Diskrete Mathematik ¨Ubungsblatt 11

Prof. Dr. Valentin Blomer
Wintersemester 2010/11
Diskrete Mathematik
Übungsblatt 11
Aufgabe 1. Zeigen Sie (z.B. durch vollständige Induktion)
n X
m
n+1
=
k
k+1
m=k
für ganze Zahlen 0 ≤ k ≤ n.
Aufgabe 2. a) Gandalf hat 5 Freunde. Während einer Zaubererkonferenz trifft er jeden von ihnen zehnmal beim Abendessen, jedes Paar von ihnen fünfmal, jedes Tripel dreimal, jedes Quadrupel zweimal und alle zusammen einmal. Wie lange dauerte die Konferenz, falls er sechsmal allein
gegessen hat.
b) Ein Würfel wird 12-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass alle 6 Zahlen dabei auftauchen. (Tip: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses mit der Siebformel.)
Aufgabe 3. Auf wie viele Arten können die Zahlen 1, . . . , n in einer
Reihe angeordnet werden, so dass abgesehen vom ersten Element die Zahl
k nur dann plaziert werden kann, wenn einer der (nicht notwendig unmittelbaren) Vorgänger k − 1 oder k + 1 ist (z.B. 324516 oder 435216)?
Anleitung: Sei f (n, j) die Anzahl der Möglichkeiten mit j als erster Zahl.
Zeigen Sie f (n, 1) = 1 und sowie die Rekursionsvorschrift f (n, j) = f (n −
1, j) + f (n − 1, j − 1). (Diese Rekursionsvorschrift sollte Ihnen schon einmal
begegnet sein.) Folgern Sie daraus eine geschlossene Formel für f (n, j) und
summieren Sie über j, um die gesuchte Anzahl zu finden.
Aufgabe 4. Sei an die Anzahl der Wörter der Länge n mit den Buchstaben 0, 1, 2, in denen niemals zwei Nullen hintereinander vorkommen.
a) Zeigen Sie an = 2(an−1 + an−2 ) für n ≥ 3, a1 = 3, a2 = 8, indem Sie
die Fälle unterscheiden, ob die erste Ziffer eine 0 ist (dann muss die nächste
1 oder 2 sein) oder nicht.
b) Zeigen Sie, dass die erzeugende Funktion
∞
X
n=1
ist.
an xn =
3x + 2x2
1 − 2x − 2x2
c) Zeigen Sie
√
√
√
√
1
1
an = (3 + 2 3)(1 + 3)n + (3 − 2 3)(1 − 3)n .
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Abgabe am Freitag, dem 4. Februar, bis 12.00 Uhr .