
vollzieht sich mithin in der
der
in
Zeit
T—
2r
=
—— —
x\T
(l
^
-^^
L
I>
Ferner fanden wir (Gleichung 218 a) für die äufsersten Werthe von
den Ausdruck:
4P
Wenn
„
wir daher den Nullpunkt der Zeit
wo
t
in
den Augenblick ver-
im wachsenden Sinne durch Null geht,
für den Hingang
legen,
T}
i]
so
haben wir
DIE SCHWINGUNGEN GESTRICHENER SAITEN.
§40.
8P
•
.,
127
xT
.
oder
(220)
8P
—
l
V
{t
t
= —x
bis
+t)
l
und
für
den Hergang
{l-x)T
8P
-< = -^^(^-^):
^
(221)
oder
^=^4-(y-'J
Von
/
=+
=—T
<
T bis
bis
i
t=T—r
=+T
gilt
(^
= +^bi8r-T).
der erste Ausdruck für
In dem darauf
der zweite.
rj
und von
folgenden Inter-
= r — r bis r + T wieder der erste und von = T z bis
= 2 T — T wieder der zweite, wo aber statt der üeberschufs über
— T, einzusetzen ist, u. w.
die erste Periode, also
der Saite aus zwei einander entgegenBeweg'mg
Um nun die
vall
-\-
t
<
t
<
s.
t
ziehenden Wellenzügen zusammenzusetzen, mnfs
7]
werden,
dargestellt
Periode
21
nach X und
= F{x + at) +
wo
besitzen.
die
Q{x
Function
Daraus
und
F{x)
ergiebt
rj
in der
Form
— at)
sich
G{x)
beide
die
durch Differentiation
i:
p-^r
+
OX
ff
(222)
drj
= aF' -aG'
mithin
OX
dt
07]
07]
(223)
a-F
Nun
bis
t
=+
ist
für den ersten
TT
2aQ'.
Ausdruck von
rj,
also für die Zeit
t
=—T
T
07)
dx
SP
t
TT'
07]
8PI-X
(224)
~dT
und daher
dt]
SP
SP.
07]
07]
SP
SP,
dx
TT
07]
"ö^ +
a~^
W
^
.
(225)
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
128
Für den zweiten Ausdruck von
t==
T-T,
t],
§40.
also für die Zeit
i
=
r bis
ist:
ÖT]
8P(T
8P/^_
dx
~Jt\Y~T
dri
\
___ 8P
(226)
~dT~'~Tf'^
und daher
öl]
dt)
dx
dt
dri
dr}
a-s
Nun
TT
aSP
8P,
(227)
aSP 8P,
-2r + Tr(^-«^>-
aber a die Geschwindigkeit, mit der die Wellen entlang
21
ziehen und daher gleich -^.
Mithin haben wir, indem dieser
ist
Werth
Zeit
t
für a in die Gleichungen (227) eingesetzt wird, auch für die
=
T bis
t=
T—r
dl]
dx
(227 a)
Der Ausdruck
d
d
-^
+ -^
dx
dt
r]
für a
ri
hat also in den beiden Inter-
— r bis + t und r bis T — r,
Periode — t bis T— r dieselbe Form
Valien
das
heifst
in
der ganzen
DIE SCHWINGUNGEN GESTRICHENER SAITEN.
§40.
Das
T
—
T
dem
derselbe Ausdruck, der auch in
ist
Mithin
gilt
ganzen Periode t
in der
ist
129
Intervall r bis
bis
T+
t der
Ausdruck
— at
In dieser Periode durchläuft x
— at
ox
—2
bis
/.
Für
wiederholen sich diese
ö 11
j^— mit der Periode 2
dt
dl]
Werthe von a -^
Nun fanden
Werthe
die
gröfsere und kleinere Werthe von x
/.
wir oben (Gleichungen 223):
= 2aF'{x+at)
a^-{-^
ÖX
O
t
OX
Für
die
Werthe von x
^
dt
+
OD
2aF'{x
oder,
wenn x
-{-
und 2
at zwischen
+
at)
^-
=
ftp
-ff{x
1
+
ist
also
«0
at durch % bezeichnet wird,
„ „,, ,
2aF'{x)
—
8P
= 8P -—%
und daher
Für
die
Werthe von x
—
at zwischen
—
2aG'{x-at)=
oder,
wenn x
— at
durch
w
und
—21
ist
-\-j^{x-at)
bezeichnet wird,
2aö'H =
—+—
m;
und daher
8P
Die Constanten
dafs
F{x
+
at)
%P
w^
und C, sind nur der Bedingung unterworfen,
0{x — at) für x=0 und a: = / verschwinden
C^
-\-
müssen.
H. V. Hkucholtz, Theoret. Physik.
Bd. in.
9
ZWEITER THEIL. EESTER ABSCHNITT.
130
Daraus
folgt
und
0^
also nichts, Cj
Dann
hat
man
für
=
bis
z^;
+
nur auf die
liebig, weil es
Es hindert
0^
=
Im Uebrigen sind
Summe F{x + at) + 0{x
0.
und
also für «
=—
t^;
t
=
wollen wir F{x
und C^ beankommt.
— at)
C^ beide gleich Null zu setzen.
=
bis
;?;
=
2
Z
2Z
(231)
= -^w{2l +
0[w)
Für
G^
§40.
+
at)
w).
und 6{x
— at)
Ordinaten zur
als
Abscisse x auftragen; dann erhalten wir die beiden gegen einander
Zwischen x
ziehenden Wellenzüge.
Parabelbogen
Punkte
a;
=
p
-g-a; (2 Z
und x
—
=
cc),
=—
über
21 verbindet.
periodisch zu wiederholen.
und x
der
=
und x
=
21 liefert F{x) den
der a;-Axe
steht
Dieser Parabelbogen
Andererseits liefert
{x)
und
die
ist
nun
zwischen x
=
p2
21 den Parabelbogen ~-^x{2l-{-x), der unter der a;-Axe
Fig. 15.
hängt und die Punkte x
ist
=
und x
= —2l
verbindet.
Auch
dieser
periodisch zu wiederholen (Fig. 15).
Läfst
man
diese beiden
Reihen von Parabelbogen mit der Ge-
schwindigkeit a gegen einander ziehen, addirt ihre beiden Ordinaten
algebraisch für jede Abscisse zwischen
und x, so erhält man in
jedem Augenblick die betreffende Gestalt der schwingenden Violinsaite.
Die Abscisse der Ecke, welche die Violinsaite in jedem
Augenblick bildet, fällt dabei immer mit der Abscisse eines der
Fig. 16.
Punkte zusammen, wo zwei benachbarte Parabelbögen zusammenstofsen (Fig. 16).
DIE SCHWINGUNGEN GESTRICHENER SAITEN.
§40.
131
unsem bisherigen Betrachtungen haben wir vorausgesetzt,
dafs die Enden der Saite vollkommen in Ruhe bleiben. Unter dieser
Voraussetzung wird die Bewegung nur eine sehr geringe Störung
erfahren, und der Bogen wird nur eine sehr geringe Arbeit zu leisten
brauchen, um die Bewegung zu unterhalten. Es wird dabei ein kaum
wahrnehmbarer Ton hervorgebracht. Nun sind aber, wie schon oben
erwähnt, bei der Violine die Enden der Saite nicht völlig fest und
dürfen es nicht sein, wenn ein kräftiger Ton hervorgebracht werden
Bei
Ein Theil der Energie der Saite mufs fortgesetzt an die Luft
soll.
um
abgeleitet werden,
geben.
auf
Das
dem
eine
Steg,
Ende der
ist
der mit breiter Fläche
setzt.
Energie für die Schallbewegung herzuSaite liegt bei den Streichinstrumenten
der sich auf den elastischen Resonanzboden stützt.
Der Resonanzboden
Bewegung
die
in
mäfsigem Grade nachgiebig.
auf die Luft wirkt und
Dadurch wird
sie
fortgesetzt Energie
Er
ist es,
in ausgiebige
abgeleitet,
durch die Kraft des Bogens ersetzt werden mufs, wenn
die
die Be-
wegung unterhalten werden soll.
Die Wirkung des Bogens haben wir uns so vorzustellen, dafs
die Saite an der Stelle, wo der Bogen angreift, in dem einen Theil
der Schwingungsperiode sich mit derselben constanten Geschwindigkeit
wie
der Bogen
und
dem anderen
vom Bogen abspringt
bewegt, der an ihr haftet, in
kürzeren Theil der Schwingungsperiode dagegen
Schon ein minimales Abspringen der Saite
vom Bogen genügt, um die Saite vollkommen frei zu machen und
jede Einwirkung des Bogens aufzuheben.
An den Enden der Saite findet, wie schon oben auseinandergesetzt vmrde, ein plötzlicher Wechsel in der Richtung des Zuges
statt, den die gespannte Saite auf ihre Befestigungspunkte ausübt.
Denn während die Ecke der Saite auf dem oberen Parabelbogen
liegt, ist der Zug nach oben gerichtet, dagegen nach unten, wenn
die Ecke auf dem unteren Parabelbogen liegt. Wenn nun das Ende
der Saite einen geringen Grad von Beweglichkeit hat, so wird es
in dem Momente des Ueberganges z. B. von oben nach unten fortgeschoben werden. Dabei wird die Saite, welche zwischen den bissich frei bewegt.
Fig. 17.
herigen beiden Lagen ihrer Endpunkte ausgespannt war, wenn der
Endpunkt sehr schnell ein Stück fortgeschoben wird, in eine
gewundene Lage übergehen, und es wird offenbar nun von dem Endeine
1
ZWEITEE THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
32
§ 40.
punkte aus eine Welle, ein Knick nach dem andern Ende der Saite
ablaufen müssen (Fig.
17).
Dadurch wird eine Bewegung hervorgebracht, welche sich nicht
der des Bogens anschliefst; sondern, wenn dieser Knick (Fig. 17)
an der Streichstelle der Saite vorbeiläuft, dann wird der Saitenpunkt,
der den Bogen berührt, eine andere Bewegung machen müssen, als
der Bogen, und die Saite wird, wenn sie bis dahin am Bogen anhaftete,
abreifsen können oder anhaften, wenn sie frei war. Dieses Abreifsen
oder Anhaften wird nach der Zeit geschehen müssen, welche
von dem Moment, wo die Ecke das Ende der Saite
Welle
die
die
gestrichene
der Geschwindigkeit a
=
Stelle
Da
erreicht.
verfiiefst
passirt, bis
die
wo
Welle mit
21
-=- entlang
läuft,
so
stimmt diese Zeit
überein mit der Zeit, welche die Ecke der Saite gebraucht,
um
wieder
kommen. Das Abreifsen oder Anhaften
würde darnach also zu derselben Zeit stattfinden, wo die Ecke die
gestrichene Stelle passirt^ was mit der oben auseinandergesetzten
bis zur gestrichenen Stelle zu
Vorstellung von der Wirkungsart des Bogens übereinstimmt.
kommen
Nun
nebensächliche Störungen in der Bewegung der Saite da-
immer an dem einen Ende der Saite ein Theil der
Schwingungen verloren geht. So müssen wir die Bewegung als die
einer gedämpften Saite betrachten, und zwar wird diese Dämpfung
sich auf alle Obertöne der Saite beziehen.
Wir haben nun bei den allgemeinen Erörterungen schon gesehen,
dafs durch eine periodische Kraft, von der Periode des Grundtones,
durch
vor, dafs
welche in einem Knotenpunkt eines Obertones angreift, die Bewegung,
die diesem Obertone entspricht, nicht unterstützt
Es
der mög-
werden kann.
wenn man
in einem Knotenpunkt eines
Töne der Saite streicht, in der Schwingungsfigur der
oder in der Bewegung der Saite dann dieser Oberton fehlen
folgt daraus, dafs,
lichen
Darin
sie
ist
Saite
wird.
eine Modification der Saitenbewegung enthalten, wie wir
bisher beschrieben haben; denn in der bisher dargestellten Be-
wegung
zeigt.
sind alle Obertöne der Saite vertreten, wie die
Diese
beobachten.
Aenderung
Untersucht
irgend einem Punkte,
am
läfst
sich
mit
man nämlich
Formel (216)
dem Vibrationsmikroskop
die
Bewegung der
Saite in
besten gegen die Endpunkte der Saite hin,
obwohl die Amplituden dort gering sind, so bemerkt man eine geringe Abweichung von der bisher beschriebenen Bewegung, die, wenn
die Zeit als Abscisse aufgetragen wird, aus zwei geraden Linien bestand.
Es
treten nämlich secundäre
meistentheils so,
Zacken auf
dafs nur eine Periode
(Fig. 18)
und zwar
Zacken
dieser secundären
DIE SCHWINGUNGEN DER CLAVIERSAITEN.
§41,
auf das kurze Ende
133
Diese Zacken lassen sich nun darauf zu-
fällt.
dem Bogen
werden kann, weil er in einem der Knotenpunkte des
rückführen, dafs einer der Obertöne der Saite nicht von
unterstützt
während der Oberton,
Obertones angreift,
handen
war,
durch
Dämpfung
falls
verschwindet.
er anfänglich vor-
Aus den neueren
Fig. 18.
Untersuchungen von Keigae-Menzel und Raps geht hervor,
wenn
in
dem Knotenpunkte
Oberton ganz weg
bleibt;
selbst gestrichen
wenn aber
in der
dafs,
wird, der betreffende
Nähe des Knotenpunktes
gestrichen wird, der betreffende Oberton nicht etwa schwach, sondern
im Gegentheil stark hervortritt.
Abgesehen von diesen Abweichungen erklären
sich die Haupt-
züge der an den Violinsaiten beobachteten Erscheinungen auf die dargelegte Weise.
Es
ist
dabei zu bemerken, dafs die auf den Saiten
durch Streichen hervorgebrachten Töne bei weitem
am
reinsten
und
Andere Körper können zwar auch durch Streichen zum Tönen gebracht werden; denn es ist auch da immerhin
möglich, dafs der Bogen sich während eines Theiles der Zeit, in
der eine solche Schwingung ausgeführt wird, an eine Bewegung des
musikalischsten sind.
Körpers
anschliefst.
Vollständig
ist es
aber nur möglich, wenn die
Töne des Körpers wie bei der Saite harmonisch zu einander
Dann kann ein solcher tönender Körper Schwingungen aussind.
führen, welche vollkommen periodisch sind, und wo auch die Nebentöne zum Vorschein kommen, ohne die Periodicität zu stören. Wenn
einzelnen
aber Schwingungszahlen der Nebentöne zu der des Grundtones in
irrationalem Verhältnifs stehen, dann setzen sich ihre Schwingungen
nicht zu einer vollkommen periodischen
dann
ist
Bewegung zusammen, und
auch kein vollständiges Anschliefsen des Bogens an den
Körper möglich.
§ 41.
Die Schwingungen der Ciaviersaiten.
Die Ciaviersaiten werden dadurch in Bewegung gesetzt, dafs
sie
durch den Schlag der
Hämmer
getroffen
meistentheils an einer Stelle, die ziemlich nahe
werden, und zwar
am Ende
der Saite
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
134
Der Schlag des Hammers
liegt.
nicht von
ein Stofs, allerdings
ist
sondern in unseren neueren
elastischen Masse,
einer ganz harten
§ 41.
Kopf des Hammers mit
weichem Leder überzogen ist. In den älteren Ciavieren, den sogenannten Spinets war es dagegen ein metallner Stift mit ziemlich
schmalem Kopf, der sich anlegte, und in den allerältesten Formen
Ciavieren von einer weichen Fläche, da der
metallene
dieser
blieb
Er
Steg bildete.
Tones der
Saite.
einem
mit
auf der Seite liegen,
Stift
schmäleren
oder
breiteren
welcher einen Punkt der Saite
Geschwindigkeit mittheilt.
und
schnell
Der
Hammer
zu
und durch den
trifft
thun
hätten,,
ihm
Stofs
eine
Körper geschieht ja so
Stofs harter
auf so kurze Zeit begrenzt,
ist
dafs er den
so
Lage Eintiufs auf die Höhe des
Wir wollen zunächst annehmen, dafs wir es hier
hatte durch seine
der gestofsene
dafs
Körper, welcher dabei in Bewegung gesetzt wird, eigentlich diese
Bewegung anfängt und
seine volle Geschwindigkeit
erreicht,
ohne
Man kann
dafs er dabei seinen Ort wesentlich verändert hat.
mit
guter Annäherung an die Wirklichkeit annehmen, dafs die gestofsene
Stelle der Saite plötzlich eine
Es
nun
sei
rj
Geschwindigkeit bekommt.
die Seitenabweichung, so
ist,
wie oben in § 37 ge-
zeigt wurde,
7?
=
2
[^a
•
sin/j
X cos nat
•
-\-
Ba' sinp
a
a:
•
sin
w
t],
a
vorausgesetzt, dafs die
wenn
Enden der
die Saitenlänge bezeichnet,
l
Saite
fest
p
—-
für
geschrieben.
nach unserer Annahme im Zeitpunkt
die Saite
Es
sind.
t
=
0,
ist
dabei,
Wenn nun
wo
sie
an-
geschlagen wird, sich noch nicht wesentlich von ihrer Gleichgewichtsr]
für t =
auch
und daraus folgt, dafs alle Coefficienten A^ verschwinden und nur der zweite Theil der Reihe stehen bleibt, so dafs
lage entfernt hat, so werden die Anfangswerthe von
gleich Null sein,
= ^Ba'8mpax-smnat
Tj
Daher
ist
die Geschwindigkeit durch die
V
= -—
€L
Wenn nun
gegeben
ist,
=z'^naBa'
Formel gegeben:
sin^ a x cos nat.
(233)
Z
die Geschwindigkeit v zur Zeit
so sind
(232)
demgemäfs
<
=
als
Function von x
die Coefficienten B^ zu bestimmen.
Wir beschränken uns zunächst auf den
Fall,
das v nur in einem
DIE SCHWINGUNGEN DER CLA VIERSAITEN.
§41.
sehr schmalen Theil der Saite von Null verschieden
B
halten wir den Coefficienten
ist.
135
Dann
/v-^m.pqx .dx = —B-nq.
(234)
In dem Falle, dafs die angeschlagene Stelle sehr klein
ist,
wie es
werden wir in dem Integral den
{pqx) mit dem Werthe einsetzen können,
bei den alten Spinets der Fall
trigonometrischen Factor sin
welchen er im Mittelpunkte
geschlagene Stelle bei x
er-
aus der Gleichung:
= a,
ist,
der geschlagenen Stelle hat.
so
bekommen wir
Ist die
also
smpqa- jrvdx- =-^B^-nq.
l
(234a)
Unter diesen Umständen würde das Integral von dem Index q unsein, und es würde einen bestimmten Werth haben, der
abhängig
die Intensität des Stofses darstellt
Die Coefficienten sind
vqa ^
^
^.I=-2
5,-w.
sin
Wir bekommen
und mit / bezeichnet werden möge.
also:.
l
also in
,^^
, ,
(234b)
diesem Falle eine Reihe von Coefficienten,
welche bei steigenden Werthen von q nur wie die erste Potenz von q
abnehmen. Wenn wir streng vorgehen und annehmen wollten, dafs
nur ein einziger Punkt der Saite gestofsen wäre und Geschwindigkeit
bekommen
hätte,
Reihe haben.
dann würden wir eine nicht unbedingt convergente
In einem solchen Falle werden nothwendig die hohen
Obertöne verhältnifsmäfsig sehr stark werden. Es
Klang einer solchen mit
klimpernd;
das
Hammer
Anders
ist
Menge
wenn mit einem weichen
breitere Stelle in Bewegung
es,
angeschlagen wird, also eine
Um
nun auch der
eine Klangfarbe, welche auf eine grofse
ist
von Obertönen hinweist.
versetzt wird.
ist
angeschlagenen Saite stark
Metallstiften
unbedingt convergente Reihen zu erhalten, wollen
man dann die Ausdehnung der
eng machen kann, wie man will. Wir wollen
von der Mitte des Hammers getroffene Stelle
wir diesen Fall behandeln, wobei
getrofiienen Stelle so
annehmen,
am
dafs die
stärksten in
Bewegung
beiden Seiten hin
gesetzt wird,
und dafs von dort aus nach
die Anfangsgeschwindigkeit abnimmt.
Bei der
weichen Beschafienheit des Hammers können wir im Allgemeinen
nicht genau angeben, wie die Geschwindigkeit vertheilt sein wird.
Man
erkennt,
dafs
bei den tieferen Theiltönen,
für die sin
pax
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
136
innerhalb
vom Hammer
des
veränderlich
nur sehr wenig
getroffenen Stückes
es keinen wesentlichen Unterschied
ist,
§41.
machen
wird,
wie die verschiedenen Theile der gestofsenen Stelle in Geschwindigkeit
versetzt
Für
werden.
Wellen mit kurzen Wellenlängen
die
dagegen, für welche sin^arc in der Breite der gestofsenen Stelle
mehrfach sein Zeichen wechseln kann, wird ein grofser Theil des
Integrals fvsiapax.dx sich wegheben dadurch, dafs positive und
negative Glieder
Ausdruck
Wir können uns
einander folgen.
hinter
keit zu thun haben, welche an der Stelle
und
z.
B. für X
=
a
2h
bis
a;
=a+
=
Maximum
a ihr
=
h
.
hat
Wir können
2h
'
V
setzen,
x
geringer Entfernung davon schnell abnimmt.
in
einen
bilden, welcher anzeigt, dafs wir es mit einer Geschwindig-
— a)]
cos [h {x
worin b die Amplitude der Stofscurve bezeichnet, und
=
v
aufserhalb dieses Intervalls annehmen.
Dann wird
TT.
u
a
+ 2h
-'! sinpqx. cos [h {x —
n. q
a)]
(235)
dx
2h
oder
a
B.n.q
+
2h
sin[(p(7
^\I^''
+ h)x — ah'\ + sin[(p<? — h)x + ah'\\dx
(235a)
2ä
Daraus
folgt
-^.B.n.q
=-
pq +
2
cos
h
\{jp
q •{ h)x
—
ah'\
(235 b)
1
2
Werden
cos
pq
'
pq
die
Grenzen
a
+ 2h +
= —
cos [{pq
—h
— h)x +
a h].
eingesetzt, so liefert der erste Cosinus:
71
cos
2 sin
^ a
g-
.
\
pq
cos
a
pqn
2h
Yh
f)
DIE SCHWINGUNGEN DER GL AVI ERSAITEN,
§ 41.
137
und der zweite Cosinus:
pq a
cos
+ 2h _-^i_cosiijg
= +
2 sin p
g-
a
a
—
+
2h
pqn
cos
.
2h
Also wird die Gleichung (235 b)
±B^.n.q=^h.j^smpqa.cos^
—
.
b
2h
pq — h.
pq-\-h
2h
p^q^-h^
?\np q a
.
cos
1
pqa
hsin
=—
— .sin pqa.
pq-h
.cos
.
cos
pqn
2h
pq%
(235 c)
2h
Mithin
2
^.
Man
= -7'-
b
.
2h
^ga
nq
sin
q^p'^
'
ersieht daraus, dafs für die gröfseren
abnehmen wie
cienten B^
q^.
pqji
— h^
.cos
(235 d)
2ä
Werthe von
q die Coeffi-
In der Reihe für die Geschwindigkeit
werden die Coefficienten abnehmen wie
In der That haben wir
q^.
hier keine Sprünge in der Geschwindigkeit, sondern die Sprünge betreifen erst die zweiten Differentialquotienten,
der Curve plötzlich
druck für
B
,
NuU
werden.
Knotenpunkt des q^^ Tones
—
Das
ist, d.
erfolgt,
tude wir hier eben betrachten.
nicht
wenn
dafs es verschwindet,
einem Vielfachen von
gleich
Femer
h.
welche an den Rändern
ergiebt sich aus
sin
p qa
=
dem Aus-
wird, a also
wenn der Anschlag
in
desjenigen Tones, dessen Ampli-
Es werden
also
diejenigen
zum Vorschein kommen, deren Knotenpunkt angeschlagen
giebt uns schon ein Mittel,
einem
um
Töne
wird.
zu vermeiden, dafs die hohen
Die Obertöne nehmen im Allgemeinen an
Der siebente und achte Oberton, die etwas mehr als
einen ganzen Ton auseinander liegen, sind etwa die tiefsten unter den
Obertönen, die den Klang weniger musikalisch machen, die als Dissonanzen wirken. Schlägt man nun die Saite zwischen dem Knotenpunkt des siebenten und achten Obertones an, so wird sinpqa für
j = 7 und q = 8 klein ußd der siebente und achte Ton werden relativ
Obertöne entstehen.
Stärke
ab.
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
138
schwach werden. Deshalb
ist
in der
That bei den modernen Ciavieren
eine solche Anschlagsstelle gewählt.
Hammer
stöfst, seine
Breite
man bewirken können,
§41.
Wenn man
und Weichheit
die Art, wie der
richtig regulirt, so wird
dafs die Geschwindigkeit innerhalb der ge-
Punkt zu Punkt in gewisser Weise sich verund dadurch kann man die Intensität der hervorgerufenen
stofsenen Stelle von
ändert,
Obertöne
reguliren.
Die Begleitung des Grundtones durch die
vollkommen harmonischen Obertöne ist im Ganzen vortheilhaft.
Es werden niedrigere Obertöne sein, deren Anschlag man zu begünstigen sucht, und meistentheils sind die neueren Claviere so
ersten
eingerichtet, dafs der dritte
und
vierte
Oberton durch die passende
Wahl der Weichheit des Hammers begünstigt werden.
Man kann also die Klangfarbe der Ciaviertöne dadurch verändern,
dafs man den Hammer mehr oder weniger breit und hart macht.
Härtere Hämmer und schmalere Hämmer werden im Allgemeinen
höhere Obertöne geben. Man gebraucht sie namentlich da, wo man
Töne hervorbringen will. Töne mit mehr Obertönen, welche
zwar nicht ganz weich klingen, aber mehr durchdringende Kraft
haben.
Bei Concert- Flügeln werden die Hämmer deshalb etwas
schärfere
härter gemacht, während
weichere Töne
werden,
Hämmer
breitere
man
im Zimmer gebraucht
und daher auch weichere und
bei Flügeln, die
vorzieht
benutzt.
Es wird auch
oft
von Variationen der Klangfarbe gesprochen,
die durch den Anschlag hervorgebracht werden.
Man kann
in der
That auf demselben Ciavier durch eine geänderte Anschlagsweise
andere Töne hervorlocken.
Möglicher Weise kann dieses davon
herrühren, dafs bei gröfserer Geschwindigkeit, welche keinen Druck
mehr hinter sich hat,
wenn also der Spieler so auf die Tasten
schlägt, dafs der Hammer in die Höhe schnellt und die Saite erreicht, ohne dafs die Taste noch weiter gedrückt wird,
die Ver-
—
—
theilung
andere
der
ist
Geschwindigkeiten längs
als bei
der gestofsenen Stelle eine
anderer Anschlagsweise.
am Ciavier kann man leicht
wenn man den Anschlag auf die Tasten bei gehobenem
Dämpfer des Instruments macht und sich dann auf der Saite die
Die stärkere Fülle der Obertöne
prüfen,
Knotenpunkte sucht. Sie sind sehr leicht zu finden. Man braucht
nur eine Taste wiederholt anzuschlagen und den Finger auf der Saite
zu verschieben, um die Stellen herauszufinden, welche man berühren
mufs, damit der eine oder andere Oberton ungestört
zum Vorschein
kommt. Dadurch kann man auch die relative Stärke der Obertöne
kennen lernen die Octave ist meistentheils sehr kräftig und gewöhn;
DIE
§42.
SCHWINGUNGEN BELASTETER
SAITEN.
139
dritte Oberton, während vom vierten ab die Intenmerkhch
nachläfst.
sität
Man kann übrigens das Ciavier, dessen
Dämpfer man aufgehoben hat, auch benutzen, um herauszubringen,
welche Obertöne in den Tönen vorkommen, die im Zimmer entweder
von anderen Musikinstrumenten oder von der menschlichen Stimme
erregt werden, da die Saiten des Claviers leise mitschwingen. Man
kann das Schwingen entweder fühlen oder auch hören, nachdem der
fremde Ton aufgehört hat. Man kann es z. B. benutzen, um die
Obertöne aus den zusammengesetzten Tönen der menschlichen Stimme,
auch noch der
lieh
aus den Vocaltönen heraus zu hören.
Stimme auf eine der Noten des
tiger
Wenn man
Claviers,
Pedal gehoben hat, so dafs sämmtliche Saiten
in
nämlich mit kräf-
nachdem man das
schwingen können,
frei
der genauen Tonhöhe den Vokal a ins Ciavier singt, so hört
man
mit
das Ciavier
dem Vocal
und
nachklingen,
zwar
sind ziemlich gut herauszubringen, ä, ö,
kann
antwortet
dem Vocal
a und bei o mit
i
deutlich
es
Die Vocale
o.
a,
sind undeutlicher.
o,
u
Man
Zusammensetzungen
solcher Töne, die als Obertöne in. den gesungenen Vocalen vorkommen,
in der angegebenen Weise die Vocalfarbe, also den eigenthümlichen
sich auf diese Weis^^ leicht überzeugen, dafs
Charakter des Klanges, bedingen, der die verschiedenen Vocale der
menschlichen Stimme von einander unterscheidet
wesentlich, dafs
saite
man genau
Es
ist
nur ganz
Tonhöhe der betreffenden
die
Clavier-
trifft.
§ 42.
Die Schwingungen belasteter Saiten.
Wir woUen nun
die
Schwingungen einer Saite betrachten, welche
Länge ist, sondern an einer Stelle eine
nicht gleichmäfsig in ihrer
kleine Belastung
hat
Man
braucht bei einer dünnen Metallsaite
nur ein ganz kleines Wachskügelchen auf einen Punkt der Saite
anzukleben,
so findet
man,
dafs
tiefer klingt, weil eine gröfsere
dann die Saite erstens natürlich
Masse zu bewegen
ist,
aber dafs
sie
auch ganz eigenthümlich verdorben klingt. Sie hat einen kesselähnlichen Klang erhalten statt des hellen, klaren, harmonischen,
den sie bisher hatte, und wenn man die Obertöne untersucht, findet
man, dafs
sie irrationale Verhältnisse der Schwingungszahlen besitzen.
Die Bewegungsgleichungen lassen sich leicht bilden. Wir werden
auch hier die Enden der Saite
wollen
und
die a:-Coordinaten von
die Entfernung
bezeichnen.
als fest
zu betrachten haben und
dem Ende
M
(Fig. 19)
an rechnen
des Gewichts von diesem Anfangspunkt mit a
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
140
Vom
M bis
Punkte
es mit einer
§42.
zu dem belasteten Punkte hin haben wir
Bewegung zu thun, welche
für
eine
freie Saite
gilt,
^
et
Fig. 19.
wenn
nämlich,
Geschwindigkeit für
die
t
=
als
verschwindend
klein vorausgesetzt wird,
rj^—Ä- sm^ ic
und
•
cos
\^ok))
wi
den Theil zwischen der belasteten Stelle und dem Ende iV
für
ebenso
a<x<l
r]^
=
/OQ7^
\^^*)
_
B-m.TLp{l—x)-co^nt
sind p, welches die Wellenlänge bestimmt, und n, die
Schwingungszahl, durch die Gleichung verbunden n = p-c, wo c die
Hierin
Geschwindigkeit bezeichnet, mit der eine Welle auf der Saite entlang
läuft.
Wir
wissen schon aus allgemeinen Sätzen, dafs das Integral
von der Art sein mufs, dafs keine Phasendifferenz zwischen den
verschiedenen Theilen existirt. Dann wird in dem Punkte a selbst
das
und
i]a
einmal ausgedrückt durch
r]a
= A- sin
=
B-smp{l
j?
a cos n
•
(238 a)
t
andrerseits durch
r]a
Das Verhältnifs
geben
Ä B
:
—
(238b)
a)-co8nt-
durch
wird daher
die
Gleichung ge-
sein:
^.sinpa
Wir können
=
J5.sin^(^
— a)-
(239)
also setzen:
A=
B=
—.
sin p a
Nun wird aufserdem
sinp {l—
für den beschwerten
Bewegungsgleichung aufzustellen
sein.
Wenn
a)
Punkt
eine besondere
die Saite abgelenkt
und in dem beschwerten Punkte einen Knick macht, so werden
beide Enden der Saite, wenn sie eine nach oben gehende Ecke bilden,
durch ihre Spannung einen Zug ausüben, der eine abwärts gerichtete
Componente hat. Wir werden also, wenn m die Masse der beist
schwerten Stelle bezeichnet, 'm—z-y gleich der
Summe
der beiden
Ol z
Componenten zu setzen haben, welche diesen Punkt nach abwärts
DIE SCHWINGUNGEN BELASTETER SAITEN.
§42.
Es bezeichne S
zu ziehen suchen.
kommt
Spannung der
Saite.
Hier
aber von der Spannung nur die Componente in Betracht,
welche nach abwärts gerichtet
dem
die
141
Sinus des Winkels
Nun
der Horizontallinie bildet.
sehr kleiner Winkel
Wir werden
ist.
Spannung mit
also die
multipliciren müssen, welchen die Saite mit
ce
aber tsa
ist
=
——- und da a ein
dx
da wir nur kleine Elongationen der Saite
ist,
betrachten wollen, werden wir den Sinus mit der Tangente vertauschen
können und setzen:
d^fj
m
Für t;^ = Asinp X
demnach an der
cos
dt^
d'
drjj
f
=K-4^-*-4^)
'^^«>
n t und i]^ = Bsmp{l — x) cos n t erhalten wir
x = a, wenn für A und B die gefundenen
Stelle
Ausdrücke eingesetzt werden:
— m- C -71^- cos nt = Si/ — p-
sm^a
\
coswa
(241)
sinj?(/
cosj9(Z— a)jcosw/,
— a)
G cos nt
oder indem wir beide Seiten durch
dividiren
— mn ,^^/_p.cospa_p.cosp(f-a^\
sm^a
sin^(Z — a)
\
Nun
ist
aber
n=p.e,
/
daher ergiebt sich die Gleichung
"^"]'-"^]
-^.p.c^^Sl-^^l^sm jpa
smp{l — a)j
(241b)
-
'
oder
mpc^
zahl
läfst
=
S- fcotgüa
^
sm
+ cotgüC/ — a)) =
'''
S-.
t) l
;"
r^Hr
smpasmp{l — a)
(241c)
Aus dieser Gleichung kann p und damit die Schwingungsn bestimmt werden. Die Anzahl und Lage der Wurzeln
sich
einigermafsen
dadurch
übersehen,
dafs
wir uns beide
Seiten der Gleichung graphisch dargestellt denken durch Ordinaten
Die linke Seite ist durch eine gerade Linie darp.
nach dem Werthe von mc^ mehr oder weniger steil
Auf der rechten Seite haben wir
bis ;9 = oo.
ansteigt von p =
2 Cotangenten von Bögen, welche beide proportional p steigen, aber
zu der Abscisse
gestellt, die je
mit
verschiedenen Factoren.
Nun
ist
die
Cotangente unendlich,
wenn der Bogen Null ist, nimmt mit wachsendem Bogen ab und wird,
wenn die halbe Peripherie abgelaufen ist, negativ unendlich. Dann
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
142
wiederholt
sich
Tragen wir zunächst
periodisch derselbe Verlauf.
die beiden Cotangenten der rechten Seite für sich
7t
der einen gleich
Stellen,
wo
—a
bei
dafs
auf, so ist die
7t
,
die der andern gleich
l
—a
Summe
An den
zu setzen.
unendlich und zwar in derselben Weise,
der Unendlichkeitsstelle
wachsendem p von
— oo
auf
+
Werth der Summe mit
der
oo springt. Zwischen zwei auf einander
Summe
folgenden Unendlichkeitsstellen mufs daher die
zwischen
Periode
eine der beiden Cotangenten unendlich wird, wird noth-
wendig auch die
so
§42.
+
—
oo und
alle
oo annehmen und die Curve,
Werthe
welche
die
mufs in jedem dieser Intervalle die gerade
schneiden,
welche
die linke Seite darstellt.
Linie
Da ferner der
rechte Seite darstellt,
Diiferentialquotient
nur negative Werthe
l
Bin^pa
sin^^(/
a
— a)
hat, so liegt zwischen zwei Unendlichkeitsstellen
nur ein einziger Schnittpunkt.
Wurzel der
—
a
Jeder Schnittpunkt entspricht einer
Grleichung.
Etwas einfacher wird
wenn man annimmt,
die Uebersicht,
die beiden Intervalle gleich sind, dafs also das
der Saite
2
S
liegt.
Dann wird
die
dafs
Gewicht in der Mitte
rechte Seite
der Gleichung in
vi
cig~
übergehen.
Die graphische Darstellung
Fig. 20 gegeben.
dafs
in
Es
ist leicht
durch
ist
zu sehen,
den späteren Intervallen diese
Werthen der
sehr hohen
Schnittpunkte
betreffenden Cotangenten entsprechen, also
nahezu den Werthen von
für
die
vi
^
angehören,
der Werth der Cotangente un-
endlich wird, so dafs also für die höheren
Töne sehr nahe
sehr nahe
von p
Fig. 20.
müssen
vi
^ = an
vi
sin^ =
wird
wird.
immer etwas
und
mithin
Der Werth
gröfser
sein
2a;nf
als
l
Durch
die Kenntnifs dieses ersten Näherungswerthes findet
man
DIE
§ 42.
SCHWINGUNGEN BELASTETER
nun auf folgende Weise rasch
setzt in der
SAITEN.
143
genaueren Werthe von
die
p.
Man
Gleichung
mp c^ =
pl
2
S cotg -^
——
auf der linken Seite für p den Näherungswerth
stimmt einen zweiten Näherungswerth
-
ein
und
be-
p^, so dafs
m ——- G^ —2 S cotg ^—^
/
und zugleich p^
ein
wenig gröfser
ist als
man
zweiten Näherungswerth setzt
—r—
Den
.
so gefundenen
abermals in die linke Seite der
Gleichung ein und bestimmt einen dritten Näherungswerth
mp^
und zugleich
mufs.
sein
Werth
p, für
p^
6^
= 2 S cotg ^^|-
nur wenig von
p^ yerschieden ist,
So fortfahrend nähert
man
was immer möglich
einem festen
sich alsbald
den
mpe^
die
p^, so dafs
—
pl
2
Äcotg^-
Für die niederen Töne, welche die Saite hervorbringt^ führt
Rechnung nicht so schnell zum Ziel.
Der kleinste Werth von p ist, wie aus Fig. 20 entnommen
werden kann, kleiner als—-- Der Werth
ton der unbelasteten Saite entsprechen.
lastung der Grundton
tiefer,
—
selber
Es wird
würde dem Grundalso
durch die Be-
wie sich auch dadurch erklärt, dafs die
durch die Belastung ein gröfseres Trägheitsmoment bekommt
und ihre Bewegung langsamer geschehen mufs. Je höhere Obertöne man betrachtet, um so mehr nähern sich die Werthe von p
Saite
den Werthen, die bei unbelasteter Saite den ungeraden Obertönen
Alle geraden Obertöne können, da sie in dem be-
entsprechen.
lasteten
Punkt einen Knotenpunkt haben, ungestört auch auf der
belasteten Saite bestehen.
Das physikalisch Wichtigste an diesen Ueberlegungen
ist,
dafs,
wie wir uns hier überzeugen, schwingende Körper vorkommen können,
welche irrationale Tonverhältnisse haben. Eine ganz kleine Aenderung
kann einen harmonisch tönenden Körper in
Dem Ohr verräth sich dieses
einen unharmonischen verwandeln.
in der Massenvertheilung
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITa\
144
§43.
dadurch, dafs hier bei der Saite eine Klangfarbe entsteht, die
man
als
angenehmen
Eindruck auf das Ohr macht, als die regelmäfsigen Töne der unbelasteten Saite. Die gesammten Bewegungen einer belasteten Saite
können nicht mehr periodisch sein, da die Perioden der Nebentöne,
kesselartig zu bezeichnen pflegt,
und
die einen weit weniger
welche auf ihr erregt werden können, in irrationalem Verhältnifs zu der
Dadurch hört eben der musikalische
Periode des Grundtones stehen.
Charakter
auf.
Man kann auch
welche wir entwickelt haben,
die
um
Methode nicht mehr brauchen,
die
Convergenz einer Reihe zu
beweisen, die den Anfangszustand der Saite darstellt.
Man kann
zwar eine solche belastete Saite von einem beliebig gewählten Anfangszustand ausgehen lassen, und
weifs,
der Anfangszustand
dafs
es
der
sich auch,
läfst
Saite
durch
eine
wenn man
nach den
Sinus der Obertöne entwickelte Reihe dargestellt werden kann, die
Methode übertragen, welche man braucht, um die Coefficienten zu
finden; aber der Convergenzbeweis und der Beweis, dafs die Reihe
den verlangten Werth giebt, läfst sich in diesen Fällen
Weise führen. Es wird dabei sehr darauf ankommen, dafs man keines von den Gliedern vergifst. Man mufs sich
überzeugen, dafs es nun nicht noch andere Werthe der Schwingungs-
wirklich
nicht in derselben
als die, welche man als Wurzeln der irrationalen Gleichung gefunden hat, sonst würde die Lösung unvollständig sein.
Man kann sagen, dafs die Körper, welche harmonische Obertöne geben, eine Ausnahme bilden, und dafs bei Weitem die
meisten Körper, welche im Stande sind, elastische Schwingungen
auszuführen, Glocken, Platten etc., unharmonische Obertöne geben.
Wenn man ihre Gestalt verändern kann, wie das z. B. bei den Glocken
dadurch geschieht, dafs man die Verhältnisse der Dicke verändert
und etwa den Grund der Glocke und den Schlagring dick, und da-
dauer giebt
zwischen die
Wände dünn
macht, so kann
man
empirisch die
Form
herausfinden, bei welcher die ersten Obertöne harmonisch werden,
und
die Glocke verhältnifsmäfsig einen guten
§ 43.
Klang
hat.
Die Mittheilung der Schwingungen einer Saite an den
Resonanzboden und an
Nun
ist
der Saiten
noch auf einen andern
die Luft.
Fall, welcher die
Schwingungen
einzugehen, der ebenfalls gewisse wichtige Eigen-
betrifft,
thümlichkeiten hat.
Wir
wollen annehmen, wir hätten eine Saite,
die auf einen beweglichen Steg aufgesetzt sei, der auf
nanzboden
liegt,
und
dem Reso-
dieser Resonanzboden soll mit einer breiten
MITTHEILUNG DER SCHWINGUNGEN AN DIE LUFT.
§43.
145
Fläche auf die Luft wirken, so dafs von der Saite zuerst der Steg
und von diesem
erschüttert wird,
dem Ende
Es wird dann
die Luft.
also
von
der Saite lebendige Kraft auf die Luftmasse des Zimmers
hinüber geleitet werden, und diese lebendige Kraft wird nothwendig
der Saite verloren gehen.
Die Kraft, mit der die Saite auf den Steg, den wir bei x
annehmen, drückt,
=
l
Compo-
die senkrecht zur £c-Axe gerichtete
ist
Spannung multiplicirt
mit dem Sinus des Winkels, den die Saite mit der x-Axe macht.
Für kleine Winkel können wir statt des Sinus die Tangente nehmen
und also die Kraft gleich
nente der Spannung S.
Diese
gleich der
ist
dx
Das Zeichen
setzen.
ist
so gewählt, dafs die Kraft in Richtung der
wachsenden rj positiv gerechnet wird.
Die Kraft bringt eine Bewegung des Steges hervor.
wirkt auf die
Bewegung des Steges
eine elastische Kraft, die von
der Biegung des elastischen Resonanzbodens herrührt, auf
Wir
Steg ruht.
setzen sie der Excursion
und haben das Zeichen
Kraft den
Zugleich
dem
der
des Steges proportional
so zu bestimmen, dafs die so dargestellte
Steg in die Gleichgewichtslage
zurückzuführen
strebt.
Endlich setzen wir den Luftwiderstand der Geschwindigkeit des
Steges
proportional
entgegengesetzt.
Ist
und
in
Richtung der Geschwindigkeit
seiner
m die bei =
rc
/
bewegte Masse, so haben wir die
Grenzbedingung
Wir wollen annehmen, dafs am anderen Ende der Saite eine
gezwungene Bewegung mitgetheilt wird durch einen Körper, der
hinreichende Masse und Festigkeit hat, um die Saite so mitzunehmen,
Widerstand der Saite gegen die Schwingung des aufgesetzten
Körpers verschwindet. Nahehin ist diese Bedingung erfüllt, wenn
man die Saite an irgend einer Stelle dadurch begrenzt, dafs man
dafs der
den
die
Stimmgabel
Stiel einer
Form
aufsetzt,
dem man am
äufsersten
Man
den
eines Saitensteges gegeben hat.
schärft
der Feile zu, so dafs er eine scharfe Kante bildet
einen kleinen Einschnitt in die scharfe Kante, in
liegen kann.
die
Es
Stimmgabel
H.
V.
ist
hält,
Hklmholtz Theoret
,
vortheilhaft,
dafs
man von
Bd. HI.
mit
und macht dann
dem
die Saite ein-
der Hand, welche
noch einen Finger benutzt,
Physik.
Ende
Stiel
um
die Saite an
10
ZWEITER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
146
§ 43.
anzudrücken. Man hebt dadurch gleichzeitig auch die
Schwingungen auf, welche dieser Theil der Saite ausführen könnte.
Dadurch bewirkt man, dafs der Berührungspunkt der Stimmgabel
den
Stiel
zum Endpunkt
der Saite wird.
Die Stimmgabel
und sehr
ist
ein
Körper von sehr viel gröfserer Masse
Schwingungen mit grofser
grofser Festigkeit, der durch seine
Kraft hin- und hergetrieben wird.
also
Es wird dadurch das Ende der
durch eine überwiegende Kraft erschüttert, und wir werden
Saite
bei
x
=
den Werth von
rj
der Bewegung der Stimmgabel
entsprechend zu setzen haben, was wir so ausdrücken können:
7j
Im üebrigen
= Äsinnt
geschieht die
x=0).
(für
Bewegung der
Saite
nach der
Differential-
gleichung
wie im § 36 gezeigt wurde.
Um
dieser
und zugleich den Grenzbe-
Differentialgleichung
dingungen zu genügen, setzen wir
r]
wo
=A cos^ X. sinnt + FBmp x.ünnt +
Ä, F,
schrieben
O
sinp x cos n
.
zu bestimmende Constanten sind und p
Für
ist.
a;
=
ixur
n
t,
(243)
\
~ ge-
.
erhalten wir
r}
= A^innt,
wie die eine Grenzbedingung es verlangt.
der zweiten Grenzbedingung bei x
—
l
Es
ist
daher nur noch
zu genügen.
Diese ergiebt:
— mn^[A cosp Ismnt F?,mp sinnt G sinp cos n
= +p SAmxplsmnt—p SFcospl sinnt —p S Gcosplcosnt
— f^A cosp sinnt — p Fsinp lainnt — f^ sinp cos n
— ng^Acospl cosnt — w^^^i'^sin^Zcosw^ + ng^ Osinplsinnt
-{-
l
i']
-\-
(244)
l
Sowohl die Coefficienten von sinnt wie auch diejenigen von
cosnt müssen auf beiden Seiten einander gleich sein.
Mithin
ist
--mn^[A cosp l + Fsinp l]
= (jpSA — p F+ ng^ O) sinp
l
-{pSF+pÄ)cospl
— mn^Osinpl= — {p O + ng^Fjsinpl
— {^80 + ng^ Ä) cos
(245)
j? l
MIITHEILUNG DER SCHWINGUNGEN AN DIE LUFT.
§43.
Das
Sie
sind zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten
können auf die Form gebracht werden:
F
— mn^sm.pl + p SQ,o^pr\.F — ng^^inpl. O
= [^p Ssimpl — {f — mw^cQ9.pX\.A
—
[(/^
m n^) sin + p 5 cos^? V\.Q -^ ng^ sin^
= — ng^cospl.Ä
147
und
O.
[(/^
j? /
l
C und
Definiren wir die Hilfsgröfsen
P — mn^ =
pS =
so
k durch die Gleichungen:
g
Ccosk
(246)
(7 sin
k
I
können wir schreiben:
C8in(pZ
GBin{p
Nach
F
+
k).0
l •\-
und
G
O = — Gcos{pl-\- k).Ä
+ ng^ sinp l.F= — ng^ cosp A
k).F—ng^svü.pl.
l
C^8m{2pl
C2 sin2 (p
G^ sin^
l
A;)
(247)
(i> i
+ Ä) + n^g^ sm^pl
Der Factor g\ dem der Luftwiderstand
A.
proportional
bei Streichinstrumenten als klein vorausgesetzt werden.
die
G
A
(245 b)
+ 2k) + n^g*sm2pl A
+ + n^g^ sin^p
Z
ng^ CsinÄ;
Q= -
F
von——und
A
1
.
aufgelöst, liefern diese Gleichungen:
F^ -
ist.
(245 a)
.
ergeben
Nur dann wird
den
Ist
kann
nur dann, wenn sin(pZ4-^) klein
also die Saite zu starkem
Stimmgabel angeregt.
der Resonanzboden
sich
ist,
GrofseWerthe
Mitschwingen durch
die elastische Kraft
f^,
mit welcher
Steg in die Gleichgewichtslage zurückzu-
führen strebt, grofs, so dafs
p — mn^
grofs gegen
Folge der Gleichungen (246) klein und sin {p l
mit sin^Z übereinstimmen.
in
pS
+
k)
wird, so ist k
wird nahezu
Die Bedingung des starken Mitschwingens geht daher für kleine
Werthe von k in die Bedingung über, dafs sin^Z klein sein mufs.
Das heifst nichts anderes, als dafs der Ton der Stimmgabel mit
einem der Eigentöne der Saite übereinstimmen mufs, die der Saitenlänge von der Stimmgabel bis
zum Stege
entsprechen.
Sache deshalb wichtig, weil man bei passender
Einrichtung der Saite, die also auf einem relativ festen Stege liegen
mufs, sehr leicht mit einer Stimmgabel, deren Stiel man wie einen
Steg zurecht gefeilt hat, durch Hin- und Hergleiten an der Saite
diejenige Saitenlänge auffinden kann, welche mit der Stimmgabel
Praktisch
ist die
10*
ZWEITER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
148
Da
isocilron schwingt.
Ton der
schwillt nämlich der
an.
Den Stimmgabelton
Ton der Saite sehr stark
hört
man
Saite sehr stark
sehr wenig; dagegen wird der
Aufserdem
hörbar.
§ 44.
ist
zu berücksichtigen,
dafs die Stimmgabel nur unharmonische Obertöne hat
und eben
des-
halb nur der Grundton der Schwingungen und nicht ihre Obertöne,
an den Eesonanzboden des Instruments übertragen werden kann.
Man mufs nur darauf achten, dafs man mit dem Finger hinreichend
stark gegendrückt, so dafs kein Klirren zwischen der Stimmgabel
und der
Wenn
Saite entsteht.
solches Klirren entsteht, d.
i.
ein
Springen der Stimmgabel, wobei die Saite losgelassen wird, so giebt
das Schwingungen, welche nicht aus einer einzigen Sinus-Schwingung
bestehen, sondern es treten noch hohe harmonische Obertöne hinzu.
Das
giebt sich
auch sehr
leicht
durch die Klangfarbe zu erkennen.
Die Klirrtöne sind verhältnifsmäfsig scharf und dadurch leicht von
den Tönen zu unterscheiden, welche ohne Klirren auf die Saite
Man
übertragen werden.
Töne, wenn
man
erhält natürlich dieselben verstärkenden
doppelte Länge
die
der Saite
nimmt und
die
Stimmgabel auf den entfernteren Knotenpunkt einsetzt. Wenn es
aber darauf ankommt, die Saitenlänge zu bestimmen, welche dem
Tone der Stimmgabel
entspricht,
mufs
man
die kürzeste Saitenlänge
suchen, welche starkes Mitschwingen hervorruft.
Zweiter Abschnitt.
Die Schwingungen Ton elastisclien Stäben und Luftsäulen.
§ 44. Die Longitudinalschw^ingungen eines elastischen Stabes.
Bei der Aufstellung der Bewegungsgleichung für die Saite in
§ 36 hatten wir vorausgesetzt, dafs auch longitudinale Verschiebungen in Richtung der x-Axe, der Länge der Saite, vorkommen
können.
zeichnet
Wir
hatten
und dann
wir in der
die
entsprechende Verschiebung mit | be-
die Bewegungsgleichung (174) gefunden, welche
Form
schreiben können,
wenn
a^
= EO
gesetzt wird.
DIE LONGITUDINALSCHWINGUNGEN EINES STABES.
§ 44.
149
Dieselben Verhältnisse liegen nun vor bei der Bewegung eines
Stabes, der ja auch nicht nothwendig eine Biegung zu
elastischen
dem auch allein Longitudinalbewegungehen können. Die obige Form der Differentialgleichung
erleiden braucht, sondern bei
gen vor sich
wie wir schon sahen, dieselbe wie diejenige für die transversalen
ist,
Schwingungen einer
formen,
Daraus geht hervor, dafs wir die IntegralSchwingungen einer Saite
Saite.
wir für
die
transversalen
die
gefunden haben, auf den Fall der Longitudinalschwingungen eines
elastischen Stabes unmittelbar übertragen können.
Es
ergiebt sich wie früher:
= F{x +
^
wo a
seine
werden
Bedeutung
als
dem Stabe
also in
at)-\-
G{x
— at),
Fortpflanzungsgeschwindigkeit
einzelne Theile gegen ihre Nachbartheile
verschoben, und diese Verschiebungen werden sich in der
Wellen
fortsetzen, die
Es
zeigt.
theils
nach dem einen,
Form von
nach dem an-
theils
dern Ende ablaufen.
Was nun
den Einflufs der Enden des Stabes
diese verschiedenen
Bedingungen unterworfen
Erstens können
dafs
sie
können.
sie
ganz festgelegt
sein,
so
können
wie bei der Saite, so
der Richtung des Stabes machen
keine
Bewegungen
Dann
erhalten wir gerade wie oben
I
betrifft,
sein.
in
= F{x + at) — F{at— x)
nnd
wo
a;
dem
==
einen
Die Bewegung
spricht.
= F{at + t)-F{at-l),
Ende, x = dem andern Ende
l
ist
des Stabes ent-
aus zwei einander entgegenlaufenden Wellen-
zügen zusammengesetzt, und wir können den Einflufs eines festen Endes
des Stabes in
wir
sagen,
Bezug auf
jede
reflectirt, so dafs
wissen
ans
die
Ende
Wellenzüge dadurch bezeichnen, dafs
Welle wird entgegengesetzt
laufende
longitudinale Schwingungen, welche in einem ge-
Momente gegen das Ende
gerichtet sind,
Longitudinalschwingungen zusammentreffen,
gesetzte Richtung haben.
am
Dadurch wird
die
am
Stabende mit
welche die entgegen-
gesammte Verschiebung
Stabende gleich Null.
Es
sind
Saite, bei
nun aber auch andere Bedingungen möglich.
Eine
welcher wir Querschwingungen beobachten wollten, mufste
gespannt sein und daher mulsten die Enden festgelegt werden,
den Zug
um
anzubringen, der auf die Saite einwirkt; aber einen longi-
tndinal schwingenden Stab brauchen wir nicht zu spannen,
Art von Schwingungen
möglich
zu
machen.
um
diese
Deshalb kann ein
ZWEITER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
150
des
es
mufs daher die Kraft, die auf das
einwirkt,
gleich Null
da
-^
Querschnitt proportional
Nun war
sein.
statt-
wenn
freie
Ende
des
der Druck in einem
gefunden.
wenn
Dieser Differentialquotient drückt,
relative Verlängerung,
er negativ
ist,
er
positiv
die relative
Die Kraft, die auf den Querschnitt wirkt,
aus.
freien
auch keine Druckkraft entstehen, welche auf den Stab
und
Stabes
einem
und Verdünnung
Stabes kann keine Verdichtung
finden, also
wirkt,
An
auch mit freien Enden schwingen.
solcher Stab
Ende
§44.
dieser
ist
Damit nun
längerung oder Verkürzung proportional.
ist,
die
Verkürzung
~-
Ver-
an dem
\J Qu
Ende Null
sei, haben wir | aus zwei entgegengesetzt laufenden
Wellen zusammenzusetzen, von denen die eine die Reflexion der
aber nicht mit entgegengesetztem | wie im ersten Fall,
sondern mit gleichem |. Wenn z. B. bei a;
ein freies Ende
andern
ist,
=
zu setzen:
liegt, so ist
^=^ F[x-\'
denn
es ist
dann
Daraus
folgt
at)
-^ für =
für alle
a?
eine
+ F[at-
x)\
Werthe von
gewisse Verschiedenheit in
t
gleich Null.
dem Verhalten
der schwingenden Stäbe, je nachdem beide Enden fest gelegt oder
beide frei sind, oder das eine fest gelegt und das andere
wir einen Stab, der an beiden
Enden
befestigt ist,
trachtete Saite war, so wird eine Welle,
läuft,
nach
frei.
Haben
wie es die be-
die gegen das eine
Ende
von diesem Ende entgegengesetzt zurückgeworfen werden, wird
dem andern Ende
reflectirt
werden, so dafs
fortlaufen,
sie
in der sie ausgegangen
ist,
ganze Periode vollendet
sein,
des Stabes durchlaufen hat,
für die
gegeben
dann
und
wieder entgegengesetzt
schliefslich in derselben Gestalt,
wieder ankommt.
Es wird
also eine
nachdem die Welle zweimal die Länge
und die Dauer der gröfsten Periode
Schwingung eines solches Stabes wird also durch die Zeit
sein, welche die Welle braucht, um zweimal die Länge des
Stabes zu durchlaufen.
Nun
Stab sich in zwei Hälften
ist es
theilt,
natürlich auch möglich, dafs der
in
denen gleiche Wellen laufen,
so dafs die Zwischenzeit halbirt wird, oder dafs der Stab sich in drei
Theile theilt
u.
s. f.
Aehnliche Verhältnisse bestehen, wenn der Stab
an beiden Enden frei ist. Wenn wir dann eine Welle betrachten,
die gegen das Ende des Stabes abläuft, so wird sie reflectirt werden,
aber in derselben Gestalt, nur wird
sie
nach der Reflexion sich in
DIE LONGITUDINALSCHWINGUNGEN EINES STABES.
§44.
Wenn
entgegengesetzter Richtung fortpflanzen.
sie
151
wieder an die
kommt, so wird noch nicht derselbe Zustand eingetreten
Sie
sein, weil die Welle in der entgegengesetzten Richtung läuft.
mufs erst zum zweiten Mal am andern Ende reflectirt werden, um
mit dem gleichen Sinn der Elongation auch gleiche Fortpflanzungsrichtung zu bekommen. Wenn sie dann einmal hin und her geerste Stelle
gangen
also die
ist,
Länge des Stabes zweimal durchlaufen
hat, so
wird der ganze Stab wieder in den alten Zustand zurückversetzt sein.
Die Periode des Grundtons
Anders verhält es
gemacht und das andere
des Stabes zweimal durchlaufen
Ende des Stabes
das eine
Dann wird
ist.
fest
eine Welle, die gegen das freie
Weise
in der
Länge
sich, wenn
die Zeit, in welcher die
ist also
reflectirt
Wenn
werden.
dem
einmal nach
und
erst,
wenn
zurückgeworfen
ist,
Ende
mufs nun
wieder den
zweiten Mal
ist,
und
also
ersten
sie sich
erst
noch
werden
Ende des Stabes
zweimal ganz hin und her gelaufen
zum
Zustand des
folgt, dafs ein
mit
sie jetzt
laufen, wieder zurückgeworfen
sie
vom
festen
viermal die Länge des Stabes durchlaufen hat,
d. h.
Daraus
freien
Sie
hat.
sie
daher die
Welle wieder an ihrem ersten Platze ankonmit, so wird
von ihrem früheren Zustand dadurch unterscheiden, dafs
die entgegengesetzten Elongationen
frei ist.
an diesem
Hier wird
ies Stabes zurückläuft.
entgegengesetzter Elongation
abläuft,
Elongation bekommt, aber
reflectirt, dafs sie dieselbe
nach dem festen Ende
Ende
Stabes
Ende
Stab, dessen eines
frei,
wird
sie
repräsentiren.
vollständig
dessen anderes
Längsschwingungen ausführen wird, welche eine
doppelt 80 lange Periode haben, als die des an beiden Enden festDiese Uebergemachten oder an beiden Enden freien Stabes.
bestätigt:
einlegung wir dnun auch in der That durch den Versuch
Ende
befestigt ist,
seitig befestigte
Stäbe geben tiefere Töne.
Auch aus der Form
des Integrals kann derselbe Schlufs ge-
zogen werden.
Es war
+
i=^F{x
nun
Soll
bei
x
=
at)
ein festes
+
G{x
Ende
F{at)+ G{-at)
und, da
t
ganz beliebig
- at).
sein, so folgt
=
so ergiebt sich daraus
ist,
0{x
—
=
F{x
at)
= —
F{at
— x),
mithin
^
+
at)
— F{a — x).
t
(248)
ZWEITES THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
152
nun
Soll
x
bei
=
l
Ende
ein freies
-^ = F' (x+
liegen, so mufs,
at)
oX
die
Bedingung
wenn x
+
für at
—
+ F' (at-x),
F'{at-r)
=
(249)
0,
geschrieben wird,
l
+
21)=
-r
(249 a)
{z).
folgt:
ir(»
und
+
at)
F'{%
Daraus
da
erfüllt sein
F'{l
oder,
§44.
+
2
= - F{z) +
Z)
Const.
(250)
folglich
F{»
+
=
4l)
Die Periode der Bewegung
F{x).
(251)
daher gleich
ist
41
,
also doppelt
a
so grofs wie in
dem
und ebenso
sind
Falle,
wo
beide
Enden
fest
oder beide Enden
frei
grofs wie die Periode eines Stabes mit zwei festen
oder zwei freien Enden, dessen Länge 21
ist.
Ueberhaupt ist der
Ausdruck für | von gleicher Form wie der Ausdruck, den wir bei
einem Stabe von der Länge 21, bei dem beide Enden frei oder
beide
Enden
fest sind,
Bedingung für
F
F{x
ist,
die bei
erfüllt
erhalten haben.
Nur kommt
hier noch die
hinzu, dafs
+
dem Stab mit
- F{x) +
2l)=
zwei festen oder zwei freien
Indem wir
zu sein braucht.
Const.
Theile theilen, können wir die Gleichung auch in der
F{z+2r)--^=2
schreiben.
Nun
^
-
a
aufnehmen.
Dann haben
If{z)
^
\
G
—
läfst sich
nicht
- 4)
Form
(250a)
2
mit in die Definition der Function F
wir
F{x
+
2l)=
- F{z),
während | denselben Ausdruck behält:
i=
Enden
die Constante in zwei gleiche
F{x
+
at)
—
F{a
t
—4
(250b)
DIE LONGITUDINALSCHWINGUNGEN EINES STABES.
§ 44.
Entwickelt
man
153
F{x) in eine FoüEiEB'sche Reihe
„,
_-,
^
anx
.
[
„
.
und
so fallen infolge der Gleichung (250 b) A^
Periode gleich 21,
2121
-ö-
-^
,
>
•
•
und nur
ist,
•
anx\
.
4/
41
41
deren Periode gleich 41, -^, -^, -s->--
alle Glieder weg,
deren
diejenigen bleiben übrig,
Umgekehrt, wenn
ist.
F{x) nur aus Gliedern der letzten Art zusammengesetzt
ist,
so ist
Bedingung (250b) erfüllt Daher können wir sagen, dafs ein Stab
von der Länge / mit einem festen Ende bei x=0 und einem freien
Ende bei x = l sich, was seine longitudinalen Schwingungen betrifft,
gerade so bewegt wie die eine Hälfte eines Stabes von der Länge
und x = 2l fest ist, wenn alle Töne, die bei x = l
21, der bei a: =
einen Knotenpunkt haben, nicht miterregt werden.
die
Durch
und
die Gleichungen (248)
auch die Bewegung
(251) ist
=—
der bei x
eines Stabes dargestellt,
und x
l
=+
l
freie
Enden
Denn da
hat.
= -F'{x),
F'{x-{-2t)
oder auch
F'{z
so wird
-—
-
oX
bei x
=—
eines Stabes von der
Ende
ist
l
+
l)=-F'{x''l),
und x
Länge
l
=
-{- 1
verschwinden. Die Bewegung
mit einem festen und einem freien
daher auch gleich der Bewegung der einen Hälfte eines
Stabes von der Länge
Man kann
21,
dessen
Enden beide
frei sind.
durch die Longitudinalschwingungen von Stäben sehr
reine harmonische
Töne hervorbringen.
Nur
zu bemerken, dafs
ist
immer ganz
eine Befestigung eines Punktes des Stabes nicht
kommen
voll-
werden kann, weil die steiferen Stäbe, deren
den Wellen eine schnelle Fortpflanzungsgeschwindigkeit
wie Stahl oder Glas, verhältnifsmäfsig schwer sind und mit
erreicht
Material
giebt,
ziemlich grofser Kraft auf ihre Befestigungsstelle einwirken, so dafs
man
die Befestigungsstelle
mufs, wenn
man
schon sehr massig und stark einrichten
erzielen will,
des befestigten Theiles eintritt
dafs
man den
nur
einen
Man kann
dafs keine merkliche Erschütterung
immer zu machen,
Enden schwingen läfst und nun
Viel leichter ist es
Stab mit zwei freien
Knotenpunkt desselben
als
Befestigungspunkt benutzt
ihn zwischen den Fingern halten.
Dadurch wird der
ZWEITER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
154
Stab nicht gehindert, seine Schwingungen
§44.
auszuführen, weil der
frei
Punkt eben in Ruhe bleibt und von den Schwingungen
nicht afficirt wird. Aber bei sehr leichten Stäben, z. B. aus Tannenholz, die man zu der sogenannten Holzharmonika braucht, kann
man auch die Enden hinreichend sicher befestigen. Es ist dieses
deshalb bequem, weil man die Stäbe nicht noch besonders zu halten
braucht, während man sie anstreicht.
festgehaltene
Genau dieselben Fälle hat man bei Torsionsschwingungen von
runden Stäben zu unterscheiden. Wenn runde Stäbe an einem Ende
eingeklemmt sind, kann man sie durch Reiben mit dem Violinbogen
oder auch mit dem nassen Finger (bei kurzen Stahlstäben geht es
dem
sehr gut mit
Dabei
die
ist
in Torsionsschwingungen versetzen.
Violinbogen)
die Kraft, welche das eine
Grleichgewichtslage
Element gegen das andere in
strebt, den Unterschieden
zurückzuführen
Wenn
der Drehungswinkel proportional.
wir die letzteren mit
w
bezeichnen und die Länge des Stabes als Coordinate nehmen, so
ist
die
potentielle
Energie
proportional
^i
für
gleich einer Constanten
Die
Gleichung
—
Man bekommt
.
d fO
wenn man -^-^
ähnliche Gleichungen wie die bisherigen,
Trägheitsmoment
[-^
^^
<^6m
den Querschnitt des Stabes multiplicirt und
e
wird
multiplicirt mit -^
ebenso
abgeleitet
^
setzt:
wie
der Saiten-
die
schwingungen und der Longitudinalschwingungen von Stäben, wo
-^\
Ende
der potentiellen Energie proportional war.
können
keine
Kräfte
an dem eingeklemmten Ende
also
genau
schwingungen
dieselben
der
wirken,
a>
=
da
sein.
Man würde da
einem freien
—
=
mufs -^
0,
oX
Dadurch ergeben
Bedingungsgleichungen
Stäbe.
An
die
für
und
sich
Torsions-
auch darauf rechnen
müssen, harmonische Obertöne zu bekommen, wenigstens bei sehr
langen Stäben, nämhch den ersten, dritten, fünften
Stäben, welche an einem
Ende
frei,
am
u.
s.
w.
Ton
bei
andern eingeklemmt sind,
und gleichzeitig auch die geraden Obertöne bei solchen Stäben, welche
an beiden Enden eingeklemmt, oder welche an beiden Enden frei sind,
DIE SCHWINGUNGEN EINER LUFTSÄULE.
§ 45.
man
wobei
155
aber eine Stelle des Stabes festhalten mufs, in die ein
Knotenpunkt
Praktisch werden übrigens fast nur die Stäbe
fällt.
der sogenannten WnEATSTONE'schen Stabharmonika gebraucht, Stäbe,
welche in festen Holzgestellen mit Kesonanzboden stecken und mit
dem
Violinbogen gestrichen werden.
Auf
Biegungsschwingungen elastischer Stäbe
die Theorie der
wollen wir nicht näher eingehen, sondern nur bemerken, dafs
auch die gewöhnlichen Saiten, wenn
immer
man
streng verfahren
man
will,
Stäbe betrachten mufs, die zwar eine Spannung haben,
als
aber daneben auch noch vermöge ihrer Festigkeit einen Widerstand
gegen die Verbiegung
Die Schwingungen einer Luftsäule.
§ 45.
Die eben
leisten.
für
dargelegte
elastische
feste
Stäbe gültige
Be-
trachtungsweise kann nun mit wenig Aenderungen auf Luftsäulen
übertragen werden,
Sie
sind.
wenn
welche,
welche
ebenfalls
sind
sie
irgendwo
Röhren eingeschlossen
Massen zu betrachten,
Längsverschiebungen in den
cylindrische
in
elastische
als
durch
Röhren zusammengedrängt werden, eine Widerstandskraft erregen
und, wo
sie
gedehnt werden, einen verminderten Druck erhalten,
und deshalb immer
ihre Dichtigkeit auszugleichen streben.
Luftsäulen mit festen
Man
versetzt
Enden
z.
Enden
zeigen die
Phänomene sehr
leicht.
B. die Luft in Glasröhren in Schwingungen.
sind dabei mit Stopfen versehen,
Die
von denen der eine mit
einem Stabe verschoben werden kann, so dafs man die Länge
der Luftsäule verändern und dadurch die Röhren auf eine gewünschte
Tonhöhe abstimmen kann. Die Luft im Innern wird meistens dadurch in Schwingungen gesetzt, dafs
als
Endverschlufs
Längsschwingungen
durch
man den
dienende Kork befestigt
versetzt.
mehr oder weniger
ist,
Stab, an
durch
dem
Reiben
der
in
Die Länge der Luftsäule wird dann
tiefe
Einschiebung
des
Korkes
ge-
Ton einem Eigenton der Luftsäule entDann entstehen sehr starke Schwingungen, und wenn man
ändert, bis der zugeleitete
spricht.
Röhre gestreut hat, so werden diese in
und zeigen ihre schwingenden Abtheilungen, so dafs man diese Methode vielfach benutzen kann, um
die Schwingungen sichtbar zu machen und die Wellenlänge für bestimmte Töne zu messen.
Man findet, dafs diese an beiden Seiten gesperrten Luftsäulen
mit beliebiger Anzahl ihrer Abtheilungen schwingen können, welche
trockene Pulver in die
heftige
Bewegung
versetzt
ZWEITER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
156
immer
es
bei
offenen
§45.
einer halben Wellenlänge der Luft entsprechen.
einer Luftsäule
Enden
einer
mit einem offenen Ende.
Luftsäule
nicht
als
ganz
Anders
Man kann
frei
ist
die
von fremden
Kräften betrachten, weil in der That hier die Schallbewegung in
den freien
Eaum
einer solchen
übergeht.
Röhre sehr
Es
ist
klar,
viel freier ist,
dafs die Luft
als
am Ende
die eingesperrte Luft
im Innern; aber sie ist nicht absolut frei, und dadurch entstehen
Abweichungen von den Gesetzen, die bei einem Stabe gelten,
dessen eines Ende frei ist. Wir werden später auf diesen Umstand
zurückkommen.
kleine
Dritter Theil.
Die Schallbewegung im Räume.
Erster Abschnitt.
Die allgemeinen Formeln.
§ 46.
Die hydrodynamischen Gleichungen und das
Wellenpotential.
Bei der Ableitung der Bewegungsgleichungen für die Schall-
bewegung können wir den
dem
weil die Luft unter
gewichtszustande
ist,
welche Abweichungen
es
ist
kommt nur
Einflufs der Schwerkraft vernachlässigen,
Einflufs der Schwerkraft schon
und wir nur
vom Gleichgewichtszustande hervorbringen, d. h.,
Der Druck
ausgeübt wird.
ein Flächenstück
dydz
vermöge der
Wenn
Elasticität auf die Einheit
wir ihn mit
betrachten, so
ist
pdyd%
p
also eine Kj-aft, bei
massen
diesseits
bezeichnen, und
der Druck, der von
beiden Seiten her auf diese Fläche ausgeübt wird.
Wenn
Grleich-
auf die Aenderungen des Luftdruckes an.
diejenige Kraft, welche
der Fläche
im
die Kräfte zu betrachten haben,
Dieser Druck
ist
der die verschiedenen Lufttheilchen oder die Luft-
und
jenseits der
Fläche sich im Gleichgewichte halten.
wir aber ein parallelepipedisches
Volumen
betrachten, so wird
der Druck auf der einen Seitenfläche im Allgemeinen von
dem auf
der
gegenüberliegenden Seitenfläche sich unterscheiden. In Folge dessen
wird Bewegung eintreten.
bei
Wenn
wir auf der Seitenfläche
dydz
X den Druck p dy dx haben, so wird er auf der gegenüberliegen-
den Fläche bei
ic
+ cte
gleich \p
+ -^dx\ dydz
sein.
Ist
-^^
posi-
Druck bei x + dx, der das Volumtheilchen in der
Richtung der abnehmenden x zu treiben strebt, über den Druck
tiv,
so wird der
DRITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
158
bei X,
§ 46.
der es in der Richtung der wachsenden x zu treiben strebt,
Es wird
überwiegen.
also die Kraft
X = — -^— dx dyd%
übrig bleiben, die auf das Volumtheilchen wirkt.
dp
Bei negativen Werthen von -^^
übrig
Kraft an,
bleibende
die
wachsenden x wirkt, wie das
Ist € die Dichtigkeit
die
Sollen
die
an der betreffenden
aus der Masse
nun
aber dann in
Raumes und
x,
%
y,
Zeit betrachtet
sie
t
an der
theilchen zukommt, so
der
w
v,
sein.
oder
betreffenden
als
des
Stelle
werden, also unter u die Ge-
dem
in
x befindlichen Flüssigkeits-
Stelle x, y,
die Beschleunigung des Flüssigkeitstheil-
ist
—
gleich -^
chens nicht etwa ^
dt
'dt—
zu setzen: denn-^^
rung von u messen, die an der betreffenden
haben aber hier
gleich
auch nennen können,
schwindigkeit parallel der aj-Axe verstanden werden, welche
dem Augenblick
der
dx dy dz
X
dx dy dz und ihrer Beschleunigung
«
Coordinaten
der
Stelle, so dafs e
Geschwindigkeitscomponenten u,
die
der
der Eichtung
mufs die Kraft
darstellt, so
Strömungscomponenten, wie wir
Functionen
Ausdruck die
positive Zeichen der Kraft es anzeigt.
Masse des Volumtheilchens
dem Product
giebt derselbe
die Beschleunigung,
würde die Aende-
Stelle stattfindet.
die
d. h.
Wir
Aenderung der Ge-
schwindigkeit zu suchen, welche das fortschreitende Partikelchen hat.
Dieses ändert mit der Zeit seinen Ort.
Coordinaten gleich x-\-udt, y-\-vdt, z
Wenn
du
du
,
dt
-\-
dt
und daher für
dt sind seine
geworden.
-^
dx
,
u-dt
du
+ -^dy
in der Zeit dt der
du
,
v-dt
-f-
-^
Ausdruck
w -dt,
die Beschleunigung
du
dt
+
U
du
dx
--T^
du
1-
V- —^
Diesen Ausdruck, den wir mit [-r—
e
+ wdt
t -{-
wir dies berücksichtigen, so ergiebt sich für die Aende-
rung der Geschwindigkeitscomponente
mit
Zur Zeit
dy
f-
w
du
dz
bezeichnen wollen, haben wir
dx dy d% zu multipliciren und gleich
dp
— ~dx dy dz
zu setzen.
§
HYDRODYN. GLEICHUNGEN
46.
Heben wir auf beiden
du
Seiten
dxdydx
WELLENPOTENTIAL.
fort, so bleibt die
du
du
dx
.
dt
U. D.
du
dx
dy
Gleichung
dp
,«^«.
dx
Die analogen beiden Gleichungen gelten für die
159
^
'
anderen beiden
Componenten.
Bei der Schallbewegung haben wir es nun mit Bewegungen zu
thun,
bei
denen wir u,
Auch
betrachten dürfen.
als
verschwindend klein;
v,
w
als
verschwindend kleine Gröfsen
ihre Differentialquotienten betrachten wir
d. h. also,
es
dürfen nicht sehr schnelle
Aenderungen in den Werthen von u, v, w beim Uebergang von
einem Punkt zu einem benachbarten oder von einem Zeitpunkt zu
einem benachbarten vorkommen. Dann sind die drei letzten Theile
der Knken Seite der Gleichung (253) kleine Gröfsen zweiter Ordnung
und können gegen
Wir haben daher
die Gröfsen erster
bei der Schallbewegung das Eecht,
du
-^— zu
Ordnung vemachläfsigt werden.
[—7—
durch
So erhalten wir die Gleichungen:
ersetzen.
du
dp
~~d^^^~dT'
dp
dv
(254)
~dj^ 'TT'
dw
dp
~
~dx
^~dT'
Nun müssen
wir noch eine vierte Bewegungsgleichung bilden,
welche die Aenderung der Dichtigkeit ausdrückt.
Die Aenderung
dxdydx, die in dem Volumen dxdydx enthalten ist,
kann nur von der Aenderung der Dichtigkeit b abhängen. Denn das
Volumen bleibt dasselbe, da x, y, x die Coordinaten eines festen Punktes
sein sollen.
Die Aenderung der Masse in der Zeit dt ist gleich
de
^— -dxdydx.d Diese Aenderung mufs gleich sein der Masse, die
der Masse
s
t.
iu der Zeit dt
m
das Volumen einströmt, vermindert
die in der gleichen Zeit ausströmt.
können wir aber
bei x
in
leicht berechnen.
der Zeit dt die Masse
gesetzte Fläche bei
a:
Was
um
die Masse,
einströmt und ausströmt
Durch die Fläche dydx strömt
tu dydx dt, durch die entgegen-
+ da: strömt die Masse
[eu
-\
^
-dx\ dydx dt.
DRITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
160
Das Vorzeichen
giebt an, ob die
Strömung
§46.
in der Eichtung der posi-
tiven oder der negativen a;-Axe vor sich geht.
Der Unterschied
—^
- dx dy dz dt
ist
gleich der Masse, welche
durch die beiden zur a?-Axe senkrechten Seitenflächen aus dem Parallelepipedon ausströmt, vermindert
Analog
einströmt.
die
Massen
dar, die
um
die Masse, welche durch sie
u ^(s v\
ö (e iv\
- dx dy dx dt bezw.
- dx dy dz
—Oy
stellen
—öz
i;
durch die zur y-Axe bezw. z-Axe senkrechten
Seitenflächen in der Zeit dt ausströmen, vermindert
dieselben Flächen einströmenden Massen.
^«
,
,
,
,
-^r—dxdydzdt
^
dt
—
dt
<5(6W)
^
dx
,
,
,
um
die durch
Mithin haben wir
ö(«^) , , , ,
-^ —dxdydzdt
^
,
-dxdydzdt
'^
dy
(255)
— —~—- dx dy dz dt.
uz
und wenn wir den Factor dxdydzdt wegheben:
dx^
dt
Für den
'
dy
^
dz^
'
^
'
Fall verschwindend kleiner Geschwindigkeiten
ist
'
nun aber
zu berücksichtigen, dafs auch die Unterschiede der Dichtigkeit ver-
schwindend klein sein werden. Wir werden also anstatt 6 einen
Ausdruck von der Form B^^+de gesetzt denken können, wo «^
constant und ds zwar veränderlich, aber sehr klein und ebenso die
Differentialquotienten von 8b sehr klein sein sollen.
Wir können
dann die Producte der Differentialquotienten von §b mit u, v, w weglassen, und,
indem wir
die Gleichung (255 a) durch
—s
dividiren,
schreiben
lös
Diese Gleichung
tritt
Der Druck p, der
du
dw
dv
noch zu den drei Gleichungen (254) hinzu.
den Gleichungen (254) vorkommt, wird als
in
Function der Dichtigkeit
«
vorausgesetzt.
Daher
ist
dp _ dp dB
dx
de dx
Da nun
b
bei der Schallbewegung sich nur wenig ändert, so
dp
wir -iT— als constant betrachten können.
rungen von
b
werden wir
bis
Denn
auf Gröfsen
für kleine
zweiter
werden
Aende-
Ordnung jede
§ 46.
HYDRODYN. GLEICHUNGEN
Function von
s
als
dp
jedenfalls
6
Werth haben, und wir
dafür schreiben.
Dann können
"Wenn wir nun diese Ausdrücke
so gehen diese über in
-äT
dt
wollen,
dx
um
dies
anzudeuten, a^
'
ÖS
(257)
dy
ÖE
„
/,2
a"
in die Gleichungen (254) einführen,
l\f\a
^= —
— a^ -^— (log
=
«^
c)
n.''
T^rr^
dx^
dt
Daher wird -~- einen
zu.
wir also setzen:
dx
dp
dy
dp —
=
—du- =
161
Der Druck
können.
betrachten
eine lineare
nimmt mit wachsendem
positiven
WELLENPOTENTIAL.
U. D.
'
/7<5
a2
-^—
dx
log
—
Sq
= — a ^— (log = — «2 ^_ log
dy °
€)
dy
^
'
(258)
,
6q
dw
~dT
Nach der Gleichung
(256) ist femer:
^
^
--|^(log«)Daraus
läfst sich
nun
noch log 6 oder log
_du
dw
^.
'^j^d^'^'d^'^'dz
^
i\
\
leicht eine
\
dv
(259)
Gleichung bilden, in welcher nur
— vorkommt.
Dazu wird
die Gleichung
nach
d^v
d' w
können wir uns
dt dy
dt dz
aber aus den Gleichungen (258) bilden, indem wir die erste nach x,
die zweite nach y, die dritte nach x differentüren.
Das giebt:
t
differentürt.
-
-Q^ (log «)
Die Werthe
d^ u
dt dx'
*
= - a^ 1^^ Gog +
«)
^
(log
€)
+
^^ aog
^)\
(260)
oder
d^
=
^^(log6)
a2.J(log«)
und ebenso
\
^(log.'.)
H. V. HsLHHOLTZ, Theorot Phjsik.
Bd.
= a^^(log-l-),
m.
11
(260 a)
DEITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
162
WO
die
Summe
§46.
der zweiten Differentialquotienten, die auch in ande-
ren Theilen der matliematisclien Physik eine grofse Rolle
dem Zeichen A
Wenn
log
bezeichnet
oder log
«
spielt,
mit
ist.
—
aus der Gleichung (260 a) gefunden
ist,
«0
so
finden wir aus den Gleichungen (258) die Differentialquotienten
-^1
dt
^rdt
-^r-j
dt
Zeit u,
V,
w
Wir würden
.
also durch eine Integration
selbst erhalten.
Wir können den Gleichungen noch
indem wir
nach der
m,
v,
w
eine andere
Form
geben,
Differentialquotienten einer Function aus-
als
du
dv
dw
dt
dt
dt
der Ausdrücke für -^
drücken. Durch Integration
°
in
den
Gleichungen (258) erhalten wir nämhch:
u
=
\fioeläi}
+
= -'''w~M">K/'} +
W=
WO
Cj,
Cg
Cg,
von
Wenn nun
t
-^'w-Af"'4") +
c.
(261)
''^
''^'
unabhängig sind, jedoch
x,
y,
% enthalten
Bewegung aus dem Ruhezustand entsteht, so
würde der Werth von t^ so angenommen werden können, dafs zu
können.
der betreffenden Zeit
Cg
für alle
die
w
überall Null sind.
x,
y,
u, v,
Werthe von
% Null
sein,
Dann müssen
C^
,
0^,
und wir haben, wenn
t
"P
= —
«2
log
dt
I
gesetzt wird:
d(p
dx
V
=
d(p
~d^
dw
dx
(262)
EBENE WELLEN.
§ 47.
Man
nennt
das
(p
163
Geschwindigkeitspotential
oder auch
das
Wellenpotential.
Die Gleichung (259) geht in eine Differentialgleichung für
Denn
über.
y
es ist:
d(p
6
g.
mithin:
Ö log -
„2
.
a»' ö<2
dt
und daher:
^
Es
= «2.^9,.
(263)
ergiebt sich also für die Function
gleichung, wie für die Gröfse log
—
90
dieselbe Differential-
.
«0
Die Aenderungen der Dichtigkeit sind bei den SchaUbewegungen
relativ zur
Wir können
Dichte selbst klein.
die Verdichtung
«0
nennen.
Bezeichnen wir die Verdichtung mit
log^
=
log(l
^,
so ist:
+^)
«0
und, da ^ klein
Mithin
ist,
kann log (1
|)
=
^ gesetzt werden.
ist:
,=
Fall, bei
dem
die
-^^.
(263.)
Ebene Wellen.
§ 47.
Den
+
Luftbewegung in einer Röhre in der Art
vor sich geht, dafs die ganzen Querschnitte der Röhre sich überein-
stimmend bewegen, haben wir schon besprochen. Es sind dann,
wenn die Röhre der cc-Axe parallel angenommen wird, log « und (p
nur Functionen einer Variabein x. Dadurch reducirt sich A(p auf
den zweiten Diflferentialquotienten von (p nach x, und wir erhalten
die schon oben auf anderem Wege abgeleitete Gleichung:
dt^
~
'
dx^
11*
DRITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
164
Wir fanden oben das
§ 47.
Integral dieser Differentialgleichung in
der Form:
(p
=
F[x
+
a
/)
+
0[x
— at),
wobei a die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Welle
Da
a^
=
~
O
dp
gesetzt war,
so ergiebt sich also,
ist.
dafs die Fort-
6
Pflanzungsgeschwindigkeit
wie die Luft eine
ist,
Welle
der
in
elastischen
Flüssigkeiten,
wie es aber auch tropfbare Flüssigkeiten sind,
insofern sie compressibel sind,
immer
gleich der Quadratwurzel aus
dem
Differentialquotienten des Druckes
keit
ist.
genommen nach
der Dichtig-
Aus der Definition von cp folgt, dafs an denjenigen Stellen der
wo keine Geschwindigkeit, keine Verschiebung der Theilchen
Luftsäule,
stattfindet,
digkeit.
für
=
-^
OX
Wenn
beliebige
sein mufs;
also die
-^
OX
ist selbst
Enden der Röhre geschlossen
Werthe von
das heifst also, wenn
denn
t
wir
an den Enden -~uns die Werthe
einer Curve aufgetragen denken, so
würden
der Curve diejenigen Stellen darstellen,
wo
—
von
die
die Geschwinsind, so
sein
cp
als
würde
müssen,
Ordinaten
Maxima und Minima
die
Röhre geschlossen
sein kann.
Bilden die Werthe von
9p
eine Sinuscurve, so
kann
die
Länge
Enden geschlossenen Röhre nur gleich einer ganzen
Anzahl von halben Wellenlängen sein. Ist sie gleich a halben Wellenlängen, so schwingt die Röhre in a Abtheilungen, die auch durch
einer an beiden
unendlich dünne Wände getrennt werden könnten, ohne die
Bewegung zu ändern. Das ist die Schwingungsart in den Kundt'schen Röhren. Wenn wir dagegen freie Enden in dem Sinne haben
könnten, dafs an den freien Enden keine Aenderungen des Druckes
stattfinden, dann würde an dem freien Ende
feste,
sein.
Nun
in welcher
giebt,
ist
aber zu bemerken, dafs eine Röhre mit offenem Ende,
Schallbewegungen vor sich gehen, nothwendig Schall ab-
Abgabe des Schalles an die Luft kann nur dadurch
am Ende der Röhre noch Druckänderungen stattEs kann also an dem Ende der Röhre nicht unmittelbar
und
diese
geschehen, dafs
finden.
-^ =
sein:
denn sonst wäre keine Kraft vorhanden,
die
die
EBENE WELLEN.
§ 47.
äufsere
165
Wir müssen
Luftmasse in Erschütterung setzen könnte.
daher annehmen, dafs eine gewisse geringe Druckänderung
statt-
findet.
Die ebenen Wellen, die zur Oeffnung hinziehen, müssen in
kugelförmige Wellen übergehen,
um
sich
im Räume zu
verbreiten;
dabei sind die ersten von der ebenen Gestalt abweichenden Wellen
noch auf ziemlich enge Flächen beschränkt, welche für alle Mündungen nicht gleich grofs sind. Die Folge ist nun, dafs die Reflexion
des Schalles an den
flectirende Fläche in
Enden
so geschieht,
wenn
als
die re-
einer gewissen Entfernung von der Oeffnung
Die Länge des Rohres, bis zu dieser ideellen
des Rohres stände.
Länge" der Röhre bezeichnet,
während „die wahre Länge" bis zur wirklichen Mündung des Rohres
geht Die Untersuchung dieses Falles macht gröfsere Hilfsmittel
der Analyse nothwendig.
Es ergiebt sich, wie wir weiter unten
sehen werden, dafs z. B. bei den cylindrischen Röhren, deren Wand
im rechten Winkel abgeschnitten ist, der Unterschied zwischen der
Reflexionsfläche, sei als „die reducirte
wahren und reducirten Länge gleich dem mit
des Rohres
ist.
— multiplicirten Radius
Die Differenz wird geringer, wenn das Rohr sich
trompetenförmig erweitert, und dadurch der Uebergang zu Kugelwellen erleichtert wird, indem die Wellen schon früher anfangen,
in
Kugeln überzugehen, und
Form kann
läfst sich
bei
einer
gewissen
trompetenartigen
aber nur für wenige
Formen der Röhre durchführen.
Die Amplitude der zurückgeworfenen Wellen
grofs,
Die Rechnung
diese Differenz sogar gleich Null werden.
ist
niemals
so
wie die der ankommenden Wellen, weil ein Theil der Wellen-
bewegung nach aufsen hin verloren geht,
so dafs dadurch an
Ende der Oefinung kleine Differenzen entstehen, und die
dafs man an dem Ende eines offenen Rohres den Druck
Null zu setzen hat,
gilt
dem
Regel,
gleich
nur genähert.
Bei den elastischen Stäben hingegen findet am' freien Ende eines
Stabes eine
vollständige Reflexion
hier nichts von der
zu Ende, und es
der Schwingungen
Bewegung verloren geht
ist
Da
ist
statt,
indem
eben der Stab
kein weiteres Material vorhanden aufser der
leichten Luft, welches noch in Erschütterung versetzt
werden könnte.
Das ist aber bei der Luft nicht der Fall, sondern wir müssen das
Ende einer Luftsäule wie ein gedämpftes Ende betrachten. Die
Energie
der austretenden Schallbewegung geht ja der Energie der
Luftsäule verloren, und aufserdem
ist
der Druck nicht vollständig
constant, sondern es findet nur zwischen
dem Druck und der Ge-
166
DRITTER TH EIL. ERSTER ABSCHNITT.
schwindigkeit
am Ende
§47.
ein gewisses Verhältnifs statt, das durch die
Abgesehen von diesem
die Beobachtungen bei den offenen Orgelpfeifen
weitere Ausbreitung des Rohres bedingt wird.
Umstand stimmen
mit der Eegel überein, die von den elastischen Stäben hergenommen
ist.
Für die gedackten Pfeifen können wir eine beliebige Anzahl
von schwingenden Abtheilungen bilden, jede eine halbe Wellenlänge
Für
lang.
und ein geschlossenes Ende
reducirte Länge immer eine viertel Wellenlänge
Pfeifen aber, die ein offenes
haben, mufs die
Ueberschufs ergeben über eine Anzahl halber Wellenlängen, so dafs
wir
immer nur
eine ungerade
Um
haben können.
man
stimmen, kann
Anzahl von
viertel
Wellenlängen darin
Wellenlänge bei offenen Röhren
die
man
so verfahren, dafs
zu be-
zwei Pfeifen vergleicht,
welche verschiedene Länge, aber gleichen Querschnitt haben.
die Pfeifen zunächst
völhg gleich,
so setzt
man
Sind
auf die eine ein
Ansatzstück und wählt die Länge dieses Ansatzstückes
so,
dafs der
Oberton der verlängerten Röhre genau mit dem Grundton
erste
unverlängerten
der
übereinstimmt,
dann
gerade eine halbe Wellenlänge betragen.
Einflufs
des Umstandes
mufs
Es
die
Verlängerung
läfst sich
dadurch der
eliminiren, dafs ein Unterschied
zwischen
der reducirten und wahren Länge besteht.
Was
wenn
Geschwindigkeit
die
des
Schalles
peraturänderungen
erlitte,
betrifft,
so
würde,
und Verdünnung keine Tem-
die Luft bei ihrer Verdichtung
der Druck nach
dem MAEiOTTE'schen
Gesetze als direct proportional der Dichtigkeit zu betrachten
Wir würden
Ausdruck
schen
eine Gleichung von der
Form p = a^-e
sein.
haben, und der
öp
— würde einfach die Constante a^ geben, die im MAEiOTTE'-
-^
Gesetze vorkommt.
Oder wenn wir schreiben P'Pq
= ^'-%,
wo
Pq der Druck im Ruhezustande und 6^ die zugehörige Dichtigkeit ist, so würde a^ das Verhältnifs sein, welches zwischen Druck
und Dichtigkeit
in der
Ruhe vorkommt. Nun zeigt sich aber, dafs bei
Erwärmung stattfindet. Wir
jeder Verdichtung der Luft auch eine
müssen dabei berücksichtigen, dafs die Schallbewegungen bei tieferen
Tönen Wellenlängen bis zu 20 Meter haben und die bei höheren immer
noch von mehreren Centimetern, und dafs hier eine Ausgleichung der
Temperatur innerhalb solcher Dimensionen in den kurzen Zeiträumen
von ^32 ^is Yiooo Sekunde nicht sehr merklich sein wird, wenigstens
bei den tieferen Wellen nicht. Die Abhängigkeit zwischen Druck und
Dichtigkeit
ist
daher nahezu diejenige, welche für die adiabatischen
Aenderungen
stattfindet,
welchen keine
Wärme
d.
h.
für
diejenigen
der Luft fortgeleitet wird.
Aenderungen,
bei
EBENE WELLEN.
§ 47.
167
Wir bezeichnen mit c die specifische Wärme bei constantem
Druck, d. h. diejenige Wärmemenge, welche die Masseneinheit des
Gases zu sich nehmen mufs, damit die Temperatur um einen Grad
steigt, wenn bei der Erwärmung der Druck constant bleibt, d. h. das
Gas
ausdehnen kann, und wir bezeichnen mit y andererseits
Wärme bei constantem Volumen, wo wir dieselbe
sich frei
die specifische
Temperaturänderung
dem Gase vornehmen, aber
in
Gefäfs einschliefsen, welches sich nicht ausdehnen
der Temperaturändening gleichzeitig
nämlich bei
steigert
Dann
überwinden, und das Gas wird sein Volumen behalten.
die Abhängigkeit zwischen
ist
Daraus
Dann wird
der Druck ge-
aber dieser Druck wird den Widerstand des Ge-
werden;
fäfses nicht
es in ein festes
läfst.
folgt,
Druck und Dichtigkeit
wenü wir den Logarithmus
bilden:
- (logjp - log Po) = - (log - log
€
c
und wenn wir
(264 a)
«„)
/
die Gleichung differentüren:
I.i^ =
l.^
(265)
^ = ^.^,
de
-^^
OS
d. h.
ist
gleich
—y
,
y
(265a)
e
multiplicirt mit demjenigen Werthe, welcher
beim MAEiOTTE'schen Gesetz eintreten würde.
Danach
mung
ist
also
des Gases, wie
kommt,
die Schallgeschwindigkeit
sie
eine andere als sie es sein würde,
zwischen Druck und Dichtigkeit nach
stattfände.
Die
Thatsache,
Werthe ]/— abweicht,
durch die Erwär-
durch die Zusammendrückung zu Stande
ist
dafs
die Abhängigkeit
dem MAEiOTTE'schen
die
schon von
wenn
Schallbewegung
Newton bemerkt
Gesetze
von
dem
worden.
Bei anderen Flüssigkeiten kennen wir die specifischen Wärmen
noch nicht so genau wie für die Luft; wir können also nur die
Schallgeschwindigkeit empirisch bestimmen und rückwärts daraus
auf das Verhältnifs der specifischen
Wärmen
schliefsen.
DEITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
168
§ 48.
§48.
Kugelförmige Wellen.
Die allgemeine Differentialgleichung (263);
d^(p
a^ A(fi
df
wird befriedigt, wenn wir setzen:
cp
WO
1//
=
ipir
-^1^
— at)
eine beliebige Function von r
^
'-
— at
und
r die Entfernung des
xy% von einem festen Punkte Xq y^ %q bedeutet.
Dies läfst sich am Uebersichtlichsten zeigen, wenn man für
at eine besondere Bezeichnung a einführt. Dann wird
variablen Punktes
r
—
d (p
dt
1
dtp
da
r
da
dt
~
(266)
(267)
Andererseits
r^
und
ist
= {x-
x,Y
+ {y-
y^Y
+
{%
- z^f
KUGELFÖRMIGE WELLEN.
§48.
169
Die Ausdrücke für die Differentialquotienten
gehen aus diesem Ausdruck hervor, wenn x
%
— Xq
ersetzt wird.
Daraus ergiebt sich die Summe:
3
r
^^=r[
1
dtp'
;^+r
dffl
ip
— x^
durch y
und
—
iJq
ö>
oder
DRITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
170
gegen die bisher betrachteten Fälle
§48.
ebener Wellen
geändert
ist,
besteht darin, dafs der Nenner r vorkommt, welcher anzeigt, dafs
die
Amplitude der Bewegung mit steigender Entfernung abnimmt.
Es
sind also durch
—
kugelförmige Wellen dargestellt, die
^^
mit der Geschwindigkeit a von
indem
stellt
im Verhältnifs
ihre Amplitude
—
dem
=
Mittelpunkt r
auslaufen,
— immer kleiner wird.
Ebenso
kugelförmige Wellen dar, welche aus der Entfernung
^
gegen den Mittelpunkt fortlaufen, und deren Amplitude in
dem
als sie sich
dem
Maafse,
Mittelpunkt der Bewegung nähern, proportional
—
zunimmt.
Diese beiden Wellenbewegungen zusammen stellen eine Lösung
der Differentialgleichung für alle Theile des unendHchen
Ausnahme des Mittelpunktes der Kugel.
dar, mit
punkt müssen noch andere Bedingungen
Erregungspunkt
es
sein,^ d. h.
werden,
übertragen
oder
für
dem
In
eintreffen,
Raumes
Mittel-
dort mufs ein
mufs lebendige Kraft auf die Masse
die zurücklaufenden Wellen mufs
dem Medium weggenommen werden und auf
Medium übergehen. Der Mittelpunkt ist demnach ein
Kraft von
lebendige
ein anderes
Punkt, in welchem besondere Einwirkungen stattfinden müssen, wenn
sich diese
Bewegung ausbilden
Die Componente
Wellen
ist
in der
der
soll.
Geschwindigkeit
für
auslaufenden
die
Richtung des Radius gleich:
F -4F
=—
-^
or
r
r^
dw
Der
eine Theil
—W
1
nimmt wie
mit steigender Entfernung ab.
Entfernung gekommen
sind,
wo
zweite Theil gegen den ersten,
in
grofsen
Dasselbe
(273)
—
T?"
,
der andere Theil
Wenn
die
r sehr grofs
Wellen
ist,
in
1
wie —5^
sehr grofse
so verschwindet der
und daher haben wir
Entfernungen die" Geschwindigkeiten wie
gilt
5-
die JRegel, dafs
—
abnehmen.
auch von den zum Mittelpunkt hinlaufenden Kugelwellen.
Aus diesen Ausdrücken
gleichung
-~-=.a^A(p
Lösungen
bilden,
für Kugelwellen, die der Differential-
genügen, lassen sich
sehr leicht
andere
indem man die Differentialgleichung, welche ja im
KUGELFÖRMIGE WELLEN.
§ 48.
Eaume mit Ausnahme
ganzen
des erregenden Punktes
nach den verschiedenen Coordinaten
liebiger
ist,
in be-
Jeder der Differentialquotienten der für
Wiederholung.
Wird
erfüllt
und zwar
differentiirt,
gefundenen Ausdrücke giebt eine neue
der Wellen.
171
die Gleichung
wir das Eesultat in der
Form
Form
qp
für die Ausbreitung
B. nach x differentiirt, so können
z.
schreiben:
i;.(4^)=-(4f
da wir die Reihenfolge der Differentiationen vertauschen können.
Ist daher rp irgend eine Lösung der Differentialgleichung, so ist
d(p
ebenfalls eine
dx
Lösung der
diejenigen Punkte gelten wird,
Differentialgleichung, welche für alle
wo -J^
endliche
Werthe
Es
hat.
\j Qu
können dabei Ausnahmspunkte eintreten, in denen
wird,
namentlich,
kommen.
-^
wenn
-^
Discontinuitätsflächen in der
Aber soweit solche Ausnahmen
nicht
unendlich
Lösung
eintreten,
vorstellt
eine zweite Litegralform dar.
Statt nach
x kann man nun auch nach einer der anderen Ver-
änderlichen differentüren und jeden der Differentialquotienten kann
man noch beliebig
entweder nach derselben oder nach
oft differentüren,
einer anderen Variabein ; freüich nur so lange, als wir bei der Bildung
nicht auf Discontinuitäten stofsen,
dieser Differentialquotienten
in
denen die weiteren Differentialquotienten nicht mehr eindeutig zu
bilden sind.
Auf
diese
Weise kann aus
9>
die
Lösung
abgeleitet
d(p
=
F(r —
^^
r
werden
_
d
F{r
— at)
dx ~ dr
Für
— können
at)
wir auch cos
a
^^^=^.
setzen
dann
;
(274)
ist
a der Winkel,
welchen die Linie r mit der x-Axe bildet, so dafs wir also diese
Gleichung auch schreiben können:
dq>
_
dx
[F{r — at)
dd [Fir-at)!
-rdr
—
\_
^^
•
r
[F
= C08«^—
cos
«
J
Fl
-^J
(274 a)
DEITTER THEIL. BESTER ABSCHNITT.
172
Dabei zeigt
des
-~—
wenn nach
sich, dafs,
herauslaufen,
§48.
einer Eichtung positive
nach der entgegengesetzten Seite negative
herauslaufen werden; denn cos a wechselt sein Zeichen,
um
180" ändert.
Ferner zeigt
sich, dafs in
Wirkung herauslaufen
zur £c-Axe keine
nach einer
allen Richtungen, sondern
und dazwischen,
dem
wenn a
mehr
sich
rechten Winkel
Die
wird.
breiten sich zwar kugelßjrmig, aber nicht
negativ,
Werthe
Wellen ver-
gleichmäfsig nach
Seite positiv,
nach der andern
in der Aequatorialzone, wird keine Ver-
änderung der Dichtigkeit
stattfinden.
Jeder neue Difierentialquotient,
man nach x, y, x bildet,
man auf diese Weise
den
giebt eine neue Vertheilung der Wellen, so dafs
eine sehr grofse Anzahl von Wellenformen bilden kann, welche alle
von einem Mittelpunkte auslaufen, aber mit sehr verschiedener
Vertheilung nach den verschiedenen Richtungen des Raumes hin.
Dabei ist darauf aufmerksam zu machen, dafs die Glieder, welche
höhere Potenzen von r im Nenner haben, in grofser Entfernung
gegen diejenigen verschwinden, welche die niederen Potenzen von r
im Nenner haben.
Potenzen von
—
Bei jeder Differentiation schieben sich höhere
ein,
während doch immer auch
die erste Potenz
noch
r
Beim zweiten
stehen bleibt.
Differentialquotienten
^-^
z.
B. erhiel-
ten wir oben in Grleichung (269) die Glieder
F"
=—
d^(p
^-^
-
oX
Das
,
COS"
a
r
erste Glied
allen Richtungen
+
(1—
F'
«)—y.^^
3 cos^
—
^
(1
—
3 cos^
F
ce)
^
'
-^
.
y.3
eine kugelförmige Welle dar, die nach
stellt
das gleiche Vorzeichen hat.
Die anderen beiden
Glieder dagegen entsprechen kugelförmigen Wellen, die in verschie-
denen Richtungen verschiedenes Vorzeichen haben, bei denen also
dem Vorzeichen des Gliedes in Abtheilungen
jede Kugelfläche nach
zerfällt.
In grofser Entfernung überwiegt das erste Glied
—
F"
cos^ a,
das im Nenner die niedrigste Potenz von r enthält.
Glied, das
nur die
Differentiationen bestehen.
quotienten von
cosinus.
Es
F
Ein solches
im Nenner hat, bleibt bei allen
Es enthält im Zähler einen Differential-
erste Potenz
und
von
r
ein Product
ergiebt sich
daraus,
von Potenzen der Richtungs-
dafs in
sehr grofser Entfernung
auf einem Stück fortschreitender Wellenfläche, welches einem begrenzten Theil der Kugel entspricht und dann beinahe eben geworden
KUGELFÖRMIGE WELLEN.
§48.
Fortbewegung einfach in Richtung des r geschieht. In
Entfernung werden also die einzebien Theile der
die
ist,
173
grofsön
einer
sie
haben, einfach in gerader
also
die Schallbewegung sich
Wellenflächen mit den Intensitäten, die
Dadurch würde
Linie fortschreiten.
dann
schliefslich
bei sehr weiter Ausbreitung einer
nähern, wie wir sie
dem
Bewegung an-
Lichte zuschreiben, wobei jedes Stück der
Wellenfläche sich nur in gerader Linie oder senkrecht zu der Richtung der Wellenfläche gleichsam in einem Strahle fortschiebt Die
Zertheilung in Strahlen würde nur für Wellen gelten, die aus grofser
Entfernung gekommen
Man kann den
und deren begrenztere Kugelstücke schon
sind,
nahehin Ebenen geworden
sind.
Difi'erentialquotienten
Umformung unterwerfen; wodurch
rentüren
d (p X
dr
dq)
dx
kann man
die Di£ferentiation
noch einer kleinen
derselbe eine andere, eine deut-
physikalische Bedeutung bekommt.
lichere
-^
Statt nach x zu diffo-
— Xq
r
auch nach x„ ausführen. Es
d (p _d(p
dr
Xq
ÖXq
ist
nämlich:
—X
r
und mithin
d(p
_
d(p
dx
Der
Differentialquotient von
werden,
(f,
als
kann nun auch betrachtet
x^
liegenden Erregungspunkten Xq
+ dx^,
und Xo^o^o angehören.
Wenn
und
nach
der durch dx^ dividirte Unterschied der zwei Functionen
die zwei neben einander
y^, Xq
^
^^o'
wir uns
die Wellen, die
zwei benachbarte Erregungscentren vorstellen
von ihnen ausgehen, bei dem einen Centrum
dem Werthe ^-, beim andern
—:^
dxQ
als
— 3^
entsprechen lassen, so kann
dxQ
der Superposition beider
WeUenzüge entsprechend
be-
von den zweiten Differentialquotienten, die dann zwei benachbarten Paaren von Erregungscentren
trachtet werden.
Aehnliches
gilt
entsprechen.
So kann man überhaupt alle diese Wellenformen, welche
durch Differentiation entstehen, betrachten als von einer Gruppe
theils positiver, theils negativer
Erregungspunkte herrührend, die in
DEITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
174
einem engen Räume zusammen
warum
ständlich,
schieden ist
Bei
—^
Auch wird
dann ver-
es
die Intensität in verschiedenen Richtungen ver-
— -t^-^
entspricht.
z.
B.
-^
ist in
dem
einen Theil des
der andere,
Dazwischen kommen Raumpunkte
vor, welche
entspricht, in
gleich weit von beiden entfernt sind,
und wo daher
— -~- =
Der Green'sche Satz und das Huyghens'sche
§ 49.
Raumes
dem andern
der eine Punkt näher, der
der
liegen.
§49.
ist.
Princip.
Die bisher betrachteten Wellen- oder Geschwindigkeitspotentiale,
so
beziehen
nennt
sich
man
die
Lösungen der Gleichung
nun immer auf
die Wellen,
Integral
suchen,
aufzustellen
a^Atp,
von einem Punkte
die
Wir müssen noch
ausgehen oder zu einem Punkte hinlaufen.
vollständige
~^ =
das
das
einem beliebig ge-
gebenen Anfangszustande entspricht, und zwar sowohl in Bezug
auf Vertheilung der Dichtigkeit, als auch in Bezug auf die Anfangs-
Das
geschwindigkeiten.
läfst sich
nun
in der
That bewerkstelligen,
gerade, wie wir es bei den mechanischen Systemen gezeigt haben,
welche aus einer Anzahl discreter Punkte zusammengesetzt sind, die
unter
dem
Einflufs der gegenseitig ausgeübten Kräfte einer Gleich-
gewichtslage nahe sind.
Da haben
wir gesehen, dafs wir die Be-
wegung zusammensetzen konnten aus den einzelnen Bewegungen,
welche durch die Anfangserschütterung oder Anfangselongation jedes
einzelnen Punktes für sich entstehen würden.
wird hier aber etwas anders.
Da
Die Art der Addition
wir hier continuirliche Massen
haben, so wird an Stelle der Addition eine Integration der Wirkungen,
die
für
von continuirlich vertheilten Centren ausgehen,
diese Art der Integration ein in der Physik
treten.
viel
Nun
ist
gebrauchter
Satz nothwendig, der sogenannte Green'sche Satz, der übrigens nichts
anderes
ist,
Methode partieller Integration für continuirliche,
Räume. Wenn man auf beiden Seiten über einen
als eine
beliebig begrenzte
beliebig begrenzten
Raum
integrirt, so ist
d(pd'tp
d^\p
d X'
dx dy dz
(275)
§49.
DER GREEN'SCHE SATZ U. DAS HUYGHENS'SCHE
Auf der linken
und bekommen
Seite
können wir
die Integration
PRINCIP. 175
nach x ausführen
öl//
/
9 dx dydx.
dyj
bedeutet dabei
Das Zeichen cp-^^
^ dx
der Grenzwerthe
die Differenz
den höchsten und niedrigsten Werth von x, welche für das beFemer ist dydx der Quertreffende Werthepaar y, x vorkommen.
für
Rau-
schnitt des prismatischen
mes, auf den sich für jedes der
vorkommenden Werthepaare
«
y,
% die Integration über x bezieht
Der prismatische Raum
iit
an
den Seiten von Linien begrenzt,
die der a;-Axe
laufen
parallel
beiden Enden
und an seinen
von Stücken der Oberfläche des
ganzen Integrationsgebietes.
Bezeichnet d (o eines dieser
Oberflächenstücke, so
gleich
dydx
ist
der Projection von dco
Denkt man
auf die ?/s;-Ebene.
sich
auf d(o eine Normale in
das
Integrationsgebiet
errichtet,
dann
zwischen
dieser
ist
hinein
der Winkel
und
Normale
dem Ende
des
prismatischen Raumes, der
dem
der a;-Axe an
kleinsten
Werth
an
spricht, spitz,
stumpf
dy dt
von
x
ent-
dem anderen
(Fig. 21).
Wird der Winkel mit a
bedio
zeichnet, so ist dm.cosa, je nach-
dem
tt
gleich
spitz
oder stumpf
+ dydx
oder
—
Daher können wir
Fig. 21.
ist,
d-ydx.
dip
die Differenz
<p-^^ dydx durch
der beiden Werthe ausdrücken, die der Ausdruck
die
Summe
dxp
(p
-^-^ cos
an den beiden Enden des prismatischen Raumes annimmt
a da)
DEITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
176
§49.
Mithin wird das ganze Integral über die sämmtlichen prismatischen
Räume
dem über
gleich
gebietes erstreckten Integral
Und
die ganze Oberfläche des Integrations-
—
I
cos adn)
^
(p
wir erhalten die Grleichung:
ö?^^^^'^^
-/^ä^'''^^^=///öf
(275 a)
+ j Ufp-Q^dxdydz.
indem wir
Diese Operation läfst sich ebenso ausführen,
statt
der Richtung x die Richtung y oder die Richtung % substituiren.
Dann
—
l
erhalten wir:
=
w -^r-^ cos S d 03
J^öy
~- -~^ dx dy dz
JJJ^y^y
JJJ
I
l
-\-
\
\
\
\
w
^
\,
dxdydz
^y^
und
~ A^ "öt ^^^ ^
wo ß und y
%-Axe
"^ "^^
"
Winkel
die
auf der linken Seite
—
"^"^
"^^
'^'^
alle
+ f^
Normale mit der
sind, welche die
Addiren wir
bildet.
Statt
/// öf öl^
i-^ cos a + -^ cos/9 +
/ 9p
-^ cos a + -^ cos ß
ox
oy
des Ausdruckes
^
wir
dn
-^
on
cos yjdco.
-^ cos y können
d%
schreiben, da er nichts Anderes bedeutet, als den durch
dividirten Zuwachs, den %p erfährt,
in der
-^
4-
und
y-
erhalten wir
drei Grieichungen, so
dm
Summe
Richtung der Normale von
Indem wir nun noch
die
wenn man
um
das Stück
dn
aus ins Innere geht.
der zweiten Glieder von der
rechten auf die linke Seite bringen, erhalten wir die Gleichung:
\(p-~-d(o
—
\
i
I
(p
d
'II
Damit nun aber
gesetzt werden,
von
cp
und
t^,
.
A'ip
(p
dxdy d%
dip
.dx dx
d
(f
r)
d
dy dy
diese Rechnungsweise
r) th']
dm
(fdxfj
(276)
f)
d% dz.
erlaubt
sei,
dxdydx.
mufs voraus-
und die Differentialquotienten
hier vorkommen, einen endlichen eindeutigen
dafs die Gröfse
die
tli
if)
(p
§49.
DER GREEN'SCHE SATZ
U.
DAS HUYGHENS'SCHE PRINCIP. 177
Sinn haben innerhalb der ganzen Ausdehnung der Integration.
Die Functionen dürfen nicht mehrdeutig sein; man darf auch auf
Umwegen nicht zu anderen Werthen kommen. Von der Gröfse qp
kommen in Betracht diese selbst und ihre ersten Differentialquotienten,
von der Gröfse
tp diese selbst
und
ihre ersten
und zweiten
auch zu bemerken, dafs wir hier auf
verschiedenen Wegen zu den einzelnen Flächenstücken d co kommen
einmal sind wir von der y s>Ebene ausgegangen in der Richtung der
Es
Differentialquotienten.
rr-Axe, ein anderes
ist
Mal von der x x-Ebene
in der
Richtung der y-Axe
oder von der a:?/-Ebene in der Richtung der x;-Axe.
Die rechte Seite der Gleichung (276)
nach den Functionen
(p
und
wenn wir
i/;;
ist
ganz symmetrisch
also
die Voraussetzung
der Eindeutigkeit und Endlichkeit auch auf die zweiten Differential-
ausdehnen, so können wir (p und tp vertauschen,
(f'
ohne dafs die rechte Seite der Gleichung sich ändert:
quotienten von
d(p
\^-~-d(ü—
lip
I
A(p .dxdydx
.
I
(276 a)
d'ip
d
(p
'im dx dx
dipd (p
dy dy
d (p
.dxdydz.
dz dz
difj
Mithin sind auch die linken Seiten der beiden Gleichungen ein-
ander gleich:
dip
-F
d(o
—
/
/
/
(p
A'ipdxdydx
(277)
(p
und
J'tfj
ein-
Hier wollen wir nun die Voraussetzung einführen, dafs
yj
Wellenpotentiale seien; dann können wir statt J(p
Indem wir nun noch auf beiden
und
setzen
'2
über
t
von
t^
bis
i^
und
Seiten
dt^
integriren, erhalten wir:
(278)
Die zweiten Integrale jeder Seite können wir partiell integriren
und finden, wenn wir der Kürze halber das Raumelement dxdydx
H.
V.
HKUtHOLTZ, Theoret Physik. Bd. IIL
12
DRITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
178
mit
dS
bezeichnen und für den
Raum
§49.
nur ein Integrationszeichen
schreiben, auf der linken Seite
h
dhp
^'H'
dS
(279)
'dtp d(p
= -i^/^4f^^^+^^/^^/-^--^^dt dt
Eine analoge Umformung ergiebt sich für das zweite Integral der
rechten Seite.
Setzen wir diese Werthe
/dt
difj
I
J
ein, so
erhalten wir:
^
ff^^^dco
^^
dn
^»M!-+^^/-/ 'öl'dl
dS
k
=
.(278a)
d cpdip
dcp
dS
-!^'S^£^" - l^j^fT^'-'+v^'i ~dl~dt
-to
oder wenn das dritte Integral auf beiden Seiten gehoben wird:
h
:
_
h
d\p
^f^P^-^äS
~di
I'i ^ dn
(278b)
^"/"'/^^'""^/^^ dS.
Das
erste Integral jeder Seite
ist
über die ganze Zeit zu
er-
nur auf die Begrenzung des Raumes;
das zweite Integral hingegen ist über den ganzen Raum zu er-
strecken,
bezieht sich aber
strecken, bezieht sich aber
Wenn Punkte
und
ihre ersten
nur auf die Grenzen der
Zeit.
oder Flächen vorkommen, in denen
cp und ip
und zweiten Differentialquotienten der Voraussetzung
der Endlichkeit nicht genügen,
so
dürfen
sie
nicht
zum
Inte-
Punkte schaltet man aus durch eine geschlossene Fläche, z. B. durch eine Kugelfläche, die man dann beliebig eng zusammenziehen kann. So sind z. B. Unstetigkeitspunkte
von (f und ip auszuschalten; denn sie sind als Stellen aufzufassen.
grationsgebiet gehören.
DER GREEN'SCHE SATZ
§49.
wo
U.
DAS HüYGHENS'SCHE PRINCIP. 179
die ersten Differentialquotienten unendlich werden.
Unstetigkeitsstellen der
Ebenso sind
ersten Differentialquotienten auszuschalten.
man sie zu den
Grenzen des Raumes rechnen, wobei aber beide Seiten für sich zu
Bilden die Unstetigkeitspunkte Flächen, so kann
betrachten sind.
Nun
wollen wir für
i/;
eine bestimmte Function
annehmen und
wollen setzen:
F(r
+ a{)
r
wo
r
soll,
die Entfernung von
einem bestimmten Punkte sein
irgend
der bei dieser Function als Wellenerregungspunkt anzusehen
Statt r {- at wollen wir der
ist.
Kürze halber wie früher a schreiben,
so dafs also:
r
Da
dem
wird in demjenigen Punkte, von
werden, und in
dem
r
=
aus dieWerthe von r gerechnet
wird, die Function ip unendlich grofs
werden, weil an einem solchen Punkte für einen constanten Werth
von r nicht dauernd
F{(t)
gleich Null sein kann;
auch noch die Zeit, und ändert
am
denn
<t
enthält
selben Orte nothwendig seinen
Werth mit der Zeit, so dafs es keinen constanten Werth repräsenWir müssen deshalb den Punkt, wo r = ist, umgeben
denken von einer Kugel, die wir beliebig klein annehmen können.
Dadurch bekommen wir in der Gleichung (278 b) noch ein Grenz-
tiren kann.
integral,
das sich auf die Kugelfläche bezieht
Wir
wollen femer
annehmen, dafs die Function F{a) nur für absolut sehr kleine Werthe
von <T einen merklich von Null verschiedenen Werth hat. Wir können
einen solchen Ausdruck für F{a) angeben, dafs die
für welche F{a) merklich
von Null verschieden
+
ist,
Werthe von
a,
absolut behebig
OD
doch j Fdff einen von Null verschiedenen,
— OD
nicht beliebig klein werdenden Werth habe. Es würde z. B. die
klein sind, zugleich aber
Annahme genügen:
n
h^
+
(T^
h sehr klein ist, wird F für kleine Werthe von ff' sehr grofs,
und nimmt mit wachsendem a^ rasch bis zu beliebig kleinen Werthen
ab.
Der Werth von F{a) unterscheidet sich nur in einem sehr
Wenn
12*
DRITTEK THEIL. ERSTER ABSCHNriT.
180
schmalen Intervall merklich von Null
Intervall, je kleiner h
Der Werth des
Dabei
ist.
Integrals
ist also,
—
in
einem
um
§ 49.
so schmaleren
ist:
sobald nur
a^
gegen h
grofs
ist,
ohne dafs a^ schon absolut grofs zu sein braucht, beliebig wenig
von dem Werthe für
Nun
(278b)
wollen
einführen,
die kleine
wir
ö-j
=
oo verschieden, der gleich
den Ausdruck
wobei
ist.
für ip in die Gleichung
aber das Oberflächenintegral auch über
Kugel zu erstrecken
Integrationsgebiet ausschliefst.
des Integrals
——
1
ist,
die
Berechnen wir
=
dem
zunächst den Werth
den Punkt r
aus
§49.
DER GREEN'SCHE SATZ
als Veränderliche
U.
DAS HUYGHENS'SCHE PRINCIP.
181
=
adt
ersetzt
ge-
Da
einführen.
r constant
ist,
so wird
da
und wir erhalten:
r
—
+
r
In der Function
+
af,
f da. frpF{a)dn.
ato
mufs ebenfalls
rp
durch
t
a
—f
(Z
dacht werden.
Da nun
als stetig vorausgesetzt wird, so
cp
wird es
Werth von a seinen Werth auf der Oberfläche
Für eine hinreichend
der kleinen Kugel nur sehr wenig ändern.
kleine Kugel ist also cp nur als Function von a anzusehen. Daher
für jeden gegebenen
=
wird das Integral für r
—
1
gleich
'
I
.<pF{a)A7ida.
ato
In der Function
nur
füi-
Werthe von
ist
gp
=
dabei r
Nun
zu setzen.
der Nähe von a
a, die in
=
ist
F{a)
liegen, merklich
Daher wird auch das Product
von Null verschieden.
<p.F{a)
nur bei a
=
merklich von Null verschieden
bei der vorausgesetzten Stetigkeit von
Unterschied,
wenn
Da nun
sein.
Es macht daher
nur einen beliebig kleinen
der Werth gesetzt wird, den es für a
(p
Dann aber kann
annimmt.
werden.
für
rp
dem
aus
cp
=
Integral
herausgezogen
liegt,
beliebig wenig
ferner
"**
P
^F{a)da,
sobald der Zeitpunkt
von
1
kleine
verschieden
t
ist,
Werthe von h
=
so
zwischen
ist
t^
und
t^
der ganze Ausdruck für hinreichend
beliebig wenig von
1
,
^
a
verschieden.
Das
erste Integral auf der rechten Seite der Gleichung (278 b)
-H
d(p
Vö^d«»
wird über die kleine Kugel erstreckt verschwinden.
wieder
da —
r^d
Q
gesetzt wird, so ergiebt sich
Denn wenn
DRITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
182
was
der
bei
vorausgesetzten
^^
von
Endlichkeit
§49.
für
ön
r
=
Null wird.
Die Oberflächenintegrale der Gleichung (278b) sind
jetzt also
nur noch auf die äufsere Grenze des Integrationsgebietes zu beziehen.
Die Gleichung kann jetzt geschrieben werden:
in
dw
dtp
C
\
,
„
(281)
+
Die Gleichung
difj
Mi''
liefert
=
dn
-ip
da).
dn
uns also den Werth von
zur Zeit
(p
t
=
Wollen wir den Werth von ^ an einer
anderen Stelle des Raumes wissen, so müssen wir in der Function ip
das r auf diese Stelle des Raumes beziehen. Wollen wir den Werth
und an der
von
nicht in
(p
Zeit
t'
Stelle r
0.
dem Augenblick
<
haben, so brauchen wir in
gleich r
+
a{t
und das über
—
0,
sondern zu einer anderen
dem Ausdruck
zu setzen; dann wird
ff
=
ip
=
F{a)
nur
ff
=
und t = f
Oberfläche der kleinen Kugel genommene Integral
t')
die
=
für r
öip
-f'i
liefert
beim Zusammenziehen
dco
(p
den Werth
der Kugel
An
(ft= e
öf
Es mufs aber
t'
zwischen
t^
und
t^
liegen,
r
=
damit {F{a)da gleich
1
ato
wird.
Die Gleichung (281)
liefert
uns mithin den Werth
4n
ö
wenn auf der rechten
Seite
'P
gesetzt wird.
=
F(r
+
a{t
-
f))
(pt
r
=
=
t'
DER GREEN'SCHE SATZ
§ 49.
Es
dann
ist
U.
DAS HUYGHENS'SCHE PKINCIP. l83
also
4;r
r
1
dw
dxD
,
„
(281a)
+
fä,fu^-^^]ä..
<o
Wenn
wir uns
Begrenzung des Raumes so weit hinaus-
die
dem
geschoben denken, dafs die Erregung des Schalles in
teten Zeitraum
bis
i^
sind an der Grenze
noch nicht
<j
w
und -^^
^
betrach-
Grenze gelangt
gleich Null,
ön
'
bis zur
und
ist,
so
es verschwinden
Folge dessen die Oberflächenintegrale.
in
Von dem Raumintegral
betrachten wir zunächst den Theil
^h yi^us.
Denken wir uns den Raum durch concentrische Kugelflächen
= und durch Kegel, die ihre Spitze bei r =
um
den Punkt r
haben, zertheilt, so
ist
und wir erhalten
Nun
ist
ti
—^
und
positiv,
kann, so kann für
t
hin verschwindet F"
Grenze
t
=
Iq
In der Function
a{tf^
k,
=
Da =
=r
da
t
—
f)
Gröfse wird.
i'
t^
zwischen
—
t')
der Werth von
(t
(t
{a) für
qp
r<^ a
.
ist
Sache insofern anders,
+
«9
t
=
a{t
-{-
t^
=
merklich
t^ und t^ liegen soll, so
und r nicht negativ sein
nicht Null werden.
Mit-
und wir brauchen nur die untere
zu beachten
3-
r
k
F' {o) ebenso wie F{a) nur in der Nähe von a
von Null verschieden.
ist
<i
.
i^' (»•
+
dabei auch
als
nun
a(<o
t
r
=
-t'))rdQd r.
tß
zu setzen.
Hier wird die
Werthe haben kann,
sehr klein und daher F' (r
-\-
a
{t^
—
/'))
für
die
von merklicher
DRITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
184
Diesen Ausdruck wollen wir partiell nach
halten
§ 49.
r integriren
und
er-
:
-— f(p.F.r.dQ + ~ fF-^(r.(f).drdn.
dr
a
Hierin
ist
t
a
J
überall gleich
und
gesetzt
t^
^
J
in
dem
ersten Integral mufs r
den gröfsten der in dem betreffenden Kegel von der Oeffnung d
ß
vorkommenden Werthe von r bedeuten. Für diesen gröfsten Werth
von r wird nun aber nach der Voraussetzung r + a{tQ — t') erheblich gröfser als Null sein müssen. Denn a{tf^ — t') ist zwar negativ;
kann aber r nicht aufheben, weil a {t' — 1^) der Weg ist, den eine
zurücklegt und nach unserer
Welle in der Zeit zwischen t^ und
t'
Voraussetzung die Grenze so weit entfernt sein
soll,
regung innerhalb des betrachteten Zeitintervalls
t^
bis
zur Grenze
F
Integral
können.
hat gelangen
Von dem
tp
ist
t'
noch nicht
dem
in
ersten
und ebenso verschwindet nach der
unmerklich klein
Voraussetzung
Mithin
dafs eine Er-
bis
an der Grenze, mithin
fällt
das erste Integral weg.
zweiten Theil des Raumintegrals (281a)
verschwindet ebenso wie beim ersten Theil der Werth für die obere
Grenze
t
=
Von der Gleichung
ty
4jr
r[
1
d
bleibt
,
demnach
d(p
^
FdrdQ
(282)
'dt
wo auf der rechten Seite
Nun ist F(r -{- a{tQ —
Null verschieden.
Wenn
f
=
t'))
t^
gesetzt
nur bei
,
= —
a{tQ
—
t')
= —
a(/o
—
t')
merklich von
wir daher in
d
,
dr^ ^'
r
ist.
r
setzen, so
dt
wird der Werth des Integrals dadurch
Dann
nicht merklich geändert.
dcp
ist
d
dr^ ^'
,
,
aber
dcp
dt
von r ganz unabhängig und für die Integration über r eine Constante.
Führen wir nun
statt r die
a
=r+
Gröfse
a{t^-t')
DER GREEN'SCHE SATZ
§49.
Variable
als
U.
DAS lIUYGHENS'SCIiE PRINCIP. 185
erhalten wir:
ein, so
dw
d
,
dr^ ^'
,
/
—
wobei a von a [t^
t')
zu
bis
F{(T)dadSi,
dt
dem gröfsten Werthe
läuft,
+a
den r
(^^
—
/')
im Integrationsgebiet annimmt. Dieser Werth mufs positiv
weil nach der Voraussetzung die Grenzen so weit liegen, dafs
sein,
Welle
noch
der Zeit
sie in
bis
t^
Weg —
nicht erreichen kann, der
Werth von
der gröfste
als
der Werth
liegt
=
o-
also
t^,
auch
—
a{tf^
in der Zeit
t')
^^
bis
t'
eine
also kleiner sein mufs,
r in jeder beliebigen Kichtung.
Mithin
zwischen den Integrationsgrenzen und daher
wird bei Integration über a
f
beliebig wenig
+ r ~dt
a -^r- (r od)
dr^ ^'
von
'
d
or^ ^'
,
,
/
und
verschieden,
F{(T)dadQ
für
dw
dt
den Grenzwerth ä
dn
=
dem Ausdruck
in
für
wir endlich:
F{<t) erhalten
4n
^n-o=^/[4('^)+^lf]''^
(^««)
r= -aito-n
oder
d(f
1
dQ
(283
a)
Diese Gleichung können wir anschaulich deuten, indem wir bemerken, dafs das Integral der rechten Seite über die Oberfläche
einer Kugel vom Radius a{t' — t^) erstreckt ist
Dieser Radius ist
gerade gleich dem Wege, den eine Schallwelle in der Zeit /' — t^
zurücklegen würde.
Eine Welle, die zur Zeit
t^
von einem Punkt
dem Augenblick t'
Es ist also der Werth
der Kugeloberfläche ausgeht, würde also gerade in
in
dem
betrachteten Punkt r
von
cp
die
zur Zeit
sind
t^
-^
W^ellen
und
sind
-^
=
eintreffen.
im Punkte r =
zusammengesetzt aus Wellen,
von den Punkten der Kugeloberfläche ausgegangen
t'
und nun zur Zeit
Diese
<f,
zur Zeit
t'
im Punkte r =
eintreffen.
wenn zur Zeit t^ die Werthe von
alle zugleich
gegeben,
auf der Kugelfläche gegeben sind.
DRITTEK THE IL. ERSTER ABSCHNITT.
186
Wir
oben, Gleichung (261),
definirten
§ 49.
das Wellenpotential
cp
durch die Gleichung
— a^
cp ==
log
— dt.
I
dafs
so
dw
Es sind
ist.
gegen
ist
also
-~
und
cp
€
2
-^
mit der Dichtigkeit gegeben,
da-
nach den Gleichungen (261) die Componente der Geschwin-
digkeit in der Kichtung des Eadius
Wir können
sagen,
also
dafs
r.
sowohl durch die Geschwindig-
keiten der Lufttheilchen, wie durch die Verdichtungen Wellen erregt
werden, die zur Zeit
— Q ausgehend,
a{t'
von der Oberfläche der Kugel vom Radius
Iq
nun zu der gegebenen
Zeit
t'
Wirkungen
dem
in
gegebenen Punkte hervorrufen.
Wenn
wir nun die Voraussetzung fallen lassen, dafs die Be-
grenzung des Eaumes so weit hinausgerückt
wellen in der Zeit
t^
bis
t^
ist,
um
noch nicht erreicht zu
von den Schall-
sein, so
kommen
auch die Oberflächen-Integrale in Betracht.
Diese Integrale lassen sich nun ganz ähnlich so umbilden, wie die
in der Gleichung (281 a)
bisher gebildeten Integrale.
lich
Sie unterscheiden sich aber darin wesent-
von den bisher betrachteten Integralen, dafs in ihnen auch nach
der Zeit integrirt wird.
Ihre physikalische
Bedeutung
ist,
dafs
von den Grenzflächen
wieder Schallerregungen ausgehen, die auf die Bewegung in jedem
Punkt des Eaumes einwirken. Im Uebrigen wird nun durch die
Art der Festigkeit der Grenzfläche bestimmt, wie die Erregungen
dort vor sich gehen.
So wird z. B. bei einer festen Grenzfläche,
welche durch die Luft nicht von ihrer Stelle gedrängt werden kann,
nothwendig
-^
,
das
ist
die
Componente
der
Geschwindigkeit
senkrecht zur Grenzfläche, überall Null sein müssen, weil hier keine
Bewegung der Luft
in die feste
Fläche hinein, und auch kein Los-
lösen von der Grenzfläche stattfinden kann.
Wir
in
wollen die
Annahme machen,
dafs der
Eaum, über welchen
der Gleichung (281a) die Integration ausgedehnt wird, endlich
sei,
und dafs die Zeit ^^ so weit zurückgelegt werde, dafs für den gröfsten
t')
im Eaume vorkommenden Werth von r immer noch r + a(<(,
—
§49.
DER GREEN'SCHE SATZ U. DAS HUYGHENS'SCUE
Dann verschwindet auf der
negativ ist
(281a)
negativ
das Raumintegral,
und mithin
ist
i^
weil
und
rechten Seite der Gleichung
a für
-^
t
=
t^
positiv
und
im ganzen Räume
Wir
punkte unmerklich klein sind.
PRINCIP. 187
für
t
—
t^
für beide Zeit-
erhalten daher unter dieser
Annahme:
4™^,,j.
= .|rf<|j,»|^-V'|^)d<»,
(284)
wo wieder
=
1^
und wo
dw
ein
F(r + aU —
—
^
t'))
-'
Element der Grenzfläche bedeutet.
Der Raum
ist
dabei ganz beliebig, wofern nur. überall die Difi"erentialgleichung
erfüllt ist,
und
die Function
(p
sowohl wie ihre ersten und zweiten
Differentialquotienten, so weit diese
Setzen wir für ip seinen
nach n die Entfernung r
4 ^ ,f.,,
Für
dr
-5—
ön
vorkommen, endliche Werthe
Werth und führen wir
-ajäij
ein, so
[<f
hat.
bei der Differentiation
geht die Gleichung (284) über in:
^^(— - -^ ^J ^d«,
^)
.
(284a)
kann auch der Cosinus des Winkels geschrieben werden,
macht Die Diffeund können dann schreiben:
den die Normale mit der Richtung des Radius
rentiation nach r wollen wir ausführen
r
4,,.. = .p<;[-^^(.) + ^^,.)-^)|2]|r...(284b)
Statt
t
wollen wir die Veränderliche
=r
-\-
a{t
— f) einführen
i^'fS=Jä.J[-^F(.)+S^na)-I^^]^.ä.,
(2840)
r+o(<,-<')
WO auch
in
ersetzen ist
der Function
(p
die Variable
i
durch f H
zu
DßllTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
188
Nun
wird wieder F{a) nur bei
Daher wird
schieden sein.
dem
in
=
ö-
§ 49.
merklich von Null ver-
und
ersten
dritten Theile des
Integrals
—
/
da IW'—ir'Fia) -.r—do)
^
r^
J
J
on
'
^
—
Dann
und da
ausführen
Werth Null
—^—^-^^r-d(o
—
r -{ ait^
or on
r
in
über a
Integration
bis r
t')
Werth von a
der
(p
sich die
läfst
Grenzen
die
/
J
wenn
keine merkliche Aenderung bewirkt,
gleich Null gesetzt wird.
da
/
J
-^^
a{t^
—
i^')
den
erhalten wir, weil
einschliefsen, so
^F{a)da==\
ist,
für
den ersten und dritten Theil des Integrals den Ausdruck:
dr
/
—
rar on
-;s
[ r^
t=t'
wo
für
t
der Werth
eingesetzt
t'
—
ist,
/f
,
d(o,
zum Verschwinden
der a
a
da
'
I
dr
—
l
-^i^)^
(p
da
formen
wir
durch partielle Integration um, indem wir zunächst die Variable
t
beibehalten; wir erhalten dann
«1
OD
/
j ^
denn
F'ia)
obere
F(a)
^
ist
'
.r— dco
an
r
Grenze
,
Null,
J ot
.
a
ot
da
r
•\-
-^ F(a) r
dt
J
gleich
genommen haben,
—
a{t^
Das
—
t')
dafs kein Theil der
^
.^— d m
on
'
Integral
erste
positiv
ist.
ist
Da
für
wir
Grenze so weit entfernt
Werth — ait^—
wird der Werth des
die
ansei,
von dem betreffenden
dafs die Entfernung den
t')
Punkte
ersten Integrals auch für
übertreffe, so
die untere
Grenze Null.
Führen wir
in das zweite Integral jetzt wieder
so erhalten wir:
——
a
I
J
da
/
-^ F(a) r on— d w
J dt
^
'
^
.
a anstatt
t ein,
§49.
DER GREEN'SCHE SATZ
kommen
Bei der Integration über a
Nähe von Null
in
DAS HUYGHENS'SCHE PRINCIP. 189
U.
wieder nur die Werthc in der
Wir können
Betracht
t
-^^
in
dt
daher
r
=
t'
a
und
setzen
-^
für die Integration über
Dann wird das
a
als constant betrachten.
Integral gleich
r da>
dt
l
r
dr
on
1
aj
,
Mithin erhalten wir im Ganzen:
1
d(p
1
dw
1
dr
JL^^
^^
"'*
ot
j
on
rr CD
=0
,
a
J
dt
ar
\_r^
\
dn
J
(284 d)
\^^
^
a
a
Der Werth
—a
entspricht der Zeit, die eine Welle braucht,
um
von dem betreffenden Punkt der Grenze nach dem Punkt zu gelangen, in dem der Werth von (p berechnet werden soll. Da nun
für
t
der
Werth
T
eingesetzt wird, so setzt sich
t'
demnach der
o
Werth von
cp
zur Zeit
t
=
t'
aus den Werthen zusammen, die
-^^ und -~- an den Punkten
dr
dt
der Grenzfläche vor
—a
tp,
Zeiteinheiten
besafsen.
Der Zustand
eines
Theilchens
Entfernung r von dem betrachteten Punkte r
seine
=
liegt,
Einwirkungen nach dem betrachteten Punkte, und diese
nach Verlauf der Zeit
Zeit
das in
der Grenzfläche,
—a
dort
ein.
schickt
treffen
Die Einwirkungen, die zur
von dem Theilchen ausgehen,
t'
der
treffen
also
zur Zeit t
a
ein
und setzen den Werth von
Die Oberflächen
fester
cp
zusammen.
Körper, die in
dem
Integrationsraume
müssen mit zur Grenzfläche gerechnet werden. Denn die
ersten Differentialquotienten von (p ändern sich beim Uebergange
liegen,
DRITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
190
in das Innere des Körpers,
wo
keine
im Allgemeinen sprungweise, und
Bewegung mehr
des
festen Körpers
wie
ist,
und
es fällt
in
stattfindet,
die zweiten Differentialquotienten
An
sind hier mithin nicht als endlich zu betrachten.
schwindigkeitscomponente
§49.
der Grenze
schon oben bemerkt wurde, die Geder Normale
Kichtung
gleich
Null,
daher in der Gleichung (284 d) an der Grenze des festen
Körpers der Theil
fort,
welcher -,r-^ enthält.
on
Bedeutung der Raum- und Flächenkönnen wir sagen,
dafs von jedem Punkte des Raumes, in dem die Luft eine von NuU
Indem wir
die physikalische
integrale der Gleichung (281a) zusammenfassen,
verschiedene Geschwindigkeit oder Verdichtung besitzt, Einwirkungen
um sowohl nach dem
Punkte zu gelangen, für welchen wir das Schallpotential suchen, als
auch nach den Punkten der Grenzfläche, und dafs wieder von den
Punkten der Grenzfläche Wirkungen auslaufen, welche unter Umständen auch den Punkt erreichen können, für welchen wir die Gesammtwirkung suchen, und dafs also möglicher Weise zu den directen
Einwirkungen von den ursprünglich erregten Punkten noch solche
ausgehen, die eine gewisse Zeit brauchen,
reflectirte Wirkungen hinzu kommen
Weise wird es möglich sein, dafs die directen
und die secundären Wirkungen zu sehr verschiedenen Zeiten ein-
secundäre an den Grenzflächen
können.
Auf
diese
treffen.
Diese secundären Wirkungen werden als
der
Schnelligkeit
gerade
die
directen
Linie.
Allerdings
nicht in Strahlen zerlegen,
gerade Linie
Weg
Es
kommt nur
angiebt,
in
wo jeder
dürfen
Echo
bezieht
wir
bezeichnet.
Schallbewegung
die
wie es beim Lichte der Fall
in Betracht,
Die
immer auf
sich
ist;
die
insofern sie den kürzesten
welchem zuerst Einwirkungen eintreten können.
findet aber keine
Optik,
Ausbreitung
Zerlegung in Strahlen
Strahl, der
statt,
wie
z.
von der Lichtquelle ausgeht,
B. in der
als gerad-
werden kann, auch wenn er durch Oeffnungen und
an Ecken und Kanten vorbeigeht. Das ist
ja auch schon beim Licht nicht streng zutreffend. Die Lehre von
der Beugung des Lichtes umfafst diejenigen Verhältnisse, bei denen
starke und merkliche Abweichungen von dem Gesetz der Ausbreitung der Wellen in Strahlen eintreten, aber sonst kann man bei
einer grofsen Zahl von Erscheinungen des Lichtes die Bewegung
linig betrachtet
durch Spalte
als
führt, oder
Ausbreitung selbstständiger Strahlen auffassen, welche nicht von
ihren Nachbarstrahlen abhängig sind.
anders,
als
Beim
Schall
ist
es insofern
unter den gewöhnlichen Verhältnissen eine solche Zer-
§49.
DER GREEN'SCHE SATZ
U.
DAS HUYGHENS'SCHE PRINCIP.
legung auch nicht annähernd richtig
ist.
Femer
191
sind auch die Zeit-
unterschiede sehr viel auffallender als beim Licht, welches sich mit
so grofser Geschwindigkeit bewegt, dafs wir mit
unserem Auge nicht
wahrnehmen können, welche zwischen dem directen
und späteren Reflexionen oder üebergängen
auf gekrümmten Wegen eintreten. Der Unterschied rührt wesentlich
die Zeiträume
Einfall eines Strahles
von dem Unterschied der Wellenlänge her.
Denken wir uns
eine feste
Wand
mit einer Oeffnung.
Auf der
einen Seite sei eine Schallquelle und die Schallbewegung erreiche
Wand und pflanze
Raum fort, so
die
freien
sich durch die Oeffnung
können wir uns
ideale Grenzfläche durchgelegt denken,
dem
von
in
lassen sich die in
wodurch der
jenseitige
Nach der Gleichung
diesseitigen abgesperrt wird.
der wir den jenseitigen
nach dem jenseitigen
durch die Oeffnung eine
Raum zum
Raum
(281a),
Integrationsgebiet machen,
ihm entstehenden Schallwirkungen zusammensetzen
aus Erregungen, die schon in diesem
Räume vorhanden
waren, deren
Wirkungen nun in irgend einem Punkte zusammenkommen und in
Wirkungen, die von der Grenze des Integrationsgebietes ausgehen.
Nehmen
wir nun an, es habe eine Zeit
existirt,
wo
dieser
Raum
dann können also in diesen Raum
zunächst keine Einwirkungen eintreten, die von der ursprünglichen
Erregung dieses Raumes abhängen; aber sobald die Schallanstöfse,
die von der Schallquelle ausgehen, die ideale Fläche in der Oeffnung
noch nicht erschüttert gewesen
ist,
werden nun von hier aus die erschütterten Punkte
dieser Grenzfläche wie ursprünglich Schall erregende Punkte betrachtet werden können, und zwar nach den Regeln, die wir bei
unseren Integrationen gefunden haben. Es werden theils die Vererreichen,
so
dichtungen
-^^
hier neue Systeme von Schallwellen erregen, theils
aber auch die Geschwindigkeiten
man
die Dichtigkeit
und
-^
.
Es
läfst sich
die Geschwindigkeiten in
nun
also,
wenn
jedem Punkte
der Grenzfläche kennt, mittelst unserer Integrale die Schallbewegung
im
jenseitigen
Räume
vollständig berechnen.
Wenn
die verschiedenen
Punkte der Grenzfläche gleichzeitig durch eine Schallwelle erregt
werden, so dafs gleiche Phasen der Bewegung eintreten, sowohl der
Verdichtung, wie der Geschwindigkeit, so werden die verschiedenen
Einwirkungen von den einzelnen Punkten der Oeffnung nach dem
Punkte hinüber gehen, für den wir die Schallbewegung berechnen
wollen. Aber die Wege werden im Allgemeinen verschieden lang sein.
Von dem nächsten Punkt werden daher spätere Einwirkungen noch
DRITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
192
§49.
zu der gleichen Zeit eintreffen, wie frühere Einwirkungen von entfernteren Punkten aus.
Wenn
Wege von
wir die
der Schallquelle in gerader Linie bis
zu einem Punkt der Grenzfläche und von da in gerader Linie bis
zu
dem Punkte,
werden
nach
je
dem
in
die Schallbewegung
wir
den Unterschieden in
untersuchen, so
der Länge,
von der
die
Schallquelle ausgehenden Erregungen auf den verschiedenen
Wegen
auch zu verschiedenen Zeiten in dem betrachteten Punkte eintreffen
und andererseits werden die Einwirkungen, die in dem betrachteten
Punkte von den verschiedenen Punkten der Grenzfläche aus zugleich
nicht zu gleicher Zeit von der Schallquelle aus-
eintreffen,
gegangen
sein.
Nun
wird es von der Länge der Schallwellen abhängen, ob die
tragen,
Einwirkungen
eintreffenden
zugleich
schwächen.
so
die
Wegunterschiede
werden
die
zugleich
gegenseitig stark beeinträchtigen.
Wellenlängen be-
viele
Einwirkungen sich
eintreffenden
Wenn
oder sich
unterstützen
sich
Wenn
dagegen die Wegunterschiede
unterhalb einer viertel Wellenlänge bleiben, so werden sich die Ein-
wirkungen im Ganzen unterstützen.
der Fall für jede Lage des betrachteten Punktes
Dies wird
die Öffnung klein
sein, sobald
ist
gegen die Wellenlänge.
In der
Optik sowohl wie in der Akustik haben wir jenseits einer Oeffnung,
die enger
ist,
eine viertel Wellenlänge, nach allen Eichtungen
als
hin eine Ausbreitung der Erregung.
Der Unterschied besteht nur darin, dafs wir es beim Schall
mit grofsen Wellenlängen, beim Licht dagegen mit aufserordentlich kleinen
die
zu thun haben.
Während
z.
B. für
Oeffnungen unserer Thüren und Fenster
nungen
angesehen
werden
müssen,
die Lichtstrahlen
sehr weite Oeff-
als
gehören
sie
für
den Schall
schon zu den engen Oeffuungen, jenseits deren starke Ausbreitung
eintritt.
Auf diesem Umstand beruht
es, dafs Schall und Licht
Weise ausbreiten, dafs wir daran gewöhnt
die Ecke gehen zu hören, und gar nicht auf
sich in so verschiedener
sind,
den Schall
geradlinige
ganz
um
Schallfortpflanzung
besonders
angewiesen
ausgezeichneten Fällen,
hohen Tönen zu thun haben.
sind,
wenn
aufser
wir
es
in
den
mit sehr
Die Ausbreitung sehr hoher Töne
Da können wir in der
That den Schallschatten beobachten, der den Schall vollständig abschneidet.
Die Schwierigkeiten der Probleme, um die es sich hier
handelt, und die zum Theil nicht vollständig gelöst werden können,
hängen nun davon ab, dafs bei Anwesenheit von Grenzflächen man
kommt
der des Lichtes schon viel näher.
HUYGHENS'SCHES PRINCIP FÜR TÖNE VON BEST. HÖHE.
§ 50.
193
sich diejenige Art der Vertheilung der Schall erregenden
den Grenzflächen
genügt,
z.
erst
Punkte an
suchen mufs, welche den Grenzbedingungen
=
der Bedingung -~-
B.
Das sind ähnliche Aufgaben, wie
an der festen Grenzfläche.
Berechnung der elektrischen
oder magnetischen Vertheilung an gegebenen Leitern von unregelmäfsiger Form. Sie können noch nicht durch sichere Methoden gelöst
zum
werden, die in allen Fällen
die
Wir
Ziele führen.
sind meistens
darauf angewiesen, uns Lösungen zu suchen, die einigermafsen den
Grenzbedingungen genügen, und verschiedene solche Lösungen mit
Constanten multiplicirt zusammenzusetzen, die wir
willkürlichen
dann so bestimmen, dafs die Summe sich den Bedingungen möganfügt.
Wir haben aber keine sicheren Methoden, das
zu machen, ausgenommen für einzelne besondere Klassen von Grenz-
lichst gut
flächen.
Bei der Zurückwerfung des Schalles an ebenen Flächen
Folgendes
Wenn man
Betracht.
in
Schall erregenden
Punkt hat und man
kommt
auf der einen Seite einen
sich einen ganz gleichen Schall
erregenden Punkt hinter der Fläche denkt, der in demselben Lothe
man von dem
welches
liegt,
Punkt auf
und ebenso weit von der Fläche entder Wand entgegen gesetzte Bewegungen zuwirklich Schall erregenden
die ebene Fläche fällen kann,
fernt,
80
werden
in
sammenstofsen, und die Componenten, welche normal zur
fallen,
werden
Durch
sich gegenseitig aufheben.
dafs die reflectirten
die
Wand
Annahme
Wellen sich gerade so verhalten,
also,
kämen
als
sie
von dem Spiegelbild des Schall erregenden Punktes, wird der Bedingung
^^ =
on
Das
genügt
sind
gewöhnlichen Fälle des
die
Echos.
Das Huyghens'sche Princip
§ 50.
für
Töne von
bestimmter Höhe.
Für
specielle
Probleme
ist
der Zeit möge
<p
dio
cp
wo A und y von
sein können,
angenommene
Als Function
die
Form
Asm{2 7int
haben,
bisher
einzuschränken.
es gut,
Allgemeinheit des Wellenpotentials
t
unabhängig, aber Functionen von
n dagegen von
solches Wellenpotential
+ y)
x, y,
stellt
z und
t
unabhängig sein
x, y,
soll.
Ton
und Phase
einen gleichmäfsig anhaltenden
von n Schwingungen in der Zeiteinheit dar.
H.T. Hklmholtz, Tbeoret PhjBik. Bd. m.
Litensität
13
z
Ein
DRITTEK THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
194
sind Functionen
Eine solche Form von
Wir haben dann:
des Ortes.
mit Qi oder ^^ bezeichnen.
§
50.
wollen wir
(p
^^= -4;r2w2a>.
Die partielle Differentialgleichung
der das Wellenpotential
(263),
genügen mufs, geht also über in
a2J0 +
oder,
wenn wir durch
0==O
4;r2w2
und
a^ dividiren
=k
a
setzen,
J
Diese
Gleichung
Wenn
wir daher in
mufs
a>
für
+
=
a>
Ä;3
Werthe von
beliebige
dem Ausdruck
für
schreiben
(J)
W
(p= Wcos2 7int+
(285)
.
erfüllt
t
sein.
den Sinus zerlegen und
sin 2
;r
w t,
wo
=
A'&my
^^'
und
W
^ cos / =
gesetzt
ist,
so
müssen auch
gleichung genügen.
ist
= W.
Denn
und
*P"'
für
Die Constante k
i
=
*P" für sich der Differential-
=
O
ist
<f)
=
y/'
und
für
t
= -—
4n
«
rtr
hängt mit der Wellenlänge
et
des Tones zusammen.
und a
die
Denn, da
—
die Zeitdauer einer
n
Geschwindigkeit des Schalles
ist,
so
ist
Schwingung
—
der Weg,
den eine Welle während einer Schwingungsdauer zurücklegt.
hin
i
WO
Mit-
ist
= X'
X die Wellenlänge bedeutet.
des Wellenpotentials
Differentialgleichung,
von
t
(286)
Dadurch, dafs die Abhängigkeit
festgesetzt ist,
keit des Wellenpotentials von x, y,
die uns in den Gleichungen (281a)
verschwindet
t
aus der
nur noch mit der Abhängig% zu thun. Die Betrachtungen,
und wir haben
es
und
(284) zur Darstellung
des
HUYGHENS'SCHES PRINCIP FÜR TÖNE VON BEST. HÖHE.
§50.
195
Werthes von cp zu irgend einer Zeit und an irgend einem Orte
führten, können jetzt in einfacherer Weise durchgeführt werden.
und W irgend zwei Functionen, die in einem
Bezeichnen nämlich
gegebenen Räume mit ihren ersten und zweiten Differentialquotienten
endliche Werthe haben, so fanden wir oben Gleichung (277)
f^f^dcj +
fff^^ ^ dx
dy dz
(287)
= jfp-ö—day+fj'fojilfdxdydz.
Genügen nun
Gleichung
und
<li
(285), so
W
in
dem ganzen Integrationsraume der
wird
WA(P= (P/1W= -k^OW.
Mithin heben sich die zweiten Integrale auf beiden Seiten fort
und wir
Dies
ist die
Dort
tritt
Aus
ist
erhalten:
Gleichung, die an die Stelle der Gleichung (278b)
nach
trat eine Integration
ihr
t
ein,
die hier überflüssig
kann nun sogleich das Aequivalent für die Gleichung
(284 d) abgeleitet werden.
Setzen wir nämlich
.
_
cosÄ;r
r
wo
'
r die Entfernung des Punktes x, y, % von
a, ß,
einem beliebigen Punkte
der Glei-
y des Integrationsraumes bezeichnet, so genügt
chung
(285);
denn
cos k{r
— at)
ist
wie wir oben (§ 47) sahen, eine kugelförmige Welle dar und
zugleich von der speciellen Form, die wir hier betrachten. Es
ist
aber zu beachten, dafs im Punkte
stellt,
mehr
endlich
ist
auszuschliefsen.
Dieser Punkt
Er wird durch
ist
nicht
a, ß, y die Function
daher vom Integrationsgebiet
eine kleine Kugel ausgeschlossen,
über deren Oberfläche die Integrale (Gleichung 287) ebenfalls zu
erstrecken sind.
Bezeichnet nun wieder wie oben
dQ
die Oeffnung
13*
DRITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
196
eines unendlich schmalen Kegels, der seine Spitze
§ 50.
im Punkte
«, ß,
y
hat, so ist für die Kugeloberfläche
dd)
_
d(I>
dn
dr
dn
dr
und
und
es
wird für die Kugeloberfläche
— d(x)=—
r
.
dw
— d(o = r
(P-7:,
l
dn
J
Wird nun
die
+
W{coskr
^-p.
I
r
I
cos
J
Kugel sehr
dw
—
krsmkr)d
^
kr-^
dii.
dr
haben
klein, so
W
dW
—
und -^
or
auf der
Kugel nahezu dieselben Werthe, die sie im Mittelpunkt haben. Bezeichnen wir daher den Werth von
im Punkte a, ß, y mit Wa,
^
so geht das erste Integral in
den Werth
dn = -47iW„
über.
Das zweite Integral dagegen verschwindet.
Mithin folgt aus
der Gleichung (287)
r
wo
die
d
rdWcoskr
Icoskr]
Begrenzung des Raumes zu erstrecken sind.
Wenn sämmtliche Dimensionen des Raumes sehr klein gegen
Wellenlänge sind, kann kr gegen 1 vernachlässigt werden, so
die Integrale über die
Entfernung zweier innerhalb des Raumes gelegener Punkte
Unter diesen Umständen verwandelt sich die Gleichung (288) in
oft r die
ist.
r»r ö
J
/
M
dn \r
.
f
dW
J dn
j
dm
,
„,
r
Bei dieser Weglassung unendlich kleiner Gröfsen wird also
W
eine
J 'P" = genügt, und es folgt daraus,
Räumen, deren Dimensionen gegen die Wellenlänge
Function, welche der Gleichung
dafs
man
in
verschwindend klein sind,
statt
der Functionen, die der Gleichung
HUYGHENS'SCHES PRINCIP FÜR TÖNE VON BEST. HÖHE.
§ 50.
AW + k^ ^ =
genügen, stets unendlich wenig davon unterschiedene
JW=0 genügen.
Functionen finden kann, die der Gleichung
wir andererseits in der Gleichung (287) für
die
dem ganzen Räume
in
und mit ihren
bleibt,
wie
z.
i 97
Setzen
eine Function ein,
der Differentialgleichung (285) genügt
und zweiten Diiferentialquotienten endlich
ersten
ß.
—:r",
sin
^=
Ä;
r
so wird
smkr\
rd^^srnkr
d
/,„
-^— ——
*P-^—
\dco—
,
l
on
Von der
r
\
J öw
I
d
W
Es
über die Oberfläche ausgedehnt
Form Asm{27tnt
-{-
Erregungspunktes
mifst.
y),
wobei
nämlich
,
da
r
von Erregungspunkten, welche
einer Schicht
das Wellenpotential
ist
cos k r
-/ —dn
sind.
A
Denn
die Intensität
P
dl cos k T Idco
fw
W-^—
—
^
d ro hat die
als
das Potential
on
der Bewegung des
\
ist
/
anzusehen
einer Doppelschicht von Erregungspunkten.
lich
(289)
linken Seite der Gleichung (288) können wir uns eine
anschauliche Vorstellung machen.
Femer
= 0.
,
d(o
r
Denken wir uns näm-
eine zweite Fläche in einem kleinen Abstand
e
innerhalb der
und beide mit Erregungspunkten von solcher Intensität bedeckt, dafs für ein Element dw der ersten das WellenWd(o cos kr
1,^.1
i
t-.i
und lur das entsprechende ElePotential gleich
ersten construirt
,
ment
.
,
,
1
Wdco
dco'
cos Ar'
der zweiten das Wellenpotential gleich
so. ist das Wellenpotential für beide
Wdoj'
cos
kr
zusammen
Wdoj
cos
kr
Wird nun die Intensität und Phase der beiden Erregungspunkte
gleich angenommen, so ist Wdfo= Wdoj und das Wellenpotential
erhält die
Form
,_,
,
Wdoo
—
1
e
/
cos k r
cos k r
DEITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
198
Dies geht, wenn wir den Abstand
§ 51.
unendlich klein werden lassen,
«
über in
—
d
Wdoü'-^
{
cos kr
dn
Die Formel (288) besagt
die
in
allen Theilen
eines
also, dafs
jede eindeutige Function W,
Raumes mit ihren ersten und zweiten
Werthe hat und der Gleichung
Differentialquotienten endliche
genügt,
sich
ausdrücken
als
läfst,
von Erregungspunkten
Geschwindigkeitspotential
die blofs längs der Oberfläche des
Raumes
aus-
gebreitet sind.
§ 51.
Die Intensität der Erregung einer einfachen Schicht
von Erregungspunkten.
Wenn
das Wellenpotential nur einer einfachen Schicht von Er-
regungspunkten entspricht, so
dieselbe Relation zwischen der
gilt
Erregung und den Differentialquotienten des Potentials
nach der Normale, welche für die Potentialfunctionen elektrischer
Intensität der
Massen
in
Bezug auf
die Dichtigkeit der
Belegung
stattfindet.
Setzen wir
— d(o,
w^jr cos Ar
,««/^x
,
vfo doj
(290)
das Flächenelement einer beliebigen Fläche 13 bezeichnet
und p eine Function, die sich in der Fläche continuirlich ändert,
und untersuchen die ersten Differentialquotienten von W für solche
Punkte X, y, z des Raumes, welche der Fläche ß unendlich nahe
liegen.
Wir
setzen femer:
cos
kr
„
1
W'=^fpf^d(o,
W=
W
ist
jedenfalls endlich,
lich sind,
da
f^
immer
fp—dm.
wenn p und
endlich
ist.
die Gröfse der Fläche
Dafs
W"
ß
end-
unter denselben Be-
DIE INTENSITÄT VON ERREGUNGSPUNKTEN.
§ 51.
dingungen endlich
aus der Theorie der elektrischen Potential-
ist
ist,
functionen bekannt, ebenso dafs
Fläche dieselben Werthe hat.
^
auch mit
man durch
der Fall
sei,
W
auf beiden Seiten dicht an der
Dafs letzteres auch mit
leicht zu ersehen, da
ist
Dagegen wissen
W
W
und
also
auch wenn
f^,
immer nur
die Schicht selbst hindurchgeht, sich
nuirlich ändern kann.
199
conti-
dafs die Differential-
wir,
von
an der Fläche einen endlichen Sprung ihres
Werthes erleiden, während leicht zu erkennen ist, dafs die von
an der Fläche continuirlich sein müssen. Denken wir uns durch
eine geschlossene Linie, die in unendlich kleiner Entfernung den
quotienten
Fufspunkt des von
giebt,
Stück
ein
W
aus
ß,,
ß
gefällten Lothes
um-
der Fläche herausgeschnitten und
das
x, y, % auf die
Fläche
Ipf^dco getheilt in W^, welches über die Fläche Qq, und
Integral
W[, welches über den Kest der Fläche ausgedehnt
«ff'
Nun
ist
=
y/;
+
ist,
so dafs
w[.
die Gröfse
~dx'^~~2
r
Werthe von r, bleibt also endlich, macht aber
wenn man von positiven Werthen von x — a durch
nach negativen übergeht, ist dagegen continuirlich, wenn man
hindurchgeht.
Letzteres geschieht nun keinendurch r =
wenn man in ^\ die Werthe von cc, ^, % sich ändern läfst.
für unendlich kleine
einen Sprung,
r
=
nicht
falls,
Dagegen
dW
"
ist
,
dx
,
wo
allerdings ein
Sprung eintreten würde, un-
endlich klein als das Integral einer endlichen Gröfse, über eine un-
genommen, und wir können deshalb seinen
endlich kleine Fläche
Werth gegen
dW
'
dx
•
und
die
von
W
Folglich
vernachlässigen.
sind
W,
welches gleich W^
müssen an der Fläche
derselben Gröfse wie die von
W" machen.
Q
+
W[
ist,
continuir-
einen Sprung von
Bezeichnen wir die von
der Fläche ab nach beiden Seiten hingehenden Normalen mit
und
die
die
Differentialquotienten von
lich,
—
dW"
und —z
n,
n„, so ist bekanntlich
d
W
dn,
und daraus
folgt, dafs
d
W"
dn„
auch
d^f
dn,
dW
+ -d n„ =-4np.
(290a)
DRITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
200
§ 52.
Das Wellenpotential aufserhalb einer gegebenen Fläche.
§ 52.
Wir
wollen nun annehmen, dafs das Wellenpotential
W
einer
Schallbewegung entspreche, die im Unendlichen unmerklich wird.
Dann wird es möglich sein, eine KugelHäche so grofs zu condafs auf
struiren,
merklich
klein
und aufserhalb der Kugelfläche
sind.
^
annehmen, dafs
Ist
^
der Radius der Kugel,
(>
Ton der Ordnung
—
und
dn
so wollen
unwir
Das stimmt überein
sei.
mit den Erörterungen, die in § 47 über kugelförmige Wellen an-
Der Differentialquotient -^
gestellt sind.
—
ist
on
nung -y.
nun S
Ist
dessen
W
seinen
ersten
können
wir
überall
die
dann von der Ord-
Oberfläche eines Raumes, aufserhalb
der Diiferentialgleichung (285) genügt und
und zweiten
Difi"erentialquotienten
endhch
ist,
mit
so
Gleichung (288) auf den Raum zwischen S und
der grofsen Kugelfläche anwenden. Die Integrale sind dabei über
die Fläche Ä und über die Kugelfläche zu erstrecken.
Es läfst sich
die
dann zeigen, dafs die Integrale über die Kugelfläche verschwinden.
Es wird nämlich
hier
dco
wenn d
=
Q^dSi,
Q
wie früher die Oeffnung eines unendlich schmalen Kegels
bedeutet, der seine Spitze im Goordinatenanfangspunkt hat.
Ferner
ist
—
von der Ordnung
von Q dem Werthe
rdW
Jon
1
;
coskr
—
.
Nun nähert
sich -^ für grofse
mithin wird
\
,
r
Q
,dW
r
J
dn
^
o
r
mit wachsendem q beliebig klein.
Ferner
ist
1
r
QJ
dr ,^
coskr
r^
^
r
J
ÖQ
sin kr dr
smkr
r
dg"^
„
,
_
Werthe
§ 52.
WELLENPOTENTIAL AUSSERHALB EINER GEGEB. FLÄCHE.
Das
erste Integral der rechten Seite wird beliebig klein,
201
—
da
r
und
öl
-^r— mit
wachsendem n
dem Werthe
sich
1
nähern und n
W
endlich bleibt.
Das zweite
Integral
sinÄr dr
f
OQ^
r
man
wird ebenfalls beliebig klein, wie
Die Gleichung (289)
und
wenn
ebenfalls,
gilt
dn
r
dn
j
j
erstreckt über die Kugelfläche für
denselben Werth
S
rdWsinkr
jsmkr\
\
auf die Begrenzung
sie
Mithin mufs die Integration
die Kugelfläche bezogen wird.
/d
auf folgende "Weise erkennt
beliebige
ergeben, vorausgesetzt,
dafs die Kugelfläche die Fläche
S
r
Werthe von q immer
dafs
umfafst
Der
q nur so grofs
ist,
Difi'erentialquotient
nach Q mufs also verschwinden.
Nun
ist
/dWsinkr „,^
dn
—
schon von der Ordnung
Ordnung
—
r
Der
—
,
Femer
=-.
d
,
^
r
der Differentialquotient also von der
ist
r
/8inÄ;r\
erste Theil der rechten Seite
siukr dr
wird ebenfalls von der Ordnung
der Differeutialquotient also auch beliebig klein.
nur der Differentialquotient von
/
Wk
cosÄrör
^^r-p^dß
r
OQ^
Es
bleibt also
DRITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
202
52.
Da
zu betrachten.
dr
3— =
so ist es
§
+
1
1
Glieder von der Ordnung
—
nur nöthig
cosÄ;r
/
zu
differentiiren,
denn der Unterschied
von der Ordnung -.
ist
Von
Q
den verschiedenen Theilen dieses Differentialquotienten werden
dW
/
cos
OQ
cos
/„,,
kr
r
„
,
_^
^
kr dr
'
„ ,_,
/Wk^?^2gdSi
mit wachsendem q beliebig klein.
letzten Theil
Mithin
gilt
dasselbe von
dem
- fwk^'^^^^^^^^n.
r
ö?
J
Damit
gezeigt,
ist
dafs
bei der Darstellung von
Wa
die Inte-
über die Kugelfläche sämmtlich verschwinden und nur die
grale
Integration über
S
übrig bleibt.
dann, wenn der Punkt, in
dem
Die Gleichung (288) gilt also auch
Werth von W„ bestimmen
wir den
wollen, aufserhalb der Grenzfläche liegt, über welche die Integrale
erstreckt sind, wofern nur
W
aufserhalb dieser Grenzfläche bis ins
Unendliche der Differentialgleichung (285) genügt, mit seinen ersten
und zweiten Ableitungen im Endlichen endlich ist und im Unendlichen von der
Ordnung — verschwindet.
Q
Sind
z.
B. irgend welche Schallcentren gegeben, die wir uns in
eine Fläche eingeschlossen denken wollen,
und
Eeihe von festen Körpern vorhanden, so kann
man
sind aufserdem eine
die Gleichung (288)
zur Darstellung des Wellenpotentials in jedem beliebigen Punkte des
freien
sind
Raumes
alsdann
aufserhalb jener Fläche anwenden.
Die Integrale
über jene Fläche und über die Begrenzungen der
§
52.
WELLENPOTENTIAL AUSSERHALB EINER GEGEB. FLÄCHE.
festen
Körper zu erstrecken.
— = 0,
an
Normale n
ist
—
auch -^
bekannt
an
Die
sein.
Räume
Gleichung (288) auf theilweis zusammenund S„ an, indem man die Elemente ihrer nicht
die
S,
gemeinsamen Oberfläche mit
Oberfläche
dem Inneren von
richteten
der Natur der Sache nach
dabei in den freien Ea,um hinein zu ziehen.
Wendet man
Stückes ihrer
ist
W
dort mufs aber aufser
-1^
stofsende
Hier
203
S,,
und
doa,
mit dto^
dco,,,
unter n„ die nach
S,
A
W,
+
unter
gemeinsamen
n, die nach
dem Inneren von S„
Normalen dieser Flächenelemente
wenn innerhalb
die des
bezeichnet,
versteht, so hat
k^
W,
=
ge-
man,
,
A W„ -\-k^W„=0,
und innerhalb S„
von dem die Entfernungen r gerechnet werden,
und wir unter dem Integralzeichen [dG},-i-d coq]
schreiben, wo die Integration über sämmtliche Elemente d(o, und
sämmtliche dca^ ausgedehnt werden soll:
der Punkt
a, ß, y,
aber innerhalb
A
S, liegt,
<^
Tjir
,F<-
Wenn nun
/co8Ä;r\^,
rd^.coskr^
,
^
an der gemeinsamen Trennungsfläche beider Räume
"^
'
ist,
^
,
dn,
dn,
dn„
so giebt die Addition beider Gleichungen, da. dn,
= — dn„:
rdW, cos kr
Ä
ut
Cm d/coskr].
\d(JO,— idco,
4nW,a=
l^,^—\
r
J
dn,\
r
'
I
Die Function W, erscheint also hier
J dn,
als Potential
von Punkten aus-
gedrückt, die an der nicht gemeinsamen Oberfläche der
und S„
Räume
S,
liegen, während die Punkte der gemeinsamen Trennungs-
dem Integral verschwinden. Genau denselben Ausman aber für W„ wenn man den Punkt ce, ß, y in
fläche ganz aus
druck erhält
,
DRITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
204
Raum
den
S„
Es
verlegt.
§ 53.
diesem Falle ^, und W„
sind also in
Raumes
Potentiale derselben aufserhalb des gemeinsamen
S,
und S„
liegenden Erregungspunkte, und beide Functionen müssen continuirlich in einander übergehen.
Wenn
wir also im Folgenden für das Geschwindigkeitspotential
in verschiedenen Theilen eines
zusammenhängenden Luftraumes
ver-
W„ werden wählen müssen, wird die
an der Grenzfläche hergestellt sein, wenn in allen
schiedene Ausdrücke
Continuität
^, und
Punkten derselben
y/,
=
W„
und
dW,
—
— = —dW„
—
dn,
dn,
dW„
oder=--^.
,
dn„
Das Verhalten des Wellenpotentials im Unendlichen.
§ 53.
Die Gleichung (288) kann man benutzen,
im Unendlichen darzustellen. Bezeichnet
um
W
von
Flächenelements
Punktes
des
cc,
dm vom
Coordinatenanfangspunkt, q den Abstand
Coordinatenanfangspunkt und ^ den
Winkel zwischen beiden Radien,
r
=
p
das Verhalten
den Abstand des
y vom
ß,
r^ =z Q^
r
+
so ist:
— 2qxcos&
X^
— X cos & +
Glieder von der Ordnung
—
Q
Mithin
cos kr
=-
cos (ko
^^
r
d
r
+
^,.
,
^
^
,
Glieder von der Ordnung
= — k-smkr
dr
r
I
— —
svo-ik
,
k
1
—
Q'
9
/cos kr\
dn\
— kx cos &)
cos
kr dr
dn
r^
—
kx cos
Q
^^^
dn
ß-)
—
dr
^
dn
Q
^,.
I-
,
i
/^
i
1
Glieder von der Ordn.-s.
Q^
Mit Vernachlässigung der Glieder von der Ordnung —^ wird also
nach Gleichung (288)
„^ksmikg
}_5^
qf
—
kx cos &)dr
'.
On
Q
d
W
-ß on
-^
cosikg
^—^^
—kx cos &)
,
,
do)
—d(o
Q
§ 53.
VERHALTEN DES WELLENPOTENTIALS IM UNENDLICHEN. 205
smk()
—
—
-^
/
sin
'P'A;cos(Ä;rcost9')-^
dm
xcosO-)d(o\
(Ä;
+ ^!^\ fqfksm{kxcoB&)^da>
—
Die Gröfsen
-3
— C08 {kr COS &)da)\.
Klammem
den
in
/
sind nicht
mehr von
q,
sondern nur
von der Richtung des Radius g und von t abhängig. Bestimmen
wir zwei Gröfsen A und c, so dafs die Gröfsen in der Klammer
gleich
^cosc und ^sinc
sind, so ist
4
Diese Gleichung
W=
Für
für
/
/
=
=
ist
und
W=
t
=
{kg
sin
+
c)
(291)
jeden beliebigen Werth von
gilt fiir
Nun
noch vorkommt
7tW„=Ä
aber
sollte
W
die
t,
das in
^
Form haben
^'cos2nnt+ W'sin^nnt.
Uf'
—
-.
4n
für
/
= -^
W=
ist
4w
W". Mithin erhält
man
aus der Gleichung (291):
9
(291a)
9
wo A, u4", c, c"
mehr von
nicht
sondern nur von der Richtung des
i,
Radius q abhängen.
Nun
cos2;rn<,
Form
multiplicire
man
die
erste
die zweite mit sin2;rw<,
der Gleichungen (291a) mit
so
kann die
Summe
auf die
gebracht werden:
«^=«
+«
cos[kQ
,cos[kQ
—
27int
+ c]
+ 2nnt +
(292)
c']
DRITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
206
Das
erste Glied stellt ins
§ 54.
Unendliche laufende Kugelwellen, das
dem Unendlichen kommende Kugelwellen dar. Sollen
dem Unendlichen kommende Schallwellen vorhanden sein,
zweite Glied aus
keine aus
so
würde
zu setzen
Ist
bis auf Glieder
von der Ordnung
—
sein.
der
Kaum
durch irgend eine unendlich ausgedehnte Fläche
nach einer Kichtung begrenzt, so
mittelbar anwendbar, weil dann
diese Betrachtung nicht un-
ist
W
nicht überall aufserhalb einer
endlichen Fläche den Bedingungen der Gleichung (288) genügt. Es
ja nur auf der einen Seite der Fläche definirt. Wohl aber läfst
ist
sich einfach der Fall behandeln,
liche
Man
naten geht.
wo der Kaum durch
eine unendden Anfangspunkt der Coordibraucht sich zu den Erregungspunkten nur noch
Ebene begrenzt
ist,
die durch
Ebene hinzu zu denken, von beiden
zusammen das Geschwindigkeitspotential zu nehmen, so erfüllt dies
ihre Spiegelbilder hinter der
die Bedingung, dafs an der
—dW
—=
Ebene
sei,
an
und
es lassen sich
auf ein solches Geschwindigkeitspotential dieselben Betrachtungen
anwenden,
als
wenn nur
endliche feste Körper in der
Unter diesen Umständen
ist
für die unendlich entfernten Theile des freien
ist,
die, dafs
angegebene
Nähe wären.
die Grenzbedingung, welche
also
Raumes
aufzustellen
das Bewegungspotential 'f dort die in Gleichung (292a)
Form
habe.
§ 54.
Das Reciprocitätsgesetz.
W
Setzen wir jetzt voraus, dafs
eines Schallwellenzuges sei,
der in
das Geschwindigkeitspotential
dem Punkte
a erregt wird, in
dessen Nachbarschaft sich eine beliebige Anzahl
Körper befinden möge, so dafs nur an dieser
werde wie
A
.
cos Ära
fester begrenzter
Stelle
W
unendlich
C08271 nt
ra
sonst überall endlich
Entfernung
()
und
stetig bleibe,
von derselben
Form
und
wie
in
in der unendlich grofsen
Gleichung (292 a)
sei.
Aufserdem möge an der Oberfläche der festen Körper die Gleichung
§
DAS RECIPROCITÄTSGESETZ.
54.
dn
=
Es
stattfinden.
femer
sei
(l>
im Punkte
einer Schallbewegung, die
207
das Geschwindigkeitspotential
erregt worden
b
ist,
so dafs
Entfernung von b unendlich wird wie
in unendlich kleiner
O=A
,-
.
coskrj,
cos
n
2nnt,
Entfernung q dagegen
in unendlicher
cos[kQ
^
~
—
+
2nnt
b]
9
sei,
wo
95
und
nach verschiedenen Richtungen vom Anfangspunkte
b
der Coordinaten aus verschiedene Werthe haben; übrigens mufs
wie
^^
festen
überall
Körper —,
endlich
sonst
—=
und
sein,
an der
Oberfläche
der
.
dn
Wir wenden nun die Gleichung (287) auf einen Raum S an,
dem unendlich grofsen Radius um den Anfangs-
der durch eine mit
(>
Coordinaten beschriebene Kugelschale umschlossen
punkt der
von welchem wir nur ausschliefsen
Körper eingenommen
Punkten a und b, wo
und
festen
alle die Theile,
Für
sind.
^
die
dn
welche durch die
Integration
Wir
den
erhalten:
dn
J
an
(p unendlich grofs werden, findet die-
selbe Betrachtung wie bei Gleichung (288) statt.
j
ist,
(293)
= 4nA[^j,cos27int —
0^co82n nt],
W
im
im Punkte b, und 0^ den von
Punkte a bezeichnet. Die Integration nach dm ist sowohl über die
Oberflächen der vorhandenen festen Körper auszudehnen, an denen
wo
*P"j
aber
den Werth von
dn
=
dn
=
0,
so dafs diese Theile wegfallen, als
Hier wird nun:
die Oberfläche der Kugel.
UfA!B.^0 d*^
dn
Wenn
'
2t?5Ä;8in(b-c)
dn
wir nun bedenken, dafs
W und
(>*
von der
Form
+ Wsm27int,
0'cos2nnt + 0"sin2jrn^
W:= Wcos2nni
0=
auch über
sein müssen:
DEITTER THEIL. ERSTER ABSCHNITT.
208
WO W,
und 0" von der Zeit unabhängige Gröfsen
y^"
0',
so wird
^j^cos27int
=.\[WiDa nun
+ il^'h -
fli'a]
—
(1)^008271
(I>'a]cos47tnt+
die Gleichung (293) für jeden
mufs einzeln gleich
80
§ 54.
sind,
nt
lim-
Werth von
t
(D':]sm4nnt.
erfüllt sein mufs,
sein:
31 «ö
/
sin (b
-
c) rföj
=
0,
auch
also
Wi=Wicos2 7tnt+W'^sm2 7int
== (Da
cos2n nt-}- (Häsin 2 71 nt=
l(293a)
flta-
)
Daraus geht der wichtige Satz hervor: Wenn in einem mit Luft gefüllten Räume, der theils von endlich ausgedehnten festen Körpern
begrenzt, theils unbegrenzt ist, im Punkte a Schallwellen erregt
werden, so ist das Geschwindigkeitspotential derselben in einem
zweiten Punkte b ebenso grofs, als es in a sein würde,
Auch
ist
wenn nicht
Wellen von derselben Intensität erregt würden.
der Unterschied der Phasen des erregenden und erregten
in a, sondern
in
b
Punktes in beiden Fällen gleich.
Aus der nach der Gleichung (292 a) gemachten Bemerkung
geht hervor, dafs dasselbe noch gilt, wenn der Raum von einer un-
endhchen Ebene theilweise begrenzt ist. Ist (i> das Geschwindigkeitspotential von Schallwellen, die eine gröfsere Zahl von Erregungspunkten ij, &2) •••> ^m haben, also von der Form
wo
das Potential der in 6„ erregten Schallwellen
^['^.J-^[^«,J.
In
dem
Falle,
wo
die
ist,
so wird
(293b)
durch ^^ dargestellte Schallbewegung
davon herrührt, dafs ein tönender Punkt a sich im freien
Räume befindet, sondern dafs an irgend einem Oberflächenelemente
nicht
der Begrenzung des Luftraumes, das wir mit d a bezeichnen wollen,
—
dn
nicht Null, sondern
dW" =
,
dn
ßcos2:;rw/
WELLEN
§ 55.
ist,
IN
OFFENER RÖHRE.
209
so wird aus der Gleichung (293):
47iAW^= -B0^da.
Dieser Satz kann dazu dienen,
um
(293c)
in solchen Fällen,
wo man
die Schallbewegung der Luft vollständig
nur für gewisse besondere
Lagen des schallerregenden Punktes bestimmen kann, doch wenigfür
stens
anderen Lagen eines oder beliebig vieler schall-
alle
erregender Punkte die Erregung in jenen ersten Stellen des
zu
Namentlich
bestimmen.
der Satz
ist
wichtig,
Raumes
wenn man
die
Schallbewegung für eine jede entfernte Lage des tönenden Punktes
bestimmen kann, weil man dann rückwärts auch für jede andere
Lage des tönenden Punktes
die es bei
Fem Wirkung
bestimmen kann, auf
den akustischen Versuchen meistens allein ankommt.
die
Zweiter Absclmitt.
Die Luftschwingungen in KOhren mit offenen Enden.
Wellen
§ 55.
Wir gehen nun zu
am
offenen
Ende
in offener Röhre.
der Aufgabe über, die Bewegung der Luft
einer cylindrischen
Röhre zu bestimmen, wenn im
Innern der Röhre durch irgend eine Ursache ebene Wellen, die
einem einfachen Tone von n Schwingungen
sprechen, zu Stande
die
Mündung
gekommen
und
sind,
der Secunde ent-
in
sich die
Bewegung durch
der Röhre der äufseren Luft mittheilt, welche übri-
gens zunächst durch keine anderen Schall erregenden Kräfte
afficirt
sein möge.
Die Form der Röhre
liebigem Querschnitte
möge
;
nur
sei
im Allgemeinen
in geringer
dieselbe von der cylindrischen
schliefsen also
Mündungen
voraus,
in
cylindrisch von be-
Entfernung von der Mündung
Form abweichen
dürfen.
Wir
Röhren mit trompetenförmigen oder halb gedeckten
unsere
Untersuchung
dafs sowohl die Dimensionen
ein.
Uebrigens
der Oeffnung,
Den
wir
wie auch die
Länge des nicht cylindrischen Theils der Röhre gegen
länge verschwindend klein seien.
setzen
die Wellen-
Raum denken
wir
uns der Einfachheit wegen nach einer Seite begrenzt durch eine
äufseren
unendliche Ebene, welche senkrecht gegen den cylindrischen Theil
H.
T.
Hblxholtz, Theoret. Physik. Bd. ni.
14
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
210
der Röhren wand gerichtet
Diese Ebene
selbst liegt.
ist,
und
sei die
§ 55.
Röhrenmündung
in welcher die
y »-Ebene, die Röhre befinde sich
auf Seite der negativen x, deren Axe im Innern der Röhre liegen
und dem cylindrischen Theile ihrer Wand parallel sein soll. Auf
Seite der positiven x sei der Luftraum unbegrenzt.
Nach der gemachten Annahme betrachten wir ky und h% als verschwindend
klein gegen 1, wenn y und x Coordinaten eines Punktes der Röhrenmündung sind, und ebenso k x, wenn x einem Punkte des nicht cylindrischen Theils der Röhrenwand angehört.
Unsere Voraussetzungen über die Natur der Bewegung, welche
wir untersuchen wollen, drücken sich nun in folgenden Gleichungen
Erstens
aus.
nehmen wir
an, dafs irgendwo in der
Röhre
Mündung
Abschnitt befinde, zwischen welchem und der
sich ein
keine äufseren
Kräfte auf die Luftmasse einwirken, und in welchem das Geschwindigkeitspotential
'P'
^=
unendlich wenig verschieden
i-r-sinkx
— smÄaj
/St
-f
Dies
ist
+ B cos kx\ cos 2%nt
\
.
die allgemeinste
Form
von der
sei
-}-
.
^Goskxj sin2 nnt.
Form, welche ebene Wellen,
die
einem
einfachen Tone von n Schwingungen angehören, haben können.
Zur
weiteren Vereinfachung wollen wir gleich den Anfang der Zeit
i
festsetzen,
somit
^
W=
Auf
in
was offenbar immer möglich
dem
ist,
dafs
Sl
besagten Abschnitte der Röhre die
(
\
l-—smkx + B cos k x\
Seite der positiven
cos 2
:;r
w f -}-
33
cos
=
wird,
Form
so
und
erhält:
kx%m2nnt.
(294)
x denke man sich zwei halbe Kugelflächen
von sehr grofsem Radius construirt, deren Mittelpunkt im Anfangspunkte der Coordinaten
liegt.
Zwischen beiden
kugeliger Wellen haben, die in den unendlichen
soll
Raum
nämlich, wenn wir, wie früher, die Entfernung
W
die
Form
hinauslaufen,
vom Anfang der
Coordinaten mit q bezeichnen:
iV=.M
wo
M
^"^(^^
-
^^^^^
-M
^^^(^^
-
^^^^)
,
(294a)
und ifj unabhängig von q, aber möglicher Weise abhängig
von den Winkeln sind, die q mit den Coordinatenaxen bildet.
WELLEN
§65.
IN OFFENER RÖHRE.
211
Jenseits der äufseren jener beiden Kugelflächen
Raum
wo
liegen,
die Schallbewegung erst beginnt,
mag noch
ein
aber zwischen
der Region der ebenen Wellen in der Röhre, deren Bewegung in
der Gleichung (294) gegeben
von der
Form
(294 a)
soll die
und der Region der Kugelwellen
ist,
Stärke und Phase der Luftschwingungen
stationär geworden sein, also
W
hier überall von der
Form
W== Wcos2nni+ Wsm2nnij
W
worin
und
V
ganzen Theile des Luftraumes die
in diesem
erfüllen:
Endlich mufs noch längs der ganzen
Wand
der Röhre und an
Theile der yz-Ehene, welcher nicht von der
genommen
ist,
an
©,
dem
Röhrenmündung
ein
sein:
^
Wir
(294b)
Functionen der Coordinaten, aber unabhängig
von der Zeit sind und
Bedingung
sein:
= 0.
(294c)
wollen nun die Beziehungen zwischen den Coefficienten A, B,
M
und
Jifj
der Gleichungen (294) und (294 a) mittelst des er-
weiterten GßEEN'schen
Theorems aufsuchen.
Die erste Anwendung der Gleichung (287) machen wir auf den
Raum der Röhre, diesen von der Ebene der Mündung bis
inneren
zu einer damit parallelen Ebene genommen, welche in der Region
der ebenen Wellen
liegt.
Die Function
<J>
der Gleichung (287)
setzen wir hier:
=
Da
wie
sowohl
hier betrachteten
^
die Gleichung (285)
dW
ist
dn
dx
innerhalb des
[(p^da^^O.
fip^dmdn
dn
(287a)
dem
Querschnitte der
J
nur an der Mündung und
Röhre von Null verschieden, dort
dW
erfüllen
Raumes, so reducirt sich Gleichung (287) auf
J
Nun
coskx.
Es wird
ist
in
es gleich
—dW—
-
dx
,
also:
U*
hier gleich
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
212
C (p,
dW
1
J
dn
^
da)
^
-—— dco
—
= — cos „27t nt CdW
1
sin.2
dx
J
„
.
,
nnt
§
TdW
— — d^
;
/
J
dx
55.
co
+ Q{Ä cos kx — Bksin kx) cos kx cos 27t nt
— Q^ksinkx cos kx sin^ nt.
7t
Durch den Horizontalstrich
—
W
dW
-—
—
oder
dx
sollen hier
und
fortan die
Werthe bezeichnet werden, welche die betreffenden Functionen in
Mit Q ist die Gröfse des
der Ebene der Röhrenmündung haben.
DaQuerschnitts des cylindrischen Theils der Röhre bezeichnet.
dip
am cylindrischen Theile der Röhrenwand und in
gegen ist
——
Von Null verschieden ist es
Röhre, wo es den Werth — ksinkx
der Oeffnung der Röhre gleich Null.
nur in dem Querschnitte der
und in dem nicht cylindrischen
man den Winkel, den die nach
Röhrenwand mit den
d(I)
dn
Wir haben
d0
^* _n
dy
dx
—— = —
ist,
da
^ d(l)
cos
ß
dx
A;
sin
Ä; a;
cos ß.
also:
—
d(l)
I
innen gerichtete Normale der
positiven x bildet, ß, so
=
Nennt
Theile der Röhrenwand.
hat,
W—dn
dro
=—
Q(Äsinkx
+
kBcoskx)snikxco827tni
— Qk^ cos k X sin kxsm2
7t
nt
—
k cos 27t nt,
IWsmkx cos ßdm
—
ksm27cnt.
l
W
sin k x cos ßdm.
Wenn man
führt,
diese Werthe der Integrale in die Gleichung (287 a) einund einzeln die mit cos27rw^ und die mit sin 2 7t nt multi-
plicirten Glieder gleich Null setzt, so erhält
/dW'
——dca-k
/dW'
—— doa^k
r
j
r
man
Wsinkxcosßdw,
W'smkxcosßdo).
(295)
(295a)
WELLEN
§ 55.
In beiden Gleichungen
IN OFFENER RÖHRE.
213
das erste Integral über die ganze Oeflfnung
ist
Wand der Röhre, doch
an allen Stellen, wo cos/9 von
der Röhre zu nehmen, das zweite über die
wollen
wir gleich bemerken,
Null verschieden
ist,
dafs
Annahme
k x nach unserer
In rein cylindrischen
kleine Gröfse wird.
Mündung
oder theilweis gedeckter
fallen
eine verschwindend
Röhren mit ganz
diese letzteren
offener
Integrale
ganz weg.
Die zweite Anwendung des Theorems (287) machen wir auf den
Raum auf Seite der positiven x, der einerseits begrenzt ge-
freien
dacht wird durch die yx-'E^hene, andererseits durch eine
Anfangspunkt
der
Coordinaten
Mittelpunkt
als
Kugelfläche, welche in die Region der kugeligen Wellen
halb dieses
Raumes
Die Entfernung des Punktes
x, y,
x von ihm
sei,
und der aufserhalb des
sei r„
während
Coordinaten
dessen
hier betrachteten
Raumes
—
den
halbe
Inner-
fällt.
liege der Punkt, dessen Coordinaten a, ß,
Entfernung von dem Punkte
sind,
um
construirte
y
sind.
r„ die
a, ßj
liegt.
y
Die
Function (^ der Gleichung (287) setzen wir
=
Indem wir nun
in
(288)
Punkte
^-^-
1
^
-'
^—^^
+i
anwenden mit Beachtung des
im
Umstandes der Unstetigkeit von
die Gleichung (287)
berücksichtigten
a, ß, y, erhalten wir:
/dd)
W-J^dojdn
P
/
dW
(Ii~~d(ü
dn
J
=
27iWaC082nnt,
(295 b)
wo Wa den Werth von W im Punkte a, ß, y bezeichnet
Wie im Falle der Gleichung (293) wird die Gröfse
dn
dn
an der weit entfernten Kugelfläche eine von der Zeit unabhängige
Gröfse, ebenso natürlich auch das Integral dieser Gröfse über die
Kugelfläche, welches wir mit
d<P
dagegen
ist
nähme der
—
-n
dn
d
bezeichnen wollen.
überall gleich Null, ebenso
Oefiiiung,
wo
es gleich
Werth:
-j
cos {kr,
dW
—
—
dx
—
ist;
2nnt)
dW
-;—
dn
<l>
An
der yx-Fibene
überall mit Aus-
aber bekommt den
DKITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
214
weil
an der
e
2/
«-Ebene
_ CdW
r,
=
r„
So erhalten wir die Gleichung:
ist.
cos{kr,— 2nnt)
dco
J dx
§55.
=
2nWaCOs27int.
(295 c)
r,
Setzen wir nun nach Gleichung (294b)
W=W'cos2%nt+W"sm27int,
so
können wir
von
t
erfüllt
der Gleichung (295 c),
in
welche für
alle
Werthe
Quadrate und Producte von cos2:;rw<
sein mufs, die
und sui27int durch cos4;rwi^ und sin47rw^ ausdrücken und dann
einzeln gleich Null setzen:
die
1)
Glieder, welche nach der Zeit
inni
constant sind, 2) die Glieder, welche mit cos
und
mit sin
3) die
4nnt
multiplicirten,
multiplicirt sind,
und erhalten dadurch folgende
drei Gleichungen:
cos kr,
%
w;+ \j
dW
sin kr,\
-7-
'dW'
dx
r,
dW
sin kr,
dx
r.
dw + i
d
I
^
\d(o,
:
r,
dx
dm
dx
=
+
sin kr,
(295 d)
dco
W
cos k r,
dco
dx
r,
Die Integrationen sind über die Oeffnung der Röhre auszudehnen.
Durch die beiden letzten Gleichungen ist der Werth der Functionen
W
und W"
gegeben,
für alle
wenn
die
Punkte des Eaumes auf Seite der positiven x
Werthe von
—dW
und
—
dW
—
—
0/ 00
der Röhre bekannt sind.
OL
Die erste Gleichung
anderen mittelst des Theorems
in
der Oeffnung
0*/
aus den beiden
folgt
Der Werth von ^„ wird
(288).
demnach
CdW
1
n^.
2% J
+
Wenn
i_ r
Iti
J
2nnt)
dco
dx
dW
—
cos (Ar,
r,
sin {kr,
—
(295 e)
2nnt)
dco
dx
r,
wir statt der rechtwinkligen Coordinaten Polarcoordinaten
einführen, nämlich
^cosw,
/?
=
()
sin
w cos
i9-,
y
=
^)
sin
co
sin
&,
§
WELLEN
55.
IN
OFFENER RÖHRE.
215
vom Anfangspunkte der
so wird in unendlich grofser Entfernung q
Coordinaten mittelst einer ähnlichen Umformung, wie
ausgeführt
sie in
§ 53
ist:
wo
~
dw
er
1
dw
,
.
-j^smkejdydz,
2^ j j ("d^"'''^' +
„ = — —1— rridw'
—— cosä«
dx
271 JJ
6 =
sin w cos ^ +
d¥'
—
dx
..
if^
/
/
\
2/
* sin
co
,
,
,
,
(295 f)
.
,
,^
^
sin «6
dydx.
sin
/
^
&,
und wo die Integrationen über die Oeffnung der Röhre auszudehnen sind.
Eine dritte Anwendung des erweiterten GnEEN'schen Satzes
machen wir auf den Raum, welcher zwischen einem Querschnitte
der Röhre in der Region der ebenen Wellen und einer halben
Kugelfläche in der Region der kugeligen Wellen liegt.
Für die
Functionen W und
der Gleichung (287) setzen wir
und
und haben wie in Gleichung (287 a):
W
(iiS'^L^d(ü-fw"^d<o =
dn
J
Da
ist
Wand
längs der ganzen festen
die Integration
an
J
des
0.
dW
— = —3ddn^"
— = 0,
Raumes -^
dn
so
nur über den Querschnitt der Röhre und die Halb-
kugel auszudehnen.
Im
Querschnitt
A
W = -r-smkx
-{-
ist:
B cos k
,
Kl
W"=^coskx,
dx
dx
An
W
der Kugelfläche
ist:
ip'
dg
dQ
= M'^^-M,'^^,
Q*
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
216
Wenn man
§ 55.
die Integrale nimmt, wird:
27t
0=A^Q + kCdo}
fdO-{M'
+ MDsinw.
(295g)
Endlich wenden wir noch das Theorem (287) auf den inneren
Raum
der Röhre an, von der Ebene der
schnitt in der
=
r„,,d0
dn
J
Am
bis zu
einem Quer-
W
und
sinkx,
r ,d^f
,
,
(287 a)
dn
J
Querschnitte der Röhre wird
,,„d(D
W~dx
An
Mündung
Region der ebenen Wellen für die Function
der
Wand
dW
,
=
0-rdx
W
—=
d
der Röhre wird —^
0,
dn
^
kB.
,
= 0,
an ihrer Mündung
so dafs das zweite Integral der Gleichung (287 a) verschwindet.
ersten wird
Wand
an der
d(D
——
dn
an der Mündung
der Röhre:
=
—— = —
dn
QB+
Im
k cos k X cos S
k.
.
.
Also haben wir:
fWcoskxGosßdo)-
rWda = 0,
(295h)
wo das erste Integral über den nicht cylindrischen Theil der Röhrenwand auszudehnen ist, so weit cos ß sich von Null unterscheidet,
das zweite über die Oeffnung der Röhre.
Wir haben jetzt
in
den Gleichungen
(295), (295a), (295d), (295f),
(295 g), (295 h) die Werthe der Coefficienten A, B,
Functionen
in
W
und
W im
freien
Räume
denen nur die Werthe vorkommen, welche
Differentialquotienten theils in der
Mündung
an dem nicht cylindrischen Theile ihrer
jetzt die
18,
M, M^ und der
zurückgeführt auf Integrale,
W, W" und
ihre
der Röhre selbst, theils
Wand
haben.
Wir
wollen
Vereinfachungen dieser Ausdrücke einführen, welche daraus
Dimensionen der Mündung und die Länge des
nicht cylindrischen Theiles der Röhre unserer Annahme nach gegen
herfliefsen,
dafs die
WELLEN
§55.
OFFENER RÖHRE.
IN
die Wellenlänge verschwindend
klein
von der Ordnung ks
wir Gröfsen
Gleichungen
217
sein sollen.
gegen
so
1,
Veraachlässigen
nehmen unsere
und (295 f) folgende Gestalt an:
(295), (295a)
^Ö=j^^rf«,
(296)
0= ^^d(o-k^
if=
hp"xcosßd(o,
\
CdW
- -s—
-~d(o= 2n J dx
Für den Werth von M^
1
-^r-ÄQ.
2n
(296b)
zu bemerken, dafs das von k unab-
ist
/d——
W'
dx
verschwindend kleine Gröfse
(296a)
d(o nach Gleichung (296 a) selbst eine
dafs ferner
ist,
/dW— Bdm
—z
dx
auch das mit der ersten
der Null
gleich
gemacht
werden kann, wenn man den Anfangspunkt der Coordinaten, über
den bisher nur bestimmt ist, dafs er in der Oeffnung der Röhre
liegen solle,
in
der Dichtigkeit
also
reducirt
den Schwerpunkt einer Masse verlegt, welche mit
W
—d —
sich
über die Fläche der Oeffnung verbreitet
der
Werth von
i/j
ist;
auf verschwindend kleine
Gröfsen, nämlich
if.
^
Wir werden
= -s— / Wxco^ßd(o-\--^ \:i^^^da).
27t J
An J dx
'
also i/j gegen
M vernachlässigen
abhängig von den Winkeln
(o
und
ß-
und
(296c)
^
'
letzteres als un-
betrachten dürfen,
also
aus
Gleichung (295g) erhalten:
^330= -.2nkM^,
oder mit Berücksichtigung von
ÄQ=-2nM,
^=
kM=-^AQ,
(296b)
(296d)
endlich:
QB
= r^ d oi
-Jw 008 ßdoj.
(296 e)
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
218
Da nun
§ 55.
übrigens nach Grleichung (295 d) in der Ebene der
Mündung
mit Vernachlässigung kleiner Gröfsen
2iiJ dx
r
und nach Gleichung (296 b)
^
CdW
1
2
1
dx
J
71
2
TT
W
M
so sind
oder Ä Q und e
Gröfsen von gleicher Ordnung.
können wir also die Gleichung (296e) schreiben:
Nun
QB= ± ff^dydx,
wo
die Integration über alle
+
Werthe von z und y auszudehnen ist,
der Röhre angehören, und das
Wand
welche der Oeffnung und
Zeichen sowohl an der Oeffnung
Wand
zu nehmen
ist,
als
an denjenigen Theilen der
deren Normale mit den negativen x einen
Winkel bildet, das — Zeichen an den Theilen, deren Normale mit den positiven x einen spitzen Winkel bildet. Q B ist also
gleich den Werthen von
in der Nähe der Oeffnung, integrirt
über eine Fläche von der Gröfse Q\ also ist B von der Gröfsenspitzen
W
W oder
Ordnung
Wenn
.
also der Querschnitt der
Röhre von
6
derselben
Ordnung
Ordnung
«^ ist^ jst
von der
kleiner Gröfsen wie die Oeffnung,
d. h.
B
läfst sich bei
von der Ordnung
A €.
Genauer
—
7?
der Allgemeinheit unserer
stimmen.
der
Form
Wir werden
der
Mündung
Annahmen
das Verhältnifs
nicht be-
später bei den Beispielen sehen, dafs es von
abhängt, von welcher wir das Verhältnifs
unabhängig gefunden haben, und dafs
es nicht merklich
von
—
dem
Werthe von k abhängt, so lange der Querschnitt der Röhre und
die Länge des nicht cylindrischen Theiles als verschwindend gegen
die Wellenlänge zu betrachten sind. Ist übrigens die Oeffnung der
TD
Röhre sehr klein gegen den Querschnitt,
gröfseren
Werth
so
kann
erreichen.
Innerhalb der tieferen Theile der Röhre
setzen
— jeden beliebigen
ist
also,
wenn wir
WELLEN
§ 55.
OFFENER RÖHRE.
IN
^A =
219
-tangÄ;a,
(296f)
<^=--—^—-sinifc{a;-a)cos2 3rn<
k cos ka
ÄkQ
2n
und dazu gehört
die
o
.
kxsm.2nnif
•
;
cos
Bewegung
den entfernten Stellen des freien
in
M vernachlässigen,
Raumes, indem wir M^ gegen
_ AQ
welchen beiden Gleichungen
in
(296g)
cos{kQ-2nnt)
A
eine willkürliche Constante
ist,
und
ßöhrenform besonders bestimmt werden mufs.
Die Natur des hier behandelten Problems vdrd noch klarer,
wenn man auf den Grenzfall übergeht, wo Ä = wird. Dann werden
cc
für jede besondere
W
W
und
von einander unabhängig, und
unserem Problem folgende zwei Aufgaben:
eine Function
zu suchen, welche in dem ganzen
die beiden Functionen
es entstehen aus
Es
1)
ist
W
Räume
betrachteten
der Bedingung genügt, dafs
welche für grofse negative x übergeht in
— AQ
in
tive
dW
—=
—3
an
Z nQ
ist.
Es
und
,
ist
für
dies
längs
die
Ax +
der
B, für grofse posi-
ganzen festen
mathematisch dieselbe Aufgabe,
Wand
als hätten
wir einen homogenen elektrischen Leiter von der Gestalt unseres
Luftraumes, welchen ein elektrischer Strom von bestimmter Intensität
(.4
Q,
durchfliefst,
Raum
wenn das Leitungsvermögen des
gleich
Stoffes
1
ist)
dem cylindrischen Theile in den unendlichen
Wir nennen bekanntlich den Leitungswiderstand
der aus
übergeht
zweier Leiter gleich,
wenn
bei gleicher Intensität des Stromes ihre
Endflächen Flächen constanten Potentials sind und dieselbe Differenz des Potentials
zeigen.
Nun
ist in
irgend einem Querschnitte
des cylindrischen Theiles die Potentialfunction
liche
Entfernung im freien
Räume
Null.
Ax
-\-
B, für unend-
Denken wir uns dagegen
den cylindrischen Leiter cylindrisch fortgesetzt und überall die Potentialfunction gleich
Es
ist
also
— {x—a)
Ax +
die
B, so wird sie Null,
Länge
wenn x
=
eines cylindrischen Leiters
selben Material, welcher denselben elektrischen
j
— ^-
von dem-
Widerstand
bietet,
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
220
§ 55.
wie der Leiter von Gestalt unseres Luftraumes, gerechnet von einem
—x
Querschnitt des cylindrischen Theiles in der Entfernung
Mündung
von
Nach
der in der Elektricitätslehre gebräuchlichen Terminologie würde
also — (a; — «) die reducirte Länge jenes Leiters genannt werden
können, und wir wollen dieselbe Benennung auch hier brauchen.
Die Constante B oder a verschwindet also nicht mit k zugleich, ob-
der
bis in
unendliche Entfernung im freien Räume.
gleich andererseits einzusehen
kann,
ist,
dafs sie meistens nicht grofs sein
da der Widerstand unendlich ausgedehnter Leiter, wie der
immer sehr klein ist vergUchen mit dem Widerstände
der Erde,
von demselben Material, aus denen die Elekden unendlichen Leiter ausströmt, und es folgt auch
weiter aus den bekannten Theoremen über Elektricitätsleitung, dafs
cylindrischer Leiter
tricität
in
a desto gröfser werden mufs, je enger die Mündung der Röhre
gemacht wird, was sich auch in den akustischen Versuchen durch
die Veränderung des Tones der Röhren zeigt, dessen Abhängigkeit
vom Werthe von a wir unten feststellen werden.
Wenn
und kreisförmig ist, während die
den Cylinder schliefsende Wand in ihrer Nähe nahehin eben ist,
läfst sich annehmen, dafs der Widerstand hauptsächlich nur von
die Oeffnung sehr klein
den dicht bei der Oeffnung gelegenen Theilen herrührt, wo die Bahn
der Strömung am engsten ist. Der Widerstand einer kreisförmigen
Oeffnung vom Radius
R
in einer isolirenden
Ebene, welche zwei
unendlich ausgedehnte Leiter von einander trennt,
gedrückt durch die Länge
eines
l
'
ist
aber, aus-
Cy linders vom Querschnitt Q:
= 2!'
(296i)
7?
und
dies
2)
würde
Es
ist
in
diesem Falle auch der Werth von
eine Function
h
betrachteten
für
Räume
W
sein.
zu suchen, welche im ganzen
der Bedingung genügt, dafs
grofse Entfernungen
-j
A
J ^"
=
0, welche
von der Mündung sowohl auf Seite der
negativen wie der positiven x wird:
1
^"
= _
k
und längs der ganzen
bar
ist
festen
Wand
unter diesen Umständen
^
2%
—=
des Luftraumes -z
W" im ganzen Räume
0.
Offen-
constant.
FORM DER WELLEN
§ 56.
DER RÖHRE.
IN
221
Hierbei wird dann ersichtlich, dafs in der Oeffnung nicht
wir schon gesehen, die Gröfse
—dx—
d co , sondern auch
;
/
J
wie
blofs,
dx
selbst
mit k zugleich verschwindet.
Form der
§ 56.
"Wellen in der Röhre.
Die bisher gewonnenen Sätze lassen nun eine Reihe allgemeiner
blofs über die Lage der SchwingungsMinima und -Maxima (Knoten und Bäuche der Schwingungen) und
die davon abhängende Höhe der natürlichen Töne der Röhre, die
wir als Töne stärkster Resonanz charakterisiren können, sondern
sie geben uns für eine Reihe besonderer Erregungsweisen der Töne
auch bestimmte Auskunft über die Stärke und Phasen der in der
Röhre erregten Schwingungen.
Folgerungen ziehen nicht
Die Geschwindigkeit der Lufttheilchen
ist,
aus Gleichung (296 g)
berechnet:
dW =
-r-
dx
A
— cos Ä — a) cos 2
cos ka
(a;
;
TT
Ak* Q
w/ H
2n
mikxün2nnt
(297)
^
'
oder
dW
—— = Jcos (2 7int +
dx
t),
wenn
(297 a)
\l
tang T
h^
= —
Die Werthe von
Qsmkxcoska
2 n cos k{x
für welche
x,
4w*
cos^Äa
—
tt)
/^ ein Maxiraum oder Minimum wird,
werden gefunden durch die Gleichung:
*
Ol/
tang
2* (x
k^Q^smkttCOs^ka
- a) =
\
-.
Wenn
x^ ein
Werth
ist,
—
x
der, für
g-
/on^vx
(297b)
•
-j^^
2«* 11--—
cos2Ä;a.cos*Ä;a|
gesetzt, diese
Gleichung
erfüllt,
so wird sie auch erfüllt durch
X
«
worin
a
= ^0+0^ = ^0+
an
2Jt>
eine beliebige negative oder positive Zahl bezeichnet.
Maxima und Minima der Schwingung
liegen
also
in
Die
der Röhre
I
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
222
um
von
Viertelwellenlängen
um
nicht nothwendig
einander
entfernt.
§ 56.
Sie
liegen
aber
ein genaues Vielfaches einer Viertelwellenlänge
von der Oeffnung der Röhre
entfernt.
immer annehmen
Q
wollen,
k'^
Wenn, wie wir im Folgenden
eine unendlich kleine Gröfse
ist,
so
wird mit Vernachlässigung der kleinen Gröfsen zweiter Ordnung die
Gleichung (297 b):
tang 2k{x
Dann wird J^
ein
k{x
Maximum
—
a)
=
J^,
—
Zc
(rc
ein
h{x
Minimum
— ä) =
{q.
Jl,
+
1
-|^)
'
wenn
n, also cos k{x
Ä-4
J'
— a) = ±
=
COS^ÄÖT
und J^ wird
0.
wenn
an, also cos
J«
=
cc)
— a) =
0,
Cß
=^2'l_^cos3Äa.
Denken wir uns die ebenen Wellen bis zur Mündung der Röhre
würde in der kleinen Entfernung a vor der Oeffnung
ein Maximum der Schwingung liegen.
Denken wir uns die Entfernungen der Querschnitte der Röhre von diesem um die Länge cc
vor der Oeffnung in der Axe der Röhre gelegenen Punkte gezählt
und nennen diese Entfernungen die reducirten Längen des betreffenden Röhrenstücks, so erhalten wir Maxima der Schwingung übei-all,
wo die reducirte Länge gleich einem geraden Vielfachen der Viertelwellenlänge, und Minima der Schwingung (Knotenflächen), wo die
reducirte Länge der Röhre einem ungeraden Vielfachen der Viertelfortgesetzt, so
wellenlänge gleich
ist.
In den Knotenflächen herrscht aber nicht
Bewegung wird nur sehr klein.
Maxima der Schwingung wird tang r gleich einer
Gröfse, also t = üti, am Orte der Minima wird
absolute Ruhe, sondern die
Am
Orte der
unendlich kleinen
tang T
=
wegung
00,
also t
= {a + ^)n,
am
Orte
der
folglich sind
die
Phasen der Be-
Maxima und Minima um
eine
Viertel-
schwingungsdauer verschieden.
Nach Gleichung (263 a)
ist die
Verdichtung der Luft, wo keine
äufseren Kräfte wirken:
^~
a^
dt'
FORM DER WELLEN
§ 56.
223
unserem Falle:
also in
fi
DER RÖHRE.
IN
A
=
+—Ak^ Q cos
r— sinÄ;(a5— a)sin2 7rn/
acosÄa
^
2na
'
cos 2 ;rn
A; a:
(298)
<
^
'
oder
= L sin
1^
(2 jrn
<
+ t,),
wenn
sin* k[pc
a y
tang
=
r,
tt)
+
k* Q^ cos^ k x
(298 a)
4n^
Q cos k X cos k ce
k^
2
Die
—
ka
cos^
:7r
sin Ä (x
— a)
welche die Werthe von x giebt, für
L^ ein Maximum oder Minimum wird, ist dieselbe wie
Gleichung (297 b), welche oben für die Grenz werthe von J^ aufgestellt
Bedingungsgleichung,
welche
Maximum ist, wird U' ein Minimum, und
L^ ein Maximum, wird tang t, =
(oder vielmehr
gleich einer verschwindend kleinen Gröfse), also:
wo
aber
ist;
9=±j
letzteres ein
Wo
umgekehrt.
A
,
wo L^
^
9
ein
.
.
Minimum
ist,
.
zna
!7r
.
.
wird tang
^
= ± Ak^Qco^ka
cos 2
n
An diesen
Maximum
^^
„
—— = ± Ak^Qco%ka sin2;rw<,
dx
2n
o
— s\n2nnt,
-.
acosÄ;«
n ^<
=
oo,
dW
-— = ±
dx
,
Stellen also fällt das
t,
Maximum
—u
A
;
cos 2 jrn
<
cos k
der Verdichtung mit
dem
der Geschwindigkeit in der Zeit zusammen, nicht aber
an den zwischenliegenden Stellen. Denn, wo weder sinÄ(a; —
noch cos k{x — d) der Null nahe sind, sind sowohl tang t als tang
«)
r,
sehr kleine Gröfsen, und es wird also nahehin
f)
so
dafs
nahehin
hier
um
die
=
Maxima
sich die
0j fortgesetzt, so
des Druckes
und der Geschwindigkeit
ebenen Wellen bis zur Oeffnung der Röhre,
wird dort tang t = 0, dagegen
tang T,
Nun
k^ Q
W = Jcos2nnt,
-y—
dx
eine Viertel-Undulationszeit auseinanderfallen.
Denkt man
wo X
d
= Lsm2 7cnt,
=
— —Q
k^
^
cotang k a
im Allgemeinen tang k a eine kleine Gröfse erster Ordnung,
Ordnung, also tang t, sehr klein und t,
nahe an Null. Aber es kann auch für besondere Röhrenformen
ist
eine solche zweiter
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
224
ce
=
Im ersteren Falle würden in
t, = ^ yr.
Maxima der Geschwindigkeit und der Verdichtung
werden, dann würde
der Oeffnung die
um
§ 56.
eine Viertel-Undulation der Zeit
im
liegen,
Poisson's Voraussetzung,
zusammenfallen.
zweiten Falle
nach aus einander
dafs
die
Verdichtung in der Oeffnung gleich der Geschwindigkeit, multiplicirt
mit einer sehr kleinen Constanten,
Auch
trachtete.
man
als
den allgemeinen benur
in diesem Falle ist sie übrigens
sich erlaubt,
die
ebenen Wellen bis zur
wenn
richtig,
Mündung
man
denken, aber nicht, wenn
fortgesetzt zu
nur in einem be-
also
ist
sei,
sonderen Falle richtig, den er allerdings
der Röhre
die wirklich in der
Oeffnung stattfindenden mittleren Werthe der Geschwindigkeit und
Verdichtung nimmt.
Was
Lage der einzelnen Wellenphasen in einem gegebenen
so finden wir die Lage der Geschwindigkeits-
die
Augenblicke
betrifft,
maxima
der Eegion
in
setzen, oder
d^W
^=
auch
=
der ebenen Wellen, indem wir -^—^
da hier -j—^
0,
= — cos 2nnismkx
-{-
\_B
cos
{• k^
w^
tt
+
W = 0.
93 sin
2
Also
;r
w ^]
cos k
;
als Bedingung unter Berücksichtigung der Gleichungen
und (296 g)
daraus folgt
(296 f)
tang Ä a;
Wenn
t
=
0,
=
+
tang Ä; a
k^
—Q tang2!;rw^
wird
tang kx
=
tang k a
— {x —
Die Maxima der Geschwindigkeit liegen dann, wo
die
(298b)
-^r
—
Minima, wo
{x
— cc)== [a + \) A.
Wenn nun
t
=
al,
wächst,
so
a)
doch immer
bleibt, weil k^
Q
noch tang
unmerklich wenig verschieden von tang/ca, also die
A;a;
eine verschwindend kleine Gröfse
Lage der Maxima und Minima unverändert,
Wenn aber t sich
endliche Werthe hat.
ist,
so lange tang 2 7int
dem
Werthe
einer
Viertel-Schwingungsdauer nähert, wird auch tang k x gleichzeitig mit
tang 2 7int erst
+
oo
,
dann
—
oo,
dann
aber,
so wie tang 2 Tint
endliche negative Werthe erreicht hat, wird tang/ca: wieder gleich
ta.ng kcc,
und
so
bleibt
es
Schwingungsdauer stationär,
wieder während beinahe einer halben
so
lange
tang 2 7int endlich
bleibt.
So oft nun tangkx vom Werthe t&ng kce auf + oo wächst, dann
von — 00 durch die negativen Werthe bis
und wieder auf tang k a
FORM DER WELLEN
§ 56.
um
mufs k x
übergeht,
wachsen und x
it
Maximum, welches zur
also ein
Länge aA
Länge
reducirte
um
beträgt,
—
(a
Zeit
die Zeit
= ——
^
da
\
wo
liegt,
—
V)X
u.
So wird
X.
die reducirte
übergehen auf die
schnell
t
3
= ^—
dann
,
w.
s.
Räume dagegen bewegen
freien
um
selbst
=
<
225
\) X, hier beinahe stillstehen bis
schnell fortschreiten auf (a
Im
DER RÖHRE.
IN
Maxima der Ge-
sich die
schwindigkeit mit der gleichmäfsigen Fortpflanzungsgeschwindigkeit a
sie
den entfernteren Theilen des freien Raumes liegen
In
vorwärts.
zur Zeit
=
^
wo
0,
=
()
+ ^) A.
(b
Der Abstand zweier Maxima
der Geschwindigkeit, von denen eines im freien
das andere in der Röhre gelegen
Da
bis zur Zeit
steht,
t
zur Zeit
t
=
Räume in der a;-Axe,
ist (a+b+^)A — «.
= -—
das im freien
fernung beider
ist,
das Maximum in der Röhre fast ganz still
4n
Räume um \ X fortschreitet, so wächst die Ent-
Maxima
bis auf
ziemlich schnell zurück auf
[a
nahehin
+
h)X
—
(a
cc,
+6+
|-)yl
sich so
geht dann
der nächsten
—a
halben Schwingungsdauer wieder auf {a-\-h-{-\)X
und bewegt
— «,
um während
zu
steigen,
immer zwischen den genannten Grenzen.
Mit der Verdichtung verhält es sich ähnlich.
Ihre Maximal-
werthe werden gegeben durch die Gleichung:
Q
= — tang ka + k^
-^— cotg 2nnt.
cotang Ä; a;
Zur Zeit
t
=
-r— ist cotg 2
4w
;r
wi
=
0,
und
die
(298c)
Maxima der Verdich-
— \)X
tung liegen, wo die reducirte Länge der Röhre
[a
Diese Lage behalten
nahehin
wo
cotg
2nnt
wärts bis (a
liegen sie,
sie
auch unverändert
Dann rücken
unendlich grofs wird.
—f
wenn
)
=
—
-,
da,
wo
(>
=
=
—
4w
2
sie schnell vor-
"1^)
dann wieder allmählich
u.
s.
w.
^) A
(a
+
— a,
b)
A
wächst
—
or,
all-
wächst
Sowohl die Maxima des Druckes
wie der Geschwindigkeit haben ihren gröfsten
sie stillstehen,
Ihr Abstand von
(b-f-^)A.
denen in der Röhre beträgt also dann (a + b +
mählich auf (a + b -f
A — a, sinkt schnell auf
wenn
t
In den entfernteren Theilen des freien Raumes
A.
/
bis
beträgt
ihren kleinsten,
wenn
sie
Werth
in der Röhre,
vorwärts eilen.
Uebri-
Maxima der Geschwindigkeit vorwärts zu den Zeiten
und an den Orten, wo die des Druckes stillstehen, und umgekehrt.
gens eilen die
H. V. Helmholtz, Theoret. Physik. Bd. Ul.
15
DRITTEE THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
226
§
56.
Stärke der Resonanz in der Röhre. Denkt man sich die
Röhre nur bis x = — l reichend und ihr Ende im Bereiche der
ebenen Wellen gelegen, so kann die Erschütterung der Luft in der
Röhre entweder an diesem Ende mitgetheilt werden, oder von der
vorderen Oeifnung der Röhre her, indem ein Schallwellenzug gegen
Was zunächst den ersten Fall
die Mündung der Röhre schlägt.
der Form der ebenen Wellen
Feststellung
nach
betrifft, so kann
leicht der Fall behandelt werden, wo die Röhre durch irgend eine
Platte
von beliebiger Masse geschlossen ist, welche durch irgend
(z. B, einer über die Mündung der Röhre aus-
eine elastische Kraft
gespannten Membran) in ihrer Lage gehalten und durch eine be-
Es
läfst
der
wirkende Kraft in Erschütterung versetzt wird.
periodisch
liebige
dann für jede Röhrenform und Tonhöhe, für welche
sich
Werth der Constanten a bekannt
ebenen Wellen
freien
Raumes
als der
wo
sowohl die
Hier genüge
vollständig angeben.
Fall zu erwähnen,
ist,
der
es,
nur kurz den
Bewegung von bestimmter Geschwindig-
eine
dem
keit mitgetheilt wird, der also praktisch etwa
wo
Form
Kugelwellen in den entfernteren Theilen des
Falle entspricht,
eine Stimmgabel die Schlufsplatte der Röhre erschüttert.
Die Geschwindigkeit der der Schlufsplatte mitgetheilten Be-
wegung
sei
O
wo
wir unter t„ eine
cos {2jint
willkürliche
deren wir den Anfang von
für
X = —
t
+
r„),
Constante
verstehen,
passend bestimmen.
mittelst
Dann mufs
sein
l:
=
Jcos {2%nt
+
t)
=G
cos {2
7t
nt
+
r„)
also
«=
tangr„
+ ^^m^«,
^=^l/"4^T^'
cos^ kcc
4
= tangr=
k^
Q sin kl cos k cc
2;rcosM^
Das Geschwindigkeitspotential
Raumes
in
+
'
^^
(299 a)
^)
den ferneren Theilen des freien
ist
^cosgcQ^-2jtni)_
Q
wo nach Gleichung
(299)
TT^
(296 b)
2n'
§
FORM DER WELLEN IN DER RÖHRE.
56.
227
M
aus
und l bestimmen. A, das
Es läfst sich also Ä und
Schwingungsmaximum in der Röhre, und ebenso M, die Intensität
der Kugelwellen im freien Räume, wird bei constantem O, also bei
constanter Bewegung der Schlufsplatte der Röhre, am gröfsten,
wenn der Factor von A in Gleichung (299) am kleinsten ist, d. h. wenn
cos
Dann
+
Ä;(/
a)
=
ä
,
(i
+
=
a)
(a
+ i) w
ist
—
P_
2n
^
Q = ,^^
G,
A = ..^
cos ka
27i Q cos kcc
k^
,
Q
ja
4n^ COS kce
Die stärkste Resonanz der Röhre und der stärkste Schall im freien
Räume
wenn
findet also statt,
die
Knotenfläche mitgetheilt wird.
Bewegung der Luft am Orte
Die Stärke der Schallwellen wird da-
Denn damit der im Nenner
bei sehr grofs, aber keineswegs unendlich.
der Werthe von
A
und
M stehende
cos
ka
Fläche der Oeflfnung gleich Null werden.
dafs die
Resonanz sowohl
in der
Röhre
Null werde, müfste die
Dabei zeigt sich zugleich,
als
auch im freien
Räume
Röhre
Wenn,
Dann
desto mächtiger wird, je enger die Oeffnung der
wie gewöhnlich, k a klein
ist
Wirkung im
die
Röhre.
der
um
freien
kann cos ka
ist,
freien
einer
—
\
ist.
gesetzt werden.
Räume unabhängig von
der
Form
der
Die Vibrationen der Schwingungsmaxima in der Röhre und
ganze Wellenlängen von der Oeffnung entfernten Wellen im
Räume
unterscheiden sich dabei von denen der mitgetheilten
Bewegung um eine Viertel -Undulation.
Das Minimum der Resonanz tritt ein, wenn der Factor von A
im Werthe von öin Gleichung (299) sein Maximum erreicht, d.h. wenn
cos Ä; (/
+ a) = ±
1
Ä;(/
,
+
or)
=
a
;r
dann wird mit Weglassung kleiner Gröfsen
Ocoska
= A,
X
=
an
,
M= —
QOcoska
2n
Räume ist also, je nach dem Werthe von ce,
wenn gar keine Röhre vorhanden wäre, und
Schlufsplatte der Röhre einen Theil der übrigens
Die Wirkung im
fi*eien
gleich oder kleiner, als
die erschütterte
festen
yz-Khene
bildete.
Die grofse Verschiedenheit der Schallstärke in der Luft bei
gleicher Excursionsweite der schwingenden Endplatte der Röhre,
15»
DRITTER THElL. ZWEITER ABSCHNITT.
228
§ 56.
von der die Wellen erregt werden, kann überraschen.
wenn auch
darauf, dafs,
die Excursion
doch die Arbeit,
bleibt,
die
Sie beruht
der Schwingungen dieselbe
schwingende Platte
die
durch
die
Bewegung der Luft leistet, eine aufserordentlich verschiedene ist,
je nachdem sie gegen verdichtete oder nicht verdichtete Luft sich
vorwärts bewegen mufs.
Bei stärkster Resonanz findet am Ende
der Eöhre auch der stärkste Wechsel von Verdichtung und Verdünnung statt.
Gehen wir jetzt über zu dem anderen Falle, wo der Schall im
Räume
freien
Entfernung von der Oeffnung der Röhre
in gröfserer
erregt wird, letztere aber an der Stelle x
Da
die in
dem tönenden
— —
l
fest geschlossen ist.
Punkte, dessen Coordinaten
cc,
ß,
y
seien,
erregten Wellen von der festen 2/a;-Ebene reflectirt werden, müssen
Räume zusammengesetzt denken
wir uns die Bewegung im freien
den Wellen, welche der tönende Punkt erregt,
aus
welche sein Spiegelbild, dessen Coordinaten
—
a, ß,
y
und denen,
sind, erregen
Setzen wir das Geschwindigkeitspotential Q) dieser Bewegung
würde.
auf Seiten der positiven x im freien
(D
=H
— 27tnt + c)
cos {kr,
Räume
cos
{kr„~27cnt + c)
(300)
r,
wo
r,
die Entfernung
Spiegelbilde
—
a, ß,
vom Punkte
d(D
dx
Ist der
und
a, ß, y
y bedeutet, so
und
r„
die
von seinem
an der ganzen yz-WoQue.
ist
=
tönende Punkt weit von der Oeffnung der Röhre entfernt
diese klein gegen die Wellenlänge,
Verschiedenheiten des Werthes von
so
können wir die kleinen
in verschiedenen
Punkten der
Oeffnung vernachlässigen und hier setzen:
=
cos{27t nt
+
T„),
wo
tang T„
= —
tang {k r,
+
c).
Innerhalb der Röhre setzen wir dann:
(li=
Dann
ist
O cos kx cos {2 ';tnt
an der Oeffnung continuirlich und
aufsen eben da gleich Null.
(300a)
-{-r„).
dx
innen und
Innerhalb der Röhre können wir bei
FORM DER WELLEN
§ 56.
dieser
—=
Annahme —
an
am
verschwindend
die
d(D
1
—
dfli
Ende
verschlossenen
ist
—z
dx
Hier müssen wir setzen:
gleich Null.
dx
wir
229
nicht cylindrischen Theile der Röhre
Nur am
annimmt, vernachlässigen.
im Allgemeinen nicht
indem
setzen,
kleinen Werthe, welche es
DER RÖHRE.
IN
dW =
^
dx
und das Geschwindigkeitspotential im ganzen Räume
wo
W,
-\-
W
das von uns früher bestimmte Bewegungspotential der ebenen Wellen
in der Röhre, die in
allen
den freien
Raum
übergehen,
ist.
Bedingungen der Aufgabe genügt.
Wir haben
— k G8ijiklcos{27t nt +
^008(27^^
t„)
=
Dadurch ist
x= —l:
also für
+
(300b)
r),
also
j
k
11
n
G sin kl
,/cos2ä(/4-«)
T
A
—
— J—
Ä\/
cos^ ka
\
—
k^Q^
,
-\
2,,
:r-^-sm^kl.
4n^
.
}
\
(300c)
^
'
j
Das Minimum von Ä bei gleichen Werthen von G tritt offenbar ein,
wenn sin A;/ = 0; dann wird ^ = 0, und die Bewegung im freien
Räume so, als wäre die Mündung der Röhre gar nicht in der yxEbene vorhanden. Das Maximum aber tritt ein, wenn cos k{l-{- a) = 0\
dann wird:
271
und wieder wird beim Maximum der Resonanz der Phasenunterschied von einer Viertel-Undulation zwischen den erregenden Wellen
und den erregten eintreten. Das Maximum der Resonanz in der
an einem Ende geschlossenen Röhre tritt also in beiden Fällen,
sowohl wenn der Schall vom geschlossenen, als wenn er vom offenen
Ende her der Luft der Röhre mitgetheilt wird, ein, wenn die reducirte
Länge der Röhre ein ungerades Vielfaches der Viertel -Wellenlänge ist.
Aus dem Reciprocitätsgesetz des Schalles, welches in Gleichung (293 a)
ausgesprochen ist, läfst sich nun dasselbe Gesetz auch für jede
andere Lage des tönenden Punktes ableiten. Es pafst auf unseren
Fall direct die Form, welche wir dem Gesetze in Gleichung (293 c)
gegeben haben. Die dortige Constante A, welche der Intensität de'
unendlich wird, wl.
tönenden Punktes b entspricht, indem dort
=Ä
,
(p
cos kr,
^cos2;r»/,
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
230
d
wollen wir gleich
Stelle
da der Wand
Grunde der Röhre
ist
—z—^
dn
Boden der Röhre erschüttert
und (299a) gesetzt worden:
=
—^-^
dx
B
blofs ein
Aufserdem
ist
dem
in
wo der
Falle,
in
T„)
;
der Gleichung (293 c) mit
W
vertauschen und im Ausdrucke für
— T„.
und
O cos {27int +
wir haben also die Constante
1
,
wird, von uns in den Gleichungen (299)
dW
——i =
21111
gleichgesetzt worden:
B cos 271 nt.
dn
Am
W ist in Gleichung (293 c)
Der Werth von -=—
1 setzen.
an der erschütterten
§ 56.
dem
^nnt
zu schreiben
Anwendung
Falle unserer
da
einziges Flächenelement
statt
zu
erschüttert worden,
nicht
sondern
der ganze Boden der Röhre; wir müssen also über diesen integriren,
und erhalten
so:
471%= -Gj(Pad(o,
(301)
Boden der Röhre auszudehnen ist.
nun der tönende Punkt vom Boden der Röhre nur weit genug
wo
die Integration über den
fernt,
dafs hier ebene stehende
hier von der
Form
(J)
Wellen entstehen können,
Ist
ent-
also
ist:
= /"cos k{l
-{-
x)
cos {27int
+ c),
so wird aus Gleichung (301):
47t^f^= —fOQco8{27int
4n [»P^^cos {271 nt — t„) + ^j sin [27int — t„)]
4 TT (y^ cos T„
—
^'sin
T„)
+ G),
= — /"Ö
cos (2?!
= — / ö Q cos c
4;r(^6sinT„+ Wcost„)=
/"ö Osinc,
,
I
w^
+ c),
^^^^^^
|
47i^mf + {mf = fGQ.
Nun
ist
der Werth der Functionen
W
und
W
Constanten A, deren Verhältnifs zu
länge gegeben
ist
in
Gleichung
G
(299).
Punkt h
vorkommenden
für jeden
proportional der in den Gleichungen (294) bis (300)
für eine bestimmte
Also
ist
Röhren-
bei wechselnder
REDUCIKTE LÄNGE VERSCHIEDENER RÖHRENFORMEN.
§ 57.
Röhrenlänge auch f proportional dem VerhältniTs
/
folgt
Dies Ver-
.
Gleichung (299) hervorgeht, ein Maximum, wenn
hältnifs wird, wie aus
Daraus
—
231
+
a
= (2o +
auch bei einer beliebigen Lage des
dafs
also,
l)iA.
tönenden Punktes die ebenen Wellen im Innern der Röhre, wenn
dergleichen überhaupt entstehen, das
wenn
reichen,
die reducirte
Maximum
Länge der Röhre
faches der Viertel -Wellenlänge
ihrer Intensität er-
ein ungerades Viel-
ist.
Die ebenen Wellen im Innern einer an beiden Seiten offenen
Röhre lassen sich mittelst der aufgestellten Probleme behandeln,
wenn die Mündungen der Röhre nach der von uns gemachten Annahme in zwei parallelen festen Ebenen liegen, die den Luftraum
in zwei Theile trennen, und der Schall auf der einen Seite von
einem weit entfernten tönenden Punkte ausgeht Auf der einen
Seite dieser
Wand
setzt
man
das Geschwindigkeitspotential gleich
der in den Gleichungen (294) bis (296)
gebrauchten Function
W
auf der anderen Seite gleich der in den Gleichungen (300) bis (300 c)
+
vorkommenden Form
^, welche der Resonanz
entspricht, in welche der Schall von der offenen
Man
Röhre
einer
Mündung
eintritt
hat dann nur die Coefficienten der ebenen Wellen in
Röhre
der
diesen beiden Ausdrücken des Geschwindigkeitspotentials
in
Da
so zu bestimmen, dafs hier beide Funktionen identisch werden.
möge das Gesagte genügen.
Die Resonanz in der Röhre wird am stärksten, wenn die reducirte
Länge der Röhre, an welcher man die Correctionen für beide Mündas weiter keine Schwierigkeiten macht,
dungen anzubringen
Wellenlänge ist
Reducirte Länge verschiedener Röhrenformen.
§ 57.
Wir
hat, ein Vielfaches der halben
wollen schliefslich noch eine Reihe von Röhrenformen auf-
suchen, für welche mit den bis jetzt bereiten Hülfsmitteln der Analysis
Länge
sich
die Luftbewegung in
der
Mündung und
länge bestimmen
öffnung,
läfst,
reducirte
dafs gegen diese die Dimensionen der Röhren-
ihres Querschnitts
und des von der Cylindergestalt ab-
weichenden Theiles der Mündung verschwinden.
Röhre
die
vollständig wenigstens für Schallwellen von so grofser Wellen-
sei
übrigens
eine Rotationsfläche,
Die
Wand
der
welche in kleiner Ent-
fernung von der kreisförmigen Mündung, deren Radius
R
sei,
über-
geht in einen Cylinder von kreisförmigem Querschnitt, dessen Radius
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
232
wir R^
nennen wollen.
Wir
setzen ferner voraus,
um
§ 57.
auch die
dafs
Axe der Röhre vor
Werke
gehen, dafs wir eine bestimmte Böhrenform annehmen und dazu
die Potentiale der Bewegung suchen, sondern wir müssen umgekehrt
von der Potentialfunction ausgehen und die dazu gehörige Eöhrenform bestimmen, was sich in jedem Falle ausführen läfst. Nur
müssen wir eben solche Formen der Potentialfunction suchen, welche
Bewegung der Luft
sich
überall symmetrisch
die
Wir können nun im Allgemeinen
gehe.
Röhren geben,
nicht so zu
die in kleiner Entfernung von der
Mündung
in Cy-
linder übergehen.
Dem
Bewegungspotentiale der Luft haben wir die
Form
gegeben:
W=Wcos27int-{- W"sm27int.
Für
die tieferen Theile
der Röhre haben wir in Gleichung (296 g)
gefunden:
ip"=_A^coskx.
Im
freien
wir oben
Räume
ist
aber,
wenn wir
—
(296k)
—=
setzen, welches, wie
dx
schon gefunden haben, mit k verschwindet, nach
Glei-
chung (295 d):
_
fd^'
1
sin^n
dx
2% j
welches innerhalb der Mündung,
,
'
r,
wo wir
kr,
verschwinden lassen
dürfen, wird:
W'^-^ff-ä.^-^.
2%
2%J dx
(2961)
Sowohl Gleichung (296k) wie Gleichung (2961) giebt innerhalb der
Mündung den
Sie gehen also
über.
gleichen
Werth von
W und den Werth
ßlp^'
Null für
an der Mündung der Röhre continuirlich
Längs der
festen
Wände
—
dx
in einander
des Luftraumes geben beide
—dW
—=
dn
i
0,
nur an dem nicht cylindrischen Theile der Röhrenwand wird dieser
Differentialquotient nicht genau Null, aber verschwindend klein.
ist also
W
unter dieser
Annahme
den Bedingungen der Aufgabe Genüge
berechnet werden, nachdem
W
Es
eine continuirliche Function, die
leistet,
gefunden
ist.
und kann unmittelbar
§
REDUCIRTE LÄNGE VERSCHIEDENER RÖHRENFORMEN.
57.
W
Die Function
Räume
hat im freien
W^fkJ
cos
die
233
Form:
Ar
dca
''
wo
(302)
h
Im
= —
1
dW
2n dx
Innern der Röhre werden wir ihr eine andere analytische
Form
W^
geben müssen, welche die Eigenschaft haben mufs:
Im Innern
1)
der Röhre die Bedingung zu erfüllen:
JW^ + k^Wi =
für
2)
nehmen
grofse
(302a)
0,
Werthe von x folgende Form anzu-
negative
:
Wf=^8mkx-^
Bcoskx,
(302b)
an der Fläche der Oeffiiung den Bedingungen zu genügen:
3)
W.*
=
W
und
Form
Dann wird
die
dafs an der
Wand
^V-^
dx
der Röhre
=
Form
(302 d)
0'
aber noch der Bedingung genügen mufs, dafs nur für
solche
Werthe von
klein
sind,
haben
(302c)
2;r Ä.
gefunden durch die Bedingung,
=
4^
an
welche
=^^
dx
x,
welche gegen die Wellenlänge k verschwindend
die Fläche
merkliche Neigung gegen
eine
darf, weil wir vorher
die
x-Axe
auch
kx
dn
d cos
gesetzt
haben längs der ganzen Ausdehnung der Röhrenwand, und
Bedingung die Form der Röhrenwand von der
weil nur unter dieser
Wellenlänge unabhängig gefunden wird.
(>
cos
o)
= y,
Q sin
Indem wir
co
=
setzen:
x,
und berücksichtigen, dafs nach der Voraussetzung W nur eine Function
von Q und x, nicht von « sein soll, wird Gleichung (302 a):
^^
dx^
dQ^
_L4!fi
Q dQ
+
,.^,*
=
0.
(302e)
^
'
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
234
Wir
§ 57.
setzen:
(p
wo E^
= -^sin kx +
Bcoskx
+
^^EJ^ß-^''^'^^^^* ^^e)],
U^mc) folgende
beliebige Constanten,
Function bedeutet:
t^(™.)=l--2i-+ 2X4:4- -X2X4.^:6-^-'-^-'
und unter dem Summenzeichen
sind,
welche
—
=
J^£L
für
m
diejenigen
machen, wenn o
=
d()
(303)
R,.
^
(^^^^^
Werthe zu setzen
Dann
^
ist
eine
Function, welche der Differentialgleichung (302 e) Grenüge leistet und
an der
Wand
einer cylindrischen
Bedingung genügt, dafs
—— = 0.
Köhre vom Eadius R^ auch der
dem Exponenten von
In
e
mufs
der Wurzel immer das positive Vorzeichen gegeben werden, wenn
ist, damit Q> für unendliche negative x
Eöhre aber irgendwo abgeschlossen, so sind
auch negative Vorzeichen der Wurzel zu nehmen, und die Coefficienten derselben so zu bestimmen, dafs die Grenzbedingungen an
die E-öhre
unendlich lang
endlich bleibt.
dem
Ist die
geschlossenen
Ende
Werth von mi?^, der
die
erfüllt
Bedingung
3,83171, der zweite 7,01751
mählich der Gröfse
nentialfunctionen
Röhre
entfernt,
(a
+
ist,
ab,
an welchem
—
-^
=
während
übrigens der kleinste
für
q
=
R^
die folgenden
erfüllt,
sich all-
nähern, so nehmen alle diese Expo-
-^);r
schnell
Da
werden.
wenn man
sie einen
sich
von dem Ende der
merklichen Werth haben, und
Länge der Röhre beträchtlich grofs gegen den Durchwerden sie in der Mitte oder am anderen Ende derselben zu vernachläfsigen sein.
Es wird also im Allgemeinen geso
oft
messer
die
ist,
nügen, dafs wir uns auf die Glieder beschränken, für welche die
Wurzel im Exponenten ein positives Vorzeichen hat. Da übrigens mi?^
nach dem Gesagten eine endliche, kli^ aber eine verschwindend
kleine Zahl ist, so können wir in dem Exponenten P gegen m^
vernachläfsigen
a>
und setzen
= —-sinfca;-!-
5cosÄ;a:
+
-5'{EUe'"*C^(me)}-
(303b)
Diese Function erfüllt also allerdings die Forderung der Gleichungen
(302 a) und (302 b), welche wir oben für die Function W^ aufgestellt
§
REDUCIRTE LÄNGE VERSCHIEDENER RÖHRENFORMEN.
57.
haben,
sie
wird aber im Allgemeinen nicht der dritten Bedingung
wenn wir
(302c) entsprechen, dafs,
dä>
_
setzen:
dW'
dx
dx
auch
235
sei:
0=
--- r —dW
coskr
\
y>'=
/
2% J
dx
^
da,
r
oder,
da innerhalb der Oefinung kr unendlich klein
diese
Bedingung auch darauf reduciren, dals
ist,
kann man
sein müfste:
d0 da
2%J
dx
Bedingung durch besondere Annahmen über die
erfüllt, so würde die Gestalt der Röhre
einfach cylindrisch sein.
Es liefs sich aber keine Methode finden,
um die Coefficienten dieser Bedingung gemäfs zu bestimmen und
Wäre
diese letztere
Gröfse der Coefficienten
somit die Aufgabe für ganz cylindrische Röhren streng zu lösen.
Auch
dafs die Convergenz der Reihe für
läfst sich einsehen,
in
Gleichung (303) für diesen Fall eine sehr langsame sein würde, da
die Geschwindigkeit der Lufttheilchen
die
—
—
am Rande
dx
=
der Oeffnung,
durch eine scharfe rechtwinklige Kante begrenzt sein würde,
— (>) - i werden müfste, und daher die Reihe
unendlich grofs wie (Ä
d0
—
für -j
dx
für
den Werth o
=R
und x
=
überhaupt nicht con-
vergiren kann.
Wir fügen
noch eine andere Function hinzu, die
in gröfserer Entfernung von der Oefi'nung verschwindet, also auch
nur in der Nähe der Oeffnung Einflufs auf die Gestalt der Röhre
deshalb zu
ausübt, aber die Continuität an der Oefinung herstellt
Bezeichnen wir der Einfachheit wegen die Potentialfunction
einer auf der Kreisfläche der Oeffnung mit der Dichtigkeit h verbreiteten
Masse mit P^,
also
Ph
=
fh^^da,
(304)
über die ganze Fläche der Oeffnung genommen.
dieses
Integral
Wenn
die Distanz des Punktes, für welchen wir P^ bestimmen, vod
der Oeffnung klein
ist,
so ist cos
kr
=
l
A = /^-
und
(304a)
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
236
§ 57.
Setzen wir ferner
h^i-\-l,
(305)
däi
.
l
so,
.
(dOoa)
;
471
und bestimmen wir
._.
—
dx
l
i=
^
^
dafs in der Fläche der Oeffnung
^ = i^,
was sich immer ausführen
(305b)
weil die Verth eilung einer Masse
läfst,
auf einer Kreisscheibe, die an der Oberfläche dieser Scheibe eine
Potentialfunction von gegebener Gröfse giebt, nach bekannten
gefunden werden kann.
thoden
positiven
x,
Me-
wir ferner auf Seite der
Setzen
wie schon oben geschehen:
^'=^. =
^i
+
(305c)
^i
in der Röhre, also für negative x:
iPi=(a
so
genügen die Functionen
dingungen.
Dafs nämlich
+
Pi-Pi,
(305d)
W und Wi allen für
W im freien Räume und
sie gestellten
Be-
Wi im Innern
der Röhre der Bedingung genügen:
JW-^k^W=0.
ist
aus
grofse
der
Bildungsvveise
Werthe von
—x
Wi
dieser
Functionen
(302a)
klar.
Dafs
Wi für
übergeht in
= —sinkx + B cos kx,
K
erhellt daraus, dafs Pi und Pi in einer gegen die Oeffnung der
Röhre grofsen Entfernung unendlich klein werden, <!> aber wirklich
in jene Form übergeht
Da femer nach der Gleichung (305 b) in
der Fläche der Oeffnung
wird
W = Wi =
Da
".id
+
Pi.
ferner an der Fläche der Oeffnung
—dPi =
dn
i
Pi
9
—2711
.
auf der Seite der positiven x
dP _ d¥
dn
<f^
= -1--3
^
dx^
,
dx
(305e)
REDÜCTßTE LÄNGE VERSCHIEDENER RÖHRENFORMEN.
§ 57.
237
auf Seite der negativen aber
dP
dP
so ist
=
-2jt{i+l).
(305 f)
Somit sind die gestellten Bedingungen (302 a), (302 b) und (302 c)
erfüllt.
Die
Form
der ßöhrenwand wird endlich durch die Gleichung
gegeben
dWi
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
238
Zu bemerken
festzustellen,
die
noch, dafs man,
ist
um
die
Form
§ 57.
der Function
(l>
Gröfse des Eadius des cylindrischen Theiles der
Eöhre i?j bestimmen mufs, weil von dessen Gröfse die in der Summe
vorkommenden Werthe von m abhängen. Um P^ und Pj zu finden,
mufs wiederum die Gröfse des Eadius der Oefihung R festgestellt
sein, und schliefslich, wenn man die Eöhrenform aus der Gleichung
d W.
—— =
?
an
der
bestimmt, wird die Stromescurve, welche von
Oeffnung ausgeht,
Eadius
J2j
übergehen.
der Constanten von
nicht
Um
dem Eande
nothwendig in einen Cylinder vom
dies
nun zu bewirken, mufs man
AQ=-2nM
Q
bestimmen, worin in unserem Falle
1
CdW
— da)=
M=—-^i—l—
dx
2n
J
Daraus
eine
durch die oben gefundene Gleichung
(296b)
der Querschnitt der Eöhre
r
I
J
(i
^
+
l)d(o.
folgt:
ÄRl
Wenn R und
= -
2f{i
+
(306b)
l)dco.
R^ gegeben sind, giebt diese Gleichung eine Bedingung,
welche durch die Coefficienten des Ausdrucks für (p in Gleichung (306)
erfüllt werden mufs, so dafs einer von ihnen durch die anderen be-
stimmt werden kann.
§ 58.
Wir wollen
den
einfachsten
Einfachste Röhrenformen.
endlich noch die Eöhrenformen berechnen, welche
Annahmen über
die
Function
entsprechen.
Setzen wir
A
= —8mkx
+ Bcoskxj
so wird
nach Gleichung (305 a):
Ä
^^~~i^'
und
(307)
in der
r
hd(x)=-
-\ÄR\
(307a)
Ebene der Mündung nach Gleichung (305 b):
^ = i^,
(307b)
EINFACHSTE RÖHRENFORMEN.
§ 58.
woraus nach bekannten Sätzen
einer leitenden Kreisscheibe
Somit
folgt
239
über Elektricitätsvertheilung
auf
dafs
folgt,
aus Gleichung (306b):
äR\=\AR^-—BR.
n
Den Unterschied a
(307 d)
der wahren und reducirten Röhrenlänge haben
wir oben definirt durch die Gleichung (296 f):
kB =
A
Da.
ka
endlich
sehr
eine
ist,
kleine Gröfse
.
tang Ä a .
ist,
R^:R
so oft das Verhältnifs
können wir in diesem Falle annähernd setzen:
B
n R,
"^
tnnn
-n
x
kommenden Röhrenformen der
und reducirter Länge gegeben ist,
wenn die Radien des Cylinders und seiner Mündung bestimmt sind.
Die reducirte Länge der Pfeife ist gleich der wahren, also cc = B = 0,
wodurch für
die hier
in Betracht
Unterschied zwischen wahrer
wenn
R= R^y2.
14
Wenn
R=R,,
gegen R^
Mündung ebenso
die
jj
wird
ist,
cc
= -rR
und
B=
weit
ist
wie
TT
r-RA.
4
der Cylinder,
Wenn R
also
sehr klein
wird annähernd
B
A
nR\
Q
2R
2R
wie es schon oben für diesen Fall in Gleichung (296 i) gefunden ist
Unter diesen Umständen kann natürlich nicht die abgekürzte
Form
der Gleichung (307 e) für die Gleichung (296 f) angewendet werden.
Die Bedeutung der Function / der Gleichung (306 a), welche
zur Bestimmung der Strömungscurven dient, setzen wir durch
gende Gleichung
fol-
fest:
QX
= j^M?,
(308)
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
240
worin unter
Daraus
dem
Integralzeichen x einen constanten
Werth
behält.
folgt zunächst:
=
^((.r)
Da
§ 58.
wir nun für
P^,
(308a)
unseren jetzt vorliegenden Zweck uns erlauben
und Pj [s. die Gleichungen (306)
zu setzen, so
und (304 a)], aus denen W^ zusammengesetzt ist, A; =
auf:
sich
die
Gleichung
e)
in
der
Nähe
der
Mündung
reducirt
(302
durften, in den Functionen 0, P.
do^
dx^
und wir erhalten
dQ
Q
^
also:
^fe^) = -C^;
aus den Gleichungen (308 a) und (308 b)
(308b)
folgt, dafs die
Function x
der Bedingung genügt:
<'(i'^)'''^'+^'lLlÄ =
dQ
und
dx
d^
dx
dafs in einer durch die aj-Axe gelegten
=
Const.
=
Const.,
QX
(306a)
o,
Ebene
die
Curven
orthogonal sind zu den Curven
^f^
erstere also Stromescurven sind.
Wenn
wir in die Gleichung (308) für ^^ setzen:
W,=
</>
+
P.-P^,
(305d)
EINFACHSTE RÖHRENPORMEN.
§ 58.
SO
können wir auch x ähnlich
X
241
zerfallen:
Xq 'V Xi ~~ Xn7
^^
(309)
QdQj
=
QX,
Da
(309 a)
dx
J -T±Q^Q'
hier reducirt auf
sich
(Si
= Ax +
B,
so ist
(309 b)
Um
die
Berechnung von
sei
W
eine
x,
abzukürzen, werde Folgendes bemerkt. Es
Potentialfunction,
auf Seite
die
der negativen x der
Differentialgleichung genügt:
und femer
d^W
d^W
1
dW
dx^
dg^
Q
dQ
^
sei
P..
= dW
(309 c)
dx
so ist
fd^w
r
,
dQ \^^^'^^
Nun
ist
——
-
4w
auf einer Kreisscheibe
Die Gleichung (309 c) erfüllen
function
eines
ist,
braucht sich nur den Cylinder
H. V.
(309 d)
wir,
vom Radius R
wenn wir
ausgebreitet
W zur
Potential-
machen, dessen Basis die kreisund der von a; = bis x = + oo reicht
und mit Masse von der constanten
in der
do
soliden Cylinders
förmige Röhrenmündung
Man
dW
ß
Pj die Potentialfunction einer Masse, die mit der constanten
Dichtigkeit
ist.
—
Dichtigkeit
um
— A—
-
gefüllt ist
ein unendlich kleines Stück
Richtung der positiven x verschoben zu denken und die neue
HxumoLTz,
Theoret. Physik.
Bd.
III.
16
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
242
Masse
man
neue Potentialfunction von der früheren abzuziehen,
so wie die
so erhält
man
=
aber schreiben, weil y
q cos
co
:
dW
—
dW
— cos =
=
CO
;
dQ
._-^
.
{ö09 e)
•
;
dy
die Potentialfunction der Oberfläche des Cylin^
,-
dy
A
— cos«
Masse von der Dichtigkeit
die mit
ders,
w
cos
dW
—
aber
ist
Die Gleichung (309 d) kann
das angegebene Resultat.
y,
Es
§ 58.
bedeckt
ist,
47r
man den
wie sich wieder leicht ergiebt, wenn
Cylinder in Eichtung
der negativen y unendlich wenig verschoben denkt.
Also läfst sich x,
unmittelbar finden:
Arn
—
2ji
00
X,
=
-.
da
/
47rj
J ^{x - a)2 +
Der Werth, mit Hülfe
AR
^
2
—
X,
cos
T?-
ist:
2
v2
x,2
^r>
a:2+(Ä+^)2'
r^= f
J
„,
,^^
+ {K-E)r^-KE'A-c,
[\7i
"^^9
J
-Rgos cof + R^ siu^ m
(310a)
&
— «(^sin^i?-
„2
{q
elliptischer Integrale ausgedrückt, ist folgender:
{
X, sin
worin gesetzt
(310)
.
,
U2yi_^2sin2^
7t
1
Rcosado)
I
,
,
yi
—
x^
J
= 1—
1
2
x^
'
sm^ CO
'
^—
=±
-^
,
,
— pf.^sin^co
N\-x,Hm^(od(o,
E'^=^
J
—
c
= —AR^
e
= —r^—
;
>Ä
,
wenn
p
,
wenn
R> g
4
oder in beiden Fällen:
AR
1
4
1
— Ä, sin xh
+ X, sin
19-
Q
R^q
J
^"^
yi
Q.
sm t9•
X,
,
'
EINFACHSTE RÖHKENFORMEN.
§ 58.
Uebrigens
für sint?-, für cos
ist
Werth zu nehmen, der
leicht aus
Xt,
x,
immer der
den obigen Formeln
sich aus
Endlich ergiebt sich
Potentialfunctionen,
wie für
«9-,
243
die durch
positive
ergiebt.
den bekannten Sätzen über
Coordinaten ausgedrückt
elliptische
Setzen wir
sind.
X
=
Rfis,
Q=R}J\-fX^ 1/1+ «S
so ist die Potentialfunction F^ einer Scheibe, auf welcher selbst die
^B
Potentialfunction constant gleich
P,
—«
=
'
Die Linien
fi
die Linien s
ist:
arc tang
—
•
s
= G sind confocale Hyperbeln und orthogonal gegen
= C, welche confocale Elhpsen sind. Da die letzteren
unserem Falle Curven gleichen Potentials sind, sind die Linien
Strömungscurven, und wir brauchen die Gröfse qx„ nur für
den Scheitelpunkt derselben in der Scheibe zu bestimmen, so mufs
sie denselben Werth in der ganzen Länge haben.
in
fji
=G
An
der Scheibe selbst wird s
=
0, für
sehr kleine Werthe von s
und negative x wird:
-,=
Pj
q'
]/;
=
n
yW--Q^
R^
arc tang
dP,
B
dx
n y iJI^
_
—
^—
>
X
^2
Q
Um
(i
in
den bei den elliptischen Litegralen gebrauchten Hülfs-
gröfsen auszudrücken, dient,
wenn
^9-
für
(>
>Ä
negativ
wird, die Gleichung:
sin »9)
1/
{\
+ x){\ + x, sini^)
16'
genommen
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
244
58.
§
Somit haben wir denn in den Gleichungen (309 b), (310) und (311)
die Werthe von Xo> X, ^^^ X,n und die Gleichung der Strömungscurven wird:
QiXa-^X,-
Xn)
=
Const.
Röhren wand entsprechen, so mufs
durch den Rand der Oeffnung gehen, und die Constante ist:
Soll die Strömungscurve der
sie
/dW'
—— QdQ = ^ÄR\',
folglich
wird die Gleichung der Röhrenwand:
9iXo+X,-X„)
Um
= iÄRl.
Röhrenform zu erhalten, für welche
die
(311b)
die Differenz zwischen
der wahren und reducirten Länge verschwindet, müssen wir
R=R^'^
setzen,
dann verschwindet auch x<n ^^^
B=
0,
die Gleichung
der Röhrenwand reducirt sich auf:
Röhre mit trompetenförmigem, schwach erweitertem
der Wand ist überall nach innen convex,
Ende.
und ihr Krümmungshalbmesser, der vom cylindrischen Theile an
gegen die Mündung allmählich abnimmt, wird am Rande der Oeff-
Es
giebt dies eine
Die Krümmung
nung
zuletzt unendlich klein.
Macht man den Radius der Oeffnung gleich dem der Röhre,
so nähert sich die Form der Röhre am meisten einem reinen Cylinder.
Es wird dann die Differenz zwischen der reducirten und
wahren Länge der Röhre, wie schon oben bemerkt, gleich \ii R. Da
in diesem Falle die Gröfse
x,^ sin^ d-
=
{R+Q?
immer sehr klein bleibt, und also auch sin & für alle nicht zu
kleinen Werthe von x, sehr klein bleibt, kann man zur Berechnung
der Röhrenform von x
als
die
erste
von
—
&
x, sin
bis
und
x
=
als
sin 89^ die
höheren Potenzen
die zweite von sin
&
vernach-
Die so vereinfachte Gleichung für die Röhren wand, aus
der man sin ß- für eine Reihe von Werthen von x, leicht mit Hülfe
lässigen.
der Tafeln von Legendee berechnen kann,
ist:
EINFACHSTE RÖHRENFORMEN.
§58.
= -^{K-E)-
+
Sx,
X, sin d-
X, sin^
{K-E) +
nx^
«9-
I
nx'
{K--E)-
]f^^
1-x.
+
Q
245
y2x,{i+x,)
AE
4y2 x,{l+x)
I
Aus den zusammengehörigen Werthen von x, und i9- lassen sich
endlich x und o berechnen, deren Werthe in diesem Falle sind:
R
2
X, sin 1^
— X, sin &
R
X
~R
'
2 X, cos i9x[\
— X, sin
i?-)
In der folgenden Tabelle bedeutet demnach
zwischen der
Wand
unserer Pfeifenform und der des Cylinders, aus-
gedrückt in Theilen des Kadius, und ebenso
betreffenden SteUe von der Oeffhung,
Radius.
ang. sin
x,
den Abstand
—R—
den Abstand der
ausgedrückt in Theilen des
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
246
§ 58.
In gröfserer Entfernung von der Scheibe findet man:
Q-R _
Am
R^
j
32
R
schnellsten ändert die Curve ihre Natur dicht an der Oefihung.
Zwischen
tige
x,
=
und
x,
=
sin 1°
kann man folgende annähernd
rich-
Gleichung brauchen:
= log f— - 1 +
]
Wenn
x,
tang^d^r
+
^)
sehr klein wird, verschwindet log x, gegen
—=
,
und tang ß-
yx,
mufs sehr
grofs, ß-
nahe gleich
=
^n
tang i9-
werden, dann
r=r
ist:
,
oder
Q-R
-X
oder,
Y2R
8y{Q-Ry + x^
da x auch sehr klein gegen q
—B
werden mufs,
{Q-Rf = ^Rx\
Aus
dieser letzten Gleichung folgt,
dafs die
Ebene der Oeffnung an deren Kande
unendlich kleinen Krümmungshalbmesser hat.
längerte
§ 59.
Wandfläche die vertangirt
und hier einen
Tonhöhe von Resonatoren.
Das verallgemeinerte Theorem
von Green
liefert
uns
auch
einige allgemeine Gesetze der Schallbewegung für solche Hohlkörper,
deren sämmtliche Dimensionen verschwindend klein gegen die Wellenlänge sind, und die mit einer oder mehreren Oeffnungen versehen
sind,
deren Flächeninhalt sehr klein gegen die ganze Oberfläche des
Hohlraumes ist. Da solche Hohlkörper mit kleinen Oefihungen beim
Anblasen oder durch Resonanz sehr tiefe Töne geben, so ist die
erstere Bedingung für diese ihre tiefsten Töne immer erfüllt.
Wenn W das Geschwindigkeitspotential im Innern des überall
begrenzten Eaumes S darstellt, der keine tönende Punkte enthalten
TONHÖHE VON RESONATOREN.
§ 59.
soll,
und der Punkt
a, ß, y,
von welchem ab die Entfernung r ge-
rechnet wird, innerhalb des Raumes fliegt, so
/Binkr dW
Wenn nun
alle
ist
nach Gleichung (289)
C ,„ d /sinÄr\
dn \ r j
J
^
dn
r
247
,
Dimensionen des Raumes S gegen die Wellenlänge
sind, so können wir k r gegen 1 vernachlässigen,
verschwindend klein
so oft r, wie hier der Fall
S
innerhalb
Entfernung zweier Punkte, die
die
ist,
Wir
gelegen sind, bezeichnet.
sin Ä r
_
setzen also:
k^ r^
2-3
Dies, in die obige Gleichung eingeführt, giebt:
F rdW
rdW,
J dn
Nehmen
P
3,
^'^J dn
wir jetzt an, der
o
Raum 5
r
dr ^
(312)
dn
J
von einer festen
sei
Wand um-
geben, in der nur eine oder einige Oefinungen seien, an der festen
Begrenzung
d
sei überall
W = 0,
-r—
in
den
dW
aber habe -r— endliche positive Werthe.
dn
sämmtlichen Oefinungen
Das Verhältnifs der Fläche
sämmtlicher Oefl&iungen zur ganzen Oberfläche des Raumes
rf:\, und
r]
eine verschwindend kleine Gröfse, so
ist
S
sei
das Integral
dW
/
-r— d CO von derselben Ordnung kleiner Gröfsen wie
Integral
rechts
^-^
/
tj^,
das erste
-7— r^da aber von der Ordnung k^ r^ if^ also
Lassen wir nun k immer mehr sich der Null
zu vemachläfsigen.
/dr
Wr
-n— d 0) und also
dn
auch die Function
Bezeichnen wir k^
W
selbst
immer
gröfser
und
gröfser
werden.
W
mit x^ so würde x ©ine Function sein, die bei
abnehmendem k von constanter Gröfsenordnung bleibt, und in eine
Function übergeht, welche der Difierentialgleichimg J / =
in ganzer
Ausdehnung des Raumes S genügt, und
Oberfläche des
dx
Raumes S -fdn
kannten Sätzen
ganzen
Räume S
über
=
elektrische
.
für welche an der ganzen
Daraus
folgt
nach den be-
Potentialfunctionen ,
constant sein müsse.
dafs
x ^^
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
248
Dementsprechend wollen wir nun
sionen des
Raum S
Raumes S
überall
zeigen, dafs,
endlich sind,
d. h.
wenn die Dimenwenn man den
nicht durch eine unendlich kleine Schnittfläche
Theile von endlicher Gröfse zerlegen kann, dafs dann
in
um
W
Wenn
und
nämlich, wie es hier sein
und eindeutig
sind, so
///[
=^
wo
in
-
ist,
dx
soll,
zwei
höchstens
endliche Theile seiner Gröfse von einer Constanten
scheiden könne.
G
t]^
unter-
seine ersten Differentialquotienten
innerhalb
S
überall
continuirhch
wie bekannt:
fw^dw-
dxdydx
[dz
\dyj
I
fCfwjWdxdydz,
die dreifachen Integrale über den ganzen
sind.
W
Raumes S von der Ordnung
unendlich kleinen Theilen des
sich
§ 59.
Berücksichtigt man, dafs
Raum S
k^^+JW=0,
auszudehnen
und denkt man
sich weiter beide Seiten der Gleichung mit einer constanten Gröfse e^
multiplicirt, die so
ist,
gewählt sein
wozu nach Gleichung (312)
sein mufs, so erhält
Da nun
«^
W
eine endliche Gröfse
von gleicher Ordnung mit
«^
—irs-
'+i^^+i^]'\d^dydz
\dz
dy
)
(312a)
dW
rqfi^d(o
+ kU^ fffiP^dxdydg.
die Integrale auf der rechten Seite dieser Gleichung ver-
schwindend klein von der Ordnung
fache Integral links.
überall
dafs
man:
mm
= _«2
soll,
positive
Da
rj^
sind, so ist es
hier aber unter
Gröfse steht,
so
auch das
drei-
Integralzeichen eine
können die Werthe von
dW
dW
dem
«
dW
dx
>
-=— und 6 -r— im Allgemeinen selbst nur von derselben Ordnung
01 %
y
kleiner Gröfsen wie rj sein, oder wenigstens nur in Theilen des
€
(X/
Raumes
S,
welche selbst von der Ordnung if sind, endlich werden.
Nun denke man
die
Flächen construirt, welche der Gleichung
«^=
Const.
§
TONHÖHE VON RESONATOREN.
59.
entsprechen, und für den Theil des
zwei beliebigen solchen Flächen
Raumes
liegt, bilde
249
S, welcher zwischen
man
das Integral
g-ra-s"'-'"—'
///i/
i«-i
Nach dem Vorausgesagten kann dies Integral nur von derselben
Ordnung kleiner Gröfsen wie r] sein. Man kann nun die Integration
man
so ausfuhren, dafs
zuerst diejenigen Theile des Integrals zu-
sammennimmt, welche zwischen zwei unendlich nahen Potentialflächen liegen. Es sei d co ein Flächenelement einer solchen Fläche,
in der das Potential den Werth ^ hat, d n die Entfernung zwischen
da) und der nächsten Fläche, an der der Werth des Potentials
W -{- dW ist, dann ist dcodn ein Element des Volumens und
also
S=6fdwfda),
wenn W^ und ^j
die
Werthe von
flächen sind, zwischen denen
ist
nun
f
dem
d(o gleich
betreff"enden
man
W
an den äufsersten PotentialFür jeden Werth von ^P"
integrirt
Flächeninhalt
der
Potentialfläche,
Q
innerhalb
der
desjenigen Theiles
des
Raumes S
liegt.
Also wird
S=6jQdW,
Q
worin
W
Function des Werthes von
als
nun Q überall endlich
ist,
darf die Differenz
anzusehen
bWq
—
deren die Variable sich ändert, nur von der Ordnung
der Werth von
€ 'P'q
nung
—
T]
6 jPj
S
endlich
sein.
von der Ordnung
ist,
t]
ist;
tj
Q
sein,
man
da
wenn
von der Ord-
unserer Voraussetzung der
nicht eine solche Gestalt haben darf, dafs
innerhalb
oder es mufs,
innerhalb dieses Intervalles
Da nun nach
Wenn
ist.
eW.^^,
Raum S
ihn durch eine un-
Volumen
wenn er aus zwei
röhrenförmiges Stück verbundenen Hohlräumen bestände,
endlich kleine Schnittfläche in zwei Theile von endlichem
theilen kann, wie das
durch ein
80 folgt aus
desselben,
z.
B. der Fall sein würde,
dem Gesagten,
dafs nur in unendlich kleinen Theilen
und namentlich auch nur
in unendlich kleinen Theilen
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
250
Werth von s W um eine
einem constanten Werthe G abweichen könne.
Wenn
wir nämlich die
ebene von d
gefällte
CO
— ir—n — d<ü = —5—
7*
reducirt sich die Gleichung (312) auf
—
/—— dö>=
J dn
6
r-—d(o
dn
J
vom Punkte
a,
=
k^CS.
(312c)
ß, y auf die Tangential-
Normale n nennen,
ist
-^r-
dn
=
r
i
^^^
71j (fj ff)
dn
gleich
dem Volumen
eines Kegels, dessen
Grund-
o
fläche do)
und dessen Spitze
cc,
ß,
y
——dco
Setzen wir jetzt voraus, der
einem nahehin
Ebene wir
Deshalb
ist.
^f' an
in
59.
endliche Gröfse von
seiner Oberfläche, der
Nach diesen Bemerkungen
§
=
ist
S.
Raum S habe eine Öeffnung, die
Wand gelegen sei, dessen
verlängert und den freien Raum
ebenen Theile der
äufserlich
unendlich
nach einer Seite begrenzend voraussetzen, wählen wir, wie früher,
diese
Ebene
als
Ebene der yz und verlegen den Anfangspunkt der
Coordinaten in die Oefihung
Nehmen
selbst.
wir ferner an, dafs die
Hohlraumes erregt werden durch einen Schallwellenzug, der gegen die Öeffnung schlägt. Wir müssen nun an
der Öeffnung den Werth von W so bestimmen, dafs er aufsen und
innen continuirlich wird und im Innern in einer gegen die DimenVibrationen
des
sionen der Öeffnung grofsen Entfernung in den constanten
Werth
Ccos2:;rw^ übergeht.
Es
sei
h
welche in verschiedenen Punkten
eine Gröfse,
Öeffnung des Hohlraumes verschiedene Werthe hat.
indem wir
Raum:
=
-/
C^ cos (Ar
/
-{•
—
h
)
(313)
+ Jcoskxam2'Tcnt.
Dieses Geschwindigkeitspotential
yz -'Ebene
27int) ,
-dco
r
Hcoskxco827int
dar, die, an der
ein
setzen,
die Integration über die Fläche der Öeffnung ausdehnen,
für den freien
und
Wir
der
stellt
reflectirt,
einen
)
Zug ebener Wellen
sich in stehende verwandeln,
System fortschreitender Wellen, welche von der Öeffnung
ausgehen.
Statt der unendlich ausgedehnten ebenen
Wellen
läfst
sich übrigens ebenso gut die etwas allgemeinere Voraussetzung der
TONHÖHE VON RESONATOREN.
§69.
251
Gleichung (300) hier anwenden, dafs nämlich die Wellen von einem
weit von der OeflEnung entfernten tönenden Punkte ausgehen, dann
bekommen
wie dort gezeigt, dicht vor der Oeffnung die in Glei-
sie,
chung (313) angenommene Form.
An
der y »-Ebene
aufserhalb der Oefl&iung
ist
-y^
dx
= 0,
in der
Oeffnung:
dW = — 2nhcos2'jfnt
(313 a)
dx
und annähernd:
Mß—
da
Innerhalb des
+H
Raumes S
«P
Dann
ist in
cos 2 Ttnt -\-\k
j
h d(o
(313b)
.
cos2 Ttnt.
(313c)
der OeflEnung:
dW = —
2;rÄcos2;rn/,
dx
/hdco
Die Werthe von
identisch.
J sin2.T;w^
setzen wir dagegen
-/-cos k r du)
=
-f
dW
dx
Damit auch
I
(313d)
_
cos 2
TT
M<
(31 3 e)
aus den Gleichungen (313a) und (313d) sind
die
W
von
aus den Gleichungen (313 b) und
(313e) identisch seien, mufs sein:
J+ k hda = 0,
(313f>
f
/
C-H -^m
Es mufs abo
CO
die Gröfse h für die einzelnen
(313g)
Punkte der OeflEnung
so bestimmt werden, dafs ihre Potentialfunction innerhalb der Oeff-
nung constant
wird.
Die Bedingung endlich, dafs
—dW
—=
ist
längs
dn
der Oberfläche von S mit Ausnahme der Mündung, wird durch die
Gleichung (313 c) erfüllt, wenn die Wand, in der die Oefl&iung sich
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
252
befindet, so weit merklich eben
gegen
ist,
§
59.
von h nicht
als das Potential
G verschwindet
Endlich wird für diesen Fall die Gleichung (312c):
2n
Aus
(313f)
und (313h)
hd(o
\
= k^GS.
(313h)
folgt:
J=--^_.
Nennen wir nun
M die Masse,
(3131)
welche nöthig
ist,
um, auf der Fläche
der Oeffnung passend vertheilt, in dieser die Potentialfunction constant gleich
1
zu machen, so
ist
/ hd(o = ^{G-E)M,
(313k)
da die Dichtigkeit h nach Gleichung (313 g) den Potentialwerth
hervorbringt.
Wir haben also nach Gleichung (31 3f):
\{C—B)
J-\-\k[G-H)M=0.
Das Maximum des
ist
^ H^
+ J^,
das
(3131)
Potentials der stehenden Wellen
Maximum
ist
Baume
Aus
G.
folgt:
TiMf
\
freien
dem Hohlkörper S
in
den Gleichungen (313i) und (3131)
C»
im
'
\
2n
Dieses Verhältnifs erreicht seinen Minimalwerth, die Resonanz wird
also
am
stärksten,
wenn das
erste der beiden Quadrate,
ches im Allgemeinen das zweite verschwindend klein
Die Bedingung für das
wird.
Maximum
ist,
der Resonanz
nM=k^S,
gegen welgleich Null
ist also:
(314)
oder wenn wir statt k seinen Werth setzen, durch die Schwingungszahl
n und
die Schallgeschwindigkeit a ausgedrückt,
2nn
a
so
ist:
§
TONHÖHE VON RESONATOREN.
69.
Ist die Oeflfhung kreisförmig,
253
so ist infolge der Gleichungen (307 b)
und (307 c):
2ä
oder,
wenn wir
die Fläche der Oeflfnung mit s bezeichnen:
y n
7t
n
=
aVT
'
"Wenn wir für die Schallgeschwindigkeit den Werth 332 260 mm
sprechend 0® und trockner Luft) nehmen, so wird
»»
=
(ent-
56174-^.,
fs
während Sondhauss aus seinen Versuchen für n die empirische
Formel für kreisförmige und quadratische Oefinungen herleitet:
«
=
52 400-?^,
worin nur der von Sondhauss gegebene Zahlencoefficient halbirt
ist,
weil
Sondhauss nach der Art der französischen Physiker
die
Schwingungszahlen der Töne doppelt so hoch nimmt, als es nach
unserer Bezeichnungsweise geschieht
Noch besser stimmt die Berechnung für einige Versuche von
Weetheim, bei denen das Verhältnifs der Oeffnung zum Volumen
des Hohlkörpers noch kleiner
hauss.
ist,
als bei
den Versuchen von Sond-
Ich habe aus den Versuchen, welche er mit drei verschie-
hat^), deren Volumen durch Eingiefsen
von Wasser verkleinert wurde, diejenigen nach der theoretischen
Formel berechnet, bei welchen der Durchmesser der Oefinung weniger
denen Glaskugeln angestellt
-^ des Durchmessers einer Kugel war, deren Volumen dem des
Hohlraumes gleich ist, und setze die Zahlen hierher, um zu
zeigen, wie gut die theoretische Formel mit den Versuchen überals
einstimmt
')
Annales de Ghimie et de PhyBique, S^r.
3,
Tome XXXI,
p. 428.
254
DKITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
§59.
TONHÖHE VON RESONATOREN.
§ 59.
ganze elliptische Integral erster Gattung für den
für Hohl-
das
worin Kt
255
Modul 6 bezeichnet Es wird also nach Gleichung (314 a)
räume mit einer elliptischen Oeffnung:
^
man den
oder wenn
führt
und
4:7lKS'
Flächeninhalt s der elliptischen Oeffnung ein-
setzt:
=
s
n
R^Bj^,
so wird:
'
avs
2K\
V
Der Werth von
n^
von dem für eine kreisförmige Oeffnung
also
ist
TT
gültigen
durch den Factor
Factor gröfser
ist als
so wird der
1,
von gleicher Fläche etwas höher
Hat der Hohlraum noch
dem
Ton
als
cos(Ä;r
der einer kreisförmigen.
Wand
—
2%nt
k
Ar
hj^
W=
Es mufs
d o) 8m{2
.
I
•}•
/
_Zi
[Cj
—
man
für
den
t)
Raumes
cos {2Tcnt
nn —
t
t)
—
W
.cos{2'7int
—
t)
.
wie vorher, an der Oefiiiung die Werthe von
stimmend, die Wei-the von
^=
setze
dca,
dco
sind,
liegt, so
r
cos
Es
einer elliptischen Oeffnung
ihr benachbarten Theile des inneren
+
dieser
Raum:
äusseren vor ihr liegenden
in
und da
eine zweite Oeffnung, die ebenfalls in
einem nahehin ebenen Theile der
W^fk,
verschieden,
j=^
A ysj
2
~dW
—
überein-
werden:
r)
+k
j
h^d(osm{27int
- r ^^^ 1cos(27rn^-T) +
also sein:
'.-/-
h^
da
fc
—
r),
\d(oam{27tnt-T).
DRITTER THEIL. ZWEITER ABSCHNITT.
256
und setzen
§
59.
wir, wie bei der ersten Oeffnung in Gleichung (313k):
fso wird in den von der Oeffnung entfernteren Stellen des inneren
Raumes
W=
Cj^G0B{2nnt
— t) + ^k G^M^am{2 nnt — t).
dem
Dies mufs aber gleich werden
im Innern der Kugel:
Daraus
folgt,
W=
früher festgesetzten
Ccoa2
Werthe von
W
7tnt.
dafs
—
sin T +
Cj [cos
T
Aus der zweiten Gleichung
Ä
3fj
sin t]
|- Ä;
J/j
cos t
-|-
=
=
C,
.
dafs r sehr klein
folgt,
ist,
und dem-
gemäfs aus der ersten, dafs mit Vemachläfsigung kleiner Gröfsen
Nun
wird aus Gleichung (312c):
/
-^rf« = 2%
hdo)-{-27i
h^d(o
I
= k^CS
oder;
7tM{G- H) + 7iM^G=k^GS;
(315)
dazu
k^GS
2n
H^ +
J2
G^.
Damit
——
—^
(;j
i^M
ein
+ Jfj) - k^ Sy
7t'
Minimum
M'
A;«
S
^~4^'
^^^^''^
werde, und die stärkste Resonanz
G
eintrete, setzen wir
7i{M+M{)
=
k'S,
(315b)
durch welche Gleichung die Tonhöhe der stärksten Resonanz be-
stimmt
wie es in Gleichung (314) für eine Oeffnung geschehen war.
Diese Gleichung stimmt, wenn die Oefinungen geometrisch ähnlich
sind,
ist,
mit
dem von Sondhauss
aus den Versuchen abgeleiteten Gesetze.
Sind beide Oeffnungen congruent, so verhält sich die Schwingungszahl des Körpers zu der desselben Körpers mit einer Oeffiiung, wie
Der Ton ist also im ersten Falle um eine verminderte Quinte
höher als im zweiten Falle, was genau mit einigen Versuchen von
y2~:
1.
Sondhauss ^) übereinstimmt.
1)
PoaGEKDORFP's Annalcn
LXXXI,
©
S. 366.
IWNDING SPCT.
JUN
PLEASE
CARDS OR
P&AS
Sei
Xm
DO NOT REMOVE
SLIPS
UNIVERSITY OF
QC
223
H45
S
FROM
THIS POCKET
TORONTO
LIBRARY
Helmholtz, Hermann Ludwig
Ferdinand von
Vorlesungen über die
mathematischen Principien der
Akustik
41
m%
:r;;i;!r
i;i'r!l?i'i-:;:";^;j:^v-:-