Donnerstag 22.6.2017

Mathematische Probleme, SS 2017
Donnerstag 22.6
$Id: dreieck.tex,v 1.38 2017/06/19 16:13:49 hk Exp $
$Id: trig.tex,v 1.17 2017/06/22 12:46:01 hk Exp $
§2
Dreiecke
2.4
Einige Sätze über Kreise
Am Ende der letzten Sitzung hatten wir den Umkreisradius R eines Dreiecks ∆ = ABC
dessen Seiten und Winkel in den Standardbezeichnungen a, b, c beziehungsweise α, β, γ
sind berechnet, es sind
a = 2R sin α, b = 2R sin β, c = 2R sin γ sowie R =
abc
4F
wobei F die Fläche von ∆ ist. Schreiben wir die Gleichung für den Umkreisradius etwas
um, so wird
sin α
sin β
sin γ
1
=
=
=
,
a
b
c
2R
das gemeinsame Verhältnis vom Sinus jedes Winkels zu seiner gegenüberliegenden Seite aus dem Sinussatz ist also gleich dem Kehrwert des Durchmessers des Umkreises.
Schauen wir uns ein explizites Beispiel an und betrachten das Dreieck mit den Seiten
a = 2, b = 3, c = 4. Dann sind
s=
2+3+4
9
5
3
1
= , s − a = , s − b = und s − c =
2
2
2
2
2
also wird die Fläche von F nach der Heronschen Flächenformel Satz 13 zu
r
p
3√
135
F = s(s − a)(s − b)(s − c) =
=
15,
16
4
der Inkreisradius ist nach Korollar 14
r=
1√
F
=
15
s
6
und der Umkreisradius ist schließlich nach Satz 23
R=
abc
8
8√
=√ =
15.
4F
15
15
Außerdem klärt der eben bewiesene Satz wie der Umkreismittelpunkt Su zum betrachteten Dreieck liegt
17-1
Mathematische Probleme, SS 2017
Donnerstag 22.6
C
C
C
A
Su
Su
B
A
C’=Su
B
B
A
Spitzwinklig
Stumpfwinklig
Rechtswinklig
Im spitzwinkligen Fall liegt Su immer im Inneren des Dreiecks während Su im stumpfwinkligen Fall immer außerhalb des Dreiecks liegt, ist der stumpfe Winkel etwa in C so
liegt Su auf der anderen Seite von AB als C. Im rechtwinkligen Fall liegt Su dagegen
auf dem Dreieck.
Wir wollen unsere Formeln nun dazu benutzen die sogenannte Eulersche Dreiecksformel zu beweisen, diese besagt das der Umkreisradius eines Dreiecks mindestens der
doppelte Inkreisradius ist, wobei die Gleichheit genau für gleichseitige Dreiecke auftritt. Zum Beweis benötigen wir eine weitere kleine Umformulierung des Cosinussatzes.
Gegeben sei ein Dreieck ∆ mit Seiten a, b, c und Winkeln α, β, γ in den Standardbezeichnungen. Weiter bezeichne s wieder den halbierten Umfang von ∆. Verwenden wir
den Cosinussatz in der Form des Satz 1 so wird
b 2 + c 2 − a2
a2 − (b − c)2
(a + b − c)(a + c − b)
2(s − b)(s − c)
1 − cos α = 1 −
=
=
=
2bc
2bc
2bc
bc
und analog sind auch
1 − cos β =
2(s − a)(s − c)
2(s − a)(s − b)
und 1 − cos γ =
.
ac
ab
Damit haben wir alles beisammen um die Eulersche Dreiecksformel zu beweisen.
Satz 2.24 (Eulersche Dreiecksformel)
Sei ∆ ein Dreieck mit Umkreisradius R und Inkreisradius r.
(a) Es ist R ≥ 2r und genau dann gilt R = 2r wenn ∆ gleichseitig ist.
(b) Sind Su der Umkreismittelpunkt und Sw der Inkreismittelpunkt von ∆ so ist
p
|Su Sw | = R(R − 2r).
Beweis: Schreibe ∆ = ABC und seien a, b, c die Seiten sowie α, β, γ die Winkel von ∆
in den Standardbezeichnungen. Weiter seien F die Fläche und s der halbierte Umfang
von ∆. Ist C ∗ der Lotfußpunkt von Sw auf AB so hat das Dreieck AC ∗ Sw in C ∗
einen rechten Winkel und in A den Winkel α/2, es gilt also sin(α/2) = r/|ASw | und
zusammen mit Korollar 14 liefert dies
|ASw | =
r
r2
2r2
r2 bc
bc(s − a)
2
und
|AS
|
=
=
=
=
.
w
α
2 α
sin 2
1 − cos α
(s − b)(s − c)
s
sin 2
17-2
Mathematische Probleme, SS 2017
Donnerstag 22.6
Analog sind
ab(s − c)
ac(s − b)
und |CSw |2 =
.
s
s
Nach Aufgabe (34.a) ist Sw in baryzentrischen Koordinaten als
|BSw |2 =
Sw =
a
b
c
A+ B+ C
2s
2s
2s
gegeben, also ergeben Aufgabe (32.a), Korollar 14 und Satz 23
a
b
c
|ASu |2 + |BSu |2 + |CSu |2
2s
2s
2s
abc
a
b
c
= |ASw |2 + |BSw |2 + |CSw |2 + |Su Sw |2 = 2 · (3s − (a + b + c)) + |Su Sw |2
2s
2s
2s
2s
abc
abc
=
· 2r + |Su Sw |2 =
· 2r + |Su Sw |2 = 2Rr + |Su Sw |2 .
4rs
4F
Insbesondere ist
|Su Sw |2
R − 2r =
≥0
R
und genau dann gilt R = 2r wenn Su = Sw ist. Es folgen (b) und die erste Aussage
in (a). Ist ∆ gleichseitig so ist Su = Sw also auch R = 2r. Ist umgekehrt Su = Sw so
ist das Dreiech ABSw in Sw gleichschenklig, also stimmen seine Winkel in A und B
nach Aufgabe (31.a) überein und damit ist auch α = β, wieder nach Aufgabe (31.a)
ist ∆ also in C gleichschenklig. Analog trifft dies auch auf A und B zu und damit ist
∆ gleichseitig.
R2 =
§3
Trigonometrische Formeln
In diesem kurzen Kapitel wollen wir einige Formeln für die trigonometrischen Funktionen besprechen. In den vorigen beiden Kapiteln hatten wir die Definitionen und
Ergebnisse der Grundvorlesungen zur Analysis als bekannt akzeptiert und angewandt.
Insbesondere haben wir bereits einige der trigonometrischen Grundformeln verwendet,
nämlich die trigonometrische Form des Satzes von Pythagorias
sin2 φ + cos2 φ = 1,
und die Komplement- und Periodizitätsformeln
π
π
− φ = cos φ, cos
− φ = sin φ
sin(φ + π) = − sin φ, cos(φ + π) = − cos φ, sin
2
2
für alle φ ∈ R sowie die Additionstheoreme.
17-3
Mathematische Probleme, SS 2017
3.1
Donnerstag 22.6
Die Additionstheoreme
Die grundlegenden Additionstheoreme für den Sinus und den Cosinus sind die Formeln
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β und cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
für alle α, β ∈ R. Das Additionstheorem des Tangens
tan(α + β) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
kann man algebraisch aus den Additionstheoremen fur Sinus und Cosinus herleiten
tan(α + β) =
sin(α + β)
sin α cos β + cos α sin β
tan α + tan β
=
=
cos(α + β)
cos α cos β − sin α sin β
1 − tan α tan β
wobei im letzten Schritt mit 1/(cos α cos β) erweitert wurde. Beim Aufbau der Schulgeometrie werden all diese Formeln mit geometrischen Methoden hergeleitet, wobei die
Definition der trigonometrischen Funktionen als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen
Dreiecken als Grundlage dient. Bei dieser geometrischen Herleitung der Additionstheoreme für Sinus und Cosinus müssen einige Fälle für die möglichen Werte der betrachteten Winkel unterschieden werden, dies ist notwendig da sin α und cos α ja nur für spitze
Winkel 0 < α < π/2 über Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken definiert sind. Wir
wollen dies hier nicht systematisch durchführen und nur einen ersten geometrischen
Beweis von Additionstheoremen vorführen. Für spitze Winkel 0 < α, β < π/2 deren
Summe ebenfalls spitz ist, also α + β < π/2 kann man beide Additionsformeln aus der
folgenden Figur ablesen
A
α
B
sin( α+β )
C
D
P
β
α
M
F
E
cos( α+β )
Wie beginnen mit einem Viertelkreis von Radius 1 mit Mittelpunkt in M . Dann tragen wir nacheinander die beiden Winkel α und β bei M ab und erhalten die beiden
17-4
Mathematische Probleme, SS 2017
Donnerstag 22.6
Schnittpunkte A und B mit unserem Viertelkreis. Fällen wir dann das Lot von A auf
die untere Begrenzung des Viertelkreises, so erhalten wir den Punkt F und können
Sinus und Cosinus von α + β im rechtwinkligen Dreieck M F A mit Hypothenuse der
Länge 1 als
sin(α + β) = |AF | und cos(α + β) = |M F |
ablesen. Dann fällen wir das Lot von A auf M B und erhalten den Punkt C. Dies gibt
uns ein weiteres rechtwinkliges Dreieck M CA, dessen Hypothenuse wieder die Länge
1 hat, also sind
sin β = |AC| und cos β = |M C|.
Ist P der Schnittpunkt von AF und M B, so haben die Dreiecke M F P und P CA bei P
denselben Winkel und da sie beide bei F beziehungsweise C rechtwinklig sind, müssen
auch ihre Winkel bei M beziehungsweise A übereinstimmen, d.h. der Winkel von P CA
bei A ist α. Schließlich fällen wir die Lote von C auf AF und auf M F und erhalten
die Punkte D und E. Im rechtwinkligen Dreieck DCA haben wir bei A den Winkel α,
also sind
|DC|
|AD|
sin α =
und cos α =
.
|AC|
|AC|
Schließlich entnehmen wir dem rechtwinkligen Dreieck M EC noch
sin α =
|M E|
|EC|
und cos α =
.
|M C|
|M C|
Damit haben wir alles beisammen um die beiden Additionstheoreme zu begründen, für
den Sinus rechnen wir
sin(α + β) = |AF | = |AD| + |DF | = |AD| + |EC|
= cos α · |AC| + sin α · |M C| = cos α sin β + sin α cos β
und für den Cosinus ist
cos(α + β) = |M F | = |M E| − |F E| = |M E| − |DC|
= cos α · |M C| − sin α · |AC| = cos α cos β − sin α sin β.
3.2
Verdoppelungs- und Halbierungsformeln
Als Verdoppelungsformeln bezeichnet man die Formeln für die Werte der trigonometrischen Funktionen bei verdoppelten Winkel, also für sin(2α), cos(2α) und tan(2α), und
die Halbierungsformeln sind dann entsprechend die Formeln für die halbierten Winkel.
Man kann all diese Formeln natürlich durch Spezialisieren der Additionstheoreme auf
β = α erhalten, also etwa
sin(2α) = sin(α + α) = 2 sin α cos α,
cos(2α) = cos(α + α) = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α,
2 tan α
tan(2α) = tan(α + α) =
,
1 − tan2 α
17-5
Mathematische Probleme, SS 2017
Donnerstag 22.6
sie lassen sich aber auch geometrisch an einer geeigneten Figur gewinnen. Wir betrachten einen Halbkreis mit Radius 1 und Mittelpunkt M und bezeichnen den unteren
Durchmesser dieses Halbkreises als AB. Dann ist M der Mittelpunkt von AB und es
ist |AB| = 2. Weiter sei ein Winkel 0 < α < π/2 gegeben und trage diesen im Halbkreis
bei A ab. Bezeichnet C den entstehenden Schnittpunkt mit unserem Halbkreis, so hat
das Dreieck ABC nach dem Satz von Thales §2.Satz 20 bei C einen rechten Winkel.
Die Seitenlängen in diesem Dreieck sind dann in den Standardbezeichnungen gegeben
als
a = |BC| = 2 sin α, b = |AC| = 2 cos α und c = |AB| = 2.
C
α
b
a
α
2α
A
M
β
P
B
Ziehen wir jetzt die Verbindungsstrecke M C, so entsteht ein weiteres Dreieck M BC.
Der Winkel von M BC bei M ist der Mittelpunktswinkel der Sekante BC unseres
Halbkreises und unser gegebener Winkel α ist der Perepheriewinkel dieser Sekante bei
A, der Winkel von M BC bei M ist nach dem Perepheriewinkelsatz §2.Satz 21.(a) also
gleich 2α. Fällen wir also das Lot von C auf AB und bezeichnen den Fußpunkt mit P ,
so sind sin(2α) = |P C| und cos(2α) = |M P | da die Hypothenuse des rechtwinkligen
Dreiecks M P C ein Radius unseres Halbkreises ist und damit die Länge |M C| = 1 hat.
Dem rechtwinkligen Dreieck AP C entnehmen wir
sin α =
sin(2α)
|P C|
=
, also sin(2α) = 2 sin α cos α
b
2 cos α
und wir haben eine geometrische Begründung der Verdoppelungsformel des Sinus.
Ebenfalls im Dreieck M P C sehen wir
cos α =
|AP |
1 + |M P |
1 + cos(2α)
=
=
, also cos(2α) = 2 cos2 α − 1
b
b
2 cos α
und dies ist eine der beiden Verdoppelungsformeln des Cosinus.
17-6
Mathematische Probleme, SS 2017
Donnerstag 22.6
Aus der Verdopplungsformel kann man nun die Halbierungsformeln herleiten, für
jeden Winkel α ∈ R haben wir
α
α
α
cos α = cos 2 ·
= 2 cos2 − 1 = 1 − 2 sin2
2
2
2
also
1 − cos α
α
1 + cos α
α
=
und cos2 =
.
2
2
2
2
Ist sin(α/2) ≥ 0 so können wir aus dieser Gleichung die Wurzel ziehen und erhalten
die Halbierungsformel des Sinus. Da für 0 ≤ x ≤ π stets sin x ≥ 0 ist, haben wir
r
α
1 − cos α
sin =
für 0 ≤ α ≤ 2π
2
2
sin2
und für den Cosinus erhalten wir analog
r
α
1 + cos α
cos =
für |α| ≤ π.
2
2
17-7