Aufgaben zur Vorlesung Topologie II

Aufgaben zur Vorlesung
Topologie II
Blatt 7
Wintersemester 2015/2016
A. Bartels / P. Bubenzer
Abgabe: Montag, den 07.12.2015 in der Vorlesung
Aufgabe 1. Seien C eine kleine Kategorie und F : C → A ein Funktor für eine weitere
Kategorie A. Ein Kegel unter F ist ein Paar (A, τ ) von einem Objekt A in A und einer
natürlichen Transformation τ : A → F . Hierbei bezeichne A : C → A den konstanten Funktor, der jedes Objekt auf A und jeden Morphismus auf idA schickt. Ein Limes von F ist
ein Kegel (lim F, ω) mit folgender universeller Eigenschaft: Für jeden weiteren Kegel (A, τ )
gibt es genau einen Morphismus f : A → lim F derart, dass
lim F
ωC
F (C)
τC
f
A
für alle Objekte C in C kommutiert.
(a) Konstruieren Sie in der Kategorie der Mengen für alle Funktoren einen Limes.
(b) Im Folgenden nehmen wir an, dass lim F existiert. Sei F op : C op → Aop der von F
induzierte Funktor. Zeigen Sie, dass lim F und colim F op isomorph sind.
(c) Sei T ein Objekt in A. Den mengenwertigen Funktor C 7→ HomA T, F (C) bezeichnen
wir mit HomA T, F (−) . Zeigen Sie, dass HomA (T, lim F ) und lim HomA T, F (−)
isomorph sind und konstruieren Sie den Isomorphismus so, dass er natürlich in T ist.
Aufgabe 2. Eine Abbildung f : X → Y topologischer Räume ist eigentlich, wenn Urbilder
kompakter Mengen wieder kompakt sind. Es bezeichne Topeig die Kategorie aller topologischen Räume zusammen mit eigentlichen Abbildungen als Morphismen. Zeigen Sie, dass
Kohomologie mit kompaktem Träger einen Funktor Hc∗ : Topeig → Gr-Ab für die Kategorie
Gr-Ab der graduierten abelschen Gruppen definiert.
Aufgabe 3. Es seien M eine geschlossene Mannigfaltigkeit und x0 ∈ M ein Punkt. Zeigen
Sie Hci (M \ {x0 }) ∼
= H i (M, {x0 }) für alle i.
Aufgabe 4. Seien M eine geschlossene zusammenhängende Q-orientierbare n-dimensionale
Mannigfaltigkeit und S n → M eine stetige Abbildung. Angenommen, die induzierte Abbildung auf der n-ten Homologie Hn (S n ; Q) → Hn (M ; Q) ist nicht trivial. Zeigen Sie, dass
dann
gilt.

Q i = 0, n
Hi (M ; Q) ∼
=
0 sonst