4.7 Laplace-Transformation

4.7 Laplace-Transformation
Ähnlich wie bei der Fourier-Transformation im Abschnitt 3.2 wollen wir für Funktionen f :
R+ → R eine Transformation finden, die ebenfalls eine einfache Umkehrformel besitzen soll.
Definition 4.7.1. Sei f : R+ → R eine stückweise stetige Funktion, gebe es reelle Zahlen A und
C, sodass
|f (x)| ≤ CeAx
für x ≥ 1 gelte, und sei das Integral
Z
konvergent.
Dann heißt
1
f (x) dx
0
L(f )(s) =
∞
Z
f (t)e−st dt
0
Die Laplace-Transformierte von f . Diese ist für Re s > A definiert und dort eine holomorphe
Funktion. Für die Korrespondenz zwischen der Funktion f und ihrer Transformierten verwenden
wir das Symbol ◦−−−−−•.
Die folgenden Regeln für die Transformation ergeben sich durch direktes Nachrechnen.
F (t) ◦−−−−−•
F (t), G(t), H(t) ◦−−−−−•
1 ◦−−−−−•
LF (s)
f (s), g(s), h(s)
1
s
eαt
◦−−−−−•
1
s−α
tn
◦−−−−−•
n!
sn+1
tn eαt
◦−−−−−•
n!
(s−α)n+1
sin αt ◦−−−−−•
α
s2 +α2
cos αt ◦−−−−−•
s
s2 +α2
e−αt sin βt ◦−−−−−•
β
(s+α)2 +β 2
79
e−αt cos βt ◦−−−−−•
α > −1,
tα
◦−−−−−•
δ(t) ◦−−−−−•
λ > 0,
(
F (t − λ)
0
Rt
0
Γ(α+1)
sα+1
1
F (k) (t) ◦−−−−−•
sk f (s) − sk−1 F (0) − sk−2 F ′ (0) − · · · − F (k−1) (0)
tk F (t) ◦−−−−−•
(−1)k f (k) (s)
für t ≥ λ
sonst
◦−−−−−•
e−λs f (s)
e−αt F (t) ◦−−−−−•
f (s + α)
F (ρt) ◦−−−−−•
F ∗ G(t) =
s+α
(s+α)2 +β 2
1
f
ρ
s
ρ
F (τ )G(t − τ ) dτ
◦−−−−−•
f (s)g(s)
F (t)
t
◦−−−−−•
R∞
F (τ ) dτ
◦−−−−−•
Rt
0
1
2πi
c+i∞
R
F (s)est ds ◦−−−−−•
s
f (v) dv
f (s)
s
F (s)
c−i∞
Tabelle von wichtigen Laplace-Transformationen
Die Regeln für die Transformation von Ableitungen zeigen, warum die Laplace-Transformation
so wichtig ist: sie verwandelt die komplizierte Operation der Differentiation in Multiplikation mit
s.
Die letzte Zeile in der Tabelle gibt zumindest prinzipiell eine Umkehrformel als komplexes
Kurvenintegral für die Laplace-Transformation.
Beispiel 41. Gegeben sie die Differentialgleichung
y ′′ + 4y ′ + 5y = cos(t),
80
y(0) = 1, y ′(0) = −1.
Durch Anwendung der Laplace-Transformation geht diese Gleichung über in
s2 L(y)(s) − sy(0) − y ′(0) + 4(sL(y)(s) − y(0)) + 5L(y)(s) =
s2
s
.
+1
Diese Gleichung können wir nach L(y)(s) auflösen und erhalten
L(y)(s) =
s
(s2
+
1)(s2
+ 4s + 5)
+
s2
s+3
.
+ 4s + 5
Durch Partialbruchzerlegung ergibt sich
L(y)(s) =
1
1
7
5
1
s
s+2
1
+
+
+
2
2
2
8 (s + 1) 8 (s + 1) 8 (s + 2) + 1 8 (s + 2)2 + 1
daraus. Indem wir die Transformationen aus der Tabelle ablesen, erhalten wir
y(t) =
1
7
5
1
sin(t) + cos(t) + e−2t cos(t) + e−2t sin(t).
8
8
8
8
E
C
R
L
Abbildung 4.10: Ein einfacher elektrischer Schaltkreis
Beispiel 42. Nach dem Kirchhoffschen Gesetz fließt durch alle Teile der selbe Strom I(t). Dieser
ist gleich der Ladungsänderung am Kondensator, also
I=
dQ
.
dt
Die Spannungsabfälle an den einzelnen Bauteilen werden durch
VC =
Q
,
C
VR = RI,
VL = L
dI
dt
beschrieben. Diese Spannungsabfälle müssen sich zur Eingangsspannung E(t) summieren. Daraus erhalten wir
dI
Q
L + RI + = E(t).
dt
C
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Indem wir diese Gleichung einmal differenzieren und I =
L
dQ
dt
einsetzen, erhalten wir
dI
I
dE
d2 I
+R + =
.
2
dt
dt C
dt
Unter der Annahme I(0) = I ′ (0) = 0 und E(0) = 0 erhalten wir daraus durch LaplaceTransformation
L(I)(s) Ls2 + Rs + C = sL(E)(s)
oder
L(I)(s) =
Ls2
s
L(E)(s).
+ Rs + C
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