dC(t) = ::: dt+ ::: dB(t)

SS 2016
1.
U bungsblatt 9
Stochastic Processes in Risk and Finance
Seien A1 (t) = e0:015t ein e-Bond und A2 (t) = e0:021t ein US-$-Bond.
Das Wechselkursrisiko aus Sicht eines europaischen Investors sei folgendermaen modelliert:
2
E (t) = E (0)e 0:01 t=2+0:01B(t) . Ein europaischer Investor kann entweder in den risikofreien
e-Bond A1 (t) oder in den risikobehafteten US-$-Bond S (t) = E (t)A2 (t) investieren.
Betrachten Sie eine Option, die einem europaischen Investor das Recht gibt, einen US-$ fur
p e zu einem bestimmten Zeitpunkt T > 0 zu kaufen. Sei
(Pr
ufung SS 2013)
C (t) = '(t)S (t) +
(t)A1 (t)
der selbstnanzierende Portfolioprozess, der den fairen Preis dieser Option im Sinne von
Black-Scholes darstellt.
Drucken Sie die Eigenschaft \selbstnanzierend" in einer Formel
dC (t) = : : : dt + : : : dB (t)
aus.
L
osung
S (t) = E (t)A2 (t) = E (0)e(0:021 0:012 =2)t+0:01B(t) ,
dS (t) = 0:021S (t) dt + 0:01S (t) dB (t),
dA1 (t) = 0:015A1 (t) dt,
dC (t) = '(t) dS (t) + (t) dA1 (t) = ('(t)0:021S (t) + (t)0:015A1 (t)) dt + '(t)0:01S (t) dB (t).
2. Welchen Wert hat nach Black-Scholes-Merton eine europaische Call-Option, wenn man die
Aktie nach Ablauf der Zeit T geschenkt bekommt?
Tipp
Man betrachte limp#0 u(S (t); t; p; r; ).
L
osung
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Es ist
u(S (t); t; p; r; ; T ) = S (t)(d+ (S (t); T
t))
pe r(T t) (d (S (t); T
limp#0 d+ (S (t); ; p; r; ) = 1,
limz!1 (z ) = 1,
limp#0 pe r(T t) (d (S (t); T t)) = 0 und somit
limp#0 u(S (t); t; p; r; ; T ) = S (t).
Quelle:
t)),
http://www.math.uni-augsburg.de/ana/0708ws/sde/blatt9_v2.pdf
3. Welchen Wert hat nach Black-Scholes-Merton eine europaische Call-Option, wenn die Volatilitat gegen null geht?
Tipp
Man betrachte lim#0 u(S (t); t; p; r; ).
L
osung
Es ist
SS 2016
U bungsblatt 9
Stochastic Processes in Risk and Finance
(a) lim#0 d+ (s; ; p; r; ) = 1,
(b) lim#0 d (S (t); ; p; r; ) = lim#0 d+ (S (t); ; p; r; ) = 1 und somit
(c) lim#0 u(S (t); t; p; r; ; T ) = S (t) pe r(T t) .
1 2
4. ([1] Ex. 3.5 ) Sei S (t) = S (0)e(r 2 )t+B(t) .
Weisen Sie eine von den folgenden (aquivalenten) Aussagen nach:
(a) u(S (0); 0; p; r; )) = E e rT (S (T ) p)+ ,
(b) E e rT (S (T ) p)+ = S (0)(d+ (S (0); T; p; r; )) pe rT (d (S (0); T; p; r; )),
(c) E(S (T ) p)+ = S (0)erT (d+ (S (0); T; p; r; )) p(d (S (0); T; p; r; )),
Wir wahlen die letzte Form.
L
osung
E(S (T )
p)+ =
=
Z
ZfS(T )>pg
(S (T )
fS(T )>pZg
= S (0)erT
S (T ) dP
fS(T )>pg
p) dP
Z
fS(T )>pg
e
p dP
1 2
T +B (T )
2
dP
pP (S (T ) > p):
P (S (T ) > p) = P (ln S (T ) > ln p)
= P (ln S (0) + (r 12 2 )T + B (T ) ln p > 0)
1 2
= P (ln S(0)
p + (r 2 )T > B (T ))
1 2
= P ( p1 T (ln S(0)
p + (r 2 )T ) > B (1))
1 2
= P ( p1 T (ln S(0)
p + (r 2 )T ) > B (1))
= (d (S (0); T; p; r; )):
Z
fS(T )>pg
e
1 2
T +B (T )
2
dP
=
Z
e
1 2
T +
2
1 2
f p1 T (ln S(0)
p +(r 2 )T )> sg
Z
= p12 1 S(0)
e
f pT (ln p +(r+ 12 2 )T )>pT sg
pT s
p12 e
1
(
2
pT
1 2
s
2
s)2
ds
ds
= (d+ (S (0); T; p; r; )):
Literatur
[1] S. E. Shreve.
Stochastic Calculus for Finance II
com/us/book/9780387401010.
. Springer, 2004.
http://www.springer.
2