Lehrbuch der Arithmetik

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Grundgedanke zu dem vorliegenden Buch e entsprang der
durch langjäh r ige Erfa hrungen und Untersuchungen bei mir g e
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Ü berzeugung d a fs die L ehren der Mathe m atik ins
b esondere d er Arithme tik noch imm er einer wahrhaft logischen
Beg r ündung einer pla n m ä fs i g e n Anordnung und einer fü r das
stetige gesicherte Fortschre iten des L ernenden durch aus ge eigneten
Darstellung ermange ln
O b der zur Abhil fe sol chen Mangels von mir unternommene
Versuch seinen Zweck in der That er füllen werde m u i s ich der
sachverst ä ndigen B eu r teilung anheimstellen vornehmlich aber von
dem bei ernstlich gewollte r Anwend u ng meines Versuches z u e r
reichenden Erfolge abh ä ngig m achen
In gleichem Sinne m a g es die Zeit le h ren ob das n icht minder
wichtige von mir ins Auge g e fa fs te Ziel erreichbar sei d a fs n am
lich meine eigenartige Entwickelung der m athematischen L ehren
sich fü r die er folgreiche B enutzung seitens praktischer L ehrer eigne
und bei dem Unterri cht in den H ä nde n der Schüler von G y mnasien
und Realschulen a u f die Dauer bewähre
In meiner l angj ä hrigen Pra xis al s L ehrer der m athem atischen
Wissenschaften habe ich allerdings ausreichende Gelegenheit gehabt
di e M ehrzahl j etzt üblicher Unterrichtsmethoden in der von mir
gelehrten Wissenschaft n ä her kennen zu lern en H iernach tritt
vorerst leider die Besorgnis an mich heran d a fs mein B uch fü r
den An fang von mehrfacher Seite mit einem gewissen M ifs tr a u e n
wie es einer g a nz andersartigen G ewoh n heit in der Unterr ichts
weise nur zu nahe liegt au fgenomm en werden mag ein M i fs tr a u e n
w elches in der Regel nur durch einen b e s on d e r n ä u fs e rn A n s t ofs
verscheucht werden kann
Bei alledem b elebt mich d och die feste Zuversicht da fs die
v o n mir einge führte methodische Verein fachung des Lehrgeb ä udes
und dessen Zurück führu n g a u f möglichst wenige in strenger Folge
logisch fortentwickelte S ä tze sich über kurz o der lang weitere
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Bahn brechen und wo r an m i r als praktischem L ehrer noch mehr
liegt auch allgem einere Ein führung in den mathematischen L ehr
kursus finden werde
F ür die natürlichen Grenzen welche ein L ehrbuch als solches
einzuhalten hat schickt es sich natürlich nicht eine von dem g e
w ö h n li c h e n U n t e r r i c h ts w e g e abweichende Au ffassung mit besonderen
philosophischen o der p ä dagogischen D arlegungen polemischer F är
bung ausdrücklich zu begleiten Es galt vielmehr fü r mich z u
n ä chst ein in sich geschlossenes L ehrgeb ä ude aufzubauen u n d
meine viel fach neue Methode durch ihre ganze Ausgestaltung fü r
sich selbst sprechen zu lassen
Nur in sehr wenigen F ä llen (z B ä 1 3 1 8 A n m e r k S 3 7 )
habe ich durch Mitteilung der Gründe fü r meine abweichende
Auffassung einer unl i ebsamen Kritik vorgebeugt Denn es sollte
immer schon die strenge direkte Beweis füh r u n g eine falsche B e
verhindern
Keineswegs
verkenne
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logisch e Methode wie sie mein B uch anstrebt n i cht fü r den ersten
An fang im Rechenunterricht sich eigne aber sie soll dem Elem entar
lehrer bekannt sein damit er Unlogisches th u n li c h s t vermeiden und
das L ogische nach und nach in der jugendlichen Anschauung ent
wickeln kann
S o sol l z B beim ersten Unterricht im Rechnen der Beg r i ff
0 (Null ) nicht im Sinne des ä 1 8 ( S 6 0 unten ) sondern in der
fr ü heren kindlichen Au ffassung (ä 9 6 S 1 2 ) gelehrt werden
Erst der rei fere Verstand wird einsehen d a fs 0 in der eigentlichen
“
Mathematik nicht das „ absolute Nichts sein kann und d a fs es
“
auch nicht b lofs deshalb das „ Un e n d li c hkle i n e ist weil es die
1
höhere Mathematik so will oder weil 1 ; in j ener Au ffassung nicht
oo
sondern ein Undi ng w äre
Mit vorstehenden Worten will ich mich durchaus nicht rühmen
etwas Un fehlbares gegeben zu haben im Gegenteil fühl e ich d a fs
auch in der m athematischen L ogik stets noch ein Fortsch r itt ins
besondere eine noch ein fachere und strengere B egründung mancher
S ä tze möglich sein wird
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ist ein ein facher Begri ff also ein Begri ff der
seine r Urs prünglichkeit wegen nicht erkl ä r t (definie r t ) d h a u f
einen noch ein facheren übergeordneten ( o der Ga ttu n g s Begri ff
zurückgeführt werden kann
G l e i c h sin d Gr ö fs e n wenn fü r die eine die a n dere g e
2
ohne eine A n d e r u n g des W ertes zu bewirken
s etzt werden kann
und 3 sind gleich ]
[ Beis iel :
G l e i c h u n g ist das Urteil d a fs eine G r ö fs e einer andern
leich sei Die Form der Gleichung ist : A = ß lies A gleich B
Beispiel :
In der Gleichung unterscheidet man die
“
linke Seite : links vo rn Gleichheitszeichen
und die „ rechte
“
Seite : rechts vom Gleichheitszeichen
4 A d d i e r e n h e ifs t eine G r ö fs e such en die eb en so l OfS ist a ls
mehrere an dere gegebene Gr ö fs e n zusammengenommen fA llg e m e i n
mathem atische Erkl ä rung] Die gegebenen
zu addierenden Gr ö fs e n h e i fs e n S u m m a n
a
d e n die gesuchte Gr ö fs e : S u m m e Es seien
b
z B a und b die G r ö fs e n (Linien ) welche
addiert werden sollen also die Summanden
Sucht man eine Gr ö fs e (Linie ) c welche
eben so gro fs als a und b zusammen sein soll so ist c die Summ e
“
Man schreib t a + b = c gelesen : „ a plus b gleich c
5
Folgerung : Die Summe ist so gro fs als die Summanden
zusammen genommen
6
Eine Gr ö fs e ist g r ö fs e r als eine zweite wenn zu letzterer
etwas addiert werden m u fs um die erste z u erhalten Zugleich ist
alsdann die zweite Grö fs e k l e i n e r al s die erste S 0 ist z B die
Linie c (s 4 Satz ) g r ö fs e r als die L inie a und a kleiner als c
weil zu a : b addiert werden m u fs um c zu erhalten Man schreibt
“
c > a
gelesen : c ist g r ö fs e r al s a
und a < c gelesen : „ a ist
“
kleiner als c
[ B e ispi e le z 3 1 2
Ist also A > B , so ist zugleich B < A [ 1 s t z B 3
1
so
ist zugleich 1
Die Formen A > ß B < A (z B 7 > 3
nennt man
Ungl eichungen
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Aus dem 4 Satz folgt nun :
I Die Summe ist g rö fs e r als jeder Summand
II J e der Summand ist kleiner als die Summe
Denkt man sich eine g e g e b e n e Gr ö fs e als Summe um
8
in derselbe n Summanden zu unterscheiden so nennt man j ene
gegebene G r ö fs e : G a n z e s die Summanden : T e i l e (dieses Gan
zen) Ist z B C (s 4 Satz ) g e g e b e n und sind a und b nicht
ursprünglich vo rhanden sondern erst in zweiter Li n ie gedacht so
ist c Ganzes a u n d b die Teile desselben Man sagt auch :
Denkt man sich den A usdruck
c ist in a und b z e r l e g t worden
so ist a + b Ganzes a oder b ein
a + b als g e g e b e n e G r ö fs e
“
oder „ Glied dieses Ganzen Man sagt daher : a + b ist
„ Teil
ein zweiteiliger oder z w e ig lie d e rig e r Ausdruck
9
Die S ä tze 5 und 7 gehen nun über jn die folgenden :
I Das Ganze ist den Teilen zusammengenommen gleich
II D as Ganze ist g rö fs e r als jeder Teil
III Jeder Teil ist kleiner als das Ganze
E i n h e i t ist ein ein facher also u n d e fin ie rb a r e r Begri ff
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Die Einheite n sind unter sich getrennt vorhanden Ver
bindet man eine ge w isse Me n ge von Einheiten zu ein em Begri ff
so entsteht die Z a h l Zahl ist mithin die Summe der vorhande n en
E inheiten
“
E i n s ist die aus e i n e r Einheit bestehende abstrakte Zahl
bei welcher man also a u f die Art der Einheiten nicht Rücksicht
nimmt Nimmt m a n zu Eins noch eine Einheit hinzu und ver
einigt diese Einheiten zu einem Begriff so entsteht die Zahl z w e i
Addiert man stets noch eine Einheit so entstehen die Zahlen dr ei
vier
Die Z a h l e n b i l d u n g ist mithin ein successives A d
dieren von Einheiten
1 2
Z i ffe r n ( Zahlzeichen ) sind die Schri ftzeiche n unter
welchen man si ch die Zahlen vorstellt Dur ch dieselben ersparen
w i r uns das Setzen von eben soviel Zeichen
als Einheiten vor
handen sind Die Zeichen fü r eins zwei drei vier
sind :
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Die unmittelbar aus der Einheit entstandenen Zahl e n :
u s w nennt man n a t ü r l i c h e Zahlen die Reihe
.
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n a t ü r l i c h e Z a h l e n r e i h e Der Entstehung zu folge ist j ede in
di eser Reihe liegende Zahl um 1 g r ö fs e r a ls die zunä chst links
liegende z B 7 um 1 g r ö fs e r als 6 6 um 1 g r ö fs e r als 5 folg
lich 7 um 2 g r ö fs e r als 5
Da
und folglich
jede Zahl also aus einer bestimmten Menge von Einheiten z u
s a m m e n e s e tz t ist
a uf
so
treten
die
Einheiten
als
T
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l
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Zahl
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und man nennt daher die natürlichen Zahlen auch g a n z e Zahlen
l4
Addiert m a n Einheiten ohne Rücksicht a u f die Art der
O bj ekte die sich uns als Einheiten vorstellen so entsteht die
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u n b e n a n n t e (abstrakte abs ol ute reine ) Z a hl We r den d a gegen
Einheiten d e r s e l b e n Art ad d iert und d ie u rs prünglich nur a b
s t ra k te
Zahl a u f diese Art bezogen so entsteht di e b e n a n n t e
r ete
conc
relative ange w andte ) Zahl So i s t z B
(
3
1
1
1 ) ei n e unbenan n te Zahl
Ä
3 Mark oder abgekürzt : 3 J
1 J
ai
1 J
ZÄ
5 ) eine benannte
1 J
Zahl
1 5
Die Menge der Einheiten einer Zahl ohne Rücksicht a u f
“
die Art des O bj ekts n en n t man auch A n z a h l
Die Anzahl
von Dingen kan n also nur eine unbenannte Zahl sein
1 6
Es ist 3 = 1 + 1 + 1 und 3 J
ZÄ In
Z= 1 J
Z +1 J
Ä+1 J
jeder b enannten oder unbenannten Zahl ist die A n z a h l der Ein
h e i te n ( hi er 3 ) stets eine unbe n annte Zahl ( s 1 5 Satz ) die Ein
h e i t e n selbst können unbenannt ( l ) oder benannt ( l ß ) sein
l7
Z ä h l e n h e ifs t die Anzahl der vorhandenen Einheiten
durch eine Zahl b estimmen
1 8
Zwei Gr ö fs e n sind g l e i c h a r t i g wenn die eine gleich
Z
der a ndern oder ein Teil der andern ist So sind 7 ß u n d 7 J
gleichartig ; 8 Meter und 3 Meter g le i c h a r tiÖ weil man sich 3 Meter
a ls einen Teil von 8 Metern denken k a n n
Ä und 8 Meter sind
7 J
u ngl e i c h arti g
l9
Die Zahl ist eine s pe c i e ll e (bestimmte ) wenn sie immer
nur d i e s e l b e Menge von Einheiten enth ält z B 1 Billion
2 4Ti l ) ; eine a l l g e m e i n e ( Buchstabe ) wenn sie j ede s pe c i e lle Zahl
ausdrücken kann z B a x
A n e ini g e n B e i s p i el e n m a g hi e r
d i e Ke n n t n is v on g e w i s s e n n och
ni c h t e n t w ick e l t e n B e gr i ffe n v or aus g e s et z t d i e B e d e u t un g u n d d er G e
b r a uch d e r a ll g e m e in e n Z a hl e n g e z e i g t w e r d e n
E s ist
( d i 8 v e r m eh r t um 8 g l e i c h 2 m a l
,
,
.
,
,
,
.
.
.
,
'
,
.
.
„
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
,
,
.
or
,
.
.
.
,
,
.
.
,
,
.
.
,
.
,
,
:
.
g
5;
2 29 ;
2 a
2
5
29
5
29
.
a
a
.
a ll g em e i n
:
z t m i d i e s er l et z te n Gl e i hun g = 8
e t st eh t j en e 1 G l i
ch u
Is t = 29
n t s t e h t d i e 3 Gl ichun g
Inh l t e i e s R ch t cks e r h ä lt m
e m d i e Lä n g e m i t d
D
d i Lä n g e m i t
B e z ich t m
d i e B r i te m i t
B re it e m lt i pli i t
I h a l t d R ch t cks = b ( us g d r ü k t d u r ch Q u a d r t
b
i t d
Is t z B = 7 M t r d i Lä n g d R cht cks al 7 M et r b =
m f )
b üb r i
ö M t er d i
B r e i t d R cht cks l 5 M et r
g ht
d 4F f
i R ch t ck
1 3 F f Lä g
3 5 Q a d at m t r
Ht m
B r i t zu b erech e
g ht
d i 5 2 Q d tf f
b üb r i
Die g e g e b e n e L inie c (s 4 Satz ) kann als Ganzes a u f
20
Se t
n
so
s
a
so e
n
e
c er
er
.
e
e
,
a
.
u
a a
c
n
an
en
,
.
.
,
e
u
r
.
e e
n
e
es
n
,
so
.
e
a
e n
.
es
e
,
so
.
e
u s
.
a
so
e
n
e
,
c
e
v on
e
e
e
er
a
e
e
.
an
nn
a
a so
e
w
,
.
e
e
,
an
a
.
a
n
e
n un
e
e
e e
a
an
so
.
an
ne
es
e
e
e
e
,
e
.
.
n
a
a
e
,
e
.
e
n
un
ra
ua
n
u s
u s
.
.
3
und
in
die
Linien
und
oder
in
Linien
u
s
w
zer
a
b
)
(
g
legt werden Stellt nun c die Einhei t vor so sind a und b die
T e i l e der E i n h e i t Einheiten können also auch geteilt werden
Allgemein :
Jede G r ö fs e kann als Ganzes a u fg e fa fs t werden ; oder :
Jede G r ö fs e kann geteilt werden
e fa fs t
.
.
.
,
.
.
.
.
1
*
4
ä
.
2
.
Die A
i
x om e
5
.
2
ä
.
.
3
Die
.
er te
s
Di e A xi om e
.
Le
n
h rs ä tz
e
.
.
A x iome ( Grundsä tze evidente S ätze Post u late ) si n d S ä tze
die i hr e r E in fachheit und U r s pr ünglichkeit wegen nicht a u f noch
ein fa c he r e S ä tze zurückge führt (d h nicht bewi esen ) werden k ö n
nen deren Behauptung also an sich klar i s t
Es g i e bt nur 2 A xiome :
Jede Gr ö fs e ist sich selbst gleich ( Identitä t nach Inhalt
l
un d Form ) S y m b olisch : d = a Z B
Für j ede G r ö fs e kann m an eine ihr gleiche setzen (Iden
2
So kann z B in
ti tä t nach Inhalt a ber nicht nach Form )
,
,
,
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
an die Stell e der Zahl
bedeutende G r ö fs e 2
Es entsteht alsdann
der linken Seite der Gleich ung die gleich
gesetzt ( fü r 3 : 2 + 1 substituiert) werden
3
1
5
3
.
.
.
2
1
3
Di e
e
r st e n
.
.
L e h r s ä tz e
.
Lehrs ä tze (Theoreme ) sind S ätze die bewiesen werden müsse n
d h deren Wah r heit und Richtigkei t als eine notwendige Folge
aus den be r eits als wahr anerkannten S ä tzen gezeigt werden m u fs
1 L ehrsa tz
Ist A = ß (Voraussetzung)
so i s t auch B = A ( Behauptung)
O de r : Die Seiten einer Gleichung können vertauscht werden
Ist z B
so ist auch
B e we i s
A = A (s S
Nach ä 2 2 kann an die Stelle des A der linken Seite dieser
Gleichung das ih m gleiche B (s Voraussetzung ! ) gesetzt werden
Al sdann entsteht :
2 L ehrs atz
ISt 5
Voraussetzung
)
(
1;
,
,
.
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
.
‘
:
O der Ist jede
:
so ist
vo n
A
= B ( Behauptung)
.
ein er dritten gleich so sind j ene
2 Gr ö fs e n
,
unter sich selbst gleich
B e w e i s Da C = B (s 2 Teil der Voraussetzung und 1 L ehr
satz ) so kann an die Stelle des C in der Gleichung
A
C (s 1 Te il der Voraussetzung)
das ihm gleiche B gesetzt werden Es entsteht alsdann :
A =B
A n m e r k u n g E in e d r i tte A r t v on S ä t z e n d u rch w e l c h e d i e M at h e
m a t i k lehrt
si d d ie
F ol g e r un g e n a u s E r kl ä r un g e n
D i e in S l 9 g e
g e b e e n S ä t z e s i d z B nich t A xi om e s on d er n S ä t z e d i e s er 3 A r t
.
.
.
.
.
,
:
.
.
.
.
.
,
n
,
n
„
n
.
“
.
.
,
.
.
,
.
5 4
.
rten
A
.
5
.
4
.
d G r ö fs e n
.
E
.
int d M th
.
a
.
A rt e n d e r Gr ofs e n
.
5
.
5
E
.
int d G l ich
.
E intei lun g
.
e
.
.
d e r M at
u
.
d
.
A ri th m
h e m ati k
5
.
.
Die G r ö fs e n sind :
I Z a h l g r ö fs e n ( discrete gesonderte unstetige ) solche
deren Teile (Einheiten ) unter sich get r ennt vorhanden sind ; oder
II R a u m g r ö fs e n (stetige oder c on t in u ie r li c h e Gr ö fs e n ) sol che
deren Teile in ununterbrochenem Zusammenhang s stehen (bei wel
chen die Grenze des einen Teils zugleich die G renze des n ä c h
sten ist)
H iernach teilt man die Mathematik ein in :
I Arithm etik
L ehre von den Z a h lg r ö fs e n
II G e o m e t r i e
L ehre von den R a u m g r ö fs e n
.
,
,
,
.
,
,
,
.
.
.
.
.
A
5
.
l
5
.
i th m
r
e
ti k
E int e il un g d e r Gle ic h un g e n
un
.
d d e r A r i t hm e t i k
.
Die Gleichungen sind entweder :
I u n b e d i n g t e ( anal y tische identische) wenn die linke Seite
d er rechten ohne besondere Bedingungen in B ezug a u f den Wert
der G rö fs e n gleich ist Z B :
denn in die s e r Gleichung k a nn fü r x j ede nur
[ ac + 2
mögliche Grö fs e gesetzt werden immer ist die rechte Seite der
linken gleich Setzt man z B
so entsteht :
d i 9+
oder setzt man x = 5 0 so entsteht :
d i
II oder b e d i n g t e (s y nthetische alge b raische ) wenn die linke
Seite der rechten nur fü r gewisse Werte der allgem einen un d zu
suchenden Gr ö fs e (a2) gleich ist Z B :
.
.
,
.
.
,
.
,
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
,
.
.
.
=
1 2
+
w ä hrend in x + 2
3
x
=
Hier
ist
n
u
r
3 x ( s I ) fü r x j e d e
x
[
G r ö fs e gesetzt werden konnte ]
2
H iernach wird die Arithmetik eingeteil t in :
I Zahl enlehre
L ehre von den unbedingten Gleichungen
A S pe c i e ll e Z a h l e n l e h r e ( Z i ffe r r e c h n e n E le m e n ta rr e c h
nen gemeine Arithmetik ) wenn die Gleichungen nur s pe c i e lle
Zahlen enthalten
B A l l g e m e i n e Z a h l e n l e h r e ( B u c h s ta b e n r e e h n u n g a llg e
meine Arithmetik ) wenn die Gleichungen allgemeine Zahlen ent
halten
II A l g e b r a
Lehre von den bedingten Gleichungen
Die Algebra bestimmt wie gro fs in der bedingten Gleichung
=
z
B
1 2 s 1 II ) die Un b ekannte (x) genommen werden
3
a3
+
(
mu fe damit die linke Seite der rechten gleich wird
3
Unter S p e c i e s ( Grundrechnungsarten ) versteh t m an 7
Grundoperationen mit Zah len und z w ar d ie Ad dition mit Zahlen
.
o
o
.
.
.
.
.
.
,
,
,
.
,
.
,
.
.
.
,
.
.
,
.
,
.
,
.
,
6
ä
.
6
A
.
dd iti n
o
.
un d diejenigen 6 O perationen welche unmittelbar aus dieser A d
dition durch Verein fachung und Umkehrung entstehen
Sie h e i fs e n :
D i r e k t e S pe ci e s :
In d i r e k te S pe ci e s (Um k e h r un g e n )
I Addition
II Subtraktion
III Multiplication
IV Division
VI
R a di c i e r e n
V Potenz i eren
VI L L ogar ithmiere n
,
.
:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
lli e 7 Speci e s ( s
6
.
5
e
.
l
.
A d d i t i on
.
.
Addition (das Addieren ) sucht eine Zahl die eben
soviel Einheiten enth ält als meh r ere andere gegebene Zahlen z u
s a m m e n g e n om m e n
(Vergleiche dies e arithmetische Definition mit
der allgemein mathematischen ä 1
G e g e b en G e such t
Di e
.
,
,
.
-
.
3
8
1 1
n
d
n
a
a
e
u
u
u
d
m m
m m
S
,
Gelesen :
o der :
oder :
m
m
plus 3 gleich
„ 8 vermehrt um
„ Sum m e aus 8 und
„
8
S
S
Summe
Die gegebenen zu addierenden Zahlen h e ifs e n S u m m a n d e n
(A d d e n de n A g g r e g a n d e n Posten Glieder)
S u m m e (Aggregat) ist d i e Zahl welche so viel Einheiten
enth ä lt als die Summanden zusammengenommen Um 8 und 3
zu addieren erhä lt man zun ä chst 8 3 (formelle oder theoretische
Summe ) wo für die Prax is wenn es m öglich ist e i n e Zahl : 1 1
verlangt (materielle oder praktische Summe )
2
E rkl ä r u n g e n
I R e c h n e n h e ifs t Z a h le n a u s drü c k e um formen Man rech
net wenn man statt 8 3 : 1 1 statt 1 1 : 8 3 statt 2 : 1 + 1 statt
setzt
II S oll ein zusammengesetzter Ausdruck als eine einzige
G r ö fs e betrachtet werden so ist er in Parenthese (Klammer) zu
setzen Soll zu 5 die Summe
addiert werden so ist 5 +
zu setzen welchen Ausdr u ck m an sich eben so wie 5 + 7
zu denken hat Wä re 6 wieder um diesen Ausdruck
zu vermehren so würde
zu setzen sein Um
nicht unnötige Zeichen zu schrei b en u n d das Rechnen m i t z u
sa m m e n
lä fs t man
g e s e t z te n Ausdrücken hierdurch zu hemmen
,
,
,
,
.
,
,
.
,
,
,
,
,
.
.
.
.
.
,
,
,
,
.
.
,
.
,
,
.
,
.
,
5
j edoch die P arenthesen
werden kann
7
.
w eg
A
.
dd iti nss tz
o
ä
e
7
.
we n n das Resultat kein zweideutiges
,
.
5 7
.
I
.
A d di ti on s s ä tz e
.
Die Anordnung zweier Summanden ist
Allgemein :
B eweis
.
b eliebig
.
.
Beginnt man das Z ä hlen der Einheiten mit der
steht 3 + 4 Folglich ist
+4
2
Um 3 4 und 5 Einheiten :
.
2
.
Zeile
,
so ent
.
.
,
zu addieren könnte m an zun ä chst die Einheiten der 2 und 3 Zeile
addieren
und dann di e l Zeile um j ene Summe ver
mehren
3
(4
Man könnte aber auch zuerst die Einheiten der 1 und 2 Zeile
addieren
un d dann die Einheiten der 3 Zeile hinzu
(3
fügen
4)
5
(3
Ferner könnte man 4 (5
3 ) rechnen u s w
D a alle diese Ausdrücke d ies elbe Menge von Einheiten ent
halten so ist :
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
(5
3)
u s
4
.
.
w
Allgemein :
.
c
u
.
S
O
W
3
) +a
.
B etrachtet man von den vorstehenden Ausdrücken zun ä chst
3
5)
5
so bedeutet dies da fs man zu 3 die
(4
+ 4)
Summe (4 5 ) addieren kann wenn man z u erst 3 um den
einen Summand 4 vermehrt
alsdann die erhaltene
(3
Summe no ch um den andern Summand 5 O der :
A ns ta tt ein e Summ e zu addieren kan n m an i hre
S u m m a n d e n e i n z e l n a d d i e r e n S ym bolisch :
.
,
,
,
.
,
.
B eispiel 8
Z u s a t z Vergleich t man
.
+ 2)
.
3
4
(3
4)
+ 4)
mit
so e rg i e b t sich der Satz :
Um so viel g rö fs e r der Summand um so viel g rö fs e r die
Summe
4
3
4
5 könnte man entweder mi t
oder mit
5
4)
7
1 2 u s w berechnen
(3
,
.
.
.
.
.
,
5
8
.
7
A
.
dd iti nssätz
o
e
.
da aber
u s w (siehe 2 und 3 Satz )
also b e i beliebiger B erechnung des Ausdrucks
doch
immer dassel be Resultat erzielt wird so ist es nicht nötig die
Parenthesen zu schreiben sondern dafür den ein fachen Ausdruck
4
5
O der :
3
Die mehrere Summanden einer Summe e in s e h lie fs e n de Paren
these kann beliebig weggelassen werden S y mbolisch :
.
.
.
.
,
.
,
.
,
,
.
.
5
Ist
und (3
5
4
4)
so m u fs auch umgekehrt fü r 3
5: 3
5 ) oder (3
(4
gesetzt werden können (s 5 3 l ) O der :
M a n kann beliebig mehrere Summanden einer Summe in
Parenthese setzen S y mbolisch :
.
.
,
.
.
.
6
D em 4 Satze zufolge gehen die Ausdrücke des 2 Satzes
nun üb er in :
u s w O der :
Die Anordnung von mehr als 2 Summanden ist beli ebig
S y mbolisch :
u s w
7
Nach dem 6 und 5 Satze ist :
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
"
l
"
O der :
Um eine S umme zu berechnen (Zahlen zu addieren) kann
man immer j e 2 Summanden in beliebiger O rdnung in eine
Zahl vereinigen
,
.
8
.
Dagegen :
Ä +1 fl + 1
J
ä+ 2 M t = 1 J
5 noch 5 Meter
weder 5 J
3
also
fl + 1 M e te r + 1 Meter
e er
,
.
H ieraus
sich :
I Nur gleichartige und g le i c h be n a n n t e Gr ö fs e n können addiert
werden
II Die Summe ist gleichartig und g le i c h be n a n n t mit den Sum
manden
Dennoch lassen sich u n g le i c h b e n a n n te gleich a rtige Gr ö fs e n
addieren wenn sie g le i c hb e n a n n t gemacht werd e n können Z B
5 M ä nner
5 Personen
9 Personen
4 Frauen
4 Personen
9
Gleiches zu Gleichem addiert g i e b t Gleiches
Ist A = B (Voraussetzung )
so ist auch A + C = B + C (Behauptung)
Man schre i bt auch :
Voraussetzung
e rg i e b t
.
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
,
.
z
A
ä:
%
C
B
:
(
C
)
,
(Behauptung)
.
5 8
.
Su b tr k ti n
o
a
.
9
.
B e w e i s Es ist
A
C= A + C
Setzt m an a n die Stelle des A der rechten Seite dieser Gleichung
das ihm gleiche B (s Voraussetzung und 2 A x i om ) s o entsteht :
A + C= B + C
k
Z u s a t z Ist
Voraussetzung
.
.
.
,
.
Q
so 1ist
C
s t auch A
B e w e i s Setzt man in
)
(
i
.
D (Behauptung)
B
,
.
.
an die Stelle de s C der
gen das ihm gleiche D
5
.
l
8
S ubt r a k ti on
.
.
Die Subtraktion (das Subtrahieren ) ist die Umkehrung der
Addition (daher die 1 indirekte Species ) Sie sucht aus der S u mm e
(einer Additionsgleichung) und ein em der beide n Summanden der
selben den andern Summand [ Genetische D e fin iti on i ]
In Bezug a u f
würde also die Subtraktion
I e n t w e d e r aus der Summ e 1 1 un d einem der beide n Sum
manden z B 3 den andern Summand 8 suchen Geschrieben :
G e e b e n G es u c h t
.
.
.
.
.
g
,
.
.
,
1 1
.
3
‚
8
U
G C IGS e n
5
c:
"
ä
ä
”
G
2
e
g
c0
n:
:
oder :
oder :
„
„
„
m i nus 3 gle i ch 8
1 1 vermindert um
Di fferenz aus 1 1 und
1 1
0
o
3
li est
o d e r es würde die Subtraktion aus der S u mme 8 + 3 und
e inem der beiden Summanden 3 ( oder 8 ) den andern Summand 8
(oder 3 ) suchen :
oder
(8 + 3 )
C5
1 3
Min
Min
"
g
ä ad
ä da
Z u s a t z Ist die Additionsgleichung richtig so m u fs auch die
Summe um den einen Summ and vermindert den andern Sum
II
.
"
.
'
w
.
,
.
,
5 9
1 0
.
S u b t r a k t i on s s atz e
.
.
l 4 richtig so m u fs auch 1 4
mand geben Ist z B 9 5
9
5
9 sein
un d 1 4 5
D a nun
so ist auch
4— 1 =3 3
2
A u f Grund der Subtraktion kann man mithin in der n a t ü r
lichen Zahlenreihe rückwärts schreiten :
7 6 5 4 3 2 1
Die Summe ( 1 1 ) wird also zum Minuend (s 1 I )
2
der gegebene Summand (3 ) zum Subtrahend
der gesuchte Summan d (8) zum Rest
3
Mittelst der nun abgeleitete n Begriffe sind folgende Real
d e fin i ti on e n möglich :
S u b t r a h i e r e n h e i fs t eine Zahl (8 ) suchen die zum Sub
tr a h e n d ( 3 ) addiert den Minuend ( 1 1 ) g i e b t
R e s t ( Di fferenz Unterschied ) ist die Zahl welche zum Sub
t r aben d addiert den Minuend gi cht 1 1 — 3 ist der formelle theo
8 der materielle pr aktische Rest
r e t i s c h e Rest
4
Die Vergleichung ungleicher Zahlen durch Addition und
Subtraktion erfordert stets den C om pa r a tiv Z B : 8 ist um 3
4
r ö fs e r
als
5
A
hat
Mark mehr als B 2 i s t um 4 kleiner
;
g
als 6 ; B hat 4 Mark weniger als 4 Bei ungleichen Zahlen g e
“
braucht man „ als bei gleichen Zahlen „ als und wie
Z B :
ist eben so gro fs w i e
falsch da
(o d er : als
gegen : 5 ist g rö fs e r wie 2
Die Subtraktion beantwo rtet die Frage um wie viel g rö fs e r
oder kleiner eine Zahl ist als eine andere
B e i s p i e l Um viel g rö fs e r ist 1 2 al s 9 ?
Antwort : um 1 2 — 9 d i um 3
Um w ie viel kleiner ist 3 als 7 ?
Ant w ort : u m 7 —3 d i u m 4
.
.
.
,
.
,
,
,
,
,
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
,
,
.
,
,
.
,
,
,
.
,
.
.
.
.
,
.
.
“
“
„
,
.
.
.
.
,
.
.
.
l
9
.
.
.
.
,
5
.
.
,
S ub tra k ti on s s ätz e
.
.
Der Beweis fü r die S ä tze der indirekten Species ist da
durch zu führen d a fs sie a uf die S ä tze der direkten Species zurück
geführt werden aus welchen sie entstanden
.
,
,
D i e B e w ei s fü h r u n g fü r d i e S ä t z e d e r Z ahl en le h r e n ahm fr üh e r a u f
di e s e E n t s t e hun g k e in e R ü cksich t Nich t oft s on d er n in d e r R e g e l g in g
m a n v on fa lsch e n u n d u n b e w i e s e n e n S ä t z e n a u s S pä t e r w u r d e m a n r at i o
n e ll e r in d em m a n b ei d e S e i t e n a u f g l e i c h e W e is e ver ä n d er t e Um z B
a
a
c
— c=
z u b ew e i s e n
m u lt ipli c i e r t e m a n b e id e S e i t e n m i t b
M
a
n
b
b
,
.
.
.
.
,
.
.
.
.
,
e r hi e l t
“
l
g lich r i h t i g ! A b r a u ch d i e e
j
B w e is h u is t r i ch t i g d i er t e s di E n t s t hu g d D i isi n
d e r M ul t i plic at i n nich t b r ü cksich t i g t
S ät z
d z w e i te ns d i
Gl i h s zu Gl e ich m add i er t g i b t Gl ich s u w a n w n d t d i nu r
in d e A l g b r a A n w n d un g fi d e d ü r f n D i A l g eb r a all in d a r f d
e
i
b f
c
b
fü r n g
a
b
.
)
un
aus
„
di
,
.
c
a
a
o
e c
r
e
s e
,
fo
n
n
e
e
e
.
e
e
n
s
e
c
,
e
e
c
e
e
e
a
s
er
n
e
un
“
.
e
v
s
.
.
e
e
e
,
o
e:
e
en
5 9
1 2
.
S u bt ra k ti on s s ä tz e
.
.
kann man die S u mme um den einen Summand vermindern E r
m
i
sich
der
andere
Summ
and
so
t
u fs d i e Addition richtig sein
e
b
g
a
5
Da
b
b)
unbedingt (apodiktisch )
(a
richtig ist und
Min S hd
Rest
un t erschi eden werden kann so m u fs auch
I
Rest
Min und
S hd
II
Rest
Min sein d i
S hd
I
oder :
(a
Eine Di fferenz um de n Subtrahend vermehrt g icht den
Minuend
II
b + (a
Z u s a t z Kehrt m an II um so erh ä l t man :
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
,
.
.
,
.
(a
b
a
b)
.
Dieser Satz löst die Au fgabe : „ Welche Zahl ist zu 7 zu a d
“
dieren um 1 1 zu erhalten ?
Denn
Es ist also zu 7 die Zahl 4 zu addieren !
“
6
B ezeichnen wir „ Nichts mit dem Zeichen 0 ( Null )
die wahre Bedeutung von 0 lehrt
so ist : „ 8 vermehrt
um Nichts
oder :
allgemein : a + 0 = a
Aus diesen Gleichungen folgt (nach 5
unmittelbar :
8
allgemein
:
i
I
I a — 0 = a oder :
Eine Zahl um Null vermindert g i e bt j ene Z ahl selbst
wieder
n :
all
emei
8
II
a — a = 0; oder :
Eine Zahl um sich selbst vermindert g icht 0
Um a + b — b oder a — b + b oder b a — b zu berc oh
7
nen könnte m an die Zahlen in verschiedener O rdnung verbinden
und zwar :
—
a
a
b
n
b
I zuerst + berechnen dann b subtrahiere also ( + ) b
berechnen Nach Satz 2 aber ist ( a b) b = a
II M a n könnte auch erst a — b berechnen und dann b a d
dieren also (a b) b berechnen Aber auch d ies ist
nach dem 5 Satze = a
Eben so :
III
b + (a
(s 5 Satz )
IV
a + (b
V
(b
D a das Resultat immer dasselbe
s o ist o ffenbar nicht
a ) ist
=
b
b
n ötig
a
a u s w
zu schrei be n vielmehr können die
( + )
Parenthesen weggelassen werden und es genügt :
a + b
A
B
a
b+a
C
,
.
.
.
,
.
g
D
.
.
.
,
,
,
.
,
.
.
.
,
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
,
.
.
,
.
,
.
.
.
5 9
.
.
S u b t ra k t i o n s s a tz e
.
A n m e r k u n g Summanden und Minuenden nennt m a n auch
Subtrahenden subtraktive Zahlen Den letzten S ä tzen
a dditi v e
A B C z u folge heben s ich immer gleiche additive und s u btr a k
tive Zahlen (+ b mit — b und —b mit + b)
—
=
8
a
b
oder :
c
(a
( + )
Min
S hd
Rest
Anstatt eine Summ e um irgend eine Zahl zu vermindern
kann man e l n e n der Summ anden um diese Zahl verm i n
dern und den Rest um den andern Summand vermehren
Be w eis
=
a
b
a
b ( s 5 Satz II )
Rest
Minuend !
c
c
S hd
)
(
z
l Z u s a t z Dersel be Satz lä fs t sich nach 5
auch schreiben :
—
b
c ) ; oder :
( + a)
Anstatt eine Summe zu vermindern kann man auch den
einen Summand um den Rest aus dem andern Summan d
und den Sub trahend vermehren Z B :
.
,
.
,
,
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
1 7)
(6
2
Z usatz
.
.
Vergl eicht m an :
.
b
b)
c
(b
:
c
)
mit (a
a
c)
so e r gi e bt sich :
c ?
(b
Um so viel g r ö fs e r der Minuend um so viel g r ö fs e r der
Rest
Umgekehrt :
b)
c ; oder :
(a
Anstatt eine Di fferenz um irgend eine Zahl z u vermehren
kann man den Minuend um diese Zahl vermehren und
von der entstehenden Summ e den Subtrahend abziehen
,
,
.
9
.
,
.
Z B : (20
Z u s a t z Keh r t m an Satz
.
.
Zus l um so e r h ä l t man :
b + (a
+ a ) c ; oder :
Anstatt eine beliebige Zahl um eine Di fferenz z u ver
mehren kann man die Zahl um den Minuend vermehr en
und von der Sum me den Subtrahend abziehen
.
8,
.
,
,
.
Z E
.
.
+ 1 0)
:
und a c b in beli ebiger O rdnung be r e c h
net g icht nach den bisherigen S ä tzen :
—c ;
a + (b
I
—
b
II
c;
(
—
a
III
c;
(
—c
b + (a
IV
Da i mmer dassel b e Resultat : ( a b) c e r scheint so sind
A die Parenthesen unnötig u n d man schreibt :
statt (a + b ) — c nur a + b —c
—
a
nur
a
c
b
c +b
(
)+
—
—
—
a —
b
c
nur
a
)
f(
+b c
1 0
.
a
b
c
,
.
.
.
.
.
,
.
,
,
.
,
5 9
1 4
.
Z usatz
führen
S u b t r a k t i on s s ä t z e
.
.
.
und
a
+ (b
c
dem Satze :
Die nach ei n em Pl uszeichen befi n dliche Parenthese kann
stets weggelassen w e r de n ohne d a fs sich die in dersel ben
b efindlichen additiven und subtraktiven Zahlen ä nde r n
— 2;
B eispiel
— c — d +e
a + (b — c
—
—
=
B Anstatt :
c
c ) + b ka n n nun auch
(a + b)
(d
zu
,
.
.
.
.
geschrieben werden O der :
Die additiven und subtraktiven Zahlen können beliebig
angeordnet werde n
B ei spi el
1 7 +9
—
1 1
a
d
b ; oder :
( + )
Die im Minuend und Subtrahend enthaltenen gleichen Sum
manden heben sich
.
.
.
.
.
Be
w e
m
.
Rest
l2
.
Min
d
a
Umkehrung :
a
Die Differenz bleibt
trab end um di eselbe
B ei spiel
.
oder :
wenn Minuend und Sub
vermehrt werden
d)
unverändert ,
Gr ö fse
.
.
1 1 23
1 3
—
—
d)
(a
(b
.
B eweis
Rest
.
S hd
.
= (a
a
1 4
.
-
d)=
— d = M in
a
—b
(Vergl
.
.
—d
.
Umgekehr t :
—
—
—
=
b
a
d
d)
a
b
)
(
(
—
—
—
—
=
b)
b
c)
c
(a
(a
.
1 5
.
B ewei s
Rest
.
—c )
.
S hd
—b
= a — b = M in
—
—
—
Ä
—
—
b
a
c
Da a
b nur entweder als (
b
c und a
c
)
oder als (a c ) b b erechnet werden können beide Ausdr ü cke
aber gleich sind so ist :
b ; oder :
a
b — c = a —c
Die Anordnung der Subtrahenden ist beliebig
D a nun
d (s Satz 9 )
b
(s 1 5 Satz )
a ( s 8 Satz )
( s 8 Satz )
—
—
d
a
so kann also a b + c d
.
.
,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
5 9
.
.
S u b t ra k t i on s s a t z e
1 5
.
o der als [( c d ) b] a u s w berechnet werden Allgemein :
Jeder aus vielen additiven u n d subtraktiven Zahlen beste
hende Ausdruck kann in beliebiger O rd nu n g (i m n l e r j e 2
b eliebige Zahlen verbindend ) berechnet werden
B eispiel e:
—3
— 6
1 3 —
6
;
.
.
.
.
.
7
d
7
— b +a — c
d
Z us atz
o
o
5
+0 +0
-
c
=1
2;
b) — c
—
= d —c
.
Vergleicht man
.
a
(a
c
)
—c ) — b ,
c
mit (a — b)
so e r g ie bt sich der Satz :
Um so viel kleiner der Min u end um s o viel kleiner der
Rest
— b — c O der :
l6
a
I L öst man nach einem Minuszeichen eine Parenthese a u f
so verwandeln sich di e in derselben befindlichen Summan
den ln Subtrahenden
II Anstatt eine Summe abzuziehen kann m an die Summan
den einzeln abziehen
B eweis
—
— b — c + b +e
=
a
Rest
S hd
b
a = M in
B ei spi el
—9
— 5
29
Z u s a t z Vergleicht man :
a
b
b)
(a
mit a ( b c ) (a b) c so e rg ie bt sich :
H] so viel g r ö fs e r der Subtrahend um so viel kleiner der
est
l7
Umkehrung :
a —b
c = a
O der :
I Bildet man nach einem Minuszeichen eine Parenthese so
verwandeln sich die Subtrahenden in derselben in Sum
manden (in additive Zahlen )
I I Anstatt mehrere Zahlen einzeln zu subtrahieren kann man
ihre Summe subtrahieren Z B :
,
.
.
.
.
,
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
,
E
,
.
.
.
,
.
.
,
.
23
Zusatz
—
a
b +c
.
.
7
-
.
.
m
d
1 0
+
e
—b —d —f
oder :
Um einen aus viel en additiven und subtraktiven Zahlen
bestehenden Ausdruck zu berechnen kann man die Summ e
der additiven Zahlen u n l die Summe der subtraktiven ver
mindern Z B :
,
.
.
.
1 6
5 9
.
.
S u b t r a k t i o n s s at z e
—6
1 1
1 9
1 47
23 4
=
1 8
.
a
.
45 6
(2 3 4
1 36 8
3 69
45 6
67 8
6 7 8)
7 89
(1
47
3 69
7 89 )
—(b — c ) = a — b + c ; oder :
L öst m an nach einem Minuszeichen eine Parenthese
au
f,
so verwandeln sich die in derselben befindlichen Sub
trab enden in Summanden
B e w ei s
—
=
h
d
a
S
Rest
a — b +o +b — c
e)
= a = M in
B eispiel
.
.
z
.
.
.
1 8
Z u s a tz
Vergleicht man
.
a
b)
b)
(a
(a
b
mit a ( b c )
c
s o e r g i e bt sich :
Um so viel kleiner der Subtrahend um so viel g r ö fs e r der
li est
Umkehrung :
a
b + c = a — (b — c )
O der :
Bildet man nach einem Minuszeichen eine Par enthese so
verwandeln sich die Summanden in derselben in Sub
,
,
.
l9
.
.
,
tr a h e n d e n
.
B ei sp i el e: 31
1 9
31
1 0
(1 9
Mit Rücksicht a u f Satz 1 7 und 1 9 :
a — b — c + d —1 = a — ( b + c — d +
oder auch :
—
a — b — c+d
l=a —b
d +
(c
c)
A nmer ku ng
Da
b
c ni c h t g l e ich b e d e u t e n d m i t a
(b
b
d i
c i st
s o is t hi e r di e P a r e n t h e s e w e s e n t li c h
Um a ls o e i e n
m e h r t e ili g e n A u s d r u c k z u su b t r a hi e r e n
hat m a n d e n n ach d e m S u b t ra k
t i on s z e i c h e n z u s e t z e n d e n A us d r uck i n P a re t he s e z u s te ll e n
S oll u m
c ) zu
b
c od e r b
c ) un d a
c ve r m in d e r t w e r d e n
s 0 is t a
(b
(b
s c h re ib e n
D a g e g e n is t a (b c ) a b c u n d a (b c ) a + b c
( s 5 9 1 0 Z u sat z ) Um a ls o e in e n m eh r te ili g e n A us d r u c k z u a dd i e r e n
s chli e fs t m a n d e n m e h r t e ili g e n A us d r u c k n i c h t e in
2 0 D a die Summe mit den Summanden gleichartig sein m u fs
aus der Additionsgleichung aber die S u b tra k ti on s g le i c h u n g hervor
geht so müssen auch Minuend Subtrahend und Rest gleichartig
sein ode r :
Nur Gleichartiges kann subtrahiert werden
Gleiches von Gleichem subtrahiert gi c ht Gleiches
21
Ist
A = ß (Voraussetzung )
so ist auch A
C= B
C ( Behauptung)
1
Dafü r schrei b t man auch :
Voraussetzung
.
.
a.
.
.
a
,
,
n
.
,
n
a
.
,
.
o
.
,
.
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
.
ä 3
z
A
C
B
)
(
0
( Behauptung)
.
S
Mult p lic ti n
1 0
.
i
o
a
1 7
.
4
B eweis
C= A
C (s 1 A x i om )
geht wenn man an die Stelle des 1 d e r rech ten Seite das ihm
gleiche B (s Voraussetzung ) setzt über in :
.
-
.
,
.
.
C= B
.
,
A
Z u satz
Ist
.
und
so ist auch
C= D
=B
C=
A
.
.
— D (Vergl 5
.
Mul ti plication
5 1 0
l
=ß
A
Zus )
.
.
.
Die zu addierenden Sum manden sind gewöhnlich ver
schieden Sind sie gleich z B :
.
.
.
,
.
so kürzt dies die M u l t i p l i c a t i o n durch
Weise ab :
G e g eb e n G e su c h t
8
-
2
Zahlen in folgender
24
3
r
d
n
o
Gelesen : 8 mal 3 gleich
oder : 8 m ultipli c ie r t mit
oder : das Produkt aus 8 und
t
a
a
c
„
c
k
p
p
u
d
o
u
u
„
„
3
“
r
2 2
P
Pro dukt
D er Summand (8) wird zum Multip licand
die A n z a h l der Sum manden (3 ) zum Multi plicator
die Summe zum Produkt
M u l t i p l i c a t i o n is t also die abgekür zte Addition gleicher
S ummanden
P r o d u k t ist das Resultat der M u ltiplication oder (bestimmter ) :
di e abgekür zte S u mme gleicher Summanden
das formelle o der theoretische 2 4 das materiell e oder
praktische Produkt
Gewöhnli ch unterscheidet man nicht Multiplicand und Mul
t i pli c a t or sondern nennt die z u m u lt ipli c i e r e n d e n Zahl en :
F a k t o r e n In
ist 8 der erste 3 der zweite Faktor
D ie M u l tiplication hat eigentlich k e i n Zeichen D as neben
e i n a n d e r s te lle n
der Faktoren zeigt schon ihre Multiplication an
Soll
mit
m u lti pli c i e rt werden so kann man
aber auch (7 + 2 ) ( 4 + 1 )
(7 + 2 )
schreiben D as Produkt aus 3 und x = 3 x a mit b multipli
eiert = a b Nur um Verwechselu n gen zu vermeiden wendet man
als M u ltipli c a ti on s z e i c h e n den Punkt oder das liegende Kreuz an
Das P rodukt aus 2 un d 3 ist daher ( der Zahl 2 3 wegen ) 2 3 zu
schreiben D er Inhalt des Rechtecks ist
dem Produkt aus Grund
linie und H öhe
Grund ] X H öhe (d i Grundlinie mal H öhe )
S h
i g
L h b
h d
A rit h m t k
I T il
2
,
,
.
.
,
.
,
.
,
.
.
,
.
.
,
.
.
,
.
.
-
.
.
c
ur
,
e
r
uc
er
e i
.
.
.
e
.
.
.
5
1 8
.
Multi p lic ti n
1 0
B e i s pi e l e :
o
a
.
= 2 8 ; dafür
=28 ;
7 4
2 5
6%
o
=1
v
fl +6 fl =
3 +1 3 = 1 3 2;
1
2
ß
1 2j
6
9:
0;
o
U mk e hrun g:
.
3
7
7
o2
a
a
7
1 1
a
8
fl
1
3
°
7;
;
= 1 +1 +1
;
b
3
E rk l äru n g e n
I Die
Z ahl eines Ausdrucks bezeichnet man
3
mit den darüber geset ten Zahlen 1 2
die Indices (Zei
ger O rdnungszahlen S te ll e n z a hle n ) genannt werden
.
.
.
“
z
,
„
,
,
.
,
B e l S Pl e l e
1
0
2
3
4
3
4
5
:
2
1
5 ;
-
3
2
1
II Sind also die gleichen Summanden mit ihren Indices be
zeichnet so b ildet man das Produkt indem m an als 1 Faktor den
Sum mand als 2 Faktor den letzten Inde x setzt Alsdann ist also
(s 1 Satz ) der 1 Faktor Mul t iplicand der 2 Factor Multip licator
B ei sp i el e:
.
,
,
.
.
,
.
.
.
.
1 9
3
2
1
D ie Punkte zeigen hier an
zusetzen sind
1
2
d a fs
,
.
3
+ + +
a
a
2
1
.
.
,
a
3
die Zahlen
.
1
i
2, 3
-1
=
a
+
00 ;
a
a
=
1
+
Umgekehrt ist :
a
,
1 00
1
III
1
b
b
= a +a +
a
n
= l+ i +
1
;
.
0
a
.
bis
1 9 for t
5
20
Umgekehrt ist :
l1
.
4
M u lt i pli c a t i o n s s a tz e
.
o 4 ; allgemein :
1
2
1
.
a
=
3
1
a
.
a
+1
.
D i e An o rdn un g zweier Fakto ren i s t b e li ebi g
3 4 = 4 3 allgemein : a b = b a
B e weis
3
.
-
o
.
-
o
.
,
o
.
o
o
o
Reih en j ede mit 4 Einheiten = 3 4 Aber auch :
Folglich :
(senkrechte ) R eihen j ede mit 3 Einheiten
4 3
3o4
Allge m einer B eweis
3
4
o
.
,
.
.
1
1
2
3
o
2
3
a
+ 1 (j enes erste
1
2
3
+1
a
'
b=
3
2
2
( jenes zweite
a
)
a
+1
1
)
a
+1
1
a
3
( j enes dritte
a
)
a
+1
( jenes
b
‘
e
a
)
.
Addiert man zuerst die mit l bezeichneten senkrecht unter
einander stehenden Einheiten deren Anzahl = b dann die mit
deren Anzahl = b u s w
so e r
3 bezei chneten Einheiten
:
icht
sich
g
,
.
,
,
.
a
.
,
,
l
2
b
1
1
1
l
2
b
1
1
1
.
.
,
(die mit 3 bezeichneten E inheiten )
.
(die mit 3 bezeichneten Einheiten )
,
ob
b
bezeichneten Einheiten )
Die erste Zeile des vorstehenden Aus d rucks g i e bt (nach Satz 2 )
1
(die mit
1
1
3
,
1
di e
Zahl
b,
also das erste
b
o der
b,
2
b
oder
b,
die
2
.
.
Zei le = b also das zweite
,
a
die letzte Zeile
d as
a
te
b
oder b; daher :
M ult i pli c a t i o n ss ä tz e
1
d i
.
.
n ac
2
h
B eispiele:
3
a
+5
b=b
a
21
.
-
x
a
x
.
= 3 x;
1
2
3
i t 8 + 8 + 8 ni h t b l l = 8 3
n m e r k u g Da 8
s d er a u ch = 3 8 M k ann al s d l et z t n In d ex d er M ul t i plic at r
als 2 Fak t r a ah m e ( s 5 1 0 3 II )
a u ch a l s
d
b ish r
w i
E i st m i t hi n
1 Fa k t r s e t e
A
on
n
n
en
.
so
.
r
e
o
z
an
.
.
n ur
n
o
o
.
s
.
s
c
e
en
nn
n
.
o
.
,
,
n un
,
,
,
:
1
2
n
a
a
a
Um gekehrt :
ist
als
e b e n s ow oh l n a
2
a n.
4
3
als auch :
e b e n s ow ohl
1
3
2
4
5
(5 + 4 )
.
o s
o
.
1
4
‘
Allgemein :
Um einen me h rteiligen Ausdruck zu
j eden Teil zu m u ltipli c ie r e n
B e weis
m u ltipli c i e r e n
,
hat m an
.
.
l
2
3
l
1
2
2
3
3
1
2
3
1
2
3
oder :
Allgemeiner B ewe is
.
1
2
c
o
1
2
1
2
c
c
+ E+ Z
1
2
m +m
1
c
c
+w
+
+bc
Nac h dem 3 Sa tze können vorstehende
4)
schrieben werden :
3 (5
3 4;
3o5
a c
2
.
.
A usdrücke
auch
ge
-
B eis pi el a
Da von a das ganze Produkt
b (c + d ) subtrahiert werden soll so hat man sich zu denken :
a
[b
Dies aber ist nach vorstehendem Satze :
—b c —b d ( s 5
a
.
,
.
.
ä
22
.
—
5)
9
5
(
allgemein :
3 =9
o
.
1 1
M ult i pli c a t i on s s ä t z e
.
—
5 3
3
(a
c
—
=
b
c
(
)
fü r
su
3
,
d
Satz 4 gilt also auch
B eweis
o (9
—b c oder (s
—c b
oder
°
o
.
a
—3 5 ;
Satz ) :
-
3
.
.
.
Zahlen
b s tra k tive
.
.
2
l
— b) +
(a
2
1
1
a
+
b
-
c
—b +
-
B eisp ie l
a
c
+a
7
.
3
.
.
+
]
b
2
1
3’
.
(Vergl das
— (b — c ) d = a
o
3
+ a)
a
6
3
— b —b — b
c
—
b
2
1
c
2
a c
c
+ä
3
(d + a +
—b)
‘
+d +a +
1
:
+ (a
2
a
2
l
a
c
B eispiel
zum
4
— b d + c d (s ä
.
.
Satze ! )
— [ö d —c d ]
.
o der 7 3 +s
oder (s
c + b c = (d + b ) c
s
o
Allgemein :
‘
a
,
.
3
Satz ) :
.
Ist eine Summe von Prod u kten gegeben von welchen j edes
denselben Faktor (3 in den ersten c in den letzten Gleichungen )
“
enthä lt so kann man di esen gemeinsamen Faktor aus j edem
Pro dukt entfernen den zurückbleibenden Ausdruck ( 7 + 5 oder
a + b) in Klammer setzen und diese Klammer wieder mit j enem
Faktor m u ltipli c i e r e n Man sagt alsdann : 3 o der c ist a u s g e
h o b e n (herausgestellt abgesondert herausgeschrieben a u s g e s c hi e
den ausgeklam m ert) worden
B eweis
,
,
„
,
,
.
,
,
,
.
,
.
2
1
c
d
+a +
1
l
=a + b
l
2
c
xl
+b
2
2
a
+b+
l
c
c
+ Z5+Z
2
c
(a + b) c oder
O
nic
ht
A
n
a ls
e r k u g W ei t er t e s l l g ez ei g t wer d e w a r
Um kehru g
fg f f t wer d e d a r f
+b
m
n
n
B ei spiele
un
.
v on
a c
c
.
9
38
x
+
a
o
x
+b
5)
-
x?
n
o
au
n
e a s
n
,
.
um
(a
+ b) c
M u lti pli c a t i on ss ä t z e
Aus dem
zun ä chst (nach Satz 2 ) ein Produkt herzustellen :
1 x + a x +b x = ( l
— b c = (a — b) c o der a o — b c
c w— b)
e r s te n x i s t
°
7
a c
.
B
23
.
e w e
-
o
z
,
m
o
.
.
2
l
1
c
2
c
+ a)
(a c )
1
2
d
+ +
l
a
+
1
—b — b
a
E
—b+a —b+
2
(
—
a
b) c o der
(
a
a a
2
2
2
1
B eisp iel e
1
c
a
+ 6)
b
3J
—
b
+
,
a
c
—b) +
c
c
—b)
(
d
—
b)
+(
a
.
—
—
=
a
b
a c
a (
c);
7 x — 4 x = (7
c + e d —c = a c + c d
—a b
.
-
—1 ) c
8
Um das Produkt 6 o 5 mit 4 zu m u ltipli c ie r e n also (6 5 ) 4
zu berechnen könnte m an zun ä chst das Produkt
durch e i n e
Zahl ausd r ücken
rechnen Will m an
3 0 und dann 3 0
j edoch wie es oft geschieht die ursprüngliche Produkt form bei
behal ten so dar f man
b e i d e r M u l ti p l i c a t i o n e i n e s P r o d u k t s n u r ein en
d e r F a k t o r e n m u l t i pl i c i e r e n
Um daher
s das vorstehende B e i s p
das Produkt
mit 4 zu m u ltipli c i e re n m ü fs te man entweder den 1 Faktor 6 mit
4 m u ltipli c i e r e n und 5 unverä ndert l assen
o der man lie fs e 6 u n
verä ndert und m u ltipli c i e r te den 2 Faktor 5 mit 4 Geschrieben :
oder auch
6 (5 4 ) = 6 2 0
( übereinstimmend mit dem schon ob en gefundenen Produkt
Allgemein : (a b ) c = (a c ) b o der auch
Die Multiplication eines Produktes ist mithin nicht mit der
Multiplication eines m ehrteiligen Ausdrucks zu verwechseln bei
welcher (s 4 Satz ) j e d e r Teil zu m u ltipli c i e r e n ist :
a
o
.
0
.
,
,
,
.
,
,
,
,
.
.
.
.
,
,
.
.
o
o
o
o
0
o
,
.
Bew
e
.
m
.
4
3
2
1
Diese Summ e aber ist nach dem
e n tweder :
4
3
2
l
o der :
l
6
2
3
4
6
.
Satze
ll
ä
24
.
M ulti pli c a ti on s s ä t z e
.
.
B e i s p i e l e : 5 mit
m u lti pli c i e r t = 3 0 2 o der = 6 1 0
30 1 0
nicht aber
[ 3 % 4% mit 2 m u ltiplic i e r t gic h t entweder :
oder :
9 nicht aber
1
Z u s a t z Es ist also
Diese
A usdrücke aber sind nach dem 3 Satze :
o
o
,
o
.
-
-
,
.
.
.
-
(4 5 )
o
Diese sech s Ausd rücke sind ferner nach demselben
3
Satze :
.
Vorstehende 1 2 Ausdrücke sind also alle untereinander gleich
2 Zus atz
Soll 6 5 4 berechnet we r den so erhielte man
wenn man zuerst 2 beliebige Faktoren m u ltipli c i e r te das erhaltene
Produkt aber alsdann mit dem 3 Faktor entweder (6 5 ) 4 o der
Da aber alle diese Ausdrücke dem 1 Zus zu folge
6 ( 5 4) u s w
einander gleich sind so kann kein Fehler entstehen wenn man
einfach 6 5 4 schreibt Allgemein :
statt (6 5 ) 4 o der 6
O der :
Die mehrere Faktoren eines Pro dukts e i n s e h lie fs e n de P a
re n th e s e kann beliebig weggel assen werden
D amit geht
u s w
3 Z u s atz
6 4 u s w ; oder :
(s d e n 1 Zus ) über in
Die Anordnung von m e h r a l s z w e i Faktoren ist b e
lie big
4 Z us atz
Umgekehrt : a b c = a (b
b) c ; oder :
Mehrere Faktoren eines Produkts können beliebig in P a
r e n th e s e gestellt werden
5 Z us atz
Nun ist auch :
5 ) 7 (s 4 Zus ) = 6 2 0 7 = (6 2 0) 7
1 2 0 7 = 8 4 0 oder :
2 3 4 o 5 o 7 = 2 o 5 o 7 3 4 (s 3
.
-
0
.
.
,
,
,
-
.
°
o
,
.
.
.
.
.
,
.
o
,
-
0
c
.
.
.
.
.
-
.
.
.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-
o
o
.
.
-
0
-
.
o
‚
0
-
'
o
.
.
Um also ein Produkt zu berechnen kann man immer j e 2
beliebige Faktoren in eine Z ahl vereinigen
4 ) (s 1 u 2
Es ist
6 Zu s atz
Anstatt also irgend eine Zah l (hier 6 ) mit 5 und das Produkt
( 3 0) alsdan n mit 4 zu m u ltipli c ie r e n kann man j ene Zahl (6 ) s o
gleich mit dem Produkt aus 5 und 4 d i mit 2 0 m u ltipli c i e r e n
Allgemein :
Anstatt mit mehreren Zahlen der Reihe nach zu multi
li
i
kann
man
sogleich
mit
ihrem
Produkt
multi
c
e
re n
p
,
.
-
.
.
.
.
.
.
,
,
.
.
.
,
i
l
p c ie r e n
.
Z u s a t z Ferner ist 6
Anstatt also eine Zahl (6) mit
7
.
(s
.
2 0,
d i mit
.
.
.
1
.
u
.
2
Zus
zu m ulti
.
5
.
1 1
M ulti pli c a ti on s s ä tz e
.
25
.
kann m a n sie zuerst mit 5 und das erhaltene Produk t
alsdann mit 4 m u ltiplic i e r e n Allgemein :
Ans tatt mit einer Zahl zu m u ltipli c ie r e n kann m an die
sel be in F a ktoren zerlegen und mi t diesen einzeln de r Reihe
nach m u ltiplic i e r e n
B eispiel:
l
i
c i e re n
p
,
.
,
.
3 Zusa tz
Ä 3/
J
ß
6 1 6 44
5
ist unmöglich weil
unmöglich ist (s 1 Satz ) Oder :
Nur e i n Faktor eines Prod u kts kann eine benann te Zahl
se i n
9 Zusatz
Vergl eicht man
a b = (a b) mit
a (b
b) c so e r g ie b t sich :
So viel mal so gro fs ein Faktor so viel mal so gro fs das
Produkt
9
Setzt m an in
(s 4 Satz ) an die
Stelle v on m : a l—b so entsteht :
d d i ( 4 Satz )
= a c + b o +a d + b d
Um also einen m ehrteiligen A u sdruck mit einem m ehrteiligen
zu m u ltiplic ie r e n hat man j eden Teil des einen mit j edem Teile
des andern zu m u lti pli c i e r e n
B ei sp iel:
1 0 + 30 2 + 4 2
.
2
.
o
.
.
o
4 5
o
o
,
.
.
.
.
o
o
,
,
.
—
.
.
.
,
,
.
.
.
.
,
.
-
1
.
Zus atz
.
—
m (c
d)=m
e
a c
a c
a c
2
.
Zusatz
(
—m d
g
+bc
+bc
—
+bc
e ht
m it m
)
a
d
—b d
= a + b über in
d]
c
.
m=a
ö) d
d —b d
mit
—
.
a
-
o
—
d c
bc +a
—
—
=
m
m d g e ht m i t m = a
Z u s a t z m (c d )
c
—
—
—
—
b
a
b) d
a
b
c
c
)(
)
(
(
a c —b c
—b
über in
b
über in
.
3
.
.
a c
a c
1 0
.
Ist
—b c
— bc —
a
d
+bd
.
Gleiches mi t Gleichem m u lti pli c i e r t g i e b t Gleiches
A = ß ( Voraussetzu n g )
s o ist auch A C = B C ( Behauptung )
,
,
.
g 1 2
26
.
oder auch geschri eben :
.
D ivi
s i on
ä
.
( Voraussetzung)
o 0 B o C ( Behauptung)
B e w e i s A C = A C ( s 1 Axiom ) geht wenn m an an die
Stelle des A der rechten Seite das ih m gleiche B ( s Voraussetzung )
setzt über in : A C = B C
Z u s a t z Ist
und C = D
A
( Vergl ä 7 9
A
0
.
:
.
.
.
,
.
.
,
.
.
g
.
1
1 2
.
Di v i si on
.
,
,
.
Die Division ist die Umkehrung der Multiplication (also
die 2 indirekte Species ) Sie sucht aus dem Produkt und eine m
der beiden Faktoren desselben den andern Faktor [ Genetis che
D e fin i ti on l]
In Bezug a u f 8 3 = 2 4 würde also die Division
I e n t w e d e r aus dem Produkt 2 4 und einem der beiden Fak
toren z B 3 den andern Faktor 8 suchen G e schrieben :
Ge g eb en G e s u c h t
=3
24 8
.
.
.
.
o
.
.
.
,
,
.
c3
"
ä
5
‚
'
8
*
3
Gelesen :
oder :
g
Q
Q
0
„
dividiert durch 8
der Quotient aus 2 4 und
“
24
8
"
°
Quotient
oder auch geschrieben :
.
3
2
:
8
Gelesen :
oder :
oder :
3
B r uch’ o
Quot ä
.
Achtel gleich
2 4 durch
„ Quotient aus 2 4 und
„
24
„
II o d e r es wür de die Division aus dem Pro dukt
einem der beiden Faktoren
den andern Faktor
o der
(8
.
H
.
ä
+3
8°
2
.
2;
“
ö
E
.
2
2
und
suchen :
8 3
°
*3
8°
0
c:
Q
m 0
Z u s a t z Ist mithin die M u ltipli c a ti on sg le i c h u n g richtig so
den andern
m u fs das Produkt du r ch den einen F a ktor dividiert
Faktor geben Ist z B
richtig so m u fs
und
2 4 z 8 = 3 sein
.
c:
.
,
.
,
.
.
.
.
,
1 2
ä
28
.
.
Divi i
s on
.
I
Ist also der Divisor unbenannt so ist
der Quo tient gleichartig mit dem Dividend und drückt einen T e i l
aus 8
ist der dritte Teil von 2 4
II
Ist mithin der Divisor gleichartig mit
dem Dividend so ist der Quotient unbenannt und dr ü ckt ein
ist in 2 4
E n t h a l t e n s e i n oder M e s s e n aus
8
3 mal ent
h a lten
D er Q u otient aus z w e i gleichartigen Grö fs e n w i rd Ve r h ä l t
.
,
“
„
.
.
,
.
.
n i s genannt
sind Verh ä ltnisse
24
.
.
Die u n b e n a n n t e Zahl ( 3 od e r i i m vorletzten Bei spiel)
s
welche dem Verh ä ltnis
gleich ist h e ifs t E x p o n e n t
d e s Ve r h ä l t n i s s e s
Das Messen untersucht w i e oft der Divi sor ( 8
der dann
auch M a fs h e ifs t im Dividend (2 4
die zu messende Gr ö fs e )
enthal ten ist Die als Resultat erhaltene unbenannte Zahl (3 ) h e i fs t
dann auch M a fs z a h l
Sind Divi dend und Divisor unbenan nt ( z B 2 4 :
so
kann m an sowohl Teil als E n th a lte n s e i n annehmen
—
—
6
%
%
4%
1 2
4
Von 1 2
läfs t sich also
4% =3
Geschrieben : 1 2 %
4
3 mal abziehen
Die Division
könnte mithin auch als eine „ abgekürzte Subtraktion mit gleichen
Subtrahenden an g esehen werden Diese E r k l ä rung würde aber
n u r dem Messen oder E n th a lt e n s e i n genügen
7
Um 2 Zahlen zu vergleichen hat man bei der Addition
bei der Mul
un d Subtraktion stets den C o m pa r a t i v ( s ä
m a l mit dem P o s i t i v anzuwenden
t ipli c a t i on und Division stets
Es m u fs daher h e i fs e n :
ist 3 mal so gro fs als 8 (nicht 2 4
“
ist 3 mal g r ö fs e r als
So viel
5 mal so viel als B ;
„A hat
m al so gro fs ein Faktor so vi el mal so gro fs das Produkt ; D er
“
Mon d ist 5 0mal so klein als die Erde [n i c h t 5 0mal
“
So viel m al so klein ein Faktor
B hat 5 mal so wenig als A ;
so vi el mal so klein das Produkt
Die Division beantwortet auch die Frage wie viel mal so
gro fs oder so kl ein eine Zahl ist als eine andere B e i s p i e l : Wie
viel mal so gro fs is t 3 0 als 5 ? Antwort : 3 0 : 5 = 6 mal so g r ofs
Wie viel mal so kl ein ist 3 als 2 1 ? Antwort : 2 1 : 3 = 7 mal so klein
8 und noch einmal 8 ist 1 6 ; daher : 1 6 ist noch einmal so
gro fs als 8
Noch ei n mal ist demnach gleichbedeutend mit
“
“
gleichbedeutend mit 3 mal
In dieser Z u
„ 2 mal
„ noch 2 mal
bedeutet
mithin
noch
so
viel
als
1
B
e
i
s a m m e n s t e llu n
„
g
s p i e l e : Welche Z a hl ist n o c h 8 m al so gro fs als 1 0? Antwort :
g
,
,
.
,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
“
.
.
.
,
.
.
“
.
“
„
„
“
„
,
„
„
„
,
“
.
,
.
.
.
“
.
„
“
„
,
.
“
„
1 0
Wel che Zahl ist noch
5
mal so klein als
6 0?
Antwort :
5
6
.
l
1 3
.
1 3
D i v i s xo n s s a tz e
.
Di v i s i on s s ä tz e
.
.
ist richtig w enn die zugehö r ige
ist wenn also
der gegebene Faktor dem Produkt
der gesuchte F a ktor dem Produkt
Die
D i v i s i on s g le i c h u n g
M u lti plic a ti on s g le i c h u n g richtig
.
29
.
,
,
gesuchte Faktor
o der der gegebene Faktor
i st folglich wenn
Quotient
Divisor
Dividend
Dividend
o der
Divi sor X Quotient
ist (Vergl ä 9
B eis p iel
ist richtig weil Quo t
Divis or
2 5 3 = 7 5 und dieses Resultat dem Dividend gleich ist
( Probe
fü r die Richtigkeit der Division )
A n m e r k u n g Bei den B eweisen fü r die D iv is i on s s ä t z e mag
in der Folge Dividend Divisor Quotient mit „ D d Dsr Q
abgekürzt werden
un d ( 8
oder
2
der
,
,
,
.
.
.
,
.
,
.
o
.
.
.
“
“
„
.
,
,
,
.
,
.
.
.
3
8 3
5
und
=8
—a ,
und
b
a
=b
a
Allgemein :
.
g
,
ä
a
z
b
d i au ch :
.
.
O der :
.
Ein aus 2 Faktoren bestehendes Pro dukt durch einen der
Faktoren dividiert g i e b t den andern Faktor
Diese S ä tze sind schon unmittel bar aus der genetischen D e fi
II ) sie können aber
n i ti on der Division abgeleitet worden (ä 1 2 1
auch nach vorstehendem 1 Satze bewiesen werden D enn man
kann
in (a
unterscheiden
Dd ä
.
,
.
,
,
,
.
.
.
.
D a nun Dsr X Q = a
3 U m k e h r u n g:
.
.
.
3
Q
-b = D d
b
,
so ist der Satz ri chtig
8_
8
b
—
a
.
a
allgemein :
3
a
.
b
b
a
Eine Zahl bleibt unverändert wenn man sie mit einer be
li e b i g e n Zahl m u ltipli c i e r t und dann das Produkt durch
di ese Zahl wieder dividiert
Mittelst dieses Satzes ve r wandelt man eine ganze Zahl in
einen Bruch mit bestimmtem N e n ner Um z B 7 in Fün ftel zu
verwandeln :
7 5
35
,
.
.
7
5
.
5
.
ä 1 3
30
.
D i vi s i on ss ä tz e
.
.
Aus 8 3 = 2 4 folgt sowohl 2 4 : = 3 als auch
8
Mithin kann aus 2 4 : = 3 auch
8 gebildet werden
Oder :
I Man kann den Quotient mit de m Divisor vertauschen
II D er Dividend durch den Quotient dividiert gicht den
Divisor
4
o
.
,
.
.
.
.
.
,
.
Aus
5
a
u zb
folgt
b
a
z B
b;
-
.
ä
.
5
—
.
7
.
richtig so m u fs auch
Quot X Dsr
Dividend
und Dsr X Quot
Dividend sein
Ist daher 2 4 z 8 = 3 richtig so m u fs auch
sein Di e
Multiplication ist also richtig wenn das Pro d ukt durch den einen
Faktor dividiert den andern Faktor g i e bt (Probe fü r die Rich
ti g k e i t der Multiplication )
.
Ist die
daher
a— =
D i vi s i on s g le i c hu n g
.
,
.
.
.
.
.
,
,
,
.
.
6
f
—
—
oder
—8
.
Eine Zahl durch
B e w e i s In
e
is
allgemein :
1
O der
.
:
dividiert g ie bt j ene Zahl selbst wieder
unterscheide m an :
1
,
.
r
8;
——= a
6z
Q
.
.
c:
=
Da nun
Dsr
8
X
B ei spi el e
a +b
=a +b
1
so ist der Satz ri chtig
.
.
.
5
1 2
a
T
.
Da der Bruchstrich die Stelle der Parenthes e ver
tritt (s ä 1 2 3 ) und hier demselben ein M inuszeichen vorausgeht
so ist auch statt des w egfallenden Bruchstrichs unbedingt eine P a
r e n th e s e zu setzen
5
7
Folglich 1 2 (5
1 2
a
a
a)
.
.
,
.
Dagegen kann
a sogleich in
5
1 2
l
wandelt werden (siehe ä
7
Um kehrung :
.
.
9 , 1 9 , A n m e rk
8
8
’
a
:
1 2
.
5
a
a
ver
auf
ein
1 7
:
)
%
O
Mittelst dieses S a tzes ver w andelt man eine ganze Zahl
fa c h s te Weise in Bruch form
.
8
°
8
1 ;
allgemein :
a za
=l
-
,
Eine Zahl durch sich selbst dividiert g i e bt 1
B eweis
X Dsr
Beispiele
a
m
a — b l—
x +a
c
3
8
3
8
+
— 1
1 ;
—
—
—
b x
b
a
x
b+c
O der :
.
.
,
.
1
.
.
-
'
1
‘
,
.
5
9
Umkehrung :
.
1 3
.
D i vi si o n s s a tz e
.
8
1
8
a
1
,
31
.
a
Mittelst dieses Satzes ver w andelt man 1 in einen Bruch mit g e
e b e n e m Nenner
Soll z B 1 in Fünftel verwandelt werden so
g
.
ist
zu setzen
1
1 0
.
.
.
D a die Gleichung
.
oder (siehe ä
1 2 , 3)
.
3
8
unbedingt (apodiktisch ) richtig ist so
5 Satz )
un d S 9
Dsr X Quot
und Quot X Dsr
,
o
,
.
3
8
8
allgemein :
oder
a
o b —a oder (a : b)
i
r
b
.
.
,
o
%
3
sein d i
.
3
—— 8 — 3
,
8
und
3
Satz
.
.
.
.
5
.
Dd
Dd
o
.
(vergl auch den
m u fs
v
-
ö
=d
O der :
.
E i n B r u c h m i t s e i n e m N e n n e r m u l t i p li c i e r t g i e b t
d e n Z äh ler
2
B ei sp i e l e
7 —
(also unmittelbar und ni cht etwa nach
,
.
.
o
7
einem
Satze
s pä te r n
ä ä
T
5
'
3
CL—
ü
;
—b
a
3
—
—
5
—
'
a
'
a
a
+
—
1 0
b
1
a
+
)
(
a + b
A n m erkung
T r i tt n ac h
4
—
0
o
1 0
4
a
—6
a
.
ei e m M i sz ei hen w i im v r stehe
d
B e i i le
d i S t ell e e i e B ru he
th l
d er e i e e i e B r h
d
k
m ehr t e i l i g e Z ä hler alle i n
d
te de
i t d e r el b e ( ü b erei n
t im m e d m i t S 1 3 6 ; ä 6 2 1 1 ; 5 9 1 9 A m ) i P a re t he e
s e tz e
2 A
merku g
E i t ffe b a r
ö ti g d i D i i i
ät
m it d e
s el b e A u fü hrl i hke i t i di S b t k t i o ä t
Hi er m g
b h a d el
ab e r d h g e z e i gt wer d e d f tatt (
u w e i fa h b b
g e s e tzt wer d e k a
B ere h e t m
ä ml i h
b b
d er
b b
d er
b
b d er b b
k ö te d i es g e sc h eh e
i b el i e b i g er Or d u g
1
.
en
s
n
n
e
us
s
r uc
s
n
s
n
n
:
nn
.
o
s
s
a
c
.
u
a s
,
n
o
e
n
n
,
.
w e
oc
o
,
.
c
s
c
s
unn
ra
1
2
3
4
5
.
a ls
.
a ls
.
als
.
a ls
.
a ls
n ss
ze
an
c
n
n
e
.
,
so
a
.
nn
:
s
en
n
zu
a
n
.
.
o
.
ze
v s on s s
zu
n
s
s
e
,
uc
n
s
n
a
s
n
n
n
.
n
s
so
o
e
,
n
,
.
n
n
n
c
nu
er
,
.
.
e
an
,
n
a :
n
.
n
r
a
.
c
n
a :
a
z
.
o
.
n :
S
32
1 3
.
D i vi s i o n s s a t z e
.
.
D a ab er i m m er d a el b e R e l ta t ä m l i h er hei t o k a kei Feh l er
e t t ehe we d i e Pa re t he e we gg el a s e
d
g e hr i e b e w i r d
su
ss
n
s
n
n
nn
,
,
n
c
a
s
s
a :
(A
sc
,
'
s
,
nn
n
.
sc
c
s
.
e
n
z
ll
n
.
s c
n
r
,
s
o
un
c
n
n
m
n
on
u
er
o
z
a
s
n
,
un
d e r a pod i k t i
e r b e t r e ife n d e n
a us
s
c
er
s
a
e
c
n
n
n
:
=a
b b
e r k g D er i je d er i d i rek t e S pe i e
he Glei hu g i h er g e b e d e S at i t d w i h t i g t e d
S p e i e fü di S b t r ak t i
fü di D i v i i
b
b
d er elb e i
d
T h e r i e ( b i B ewe i e )
d i
d
P r axi
b e u t t w ird
3 A
n
sc
n ur
un
n
n
s
s on
r
e
n
er
s
ä
b
am
a
,
da
h ä fig t e
u
s
n
.
Um k e hr un g:
.
=8
allgemein :
°
d
=b
Z
c
O der :
.
Eine gegebene Zahl kann gleich einem Produkt aus einer
andern (zweiten ) Zahl und einem Quotient gesetzt werden
wenn man die gegebene Zahl zum Divi dend und die 2 Zahl
zum Divisor dieses Quotienten macht
B eispi el
5
,
.
.
.
A u fg a b e Mit welcher Zahl ist
man 2 4 e r h ä lt ?
A u fl ö s u n g :
24
24 — 6 — — 6
.
6
Mithi n ist 6 mit 4 zu m u ltipli c i e r e n
Z u s a t z Kehrt man auch
zu
6
.
4
m u lti pli c i e r e n
,
damit
.
.
.
35
oder allgemein :
5
um so erhalt man :
a
o
b
o
ä
(2
°
C
35
,
5
,
o der :
Ein Produkt bleibt unverä ndert wenn man den einen F a k
tor mit einer beliebigen Zahl m ultipli c i e r t den ander n
d urch dieselbe Zahl divi diert
B e i s p i e l 8 3 5 ? Der erste Faktor mit 5 m ultipli c i e r t d e r
zweite d ur ch 5 dividi ert = 4 0 7 = 2 8 0
,
,
.
-
,
.
o
.
l2
7
.
5
3
b
a
0
Ein en
l
z e n en
7
5
—
3
3
a
b
c
c
allgemei n
.
ehrteiligen Ausdruck dividiert man indem m an j eden ein
Teil dividi ert
m
,
.
5
B eweis
1 3
.
D i vi s i on ss ä tz e
.
Man unterscheide in
.
5)
(7
Dd
so ist der Satz richtig
Z u s a t z D er Satz
3
——
7
5
3
3
-
D sr
.
u
.
33
.
a
p
.
gilt
.
7
auch
—5
3
—
b
a
ei ne D i fferenz :
fü r
7
5
3
3
a
b
c
c
c
a llg e m e ln :
Der Beweis ist derselbe wie vorher
A n merkun g
Um i n d e r S u mm e d e r P r od u k t e a b + a c d e n g e
m e i n s a m e n F ak t or a a u s z uheb e n lä fs t m a n w i e i n ä 1 1 6 g e z e i g t w or d en
Lä fs t m a n ab er i n
i s t z u n ä c h s t a u s a l le n P r od u k t en d i e se n F ak t or we g
b
a c d ur c h a d i v i di e r t
E s s ollt e als o
s o h at m a n
b
c d a s a we g
w e g l as s e n son d er n d i v i d i eren h e ifs e n u n d d a s A u s heb en w ü r d e
n ic ht
d e m n a c h n i c h t i n d i e M u lt i pl i c at i on s on d er n i n di e D i v i s i on m i t fol g e n d e r
b + a c = d e m g e m e i n s am e n
A b l e i t u n g g eh ö r e n
Na c h d e m 1 1 S atz e i s t
F ak t or a m u lti pli c i e r t m i t ei n em Q u ot i en t d e s s en D i v i d e n d jen er g e g eb en e
A u s d r u c k a b + a c u n d d esse n D i v i s or di e 2 Z a h l a i s t
F ol g l i c h :
.
.
,
,
,
.
.
,
a
a
.
a
,
.
“
“
„
„
,
,
,
.
a
.
,
.
a
l3
b
.
a c
Um k e h run g:
.
5
7
3
3
a
b
c
+
und
3
+ und
b
a
c
c
—
7
7
5
3
E
a
b
c
c
—5
allge m e i n
.
3
a
,
—b
c
Man vereini gt beide Ausdrücke auch durch :
a +b
b
_
__
l
c
c
und liest
c
“
durch c plus o der minus b durch c u s w
Um also Brüche mit gleichen Nennern (gleichnamige Brüche )
zu addieren o der zu subtrahieren addiert und subtrahiert man die
Z ä hler und g ie b t dem Resul tat den ursprünglichen Nenner als
Nenn er
5
B eispiel e:
3
__
„a
.
,
,
.
1 1
1 1
S
c
h
n r
ig
,
Le h r
b h
uc
d er
A th m t k
ri
e
i
.
1 1
1
.
Te i
l
.
1 1
’
.
.
5 l3
34
.
1 3
1
.
Z usatz
.
7
l,
.
1 8
B ruches k leiner
nä mlich
,
2
7
z B
.
2
ä1 ä
,
.
,
g
da zu
'
m u ls
(s
ä
.
offen
um
.
,
2
7
3
8
1 2
5
6
;
,
s
olche
,
1
7
1
,
.
1
addiert werden
+
7
7
7
Brüche deren Wert kleiner ist als
.
als
zu erhalten denn es ist :
5
z B
1 8
‘
Ist der Z ähler eines Bruches kleiner als der Nen
,
d i
1 9
7
1 8
ner so ist der Wert des
7
3
1 1
1 8
.
bar noch etwas
9
1 9
1 9
5
1 8
.
—4
1 3
4
1 9
1 1
D i vi s i on s s ä tz e
.
n
,
'
ennt man e c h t e B r ü c h e
deren Wert
f
ö
se r
r
g
als
1
:
unech te
,
Die Summ e aus einer ganzen Zahl und einem echten (ein
fachen ) Bruche sch r eibt man ohne Additionszeichen und nennt die
selbe g e m i s c h t e Z a h l
5
5 steht
;
So
.
ist
5
%
eine gemischte Zahl die
,
fü r
.
Z u s a t z D urch vorstehenden
Satz lassen sich gemischte
Zahlen e i n r i c h t e n d i in einen unechten Bru ch verwandeln
Denn :
4
4
4
2
.
.
.
,
.
.
1 5
4
5
Vergleicht man
3
%
mit
1 9
5
—
36 4 4
5
so
er
i
t
e
b
g
sich
fü r
das Ein
richten der Brüche di e Regel :
Den Z ä hler des gesuchten unechten Bruches findet man
wenn m an die ganze Zahl mit dem Nenner m ul tiplic i e r t
und d as Produkt um den Z ä hler verm ehrt
B eispi el:
23
2
7 3 +2
7
,
.
o
3
l4
.
3
8
3
3
allgemei n :
d
a
b d
b
d
o
o
O der
.
Gleiche Faktoren des Z ä hlers und Nenners heben sich
.
5
36
.
l3
Di vi s i on s s ä tz e
.
.
Beispiele:
5
+i
1 4
8 2
_
1 4 s
.
3
1 1
1 1
-
1 5
0
+ 21
1 6
5
1 4
42
9
35
48
48
°
allgemein :
d t
31
42
44
4
1 6
1 2
1 6
8
a
d
b zd
b
’
°
48
Oder :
'
Gleiche Divisoren des Z ä hlers und Nenners heben sich
B eweis
Q X D sr
.
B eispie l
.
(s
.
.
.
3
.
1 1
(d
5
3
1
‘
'
‘
5
1 1
l7
Um k e h r u n g:
.
J
i
11
“i d
—
emein
a
°
'
b
b zd
’o d e r
'
D er Wert eines Bruches bleibt unverä ndert wenn man
Z ä hler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert
Man nennt diese Operation K ü r z e n (Heben Aufheben R e
Ve r kürzen Abkürzen A bbr e v ie r e n
Verkleinern ?)
du c ie re n
Schreibt man
so hei lst der Satz :
Der Quotient bleibt unverä ndert wenn Dividend und Di
visor durch dieselbe Zahl dividiert werden
B eispi el e
,
.
,
,
,
,
,
,
.
.
1 4
35
1 8
'
la ls t
Sl C
h
kurzen
7
8
1
24
3
6
— 8
0
-
0
2
2
fi
durch
— i
c
c
b,
-
2
und auch
5
6
2
oder auch g
8
b
——
a
z
c
0
2
b
o
c
Um ein Produkt zu dividi eren darf m a n
dividi eren (Vergl
B e w e i s Man unterscheide in :
,
.
.
.
(6
Dd
—
—
-
.
Dsr
.
x
I
p
Q
8
.
llge m ei n
o
a
.
Oder :
n ur
e i n e n Faktor
5
Dsr
-
c
o
B
=a
e i s pl
o
ist :
a
b = Dd
d
e
D i vi s i on s s ä tz e
.
(s
c
a
1 3
.
b
a
Fü r
Q
.
.
1 8
5
—
Der Satz
—
0
—
a
c
i
c
—
-
0
1
g
1 8
1 5
1 8
3
3
Dd !
.
(oder
=5
o
6,
oder auch :
1 8,
nicht aber :
2
3 -1 4
abgek ü rzt
3 -2 ,
7
o
0
1
1 5
1 4
3
b
Satz )
.
3
a
.
(rechts ) X Dsr (links unten )
—
7
1 0
(links oben ) !
.
1 5
'
.
37
.
b
a
g
c
a
c
6
7
b)
.
könnte auch aus
gespro chen werden :
Ist der Z ä hler e ines B ruches ein Produkt so kann man
einen Faktor desselben als Faktor des zurückbleibenden
Bruches herausstellen
B eisp i el e
3 a
a
4x
4
O
,
.
.
b
Anm erkung
5
Erst der j etzige Satz zeigt dals
,
.
3
3 -1
8
8
8
da ls man also einen Bruch auch als Produkt aus dem Z ä hler und
einem Bruch mit 1 als Z ähler betrachten kan n Mithin ist es
unlo g isch die B r u c h r e c h n u n g s s ä t z e mit der Erkl ärung zu beginnen :
.
,
3
ist das
3 fache
Vielmehr darf zur B egründun g
der Einheit
der Bruchrechnung nichts weiter vorausgesetzt werden
3
8
so viel als
L ä nge von
oder
3
g
Meter so viel als : der
Metern ist Erst j etzt mit dem
3
.
,
3
da ls — Meter auch als
8
werden kann
1 Z u s atz
„
3 m al
der
8
.
1 8
.
8
.
'
,
als dal s
Teil einer
Satze wei ls man
Teil eines Meters
,
“
angesehen
.
.
.
c
kann auch
,
g
e
schrieben werden O der :
Die Anordnung der Faktoren und Divi soren ist beliebig
.
.
5
38
Um
l3
.
D i v i s i on ss atz e
.
.
zu berechnen wird man also nicht zuerst
56
,
-
1 3
und dann das Prod ukt durch 7 dividieren s ondern
praktischer zuerst
und dann 8
rechnen
Vergleicht man
2 Zusatz
mit
=
a
b
c
)
(
(a m) b so e r g ie b t sich der Satz :
So viel mal so g r ols der Di vidend so viel mal so g r ols
der Quotient
Sind Z ä hler und Nenner des Bruches Produkte
3 Zusatz
so darf beim Kürzen (nach vorstehendem 1 8 Satze) nur e i n Faktor
divi die r t werden
m u ltipli c i e r e n
,
.
.
.
o
o
,
'
'
,
.
.
.
,
.
.
B e l S PI e L
ner durch
4
D urch
7
dividiert )
20
.
45
.
7
gek ü rzt ( d h Z ähler und Nen
4
noch durch
1 1
.
.
5
gekürzt
4
28
99
9
Den Quotient
5
1
1 1
schreibt man hierbei ni cht ; z B
.
und dann durch
(d
6 g e k u r z t)
3
l9
Umkehrung
.
6
°
b
5
6
(durch
.
1
1
.
.
1 5
.
5
.
8
2
1
allgemein :
'
und
2
a
.
b
:
c
c
und
b
8
°
w
'
2
i
2
ab
r
c
c
O der :
Um e in e n B ru c h m i t ei n e r gan z e n Z a hl z u m u l ti
li
c ie re n
k an n m a n d e n Zä hl er m i t d er ga n z e n Z ah l
p
,
m
u
l t i pli c i e r e n
B e i spi el e
.
.
4
7
1
.
Zusatz
7
7
a
.
a
b
g
23
5
4
-
23
20
23
°
kann auch ausgesprochen werden :
Um irgend eine Zahl ( a ) mit einem Bruche
m ul
ti pli c i e r e n
kann m an auch jene Zahl (a ) mit dem Z ä hler (b)
m u lti pli c i e r e n und dann das Produkt durch d en Ne n ner ( c )
dividieren
,
.
ä 1 3
.
2 Z “S a t Z
.
.
a
.
b
_
D i vi s i on s s ä tz e
.
ab
l
kann nach dem
C
C
schri eben werden :
b
a
39
.
a
b
o
c
1 8
Satze auch
.
9
8
"
.
c
Um also irgend eine Zahl (a ) mit einem Bruche zu mul
t ipli c ie r e n
kann man j ene Zahl auch durch den Nenner
des Bruches dividieren un d den Quotient alsdann mit dem
Z ä hler m u ltiplic ie r e n
,
.
20
a
.
b zc
B eweis
Z
b -c
21
.
: c
( rechts ) X Dsr ( links unten )
.
=a
b
.
-
c : c
-
%
o
c
-
b:
c
c
l
d
e
r
(o
U m k ehr ung:
a
a
0
.
b
:
b:c
Um einen Bruch mit irgend einer Zahl zu m u ltipli c i e r e n
kann man den Nenner durch diese Zahl dividieren
,
.
B e i 8 pi e l :
7
4
1 2
3
°
A n m e r k u n g Die Multiplication eines Bruches mit ganzer
Zahl könnte sowohl nach Satz 1 9 al s auch nach Satz 2 1 aus
ge führt werden Ein facher ist es die ganze Zahl (nach Satz 1 9 )
stets als Faktor in den Z ähler zu stellen und vor der Multiplica
tion zu kürzen
2
1 B eispiel:
.
,
.
,
.
.
5
1 2
1 8
Dafur k ü rzer
2
.
1 8
3
.
1 8
3
Satz )
l
.
.
3
1 0
1 2
3
B eispiel :
4
.
1 5
4
5
D afur kurzer
.
— (statt des
3
1 5
3
4
.
1 5
3
22
2
5
.
(l 9
1 0
-
5
4
3
21
.
S a tz e s l)
.
ä 1 3
40
.
allgemein :
%
D i vi s i on ss ä tz e
.
.
oder
: c
In Worten :
Die Anordnung der Divisoren ist beliebig
B
e w e ls
'
.
Dsr X
.
B e i s p i e l Anstatt 5 00 zuerst durch 4 und dann den Quo
tient ( 1 2 5 ) durch 5 z u dividieren kann man auch 5 00 zuerst durch
und d a nn den Quotient ( 1 00) durch 4 dividi eren
5
.
,
Nach vorstehen dem Satze und nach Satz 1 8 1 Zus können
nun beliebig vi ele Faktoren und Divisoren beliebig an ge
ordnet werden
Es ist daher :
a z b c : d e auch
u s w
d i
u s w
1 Zusatz
Derselbe
Satz kann auch wenn m an C olon
mit Bruchstrich vertauscht geschrieben werden :
a O
8 _
a zc
a llgeme i n
c
Oder
,
.
.
.
-
o
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
,
,
9
b
.
9
b
.
.
E in en B r u c h d i vi di e r t m an d u r c h ei n e g an z e Z a h l
i n d e m m a n d e n Z äh l e r d u rc h d i e gan z e Z a h l d i vi
,
di e rt
B eisp i el:
6
3
7
2
.
Z u s a tz
2
7
7
Vergleicht man
.
—
1
m
cu
mit
c
——b
a
so
e r g i e bt S l c h
so klein der Di vidend
statt a )
b
So viel
m al
a
c
.
.
c
m al so klein der Quotien t
23
8
.
8
—
2
a
b
B eweis
Dsr X Q = b
o
—
c
a
7
.
.
.
o
c
——: c = c
g
.
zb
allge m ei n
O
c
oder
—=
a :c
,
.
,
so viel
statt i
.
a
.
(b
o
c
)
a
b
.
c
.
a
I An statt durch ein Pro dukt zu dividieren kann
die Faktoren einzeln dividieren
,
.
.
m an
durch
5
B eispiel:
1 3
.
Di v i s i on s s atz e
.
41
.
1 7 2 8 (6 o 8 )
1 7 2 8 48
6) 8 ,
daher
= 36
O der : II Ist der Nenner eines Bruches ein Produkt so kann
m an einen der Faktoren des Nenners als Divisor des
zurückbleibenden Bruches setzen
B eispiel e:
2
.
.
,
.
1 2
1 2
2
6
5
b
4b
.
Z us atz
bg e k u rz t
5
a
1
a
,
9
5
9
a
1 8
2
.
5
,
a
Vergleicht man
.
—
i
b
w
b
'
m1 t
so
sich :
e r g i e bt
S o viel mal so gro fs der Divisor so viel mal so klein der
Quo tient
B e i s p i e l : Es ist
abge
w i e viel ist
leitet aus der vorhergehenden Gleichung ? D a hier der Divisor
2 mal so gro fs ist
al s in der gegebenen Gleichung so m u fs der
Quotien t 2 mal so klein als 1 2 folglich = 6 sein
2 Zusatz
D er Satz kann auch a : (b c ) = d b c geschri eben
werden o der :
L öst m an nach einem Divisionszei chen eine Parenthese
a uf
so verwandeln sich die in derselben befindlichen Fak
toren in Divi soren
24
Um k e h r u n g
,
.
,
,
,
.
.
.
,
,
.
.
.
8
5
2
8
all g emein i
b
m
:
a
b
c
Ei n e n B ru c h di vi di e r t m a n d urc h ei n e g an z e Z a hl
in dem m an de n Nenn er mit der ganz en Z ahl m ul
t i pl i c i e
,
rh
B ei sp i el e:
5
.
8
1
4
°
3
5
5
5
8 -3
24
1
l
20
A n m e r k u n g Die Division eines Bruches durch eine ganze
Zahl kann also sowohl durch den
als auch 2 4 Satz aus
ge führt werden Ein facher ist es nur den letzte m Satz anzu
wenden j edoch den Divisor zun ä chst nur als Faktor d e m Nenner
.
.
.
,
,
1 3
ä
42
.
D i v i s i on s s ät z e
.
.
hinzuzufügen um eventuell vor der Multiplication zu kürzen (Vergl
die Anmerkung zum 2 1 Satze )
B ei sp i el e:
2
,
.
.
.
8
27
28
.
8
Satz )
1 8
.
2
9
3
27
(2 4 Satz )
3
.
56
.
2
W
'
ie
g
l
6
.
Te i l von
_
1 2
9
1 3
1 3
.
6
2
1 3
.
Derselbe Satz kann auch geschrieben w erden :
Oder :
I Anstatt durch mehrere Zahlen der Reihe nach zu divi
dieren kann man sogleich durch ihr Produkt dividi eren
Soll z B 1 9 0 zuerst durch 5 und der Quotient
hierauf durch 2 dividiert werden so kann man da für 1 9 0 sogleich
durch
dividieren ; folglich :
1
Zusatz
der
i st
ro s
1 2
2
1 2
.
.
.
.
,
.
.
,
II Bildet man nach einem Divisionszeichen eine Parenthese
so verwandeln S l C h di e D i vi soren innerhalb derselben in
Faktoren
B eispi el:
c d)
2 Zusatz
Ist
ist also auch
=
=
l
Dsr
D
sein
m
u
so
ist
1
o
b
o
d
a
d i
d
und da
s
o
X
b c d=a
Oder :
Dividiert m an eine Zahl der Reihe nach durch etliche
Divisoren und ist der letzte Quotient = 1 so m u fs das
Produkt der Divisoren gleich dem Dividend sein
l 20 : 2
B eispi e l :
.
,
.
-
o
.
.
.
'
-
o
‚
,
.
.
.
.
-
.
,
.
=1
25
1 5
.
4 5
.
2
‘
T
;
.
Folglich :
allgemei n :
a
o
c
b d
0
2 3 4
0
0
a
c
O der :
b d
Den Quotient aus 2 Produkten kann man in ein Pro dukt
aus 2 Quotienten verwandeln indem man aus den Fak
toren des Z ä hlers die Z ähler aus den Faktoren des Nen
ners di e Nenner der beiden Quotienten b ildet
,
,
.
5
44
27
1 3
.
D i vi s i on ssätz e
.
.
c
.
o
Bew
b
c
O
e IS
°
X
D sr
o
Z
——_ a
z
.
(s den Zusatz zum
1
o
.
Satz ) = a = D d l
Um d iese Division einer beliebigen Zahl durch einen Bruch
in be quemer Weise aussprechen z u k ö n nen bedar f es der nach
stehenden Erk l ärung
28
I a + 0= a a — 0= a
1 = a a : 1 =a
a
Addiert oder sub trahiert man 0 m u ltipli c i e rt oder dividiert
man mit 1 so bleibt die ursprüngliche Zahl unverä ndert 1 ist
also D as in B ezug a u f Multiplication und Division was O in Bezug
und Subtraktion ist Der Mittelpunkt 0 der Addi
a u f Addition
tion und Subtraktion um i r gend eine Zahl ve r mehrt oder vermin
dert z B 0 8 und 0 8 fü hrt zu den entgegengesetzten Gr ö fs e n
die spä ter betrachtet wer
(positive Zahl + 8 negative Zahl
den sollen Der Mittelpunkt 1 der Mul t iplication und Division mit
irgend einer Zahl m u ltiplic i e r t oder dividiert m u fs mithin gleich
falls zu entgegengesetzt liegenden Zahlen fü hren j edoch entgegen
gesetzt im m u ltipli c a tiv e n Sinne Solche Zahlen sind daher 1 8
26
.
.
,
.
.
.
.
,
o
.
,
,
.
,
,
.
.
.
,
,
,
.
,
,
-
.
und
d i
.
.
8
und
Man nennt dieselben
re c
i pr o k e
(um
gekehrte inverse ) Wie vorstehendes B eispiel zeigt findet man
1
von 8 die r e c ipr ok e Zahl
indem man 1 durch die gegebene
.
,
,
8
3
Zahl 8 dividiert Da dies fü r j ede andere Zahl der Fall s e in m u fs
so g ilt allgemein :
V o n e i n e r g e g e b e n e n Z a h l fi n d e t m a n d e n r e c i
p r o k e n We r t w e n n m a n 1 d u r c h d i e s e l b e d i v i d i e r t
.
,
,
II
.
Der
re c i
r ok e
p
Wert von
5
Der
re c i
r ok e
p
—1
Wert von l
b
Hieraus folgt weiter
,
‘
7
—
Bruchform gegebenen Zahl
7
7
.
5
d a fs
ist daher
(S Satz
*
ist
5
l
a
z—
b
5
b
=1
man den
.
a
a
r e c ipr ok e n
Wert einer in
auch dadurch mechanisch bilden
kann dafe man Z ähler mit Nenner gegenseitig vertauscht
B eisp iel e
9
7
—
r
c
i
k
Der e pr o e Wert von
,
.
a:
.
9:
9:
9
7
1
4
4
T
der
O
4)
g 1 3
.
Der
re c i
D i v i s i on s s a tz e
.
Wert
von
Ve
r ok e
p
4
1 3
(d i
1 3
.
.
1
2
l4
1
?
a:
97
45
.
(d
1 23
1
.
'
3
.
1
(entweder unmittelbar
x
nach I
oder nach II aus
,
Der
n aC
re e l
k
e
V
i
p
ro
I
h
r
1
3
+
8
ert von
mit
2
2
3
m c ht
Ist
.
.
1 1
.
4)
,
56
56
3
3 7
1
2
hatte man den
8
37
o
re m
Wert auch finden
pr ok e n
,
2
2
21
8
-
diese m Bruche aber ist der
III
.
a
b
b
O
—1
Jede Zahl
B e i s p ie l e :
m it
ihrem
1 6
7
.
1 6
1
.
Z u s atz
.
Der
lä fs t
.
a
27
7
pr ok e n
1
Es ist
37
56
‘
w ie
Wert
Wert
m u ltipli c i e r t g i e b t 1
.
x
b
c
et
c
?
kann nun in folge n
der Weise ausgesprochen werden :
A n s tatt du r ch ein en B ru ch z u divi di er en
l
i
re c i
r ok e n B r u c h e
c
i
e
r
t
m
a
n
m
i
t
d
e
m
p
p
21
B eispi e le:
_
.
4
‘
7
4
oben !
sich j etzt aussprechen :
re c i
Satz
.
56
re c i pr ok e
Zus )
.
1 6
56
Von
56
+2 8
kö n nen indem man die Brüche zuvor addierte
3
3
7
.
Von —
7
erweitert
8 -7
d i (s ä
3
8
—
5
20
’
,
m
ult i
.
5 1 3
46
.
1 1
4
'
D i v i s i on s s atz e
.
E
48
1
—4
'
.
—
T1
”
1
8
1
2
6
1 2 —
1 1
1 1
1 2
0
—2 2
—
.
6
‚
7
2
1
O
3
1 5
5
2
2
‚
.
2
3
Der 3
,
8
4
Teil v on
Anm erkung
soren anzuwenden
.
8
0
5
3
6
unmittelbar (s
.
24
5
6
.
Ä —3 2
3
Diese Regel ist nicht
Man rechne also nicht :
.
.
fon de r n
ist
1 2
— 1 2
a uf
5
3
5
1
5
6
1
6
3
1 8
ganzzahlige D 1 v1
Satz) :
5
3
5
6 -3
1 8
°
Z u s a t z Die Divisi on ist als o auch eine Multiplication mit
r e c i r ok e m Divisor
p
3 Zusatz
a c
c
i =a
a
Oder :
2
.
.
.
.
.
0
7
b
Um irgend eine Zahl (a ) durch einen B r uch zu dividieren
kann man auch j ene Zahl (a ) mit dem Nenner des Bruches
c
,
und dann das Produkt durch den Zähler
m u ltipli c i e r e n
4
°
dividieren
z usatz
'
.
Für
a z
a :
g
Z
a c
kann man auch setzen :
b
-
'
C
(s
.
1 8
.
Satz )
.
O der :
Anstatt ir gend ei ne Zahl (a ) durch einen Bruch zu divi
dieren kann man auch j ene Zahl (a ) durch den Zähler
des Bruches divi dieren und den Quotient mit dem Nenner
,
m u ltipli c i e r e n
.
( F olgt auch aus dem 3 Z u s a tz e mittelst des 1
8 Satzes )
.
1
.
.
.
Zusatzes des
5
5
'
z
u s atz
1 3
.
Vergleicht
'
D i v i s i on ss a tz e
.
man
g
bt
mit
a zb
az z
ie
47
.
b
—
g
-
b
c
8 1 01 1 :
o
(s
c
4
.
Zusatz) so
.
,
sr
viel mal so klein der Divi sor so viel m al so grofs der
Quotient
5 o7
39
39
So
,
.
29
.
7
5
5
Um irgend eine Zahl (39 ) durch eine zweite (5 ) zu dividiere n
kann man eine beliebige dritte Zahl ( 7 ) als Qu otient setzen wenn
,
,
man diesen um einen Bruch
vermehrt dessen Zähler
,
—
5 7)
(3 9
der gegebene Dividend (39 ) ist vermindert u m das
Produkt aus de m Divisor ( 5 ) und dem angen ommenen Quotient ( 7 )
und dessen Nenner der gegebene Divisor (5 ) ist
B eweis
39
39
_7 (s s 9 7 )
-
,
.
.
5
5
7
Dies kann noch
Allgeme i n :
D
d
_
+
5
_
39
7
+
7
+
7
Q
-
l
q
5
s u bt
%
gesetzt werden
+
(s
—
_q+
35
5
+
Vorstehende Ableitung mit
folgender Weise abk ü rzen :
,
39
7
q
.
.
1 3 , 2)
.
(s s
d
.
7
5
.
Zahlen könnte m an in
s pe c i e lle n
4
5
.
In der Praxis schreibt man nur
.
39 z5
35
4
=7
:
5
48
nm erkung
A
nennt man
d ieselbe
1 3
D i vi s i o n s s ä t z e
.
.
Da man durch diese Divison immer nur einen
.
Teil des Quotient
.
a uf
einmal erh äl t
hier zuerst
,
P art i al di vi s i o n
7,
dann
5
so
.
Z u s a t z Wie schon bemerkt könnte als Quotient jede be
li e bi g e Zahl gewählt werden i m vorstehenden Beispiel z B 6 statt 7
und die Rechnung wäre folgende :
1
.
.
,
.
,
39
5
_6 +
6+
5
39
.
,
6
c
5
39
30
5
—6+
9
5
g
Dieses Resultat wäre j edoch des unechten Bruches
wegen
unpraktisch Welcher Qu otient aber bei s pe c i e lle n Zahlen stets der
passendste ist mag durch nachstehenden Zusatz erörtert werden
.
,
.
Z u s a t z Man sagt die Divi sion zweier ganzen Zahlen
geht a u f wenn der Quotient selbst wieder eine gan ze Zahl ist
B e i s p i e l e : 2 0 : 5 = 4 ; 1 44
2
.
.
,
.
,
L iegt j edoch der Quotient z w ischen 2 a u f einander folgenden
ganzen Zahlen so geht die Division n i c h t a u f In diesem Falle
wi rd die Rechnung mittelst der Partialdivi sion ausgeführt und man
nimmt zunäch st als Quotient die kleinere der beiden Zahlen z w i
,
.
,
schen welche der gesuchte Quotient fällt In B ezug
.
ist zu beachten dars
35
,
5
—7
folglich
;
au
f
ist als Quotient
zunächst die kleinere dieser beiden Zahlen (7 ) zu nehmen damit
der noch hinzukommende Bruch
kleiner als 1 ist (zwi schen
,
O und
1
liegt )
.
Soll
berücksichtigen dars i
2
.
B eispi el
,
dividiert werden so ist zunä chst zu
.
,
q
s
—
48
ö
Teil des Quotient zu nehmen
43
,
und mithin ist
6,
8
.
8o5
43
8
8
5
43
3
g
40
3
5
als erster
5
Abgekürzt :
1 3
.
D i vi s i on s s ä tz e
.
43 8
40
49
.
3
5
8
3
Z u s a t z Geht die Division nicht a u f so wird oft als Quo
tient nur die durch die Parti aldivision erhal tene ganze Zahl und ein
“
angegeben welcher der unmittelbar nach B estimmung j ener
„ Rest
ganzen Zahl erhaltene Rest (also der Zähler des hinzukommenden
Bruches) ist Man sagt daher (s letztes B eispiel ) : „ 4 3 durch 8
“
dividiert g ie b t 5 als Quotient 3 als Rest
Diese Angabe aber
ist unv ollständig und unbestimmt da sich ohne Kenntnis des Divi
“
dend und Divisor o ffenbar nicht aus „ Quot 5 Rest 3 a u f den
3
.
,
.
,
.
.
.
,
,
,
,
.
vollständigen Quotient
„5
ä
—
+
s c hli e fs e n
lä fs t
Um mithin den
.
Quotient stets vollstä ndig und bes timmt zu erhalten ist der ange
“
gebene „ Rest noch durch den ursprünglichen D ivisor zu div idi e
“
ren Es m u ls also statt
Rest 3 h e i fs e n :
43
Rest 3
3
5+
5 +
8
8
8
,
'
.
A llgem ein:
Is t
%
= c mit dem Reste
a
b
A u fg a b e
_H
so bedeutet dies
d,
d
'
b
'
324 7 ?
.
Da
Zehner
28
2 80
7
7
t
35
n er
4
Zehner
5
Zehner
,
so fällt der gesuchte Quotient zwischen 4 und 5 Zehner
ist zun ä chst 4 Zehner als Q u otient anzunehmen :
o
2
4
4 Zehner
7
3
324
4 Zehner
40 +
3 24
—
m gleicher Weise
Verwandelt man
7
44
40
l
so
e rg ie b t
6
7
3
—
h
ut
ts
,
Le
h
r b uc
h
d e r A r lth m e t lk
.
I Te i
.
.
sich
44
—42
7
7
c
Daher
7
7
S
.
l
.
,
ä 1 3
50
.
Dies
Di vi s i on s s ä tz e
.
.
könnte zunächst in folgender Weise abgekürz t werden :
4 6%
324 : 7
280
42
In der Praxis schreibt man j edoch nur :
3 24 : 7
28
46 %
44
42
2
o der sogar noch ein facher :
D urch vorstehende Ableitung erhielt m an nach Bestimmung
der ganzen Zahl 4 6 des Quotient den Rest 2 Zugleich zeigte
“
aber auch die Ableitung d a fs der Aus druck „ 3 2 4 7 = 4 6 Rest 2
.
,
,
3 24
vollstä ndig durch
ä
= 46
7
“
m u fs
wiedergegeben werden
.
Z u s a t z Die Partialdivision kann bei j edem Reste beendigt
werden Der durch die Au fgabe gesuch te Qu otient ist aber nur
dann voll ständi g wenn den bis dahin bestimm ten Teilen dieses
Quotient das sogenannte Supplement d h e i n Bruch hinzuge fügt
der dadurch entsteht d a fs man j enen Rest d urch den g a n z e n
w ird
Divisor dividiert Der Beweis ist aus dem vorstehenden Beispiel
4
.
.
.
,
.
,
,
.
,
.
3 24
ersichtlich denn
,
40 und
7
der Rest
3 24
40
7
gab in der dritten Zeile (wo der Quotient
6,
4 4)
vollständig :
Rest
2 , folglich
4 0 + : i ; ferner
7
1
vollständig
am
40
S c hlu s s e
ä
6
Z u s a t z Mittelst der Partialdivisi on verwandel t man u n
echte Brüche in gemischte Zahlen Vergleiche die vorstehenden
Beispiele :
5
.
.
.
e
t
a
n m r k n g Mit d i r Op r t i n i t d R hn mi t B r ü h n i
in n G r n d ü g n n t w i k l t d fü d i ö t i g S ä t d v ll t ä n d i g
B w i
g g b n w rd n D n h mpfi h l t
i h d i B r h r hn n g
n h inm l (
3 1 —3 7 ) in in r m h r pr k t i h
D r t ll
d mit
g
B rü k i htig n g b
n d e r r Fä ll f l g e n l
A
se
e
e
u
e s
e
oc
e
e
e
c
a
s c
u
e
z
e
e
s
u
e
o
e a
e se
.
c
e
un
e
oc
en
.
e
.
e so
e
r
e
e
e
o
e
zu
sc
en
s c
en
a sse n
.
,
c
er
ze
en
es
a
ec
as
n
e
e
o
s
o
e
n
e
s
e
uc
ec
a s e
un
un
u
ä 1 4
52
.
te n i e re n
Da s Po
.
z
.
3
die formelle o der theoretische Potenz 5 1 2 die materielle
oder praktische Potenz
B eispiele:
5
wird durch 7
3
9
—
—
—
a
b
b
a
b
b) (
a a durch a
) (a
) durch (
)
(a
8
,
.
,
o
‚
,
x x x x x x durch
x
3
6
‘
,
4
3
71
“
durch
durch
abgekür z t
4
U m k e h r u n g S oll 1 0 b erechnet d i
3
tenz erho ben werden so erh ä lt man :
2 a b 3c 2
2 a bbb c c
.
.
.
,
.
1 0
.
a uf
die
4
Po
.
,
1 0
56
-
=5
’
x =x
=1
o5 o5 5 o5 o5
0
o
x o
der
25
w as;
-
9
4 a bc
3
4 a a bc c c
c
o
b
o
c
c
b
‘
o
c
;
.
A n m e r k u n g Nach S 1 0 3 1 V bedeutet :
2 =
so viel als 8 (3 ) 8 3
.
.
,
,
o
0
a bs
2
—
8 l 3
" '
99
99
99
99
99
99
dagegen 8 3 a u f die 2 Potenz erhoben werden so m u fs
? geschrieben werden mit der Bedeutun g
(8 3 )
Die 3 Potenz von a b ist
a b a b= a b a b a b
Die 2 Potenz von 8 3 (8
3 ) (8
(8
Vergl eiche die 3 letz ten Beispiele mit den 3 ersten !
4
B es onde re A us drü cke
Der Exponent zeigt den G r a d der Potenz an Es ist also
4
eine Potenz vom 4 Grade a 7 eine Potenz von höherem Grade
a
5
a
als
“
Die 2 Po tenz wird gewöhnlich „ Q u a d r a t genannt D aher
“
2
wird a gelesen „ a Quadrat und nur wenn der Exp onent 2 aus
“
d r ü c k li c h hervorgehoben werden soll : „ a zur zweiten
Das Quadrat von 7 ist
Quadrieren h e i fs t a u f die 2 Potenz erheben Soll 1 0 qua
dri e r t werden s o erhäl t man 1 09 = 1 O 1 0 = 1 00
“
Das Quadrat einer n atürlichen Z ahl h e ifs t „ Quadratzahl
2
2
2
2
1
3
d i 1 1
oder :
3 3
1 4 9 1 6 2 5 3 6 49
sind Quadratzahlen
“
Die 3 Potenz wird auch „ K u b u s (W ü rfel ) genannt daher
“
“
3
a
auch „ a Kubus oder „ Kubus von a gelesen D er Kubus
v on 6 ist
Kubieren h e i fs t a u f die 3 Potenz erheben Kubi e rt m an 1 1
s o erhält man
Den Kubus einer n a tü r
S oll
0
.
,
o
-
o
o
-
o
o
o
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
o
,
.
.
,
,
,
,
0
o
,
,
.
,
,
,
.
,
,
.
,
.
,
.
.
.
,
5 1
5
.
’
P ot e n z s a t z e
.
53
.
“
lichen Zahl nenn t man Kubikzahl
So
d i
oder 1
Kubikzahl en
3 43
“
4
a
Die 4 P otenz h e ifs t auch „ B i q u a d r a t
ist das
drat von a
“
“
5
6
a
a
l i est man a zur fün ften „ a zur sechsten
a
„
.
3
3
2
sind 1 , , 3 ,
8 , 2 7, s4 , 1 2 5
3
.
,
.
2 1 6,
,
.
,
.
.
B i qu a
.
"
,
n
„
„
,
dagegen w i rd
‘
en “
,
9 h och y
minus
z
9
“
,
des V ohlla u ts wegen
V
9"
gelesen
ä
.
1 5
h och
„a
zur
„a
,
2
.
Pote n z s ä tz e
.
.
Die B asis kann nur eine unbenannte Zahl sein ; denn nach
3
o
M
#
1
1
8
Zus
ist
8
ß
8 ß unm öglich
8
8
ä
( 0
2
D er Exponent kann nur eine unben a nnte Zahl sein ; denn
er zeigt die A n z a h l der Faktoren an (ä
4
=
3
E s ist :
aaaa
a
l
.
.
,
,
:
.
:
‚
.
.
.
.
.
a3
aaa
aa
Ä
a
:
2
,
‘
a
a
daher
.
D er fehlende Exponent ist al so nicht durch O sondern durch 1 zu
ergänzen
4
Umgekehrt ist a 1
Als Resultat schreibt m an den
a
1
E xpon e n t l nicht ; daher nicht
b)
sondern 1 0 a b
(a
(a
,
.
.
.
,
a
b
,
,
.
5
.
Jede Potenz
1
v on
ist
1
Allgemein :
.
1
1
"
.
Denn
u s w
6
Die Elemente der Po tenz ( Basis und Exponent) können
nicht gegenseitig vertauscht werden
Es ist nicht
denn
-
1
-
1
.
.
.
.
.
2
25
52
5
is t
2
=
5 ; denn wäre
nicht
= 1 se i n (nach ä
.
1 3,
2 2 o2 2o 2
aber
5
5
so
m ü fs t e
der Bruch
kann o ffenbar n i cht
gekürzt werden
b
“
=
Allgemein : a ist nich t
b
A n m e r k u n g Nur fü r gewisse Zahlen ist
.
.
.
24
7
.
a
b
=
z
ö ;
d
.
Gleiches mit Gleichem potenziert
Ist A = B
so ist auch A = B
"
"
,
g ie b t
Gleiches
.
.
B
.
:
ä
54
1 6
.
.
auch geschrieben :
D a s R a d i c i e re n
A
.
=B
=B
B eweis
A =A
(s 1 Axiom )
geht wenn an die Stelle des A der rechten S eite das ihm gleiche
( s Voraussetzung) gesetzt wird über in
n
n
.
”
”
.
.
.
,
,
.
n
Z us atz
Ist
.
ß
z
n
.
=B
n =r
4
so ist auch A = B
D i e n oc h fe hl e n d e n
A nme rku n g
d e r n a c h fol g en d e n S pe c i e s we rd e n
“
"
g e l e ter t
ä
Zus )
S ä t z e d e s Po t e n z i e r e n s u n d d i e
i n d e r a ll g e m e i n e n Z a hl e n l eh r e
(Vergl
.
.
S ä tz
B
.
7, 9 ,
.
.
.
5
.
1 6
.
Da s R a d i c i e r e n
.
Wäre die Sub traktion die Rechnungsart welche aus d e r
S umme und dem 1 Summand den 2 s u chte so würde aus
1 1 nur 1 1 — 8 =-3 hervorgehen
D a aber die Anordnung der
Summanden beliebig ist so könnte j ene Additionsgleichung auch
geschrieben werden und es entstünde nach j ener a n
1 1
—
Die Sub
genommenen Definiti on fü r die Subtraktion 1 1
3
8
traktion bildet also aus
eben so wohl 1 1
wie
1 1 —3
und sucht mithin aus der Summe und einem b e l i e
b i g e n S u mm and den andern Summand O der :
Die Subtraktion berechnet 1 1
8 nach denselben Regeln
wie 1 1 —3 Die Addition lä fs t mithin nur e i n e Um k e h
rung
die Subtraktion
zu
In gleicher Weise folgt a u f Grund des Satzes : „ Die A n or d
“
nung der Faktoren ist beliebig aus der 2 direkten Species (Mul
tipli c a ti on ) nur e i n e Umkehrung derselben : die Division
Nehmen
wir nun an d a fs aus der d ritten direkten Species dem Potenzieren
gleich falls nur e i n e Umkehrung sich ableiten li e fs e
die aus der Potenz (5 1 2) und einem beliebigen Element derselben
( Basis oder Exp onent) das andere findet so würden also die bei
den abgeleiteten Gleichungen der neuen indirekten Species mit der
selben Bezeichnung zu schreiben sein die hier dur ch :
l
.
,
.
.
,
.
,
2
.
.
.
.
‘
.
.
,
,
,
,
,
3
e
8
=
8 und V5 1 2 = 3
V
gegeben sein mag Dann m ü fs te aber auch die Z a hl rechts mi t
der links oben stehenden Zahl potenziert die mittelste Zahl als
Potenz ergeben d h es m ü fs te
sein Nach
un d
3
8
=
1
5
6
ist
j
edoch
8
nicht
und folglich können die beiden
3
5
Aufgaben :
I aus der Potenz (5 1 2 oder 8 3) und dem Exponent (3 ) die
B a sis (8) z u finden ;
51 2
.
,
,
.
,
.
.
.
,
.
5 1
.
6
D as Ra d i c i e r e n
.
55
.
II aus der Potenz (5 1 2 oder 8 ) und der Basis (8 ) den Ex
ponent (3 ) zu finden ;
nicht durch d i e s e l b e Rechnungsart gelöst werden
Mithin lä fs t das Potenzieren zwei verschiedene Umkehrungen
z u und zwar :
I das R a d i c i e r e n welches aus der P otenz und dem Ex
p onent die Basis
II das L o g a r i t h m i e r e n wel ches aus der Potenz und der
B asis den Exponen t sucht
Jene angenommene Schreibweise kann daher auch n ur fü r
eine dieser Species benutzt werden
3
.
.
.
,
,
.
,
.
.
R
2
a
diciere n
.
In Bezug a u f
würde also das R a dic i e r e n
I e n t w e d e r aus der Po tenz 5 1 2 und dem Exponent
B asis 8 suchen Geschrieben :
Ge g e b en G e suc h t
.
.
die
3
.
3
}
a
i5
3
n
e
e
z
n
r
o
s
e
z
s
r
a
ü
W
p
x
e
b
Gelesen :
oder :
u
W
„
3
„5
te
1
Wurzel aus
“
2 mit 3 r a di c ie rt
.
Wur zel
II o d e r es würde das R a di c i e re n aus der Potenz
Exponent 3 die B asis 8 suchen :
.
.
8
3
und dem
3
Die Potenz (5 1 2 ) wird also zur Wu r z e l b a s i s (Radicand)
der Exponent (3 ) zum Wu r z e l e x p o n e n t (R a di c a tor)
die Basis (8) zur W u r z e l
D as Zeichen Vist aus dem r des Wortes r adix (Wurzel ) ent
standen
Die mit dem Wurzelzeichen geschriebene W u rzel nennt man
,
,
.
.
—
Radical
So
ist
a
V l b ein Radical
„
3
R e a l d e fi n i t i o n e n :
R a d i c i e r e n (W u r z e la u s z i e h e n D epotenzieren ) h e i fs t eine Zahl
( 8) suchen die mit dem Wurzelexp onen t ( 3 ) potenziert die Wurzel
basis (5 1 2 ) g ie b t
Wu r z e l ist die Zahl wel che mit dem Wurzelexponent po
te n z i e r t die Wurzelbasis g i e b t
“
auch
‘
-
.
.
.
,
,
,
.
,
,
.
4
Es ist V1 0000 = 1
0,
weil die W
Vu r z e l
1 0
mit dem Wurzel
56
5 1 7
.
e xponent
i
t
e
b
g
4
potenziert
.
r thm i ere
D as L og a i
4
1 0
,
n
also die Wurzelbasis
1 0 000,
:
.
.
3
V5 1
die formelle oder theoretische
praktische Wurzel
4
B eso ndere Ausdrücke
2
8
,
die materiell e oder
.
.
.
2
Statt V sc h reibt
nur
m an
und
/
1
nennt diese (zweite ) W urzel
2
gewöhnlich „ Quadratwurzel
Aus 1 02
folgt V1 00 = 1 0
“
wo für man also V1 OO schreibt und dies „ Quadrat w urzel aus 1 00
liest
2
Es ist VE = 7 d i V4 9 = 7 denn die Wurzel (7 ) mit dem
Wurzelexponent (2 ) potenziert g i e b t
welche Zahl
der Wurzelbas is gleich ist
3
“
Die dri tte W u rz e l h e i fs t auch „ Kubikwurzel Es i s t V1 000 1 0
“
t
l
e
[ g e e s m „ Kubikwurzel aus 1 000 oder „ 3 Wurzel aus
3 =
den n 1 0
1 0 1 0 o l Q = 1 000
“
.
.
‚
.
.
,
.
‚
,
.
.
e
.
3
V1 3 3 1 = 1
denn
Die vierte Wurzel wird auch
1 ;
„
B i qu a dr a tw u r z e l
“
genannt
3
Die dritte Wurzel aus
(V5 )
3
a
b
.
/
(
3
s chreibt m a n Va
b oder 1
a
b)
.
3
Va
würde
b
b
bedeuten
.
3
5
5
In V soll zuerst
berechnet und al sdann aus der g e fun
denen Zahl 2 5 die 3 W
Vu r z e l gezogen werden 2 ist hier der
“
“
3 der „ Wurzelex ponent
„ Potenzexponent
5
2
.
.
.
,
ä 1 7
.
l
Da s Log a r i th mi e r e n
.
.
D as L ogarithmieren (oder E xpon e n tii e r e n ) sucht aus der
Potenz ( 5 1 2 oder 8 3 ) und der Basis (8 ) den Exponent
In B ezug a u f
würde dasselbe
I e n t w e d e r aus der Po tenz 5 1 2 und der Basis 8 de n E x
ponent 3 suchen Geschrieben :
G e ge b en G e su c h t
.
.
.
8
19 5 1 2
3
s
s
u
r
s
s
e
m
a
u
B
N
L ogarith mus
u
m
h
t
i
r
a
g
o
L
Gelese n : „ Der Acht L ogarithmus von
“
oder : „ 5 1 2 mit 8 log a ri th m i e rt ;
oder : „ der L ogarithmus von 5 1 2 zur
sis
-
Ba
ä 1
.
ll
.
7
.
r th m i ere
D a s L og a i
57
.
o d e r es würde das L ogarithmieren aus der Potenz
der B as is 8 den Exponent 3 suchen :
8
Manche schreiben
o der
n
5 1 2
oder
1g
51 2
3
8
( )
3
oder lg
8
3
und
.
51 2
(8 )
oder [9
8
5 1 2
oder 1 9 8
51 2
51 2
53
s
Die Po tenz (5 1 2 ) wi rd also z u m N u m e r u s (L og a ri th
mand absolute Zahl n atürliche Zahl )
die B as is der Potenz (8 ) zur B asis ( des L ogarithmus) oder
Grundzahl
der Exponent (3 ) zum L ogarithmus
2
R e a l d e fi n i ti o n e n :
L o g a r i t h m i e r e n h e i fs t eine Zahl (3 ) suchen wel ch e die
3
B as is (8) a u f eine P otenz (8 ) erhebt die dem Numerus (5 1 2 )
gleich ist
L o g a r i t h m u s ist die Zahl welch e die Basis a u f eine Potenz
erhebt die dem Numerus gleich ist
5
Es ist also
1g
denn
denn
2
1 g]
denn
8
1 9 5 1 2 ist der form elle oder theoretische L ogarithmus
3 der
m aterielle oder praktische L ogarithmus
,
,
,
,
.
.
,
,
.
,
.
,
,
.
3
B e s o n dere A us drü cke
l0
Statt 1 g schreibt m an nur lg un d nennt diese L ogarith men
vulgä re (gemeine dekadische bfig g s c h e ) Es ist also
1 l0 2 1 00
5
d
i
1
1 9 1 00
weil 0
1 00 000
9
29 1 00 — 2 d i
denn
.
.
.
,
,
-
.
1
4
,
2
.
.
.
.
Die D ivision konnte nach ä 1 2 6 als abgekürzte Sub
traktion a u f e fa fs t werden bei wel cher der l e t z t e R e s t die Grund
war D a sich nun 3 4 3 dreimal
zahl 0 der äu b tr a k ti on ( ß
nach einander durch 7 dividieren lä fs t wenn der l e t z t e Q u o t i e n t
die Grundzahl 1 der D ivi sion
werde n soll :
.
.
‚
,
.
.
,
3 43 z 7
=1
3
abgekürzt
und diese Division durch V3 4 3 = 7 und 1 9
werden mag so kann das R a di c ie r e n und L ogarithmieren auch als
Divi sion mit gle i chen D m s ore n a u fg e fa fs t we rden
7
,
.
ä 1 7
58
.
S c h l u fs b e m
g
direkte und 4
D i rek t e S pe c i e s :
Addition
8
3
8o 3
Multiplication
fie le n
in
e rkun
3
r t hmi ere
D as L og a i
.
n
.
Die bisher abgeleitete n Species zer
indirekte :
i n d i rek te S p e c i e s :
3
8
Subtraktion
1 1
1 1
24 3
8
Di vision
24
.
3
P otenzieren
8
3
R a di oi e r e n
51 2
8
3
L ogarithmieren
1g 5 1 2
Betrachten wir noch einmal die Entstehung der direkten Species :
2 = 1 5 (verschiedene Summanden )
Addition : 8 5 —
(gleiche Summ ande n) dafür
M ü ltl pli c a h on :
verschiedene F aktoren )
(
8
8o8 8
5 1 2 (gleiche F ak toren ) dafü r
3
P Ote n Z i e l e n :
51 2
8
verschiedene
Elemente
der
(
ag
9 =
Potenz
)
2
2
2
d
i
5
1
(
)
M ü fs t e nun nicht eine neue Species entstehen wenn auch
hier die Elemente gleich gesetzt würden ? Um diese Frage z u b e
antworten setzen wir also die Elemente der P otenz gleich :
.
,
gä
,
‘
z
:
.
.
.
,
,
8
8
8
abgekürzt :
8
8
(3 )
8
8
( 4)
abgekürzt :
8
Nach ä
8
.
Zus lä fs t sich
8 8o8 8
als
oder als (8 o 8 ) ( 8 8
4
oder als
8 u s w
5
auffassen d h die Potenz 8 = 8 8 8 8 o 8 kann in verschiede n er
Weise umgeformt werden m i t andern Worten (ä 6 2 l ) : man kann
mit der Potenz rechnen
.
1 1
,
8, 4
c
.
.
o
-
.
,
.
.
.
o
.
.
.
,
,
,
.
Dagegen kann
nicht b e liebig als
(5 )
8,
d i
.
8
.
8
8
oder als
“
=
weil nach ä 1 5 6 : a nicht
a u fg e fa fs t werden
b ist Der Aus
druck
d h man
m ü fs te mithin u n v e r ä n d e r t st e hen bleiben
kann mit demselben n i c h t r e c h n e n Hauptbedingung fü r eine
b
,
.
.
,
,
.
.
.
ä 1 8
60
.
E d l i he
u e d l i he
un d
c
n
.
n
n
Gr ö fs e n
c
h e it e n g r ö ls e r als die in A , und doch ist
h e i te n i n bei den Zahle n = oo , folglich ist :
'
+
+3
1 000 =
oo
a
oo
eben so :
allgemein :
00
3
oo
:
oo
oo
.
N
ull
.
die Anzahl der Ein
,
= oo O der :
um j ede endliche Zahl vermehrt gic h t immer wieder
‚
.
,
oo
.
Würde man vor die 1 Einheit in A n icht blofs 3 sondern
unendlich viele Einheiten setzen so würde di e neu entstehende
Zahl B doch i m mer nur = oo sein Es ist al so :
oo + oo = oo
eben so 3 o oo = oo u s w O der :
o0
mit irgend einer endlichen Zahl m u ltipli c i e r t g i e b t
immer wieder oo
.
,
.
,
.
,
.
.
.
,
.
4
Zahl
.
8
D enkt man sich eine L ä nge von 8 C e n ti m e te rn (die die
vorstellen soll ) u m den unendlich kleinen Teil von 3 C enti
m etern (also um
vermehrt so würde die neue L ä n ge
,
doch nur genau 8 C e n tim bleiben Denn würde man sich die
8 C e n ti m um ein noch so kleines angebbares (m e fs b ar e s ) Stück z B
u m den m i lli on te n Teil eines Millimeters
oder um den d e c illi on te n
Teil eines Millimeters v e r g r ö fs e r t denken so h ä tte m a n die 8 C e n ti m
.
.
.
,
.
.
,
.
,
ein u n e n d l i c h k l e i n e s Stück ( wie es j ene
C e n ti m
go
sein soll ) vermehrt weil 3 C e n ti m nicht u n endlich oft sondern
nur in eine bestimmte abgegrenzte Anzahl von Teilen geteilt wer
den müssen wenn ein D e c i lli on te l Millimeter ents tehen soll
Es i s t also
n
icht
3
um
.
.
,
,
.
,
allgemein wenn
,
a
un d
b
endliche Zahle n vorstellen :
a
b
+
a
.
Der unendlich kleine Te i l einer en dliche n
G r ö fs e (z
.
B
3
—
.
verschwindet m ithin i n Bezug a u f eine endliche Gr ö fs e (8) voll
kommen ist „ Nichts in Bezug a u f endliche Grö fs e n D i e s e s
Nichts bezeichnet man mit 0 (Null )
Wir wiederholen : 0 ist nicht das absolute Nichts so ndern
der u n e n dli c h kle in e Teil einer endlichen Gr ö fs e der aller
dings neben endlichen Gr ö fs e n vollkommen verschwindet
Es ist also :
“
.
,
.
,
,
.
3
=0
1 000
,
= 0 allgemein :
,
a
0
.
5
5
1 8
.
E d l i he
n
.
Aus
.
8
un
c
1
—
+
u
d
n en d
Gr ö fs e n
c
ull
N
.
61
.
8
-
2
—
—
=8 + 2
8+
8
l i he
1
o
—
(s
1
3
—
—
—
=
8 +3
+
.
ä
u s
o
.
Anm )
.
.
w
.
.
wird wenn man zun ä chst nur den unendlich kleinen Teil der Ein
heit d i i
o setzt :
,
w
.
,
.
allgemein :
bo0
a
a
.
D a also
gegen die endliche Gr ö fs e 8
vollko m men verschwindet so ist es gleichgültig ob man 1 0 o der
zu 8 addiert Man setzt daher der Ein fachhei t wegen
statt
nur
wenn die Vermehrung u m
eine unendlich klei n e Gr ö fs e angedeutet werden m u fs Es ist mithin
allgemein : d 0 = 0
wenn diese Produkte B eziehungen z u endlichen G r ö fs e n haben
“
B e i s p i e l Soll 3 0 d i 3 Zehner
mit 2 mul
0 Einer
2 0
ti pli c i e r t werden
so würde m an nach ä 1 1 4 : 6 Zehner
Einer erhalten Man schreibt j edo ch nur 6 0 d i 6 Zehner
Einer weil die u n e n d li c h kle i n e Gr ö fs e
Einer in Bezug
a u f die endliche G r ö fs e 6 Zehner ebenso vollst ä ndig verschwindet
wie
Einer
6
.
o
,
,
.
.
o
,
.
.
.
,
.
„
,
-
.
,
,
,
.
.
.
,
.
7
D a der m illi on te Teil von 2 doppel t so gro fs ist als der
m i lli on t e Teil von 1
der d e c illi on te Teil von 2 doppelt so g r ols
a ls der d e c illi on te Teil von 1
sein m u fs so m u fs auch der u n e n d
2
i
li c hk le in e Teil von 2 d i
f
d i
doppel t so gro s als
.
,
'
,
,
,
.
,
.
,
.
.
doppelt so g rols als
sein sobal d diese Gr ö fs e n nur unter sich
betrachtet und nicht in B eziehung zu endlichen Gr ö fs e n g esetzt
werden
U n e n d li c h k l e i n e G r ö fs e n u n t e r s i c h a l l e i n v e r
g l i c h e n s t e h e n a l s o i m e n d l i c h e n Ve r h ä l t n i s
A n m e r k u n g 4 0 ist also unter diesen B edingungen g rö fs e r
al s
Wollte man
setzen wo beide Produkte keine
Beziehungen zu endlichen G r ö fs e n h a ben so würde man wen n
man nach S 1 3 3 0 beide Seiten durch 0 dividierte zu d e m fa l
schen S c h lu fs
gelangen W
Vollte m an 4 7 = 3 7 setzen und
die Gleichung durch 7 dividieren so würde m an nur denselben
Fehler b egehen
'
,
.
.
-
.
,
,
.
,
,
,
-
.
,
.
o
5 1 8
.
8
Aus
Zus :
.
S
u e d l i he
un d
c
n
n
8 —0 = 8
G r ö fs e n
c
n
allgemein
8,
0
.
I
E d l i he
.
0
a
N
.
(s 5
a
.
ull
.
Sat z) folgt nach
.
allgemein : a — 0 = a ; oder :
um 0 vermindert g i e b t j ene Grö fs e selbst
-
.
Eine G rö fs e
wi eder
,
.
II
8
.
8
allgemein : a a = 0 (vergl ä 9
sic h sel bst verm indert g ie bt
0,
.
o der : E i n e G r ö fs e u m
r
B eispiel e:
—
b
c)
(a +
9
Aus
=
=
N
oo
m
m
1
00
0
3
+
+
folgt nach
.
,
0
.
.
-
(a + b
.
,
—3 = N
‚
—1
allgemein :
=
oo (s
+
m
a
2
.
.
Satz )
— u =m
Eine u n e n dli c h g rofs e Zahl u m eine en dliche Zah l vermin
dert g i e b t jene u n e n dli c h gr ofs e Zahl selbst w ieder
— m = 3 m — m = 1 000 m —oo = a
c
II
—
tl
a = 0 ( s 8 Satz II) bezieht s ich also nur a u f
D er Satz
di e endliche Zahl a gil t aber ni cht fü r u n e n dli c h g r ofs e Zahlen
N = 1
1 000 u s w
Vielmehr k an n N
oder
ü berhaupt
j eder endlichen Za hl aber auch = 0 sein
“
m
N
ist mi t h in e i ne sogen an nte u n b e s t i m m t e G r ö fs e
1 0
Aus
a
O= 0 (s 6 Satz )
fol g t nach
1 2 l Zusatz :
l
m
.
m
‚
000 = m
oo
‚
.
,
c
.
,
.
‚
.
.
,
.
,
‚
.
.
.
,
.
,
..
-
.
,
I
.
.
,
0
.
3
0
=O
0
oder :
,
d urch jede endli che Zah l divi di ert
—
B e i spiel
0 Die D ivisi on
es bleibt kein Rest
i
e bt 0
g
0
.
.
g eht al so
.
a u f,
d h
.
.
.
Il
0
.
Es
3,
0
3
kann daher —
en dliche Zahl bedeu t en
gilt also nur
Aus
nach
1
ll
fol gt
I
.
.
3
2,
O
F
—
.
Zah l
Es
ist mi thi n — eine unbes timmte Grö fs e
3,
oder
=a
1 000,
l OOO m
-
o
‚
1
,
3
die e n d l i c h e Zah l
fü r
oder
=o
o
,
a
a
-
.
m
r
—m
,
3
so
0
di e
.
=o
l Zus
-N
0
m
,
o der :
1 000
durc h jede endliche Z a hl di vi diert
i
g e bt
oo .
also j ede
.
1 L
1 2
3
am
.
L
n ac
e e
e n dlic he
=x
1
1
oda :
-
,
.
g
An m erkun
g
m a c ht um
1
:
1
'
'
1 000 06 )
Zun e hm en
Mi t
o
x
=3
d as a m
de s Quoti e n t :
=x
%
0 x =1
-
‚
000‚ O x
o
be kam
'
=a
Du r c h v or s t e he n de Sätz e
Za h l e n re i h e zu:
o, 1
Se ne
z
2, 3, 4 , 5
,
B
.
,
4, 3 ,
,
erw
ü rg
da
{22 3
:
o
.
t
d i 3+
.
m
(s
sic h
a ls o
e , 7 , s , 9 , 1 0, 1 1
.
‚
;
.
7, 6 , 5
:
Gr öß e n (1
m
Z a h le n le lx e
di e
x
de s
, ß lg fic h i n
.
M
a n de r n
n oc h
A 3 3 1 + 0 = 1 folg t m m a uc h 1
ärta sc hr e it e n in de r nz fii r li c lze n l ahle nr e i tg
l3
v
,
.
-
0
.
x
t
1
Gre n z e fü r das
Fa c h
.
gu
,
1
od a
II
am ; folgt
s
n
1
.
(Ee
i
o,
Za h l d ur c h e (a m
l
0,
- 4 ; ode r :
’
1 0%
0,
%
h
Jd
(5
- l fm
3:
di e
n a tü r
x
.
liche
s 1 8
62
.
8
ä
.
8, 1
Aus
Zus :
.
c
n
8,
0
.
,
I
8
E d l i he
.
8
.
n
c
n
allgemein
Gr öfs e n
0
a
N
.
(s 5
a
.
ull
.
Satz) folgt nach
.
allgemein : a — 0 = a ; oder :
um O vermindert g i e b t j ene Gr ö fs e selbst
.
8
.
u e d l i he
O= 8 ,
-
Eine G rö fs e
wi eder
II
un d
8
allge m ein : a a = 0 (vergl ä 9
um s i c h sel bs t v erm in d ert g ie bt
0,
.
.
,
o der : E i n e G r ö fs e
0
—
x
B eispiel e:
m = 0;
—
—
b
a
c
)
(a + b
( +
9
Aus
oo + 3 = oo
oo + 1 000 = oo
allge m ein : oo + a = oo (s 2 Satz )
folgt nach ä
I
oo — 3 = oo
oo — 1 000 = oo
oo —a = c o
Eine u n e n dli c h g r ofs e Zahl um eine endliche Zahl verm in
dert g i e bt jene u n e n d li c hg r ofs e Zahl selbst wieder
II
oo — oo = 3
oo — oo = 1 000
oo —oo = a
D er Satz a — a = 0 (s 8 S a tz II) bezieht sich also nur a u f
die endliche Zahl a gil t aber nicht fü r u n e n dli c h g r ofs e Zahlen
Vielmehr kann oo oo = 1 oder
überhaupt
1 000 u s w
j eder endlichen Zahl aber auch = 0 sein
“
oo
oo ist mithin ein e sogen a nnte
„ u n b e s t i m m t e G r ö ls e
1 0
3
Aus
a
(s 6 Satz )
Zusatz :
folgt nach
1 2 1
O
0
0
—o
O
oder
I
.
.
,
.
.
,
.
c
,
.
‚
.
,
.
,
.
,
.
.
,
.
,
.
,
.
.
,
.
,
'
.
.
.
,
.
,
3
m
°
,
durch jede endliche Zahl dividiert g ie bt 0
B e i spiel
Die Division
geht also
es bleib t kein Rest
0
0
0 —
II
3 —
a
0
0
Ü
0
.
.
a u f,
d h
.
.
.
.
Es
,
kan n
daher 1
3
en dl iche Zahl bedeuten
g il t
1 1
also nur
Aus
folgt nach ä 1
.
.
I
.
oo
die Zahl
3,
oder
fü r
1 000,
die e n d l i c h e Zahl
oo ,
1 000
1 000
a
= oo
oder
1
,
also j ede
eine unbesti m mte Grö fs e
Es ist mithin
.
3 - oo = oo ‚
2 ‚ 1 , Zus
3
.
a
o
.
oo
= oo
o der :
,
durch j ede endliche Zahl dividiert
g i e bt
oo
.
.
g
II
1 8
.
E d l i he
n
.
un d
c
3,
.
u e d l i he
n
n
c
00
1 000,
-
oo
G r ö fs e n
oo
ull
N
.
= a ; oder :
kann j ede endliche Zahl vorstellen
bestimmte
1 2
G rö fs e
I nach ä
.
1 000
0,
3
.
also eine
is t
,
nu
.
3
Aus
.
63
.
—oo ,
0
— O s 4
(
l
0,
.
1 000
a
0
O
Satz ) folgt
.
Jede endliche Zahl durch 0 dividiert g i e bt oo
Dieser Satz k ö nnte auch i n folgender Weise bewiesen werden :
,
—1
.
‚
1
1
—
3 —
_1
°
‘
000
1 000
1
1 000 000
.
Wird der Di v isor immer klei ner so wird der Quotient g r ö fse r
28 5
Die Grenze fü r das Abnehmen des Divisors
ist 0 die Grenze fü r das Z unehmen des Quotient : 0 0 folglich ist :
,
,
.
,
,
1
:
0 = oo ,
oder
%
= oo
.
II Nach
0 oo = 3 O o oo = 1 000 0 oo = a
Es ist also O o oo eine unbestimmte Gr ö fs e
A n m e r k u n g Mit noch andern unbes timmten Grö fse n ( 1
u s w ) macht uns die allgemeine Zahlenlehre bekannt
l3
1
Aus 1
0 = 1 folgt nun auch 1
0 und d a s Rück
w ä r ts s c h r e i te n in d e r natürlichen Zahlenreihe (s ä 8 1
Zus ) führt
damit Z u
6 5 4 3 2 1
0
e
°
.
,
,
.
.
0°
.
.
.
.
.
.
=
.
,
,
,
,
,
,
,
.
,
.
D urch vorstehende S ä tze erweitert sich also die n a t ü r l i c h e
Z a h l e n r e i h e zu :
0, 1
2, 3, 4, 5
,
6 , 7 , 8 , 9 , 1 0, 1 1
,
cc
.
Ursprünglich gic h t es keine anderen al s diese natürlichen (oder
ganzen ) Zahlen Solche di e dem Werte nach zwischen densel ben
stehen können nur durch die natürlichen Zahlen und zwar in
Bruch form dargestell t werden
.
,
,
.
So ist z
.
B
5
.
37
7
d
.
l
.
3
+
5
ä 1 9
64
.
als
f
rö s e r
g
(s
.
ä
(s
3
1
.
1
.
ne
s
und kleiner als
6)
,
Zeh rsy tem
D as
.
.
+1
3
d i klei n er als
,
.
4
.
.
z ei c h n et m an :
d i e M u l ti p l i c at i on ( a ls v ere i n fa c h te A d d i t i on ) m i t
d i e D i v i s i on (a ls v e r ei n fa c h t e S ub t r ak t i on ) m i t 4
d a s P ot e n zi er en ( als v ere i n fac h t e M ult i p li c at i on ) m i t
d a s R a d i c i e r e n ( a ls v e re i n fac h t e D i v i s i on ) m i t
d a s Log a r i t h mi e r en ( a ls v e rei n fac h t e D i vi s i o n ) m i t 7
S c h l u fs b e m e
rk un
g
Be
.
,
so
ist :
,
a
+b
b
a.
=b
(d i
.
d urc
a
.
h
r a di c i e rt
b
d ie
un d
b
b
en t st e h en d e Z ah l dan n m i t b p ot e n z i e r t al so (W ) =a )
D e r S at z a —b + b = a n i m m t m i t h i n i n d e r S u b t r ak t ion d i e s e l b e
b
b
S t el l un g e in w i e d e r S at z a : b ö =a i n d e r D iv i si on u n d
a ) im R a
d ic ie re n
I n d e r T h at wer d e n a u c h d i e s e S ä t z e a u f gle i c h e W e i s e b e w i e
s e n ( s ob e n )
D er i n n i g e Z u s am m en h an g d e r 7 S p e c i es i st m i t d i e s er D ar
s t el lun g l e i c h t e rk e n n b a r
Ma n v er g l e i c h e au c h :
—
—
=
a
d
i
d
b
m
t
a
a
b
( + )
( i
)
,
,
.
.
.
.
.
.
-
-
d i
.
a
-
er gl i h t
m an
e c
a.
a
ez g
S
.
.
—b —c
l
b —c m i t a —
d i
.
V
0
1
un d
a
=a
rk
un
O
a
d
a uf
u
e
D
h
h
h
.
a
=a
1
a :
S tz e = —
g le he S t ellu g
D ie
ä
O
le i c hfa lls
ic
“
r ö fs e n
(0 = a
u
un d
a
n
=
a
+
,
—a ) erkl ä re n
s o e rg
,
s
ieb t
h
d a fs O i n
d e r M ult i l i
sic
— O= u
a
®
—a
as
,
n
a
® =a
W ol lt e
mi t
a
elb e i t w 1 i
g ehe vo r ste h e d e S ä t
.
0
,
.
A d d i t i on u n d u b t a t i on d as s
c at i on u n d
i v i si on ( s a u c
ä 1 3,
B z e i c n e t m a n d a e r 1 m i t G) , s o
B
,
‚
n
n
,
p
üb
ze
er
in
:
,
=a
d i
.
.
l
=a
ha e
m a n n u n Oa ls „ iff
m ü fs t e d i e E i n e i
her
gl e he
tie t
b n
: a ,
n z aus 2
D ere
.
da
ic
n
h t l Q
2 g l e i he G ö f e
erk
l ä r t w er d e D a ab e r k ö t e d i e D fi i
f
3
)
ti
fü d i E i h e i t er t i d
D i vi i g e g e b e w e rd e
h d em lä g s t
m t d e E i h ei t g e r e h e t w o r d e n i t
c
on
i
n
r
r
r
e
n
s
n
.
so
,
“
n
n
s
c
er
n
ä
s
.
1 9
.
nn
n
uo
,
a us
n
e
n ac
n
n
.
D a s Z e h n e r sy s t e m
l
D ie Einheiten einer
(D e c i m a lsy s t e m , dekadisches
„
nn
n
s on
n
.
a s
.
Zahl sind n ach dem Z e h n e r sy s te m e
System D e k a dik ) angeordnet wenn
j e d e E i n h e i t i r g e n d e i n e O r d n u n g ( Stel le ) 1 0 E i n h e i t e n d e r
n ä c h s t n i e d e r n (rechts stehenden ) O r d n u n g g i l t
Es gilt daher :
1 Zehner (Zig )
1 0 Einer
1 Hunderter
1 00 Einer
1 0 Zehner
1 Tausender
1 000 Einer
1 00 Zehner
1 0 Hunderter
.
,
,
.
,
,
.
5
66
.
20
.
Da s
Re h e
c
n
g
m it
n
an z
e Z hle
n
a
n
in
ei e Gru
s
n
n
n
um die Zahlen be quemer lesen zu können
We i se a b ’
oft ,
dz ü
ge
n
in
,
.
folgender
.
Quadrillionen bezeichnet man hierbei mit i v Q u in ti lli on e n mit v
S e xtilli on e n mit v i u s W
F ü r „ Ta u s e n dm illi on
gebraucht man zuweilen den Ausdruck
“
„ Milliarde
3
Die Zahlzeichen 0 1 2
9 nennt man a r a b i s c h e
i e sin d j edoch nicht eine Erfindung der Araber sondern der
ndier
c) sind aus dem u r
Zehn (ursprünglich d e c k e n ) und zig (d e/
indogermanischen d e k (Finger
d i e 1 0 Finger) entstanden ; la te i
n isch d e c e m
d e k e m griechisch d e lt a
“
Die Wörter e lf und zwöl f sind aus den al tdeutschen Aus
“
“
drücken „ ein lif (daher e i lf) und zwei lif d i 1 darüber
“
2 darüber
entstanden
,
.
.
,
.
“
.
.
S
.
,
,
,
.
.
,
„
„
„
,
s 20
.
.
,
.
.
„
,
.
Da s R e ch n e n mi t g an z e n (De ci m a l
Grun d z ü g e n
Z a h le n i n
s e in e n
.
l
.
l
.
A d d iti o n
“
D er An fä nger hat zuerst das „ Eins und Eins einzuüben :
.
bis
1 8
9
9
.
II Damit der Anfä nger di e Summen welche g rö fs e r als
sind leichter beh ä lt hat er vorzüglich die Verbindungen
.
,
,
1 0
,
zu beachten um z B
.
,
8
2
.
als
7
aufzufassen
III Da nur Gleichartige s al so nur Einer zu Einern Zehner
zu Zehnern u s w addiert werden kann so addiere
58
9
4 1 62 in folgender Weise :
7 36
8
.
1 0
5
1 5
5
.
,
,
.
.
,
.
58
736
9
4 1 62
4965
5 Einer
Hier erhielt man zuerst 2 5 Einer die in 2 Zehner
6
3
zu verwandeln waren um die 2 Zehner mit den Zehnern 5
z u vereinigen u s W
Hieraus folgt zugleich d a fs man bei der
Addition mit der niedrigsten Stelle beg innt
S ub tra kti o n
2
I Der An fä nger hat zun ä chst die Umkehrung des „ Eins
“
und Eins einzuüben Da
so m u fs 1 6
und
1 6—9
7 sein
,
,
.
.
,
.
.
.
.
.
.
2
.
5 20
.
.
Re h e
Das
c
n
n
m it
g a n z en
Z hl
a
en
in
s
ei e Gru
n
n
n
dz ü g
e
n
67
.
II Für die Subtraktion gil t das in der Addition unter
Daher 8 9 3 7 — 5 1 4 be r echnet :
Gesagte
.
I II
.
89 3 7
8 423
Zuerst
II I
7
4
Einer
3
Einer u s
.
.
w
.
62
,
39
.
Zun ä chst 1 Zehner
1 0 Einer bei den 6 Zehnern
geborgt und der Minuend enth ält alsdann in den
Zehne r n nur noch 5 Einheiten in den Einern
Ein
h e i te n
Daher :
'
,
.
1 0
6 2
3 9
berechnet :
o
1 2
5
9
3
3
2
Einer
Zehner
.
2 3
IV
4 000 ,
’
1 89 3
.
D a die Zehner und Hunderte keine Einheiten
enthalten so hat m an hier zun ä chst bei den
Tausender
1 0 Hunderte zu borgen
Es entsteht
,
Tausenden
al sdann :
4
1
.
1 0
00
1 893
Hierau f ist von den
borgen D aher :
1 0
Hunderten
1
Hunderter
1 0
Zehner zu
1 0 1 0
.
00
1 89 3
Endlich
Daher :
is t
von den
1 0
Zehnern
1
Zehner
1 0
Einer zu borgen
.
1 0
00
1 8 93
D er Minuend enth ä l t j etzt 3 Tausende 9 Hun
derte 9 Zehner und 1 0 Einer
Die Subtraktion g ie b t daher als Rest :
,
,
.
=2 1 07
Dieses B eispiel füh r t zu der Regel :
Die Nullen über welche man h in w e g g e bor g t hat
zu Ne n n e n
.
,
,
w
erden
.
3
M u l ti pl i c ati o n
I D er An fänger hat zun ä chst das
r ä i s c h e Ta fel ) einzuüben :
.
.
.
=
1
4; 2
2
.
„
Ein m aleins
“
(P y t h a g o
1 -3
2 4= 8,
bis
II 3 6 o 7 ? Man denke sich (3 Zehner + 6 Einer ) o 7 daher 2 1
Zehner + 4 2 Einer In der Praxis beginnt man j edoch mit der
4 Zehner
n i edri gsten Stelle daher zuerst 7 o 6 Einer
4 2 Einer
2 2
i
o
.
,
.
,
5
*
ä 20
68
.
D as
.
Re h e
c
+2
Einer ; alsdann
Zehner
4 Zehner
5 Zehner
derte
n
m it g an z
n
e Z hle
a
n
n
in
s
ei e Gru
n
n
2 1 Zehner
7 -3 Zehner
2 Einer
2 5 Zehner
2 Einer Daher :
36 7
.
o
.
25 2
n dz ü
g en
.
Jetzt hat man 2 1
2 Ein er
2 Hun
.
III 5 08 o 6 ? Zunä chst 6 o 8 E iner
4 Zehner +
48 Einer
Hierauf
Zehner
hierzu
8 Einer
0 Zehner (s 5 1 8
j ene 4 Zehner gerechnet u n d man hat zusammen 0 + 4 = 4 Z e h
n e r Endlich
Hunderte
3 Tausende
3 0 Hunderte
0 H u n d erte
Folglich :
4 Zeh
IV 9 5 6 7 4 8 ? Man denke sich : 9 5 6 (7 Hunderte
ner
8 Einer)
9 5 6 7 Hunderte
669 2 Hunderte
66 9 2 00]
9 5 6 o 4 Zehner
3 8 2 4 Zehner
3 8 2 4 0]
9 5 6 o 8 Einer
7 6 4 8 Einer]
Daher :
.
.
.
.
,
,
.
.
-
o
.
o
.
9 5 6 7 48
“
Diese Produkte werden „ P a rti a lpr odu kte
genannt Addiert geben dieselbe n das
gesuchte Pro dukt :
6 692
3 82 4
7 6 48
.
7 1 5 08 8
V
5 3 00 7 4 000?
5 3 1 00 7 4 1 000
'
Man
Man denke sich :
0
.
'
z
53
-
daher
m u ltipli c i e r t
und
5 3 7 4 1 00000
1 000
hän g t
.
an das Produkt
Nullen
4
D i vi s i o n
I Zun ä chst hat der Anfänger das Einmaleins umzukehren
Da
so m u fs
sein
9 und
4
II
kann zwar als ( 8 H
6 Z
(8 H
o der :
864 2
5
.
.
.
.
.
-
.
.
.
.
.
432
berechnet werden aber nicht immer geht die Divi sion der einzelnen
Stellen a u f wie folgendes Beispiel zeigt :
7 74 z3 ?
D a 6 H : 3 = 2 H 9 H : 3 = 3 H so liegt hier der
Quotient zwischen 2 H u n d 3 H Mithin hä tte man sich die A u f
gabe zu denken :
(6 H +
und weil 1 H
1 0Z :
H
1 7 Z
u s w
4
Da also bei der Division von 7 H : 3 vorl äufig nur 6 H durch
3 dividiert we r den können so bleibt 1 Hunderter
1 0 Zehner als
Rest so d a fs alsdann
Zehner
1 7 Z durch 3 zu divi d i e
ren sind
,
,
.
.
.
.
.
,
.
,
.
.
.
.
:
.
.
,
.
.
.
.
.
,
.
ä
.
20
.
Da s
Re h e
n
c
n
g
m it
e Z hle
anz
n
a
in
n
se i n
e
n
Gr un d z u g e n
69
.
Dieses Verfahren ist aber nichts Anderes als die Partial
Hieraus folgt d a fs
division (ä 1 3
1
die Division m it den höchsten Stellen des Dividend zu
beginnen ist ;
2 die Division mehrste lliger Divi denden durch die Partial
division auszu führen ist
Vorstehendes Beispiel ist also z u rechnen (vergl die Beispiele
in ä 1 3 2 9
77 4
.
,
,
.
.
.
.
,
,
.
6
1 7
1 5
24 ,
l 2
abgekürzt :
774 3
25 8
Die kleiner geschriebenen Zi ffern
1 5 Zehner
7 — 6 Hunderte und 1 7
.
1
und
2
sind die Reste
.
Wollte
ohne Rücksicht
schreiben :
III
.
man
auf
n ur
bei
und
rechnen
die Ordnungen der Zahl zu nehmen also
,
,
81 2 4
23 ,
-
so wür de diese 2 im Quotient : Zehner aber nicht Hunderte (8 H
2
bedeuten
4
Wird dagegen die P artialdivision vollst ändig angewendet :
'
.
-
.
81 2 4
8
:
2 03
1 Z e hn e r r 4 = 0
0
Zehner !
Einer : 4 —3 Einer
s o erh ä lt man vollkommen richtig 2 als Hunde r te und es e r g i e b t
sich d afs bei der Division nie die H a u p t r e g e l a u fs e r acht zu
lassen ist :
J e d e ein z el n e St el l e d es D ivi d en d i s t z u divi
dieren
1 2
,
,
.
l
Abgekürzt :
81 2 : 4
mit folgender Rechnung :
Z e h n e r Der Rest l Z e h n e r
2 Hunderter ;
8 H :4
= 1 0 Einer mit den 2 Einern vereinigt = 1 2 Einer Diese d urch
4 di v idiert
3 Einer
2 03
-
.
.
.
.
IV
Diese Regel mag auch
det werden :
.
auf
folgendes
Beispiel
ang ew en
5
70
And
.
ere Z hle
a
n sy s
T H od e r
0
76
72
u s
.
.
w
tem e
.
H
.
Hieraus folgt d a fs man nicht erst 7 Tausende durch 8 son
6 Hunderte
dern sogleich 7 Tausende
7 6 Hunderte durc h 8
di vidiert also rechnet :
,
,
,
7 69 6
72
49
48
1 6
4 1
abgekürzt :
9 62
.
In gleicher Weise verfä hrt man bei meh rstelligen Divisoren
B eispiel:
.
5 1 9367
43 7 0
823 6
7 866
3 7 07
3 49 6
21 1
A n m e r k u n g Um bei mehrstelligen Divisoren di e j edes
malige Stelle des Quotient leichter bestimmen zu können denkt
m an sich zun ä chst nur die höchsten Stellen des Dividend durch
die höchsten Stellen des Divisor dividiert Z B :
.
,
.
.
.
493 7 1 9 2 z 7 8 1 6 5 ?
F ür die 1 Stelle des Quotient hat man : „ 4 9 dividiert durch ein e
Zahl die g rö fs e r als
oder besser weil 7 8 schon nahe 8 0 ist :
“
4 9 dividiert durch eine Zahl
die nah e 8 ist
6
S O findet
man die erste Stelle 6 des Quotient ohne erst untersuchen zu
m ü ssen welches von den P rodukten 7 8 1 6 5 5 7 8 1 6 5 6
sich der Zahl 4 9 3 7 1 9 am meisten n ä hert und nicht g r ö fs e r als
diese Zahl ist
.
,
,
2
„
.
,
,
o
0
,
‚
,
.
5
.
21
.
A n d e r e Z ahl e n sy ste m e
.
Je nachdem die Zahlen der natürlichen Zahlenreihe durch das
Z e hner oder Achtersystem ausgedrückt werden hat man als Wert e
der Einheiten der verschiedenen Ordnungen (ausgedrückt durch
,
D e c i m a lz a h le n ) :
5 21
.
1
oder :
,
l
1
A nd
.
ere Z hle
a
1 0
8
2
8
,
3
1 0
71
.
4
d i
8,
,
s , s 4 , 5 1 2 , 4 09 6 ,
,
8
,
,
,
t em e
4
3
1 0,
n sys
,
.
.
Um die Zahl
5
4
0 7
des Achtersystems in eine Zahl des Zehner
systems zu verwandeln hat man die Anzahl
der Einheiten j eder Ordnung wie sich aus
6
,
ä
mit
2
9
0
4
1
g
zu
0°
,
.
1 9, l
er
e bt ,
i
g
m u ltipli c i e re n
.
5
Die gesuchte Zahl des Zehnersystems ist also :
= 5 4 09 6 + 4
v
Ist umgekehrt die dekadische Zahl 2 25 9 0 in eine Zahl des
Achtersystems also in eine ok toa di s c h e Zahl zu verwandeln so
h ä tte man zu unte r suchen wie vi el Einheiten in der fün ften Stelle
der ok toa dis c h e n Zahl deren j ede 3 2 7 6 8 gilt vorhanden sind fe r
ner wie viel Einheiten in der vierten Stelle der ok toa di s c h e n Zahl
deren j ede 4 09 6 gilt vorhanden sind u s w Da die gegebene
Zahl kleiner als 3 2 7 6 8 ist so sind in der fün fte n Stelle keine Ein
h e it e n vorhanden Die übrigen Stellen ergeben sich durch folgende
,
,
,
,
,
,
,
.
.
,
.
,
.
D iv i s iom
2 2 5 9 0 4 09 6
2 04 8 0
5
21 1 0:
2 04 8
62 :
0
62
56
:
6
:
Die gesuchte Zahl des Achtersystems ist daher 5 407 6
Das Zweiersystem h e i fs t auc h Dyadik bi n a ri s c h e s System
Tr i a d ik
Dreier
Te tr a d ik
Vierer
P e n ta d i k
Fün fer
He xa dik oder Sehsystem
Sechser
He pt a dik
Siebener
Ok t oa d ik
Achter
E n n e a d ik
Neuner
He n d e k a d ik
El fer
.
,
,
,
,
,
,
5 22
72
.
V i elf he
das Zwöl fersyste m
M a fs , A
s,
ac
.
auch
h e i fs t
rte
Z hle
d er
n
a
n
.
D u ode c i m a ls y s te m , d ode k a di
sches System , De k a di a dik , Te
li os a dik ,
He kk a i d e k a di k , S e de c im a l
das Sechzehner
system
Die natürliche
ü li h e Z
Zahlenreihe
a h le n r e i e erh ä lt in den verschiede n en Syste
e Aussehen
u sehen :
men folgendes
.
1 00r
Sys
t
.
2e r
Sys
3cr
t
t
Sys t
.
.
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1 0
1 1
1 00
1 01
1 1 0
1 1 1
000
001
01 0
01 1
1 00
1 01
1
1
1
1
1
2
1 0
1 1
1 2
20
21
22
00
01
02
1 0
1 1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
v
Ptolem ä us führte ein S e c h z i g e r s y s te m (Sexagesimalsystem ) ein
so d a fs die Zahl
( 4 6 Grad 1 7 Min 2 5 Sec 3 7 Ter
tien ) in Einh e iten der hier n iedrigsten mit
bezeichneten Stelle
den durch eine D e c i m a lz a hl ausgedrückten Wert :
,
.
.
m
,
2
60 + 2 5 6 0 + 3 7
= 4 6 2 1 6 000 + 1 7 3 6 00
erh ä lt
1 7
-
o
o
o
.
Die Römer hatten eine Art F ü n fe r s y s te m mit den folgenden
sogenannten r ö m i s c h e n Z i ffe r n :
I V X L C D
M
im Zehnersystem
1
5 1 0 5 0 1 00 5 00 1 000
B eisp iel
1 828
MD C C C X XVIII = 1 000 5 00 3 00 2 0 5
3
Steht e i n e kleinere Zahl vor einer g rö fs e r e n so ist letztere
=4 I X = 9 XX IX
um die erstere zu vermindern z B IV =
XC = 9 0
z
:
,
,
,
,
,
.
,
.
.
,
,
.
.
,
,
.
ä
1
36
.
22
.
Vi e lfa c h e s , M a fs , A r t e n d e r Z a h le n
.
ist das 5 fache von 4 3 6 das 9 fache von 4 ; 2 0 und
sind Vi e l fa c h e von 4 Die s ämtlichen Viel fachen einer g e
.
20
,
.
5
74
fachen
.
22
Vi el f he M
ac
.
s,
a rs ,
A
r te
Z hle
der
n
a
n
.
Pr od u k tz a h le n sind Es folgt 4
von 3 d i 6 9 1 2
diese aber ist schon als P r od u k tz a hl bestimmt Die nun folgende
5 ist weder bei 2 noch 3 noch 4 berührt worden daher Prim
zahl Folglich :
.
,
,
.
,
,
.
,
.
,
,
,
.
P r o d u k tz a h le n
2
3
5
7
1 1
6,
4,
6,
1 0, 1 5 , 2 0 , 2 5
1 4 , 2 1 , 2 s, 3 5
2 2 , 3 3 , 44 ,
,
,
Somit erkl ä rt sich der Name P r i m z a h l Es ist 2 i n der b e
treffenden Reihe 2 4 6 8
die e r s te Zahl (pr i mus n ume r us)
1 1
Die Viel fachen von 2 also 0 2 4 6 8 1 0 1 2
nennt man g e r a d e Zahlen Die Zehner Tausende Hu n d e r tta u
sende u s w einer Zahl d i die
sind
6 Ordnung u s w
mithin g e r a d z a h l i g e O r d n u n g e n
Jede Zahl die 2 nicht als M a fs hat h e i fs t u n g e r a d e Z a h l
z B 1 3 5 7 9 1 1
Die Einer Hunderte Zehntausende
einer Zahl sind u n g e r a d z a h l i g e Ordnungen
A u f Nullen sich e n dig e n d e Zahlen nennt man r u n d e Z a h l e n ;
z B 7 0 2 3 000 1 0000
1 2
Um sä mtliche Primzahlen au fzufinden kan n man das in
1 0 gegebene Ver fahren noch abkürzen
Da die Viel fachen von 2 :
P r od u ktz a h le n sind so notiere man nur die u n g e r a d e n Zahlen
in folgender Weise :
.
,
,
,
.
,
.
,
.
.
.
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
.
,
,
.
.
.
.
,
.
,
.
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
.
.
,
.
,
.
,
.
,
31
61
91
1 21
1 51
1 81
3
5
7
9
33
35
37
39
63
65
67
69
93 95
97
99 1
1 2 3 1 25 1 2 7 1 29 1
1 53 1 55 1 57 1 59 1
1 83 1 85 1 87 1 89 1
1 1
41
71
01
31
61
91
1
1
1
1
1 3
43
73
03
33
63
93
1 7
47
77
07
37
67
97
1 5
45
75
05 1
35 1
65 1
95 1
1
1
1
1
01
1
1
1
1
9
49
79
09
39
69
99
21
23
51
53
81
83
1 1 1 1 1 3
1 4 1 1 43
1 7 1 1 73
2 01 2 03
25
55
85
1 1 5
1 45
1 75
2 05
27
57
87
1 1 7
1 47
1 77
2 07
29
59
89
1 1 9
1 49
1 79
2 09
In di eser Tabelle behalte man zuerst 3 als Primzahl und
streiche j ede d r itte Zahl ( 9 1 5 2 1 2 7
al s P r od u k t z a h l
Hi erauf behalte man die a u f j ene 3 folgende zuerst n i c h t g e
s tr i c h e n e Zahl als Primzahl ; es ist dies 5
Streiche alsdann
und von 2 5 an j ede fün fte Zahl ( 3 5
45 5 5
als P r odu k tz a h l
Die nach 5 zuerst ni cht gestrichene Zahl 7 ist nun als Prim
zahl zu behalten alsdann
und von 4 9 an j ede siebente
Zahl ( 63 7 7
zu streichen u s w
Nicht von 7 an sondern erst von
an ist jede siebente
Zahl zu streichen weil die hier vorhandenen Vielfachen zwischen
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
.
,
,
,
.
.
V i el f he M
ac
s
,
a fa ,
A
r te
Z hle
de r
n
a
n
75
.
und
d i
und
als Viel fache von 3 und
schon gestri chen sein müssen
Hat man diese Operation bis zu irgen d einer Primzahl (z B 1 9 )
vorgenom men so müssen alle n i c h tg e s tri c h e n e n Zahlen die kleiner
2
sind als das Quadrat der n ä chsten Primzahl (kleiner als 2 3 oder
5 2 9 ) Primzahlen sein weil z B nach 1 9 die Zahl 2 3 als Primzahl
folgt und nun die zuerst zu streichende Zahl
ist
Das hier gelehrte Ver fahren nennt m a n das S i e b d e s E r a
1
5
-
7
.
.
.
.
.
,
,
.
,
.
.
tos th e
l3
n e s
.
Zwischen
.
und
1
1 1 00
2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7,
6 1 , 6 7 , 7 1 , 7 3 , 7 9 , 8 3 , 89 ,
1 3 1 , 1 3 7 , 1 3 9 , 1 49 , 1 5 1 , 1 5 7 ,
1 9 7 , 1 9 9 , 2 1 1 , 2 23 , 2 2 7 , 229 ,
2 7 1 , 2 7 7 , 2 8 1 , 2 83 , 2 9 3 , 3 07 ,
3 5 3 , 3 5 9 , 3 6 7 , 3 7 3 , 3 7 9 , 3 83 ,
4 3 3 , 4 3 9 , 4 43 , 4 4 9 , 4 5 7 , 4 6 1 ,
5 09 , 5 2 1 , 5 23 , 5 4 1 , 5 4 7 , 5 5 7 ,
6 01 , 6 07 , 6 1 3 , 6 1 7 , 6 1 9 , 6 3 1 ,
6 7 7 , 6 83 , 6 9 1 , 7 0 1 , 7 09 , 7 1 9 ,
7 6 9 , 7 7 3 7 8 7 , 7 9 7 , 8 09 , 8 1 1 ,
8 5 9 , 8 63 , 8 7 7 , 88 1 , 8 8 3 , 8 8 7 ,
9 5 3 , 9 6 7 , 9 7 1 , 9 7 7 , 9 83 ,
1 03 3 , 1 03 9 , 1 04 9 , 1 05 1 , 1 06 1
1 09 7
liegen folgende Pri m zahlen :
29 ,
31
,
3 7 , 4 1 , 4 3 , 4 7 , 5 3 , 5 9,
1 03 , 1 07 , 1 09 , 1 1 3 , 1 2 7 ,
1 63 ,
23 3 , 239 , 24 1 ,
31 1 , 31 3, 31 7,
3 8 9 , 3 9 7 , 4 01 ,
4 6 3 , 46 7 , 4 7 9 ,
5 63 , 5 6 9 , 5 7 1 ,
6 43 ,
7 33 ,
823 ,
91 1 ,
641 ,
7 27 ,
82 1 ,
9 07 ,
,
1 06 3 ,
,
25 1 ,
33 1 ,
4 09 ,
487 ,
5 77,
647 , 65 3 ,
7 3 9 , 7 43 ,
82 7 , 829 ,
9 1 9 , 9 29 ,
1 06 9 ,
25 7 ,
3 37 ,
41 9,
49 1 ,
5 87 ,
65 9 ,
75 1 ,
839 ,
937 ,
1 08 7 ,
263 ,
3 47 ,
42 1 ,
49 9 ,
5 93 ,
66 1 ,
75 7 ,
85 3 ,
941 ,
1 09 1
,
2 6 9,
3 49 ,
43 1 ,
5 03 ,
5 9 9,
6 7 3,
761 ,
85 7 ,
947 ,
1 09 3 ,
.
Die Anzahl der Primzahlen beträgt :
bis
1 4
1 00 :
2 00 :
3 00 :
4 00 :
5 00 :
bis
bi s
25
46
62
78
95
5 000 :
6 69
1 0000 : 1 2 2 9
5 0000 : 5 1 3 3
1 00000 : 9 5 9 1
5 00000 z 4 1 5 3 7
9 00 2 1 5 4
1 1 00 1 1 8 4
Ein Gesetz g i e b t es nicht durch wel ches m an b e s tim
m e n könnte ob eine gegebene Zahl Primzahl ist oder nicht O ffen
3
bar können sich die Primzahlen wel che
5 sind nur a u f 1
7 9 endigen
Alle Primzahlen die > 3 sind in der Form 6 n + 1 vor
—
—
—
handen Z B
7
1
4 1 ;
.
,
.
,
,
,
,
,
.
,
,
-
.
.
.
.
An n ä her n d
is t d ie A n z a
hl
der
n
lg
n a
t
n
P r imzahle
—l
n
b is
z ur Zahl
41 :
,
5 22
76
.
Vi el f he M
ac
.
Zu beachten istt
,
s
,
ai s
,
lg
d a fs fo
olgende
A
r te
Z hle
d er
n
a
n
.
Formen Primzahle n sind :
2
[
2
3
[ 1
—
34 1
[2
99
n
‚a
a:
7:
97
—1 l
Die g e m e i n s a m e n M a fs e (gemeinsamen Teiler oder g e
m e i n s a m e n Divisoren ) von 1 2 und 1 8 sind 1
2 3 6 ; von 2 0 und
2 3 5
1 0; von 3 5 0 und 4 2 0: 1
2 5 7 1 0 1 4 35 70
3 0: 1
Da 1 ein M a fs j eder Zahl ist so m u fs 1 auch stets das g e
m e in s a m e M a fs von mehreren gegebenen Zahlen sein
Zwei verschiedene Viel fache einer dritten Zahl (z B 42 und
7 0 al s Viel fache von 7 ) haben selbstverstä ndlich diese dritte Z a hl
( 7 ) als gemeinsames M a fs
1 5
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
.
.
.
.
Das g r ö fs t e g e m e i n s a m e M a fs (der g r ö fs te gemein
same Divisor ) von 1 2 und 1 8 ist 6 (s Satz
von 2 0 und 3 0 : 1 0
von 3 5 0 und 4 2 0 : 7 0 Das g r ö fs te gemeinsame M a fs von 1 1 2
1 6 8 und 2 4 0 ist 8 denn es g i e bt keine g r ö fs e r e Zahl die ein M a fs
aller drei Zahlen w äre
l7
Z ahl en die a u fs e r 1 kein gemeinsames M a fs haben h e ifs e n
P r i m z a h l e n u n t e r s i c h oder r e l a t i v e P r i m z a h l e n z B 3 7
und 5 3 oder 2 3 und 3 0 od e r 2 5 und 6 3 Man sagt : 3 7 ist prim
“
“
zu 5 3
oder „ 3 7 und 5 3 sind prim zu einander
Von den r ela
t i v e n Primzahlen 2 3 und 3 0 ist 2 3 (nach Satz 8 ) fü r sich allein
betrachtet Pri mzahl also eine a b s o l u t e P r i m z a h l 3 0 Produkt
zahl Zahlen die ein g r ö fs e re s gemeinsames M a fs als 1 haben
h e i fs e n relativ zusammengesetzte Zahlen oder relative Produkt
zahlen z B 1 8 3 3
1 8
Die Viel fachen
von 1 2 sind 1 2 2 4 3 6 4 8 6 0 7 2 8 4 9 6 1 08 1 2 0
1 6
.
.
,
.
,
,
,
.
.
,
,
.
,
,
„
.
,
.
.
,
,
.
,
,
.
,
.
.
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
72 ,
9 0,
1 08 ,
1 8,
36 ,
5 4,
Es sind also , von 0 abgesehen , 3 6 , 7 2 , 1 08 , 1 4 4 , 1 8 0,
“
von 1 2 und 1 8 Unter diesen
m e i n s a m e V i e l fa c h e
,
1 8
k l e i n s t e g e m e i n s a m e V i e l fa c h e
D i vi du u s ) von 1 2 und 1 8
„
.
g
e
ist 3 6 das
(der kleinste gemeinsame
.
“
„
5
.
23
E i ige Eig
n
.
e n sc
h fte
a
n
Z hle
der
a
n
e tc
77
.
und 3 0 ist 6 0 das kleinste gemeinsame Viel fache ( 1 0
das g r ö fs te gemeinsame M a fs ) ; von 1 8 2 4 und 3 0 ist 3 6 0 das
kleinste gemeinsame Viel fache
1 9
Denkt man sich eine P r od uk tz a hl als Produkt von l auter
“
Primzahlen so ist j eder Faktor ein P r i m fa k t o r oder „ ein
“
“
facher Fakto r
oder „ kleinster F a ktor der gegebenen Zahl So
Es sind
ist z B
5 (oder
also 2 3 und 5 die Prim faktoren von 6 0
Von
20
,
.
.
„
,
.
-
.
.
.
,
-
=
2
oder
(
sind also 2 3 und
1 1
-
2
4
Die Pri m faktoren von
5 23
.
1 5 84
1 1
,
h
.
S ä tz e
A ll g e m ein e
E ini g e E i g en s c aft e n d e r Z a h le n
d e r T e il b ar k ei t
K e tt e n di v i s i on
.
.
.
.
ist ein Viel faches von
oder : „ 7 ist ein Ma i s von
oder : „ die Division
geht a u f (g ie b t als Quotient eine
“
ganze Zahl ohne
oder : 3 5 i s t d u r c h 7 t e i l b a r
Diese
Ausdrücke sind gleichbedeutend so d a fs fü r den einen der andere
gesetzt werden kann Ist z B 2 e i n M a fs von 1 4 so ist 1 4 durch
“
2 teilbar
(Unter „ teilbar versteht man „ ohne Rest
Eine Zahl die durch eine andere nicht teilbar lä fs t durch
diese letztere dividiert einen Rest (s 5 1 3 2 9 3 Zus )
l
.
„
35
„
,
.
,
.
.
,
.
.
,
,
Rest
3
7
.
.
B ei sp ie l:
Ist umgekehrt
,
,
g
H
2
,
.
,
,
Vollstä ndig :
.
.
1 7
:
3
=5 +
so sag t man auch da für :
ä
D durch
dividiert g i e b t den Rest r
2
Die Viel fachen von 2 sind : 2 0 2 o 1 2 2 2 3 2 4
allgemein 2 1 2 wenn n irgend eine g a n z e Zahl bedeutet Eine
Zahl die durch 2 teilbar ist ist nach dem 1 Satze ein Viel faches
von 2 also ist 2 72 durch 2 teilbar Eine durch 5 teilbare Zahl
kann daher 5 73 geschrieben werden
Z u s a t z Eine g e r a d e Zahl bezeichnet m an mit 2 73
3
Eine Zahl D die durch 2 dividiert irgend eine ganze
Zahl n als Quotient und 1 als Rest g ie b t führ t nach dem 1 Satze
zu der Gleichung :
D : 2 =a +
D a nun der Divisor m i t
d
,
.
-
-
.
,
°
,
,
,
.
,
,
.
,
,
.
.
.
.
.
,
.
,
dem Quotient
2
m u ltipli c i e r t
1
1
-
—
( + 2
n
Eine Zahl
daher 2 n
,
die durch
1
.
den D ividend
2
2
2
n
+1
i
b
t
e
,
g
(s
dividiert den Rest
so ist j ene Zahl
D
und
.
1
i
g e bt ,
schreibt man
5 23
78
.
Eine Zahl
tient und
D = D sr
n sc
n
die durch
D,
als Rest
5
E i i g e E i g e h fte
.
a
n
Z hle
de r
a
n
.
dividiert die ganze Zahl
7
g i e b t , führt
.
als Quo
n
zu
p
7
+ 5 sein d h eine Zahl die
n
Folglich
:
.
,
.
m u fs
,
durch 7 dividi ert den Rest 5 g i e bt kann 7 n + ö geschrieben
werden
Z u s a t z Eine u n g e r a d e Zah l bezeichnet man mit 2 u + 1
4
0 ist durch jede Zahl teilbar ; denn 0 ist ein Viel faches
Z B:
j eder Zahl (S 2 2
(ohne Rest)
5
Jede Zahl ist durch 1 teilbar ; denn 1 ist ein M a fs j eder
Zahl (5 2 2
Z B:
(ohne Rest )
6
Sind a und b ganze Zahlen so ist a b sowohl d urch a
a b
= b ( ohne Rest)
als auch durch b teilbar ; denn
,
.
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
a
sich daher eine Zahl als Produkt aus 2 andern Zahlen
darstellen so ist sie durch j eden dieser Faktoren teilbar
B e i sp i el:
Folglich ist a b + a c s o
wohl durch a als auch durch b + c teilbar
7
Ist 2 1 ein Viel faches von 3 so ist auch 2 1 1 3 ein Viel
Allgemein :
faches von 3
Ist a ein Viel faches von m so is t auch a b ein Viel faches
von m
B e w e i s Ist a d m so ist a b d m o b b d m folglich nach
dem 6 Satze ein Viel faches von m
Derselbe Satz kann zufolge des 1 Satzes auch ausgesprochen
werden :
Ist a dur ch m teilbar so ist auch a b durch m teilbar
Bezeichnet man ein Viel faches von 7 mit V7 ein Viel fac h es
von n mit V so ist also (siehe vorstehendes spe c i e lle Beispiel )
V3 d h das 1 3 fache eines Viel fache n von 3 ist wieder ein
1 3 V3
Viel faches von 3
8
Ist j ede von 2 Zahlen durch eine dritte teilbar so ist
auch die Summe oder Di fferenz j ener beiden durch die dritte
t eilbar
B e i s p i e l : 7 7 und 2 8 sind durch 7 teilbar folglich ist auch
o der 7 7
durch 7 teilbar
B e w e i s a m und b m sin d durch m teilbar Nun ist a m b m
—
(a j _b) m folglich d u rch m teilbar (s 6 Satz )
D erselbe Satz kann auch
ausgesprochen werden :
Die Summe oder Differenz zweier Viel fachen einer Zahl
ist auch ein Viel faches derselben Zahl
L ä fs t
,
.
.
-
.
,
.
,
.
.
,
,
.
.
.
,
.
,
”,
:
,
.
.
.
.
,
.
,
.
.
,
.
.
.
.
.
5
.
23
E i i g e E i g e h ft e
a
n sc
n
.
Z hle
de r
n
a
n
79
.
VI 1
1 1 1 ’ d i ein Viel faches von 1 1 ver
Es ist also V1 1
mehrt um ein beliebiges andere Viel fache von 1 1 g ie b t wieder
ein Viel faches von 1 1
'
.
.
,
.
Derselbe Satz allgemeiner :
Is t jede von 2 Zahlen durch eine dritte teilbar so ist auch
die Sum me o der Di fferenz von belie bigen Viel fachen j ener
beiden Zahlen durch die dritte tei lbar
B e i s p i e l : 3 9 und 2 4 sind durch 3 teilbar fo lglich mu fe
d u r c h 3 teilbar sein
auch 1 0 3 9 — 1 l o 2 4 d i 3 9 0
B e w e i s a m und b m sind durch m teilbar Ein Viel faches
der ersten Zahl sei a m u der zweiten b m r Nun ist
9
.
,
.
,
-
,
.
.
.
.
.
.
,
folglich
durch
teilbar
m
.
1 0
Zwei a u f einander folgende Zahlen der natürlichen Zahlen
reihe sind stets relative Primzahlen Z B 3 4 und 3 5
B e w e i s H ä tten sie a u fs e r 1 ein g r ö fs e r e s gemeinsames
Ma i s so m ü fs te dieses (nach Satz 8 ) auch e i n M a fs i hrer Diffe r enz
d 1 e i n M a fs von 1 se i n was unmögl i ch i s t
.
.
.
.
.
.
,
.
,
.
.
,
ll
Ist nur eine von 2 Zahlen durch eine dritte teilbar so
kann auch die Summe oder Di fferenz j ener beiden durch die dritte
nicht teilbar sein
B e i s p i e l : 7 8 durch 1 3 teilbar 3 0 nicht durch 1 3 teilbar
folglich ist
nicht durch 1 3 teilbar
B e w e i s Ist a durch m teilbar b nicht so kann man a = d m
setzen Dann ist a + b = d m + b Diese Zahl d u r c h m dividie r t
i
a +b
d m+b
dm
b
g e bt
i
m
m
772
m
m
.
,
.
,
,
.
.
,
,
.
.
.
b
Da nun b kein Viel faches von m ist so ist
keine ganze Zahl
m
a +b
b
folglich auch d
keine ganze Zahl
d i
,
m
,
.
.
,
.
m
Ist eine Zahl du r ch eine zweite der Quo tient durch eine
dritte Zahl der neue Quotient d u rch ein e vie r te Zahl teilbar so
m u fs auch d i e erste Zahl durch das Produkt der zweiten
dritten
u n d vierten Zahl te i lbar sein
B eispi el:
2 5 2 0 ist durch 4 teilbar ;
l2
.
,
,
,
,
.
63 0
21 0
3
7
Folglich ist 2 5 2 0 d u rch 4 3 7 d i 2 5 2 0 durch 8 4 teilbar
B e w e i s Die 4 Zahlen seien a b c d Ist nun a : b = m
m : c =n
n : d =p
so ist I a = b m II m = c n III a = d p
0
-
,
.
,
.
,
,
,
,
.
.
.
,
.
,
.
,
.
.
5 23
80
.
E i i g e E i g e h ft e
n sc
n
.
a
d er
n
Z hle
a
Setzt man in II fü r n : d p ( s III ) so entsteht
und setzt m an in I fü r m dieses Produkt e d p
Diese Zahl aber ist durch b c d teilbar
b c dp
.
n
m=
,
.
.
,
= c dp
so entsteht a
c
-
dp
‚
.
1 3
Ist eine Zahl durch eine zweite nicht teilbar so kann s i e
auch nicht durch ein Viel faches der zweiten teilbar sein
B e w e i s Ist a nicht durch b teilbar und setzt man das Viel
fache von b = b m so ist :
.
,
.
.
,
a
——: m
a
5
Da nun schon
nich t sein
g
keine ganze Zahl ist
,
so kann
es
auch
.
Um das g rö fs te gemeinsame M a fs zweier Zahlen zu
suchen dividiert man die g r ö fs e r e Zahl durch die kleinere den
jedesmaligen Divisor durch den Rest bis di e Division aufgeht
(s ogenannte fortgesetzte oder Ketten Division) Alsdann ist der letzte
Divisor das g r ö fs te gemeinsame M a fs
1 B ei spi el:
6 6 7 und 1 5 4 1
1 4
.
,
,
,
-
.
.
.
.
1 5 41
1 334
6 6 7 z 2 07
62 1
=3
1 84
46
0
Der letzte Divisor 2 3 ist das
Zahlen 6 6 7 und 1 5 4 1
2 B ei spie l:
1 3 l und 2 83
g
f
r ö s te
ge m ei n sam e M a fs der
.
.
.
283 z 1 3 1
2 62
1 26
21 t5
20
=2
=4
5
0
1 31
Der letzte Divisor 1 ist das g r ö fs te gemeinsame M a fs von
und 2 8 3 d h 1 3 1 und 2 8 3 sind relative Primzahlen
,
.
.
.
5 23
82
.
.
E i ige Ei g
en sc
n
h fte
a
der
n
Z hle
a
n
.
1 02 6 1
993
331
33 1
0
.
Der letzte Divisor 3 3 1 ist also das g rö fs te gemeinsame M a fs
B e w e i s Sind die Zahlen a m a un d a m r g e eben m das
f
s t e gem einsame M a fs beider Z ahlen
n
kein
Ma
s
der
zweiten
r
ö
,
g
r kein M a fs der ersten Zahl
so kann m an n und r durch Divi
sion e n tfernen imm er m u fs das g r ö fs te gemeinsame M a fs m noch
in den übrig bleibenden Quo t ienten a m und b n enthalten sein
.
.
,
,
,
,
.
1 6
Zwei te Ab kürz ung
Als Quotient nimm t man statt der n ä chst kleineren ganzen
Zahl die n ä c h s tg r ö fs e r e wenn das Produkt aus dem Quotient und
Divisor u m d e n D i v i d e n d vermindert einen noch k l e i n e r e n
Rest g i e b t o der wenn sich aus d em Rest leicht fremde M a fs e aus
scheiden lassen
1 B ei sp iel
3 3 7 9 u n d 9 7 01
Der Zahl 9 7 01 liegt 3 3 3 7 9 n ä her al s
folglich wird
m a n auch mit dem Quotient 3 einen kleinere n Rest erzielen und
daher die K e tte n divi si on schneller beendigen
.
.
,
'
,
.
.
.
.
0
.
1 01 3 7
:
43 6
(4 ausgeschieden : )
3 27
1 09
1 09
0
das g r ö fs te gemeinsame M a fs
B e w e i s Haben 9 7 01 und 3 3 7 9 ein g em eins a mes M a fs m
so hat nach dem 9 Satze nicht nur 9 7 01
dasselbe g e
m e i n s a m e M a fs m sondern auch 3 3 3 7 9 —9 7 01
2 B ei spiel
3 5 5 01 un d 4 6 88 3
1 09
.
.
,
.
0
,
.
.
.
.
:
4 6 88 3
3 5 5 01
3 5 5 01
1 1 3 82
(6
=1
ausgeschieden
1 897
1 65 3 1
1 7 07 3
(l)
(2 ausgeschiede n :)
5 23
.
E i i g e E ige h fte
n sc
n
.
a
n
de r
Z hle
a
n
83
.
1 89 7
0
.
das
27 1
r ö fs te
g
gem einsam e
N a fs
.
B e i s p i e l 4 7 05 3 und 7 8 7 03
O bgleich 2 4 7 05 3 der Zahl 7 8 7 03 n ä her liegt so nimmt man
doch n u r 1 als Quo tient da sich aus dem Rest leichter Ma i se
ausscheiden l a ssen
7 8 7 03 4 7 05 3 = 1
3
.
.
.
-
,
,
.
4 7 05 3
(1
3 1 65
633
0
5
3
en
tfe r n t z)
4 22
48 5
4 22
633
633
0
.
das
21 1
l7
r ö fs te
g
gemeinsame M a fs
.
D ri tte A bkürz ung
Erkennt man sogleich d a fs eine Zahl prim zu einer frü h e rn
se i n m u fs so setzt man die Division nicht fort we i l dann auch
d i e gegebenen Zahlen pri m zu e i nander se i n m üssen (s Satz 1 4
.
.
,
,
,
.
1
,
.
Im 2 B e is p des 1 4 Satzes kann die K e tte n div is i on m i t dem
Reste 5 beendet werden weil 2 1 und 5 relative Primzahlen sind
folglich auch 2 8 3 und 1 3 1
A n m e r k u n g Wie das g r ö fs te gemeinsam e M a fs a u f Grund
dieses und des folgenden Paragraphen immer in k ü r z e s t e r W
Ve i s e
ge funden wird lehrt 5 2 6
.
.
.
,
,
.
.
,
.
.
Um d a s g r ö fs te gemeinsam e M a fs dreier Zahlen zu finde n
sucht man dasselbe zun ä chst von 2 Zah le n und hierau f das g r ö fs te
gemeinsame N afs zwischen dem soeben ge fu ndenen und der dr i t
ten Zahl
1 8
.
,
.
B eispi el:
3 7 45 3 , 5 1 3 89 , 8 5 9 6 1
5 1 3 89
3 7 45 3
1 7 42
.
3 7 45 3
=1
( 8 ent fernt : )
(2
6
*
5 23
84
.
E i ige Eige h fte
n
.
n sc
3 7 45 3
3 48 4
a
87 1
:
n
der
Z hle
a
n
.
43
26 1 3
26 1 3
0
.
Zwischen 8 7 1 (dem g r ö fs te n gemeinsamen M a fs e von 3 7 4 5 3
der dritten Zahl 8 5 9 6 1 ist nun das gewünschte
u n d 5 1 3 8 9 ) und
M a fs zu suchen
85 9 6 1
.
7 839
75 71
7 839
:
87 1
67
2 68
e n tfe rn
(4
67
t z)
1 3
2 01
2 01
0
.
gemei
same
M
a fs der g egeb enen 3 Zahlen
n
g
1 9
1 2 0 ist sowohl durch 6 als auch durch 1 5 teilbar nicht
aber un b edingt durch
weil 6 und 1 5 n ich t Pri m zahlen
unter sich sind
1 2 0 ist durch 3 und durch 8 fo lglich a uch unbedingt durch
teilbar weil 3 prim zu 8 ist
A l l g e m e i n : Ist a durch b und durch c teilbar so ist a nur
dann unbedingt durch b c te i lbar wenn b prim zu c ist
B e w e i s D a 6 u n d 1 5 nicht Pri mzahlen unter sich sind so
haben sie ein g r ö fs e r e s gemeinsames Mal s als 1 es ist dies die
Zahl 3 D er Voraussetzung g e m ä fs ist nun 1 2 0 durch 6 = 2 3
und durch 1 5 = 5 3 d h durch 3 t eilbar Daraus folgt aber
2
o 5 3 d h durch
d a fs 1 2 0 auch durch 6 1 5
n icht
2 3 o5 o
2
3 teilbar sein m u fs
Sind die beiden Zahlen nun nicht 6 und 1 5 sondern 3 und 8
so ist das gemeinsame M a fs nur 1 und 1 2 0 ist dann nicht nur
d u rch
und
d h durch 1 sondern o ffenbar auch durch
d i durch
teilbar
20
E s g i e bt u n e n d l i c h v i e l e P ri m z a h l e n
B e w e i s Es seien die Primzahle n bis 9 7 bekannt Wird es
n un noch Primzahlen geben
die g r ö fs e r als 9 7 sind ?
M u ltipli c i e rt man die s ä m tlichen bekannten Primzahlen
2 o 3 o5 o 7 o 1 1
bis 9 7
mit einander so mag man eine Zahl a erhalte n Aber a + 1 ist
nach dem 1 0 Satze prim zu a folglich ist a + 1 durch keine
der in a e n thaltenen Zahlen d i d u r c h k e i n e der Primzahlen
r ö fs t e
das
67
.
.
,
,
.
,
.
,
,
.
,
,
.
'
,
o
.
o
c
,
.
.
,
o
.
,
.
.
.
,
,
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
,
.
,
.
,
,
.
’
.
5 24
.
T ei l b kei t b e ti m m t er Z hl
ar
.
s
a
en
85
.
bis 9 7 teilbar Mithin is t a + 1 entweder sel bst Prim
zahl oder d u rch eine Primzahl teilbar die g rö fs e r als 9 7 ist Folg
lich g ie bt es g r ö fs e re P r imzahlen als 9 7
2, 3,
.
,
,
,
.
.
5
.
1
24
T e il b ar k ei t
.
b e s ti m m t e r Z a h l e n
.
Eine Zahl ist durch 2 teilbar wenn es die l etzte Stelle
ist (wenn die letzte Stelle 0 2 4 6 oder
B e i s p i e l : 7 4 3 8 durch 2 teilbar weil 8 durch 2 teilbar
o 1 0 8 Jede Zahl aber lä fs t sich i n
Beweis
“
ein Viel faches v on 1 0 vermehrt um die Einer d i in VI O Einer
zerlegen S i n d n u n d i e E i n e r e i n V i e l fa c h e s v o n 2 so geht
vorstehende Summe mit Rücksicht darau f d a fs ein V1 0 auch ein
—
=
V2 ist
V
V
über in I’
s
u
d
h
die
Zahl
ist
23
8
5
(
,
„
2
d ur c h 2 teilbar
2
Eine Zahl ist durch 4 8 1 6 3 2
teilbar
wenn resp die
2 3
4
5
letzten Stellen
durch
teilbar sind
4 8 1 6 32
B eisp i ele:
47 9 2 4 ist durch 4 teilbar weil es 2 4 ist ;
.
,
,
,
,
,
.
.
.
,
.
.
.
,
,
,
.
,
.
.
.
.
.
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
3 8 1 9 7 6 40
7 3 0000
6 40
0000 , d
8
1 6
i
.
.
0
durch
1 6
teilbar ist
B eweis
Da das Viel fache von 1 00
stets auch ein V4 ist so geht wenn die letzten 2 Stellen durch
V4 also durch 4 teilbar
4 teilbar sind die Zahl über in 1 7 4 + V4
V8
3 8 1 9 7 6 40
6 40 u s w
6 40
Andere Regeln fü r die Teilbarkeit durch 4 8 1 6
3
I Man vergleiche die vo rl etzte Stell e der Z ahl mit der H äl fte
der letzten Stelle Sind beide gerade oder beide ungerade so ist
die Zahl d u rch 4 teilbar
B e i s p i e l : 4 7 47 6 Die vorletzte Stelle 7 ist ungerade die
E
H ä l fte der letzten
3 auch ungerade folglich ist diese Zahl
.
.
,
,
:
.
,
,
.
.
,
.
.
,
,
.
,
.
.
.
,
:
,
2
d urch 4 teil bar
B e w e i s Die Zahl m ag
.
.
l0z
z
+ gel ten (s
=2 z
e
'
folglich
,
5
durch
.
5
Zehner
Sind nun
.
so ist
4
z
teilbar
.
z
= 4 c und
'
c
Sind
d
un d
1 02
e
6
5
Einer habe n
gerade
2
also
,
un d
zwar
+ c geht über in
und — ungerade und zwar
e
z
un
5 24
86
.
T ei l b rkei t be t i m m ter Z hle
a
s
a
.
n
.
e
-
ä
= 4 c + 2 und
’
so ist
c
folglich
l 0z
+ e geht über in :
durch 4 teilbar
II Eine Zahl ist durch 8 teilbar wenn die drittletzte Stelle
und der vierte Teil der beiden letzten Stellen zugleich gerade o der
zugleich u n gerade sind
B e i s p i e l : 9 8 7 6 3 2 ist d u rch 8 teilbar weil sowohl 6 als
.
,
.
.
,
auch
4
gerade ist
a
.
III Eine Zahl ist durch 1 6 teilbar wenn die viertletzte Stelle
u n d der achte Teil der beiden letzten Stellen zugleich gerade oder
zugleich ungerade sind
E in e
A n m e r k u n g Na c h st ehe n d e R e g e ln s i n d w e n i g e r pr a k t i s c h
Z ahl i s t d ur c h 4 t e i l b ar wen n d i e S u mm e a u s d e r le tzt en S t el l e u n d d e m
D op p el t en d e r v orle tzt e n d u r c h 4 t ei l b a r i st Z B 9 3 87 6 d en n 6 2
i s t d ur c h 4 t e i l b a r
E i n e Z ahl i s t d ur c h 8 t e i l b a r we n n di e S umm e a u s d e r le tzt en S t el l e
d e m I oppe lt e n d e r v or le tzt e n u n d d e m Vi e r fa c h e n d e r d r i tt le tzt e n d u r c h
ar i s t
8 t e i llg
Eine Zahl ist durch 5 teilbar wenn es die letzte Stelle
4
ist (wenn also die letzte Stelle 0 oder 5 ist)
B e i s p i e l 7 1 9 2 3 5 ist durch 5 teilbar weil sich die Zahl a u f
5 endigt
V5 ,
B e w e i s 7 1 9 2 3 o 1 0 5 = V1 0 Einer Sind die Einer
V5
V5 also durch 5 teilbar
so wird die Zahl VI O V5
V5
,
.
.
:
.
,
.
.
.
.
,
,
.
,
.
.
,
.
.
.
.
:
:
.
Eine Zahl ist durch 2 5 teilbar wenn es die z w ei letzten
Stellen sind (wenn sich die Zahl also a u f 00 2 5 5 0 oder 7 5
e ndigt )
B e i s pi e l 7 9 2 7 5 durch 2 5 teilbar weil die beiden letzten
Stellen 7 5 durch 2 5 teilbar sind
1 00 +7 5 = V1 00 + 7 5 = V2 5 + 7 5 u s w
B eweis
2 Re ge l
Eine Zahl ist durch 2 5 teil b ar wenn das Doppelte
der Zehner um den fünften Teil der Einer verm ehrt eine Zahl
i
5
t
die
durch
teilbar ist
e
b
g
5
.
,
,
,
.
.
,
.
.
.
.
.
.
,
.
.
,
B eispiel:
5
.
1 1 9 67 5
.
Hier ist
teilbar folglich auch die ganze Zahl
B eweis
,
.
1 02
+e
25
durch
2
5
.
2z
e
+5
5
5 24
.
T ei l b rkei t b e t i m m ter Z hle
a
.
a
s
n
87
.
Eine Zahl ist d u r c h 1 2 5 teilbar wenn es die 3 letzten
Stellen sind (wenn sich also die Zahl a u f 000 1 2 5 2 5 0 3 7 5 5 00
6 2 5 7 5 0 8 7 5 endigt )
B e i s p i e l : 3 4 4 1 8 7 5 ist wegen 8 7 5 durch 1 2 5 teilbar
B e w e i s 3 44 1 1 000 8 7 5 = V1 000 + 8 7 5 u s w
2 Regel
Eine Zahl ist durch 1 2 5 teilbar wenn das Vier
fache der Hunderte um den fün fundzwanzigsten Teil der beiden
letzten Stellen vermehrt eine Zahl g i e b t die durch 5 teilbar ist
6
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
7
Eine Zahl is t durch
wenn resp die
d urch
.
625
4,
.
8
n un
g
3
625
,
teilbar ,
letzten Stellen
teilbar sind
3 1 25 ,
5,
3 1 25 ,
.
Q u e r s u m m e ist die Sum m e der Einheiten aller Ord
einer Zahl Die Quersumme von 1 88 3 ist :
.
en
9
,
.
.
Eine Zahl ist durch
teilbar ist
B e w e i s Es ist
.
3
teilbar wenn ihre Q u ersu m me
d ur c h
,
.
.
Nun
ist
z
.
B
8 67
.
=8
o
1 00
+6
o
1 0+7
8
D a nun der erste Teil s tets ein V3 und
der zweite Teil die Quersu m me ist so
wird also 86 7 überhaupt aber j ede Zahl
V3
Quersumme
Ist nun die Quersum me (hier
durch 3 teil
folg
V3
V3 ( s 5 2 3
bar also ein V3 so ist die Zahl
V3
lich durch 3 teilbar
A n m e r k u n g Anstatt sä mtliche Einheiten zu addieren ka n n
man kürzer die Viel fachen von 3 ausscheiden Es s e i z B
,
,
.
:
.
,
.
,
.
,
.
.
.
.
7 4 83 5 9 1 0 7 26 42 1
gegeben
.
Man scheide
9,
3,
7 4 83 5 9 1 0 7 26 42 1
aus :
6,
.
Da
übrig bleibt und diese Zahl nicht durch
ist so ist auch die ganze Zahl nicht du rch 3 teilbar
3
teilbar
.
,
1 0
.
d urch 9
Eine Zahl ist durch
teilbar ist
.
9
teilbar
,
wenn ihre Quersum m e
5 24
88
.
T ei l b rkei t b e tim m ter Z hle
s
a
.
a
n
.
B e i s p i e l e : 4 03 02 ist durch 9 (und 3 ) teilbar weil 4 3 2
9 durch 9 ( un d 3 ) teilb a r ist
47 8 2 ist durch 3
aber nicht durch 9 teilbar weil die Quer
summe 4 7 8 2 = 2 1 durch 3 aber nicht durch 9 teilbar ist
B e w e i s Es ist
,
.
,
,
,
.
.
u s w
0 + 2 geht dami t
.
Die Zahl
47 5 2 ,
ü be r in
4
d i
.
.
4
1 000
0
7
0
5
1 00
1
.
.
,
.
(4
D a der erste Teil stets ein V9 der zweite Teil a b er die
Quersumme ist so wird 4 7 5 2 überhaupt aber j ed e Zahl
Quersumm e
V9
(Y)
Ist nun die Quersumme durch 9 teilbar also ein V9 so ist
die Zahl
d h sie ist durch 9 tei lb a r
1
Z u s a t z Die Gle i c h u n g Y (sieh e viertletz te Zeile) ist also :
V9
Jede Zahl
Quersumme der Zahl
Da nun die Summe um den einen Summ and vermindert den
andern Summand geben m u fs (s 5 8
so ist :
Jede Zahl
ihre Quersumme
V9 ; oder :
Jede Zahl um ihre Quersumme vermindert g i e b t einen
Rest der durch 9 teilbar ist
B e i s p i e l : 835 7 2
Dieser Rest
835 47
( Quersumme 2 5 )
m u fs durch 9 teilbar sein oder die Quersumm e dieses Restes m u fs
ein Viel faches von 9 sein (hier 8 3 5
4
7
A nm erkun g
W ä re e i n e Z i ffer d i e s e s R e s t e s u n b ek an n t z B n u r
di e Z iffer n 8 3 4 7 d e s s e lb e b ek an n t s o w ü r d e m a d i e fehle n d e Z i ffer 5
l e i c h t erre c h n e n k ö n n en d a v on 8 3 4 7 2 2 b i s z u m n ä c h s t e n V
d i b i s 2 7 n oc h 5 fehl t
2 Z u s atz
Jede Zahl u m eine a ndere aus den selben Zi ffern
bestehende Zahl vermindert g ie bt einen Rest der durch 9 teilbar ist
B eispiel:
5 83 1
3 1 8 5 subtrahiert
= 2 6 4 6 ist durch 9 teilbar
B e w e i s 5 83 1
3 1 8 5 ist nach dem vorstehenden Satze :
= (V
V
Quers
der
1
Zahl
Quers
der
2
Zahl
)
(
)
9
9
V9
V9
Quers der 1 Zahl
Quers der 2 Zahl
V9
Quers der 1 Zahl
Quers der 2 Zahl
,
,
,
,
.
,
.
.
.
.
.
,
.
,
.
.
,
.
,
,
.
n
,
.
,
9,
.
.
,
.
.
,
,
.
.
.
.
2
.
n
,
,
.
.
.
.
c
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 24
90
.
7
.
T ei lb rkei t b e ti m m t er Z hle
a
.
s
+ 8 ( Vu
V +3 + 9
V„
1 1
a
Vn
-
9
n
+6
+6
Vn
+ 8 VI I
—
—
—
4
6
3
9
7
8
+ + +
Vn
.
Ist nun d ie Di fferenz der beiden Pa r enthesen d i die Di ffe
renz aus der Sum me der ungeradzahligen und der Summe der
geradzahligen Stellen durch 1 1 teilbar also ein V1 1 so ist die g e
V1 1 + V1 1 = Vw also durch 1 1 teilbar
gebene Zahl
Da hier di e zweite Parenthese g r ö fs e r ist als die erste so
denke man sich :
,
,
.
.
,
.
,
VI I
(s g
.
V1 1
1 2
V1 1
V1 1
z
.
°
D urch die bisher angegeb ene n Regeln läfs t sich schneller
als durch die vollständige Division bestimmen ob eine gegebene
Zahl durch die Potenzen von 2 und 5 ( durch 2 4 8
5 25
durch 3 9 und 1 1 teilbar sei Für andere Zahlen sind
1 25
di e vorhandenen Regeln so zusammengesetzt d a fs die vollst ä ndige
Division gewöhnlich schneller z u m Ziele führt
Für die T e i l b a r k e i t d u r c h 7 läfst sich z B folgendes Ver
fahren au fstellen :
Man bilde von den Einern an Klassen von j e 3 Stellen mul
tipli c i e r e j ede erste (niedr igste ) Stelle der s ä mtlichen Klassen mit 1
die zweite Stelle mit 3 die dritte Stelle mit 2 und addiere die
Produkte Ist die D i fferenz der Summe der ungeradzahligen Klas
sen (der
Klasse) un d der Summe der geradzahligen
0 7 1 4
Klassen durch 7 teilbar ( also
so ist die ganze
Zahl d urch 7 teilbar
B ei sp i el:
.
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
.
.
,
,
,
,
.
,
,
,
.
9
mult
mit
4
.
3
1
6
3
2
3
1
7
1
2
1
2
1 8
9
3
D a diese Di fferenz durch
gebene Zahl
Beweis
7
6
5
2
3
1
4
1 8
1
+
3
2
o
teilbar ist so ist es auch die
,
ge
.
.
1 000 z 7
=1
V7
43 7
:
+2
—1 = V — 1
,
.
( 1 000
:
würde die unbe quemere Zahl
1 42 7
o
6
+6
geben )
.
T l b rkei t
=1
1 0000 : 7
.
o
a
—3
—2
n
91
.
,
,
o 7 +1 u s w
gegeben so ist :
5 8 3 4 2 69
.
42 9 7
t er Z hl e
1 42 8 5 7
1 000000 7
Ist nun z B
t
b es imm
a
ei
.
.
.
,
— 1)
—3
8 2
-
-
-
—4
3
Die hier a u f V7 folgenden Pro dukte aber entsprechen der
oben gegeb enen Regel und bilden dieselben ein V7 so mu i s o ffen
bar die Zahl durch 7 teilbar sein
A n m e r k u n g Um die gewünschten Reste (hier 1 3
stets am ein fachsten zu erhalten dividiere man die Zahl welche
aus 1 mit darau ffolgen den Nullen besteht durch die Zahl fü r
w elche eine Regel der Teilbarkeit ges u cht wird
B ei spiel:
,
.
,
.
,
,
,
,
,
.
R6 5 1
6
1
3
2
6
5
4
1
2
3
Quotient : 0 1 4 2 8 5 7 1 4
Die wiederkehrenden Reste sind also 1 3 2 6 4 5 Ist
ab er ein Rest r ö fs e r al s die H ä l fte des Divisor so nimmt m a n
statt desselben gu b t r a h e n d e n die dadurch entstehen d a fs man
den Divisor um j enen Rest vermindert Hi er sind 6 4 5 g r ö fs e r
.
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
a ls
g
daher sind dafür die S u btrahende n
,
7
,
7
7
zu nehmen (vergl die abzuziehenden Produkte in Z ! )
T eil b ark ei t d ur c h 1 3
Reste 1 1 0 9 1 2 3 4 1 1 0 9
.
l3
.
.
1
00 0 00 0 0 0
1 3
Quotient : 0 0 7 6 9 2 3 0 7
Die Reste sind hier 1 1 0 9 1 2 3 4 Für die g r ö fs e re n
also u n b e q u e m e r n Zahlen 1 0 9 1 2 nimm t m a n die S u b t r a h e n
1 3
den 1 3
1 3
W ä re nun zu unter
suchen ob 7 005 05 durch 1 3 teilb a r ist so h ä tte m a n in folgender
We i se zu verfahren :
7
O 0 5 0 5
'
.
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
1
4
3
1
4
l
28
4
3
+
0
S u b t r ahe
= 20
}
n
den
D l m= 1 3
o
D a diese Di fferenz durch 1 3 teilbar so ist es die ganze Zahl
Eine ein fachere Regel der Teilbarkeit fü r die Zahlen
und 1 3 die zugleich fü r 1 1 gilt ist die folgende :
,
,
,
.
7
5 24
92
.
Tei l b rk ei t b e ti mm ter Z hle
a
.
s
a
n
.
Man teile die Zahl von den Einern an in Klassen von le 3
Zi ffern Ist die Di fferenz aus der Summ e der
5
Kla ss e
und der Summe der
Kl asse durch 7 1 1 oder 1 3
6
teilbar so ist es die ganze Zahl
1 B ei spi el
'
.
.
,
.
,
.
.
5 1 5 0 9 04 7 03 ;
7 03
1 50
9 04
5
85 3
9 09
ist durch 7 teilbar
gegebene Zahl dur ch 7 teilbar
B eispiel
9 09
folglich
,
ist auch die
.
2
.
.
3 8 2 01 7 46 6 09 ;
81 0
gegebene Zahl
B eispiel
8 21
ist durch
6 09
2 01
7 46
38
81 0
7 84
teilbar
1 3
,
folglich
auch die
,
folglich
auch die
.
3
.
.
9 1 5 6;
1 56
8
1 64
ist durch
21 9
teilbar
1 1
gegebene Zahl
1
B e w e i s 1 000 = 1 001
D a 1 001 ein V7 aber auch ein
.
.
.
S O l St :
Eben so
und ein
V1 3
,
1
7, 1 1
Millionen
1 000
Nun ist z B
.
“
V7
5 Ta u s e n dm ill
1 50
.
1
In
,
1
+
1 3
1
1 3
:
u
.
s w
.
.
(s oben ) :
5 1 5 09 047 03
.
,
1 001
1
0
z
denn
,
.
1
9999 99
9 9 9 1 001
1 000000
V1 1
.
Mill
9 04
.
)
1 1
.
Taus
.
7 03
1 1
1 3
,
1
1 3
)
7 03
V7
V7
V7
,
1 1
,
1 3
(1
7 03 )
50
,
,
1 1
,
9 04)
1 3
o der auch :
(5
(1
50
fol
Ist nun die hier in den beiden letzten Zeilen a u f
gende Di fferenz d i die in der oben ausgesprochenen Regel ent
h a lte n e Di fferenz der Klassen durch 7 1 1 oder 1 3 teilbar so ist
es auch die gegebene Zahl
A n m e r k u n g Für 1 1 ist selbstverstä ndlich di e Regel im
1 1 Satze vorzuziehen
.
,
.
,
.
.
.
.
,
,
5 24
94
.
T ei l b rkei t b e ti m m ter Z h le
a
.
s
n
a
.
T eil b arkei t durch 1 7
Man bilde aus den Einern und Zehnern die 1 Klasse aus
den beiden folgenden Stellen die 2 Kl asse aus den übrigen höhe
ren Stellen die 3 Klasse suche alsdann die Di fferenz aus der um
das Vierfache der 3 Klasse vermehrten 1 Klasse und dem D op
Ist diese Differenz durch 1 7 teilbar so ist
pe lte n der 2 Klasse
es die ganze Zahl
B e i s p i e l : 2 5 462 6 ;
1 Klasse = 2 6
= 1 00
D as Vierfache der 3
1 7
.
.
.
.
,
,
,
.
.
.
.
.
,
.
.
.
Das Doppelte der
2
1 26
92
.
34
Diese Differenz ist durch 1 7 teilbar
bene Zahl
B eweis
2
1 00 = 6 1 7 — 2 = V1 —
s u b tr
.
folglich
,
.
auch die gege
.
.
o
.
7
u s w
.
1 8
.
.
eine gegebene Zahl durch e i nen bestimmten Divisor
nicht teilbar ist erkennt man oft augen b licklich d aran d a fs e i n
Teil jener Zahl d ur c h diesen Divisor nicht teilbar ist alle übrigen
Teile aber Viel fache dieses Div isor sind
B e i s p i e l : 1 9 07 06 3 ist nicht durch 7 teilbar weil 7 und 6 3
durch 7 teilbar 1 9 aber nicht durch 7 teilbar ist
d i e M a fs e
B eweis
Da
n ur _
2 5 und 1 9 enth ä lt so ist vorstehende Summe nach 5 2 3 1 1
nicht durch 7 teilbar
1 9
Verwandelt man die gegebene Zahl d eren Divisor g e
funden werden soll in die Zahl eines andern Zahlensystems (siehe
so läfs t sich oft leicht dieser gesuchte Divisor erkennen
5
B e i s p i e l 1 4 8 7 6 5 9 Diese Zahl in eine Zahl des Sechser
Diese Zahl ist durch die hexa
systems ver w andelt = 5 1 5 1 5 1 5 1
dische Zahl 5 1 d i dur ch die dekadische Zahl 5
teilbar
Einfache Regeln der Teilbarkeit ergeb en sich noch fü r
20
die P r od uk tz a h le n die durch Multiplication von 2 4 8
5 25 1 25
3 9 1 1 entstanden sind wenn die Faktoren
Primzahlen unter sich sind
So ist j ede Zahl durch 6 (= 2 3 ) teilbar wenn sie durch die
rel ativen Primzahlen 2 un d 3 teilbar ist d h wenn die letzte Stelle
eine gerade und die Quersumme durch 3 t eilbar ist
Eine Zahl ist durch 7 2
9 ) teilbar we n n sie durch 8
und durch 9 teilbar ist mithin wenn die 3 letzten Stellen durch
8 u n d die Quersu m m e durch 9 teilbar ist
.
D a fs
,
,
,
.
,
.
,
.
,
,
,
.
.
.
,
,
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
,
,
,
,
,
,
,
o
,
,
.
.
.
-
,
,
,
.
,
,
5 24
.
T e i l b kei t b e t im m ter Z hle
s
ar
.
a
n
95
.
Eine Zahl ist durch 5 5
5 1 1 ) teilbar we n n die letzte Stelle
0 oder 5 und die Zahl nach dem 1 1 Satze d u rch 1 1 teilbar ist
1 Z u satz
Um daher zu unte rs uchen ob eine Zahl durch
9 9 teilbar ist bildet man die S umme der Einhei ten der
Stelle und die Summe der Einheiten der
Stelle Ist die Summe beider Summen durch 9 die Di fferenz
beider Summen d u r c h 1 1 teilbar so ist die gegeb ene Zahl durch
9 9 teilbar
(Ein facher als durch Satz 1 5 a )
2 Zusatz
1 0 1 00 1 000
( die Potenzen von 1 0) zer
legt m an nicht in die Faktoren 2 und 5 Vielmehr : Eine Zahl
ist d ur ch 1 0 1 00 1 000
teilbar wen n sie sich a u f 0 00
000
endigt
3 Z usatz
Eine runde Zahl (5 2 2
die n ich t selbst P o
ten z von 1 0 ist zerlegt man in ein Produkt von dem der eine
Faktor eine P otenz von 1 0 ist dividiert alsdann die gegebene Zahl
durch diese Potenz um hierau f zu untersuchen ob der übrig
bleibende Quotient durch die übrigen Faktoren teilbar ist
3)
B e i s p i e l Ist die Zahl 4 1 6 1 2 0000 durch 2 4 00
teilbar ? Zuerst ist durch 1 00 zu dividieren = 4 1 6 1 2 0 Ist dieser
Quotient durch 8 und durch 3 teilbar so ist auch die gegebene
Zahl durch 2 4 00 teilbar
,
.
.
.
.
,
,
.
,
,
.
.
,
.
.
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
.
.
.
.
,
,
,
,
,
,
.
-
.
.
,
.
21
Um zu untersuchen ob eine gegebene Zahl P r i m z a h l
ist oder nicht untersucht man zun ä chst nach den Regel n der Teil
Ist dies
b a rk e i t ob 2 5 3 und 1 1 in derselben enthal ten sind
nicht der Fall so dividiert man die Zahl der Reih e nach durch
die noch fehlenden P r imzahlen 7 1 3 1 7 1 9 2 3 u s w Nur
P r i m z a h l e n sind als D ivisoren zu nehm en denn geh t 2 nicht
a uf
s o kann auch 4 6 8
nicht au fgehen (s 5 2 3
Ferner sind nur di e Primz a hl en als Divisoren zu nehmen die mit
sich selbst m u lti pli c i e r t ein Produkt geben wel ches kleiner als die
zu untersuchende Zahl ist Mit a nderen W
Vor te n : D er höchste Di
visor darf n icht g r ö fs e r als die Quadratwurzel aus der gegebenen
Zahl sein
Soll z B untersucht werden ob 8 8 7 eine Primzahl ist so
findet man zun ä chst d a fs die Primzah len 2 5 3 1 1 nicht ent
halten sind ( nach 5 2 4 1
Nun d ividiert man 8 8 7 der Reihe
n ach durch 7 1 3 1 7 1 9 2 3 2 9 nicht aber durch höhere Prim
zahlen weil schon 3 1 3 1 = 9 6 1 g r ö fs e r a ls 8 8 7 ist und da keiner
dieser Di vi soren au fging so ist 8 8 7 Primzahl
Noch ist zu zeigen warum der D ivisor nicht g rö fs e r als die
Quadratwurzel zu nehmen ist
D a also an n ä hernd
V8 8 7 ist nahe 3 0; denn
so m u fs (ann ä hernd ) 8 8 7
sein (5 1 3
30
Ist aber der Divisor g r ö fs e r a ls 3 0 (allgemein : g r ö fs e r als die Qua
d r a t w u rz e l) so mu fe nach
1 Zus
der Quotie n t kleiner al s
.
,
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
.
,
,
,
,
.
,
.
,
,
,
.
.
.
.
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
o
,
,
.
,
,
.
.
,
.
.
,
,
5 25
96
.
Zerl g e ei er Z hl
e
.
n
n
i n Fa
a
3 0 ( kleiner als
bis 3 0 versucht
kt re
o
n
.
die Quadratwurzel ) sein Sind nun alle Divisoren
worden und w ä re keiner derselben aufgegange n
so kann auch kein Divisor au fgehen der g r ö fs e r als 3 0 ist Denn
ginge
(4 1 > 3 0) a u f so m ü fs te der Quo tient kleiner als
Er sei z B 1 7 Dann aber m ü fs te auch umgekehrt
3 0 sein
sein
d h es m ü fs te schon einer der
Di visoren ( l 7 ) die k l e i n e r als die Quadratwurzel 3 0 sind a u f
gegangen sein
.
,
.
,
,
.
.
.
.
.
.
,
,
.
5 25
.
1
.
Z e r le g e n
i r
Z a hl i n F a k t or e n
e ne
.
Um eine Zahl in Faktoren zu zerlegen von welche n der
eine entweder gegeben oder nach 5 2 4 ge funden worden ist hat
m an die gegebene Zahl durch diesen Faktor zu di vidieren ; der
Quotient ist alsdann der andere Fakto r
B e i s p i e l : 5 3 7 gegeben Nach den Regeln der Teilbarkeit
ist der eine Faktor 3 denn die Quersumme ist 1 5 Folglich ist
der andere Faktor
Daher 5 3 7 = 3 1 7 9
.
,
,
.
.
.
.
,
o
.
B eweis
2
Nach
.
5 1 3, 1 1
.
5
ist
7
ä
'
.
Soll eine Zahl in P r i m f a k t o r e n aufgelöst werden so
ze r legt man dieselbe zun ä chst in 2 Faktoren u n d hierau f j eden
Faktor wieder bis sä mtliche Faktoren Primzah len sind
1 B ei spiel:
o der
2 B eispiel:
-1 0 = 5
1 7 2 5 = 2 o 5 o 5 o 1 7 oder
.
,
.
,
.
.
-
o
=2
3
.
B eispiel:
-
3
1 0 1 0
o
=5
—
o
5
0
2
1 7
.
5 39 2 5
2 2 5 5 -5
0
'
o
o
-
o
.
o 2 o 5 = 5 o 1 1 o 49 o 2
‘
o
7
o
7
-
-
5
o
2 5
o
oder
1 1
Um sä mtliche Zahlen zu bestimmen durch wel che eine
gegebene Zahl teilbar ist zerlege man sie zunä chst in ihre Prim
faktoren
B e i s pi e l :
3 60 = 3 ö 1 0 = 4 9 2 5 = 2 2 3 3 2 5 = 2 2
3
2
1
oder = 2 o 3 o 5
Hierau f bil de man so viel e Faktoren als verschiedene Prim
zahlen vorhanden sind wobei j eder Faktor eine Summe von Glie
dern ist von welchen das erste die Z ahl 1 und die folgenden
Gl ieder die s ä mtlichen vorh andenen Potenzen der betre ffenden
Pri m zahlen in au fsteigender Ordnung sind Für 3 6 0 also :
2
2 +
oder
.
,
,
.
o
o
o
o
o
o
-
o
e
.
,
,
,
.
o
5 25
98
.
.
Z r l g n in r Z h l in
e
e
e
e
e
a
Fak
t or n
e
.
Hat man z B fü r 2 40 die Zahlen 1 2 3 4 5 6
gefunden also die Zahlen welche kleiner als V2 40 (zwischen
und 1 6 ) sind so sind die fehlenden :
.
,
.
,
,
,
,
,
,
,
1 5
1 5
,
2 40
2 40
2 40
2 40
2 40
2 40
2 40
2
o
der :
9
2 40
9
1
.
2 40
2 40
1 6 , 2 0, 2 4 , 3 0, 4 0, 4 8 , 60, 8 0 , 1 2 0, 2 4 0
.
2
Zusatz
.
D a in dem Produkte
.
fü r 3 60:
1
der 1 Faktor aus 3
4 Gliedern der 2 Faktor aus 2
1
3
Gliedern besteht so erhält man durch M u ltiplication dieser beiden
Faktoren 1 2 Zahlen weil j edes der 3 Glieder des 2 Faktors m it
j edem der 4 Glieder des 1 Fakt ors m u ltipli c i e r t wird M u ltipli c i e rt
man diese 1 2 Zahlen mit j edem der bei den Glieder des 3 Faktors
so ergeben sich 24 Zahlen welche die s ä m t l i c h e n in
Das Produkt :
3 6 0 au fgehenden Zahlen vorstellen
3
1
2 ) (1
(1
(1 +5 ) fuhrt also zu
.
.
,
,
.
,
.
.
.
,
.
’
Ist allgemein die gegebene Zahl z = a b c d
wo a
m
b c d
die in z enthaltenen Primzahlen a also die in z
enthaltene h ö c h s t e Potenz der niedrigsten Primzahl a b die
höchste Potenz der nächst folgenden Primzahl u s w so würden
sich die gesuchten Zahlen in gleicher Weise aus dem Produkte
m
”
p
,
,
,
,
"
,
.
.
.
,
'
+d )
erg eben
D a nun diese Faktoren aus
.
+1
+1
Gliedern bestehen so m u fs die A n z a h l aller in der gegebenen
m
”
=
Zahl z a b c d
au fgehenden Zahlen
1 ) (1 9
1 ) (r + 1 ) sein
(m + 1 ) (n
2 B eispiel
Die Anzahl der Zahlen welche in
m
+1
n
r
,
r
n
.
.
.
,
3
5
5
c
3
.
1 1
l
au fgehen beträgt :
,
(5 + 1 )
3
.
B eisp i el
Die Anzahl der Zahlen welche in
,
.
aufgehen beträgt :
,
nämlich :
1
,
5
,
25
,
7, 1 1
,
35
,
1 75
,
55
,
27 5
,
7 7, 3 85
,
1 9 25
.
5 26
.
ä
.
26
.
Da s A
u
f h n
s
uc
Da s A ufsuc h en
.
de s g
e
d es
g
r ofs t e n
m in m n
e
sa
e
e
M a fs e s
99
.
g r ö fs t e n g e m e i nsa m en M a ls e s
.
D as in ä 2 3 1 4 —1 7 gelehrte Verfahren das g r ö fs te gemein
same M a fs zu finden kann durch die Regeln der Teil barkei t ( ä 2 4 )
bedeutend ve r ein facht werden Das Bestimmen eines sol chen Ma rses
mag daher nun erst erschöp fend gelehrt werden
I Sind in den beiden gegebenen Zahlen gemeinsame M a fs e
nach den Regeln der Teilbarkeit ersichtlich s o dividiert man die
gegebenen Zahlen durch m ö g l i c h s t g r o fs e g e m e i n s a m e M a fs e
Erkennt man die ü brig ble i be n de n Q u otienten als relative Prim
zah en s o ist das Pro dukt der Divisoren das g r ö fs te gemeinsam e
Ma s
Es sei z B von 7 6 8 und 8 6 4 das g r ö fs te gemeinsame M a fs
zu suchen
D a man in b eiden Zahl en so fort 4 und 3 als Malse erkennt
so dividiert man durch 1 2 Die entstehenden Quotienten 6 4 und
7 2 las se n dann noch 8 erkennen
aher :
.
,
,
,
.
.
.
.
,
.
l
,
.
.
.
.
,
.
.
1 2
:
:8
7 68
86 4
9
.
Diese Quotienten 8 un d 9 sind relative Primzahlen folglich
ist das Pro dukt der Divisoren d i
das g r ö fs te gemein
same M a fs
2 B eispiel
7 1 5 und 1 2 6 5
,
,
.
.
.
.
.
.
:
5
:
1 1
V
71 5
1 2 65
1 3
23
1 43
25 3
relative Primzahlen
,
das g r ö fs t e gemeinsame Mals
II Sind nach den Regeln der Teilbarkeit keine M a fs e e r
sichtlich so ist die K e tte n di vis i on anzuwenden wobei m an die i n
—
1
5
1 7 gegebenen Vorte i le anwendet
23
ä
1 B eispi el
2 6 8 0001 und 3 9 7 5 7 9 3
folglich
.
.
,
,
.
.
,
.
.
.
3 9 7 5 7 9 3 : 2 6 8 0001
2 6 8 0001
'
1 29 5 7 9 2
1 61 974
8 09 8 7
2 6 8 0001
2 429 6 1
=1
(8 ent fernt : )
(noch 2 entfernt : )
3
2 5 03 9 1
2 429 6 1
27
43 0
(1
0
ausgeschieden :)
5 26
1 00
.
.
D as A u
fs h e n
d e s g r ö fs te n
uc
8 09 8 7 7 43
7 43
=1
g e mei n sa m e n
Ma ls e s
'
.
09
6687
6 687
0
Folglich 7 4 3 das
2 B ei s p i e l :
g
f
rö s te
88 1 47
.
gemeinsame Mals der gegebenen Zahlen
und 2 43 01 3
.
=3
2 43 01 3 88 1 4 7
2 6 44 4 1
:
88 1 47
.
( 4 entfernt :)
5 3 5 7 (1 1
2 1 42 8
:
0
.
Folglich 4 8 7 das g rö fs te gemeinsame Mals
3 B eispi el
8 08 5 1 und 1 5 02 5 1
Hier ist nicht
zu setzen obgleich
als 1 W eil der Rest nicht leicht zerlegbar
.
.
.
.
,
,
2
n äher
.
1 5 02 5 1
8 08 5 1
:
8 08 5 1
(1
6 9 4 00
00
und
2
entfernt :)
:
0
.
das g rö ls te gemeinsame M a fs
Sel bstverstä ndl ich hat man auch sogleich in den gegebenen
Zahlen die M a fs e auszuscheiden welche nicht gemeinsame M a fs e
sind
B e i s p i e l : 1 5 044 7 und 1 6 3 3 2 5
Die erste Zahl enthält 3 und 1 1 die zweite 2 5 welche Zah
len nicht gemeinsame Matse sind Diese ausgeschi eden behält
man 4 5 5 9 un d 6 5 3 3 Daher :
'
3 47
.
,
.
.
,
,
,
.
.
6 5 3 3 45 5 9
45 5 9
45 5 9
3 29
'
1 974
:
329
1
( 6 entfernt :)
1 4
1 269
1 31 6
3 29
3 29
47
7
0
.
47
das gesuchte
g
r ö fs t e
gemeins a me Mals
.
5 27
1 02
.
Das A u
.
fs h e n
d es k
uc
l in t n g m in m n V i lf h n
s e
e
e
e
e
sa
e
ac
e
.
nun das kl einste gemeinsame Viel fache von mehreren g e
n e n Zahlen zu suchen
so
untersuche
man
zunächst
welche
b
e
e
g
höchste Potenz der ersten Primzahl 2 in den gegebenen Zahlen
vorkommt ohne diese in Prim fakt oren zu zerlegen S i e ist die
gesuchte höchste Potenz wenn kein e der gegebenen Zahlen die
nächsthöhere enthäl t
Es sei z B 1 5 24 6 6 40 gegeb en
Hier ist also zunächst die höchste Potenz von 2 aufzusuchen
Man erkennt so fort d a fs 2 selbst vorhanden ist (in 2 4 oder
d a fs aber auch die nächsthöhere P otenz von 2 nämlich 4 ent
halten ist (in 2 4 o der
dafe endli ch auch die nun folgende
P otenz 8 enthalten ist (in 2 4 und
Die nächsthöhere Potenz 1 6
ist in k e i n e r Zahl enthalten Folglich ist 8 die zu behalten de höchste
P otenz v on 2 Hierauf ist zu bestimmen welches die höchste
Potenz der nächstfolgenden Primzahl 3 ist Man erkennt sogleich
3 in 1 5 oder 2 4 findet aber dafe die nächsthöhere Potenz von 3
nämlich 9 in k e i n e r Zahl enthalt en ist folglich ist nur 3 selbst
die zu b ehaltende höchste Potenz von 3
Es folgt nun die Primz ah l 5 Diese ist vorhanden (in 1 5 und
ni cht aber die zweite Potenz 2 5 folgl i ch ist 5 die gesuchte
höchste Potenz von 5 Die nächste Primzahl 7 ist nich t vor
handen Von der nun folge n den Primzahl 1 1 ist nur l l nicht
aber di e zweite Potenz 1 2 1 vorhanden
D er geübte Rechner sieht sogleich d a fs die übrigen Prim
zahlen ( 1 3 1 7 1 9 2 3
in den gegebenen Zahlen nicht vor
kommen
Hat man so d i e h ö c h s t e n P o t e n z e n d e r v o r h a n d e n e n
P r i m z a h l e n bestimmt s o ist i h r P r ö d u k t d a s g e s u c h t e
k l e i n s t e g e m e i n s a m e V i e l fa c h e
Hier ist es also
B e w e i s In
ist
Ist
,
,
,
.
,
.
.
,
.
,
,
.
.
,
,
,
.
.
,
-
.
,
,
,
„
,
,
.
.
,
.
.
,
.
,
,
,
,
,
.
,
.
.
enthalten
2 B eispiel
1 6 28
Die h öchste Potenz von
.
.
.
99
n
99
,
,
n
9,
‚a
‚ a,
21
2
3
,
3 6 , 63 , 5 6
ist
n
1 6
9
o
,
( 3 2 in keiner Zahl enthalten ) ,
36 :
5 fehlt !
7 (in 2 8 , 6 3 ,
7
Höhere Primzahlen ( 1 1
F olglich ist 1 6 o 9 7
1
Viel fache
3 B ei spi el
21
35
.
1 3,
1 2 o9
sind nicht vorhanden
008 das kl einste gemeinsam e
.
1
.
.
63 , 7 2
.
,
,
5 0,
40 ,
45
,
75
,
48 ,
1 00, 4 2 ,
5 6,
.
Die höchste Potenz von 2 ist 1 6 (in
Auch der Ungeübte
wird e rk ennen da fe 8 (in 4 8 enthalten) nicht di e höchste Potenz
,
27
S
.
Da s A
.
f
u suc
he n
d es k
l in t n g m in m n V i l f h n
e
s e
e
e
sa
e
ac
e
e
1 03
.
von 2 ist denn der Qu otient 4 8 z 8 = 6 enthält noch immer den
Faktor 2 Mithin m u fs
die gesuchte P otenz sein
Die höchste Potenz von 3 ist 9 (in 4 5 6 3
5
2 5 (in 5 0 7 5
,
.
.
,
,
,
,
99
99
‚3
7
99
21
7
5,
35
,
,
o
0
Das kleinste gemeinsame Viel fache daher
1 6 o 9 o 25 o 7
2 5 2 00
4 B ei spi el
7 2 45
Die höchste P otenz von
(in
(in b eiden Zahlen )
.
.
.
,
.
n
n
,
so
9,
Folglich
das kleinste gemeinsame Viel
fache
Unbequem e Zahlen zerlegt man n a ch den Regeln der T eil
b a r k e i t in b e l i e b i g e Faktoren die aber relative Primzahlen sein
müssen
5 B eispi el
.
,
.
.
.
88,
68 ,
39,
3 1 3
1 02 ,
65
85
4 0,
,
44
,
.
Zerlegt :
Daher das kleinste gemeinsame Viel fache
= 8 3 5 1 1 1 3 1 7 40 3 3
0
0
.
o
0
:
°
0
S oll te der ungewö h nliche F a ll vorkommen d a fs die höchsten
P otenzen nicht so fort entdeckt werden können so zerlegt man die
Zahlen in ihre Prim faktoren
7 600 1 6 2 0 5 4 7 2 4 7 5 0 6 4 8 0
6 B eispiel
2
t
Es ist 7 600 =2 5 1 9
,
,
.
,
.
.
,
,
,
.
.
.
.
Die höchste Potenz von
m e i n s a m e Viel fache
=2
5
.
3
2
2
5
5
3
o
1 9
u s
.
.
w ;
.
daher das kleinste
ge
4
.
Sind die gegebenen Zahl en Primzahlen unter sich so m u fs
das Produkt derselben das kleinste gemeinsame Viel fache sein Von
2 5 ist es 7 1 1
,
.
0
Anmerkung W
Vi e das kleinste gemeinsame Viel fache das
Pr odukt der höchsten P otenzen der verschiedenen Primzahlen ist
s o ist das
g r ö fs t e g e m e i n s a m e N a fs das Produkt der k l e i n
s t e n P otenzen der g e m e i n s a m e n M a fse
.
,
.
28
1 04
B eispiel:
V rt il b im R h n n
o
.
e
e
e
ec
ga nz e n
mi t
e
Z hl n
a
e
.
3 6 0, 3 7 8 , 6 30
.
5
3
3
7
.
Das kleinste gemeinsame Viel fa che
D as g r ö fs te gemeinsame M a fs = 2
3 7 8 5 kein M a fs von 3 7 8 u s w )
o
v on
,
.
S 28
.
A
.
.
2
3
2
3
-
°
( denn
2
2
7
.
ist kein M a fs
.
Vor t e ile b e im R e c h n e n mi t g a n z e n Z a hle n
.
.
Beim Z ä h l e n von Dingen
B ei einer fortlaufenden Reihe von Dingen zähle man i mmer
einmal Um z B die Punkte
.
l
3 a uf
.
.
.
.
zu z ählen l asse man das Auge nur b eim
1 2 Pun kte
ruhen Man zählt daher : 3 6 9 l 2 l 4
2
Um die Anzahl sehr vieler Individuen abzuschätzen z ähle
man nur einen bestimmten Teil derselben und sehe dann zu wie
oft derselbe im Ganzen enthalten ist
Um z B die Anzahl von
sehr vi elen Personen zu bestimmen z ählt man zun ä chst 1 00 ab
Sieht man alsdann d a fs man et w a den 9 T eil der ganzen Menge
gezählt hat so mu fe di e Zahl s ä mtlicher P ersonen ann ähern d 9 00
betr agen
B M e r k e n von Zahlen
l
L ies 2 (o der 3 ) Zi ffern a u f einmal B e i s p i e l : 1 4 1 6 5 9 2 7
Sprich : 1 4 1 6 5 9 2 7 o der 1 4 1 6 5 9 27
Man den ke sich fü r :
2
,
.
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
.
.
.
,
,
.
,
.
.
.
.
.
,
,
,
,
.
.
,
.
Z iffe rn
die
die B uchstaben
resp Buchstaben
verbindungen :
.
4
5
6
7
8
9
n
3
m
r
s
b
f
x
w
qu
sch
h
oh
g
k
0
l
1
d
2
z
t
p
v
is
ve r
vor
Aus diesen Buchstaben bilde beliebige Wörter womöglich
aber solche die einen zusammenhängenden Sinn geben Jedoch
haben von j e dem Worte nur die 3 ersten Konsonanten (resp Kon
der
obigen
Tabelle
G
ü
ltigkeit
nicht
aber
s on a n t e n v e r bin d u n e n
)
g
die nach folgenden
Um z B die Zahl
zu behalten bilde man aus
3 = m oder w 1
d oder t u s w folgenden Satz :
Wieder diese Knab en so emsig !
,
.
,
.
,
.
.
,
.
,
.
3
1
4 1
5
.
.
92 6
5
3 5 9
Bei Geschichtszahlen kann man die selbstverst ändlichen Tau
sende oder sogar Hunderte weglassen
.
c
5 28
1 06
.
V rt il b im R h n n mi t
o
.
e
e
e
ec
e
Z hl n
g an z en
e
a
.
Beispiel
denn
Oder :
Ist die Anzahl der Zahlen eine gerade u n d folgen sie
6
gleichfalls in gleichen Di fferenzen au feinander so m u ltipli c i e re die
S umme aus der ersten und letzten Zahl mit der halben Anzahl
der Zahlen
1 B ei spiel
.
.
,
,
.
.
.
1 5
+
1 8) -
1
i
2
denn :
2
29
B eispiel
.
.
g
—
+
denn :
( 29
-
3
.
Sind die Zahlen nahe gleich so m u ltipli c i e r e eine Zahl
welche etwa die Mitte der Zahlen vertritt mit der Anzahl der
Zahlen u n d berichtige das Resultat durch die Differenz aus j eder
einzelnen Zahl und der angenommenen mittlern
B eisp iel
7
.
,
,
,
.
.
(67
66)
(66
(69
—62)
—2
6 6)
—2
( 6 6 —64)
330
8
Erhöhe die eine Zahl zu einer passenden runden Zah l und
erniedrige gleichzeitig die andere Zahl um dieselbe Di fferenz
B e i s p i e l : 4 5 9 1 7 9 8 = 45 7 + 1 8 00 = 2 2 5 7
9
Eine g rofs e Anzahl von Summanden namentlich viel
stelliger Zahlen teile in eine Anzahl bequemer Partialsummen
Um z B 5 6 siebenstellige Zahlen zu addieren vereinige nur
j e 8 aufeinander folgende Zahlen und addiere alsdann die e rb a l
tenen 7 Part ialsummen
1 0
Beim Kop frechnen ist es vorteilhaft mit den höchsten
Stellen zu beginnen
B e ispiel 5 4 77?
Zun ä chst 5 4 7 0 1 24 ; dann 1 2 4 7 = 1 3 1
1 1
Als P r o b e kann man
e n t w e d e r die S ummanden noch einmal in anderer Ordnung
addieren z B das erste Mal v on oben nach unten das
zweite Mal v on unten nach oben ;
o d e r einige der Summanden von der S umme subtrahieren und
nachsehen ob man eine Z ahl erhält die der Summe der
übrigen S ummanden gleich ist
.
.
.
.
,
,
.
.
.
,
.
.
,
.
.
.
.
,
.
.
,
,
,
.
5 28
.
B eispiel
V rt il b im R h n n mi t g n n Z h l n
o
.
e
e
ec
e
a
e
ze
a
e
1 07
.
5 89
.
7 64
ist
1 35 3
E
r i c h ti
‘
o
D ,
wenn
1 35 3
S u b trak ti o n
l
Auch hier gilt das unter D 1 G esagte
2
Ist der Subtrahend nur wenig k leiner al s eine be q ueme
runde Zahl s o erhöhe beide Zahlen so d a fs der Subtrahend sich
in j ene Z ahl verwandel t
B e i s p i e l 1 25 1
89 7 ? Jede Zahl um 3 erhöht (s
.
.
.
.
,
.
,
,
.
.
.
1 25 4
Z uweilen ist es von Vorteil die Subtraktion von einer
zwischenliegenden runden Zahl auszuführen um dann das noch
Fehlende zu addieren
B e i s p i e l A ist 1 7 8 9 geboren un d 1 8 4 3 gestorben Wie alt
wurde er ? Von 1 7 8 9 bis 1 8 00 : 1 1 Jahre hierzu 4 3 Jahre a d
5 4 Jahre
d ie r t
4
Bei einer g r ö fs e r e n Reihe von Nullen im Minuend denkt
m an sich d i e S telle vor den Nullen um 1 kleiner (weil hier eine
Einheit geb orgt w ird ) j ede der folgenden Nullen in 9 verwandelt
und die letzte N ul l = 1 0 Alsdann subtrahiert man von l i n k s
nach rechts
0
0
00
0
6
0
0
0
B eis p i el:
3
.
,
,
.
.
.
.
,
.
.
,
.
.
2 83 9 407 5 6
Denke dir : 2 von 5 8 von 9 3 von 9 9 von 9 4 von 9 0 von 9
5 von 9
6 von 1 0
D aher (von links nach rechts g e
7 von 9
schrieben )
3 1 6 05 9 2 4 4
5
Die dekadische Ergänzung (das arithmetische K om ple
ment ) einer Zahl bildet man indem man sie von der n ä c h s th ö h e rn
Potenz von 1 0 abzieht un d in die Stell e welche die 1 der Potenz
vo n 1 0 e innahm d as Zeichen A setzt welches daselbst — l g ilt
Um z B die dekadische Ergänzung von 5 6 8 zu bil den berechne
und setze in die Stelle der Tausende (wegen
1 000
der 1 in 1 000) das Zeichen A
Mithin ist A 4 3 2 die gesuchte
dekadische Ergänzung die 4 3 2 — 1 000 vorstellt
Diese Ableitung führt zu dem ein fachen mechanischen Ver
fahren : Man subtrahiere die Einheiten j eder Stelle von 9 die letzte
(Einheiten enthaltende ) Stelle von 1 0 und setze alsdann A vor die
erste Stelle
B eispiel e:
Um die dekadische Ergänzung von 5 6 8 zu bilden : 5 von
6 von 9 = 3 8 von 1 0 = 2 und noch A vorgesetzt = A 4 3 2
?
9
7
9 von 9 = 0 0 v on
0
5
6
v
o
n
Die dekadische Ergänzung
daher :
7 von
6 von 9 = 3 5 v on
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
.
,
,
,
,
.
.
,
.
.
.
,
,
.
.
,
,
=A
,
09 2 3 5
.
5 28
1 08
.
V rt il b im R h n n mi t g n n Z h l n
o
.
e
e
ec
e
e
ze
a
e
a
.
Die dekadische Ergänzung von 1 2 4 00? 1 von 9 = 8 2 von
folglich = A 8 7 6 00
Hier g ilt 4 als die
4 von
letzte Stelle W eil die folgenden Stellen (00) keine Einheiten ent
1 2 400 ersichtlich is t
halten wie aus der Subtraktion 1 00000
An statt n u n ei n e Z ah l z u s u b trahi ere n a d d i er t m an
i h r e d e k a d i s c h e E rgä n z un g
3 45 6 7
1 B e i s p i e l : 3 45 6 7 —
9 2 08 ?
+ A O7 9 2
,
.
,
.
,
,
.
.
25 3 5 9
3
—1 g ilt so hat m an hier
D a A inn der betre ffenden Stelle
Zehntausende
1 Zehntausender
ende
B e w e i Ss
,
2
Zehntausender
.
.
9 2 08
3 4 5 67
3 45 67
3 45 67
1
3 45 6 7
2
.
B ei spiel
.
B eispi el
und vermindert
Zehntausender folglich :
um
,
A O7 9 2
.
57
9 873
.
6 5 9 00
=2
3 87 6
9 99 2
9 7 1
A 3 4 1
A 0 0
3 8
A
A 4
8
0
0
7
6
O
me
39
5 99
6
0
8
6
1
1
4 5 3 2
.
r k u n g S e lb stv e r s t än d li c h w i rd
e i n e r a dd i t i v e n u n d e in e r s u b t r a k t i v e n Z a hl
n i c h t e r s t a u f d i e s e m Umw e g e b e r e c hn e n
n
1 0000
07 9 2
2 7 9 29
9 7 1 86
A
1 0000
.
85 3
3
9 2 08
1 0000
.
sdr ü c k e d i e n ur a us
b est e h e n ( s d a s 1 B e i spi e l )
ma n A
u
,
.
.
,
.
6
Beim Kop frechnen beginnt man
höchsten S tellen
B e i s p i e l 1 2 3 —8 7 ?
Zuerst 1 2 3
alsdann
.
oft
.
.
43
mit Vorteil bei den
ä 28
1 1 0
.
.
3
.
B eispi el
V rt il b im R h n n mi t g n n Z h l n
o
e
e
e
ec
a
ze
a
e
.
.
28374 o 4 1 36
85 1 22
1 7 0244
1 1 3 49 6
Das verschiedene Ausrücken kann
hier keine Schwieri gkeiten m achen
denn die in den P a r ti a lpr odu k te n
hervorgehobenen Ziffern sind die
Endzi ffern des
,
1 1 7 3 5 48 6 4
fachen
5
e
( s Multiplicator ! )
.
Rechnet man in j edem der gegebenen Faktoren die Nullen
und eine 1 weg so benutzt man denj enigen Faktor als Multipli
cator bei welchem die wenigsten Stellen übrig bleiben
1 B eispiel
Rechne : 5 8 3 7 4 6 7
.
,
.
,
.
.
-
3 5 02 4 4
4 086 1 8
= 39 1
2
.
B eispiel
o
1 05 8
5 837 4
3 5 02 44)
.
7 1 3 006 5 08 7 4 9 ?
Rechne : 5 08 7 4 9 7 1 3 006
1 5 2 6 2 47
3 05 2 49 4
3 5 6 1 2 43
.
= 3 6 2 7 4 1 08 9 49 4
Bei 5 08 7 49 als Multiplicator h ä tte man 2 v ie ls te llig e Zahlen
mehr schreiben müssen
6
Gewöhne dich mit einer kleinem zweistelligen Zahl s o
zu m u ltipli c i e r e n wie mit einer einstelligen
B e i s p i e l 3 6 2 4 1 9 ? Zuerst 1 9 4 = 7 6 daher
.
.
.
,
.
o
.
,
6
.
Die 7 Zehner zum nächsten Produkt zu addieren
Hierauf: 1 9 2 4 5 (n ämlich 1 9 2
Folglich 3 6 2 4
.
56
s
1 9
.
Die 4 (siehe 4 5 ) z u m nächsten Produkt u s w
Z u s a t z Hier mag zugleich e i ne Erweit erung von 5 2 0 3 III
Platz finden
6 07 o 3 8 ? M u ltipli c i e r e zunächst 7 3 8
2 6 6 Folglich 6 07 o 3 8
.
.
.
.
.
o
.
,
,
.
66
Die 2 Hunderte sind zu 6 3 8 Hunderten zu ad dieren = 2 3 0
6 07 3 8
Hunderte Mithin :
.
-
'
.
7
= 2 3 06 6
.
Ist der eine Faktor nur wenig kleiner als eine be q ueme
runde Zahl so m u ltipli c i e r t man zunächst mit dieser le tz te r n als
.
,
5 28
Mul ti
dem
1
.
V rt il b im R h n n
o
.
e
e
ec
e
li c a tor und
u ltipli c a n d
zieht alsdann
ab
B eispiel
2 9 1 7 8 998 ?
da s
B eispiel
.
2)
( 1 000
5 67 8 9 9 ?
.
.
d aher :
3
.
B ei spiel
n n Z hl n
e
a
ze
aus
1 1 1
.
der Di fferenz und
Man denke sich
29 1 7 8
-
1 000
.
= 5 67 8 (1
5 67 8 0 o
5 678
su
00
b tr
daher :
29 1 7 8 2 ;
29 1 7 8 2 )
su
b tr
.
5 6 7 8 1 00
.
5 67 8 ;
.
49 1 8 3 9 99 7 ?
.
49 1 8 3 0 0 0 0
1 47 5 4 9
==4 9 1 6 8 2 4 5 l
In ähnlicher Weise 5 8
8
a
Produkt
29 1 78 0 0 0
5 83 5 6
.
g
.
29 1 7 8
2
mit
e
s u b tr
49 1 8 3 3
—2 )
.
o
.
1 4 = 8 40
Das Produkt aus einer Stelle (oder einigen Stellen ) des
Multiplicator mit dem Mul t iplicand erhäl t man oft i n einfacherer
Weise aus schon gebildeten Pr o dukten
1 B ei spi el
6 8 3 7 9 4 2 483 9
.
.
.
.
.
1 3 67 5 8 8
27 3 5 1 7 6
5 4 7 03 5 2
2 05 1 3 8 2
6 1 5 4 1 46
a
b
.
1 69 8 4 7 5 9 1 6 6
D as
4 fache
8
( siehe
a
.
c
B ei spiel
) ist das Doppel te des
)
c
.
b)
9
2
.
3 fache
2 fachen
4
3
=2
1 3 6 7 5 88 ;
2 o 27 3 5 1 7 6
-
.
1 239 1 4
49 5 65 6
1 8 5 87 1
3
.
Beispiel
.
2 69 4 3
2 1 5 5 44
Das 5 6fache
7 fachen ; denn 7 5 6
m u fs
.
2 6 9 43 o 8
selbstverstä ndlich
3 849 5 6
2
.
Stellen rechts vom
5 28
1 1 2
.
4 Bei sp i el
.
.
V r t il b im R h n n mi t g n n Z h l n
o
e
e
ec
e
e
a
B eispiel
.
3 7 2 2 47 7 7 04 8 2 7 7 5
.
B eispiel
.
o
3
4 1 1 9 2 5 69
B eispiel
8 23 7
=
0
74 1 3
3 7 06 7
0
9
5
o
3
l
o
45 8 23
1 3 5 o 82 3
=
6 7 4 5 9 1 3 07 8
o
6 7 45 9 1 3
8 7 6 9 6 7 6 = 6 7 45 9 7 8
( 3 Stellen rechts , weil 07 8
3 Stellen rechts von
.
o
.
B eisp iel
7 5 67 8 9 )
(2 1 o
.
5 6 2 2 6 42 05 4
.
o
— 823 7
9 5 83 7 4
=7 5 25 3 66
r
3 67 7 5 62 3
5 2 5 3 66
3 67 7 5 62
1 2 25 8 5 4
8
o( o
.
-
88 2 2 2 88 02
.
3
4
.
87 69 67
5 2 6 1 8 02
7
.
82 3 7 1 4 6 5
8 23 7 1 46 5
7 4 1 3 4 3 1 85
3 7 06 7 1 5 9 2 5
1 1 1 2 01 47 7 7 5
6
e
‚
4 4 5 3 4 5 01 6 9
.
a
5 6 7 8 9 7 8 42 1
.
397 5 23
1 1 925 69
47 7 02 7 6
5
ze
=
6 3 5 83 7 4
2 1 5 83 7 4
:
.
.
.
.
2 09 86 8
add
2 44 8 46
= 2 3 43 5 2 6
9
.
B eispiel
1
das 7 fa h e
fa oa
e s + 6 fa ofi
es
.
,
d
nn
'
.
.
.
o 45 892
7 45 8 92
1 37676
3 2 1 2 44
1 6 9 8 004
4
add
.
=
1 7 1 4 9 8 4 04
.
9
Bei mehr als 2 Faktoren m u ltipli c ie r e zuerst die zwei
deren Produkt sich leicht mit dem 3 Faktor m u ltipli c ie re n läfs t
Man m u ltipli c i e r e daher zuerst die geraden Zahlen mi t den
je n i g e n welche sich a uf 5 endigen
B eispi ele
.
,
.
,
.
.
.
Zu
demselben Zwecke merke man sich vorzüglich
Produkte :
-
1 05 ;
folgende
5 28
1 1 4
.
.
V rt il b im R h n n mi t g n n
o
e
e
e
ec
e
a
ze
Za
hl n
e
.
Ebenso ist 9 5 3 8 4 8 ohne Zerlegen einfacher weil 8 das D 0 p
pelte von 4
Noch weniger vorteilhaft ist es den um 1 erhöhten oder e r
n i e dri g t e n Mul tiplicator in Faktoren zu zer fällen
a u f e fa fs t :
Beispiel
als
g
.
,
.
,
.
.
3 9 5 2 44
6
2 3 7 1 46 4
65 874
2 44 7 3 3 8
36
addi ert =
1 m al
:
.
Einfacher ist wohl die direkte Multiplication mit
5 6 3 9 9 2 (6 8
2 B eispiel
5 63 9 9 2 4 7
.
.
.
37
.
.
48
2 7 07 1 6 1 6
5 6 39 9 2
2 6 5 07 6 2 4
su
b tr
1 m al
.
.
Auch hier kommt man mit der direkten Multiplication eher
zum Ziele
Anstatt mit 5 zu m u ltipli c i e r e n n immt m a n die Ha lfte
1 2
.
.
vom
,
1 0fachen
.
D enn
29 63 35
2
.
B eispiel
.
( Gedacht 7 8 3 9 4 0 z 2 ;
daher 3 unter 7 l)
39 1 970
5 487 5 8
— 44 6 8 45 8
3
.
B eisp i el
.
.
m an
stellt
.
7 6 394 4 1 65
.
3 05 5 7 6
4 5 83 6 4
38 1 970
4 7 6394
= 6 7 6 39 4
= 7 6 39 40 z 2 i
o
.
3 1 8 1 8 1 01 0
.
Um hierbei das 5 fache u s w immer rich tig unter einander
z u stellen denke man sich 3 0 als das 4 fache von 7 (der Zahl
4 5 als d as 6 fache dieser 7 3 8 als das 5 fache dieser 7
4 B eispiel
.
.
.
,
.
,
.
.
2360
u s
.
2
5
.
B eispi el
.
5
=
2 43 0
2
.
.
w
.
5
6
28
B eispi el
.
l3
.
Teil des
1
.
o
e
e
e
ec
e
a
ze
1 5
2
.
Anstatt mit
1 00fachen
B ei s p i e l
.
V rt il b im R h n n mi t g n n Z h l n
.
zu
25
D enn
.
m u lti pli c i e r e n
a
s
25
=a o
1
a
00
e
1 1 5
.
= 3 825
.
nimm t man den vierten
,
0
2
(
1 00
21
.
Man denke sich
.
1 83 1 5 0
.
2
B eispiel
.
.
9 1 3 47 00 4
9 1 3 47 9
2 283 6 7 5
8 22 1 2 3
8 44 9 5 9 7 5
0
.
o
B e i s p i e l 2 2 5 7 ? Statt der direkten Multiplication könnte
man auch 2 5 o 9 7
1 5 7 5 rechnen
63 25
l4
An s tatt mit 1 2 5 zu m u lti pli c ie re n m u ltipli c i e r t man mit
1 000 und dividiert durch 8
B e i s p i e l 9 87 3 6 1 25
8 9 7 3 6 000 8
= 1 1 2 1 7 000
3
o
.
.
o
.
.
,
.
.
.
.
Mul tipli cation mit 6 2 5
l5
M u ltipli c i e r e mit 1 0000 und
.
.
dividiere durch
1 6
.
Mul tiplication mit 1 5
Addi ere zum 1 0fachen die Häl fte desselben ; denn
1 6
.
.
1 0
1 0
B eispiel
2
.
=1
l7
1 5
.
67 34o: 2
3367 0
01 01 0
.
Mit Zahlen die sich a u f 5 endigen aber nicht durch 2 5
te i lbar sind m u lti pli c i e rt m an indem man mit der doppelten Zahl
m u ltipli c i e rt und dann d urch 2 dividiert
1 5 05
B e i s p i e l 43 o
Ist der Multiplicand eine gerade Zahl so dividiert man zuerst
.
,
,
,
,
.
.
.
.
,
Beispiel
(S
.
.
Mi t Zahlen die si ch a u f 2 5 oder 7 5 endigen aber nicht
durch 1 2 5 teilbar sind m u ltipli c i e r t man indem m an mit dem
4 fachen der Zahl m u ltipli c i e r t und durch 4 di vi diert
1 6 08 7 1 00 4
9 4 6 3 42 5
1 B eispiel
Dividiere zuerst durch 4 also :
2 B eispiel
1 8
.
,
,
,
,
.
:
.
.
.
.
,
.
48
o
3 0
2
1 2 o 3 00 = 3 6 00
.
(S auch 5
.
.
8
1 3 , 1 I Z us
.
*
.
)
V rt il b im R h n n mi t g n n Z h l n
1 1 6
o
e
e
ec
e
Mit Zahlen , die
l9
m u ltipli c i e r t man , indem
durch 8 divi diert
.
e
a
sich a u f 1 2 5
man mit dem
ze
a
375
,
e
8 7 5 endigen ,
m u ltipli c i e r t und
62 5
,
.
8 fachen
,
.
1
.
2
.
B eisp iel
B ei spi el
.
Dividiere zuerst durch
.
5 000
29 6
8
8
= 29 6 —
—
°
Multiplication mit 7 5
E n t w e d e r : M u ltipli c i e re mit
20
.
.
und subtrahiere vom Pro
1 0
_
=
7
5
O
1
O
denn
B ei sp i e l
1 00
2
dukt den vierten Te i l desselben ;
7 1 9 5 63 -7 5 ?
.
.
s u b tr
1 7 9 8 9 07 5
= 5 3 9 67 2 2 5
1 8
also :
8,
O d e r : M u ltiplic i e r e mit
Satz ! )
3 00
.
.
und dividiere durch
4
( Siehe
.
M u ltiplication mit 8 7 5
M u ltipli c ie r e mit 1 000 und ziehe vom Produkt den achten
21
.
.
1 000
Teil desselben ab ; denn :
8
O der : M u ltipli c ie r e mit
Mi t
.
7 000
und dividi ere d ur ch
8
.
m an indem man vor die erste und
hinter die letzte Stelle des Multiplicand 0 setzt und dann von
rechts nach links j e 2 ne ben einander stehende Stellen addiert die
j edesmaligen Zehner aber mit der folgenden Summe vereinigt
B e i s p i e l 5 3 82 7 626 1 1 ?
22
.
1 1
m u ltipli c i e r t
,
,
.
0
.
0 5 3 8 2 7 6 2 6 0
5 9 2 1
Zuerst
6
7
=1
0
3,
B ewe i s
wobei die
1
0 3 8 8 6
dann
zur nächsten
5 3 82 7 6 2 6 1
5 3 8 27 6 2 6 I
.
.
dann
dann
S umme zu z ä hlen u s w
.
.
.
add‘e “ !
A n m e r k u n g Eine ähnliche Abkürzung erhält man fü r die
Multiplication mit 1 2 1 3 1 4 bis 1 9 die sich gleich falls leich t
aus der vollständigen Multiplication e rg i e bt
B eispi el
Für die Einer : 3 7 = 2 1 (die 2 zur folgenden Stelle )
Zehner : 3 o 8 7 und j ene 2 = 3 3 (die 3 link s zur
folgenden Stelle )
Hunderte : 3 4 8 und j ene 3 = 2 3 (die 2 zur fol
n d e n Stelle ) u s w
e
g
.
,
,
,
.
.
o
,
o
,
v
.
.
.
1 1 8
5
2
.
.
28
B ei spie l
.
V rt il b im R h n n mi t g n n Z h l n
o
e
e
—
4 76
4 9 82
.
e
ec
e
a
ze
a
e
.
39 ?
98
3 92
i
6 84
= 6 9 82
26
7 6 39
O
°
.
nahe gleiche Zahlen vorhanden o der m ehrere Stellen
der Zahlen einander gleich so läfs t sich oft eine Verein fachung
erzielen w ie folgende Beispi ele lehren
1 B eisp iel
.
S ind
,
.
,
.
.
6 29 7
—
2
.
B eispiel
)
1
0
6 29 7
6 2 9 (7
3774
1
0
o
3775
.
.
1 9
27
Ist j eder Faktor einer bestimmten runden Zahl nahe
gleich so stellt man j eden derselben als Summe oder Differenz
dar deren erste Zahl j ene runde Z a h l ist
1 B ei sp i el
.
,
,
.
—2
.
.
—2 )
25 00
2 B ei spi el
1 22
.
50
o
6
.
( 1 20
= l 20 1 20
— 1 44 00 —2
= 1 4400
—
.
-
-
—3
o
2
.
—4)
—2 4
—2 40 —8
-
o
1 20
—4 )
.
—1
50
50
6
2 5 44
o
3 Beispiel
o
000000
1 00001 2
9 9 3 01 2
—3
—7
o
0
1 000
1 000
.
4
.
B eispiel
.
9 9 9 8 9 9 93
(1
0000
2 ) ( 1 0000
7)
1 00000000
2 1 0000
7 1 0000 + 1 4
1 0000001 4
9 1 0000
o
°
.
Aus den beiden letzten Beispielen
Regel ableiten :
n
(1 0
28
.
8 5 6 - 9 66
— a) (1
läfs t
"
0
a
sich leicht folgende
b
Hat man
8 2 6 1 48 berechnet und will man dann
wissen so denke man sich dieses letztere Produkt
,
V rt il b im R h n n
o
—
e
e
e
ec
e
gan
mi t
ze
n Z hl n
a
e
1 1 9
.
1 ) (9 6 4 + 2 )
—2
85 7 9 64
82 6 1 48 — 9 6 4
1 71 4
2
7 48
82 6 1 48
8 2 6 896
(8 5 7
.
—
+
.
29
Ist der eine Faktor eben so viel über einer ein fachen
runden Zahl al s der andere unter derselben so erh ält man das
Produkt wenn man das Quadrat der runden Zahl vermindert um
d as Quadrat aus der Di fferenz der runden Zahl und einem der
gegebenen Faktoren
1 B eispiel
.
,
,
.
.
.
B eweis
—6 0 3 —3
.
o
‚
o
3
2
60
denn die beiden Mittelglieder müssen s i ch stets
heben
.
2
.
3
.
4
.
5
.
B e ispi el
B e i spi el
B eispi el
B eispi el
.
.
.
.
1 293
7 ) ( 1 3 00
1 6 8 99 5 1
=
Man kann dies auch
a uf
7
2
=1
6 9 0000
—4 9
.
folgende
B eispiele anwenden :
3 6 00
2 4 2 = 8 3 42
8 1 00
.
30
Um 2 vi e ls te llig e Zahlen ohne P a r ti a lpr od u k t e zu mul
t i pli c i e r e n denke m an sich dieselben zunächst v on gleichviel Stellen
indem man die fehlenden Ordnungen mit 0 aus füllt und setze die
Faktoren alsdann untereinander
B e i s p i e l 5 8 7 3 6 1 4 ? Man denke sich 5 8 7 3
.
,
,
.
-
.
06 1 4
.
Die Zahlen mögen mit Weglassung der mittleren Stellen folgende
sein :
AB
L M 1 VP
a
b
l m
n
p,
die Zi ffern der beiden Zahlen bedeu t en
Man m u ltipli c i e r t nun zuerst die beiden letzten Stellen F und p
schreib t jedoch nur die letzte Stelle dieses Pro dukts ( die Einer)
wo
A
,
B
a
,
b
.
,
5 28
1 20
.
.
V rt il b im
o
e
e
Re c
e
h n e n mi t g a n e n
z
Za
h le n
.
die gesuchte Zahl um den übrigen Teil (die etwaigen Zehner)
den folgenden Produkten hinzuzufügen
Hierau f addiere die Produkte 1 Vp + P n wobei wieder nur die
letzte Stelle fü r die gesuchte Zahl geschrieben und der
übrige T eil fü r die nächsten Produkte behalten wird
Alsdan n ist
M p + 1 Vn + P m
hierau f
Lp + M n + 1 Vm + P l u s w
zu bilden indem man in beiden Zahlen immer 1 Stelle weiter nach
links fortschreitet und von den zu benutzenden Stellen stets
die 1 Stelle oben (L in der letzten Summe ) mit der letzten
unten ( p)
2
(M ) mit der vorletzten unten (n )
drittletzten
3
(N )
(m) u s w
m u ltipli c i e r t
die Pro dukte nebst der aus der vorher b estimmten
S telle zurückbehaltenen Zahl addiert
Ist m an bei de r höchsten Stelle der Zahlen (der 1 Stelle links)
angelangt so schneidet man die beiden letzten Stellen der Zahl
( P un d p ) ab und bildet mit den sämtlichen ü brig ble i be n d e n Stellen
dieselbe Summe der Produkte also :
A n +B m+
M b +N a
Alsd ann schneidet man von den so eben benutzten Stellen wieder
die 2 letzten Stellen (1 V und n ) ab u s w bis man zu A a g e
kommen ist
E s sei z B
4 3 8 5 mit
9 6 2 7 zu m u ltipli c i e re n
fü r
,
.
,
.
,
.
.
.
,
.
,
.
,
.
.
.
.
‘
,
.
.
,
,
.
.
.
.
o
,
.
.
.
.
Für die letzte Stelle (Einer) der gesuchten Zahl :
lich
Schreibe die 5 Einer fü r die gesuchte Z
l:
folg
43 85
9 6 27
5
und behal te die
3
Zehner
fü r
die nä chste Stelle
.
Hierau f: 2 7
folglich 8 7 + 5 2 wobei das 1 Produkt
gleich um j ene zurückbehaltene 3 zu vermehren ist d aher
Schr eibe 9 folglich :
o
.
.
,
so
,
,
4385
9 62 7
und behalte die
6
(Zehner) von
95
6 9 fü r
die nächste Stelle
.
o
385
Alsdann : 6 2 7 folglich 3 7 8 o 2 5 6 , wo b ei das 1 Pro
dukt wegen der h e rü b e rz u n e h m e n d e n 6 nicht 3 7 2 1 , sondern
3 7
2 7 ausgesprochen wird
D aher 2 7 1 6 3 0 7 3
.
.
.
5
1 22
3
28
.
B eispiel
.
V rt il b im
o
.
e
e
e
Re c
h n e n mi t g a n e n Z a h l e n
z
Man denke sich
8 3 06 7
1 95 4
.
.
8 3 06 7
01 9 5 4
1 6 2 3 1 29 1 8
Erkl är un
1 ) 7
2)
g
:
3)
4)
5) 8
6) Nachdem 7
Nachdem
7)
.
6
und
4
gestrichen :
und
5
gestrichen :
8
Nachdem 0 und 9 gestrichen : 8
Nachdem 3 und 1 ges trichen :
B e im Kop frechnen fängt man oft mit Vorteil bei den
31
höchsten Stellen an
o
7
6
8
3
8 00
vermehrt um 7 0
B eispiel
folglich 5 23 8
folglich 5 2 2 0 vermehrt um
Als P r o b e kann man das Produkt durch den einen
32
Faktor divi dieren wobei der andere Faktor als Quotient erscheinen
8)
9)
.
.
°
.
.
,
.
,
m u fs
(5
.
1 3,
Haben die Faktoren nahe gleichviel Stellen so kann man die
Rechnung noch einmal mit dem soeben benutzten Multiplicand als
Multiplicator ausfü hren
o
7
45 6
3
i
8
Probe :
Beisp el
45 6 3 7 8
,
o
.
.
1 51 2
1 8 90
2 26 8
1 7 23 6 8
1 3 68
3 1 92
3 6 48
1 7 23 68
.
.
O der man führt die Rechnung nur mit den e i n flufs re i c h s te n
Ste llen aus und sieht ob das erhaltene Resultat übereinstimmt
B eim letzten Beispiel im 3 0 Satz : 8 Zehntausende X 2 T ausende
= 1 6 Z e h n e r m illi on e n = 1 6 0000000 folglich ri chtig Diese Probe
is t bei j eder Rechnung (nicht b lofs der Multiplication) oft allen
andern Proben vorzuziehen
Hier ist ferner a u f die N e u n e r und E lfe rprobe (5 2 9 u n d 3 0)
hinzuweisen
,
.
.
,
.
.
.
.
G
.
D ivis ion
Die Kenntnis des
.
l
.
g
r ofs e n
1 5
1
.
B eispiel
.
7
1 5
s
6
.
1
2
1 0 5
Einmaleins ist auch hier von Vorte il
B ei spi el
.
9 6 3 4 9 5 4
Nicht
1
u s
.
1
.
5
.
w
.
,
sondern
.
V rt il b im R h n n mi t g n n Z h l n
o
3
u s
.
.
B e i s p ie l
.
w
e
e
ec
e
e
a
Zuerst
.
ze
e
a
1 23
.
dann sogleich
71
:
6
=1
1
.
2
Als Vorteil wird oft
P ar ti a lpr od u k te zu schreiben
angegeben nur die Reste nicht
.
,
,
di e
.
B eispi e l
2 6 1 1 39 1
.
1 7 63
3 02 9
1 07 1
97
.
Es ist aber Th a ts a c h e d a fs sich hierbei der g e ü bte s te Rechner
sehr l eicht irrt und daher die Rechnung stets mehrmals durchsehen
m ü fs te
um sicher zu sein ob das Resultat auch wirk lich richtig
ist D a dies beim Niederschreiben der P ar ti a lpr odu k te nicht der
Fall ist so gewinnt man bedeutend an Zeit und hat nicht mit der
anstrengenden Aufmerksamkeit zu rechnen die j ene Abkürzung
er fordert Bei sehr bequemen Divisoren können die P a r ti a lpr odu k te
allerdings weggelassen werden
B eispiel
,
,
,
.
,
,
.
.
.
1 3 25
3 229
2 2 02
1 9 66
9 635
3
.
Bei sehr vie ls te lli g e n Divisoren bildet man sich zuvor die
Produkte aus dem Divisor und den Zahlen 2 bis 9
B eispiel
addiert gicht das
Bilde zunächst : 2 o 8 9 3 1 4 2 7 6 1 7 8 6 2 8 5 5 2
3 fac h e
.
.
.
.
3
D as
4fache
6
8
„
2 mal
das
2 fache ,
3
das
der H äl fte des
5 fache
1 0fachen ,
7 fache = 3 fa c h e + 4fa c h e ,
”
Diese Produkte sind sehr leicht gebildet und man sieht auch
augenblicklich wel ches das stets abzuziehende P a r ti a lprodu k t ist
.
,
4
Um durch 1 0 1 00 1 000,
(durch die Potenzen von
1 0) zu dividieren schneidet man zuletzt 0 00 000
ab oder
wenn die Zahl sich nicht a uf Null endi t betrachtet m an resp die
letzte Stelle als
die 2 letzten S te f
le n al s Hundertel u s w
4
—
B e i s p i e l e 5 6 1 7 9 000 :
1 5 ;
9 6 7 01 9 1 000
9 671 1 1 55
5
Um durch eine runde (a uf Nullen sich e n dig e n de ) Zahl
zu divi dieren die nicht Potenz von 1 0 ist schneidet man im
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
.
.
.
.
,
,
.
.
5 28
1 24
.
V rt il b im R h n n mi t g n n Z h l n
o
.
e
e
e
ec
a
e
ze
e
a
.
Divisor die Nullen und vom Dividend zul etz t eine gleiche Anzahl
S tellen ab An den bei der Division dieser verkürzten Zahlen z u
letzt erhaltenen Rest hängt m an die w e g e la s s e n e n Stellen des
Dividend an und divi diert die erhaltene äa hl durch den un v e r
kürzten Divisor
1 B ei s pi e l
1 6 05 9 1 8 7 1 4 7 3 000?
1 6 05 9 1 8 7 1 : 4 7 3 960
3 3 91 4 1 371 4
.
.
.
.
:
.
1 41 9
1 8 69
1 41 9
45 01
42 5 7
2 4 48 7 1
Der Beweis
: 4 7 3 000
.
sich aus der unverkürzten Divi sion :
e rg i e b t
1 6 05 9 1 8 7 1
1 4 1 9 000
:
4 7 3 000
1 8 69 1 8 7
1 4 1 9 000
4 5 01 8 7 1
4 2 5 7 000
4 7 3 000!
2 4 48 7 1
2
.
B eispiel
2 4 8 01 6 5 9
.
:
1 2 00 ?
—
= 2 06 6 8 fi—
3G
.
3
.
B ei sp i el
7 5 1 9 46
.
Minuten wi e viel Stunden ?
,
2
7 5 1 9 46
=1
:
69
2 5 3 2 S tunden 2 6
Min
.
Hat man eine Zahl mit einer zweiten zu m u ltiplic i e ren
und das Produkt durch eine dritte Zahl zu dividieren so d i v r
d i e r t man zuerst wenn die Division au fgeht oder di e Multipli
cation hi erdurch bequemer wird
6
.
,
,
.
1
.
2
.
7
.
B eispiel
B eispiel
.
.
6 7 62 5
o
1 3) o 5 9
41
:
:
o
1 25 ) 4 1
(6 7 6 2 5
1 25
= 5 41
o 41
.
Derselbe Satz allgemeiner :
Man kürze vor der Multiplication und Division j ede mul
t i pli c i e r e n d e Zahl mit j eder divi d ierenden
.
B e i sp i e l
7,
also durch
84
.
28
gekür zt :
mit
56
durch
4
und dann noch d urch
B e weis
21
8
a
.
875
7
-
a
a
1 000
M an behalte folgen de
.
1 00
= 25
4
3 00
,
4
= 75
+
1 001
oft v or k o
nende Quotienten :
1 000
3 000
8
8
,
— 37 5
7 000
B eisp iel
1 29 3 5 0000 8
.
1 61 6
7 0 : 8 fo rtz ufa hren ,
Ansta tt nun mit
22
.
Oft kann man den D ivi sor da 1
verwan deln da fe m an ein en b esti m mt n
wobei dann der D ivi dend um densel ben
B e i s p i e l 3 7 6 3 9 1 04 2 9 6
Beide Z ahlen um ihren 2 4 T eil erh o
,
en kt
man sich sogleich
h
in einen beque men
I eil desselben addiert
il z u erhöhen ist
rc
‘
,
.
.
.
.
1 3
1 6
1 9
7
1 1
23
9
24 ;
Zg äg äg
3
3 9 2 0 7 4 0 0
23
e
m
t
her
3 9 2 07 1
1 00
.
.
1
- -
Be w
3
24
a
1
a
+
b
.
d afa die Division l fg e he n m u fs (in 5 2 3
1 B e i s p m u fs 1 5 4 1 d urch 2 3 teilbar ein)
so ist es bei der
ivi s i on der vorletz ten Stelle des Div i d e
nicht nötig den Rest
bestim men da sich di e le tzte Stell e d Quo tien t aus der letz
1
Stelle d es Divisor un d der l etz t en S te e des Divi dend ergeben
1 fs
G eht z B
so b t i m m t man z uers t nur
a uf
.
We ife m an
.
,
.
.
,
,
,
,
.
v2 7
.
1
:
,
.
23 3
O hn e n un
zu be r e t n e n und von 2 02 7 zu
i tr a hi e r e n
d a fs die no ch b lende Stelle des Quo
w e i fs m an
1 t 7 ist
da nur dies e Z ahl mit der le e u Stelle 3 des D ivisor
ltipli c i e rt die letzte Ste ll e 1 des D iv i d d gicht
202 7 1 33
F olgli ch :
8
,
,
,
87
.
eine Z ahl zu d i di e r e n die n u r wenig
e runde Zahl ist kann m an durch diese
eren wenn m a n vor der Subtraktion des
T il
9
,
,
‚
e
.
5
1 26
.
28
B e ispi el
Dafür
2
.
V rt il b im R h n n mi t g n
o
.
e
e
e
ec
e
.
2 3 9 3 9 8 6 45
:
a
=239 1
1 001
ze n
Z hl n
a
e
.
5 9 1 45305T
.
39 1 9
9 1 68
1 5 96
5 95 4
9 49 5
48 6
ll
.
Anstatt durch
und dividiert durch
B eispiel
1 0
.
zu dividieren
5
g
Denn
m ultipli c i e r t
,
man mit
2
:
»
Dafü r
.
= 5 83 6 7
.
In der Praxis w ir d man bei der Multiplication die zuletzt
entstehende O so fort weglassen
Geht die Division durch 5 wie man aus der Endziffe r sieht
nicht a u f so m u lti pli c i e r t man mit 2 und betrachtet die letzte
Stelle als Zehnt el
1 B eispiel
.
,
,
,
.
.
2
.
B ei spi el
.
= 8 6 3 9 6T4‘,
.
.
1 02 05 336
1 2
2
-
.
Anstatt durch 2 5 zu d ividieren m u ltipli c i e rt m an mit 4
und dividiert durch 1 00; oder man m u lti pli c ie r t mit 4 und b e
trachtet die beiden letzten Stellen als Hundertel
1 B eispiel
Zuerst durch 1 00 dividiert dann
mit 4 m u ltipli c i e r t ; folglich :
.
,
.
.
.
,
643287 3 4
0
= 25 7 3 1
2
B ei spiel
.
49 2
.
2 1 9 7 1 1 91 95
2 1 9 7 1 1 55
oder
.
zu divi dieren m u ltipli c i e rt man mit 8
oder man m ultipli c ie rt mit 8 und b e
letzten Stellen als Ta u s e n d te l
.
l4
04
-
l3
Anstatt durch 1 2 5
di vidiert durch 1 000;
und
trach t et die 3
B eispi el
.
,
‘
.
.
D urch 6 2 5 dividiert man indem man mit
und durch 1 0000 dividiert
.
,
.
1 6 m u ltipli c i e rt
5
1 28
3
.
.
28
B eispiel
Dafü r :
.
V rt il b im R h n n mi t g n n Z h l n
e
o
e
ec
e
ä
66 9 407 4 3
= 66 9 407 4 3 ( l
o
6 2 1 5 9 2 6 1 1 51
.
B e ispiel
Dafü r :
( 1 5 5 6 08 5 8
.
e
a
.
Dah e r :
o
:
4
ze
a
1 4?
(6 6 9 407 43
.
e
1 4
1 4
.
1 7?
1 5 5 6 08 5 8 (4
1 5 5 6 08 5 8
Daher :
Ti
1 5 5 6 08 5 8
4
6 22 4 3 4 3 2
9 1 5 344
s u b tr
1 7
6 1 3 2 8 08 7 1 1 7
ach Ausscheiden e i ner Zahl aus dem M u l
eine Zahl herstellen die nahe ein Viel faches des Divi
Oft kann man
tipli c a tor
.
n
,
sor ist
B ei sp i el
.
.
— 71
9 3 6 8 49 3
0
Daher :
1 9
7 1 93 6 8 49
o
2 1 5 8 1 05 4 7
1 1 3 5 8 44 9 45
s u b tr
:
3
1 9
2 044 5 209 7 5 ,
1 9
den
3
1
.
.
Um durch 7 5 zu dividieren addiert man zum Divi dend
Teil desselben und dividiert die S umme durch 1 00
B ei spiel
2 9 l 8 7 042 z 3
.
,
.
.
9 7 29 01 4
2
.
B eispi e l
.
45 7 1 9 2 6 8 3
1 5 239 7 5 6
45 7 1 9 2 68 7 5 ?
6 09 5 9 01
B ewei s
24
65
.
.
a
20
(1
+
1 00
= (a +
:1
g
:
1 00
00
.
Um durch 8 7 5 zu di vidieren addiert man zum Divi
dend d en 7 Teil desselben und dividiert die Summe durch 1 000
B e i s p i e l 5 4 3 8 7 403 8 7 5 ?
5 43 8 7 4 03 7
.
,
.
.
.
7 7 69 6 2 9
6 2 1 5 7 3 95 3021 ,
621 5 7 T55
.
5 28
.
Be
21
w e
m
V rt il
o
.
e
e
8
a
.
875
R h n n mi t g n n Z h l n
bei m
7
-
1 00
a
1 000
ze
a
62 5
1 29
.
a
7
vorkommende Quotienten :
1 000
5 000
e
1 000
oft
3 00
B eisp iel
a
a
Man behalte folgende
.
e
ec
3 000
—8 7 5
,
.
1 2 9 3 5 0000 8
.
1 61 6
7 0 : 8 fortzufahren ,
Anstatt nun mit
D aher = 1
22
denkt man sich sogleich
6 1 68 7 5 0
.
Oft
kann man den Divisor dadurch in einen bequemen
verwandeln d a fs man ein en bestimmten Teil desselben addiert
wobei dann der Dividend um densel ben Teil zu erhöhen ist
B e i s p i e l 3 7 6 3 9 1 04 z 9 6
Beide Zahlen um ihren 2 4 T eil erhöht :
.
,
,
.
.
.
.
1 3
1 6
1 9
23 1 4
7
3 7 6 3 9 1 0 4
1 5 6 8 2 9 6
3
243
4
3 9 2 0 7 4 0 0
Bew
e
3 9 2 07 4
1 00
:
.
a
a
b
m
Daher
a
(1
a
—
+
n
b
b
-
n
23
W e ifs man , d afs die Division
1 B e i s p m u fs 1 5 4 1 durch 2 3 teilbar
au fgehen m u fs (in 5 2 3
1 4
sein) so ist es bei der
Division der vorletzten Stelle des Di vidend nicht nötig den Rest
zu bestimmen da sich die letzte Stelle des Quotient aus der letz
ten Stelle des Divi s or und der letzten Stelle des Dividend ergeben
m ufs
Geht z B
so bestimmt man zuerst nur
a uf
.
,
.
.
,
,
.
,
,
.
.
.
,
Ohn e nun
zu berechnen und von 2 02 7 zu
subtrahieren weils man d a fs die no ch fehlende Stelle des Quo
tient 7 ist da nur diese Zahl mit der l etzten Stelle 3 des Divisor
m u lti pli c i e rt die letzte Stelle 1 des D ividend g i e b t
2 02 7 1 : 2 3 3
Folglich :
8
,
,
,
8T
24
Anstatt durch eine Zahl zu dividieren die nur wenig
k leiner als ein e be q ueme ru nde Zahl ist kann man durch diese
runde Zahl selbst dividieren wenn man vor der Subtraktion des
S h
ig
A th m t k
L T l
L h b h d
9
.
,
,
,
c
ur
,
e r
uc
er
ri
e i
.
el
.
5
1 30
.
28
V rt il b im R h n n mi t g n n Z h l n
o
.
e
e
e
ec
e
a
ze
e
a
.
aus der runden Zahl hervorgehenden P a r ti a lpr odu k te s die zuge
hörigen Stellen des Dividend um das Produkt aus der gefundenen
S telle des Quotient und der Di fferenz des benutzten und g e
n e n Divis ors erhöht
e
b
e
g
1 B e i s pi e l
6 47 9 2 5 49 8 9 9 7
— 3 so e r
Man di vidiere durch 1 000 weil aber
h ö ht man vor der S ubtraktion des P a rti a lpr odu k te s (aus 1 000) die
betre ffenden Stellen des Dividend um das 3 fache der jedesmal
erhaltenen Stelle des Quotient Daher :
.
.
.
.
,
,
.
8
1
6 49 8 7 5 1
6 47 9 2 5 49 8 : 1 000
6 000
54
.
2
1
Als Rest erhäl t man
das 1 Mal 47 9 6 ( 1 000
2
972 + 4
u s w
49 7 2
2
4 00
o
.
7
9 845
.
9 000
.
-
997 )
997)
.
.
2 4
8 7 24
8 000
2 1
7 489
7 000
1 5
5 1 08
5 000
1 23
2
Q
.
B eispi el
4 1 9 83 2 7 6 5 04 7 9 6 ?
—4
u oti e n te n s te lle
.
zu
fol g lich
,
addieren
ist stets das
4fache
der gefundenen
.
2 0
4 1 9 8 3 2 7 6 5 04 8 00
4 000
5 2 7 4 2 8 09 555
.
s
Als Rest erhäl t man
das 1 Mal
2 1 83
1
6 00
.
1
8
2
59 2
und zwar
5 6 00
1
6
5 83
5 83
u
3 407
3 2 00
s
2236
1
.
6 00
3 2
6 44 5
6 4 00
3 6
7 7 04
7 2 00
5 40
.
.
aus
s
.
wn
2 1 83
—7 9 6)
7 96)
1 6 00
V rt il b im R h n n mi t g n n Z h l n
1 32
o
e
ec
e
e
a
e
ze
e
a
.
Beweis
u s w Daher
.
.
.
oder :
.
3 3 3
’
D i e F o u r i e r s c h e a b g e k ü r z t e D i v i s i o n (oder : die
geordnete Divisi on)
Man benutze als Divisor nur die höchsten Stellen des g e
v i e ls te lli e n Divis ors
di
z
B
die
Stelle
der
beiden
e be n e n
1
o
e
g
g
“
ersten Stellen Mit diesem Divisor den w i r „ S tü c k divi s or (oder
Te ildi v i s or ) nennen w ollen führt m an also zunächst die Division
allein aus Der Ü bersicht wegen überstreiche man die als Stück
divisor benutzten S tellen des gegebenen Divisor Die a u f die Stellen
des S tü c kd ivi s or folgenden Stellen des gegebenen Divisor m ögen
stets der Reihe nach mit d 1 d 2 d 3
die 1 S telle des Quo
tient mit ql die 2 Stelle mit Q 2 u s w bezeichnet werden
D en Dividend divi diert man wie gewöhnlich durch den a n
genommenen S tü c k di vi s or wodurch man die 1 Stelle (q l ) des Quo
tient erhält Ferner m u ltipli c i e r t man wie bei der gewöhnlichen
Divi sion diese Stelle des Quotient mit dem S tü c k divi s or und zieht
das Pr odukt v on der betre ffenden S telle des Dividend ab Nach
dem man diese erste o der später irgend eine Stelle des Quotient
durch Division mit dem S tü c k divi s or be stimmt und das betre ffende
P a r tia lpr od u k t vom Divi dend abgezogen hat ist stets zu unter
suchen ob der Rest entweder g r ö fs e r (oder auch gleich ) oder
k l e i n e r ist als die Quersumm e
des bisherigen
Quotient ( die neues te Stelle desselben mit eingerechnet)
1 F al l
D er nach Abzug des P a rt i a lpr od u k ts erhaltene Rest
sei g r ö fs e r als die Quersumme des Quotient oder g l e i c h
derselben
Al sdann hänge dem Reste die folgende Stelle des Dividend
an setze di e nachstehenden 2 Z iffe r r e ih e n unter einander die e r s t e
26
.
.
.
,
.
.
.
,
,
.
.
,
.
,
.
,
.
.
.
.
.
,
.
.
,
,
.
.
.
.
,
,
V rt il b im R h n n mi t g n n Z h l n
o
e
e
e
ec
e
a
a
ze
e
1 33
.
bestehend aus den bisher ge fundenen Zi ffern des Quotien t in um
e k e h r te r Ordnung
die 2 aus eben so viel a u f den S tü c kdivi s or
folgenden Zi ffern des gegebenen Divisor und ziehe die Summe der
Produkte der untereinander stehenden S t ellen dieser beiden Zi ffer
reihen v on j enem v e r g rö fs e r te n Reste ab
Nach der B estimmung der l S telle des Quo tient und der Sub
traktion des Pr odukts aus dieser S telle des Qu otien t und dem Stück
divisor ist mi thin die fo lgende Stelle des D ividend anzuhängen
'
o
.
,
.
.
,
unter einander zu setzen und das Produk t
alsdann
v e rg r ö fs e r t e n
dem
von
q, d1
Reste z u subtrahieren
Dividiere den j etzt erhaltenen Rest durch den S tü c kdiv i s or
um die 2 Stelle (Q 2) des Quotient zu erhalten Wie b ei der g e
w ö h n li c h e n Division subtrahiere das Pro dukt aus der neuen Stelle
des Quotient und dem S tü c k div i s or und sieh wieder nach ob der
Rest g r ö fs e r (oder gleich ) oder k l e i n e r als die Quersumm e der
bis j etzt erhaltenen beiden Stellen des Quotie n t (9 1
Wäre
4 2 ) ist
er kleiner so m ü fs te der weiter unten folgende 2 Fall b e r ü c k s i c h
tig t werden
Wäre er j edoch w i e d e r g r ö fs e r (oder gleich ) so
füge (w i e der 1 Fall vorschreibt ) dem Reste die folgende Stelle
.
,
.
.
,
.
.
,
.
,
.
des Dividend hinzu s
und divi
q , d2
,
diere den Rest durch den bisheri g en S tü c k divi s or um die 3 Stell e
des Quotient (Q3 ) zu erhalten Ist der Rest g rö fs e r als die Quer
summe o der gleich der Quersumme des nun 3 z iffe ri g e n Quotient
so füge d e m Reste die folgende Stell e des Divi
.
,
.
€1 2
dend hinzu subtrahiere
,
3
2
1
2
Q 3 d1
q , d2
und di
q l d3
3
den Rest durch den b i s h e r i g e n S tü c k div i s or um die
4 S telle des Quotient zu erhalten u s w
2 Fall
Der nach A bz u des P a r ti a lpr odu k t s erhaltene Rest
sei kleiner als die u e r s u m m e des bis j etzt erhaltenen
Quotient
Dann sieh die s o eben erhaltene Stelle des Quotient nich t als
endgültige an füge d e m Reste der so eben dividiert wurde di e
folgende Stelle des Dividend hinzu und v e rg r ö fs e r e gleichzeitig den
S tü c k d iv i s or um die nächste Stell e des gegebenen Divisor Die a u f
diesen neuen (ve rg rö ls e r te n ) S tü c kd i vi s or folgenden Stellen des Divisor
bezeichne nun mi t d l d 2
während die 1 (höchste ) Stelle des
Quotient q l die 2 q, u s w bleibt Den j etzt um eine Stelle des Divi
v i di e r e
,
.
.
.
.
.
ä
.
.
,
,
,
.
'
,
,
dend
.
ve r g r ö fs e r te n
.
,
.
.
.
.
Rest vermindere
=q,
(I
I
,
wenn
5 28
1 34
.
V rt il b im R h n n mi t g n n Z h l n
o
.
e
e
ec
e
e
a
ze
a
e
.
der bisherige endgültige Quotient (also der Qu otient ohne die
letzt erhaltene Stelle ) aus e i n e r Stel le besteht
1
51 2
um
2
1
1
2
q2 d1
wenn dieser Quotient aus
besteht
q l d2,
2
zu
Stellen
,
; 52
q
um
(
2
1
2
q3 d1
92 d2
wenn dieser Quotient aus
q, d3,
3
Stellen besteht u s w und dividiere den erhaltenen Rest nun
erst durch den n e u e n S tü c k divi s or ziehe das P a r ti alpr odu k t ab
und sieh wieder ob der Rest } oder
die Quersumme des bis
h e ri g e n Quotient ist um eventuell nach dem 1
oder 2 Fall zu
verfahren
1 B eispi el
Es mögen hier die beiden ersten Stellen 8 1 des Divisor als
S tü c k di vi s or benutzt werden
D aher :
3
.
.
.
,
,
T :
,
,
.
.
.
.
.
.
6 25 1 4 3 2 21 3 7 6 z 8 1 2 6
5 67
d l d2
da
58;
6 9 23
q 1 q2 q3 q4
( Quersumme des bisherigen Quotient ) , so gilt
der
5 81
7
=7
2
5 67 8 1
486 = 8 1
81 ;
81 4
da
Fall
.
81 2
7
.
Q2
8 1 > 1 3 ( Quersumme
n
7 60: 8 1
7 29
.
denn bis jetzt ist der Divisor
und der Quotient
2;
des Quotient ) so gilt der
,
1
54=
31
o
6
6
o
1
.
Fall
.
l
denn der Divi sor ist bis
j etzt
8 1 26
der Quotient 7 6
= 9 = q3
.
(fortzu fahren ,
da
31
7
+6
9,
siehe den Quotient)
31 3
1 1 0
ff ff l J
l
:
1
2
3
967
I
= q4
1 62
da
41 ;
,
.
:
26 4 8 1
44 9 3 42 9 1
d l dg ds d4
8 1 268
7 69
.
(siehe Quotient) so ist fortz u
fahren ( 1 Fall ) :
41
41 2
1 48
D iv i sor i st
der Quotient
denn der
2967
2 6 86
g
1 36
28
4
7
28
.
V r t ei le bei m Re h e
n
c
o
.
m it
n
g
anz
e Z hle
a
n
n
.
( W i ed e rh olt )
q2
28
O<
+4
2
f
Quersumme
des
Quotie
n
t
olglich
der
Fall
)
(
D as hier in
Gesetzte und Quot 4 gel ten mithin
nicht
1
.
,
.
.
.
3 9 1
9
d d2
i
9 1 92 9 3 94
21 0
68
(s Quotient)
3
1
1
,
.
Fall
.
.
6 82
g
33
g
ql
-
dl dg
3
o
o
9
63 0
9
3
1
1 9
( s Quotient ) ;
1
.
.
Fall
.
1 95
1 01
.
n g ql
dl dg ds
94 : 70= 1
70
24
_1
= q4
93 1
_9
92
8
l
(s
>
0
1
.
.
Fall
.
2 45
1 931
q q q
q
0=2
= gs
ungültig !
1 4 6 06 8 8 z 7 08 9 2 4
d 1 d2 d 3
3
39
1 42 1
3
.
7 08 = 2
B eispiel
1 8
Quotient
2 Fall :
.
=1
91
h i er
2
3 9 1
42 9 3 1
d4
I st
:
4
95
0 di e 7
.
Stelle des ge g ebenen
Divisor !
95
u s
.
W
.
.
.
5 8 1 6 5 42 9 9 8 z 4 2 8 5 7 1 4 3
4
1
4
1
1 4
daher
Quersumme
)
(
,
1
.
Fall !
5 28
.
o
c
91
d
1
4=4
= q2 ?
n
m it
g a n z en
Z hle
a
n
.
ungültig !
4 ; folglich 2
1
0
1 6 1 6 5 4 29 9 8 : 4 2 8 5 7 1 4 3
1 5 31
1 26
n
( W i e d e rh ol t )
1 8
1 6
1 6
V r tei le b ei m Re h e
.
42
:
.
Fall
=1
3 5 72
=3 = q
2
(Rest
276
=
29
{ää
21 0
(Rest 3 7
375
5 31
=7
3 1 3 z 42
294
1 94
75 31
1 03
2?
ungültig !
84
D ma
9 1 2 99 8 4 2 8 5 7 1 4 3
75 31
77
571 4
{
4 28
407 9
74
:
1 75 3 1
5 7 1 43
4 005 42 8
3 85 2
}
9
1 5 39
5 7 1 43 0
1 45 1
1 284
1 678
1 35 7 1 93
;
1 37
5 28
1 38
.
V r tei le b eim Re h e
c n
o
.
n
mi t
g
1 35 7 1 933 6
5 8 1 6 5 4 2 9 9 8 00 z 4 2 8 5 7 1 43
an z
e Z hle
n
a
1 284
(2 7 2 >
70
6
2 6 5 0 4 28
4
.
B eisp i el
1
3 39 1 7 5 3 1
5 7 1 4 3 000
1
-
u s
Quoti ent
3;
1 9 4 8 5 47 6 3 2 6 2 9 7 3 8 5 4 6
1 86
( Rest 8
88
27
0
(Rest
61 5
2l
’
"
i
03
g7
9
5 9 4 62
558
3 64
90
329
:
2 7 4 z62 = 4
2 48
26 7
i
1 23
4 9 03
97 3 8
1 24
2 06
_
1 9 7 3 85
-
62
5 63
W
.
3
ungültig ; fol g lich :
3 09 42 1
Quersu m m e
{ä}
=
.
.
1 9 4 8 5 4 7 6 3 2 6 2 9 7 3 8 5 46
1 8
1
.
1
3; 1
.
( w i e d e rh olt)
5 7 1 4 3 00
2 720
n
.
Fall )
1 40
ä
.
29
N e un e rprob e
.
.
Mit diesen Resten statt der Zahlen selbst rechnet man die g e
gebene Aufgabe wobei man alle auftretenden Zahlen a u f Neuner
reste zurückführt indem m a n beliebige Viel fache von 9 subtrahiert
oder a d d i e r t
l s t der Ne u n e rr e s t des erhaltenen Resultates gleich dem Neuner
rest des zu prü fenden so ist die Rechnung richtig
wenn sich
die gemachten Fehler nicht gegenseitig c om pe n s i e r t e n
A d d i ti on
Der Ne u n e rr e s t der Summe m u fs m it der Su m me
der Ne u n e rr e s te der Sum m anden übereinstimmen
5 867
B eispiel
Ne un e rr e s t = 8
,
,
.
,
.
.
.
.
3 96
0
7
1 22 02
1 5 48
2 001 3 Ne u n e r r
.
=6
vermindert
9
6
.
.
D a beide Ne u n e rr e s te
6 ) ü b e rr e i n s ti m m e n so ist
richtig
B e w e is
5 8 67
2 6 (s 5 24 1 0 1 Zus ) = V, + 1 8
u s W
Die Summe der gegebenen Zahlen ist nun
V9 + 8 + V + 0 +
9
,
di e
Zahl
8
V9
2 001 3
.
.
‘
.
.
.
,
.
.
.
,
8
.
9
Dies
gebe n
m u fs
m ithin
fü r
die zu prüfe n de Su m m e sich
er
.
S ub t r a k ti on
.
Ve r f a h r e n
B eispiel 5 1
1
auch
.
.
.
Un mittelbar durch Subtraktion
004 2
3 895 63
Ne u n e rr e s t
=3
.
7
1 2 04 7 9
Beide Reste
daher die Zahl 1 2 04 7 9
5 ) stim m e n überein
richtig
2 Ve r f a h r e n
Der Ne u n e rre s t des Subtr ahend um d e n des
Restes vermehrt m u fs den des Minuend geben
In B ezug a u f das letzte Beispiel hat m an Ne un e rre s t 7 des
Subtrahend
N e u n e rr e s t 5 des Restes
1 2 =3
Da dies auch der Ne u n e rr e s t des Minuend ist so ist die Rech
nu n g richtig
M u lti p li c at i on
B ei s pi el
,
.
.
.
.
.
,
.
.
.
Ne u n e rr e s te
6
7
6
6 ü be r e i n s t im
um 3 6 vermindert
des Produkts folglich richtig
42
m end m it
dem
Ne u n e rr e s t
,
,
.
30
S
.
Bew
e ß
.
.
—
=l ’ l’+ 7
-
-
9
9
Di v i s i on
E lfe r pr ob e
V9
1 4l
.
+6
Das Produkt der Ne u n e r r e s te des Divisor und des
Quotient um den des Restes verme h rt m u fs den d es Dividend
geben
B eispiel :
d i
Rest 7 06
o 2
4
7
6
Ne u n e rr e s te
7
1 2
4 = 1 6 um 9 vermindert
überei n stimme n d mit dem N e u n e rr e s t des Dividend folglich ri chtig
.
.
.
.
.
,
,
.
,
ä
.
30
.
E lfe rpr ob e
.
Die zunä chst zu bildenden E lfe rr e s te erh ä l t man wenn man
die Summ e der Einheiten der
Ordnung (also die
5
der Einer Hunderte u s W ) um die Summe der E i nheiten der
geradzahligen Ordnungen vermindert Ist die erstere Summ e klei
ner al s die zweite so ist jene um ein passendes Viel fache von 1 1
zu vermehren so d a fs der E lfe rr e s t immer klei n er als 1 1 ist
1 B eispi el:
2
Der E lfe r re s t von 5 8 3 7 9 ist 9 3 5
7
8
)
(
2 B ei sp iel
Der E lfe rr e s t von 42 5 4 8 ist :
um 1 1 vermindert = 0
Der E lfe rr e s t von 2 9 1 7 5 ist
3 B eispiel
+2
4 B eispiel
Der E lfe rr e s t von 9 1 9 2 8 04 ist
,
.
,
.
.
.
,
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
Mit den E lfe rr e s te n v e rfäh r t man der Aufgabe
so wie es i m vorhergehenden Para graphe n mit den
geschah
5 867
E lfe rre s t
A d di ti o n
4
,
'
e m ä Is
g
ganz
1 Ie u n e r r e s te n
.
.
9 1 8 06
8 39 2
1 0
E lfe rr e S t
Sum me
folglich
richtig
S u btrak ti o n
(Vergl
2 01 6 0
I
E lfe rr e s t
9
.
übereinstim mend mit
dem E lfe rr e s te der
.
.
.
.
1 9 23 8
E lfe rr e s t
8
1 0
8
übereinstimmend mit
vorhergehenden Resul tate folglich richtig
9 22
,
9,
.
de m
5 31
1 42
.
G m ei e B r ü he
e
.
c
n
.
=5
—
—
—
hd
e
t
7
1
1
1
9
R
s
6
6
1
5
S
+
=9 }
1 2 04 7 9
E lfe rr e s t = 7 übereinsti m m end mit dem E lfe r r e s t
des Minuend folglich r ichtig
M ul tip l i c ati on
II
E lfe rr e s t
5 1 0042
3 89 5 6 3
.
.
,
,
,
,
.
.
3 8 49
1 0
E lfe rr e s te
2 6 8 869 5 8 5 6 ;
O
8
0
.
Beide Reste = 0
D iv i s i o n
folglich
,
richtig
.
.
5 6 1 927 4
l
E lfe rr e s te
Rest
o
1 0
1
1 2
B eide Reste
Bew
e ß
folglich
1
1
richtig
.
.
.
ä
l
7 06 ,
2
.
31
Ge m e i n e Brü c h e
.
.
B r u c h (gebrochene Zahl ) ist der als eine einzige Z a hl
gedachte und mit dem Bruchstrich geschriebene Quotient
be
.
.
deutet also den Wert
welchen man aus der Divi sion
,
g
erhä lt
ä
siehe 5 1 2 3
Meter kann z unä chst nur a ls der
4 Teil von 3 Metern nicht aber als das Drei fache eines Viertel
meters betrachtet werden (s ä 1 3 1 8 A n m e rk )
Die S ätze in B ezug a u f die Bruchrechnung si nd im A llg e
meinen identisch mit den in 5 1 3 gelehrten Divi s i on s sä tz e n und
werden hier nur in einer der Praxis angemesseneren Form und
Ordnung Wiederholt in B ezug a u f gewisse Formen (z B der g e
mischten Zah l ) aber auch erschöp fender behandelt
.
.
,
.
,
.
.
,
.
,
.
.
,
.
.
2
vi sor)
.
ist
der Z ä h l e r (Dividend ) 7 der N e n n e r (Di
Z ähl er u n d Nenner h e ifs e n di e G l i e d e r des Br u ches
Ist der Wert eines Bruches kleiner als 1 so ist er ein
5
,
.
.
3
g
In
.
,
e c h t e r B ruch ; z B
der Nenner
.
.
.
5
—
42
8
20
Der Z ähler ist alsdann kleiner als
S 32
1 44
2
%
9
h
.
9
un de
rt
(n ic h t :
li e s :
7
%
-
un d
-
Hal b
ei n
ei n t e l
ei n
,
F ü fh
e in
,
r
F o män d e
.
n
vi er z w ei F ü n fte l)
e in
,
ru g e
D r ttel
i
un d
ert
halb
,
-
r he
n
de r B ü c
zw
e D r tte l
n
un d
i
-
i
Vi e rt el ,
2
;
Vi e rtel , d r e r Z w e i
ein
,
z w e it el,
.
si e b en Halb e
Ne un tel , 6 d urc
A n m er k u n g A u fs e r d e n B rü c h e n v on d e r F orm
B r ü c he n ) g i c h t es n oc h B rü c h e a n d erer F or m z B
1
s ä
91
s
K ett e nb rü c h e
ä
l
2
n en
.
,
.
.
8
5 32
.
l
+
.
un d
ä
h7ä
g e m ei
D e c i ma lb r ü c h e
.
1
Formän d e run g e n d e r B rü c h e
.
.
4
(d e n
.
.
,
.
G a n z e i n B r u c h f o rm
Am ein fachsten g ie bt man der gan zen Zahl ( als Z ä hler ) den
1 8
Nenner 1 (s ä 1 3
z B 1 8=
F ü r andere Nenner we n de t
.
.
.
m an
ä
.
1 3, 3
.
,
an
.
.
Um aus
.
1
z B Fün ftel zu bilde n :
24
.
.
1 20
5
2
5
E i n r i c h t e n d e r B r ü c h e d i Verwandeln der gemischten
Zahl in einen unechten Bruch Um den Z ä hler des unechten
Bruches z u erhalten m u lti pli c i e re die ganz e Zahl mit d e m Nenner
und addiere zu dem Pro d u kte den gegebenen Z ähler
B eisp i e l e
.
,
.
.
.
,
.
.
8%
(s 5
.
.
7
1 3, 1 3, 2
3
27
60
1 4
1 4
7
.
Ve r w a n d e l n e i n e s u n e c h t e n B r u c h e s i n e i n e g e
m i s c h t e Z a h l (Umkehrung des 2 Satzes) Der Z ähl er ist ein fach
durch den Nenner (z B mittelst der Partial divi sio n ) zu dividieren
Beispi ele
7
1 35 7
o
1
o
.
.
.
.
.
.
.
0
E r w e i t e r n M u ltipli c ie r e Z ähler und Nenner m i t der
s elben Zahl Der erweiterte Bruch ist dem ur sprünglichen g le ic
4
.
.
.
(ä
.
1 3,
B ei s p i el
8
.
9
mit 5
erwe i tert
40
45
.
Ist ein Bruch in einen andern mit g e g e b e n e m Nenner z
verw andeln so ist der Quo ti e nt aus dem neuen und alten Nen
,
5
die Zahl
Z B
.
r
Fo m ä n d
.
eru g e
n
r he
der B ü c
n
1 45
.
2 Zus )
mit welcher erweitert werden mu fe (ä
6
Hier ist
mit 3 5 z 7 = 5 zu erweitern , und
.
,
6
.
32
.
7
man erhalt
.
.
7
35
6 -5
30
7 5
35
.
K ü r z e n Enthalten Z ä hler und Nenner ein g r ö fs e re s g e
so ist der Bruch ein r e d u c ible r (r e d u c tib le r
m e in s a m e s N a fs als 1
k ü r z b a r e r ) Man kürzt denselben durch dieses M a fs d h dividie r t
Z ä hler und Nenner du r ch dasselbe um einen Bruch mit kleineren
Zahlen (also be qu e m e rn Bruch ) j edoch von gleiche m Werte zu
erhalten (ä 1 3
5
.
.
,
,
,
.
.
.
,
,
.
.
B eispiel
Das ge m einsam e Mafe beider Zahlen ist
.
7,
3
daher
5
B rüche ,
welche sich nich t kürzen lassen
cible (irreductible ) z
,
B
.
nennt
,
m a n i rr e d u
.
Bei m Kürzen kan n m a n die nachstehe n den 4 F älle u n ter
scheiden :
I Die gemeinsamen M a fs e (vorzüglich 2 4 8
5 25
1 25
nach den Regeln der Teilbarkeit (siehe
3 9 1 1
S 2 4 ) in beiden Zahlen s o f o r t e r k e n n b a r
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
.
B eispiel
Die Quersumme beider Zahlen ist durch
.
die beiden letzten Stellen durch
zu n ä chst durch 1 2 kürze n :
3,
:
4
teilbar
,
folglich
ka n n
m an
1 2
1 8 7 44
5 62
7 4 1 84
Noch dur ch
2
gekür zt
3 09 1
D a ferner im Z ä hler 7
renz aus 1 und 1 2 = 1 1 ist
durch 1 1 kürzen :
8
0 und im
lä fs t sich der
1
so
,
.
Nenner die Di ffe
Bruch auch noch
1 1
781
71
3 09 1
28 1
Da 7 1 eine Primzahl die ni cht im Nenner enthalten ist so
kann der Bruch nicht weiter gekürzt werden
II D i e M a fs e n u r i n e i n e r Z a h l n a c h d e n R e g e l n d e r
T e i l b ar k ei t erk e n n b ar
S h
ig
L h b h d
A i th m t k I T i l
1 0
,
,
.
.
.
c
ur
,
e
r
uc
er
r
e
i
.
.
e
.
5 32
1 46
.
r
Fo m ä n d
.
eru g
n
r he
der B ü c
en
.
Zerlege diese Zahl nach ä 2 5 1 in F a ktoren und vers u che das
Kürzen mittelst der nun bekannt werdenden P rim fa ktoren
,
.
.
1
.
B eis p ie l
ää
—
.
Man erkennt im Z ä hler sogleich
?
welche Zahl den Bruch j edoch nicht kürzt Jetzt
.
1 1 o 1 7
1 87
f
Da der Z ähler
73 1
731
1 7 enthä l t , so
,
sich aber
e rg i e b t
nur noch die Pri m zahl
1 1
a u se r
1 1
sind nun nur noch 2 F älle möglich : ent w eder der
Bruch ist durch 1 7 k ü r z ba r oder er ist ir r e d u c ibe l Man findet :
.
:
1 7
1 1
43
73 1
2
.
B e i s p i ee L
l
.
1 273
Hier
'
1 675
legen und man erh ä lt
das Kürzen
fin det :
n ur
sich der Nenner leicht zer
lä fs t
Da
5
°
un
noch mit
ü der Primzahl
d 25
nicht kürzen so kan n
6 7 versucht
.
B
Man
25
D i e M a fs e i n k e i n e r Z a h l e r k e n n b a r
K e tte n div is i on (siehe S 2 6 II) anzuwenden
1
.
1 9
o 67
25
.
werden
67
1 27 3
III
,
e l s pl e
l
o
.
.
5 3293
Hier ist die
.
,
3 3 01 7
.
9
.
5 069
41 1
:
95 9
959
0
.
Der gegebene Bruch durch
2
.
Be i s p i e l
ist
n ur
noch
gekür z t
4 8 1 69
.
8 01 8 1
kennt man im Z ä hler
hi n
1 37
43 7 9
1 1
,
.
im Nenner
mit
8 9 09
9
.
Daher
zu kürzen
.
Mit
ä 32
1 48
.
B eispiel
lege
n
und versuche nun
gekürzt
5
1 3, 71
r he
der B ü c
n
in
3
1 7
.
nicht kürzt
51
so zer
,
Man findet
.
durch
Im Nenner erkennt man nun so fort die M a fs e
Hi er kom m t o ffenbar nur
.
diese Zahl gekürzt
6
eru ge
D a die
.
51
1 7
,
r
F o m än d
.
e rg i e b t
,
in Betracht
1 3
57
—
sich
durch
un d
°
35 5
B e s t i m m e n d e s G e n e r a l n e n n e r s Hier ist un verändert
ä 2 7 anzuwenden
B ei spi el e
Generalnenner von 1 8 2 4 3 0 40 = 8
1 6 und
.
.
.
.
.
,
,
,
7, 8 ,
7
G le i c h n a m i g
.
Um
suche
m an
Um
zuerst
23
Z2
42
de n
3 69 6
in
a c
he n
1 7
1 1
23
Bruche
di e
m
te l
,
48
,
28
d e r B r ü ch e
32
,
43
—
,
33
gle i chn a m i g zu
44
Generalnenner (von
=1
.
m achen,
42 , 4 8 , 2 8 , 3 3 , 4 4)
6
zu verwandel n dividiere
,
nicht
m an
s ondern benutze die schon vorhandenen Faktoren von
3 69 6 42 ,
3 69 6
D aher
.
m it
Ist der Z ä hler des gegebenen Bruches u m 1 kleiner als der
Ne n n er so erhä lt man den neuen Z ä hler wenn man vom General
nenner die Zahl abz i eht mit welcher z u erwei tern ist Daher :
,
,
,
,
43
7a
.
1 6 3 -7 1 1
0
erwe i tert
3 69 6
mi t
361 2
84
3 696
3 69 6
—8 4 und
o
4 3 -7
°
denn
1
3 69 6
44
84
3 69 6
44
44
m i th i n
43
3696
'
Z u s a t z Wird bei unverä ndertem Nenner der Z ähler g rö fs e r
so wir d auch der Wert des Bruches g r ö fs e r
2
Wird bei un verä ndertem Z ä hler der Nenner g rö fs e r so wi r d u m
gekehrt der Wert des Bruches kleiner (ä 1 3 2 3 1
7
7
5 O
7
B eisp iel e
”
1
.
.
,
.
,
.
.
2
.
Z usatz
.
1 8
Um
T8
1 8
die Brü che
1 7
7
.
'
3
"
,
,
1 3
’
32
’
23
56
31
’
75
33
’
80
vom
ä 33
.
r he
t
A dd i i on m i t B ü c
.
n
1 49
.
kleinsten zum g rö fs te n anzuordnen mache sie gleichnamig
findet fü r dieselben :
,
6 82 5
7 2 00
1 6 8 00
’
6 9 00
1 6 8 00
69 3 0
6 9 44
’
1 6 8 00
M an
.
1 6 8 00
’
1 6 8 00
'
Folglich nach au fsteigendem Werte geordnet :
1 3
23
33
31
3
32
56
80
75
7
ä
(Ein an deres Verfahr en lehr t
47,
.
Eine Zahl die g rö fs e r a ls 6 7 0 und klei n er als 6 7 0} ist
lie gt o ffenbar der Zahl 6 7 0 n ä her als der Zahl 6 7 1 ; dagegen W ürde
eine Zahl die g r ö fs e r als 6 7 0% und kleiner als 6 7 1 ist der Zahl
Wenn man daher fü r 6 7 0% und 6 7 0%
6 7 1 n ä her als 6 7 0 liegen
z B nur ganze Zahlen setzen wollte so h ä tte m an um einen
m ö g l i c h s t k l e i n e n Fehler zu be gehen in j enem Falle 6 7 0 im
le tz t e r n Falle 6 7 1 zu setzen
B eim A b w e rf e n d e r B r ü c h e eine Operation di e bei der
Anzahl von Individuen o ffenbar nötig ist beobachtet man daher
folgende Regel :
Ist der Bruch kleiner als
so lä fs t man ihn ein fach weg
so
ver
ehrt
man
4
ist er dagegen
f
r als 4
m
o
der
r
ö
e
s
2
g
die Anzahl der Ganzen um 1
L
Anstatt 9 2% Personen 2 4+ J 5 3 8—
2
J würde man daher
9 3 Personen 2 4 J 5 3 9 j zu setzen haben
8
.
1
,
,
,
,
.
.
.
,
,
,
,
.
,
,
,
,
:
,
.
‚
,
‚
,
1
2
1
3 7g
.
.
.
1
2
.
A d d i ti on mi t Br ü ch e n
.
3 7g
9
.
.
3
B eispiel
1 4
1 8
9
+ 74
zu addi eren :
1
1 4
1 4
73
s 48
.
Hi er erh i el t
w ar
33
‚
.
G l e i c h n am i g e B rü c h e
B eispi el
+ TI +
.
.
9?
5
1 4
„
,
ä
,
man
z un a c
73
948
1 %
hst
24
1 8
— =1
1 8
4
7 1
’
1 2
;
H
e
+
5
3 g
daher
ä 33
1 50
.
3
.
U n g le i c h n
a
machen und dann ist
B eisp iel
r h
t
A d d i i on m i t B ü c
.
m ig
en
.
B r ü c h e sind zuvor gleichn amig zu
i m 2 Satz zu verfahren
e
wie
.
.
.
Der Generalnenner ist
Folglich :
1 1 44
1 1
s
O
1
1
.
1 56
28
%
1 5 2 64
91
.
42 5 6
—
s
42 7 7
87
2
975
.
Die Summ e dieser Z ä hler
n er
4368
g i ch t
1 08 08
4368
m it de m
daher :
(s ä 3 2 ,
.
1 7 4 4i
4
g
2 07 2
Nen
.
5
,
4
.
Zus )
.
.
Vo r t e i l e
a Um 2 Brüche zu addieren vermehr t man das Produkt
aus der 1 un d 4 Zahl u m das Pro dukt aus der 2 und 3 Die
erhaltene Summe ist der Z ähler das Produkt der Nenner der
Nenner des gesuchten Res ultates
B eis p iele
5
.
.
.
,
.
.
.
.
,
.
.
35
22
1 6
3
51
33
56
°
Der Beweis e rg i e b t sich leicht aus der vollstä ndigen Addition
b Hat der Bruch sehr nahe den Wert 1 so verfährt m a n
in folgender Weise :
.
.
41
1
,
5
,
1
1 2
+ 8,
3
l eg
1
2
1 2
24
c Die in sä mtlichen Z ählern desgleichen die in sä mtlichen
Nennern enthaltenen gemeinsamen M a fse kann man ausheben
.
,
.
5 34
1 52
.
.
Sub t kti
ra
dah er :
r he
mit B ü c
on
n
.
5 6 1 03g
}
496 3
.
+
1
= e4 6 gg
.
der Bruch des Sub trahend g r ö fs e r als der Bruch des
Minuend so sind beide Brüche gleichnamig zu machen hierau f
1 Ganzes vom Minuend zu borgen und dasselbe m i t dem Bruche
desselben zu vereinigen indem m a n den neue n Z ä hler des Minue n d
um den Generalnen ner vermehrt
B e i s p i el
2 3 04 0045
2 3 04 0042
5
.
Is t
,
,
,
.
.
Den M i n ue n d denke man s i ch
= 2 3 03 99 +
n un
2 3 03 99
+
84
45
84
84
1 29
84
addi ert
45
daher :
1 2 9
s
74
_1
ubtrahiert
55
81 4 9 3
84
.
Oft ist es vorteilhaft , zuerst d e n Z ähler des Subtrahend
v on
d em Z ä hler des der geborgten Einheit gleichen Bruches abzuziehen
und dann den Z ä hler des Min uend zum Rest zu addieren Im
vorstehenden Beispiele würde man den Z ähler 5 5 des gesuchten
.
Restes
einfacher dadurch erhalten
,
dafe
m an
den geborgt en
Z ä hler 8 4 u m den Z ähler 7 4 des Subtrahend vermindert
und hierzu den Z ähler 4 5 des Minuend addiert = 5 5
6
Vo r t e i l e
a Vergl ä 3 3 4 a :
35
.
.
.
.
.
,
.
,
22
1 3
77
b
.
Vergl 5
.
.
33 , 4, b : 2 1
21
Vergl ä
B ei s pi e l
c
.
.
.
—
—
%
1 ä
—
—
—
=
1
4
7g +
+
3
1
1 2
33, 4 , c
49
1 4
.
88
7
7
7
5
24
35
264
.
5 35
.
d
B eispiele
Mul ti p l i t i
ca
.
r h
mi t B ü c
on
en
1 53
.
.
.
—
7
2
1
2
7
1
7
1
+s
‘
6
3
s
1 7
1 7
—
—
—
—
=
2
7
1
7
1
6
9
6
29 H+ 8 fi
8
+
+
fi
1%
5
1 1
=1
fi
40
1 4
A n m erk un g
m inderung
1
2
1
7
O
,
um
2
1 8
+ 30
45
24
40
1 5
Die Nachsilb e
t e h a lb
“
bedeutet die Ver
.
F ü n fte h a lb
.
dri ttehalb —
ä
l
+
1
B e i s p i e le
1
.
4
1 g i:
.
35
.
1
=5
andert halb
2
1
3
2
M ulti pli c a t i on mi t B r ü ch e n
.
M u l t i p l i c a t i o n e i n e s e i n fa c h e n B r u c h e s m i t e i n e r
ganzen Z ahl
B evor m an nach ä 1 3 1 9 den Z ä hler mit der ganzen Zahl
m ul ti pli c i e r t kürzt man letztere m i t d e m Ne n ner
B ei spi el e
.
.
.
,
.
,
.
1 1
-
1 8
(gedacht
24
1 1
——
4
44
— — 1 43
ä
1 8
1 8
,
3
31
5
31
1 55
3
Ist j edoch ein Bruch mit seinem Nenner zu m u ltipli c ie re n so
erh ä lt man ohne irgend eine Multiplication auszufü hren direkt
—
—
Z B
1 9 =l3
den Z ä hler (s ä
,
,
,
ä
c
.
.
.
.
.
Vo r t e i l e
a Man versetze den Ne n n er u n ter die ganze Zahl
.
.
.
5
1 54
B ei spi el e
1 3
.
1 7
35
.
M l t i p l i ti
ca
u
.
on
r h
m it B ü c
.
.
69 — 1 3
W
-
1 5
_1
3 4
o
1
+
1
= 30 —
37
1 9
b Ist der Bruch nur wenig kleiner als
gender Weise :
.
39 1 87
(1
1 2
1
1 5
1 9
so verfahre in
,
fol
3 9 1 87
39 1 87
1 2
s w
Man denke sich den Bruch als Summe von mehreren
3 2 65 1 1 ;
3 9 1 87
c
Brü chen
B ei spi el
.
en
u
.
.
.
.
.
7
4
1 25 9 8
1
3
1 2 5 94
2
5
1
u s w
.
.
.
O der au ch :
i
—1
i
1 2
1 2
9 +
2
1 25 3 8
daher :
2 5 39 8
1
o
—
—+ 1
2
1 2 5 39 8
‚
1 2 5 39 8
:
25 3 98
1
o
1 2
6
2
6269 9 : 6
1 04 4 9%
A n m e r k u n g 5 4 8 lehrt wie diese Brüche oh n e alle Ver
suche ge funden werden
2 M u l t i p l i c a t i o n e i n e s e i n fa c h e n B r u c h e s m i t e i n e m
e i n fa c h e n
Kürze zun ä chst j eden Z ähler mit dem andern Nenner alsdann
m u lti pli c i e r e nach ä
Zä hler mit Z ä hler Nenner mit Nenner
1 B eispiel
3
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
5
o
32
2
.
.
,
e
25
B ei spi el
.
ed
t
cht
1 1
95
43 7
1 01
9o
5
24
32
25
4
5
und
437
1
0
3
3
’
20
kann n i cht durch
gekürzt werden wohl aber läfs t
den a ndern Faktor
e r kennen mit dem das Kürzen zu versuchen ist
,
,
.
1 9
in
5
95
5
1 56
o
.
35
.
M ul ti p l i ti
ca
r he
mi t B ü c
on
n
.
o
Vo rtei l e
a 9 35; 5 6 ? M u ltipli c i e re
1 4) 4 = 1 3 1 o 4
b Die gebrochene Zahl nur wenig kleiner a ls die n ä chst
höhere ganze Zahl (Vergl 1 S a tz b)
B e i s p i e l 5 8 67 6
Man denke sich
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
5 8 6 7 6 (2 0
(5 8 6 7 6
20)
(5 86 7 6
c D er Z ähler der zugehörigen ganzen Zahl gleich
7
—
—
B ei spi el
? Man denke sich
1 7
5 3 5 8 01 ( l
7 6 5 43 o 7
3 5 8 01
(5 3 5 8 01
.
.
.
.
d
‚
Die Summe des Z ä hlers und der zugehörigen ganzen Zahl
um 1 kleiner als der zugehörige Nenner
B e i sp i e l
Da hier
um 1 kleiner al s 1 3
so denke man sich :
.
.
.
,
(8
0
1 3
7 3 07 2
(7 3 07 2
7 3 07 2
e B eh ä lt man v on der gemischten Zahl nur die Einer u n d
den Bruch die eingerichtet
erich
einen Z ähler geben der d e m vorher
weggelassenen Teile der ganzen Zahl gleich ist so kann man wi e
i m 3 Vorteil verfahren
B e i s p i e l 5 9 1 83
5 9 1 83 o (1 1 0
.
,
,
,
.
.
.
s
.
Vorte il c
.
Die Differen z aus der gemischte n Zahl und de m n ä chst
h ö h e r n Zehner sei eine gemischte Zahl
die eingerichtet einen
Zä hler gebe der j e n em n ä c h s th ö he rn Zehner gleich sei
B ei sp i el
f
.
,
.
,
.
6 5 9 8 7 1 2 2 3 57
im 4 Vorteil
0
wie
.
65 9 87 (1 30
6 5 9 87 o ( 1 3 0
:
1 30
1 7
.
Statt
der
g
emischten
Z
ahl
n im mt m a n den ei n gerichteten
g
Bruch wenn dessen Z ähler eine be queme runde Zahl ist oder
solche d u rch Erweitern wird
.
,
,
.
1 0
Daher :
1 6%
1 22
50
1 00
3
—
1 00
8
1 00
s
8 73
4
28
1 00
5
7 41
1 0
1 00
—
67i
69
1 0
5
1 00
1
O
ä 35
.
00
1 66%
41
32
0
1
4
83
—
0
M ul ti p l i ti
ca
.
on
1 00
'
6 64
1 2
n
1 57
.
:
+
; 31
1 84
; 4 6%
43
:
+
7 000
5 834
B eispiel
r he
m it B ü c
1 2
.
In gleicher Weise :
(oder
Q
1 33
=
+ 1
.
1
oo+
2
;
0
1
B eisp i el
0
3
;
:
.
1 3 5 6 6 1 6%
6
s u b tr
.
6 7 83 083 4
.
4
M u l tip l i c a ti o n ei n er ge m i s c ht e n Z ah l m it e i n e m
e i n fa c h e n B r u c h e
I Ist die gegebene ganze Zahl eine kleinere so i st es fast
i mmer vorteilha ft
die gemischte Zahl einzurichten und dann Wie
i m 3 Satze zu verfahren
B e i spiel e
3
3
.
.
.
,
O
,
.
.
.
2
3
1 91
6
1 3
1 2
2
1 3
d
(
63
2
1 8
'
6
+
65
39
1 2
6
1 2
1
.
1 3
1
'
3
i
.
Zus )
.
1
1 0
.
o
II Ist die ganze Zahl eine g r ö fs e r e so m u ltipli c i e r t man die
gemischte Zahl nach dem 3 Satze mit dem Z ä hler des ein fachen
Br u ches und di vidiert das Produkt ( ohne es einzurichten ) durch
.
,
.
den Nenner desselben
.
Denn
um
89 3 7 5 4
zu
m u ltipli c i e r e n ,
1 58
ä 35
.
lt l c ti
Mu i p i
.
denke man sich zunächst
a
89 3 7 5
8 9 3 7 5 736 3
4
—
g
2 9 49 3 8 9 ä z 4 6
27 6
mi t B
rüche
n
.
ä
46
‚
46
folglich
ist auch
die Rechnung d a her folgende :
46
2 68 1 25
268 1 2 5
0
on
„
33
= 64 1
1 7
1 89
1 84
53
46
78
46
3 29
3 22
23
23
— 46
(s ä
.
3
.
1
.
6
Das gesuchte Resulta t daher
Hier blieb bei der D ivi sion der anzen Zahl 2 9 49 3 89 durch
4 6 der Rest 7 Es lehrt n u n ä 1 3 2 9 3
us
d a fs der Rest 7 % gleich
falls noch durch 4 6 divi diert werden m u fs
Man kann sich dies
auch so denken :
.
.
,
.
,
.
‚
.
Die D ivision ist v o r der Multiplication auszuführen
man sieht dars j ene au fgehen mu rs
wenn
.
,
B eispi el
,
.
——
7 1 9 48 ä
o
1—1—
5
P
D a man beim Einrichten der
4
mischten Zahl als neuen Zähler
8 7
m mfs und diese Zahl wegen der Endziffer 0 durch
rechnet man :
7 1 9 48ä z 5
5
ge
O erhalten
teilbar ist so
,
-
1 5 8 2 8 6Q
.
5
Mu l tip l i c atio n ein er gemis ch t e n Z ahl mit ein er
g e m i sc h t e n Z ah l
.
.
ä 35
1 60
.
lt l c ti
Mu i p i
.
2 04 1
.
addiert
Zahl
mi t B
rüche
n
.
1
—
=
( 8 1 9ä
= 5 9 42g7
.
on
1r
5 7 3 7 3;
b
a
o
7)
.
Die gemischte Zahl sei nur wenig
k le i ner
als eine gan ze
.
B ei sp ie l
.
—3 5 1 6 7 6
.
ä
D aher :
7 03 3 5 2 0
43 9 5 9g
= 35 1
67 ß z8
su b tr
.
6 9 8 9 5 6 0ä
.
c
.
3 9 % 4 og = (40
2
4 0 40
-
(40 +
2
—
5
(sieh e g
1 6 00
5
25
.
F
2s,
,
2 9)
—
_1
5 99 ää
»
Bei m e h r a l s 2 F a k t o r e n verwandle man die gemisch
te n Zahlen in unechte Brüche und dividiere alsdann das Pro dukt
aller Zähler und ganzen Zahlen d u rch das P rod ukt der Nenner
(nach dem Kürze n dieser Zahlen )
B eispiel
6
.
.
.
1 5
4
1
1
9
.
g 6 k “r z t
.
1
3
4
(nämlich
mit
96 , 1 6
mit
6 0)
1
1
1 08
7
mit
1 6, 1 5
'
B e s on d e r e A u s d r ü c k e
“
“
I „ Von und „ davon bedeutet in V erbindung mit einem
“
e in fachen Bruche so vi el als „ m a l
B eisp i el e
.
.
.
.
.
4 hin te rlä fst 1 2 000 a ß B
.
ä
ZV bekommt
.
1
71
von
1 50 1 4
.
e rh ä lt
ä
davon
.
F olglich erhält
Folglich bekommt er
ä
.
1 50
B
:
=37 } J
4
7
5 36
.
II
v
D i i s i on m i t B
.
rüc h e
n
Welche Zahl ist 3mal so gro fs als
.
2
.
7
28
—
2 4— 8
1 61
.
o
.
Welche Zahl ist noch {5mal so gro fs als
ä
l
(s ä
.
36
30?
Di v i s i on m i t B r ü c h e n
.
G r ö fs e
Eine
.
.
An twort :
28 ?
ntwort :
A
.
d u r c h s i c h s e l bs t d i vi d i e r t
i
t
e
b
g
1
1 3,
.
B ei spi el e
2
93 1
.
4g
1
.
.
1—
J
—
7
3
1
9
1 g
:
l
1
2
,
.
23 4
1
2 34
.
D er D ivis or ein e ganz e Zahl
I D er D ivi d en d ganz e Z ah l
a D er Dividend kleiner als der Divisor
öi
n oc h gekürzt =
Beispiel
(s
.
.
.
.
.
.
.
f
l lg
b D er Dividend g rö fs e r als der Divisor
Beispiel
8 1 9 28 : 7 9
1 03 7 7 5g
.
1
:
.
.
.
'
.
79
29 2
237
558
553
E
7;
2 B
.
e is p i e l
.
Hier ist
7 6 3 1 928 z 8 4
.
4
7 1 1
7 6 3 1
(Vergl
1 3,
.
28 ,
G
anzuwenden :
9
,
4
1 1
9 2 8
(z1
2
6 3 5 9 9 4
9 0 8 5
II D e r D i v i d e n d e i n e i n fa c h e r B r u c h
Stelle den Divisor als Faktor in den Nenner u n d kürze vor
der Berech n ung des n euen Nenners (V ergl ä l 3 2 4 Anm )
2
B e i s pi e l e
.
.
.
.
.
’
1 2
‚
1 3
°
1 2
1 8
1 3
0
1 8
.
,
,
2
39
3
3
1 5
1 5
1 7
1 7
S
c
h
ur
i g
,
L e h rb u c h d e r A
ri
t
3
t
h m e ik
l Te i l
.
.
’
1 1
.
ä 36
1 62
.
III
v
D i i si on m i t B
.
rüch
en
.
D e r D ivid e n d ge m i s c h te Z ah l
a Der Dividend kleiner als der Divisor
Richte den D ividend ein und verfa hre wie unter II
1 0
Beispiel
.
.
.
.
.
.
80
9
1 0
.
21
3
Haben die beiden ganzen Zahlen und der Zähler ein gemein
sames M a fs
so ist zuvor mit demselben zu kürzen
.
B ei sp i el
durch
.
9
Denn
3
gekürz t
6
+7
3 2, : 5
=Ä
23
35
.
6
(9
(s ä
.
1 5
.
b Der Dividend g r ö fs e r als der Divisor
Dividiere unmittelbar ohne einzurichten
1 B e i sp i e l
( siehe 5 3 5 4 II nebst B eweis
das Ve rfa hr e n l)
2 B e i s pi e l
1 2 3 9 8 7 08 1 7 4
5 6 8 ( siehe ä 3 5 5 II)
9 4 8 31 274 1 8 5 ? D a
3 B eispiel
.
.
.
.
fü r
.
.
,
,
.
.
.
.
.
.
,
.
,
9483
0,
so ist zuerst durch 5 dann durch 3 7 zu dividieren
Bei kleineren Divisoren setze den Quotient unmittelbar unter
den Dividend
.
,
.
B e ‘s p‘e L
6
1
5
7 6 3 8 0 4: 1 1
6 0 3 4
Bestimmun g d e r 4
1
Hier blieb nach
8
Einer
al s Rest daher :
,
3
33
F
M a n beachte ferner die Vorteile in ä 2 8 G , 4 u 5
.
B ei sp i e l e
,
.
.
vermehrt um
.
89
4 45
1 52
42
21 9
21 0
91
84
daher das gesuchte Resultat = 1
5 47 7 0
’
f
7
4
5
5 23 5 5 v
7
.
4 2 000
5 47 7
2 9 400
;
5 36
1 64
.
B eispi e l
v
Di i s i on mi t B
.
1 2
rüche
6
2
7
5
n
.
0
.
35
Vo r t e i l
Zuweilen können bei der Division zweier g e
b r oc h e n e n Zahlen die ganzen Zahlen und Zäh ler durch dieselbe
Zahl gekürzt werden
Bei spiele
—
1, u s w
1 2:
gekürzt durch
1 4% : 3 5 ä
gekürzt durch
u s W
4
B e i m e h r a l s 2 B r ü c h e n sind die ganzzahligen Divi
soren gleich falls in den Nenner zu setzen und die gebrochenen
nach dem 3 Satze zu behandeln
B ei sp iel
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
.
’
9
1 4
1
21 "
5
G
ö
32
ekürzt
8
5
o
7
.
32
1
-
24
2
B es on d ere Aus drücke
Welche Zahl ist 3 % mal so klein als
.
.
25
1 00 ?
1 25
5
Antwort :
4
t
Welche Z a h l ist 4mal so klein als
Antwort
W
'
1 e
oa
2
'
1 st
An twort
1
.
1 3
1
7
.
6
1
2
.
in — e n th a lte n ?
'
7
7
3
2
6
1 3
1 3
:
.
%
te
80
9
3
—
— 5 4m al
7
.
2
7
Teil von
1
Welches ist der
9
6
Welches ist der
Antwort
6
.
6
.
3
1
80?
2
1 60
1 3
1 3
Teil von
1 2 1 43
.
1 2?
Antwort :
W
Ve lc h e Zahl ist noch
A
ntwort :
1
.
3
5
3
1 5
7 mal
so
k lein
32
-
—
3
‚
als
1 2,
'
37
ä
.
V ere i
.
Welche Zahl ist noch
Antwort :
9
.
30 : (1
37
n
j
fa c
i
he
n
d e r D 0 ppe lb r ii c h e
mal so klein als
1 65
.
?
0
3
ä
+
Ver e i n fac h en d e r Doppel brüc h e
.
.
Untersch e ide zunächst d e n Ha u ptz ä hle r (die zu dividierende
Zahl ) und den Hau ptnenner (die dividiere n de Zahl )
.
B e i s pi e l
3i
.
7
8
;
2
Ha u ptz ä hle r
,
„
Hau ptnenner
S pe c i a ln e n n e r : 6 und 8
S pe c i a lz ä hle r : 5 u n d 7
Z
;
,
.
e c n Zahlen richte ein un d setze die S pe c i a l
D ie gemischten
em H
H a u ptz ä h le r in d e n Hauptnenner ( aus dem obern
n e n n e r auss dem
nt
n ) u n d aus dem Hau pt n enner i n de n Hau pt
Teil in denn untern
zähler (vonn u n tten nnach oben ) Ganze Zahlen und S pe c i a l z ä h l e r
behalten ihre Stellung
.
.
B ei spi el
j
20
a
.
21
.
5
i
Beweis
mit
E
.
6
5
er w eitert
7
.
8
.
e rw e i te n
6
0
8
6
7
0
—
6
7
—
.
Beispiele
8
.
1 34
1 ;
:
3
3
4
2
8
3
o
55
'
°
1 5
2
9
.
29
88
8
noch mit
8
ä 38
1 66
.
.
D e c i m a lb rü c h e
.
En th äl t der D oppelbruch Summen und D i fferen zen
1
z B
.
3+
.
24ö
3
so rechne
5
en
tw e d e i
27 2
Wel ches ist der
re c
1 00
25 5
1 20
ipr ok e
1
1
H
43 g
,
1 55
%
Wert von
1 2
41
— undd hhiervon ist der
—
41
51 2
-
daher :
T
1
E ntweder
re ci
1 2
ke
ro
p
W ert
oder
,
1 2
41
,
wie
.
ä
1
_1
S pe c i a ln e n n e r ,
1 20
_
vorher
_
dem Generalnenner der
m it
'
2
3 4 -2 4
6
oder erweitere
—
2 f%
,
38
.
De c i m a lb rü c h e
.
gilt jede Einheit irgend einer Ordn u ng einer
D e c i m a lz a hl 1 0 Einheiten der n ä c h s tn i e d e r n Ordnung Man erhält
daher umgekehrt den Wert einer Einheit wenn man die Einheit
der nächsthöheren Ordnung durch 1 0 dividiert A u f die 1 000 gel
tende Einheit m u fs daher nach rechts hin
die Einheit mit dem Werte
a u f diese
alsdann
.
Nach ä
.
.
.
,
.
1
1 0
.
1
1 00
.
1 0
1 0
s w folgen
Be fanden sich demnach die 8 Einheiten der nachstehenden
dekadischen Zahl in der Ordnu n g der Einer (Einheit
2
4
6
7
so wür den die
8 3 5
9
Einheiten der b e tr e f g g 52
J
:
4
:
H
o
fe n d e n Ordnungen
I
E
gelten
und
die
F
u
.
.
.
.
,
‚
1 -1
Zahl hätte nach 5
.
1 9
den Wert :
_—
E
38
ä
1 68
.
2 stelligen ,
m a l s t e l le
Statt
oder
3
“
n
D e c i m a lb r ü c h e
.
einen
ö s te lli g e i i D e c i m a lbr u c h , dessen
“
) 0, 0, 7 , 1 , 9 sind
„ D e c i m a le n
(oder
schreiben Manche auch
oder
65 7 1
3
2 -1 0
1
3
1 1
.
1
„
1 2
1
5
1 2
1 44
1 7 28
2 07 3 6
Einheiten der
2
.
1
3
+
1
5
.
1 2
d od e k a di s c h e
4
1
+9
.
1 44
6
0
1
1
1 1
ist hier der (4stellige )
6
1
7
Da 1
sind so ist
oder
) ist daher g le i c h b e de u
21
.
D e c i m a lz a hl :
1 2
.
7
.
.
—
i +1
4
1
(s ä
1 2
3
o der
5
.
1
4
D e ci
hatte also den Wert
8
Die d od e k a di s c h e Zahl
tend mit der nachstehenden
7 8 65
„
.
6 -1 0
675
-
.
Die dekadische Zahl
.
.
.
1 2
5
1
'
2 07 3 6
Systembruch
D e c i m a ls t e lle
1
“
.
Einheit der
,
Einheit
1
6
der
—
4 D e c i m al s te lle
.
E i nhei ten
In der
1
4
1 0
Einheit der
6
.
3
1 0
.
D e c i m a lz a h l
a bc
gel ten daher die
h e i te n
5
Einheiten der Ordnung
4
der Ordnung
b,
ä
Einheiten ( oder
1 0
5
.
In
L es en d er
Satz
Einheit ) der Ordnung
De
c
im
a
lb r ü
+1
c
he
0
a
a uf
5
7
9
1 00
1 000
1 0000
.
.
.
1 000,
,
2 46 8
1 0
.
zurückgef hrt Erweitert man d e n 1 Bru ch mit
1 00 den 3 mit 1 0 so erhält man :
,
E in
.
zunächst
3
so viel als
Einheiten de r Ordnung b so viel als
5
wurde
1
2 46 8
ü
die
c
4
3 000
5 00
70
9
1 0000
1 0000
1 0000
1 0000
den
2
.
mit
5
3
Den
Zehntel
.
38
D e c i m a lb r ü c h e
.
D e c i m a lbr u c h
1 69
.
lies t man daher nicht 2 4 68
Satz ) so n dern ein facher :
,
Hundertel u s w (s 1
2 4 6 8 Ganze 3 5 7 9 Z e h n ta u s e n d te l
oder 2 4 6 8 Komma 3 5 7 9 Z e h n ta u s e n d te l
Allgemeine Regel :
Um einen D e c i m a lbru c h zu lesen betrachte t man die
Stellen des D e c im a lbr u c h s als a n z z a hlig e n Zähler eines
gemeinen Bruchs dem man als 1% e n u e r eine Potenz von 1 0
mi t so viel Nullen g ie b t als der D e c i m a lbr u c h Stellen hat
,
5
.
.
.
.
.
,
,
.
,
,
,
Daher
gelesen
.
7
.
62
Ganze
oder
1 00
62
Komma
7
1 00
1 97
0
1 000000
,
Komma 9 Zeh ntel
Um nicht ers t den zu lesenden Ne n ner eines D e c im a lbru c h e s
bestimmen und aussprechen zu müssen liest man z B :
3 Komm a 1
5 9 2 6 5 ;
0
o der
0 0 4 1 3 9 3
6
S c h r e i b e n d e r D e c i m a lb r ü c h e
Kehrt man die vorstehenden Sätze um so e rg i e b t sich dars
man
fü r 7 1 5 5 27;
den D e c i m a lbr u c h
0
.
.
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
.
,
.
.
,
,
1 97
fur
1 000000
“
schreiben kann I m le tz te rn Falle mu fe selbstverständlich „ 0 G anze
hin zugefügt werden um hierdurch den Rang der nach folgenden
Stellen zu bestimmen
Allgemein : Ist der Nenner des gemeinen Bruches eine P o
tenz von 1 0 so kan n man statt dessen einen D e c i m a lbr u c h
schreiben ind em man im Zähler so viel (von rechts nach
link s abzuzählende ) S tellen fü r den D e c i m a lbr u c h benutzt
als der Nenner Nullen hat Sollte der Zähler nicht so viel
Stellen haben so sind sie durch Nullen zu ergänzen
.
,
.
,
,
,
.
.
,
“3
D aher
2
1
7
32
D a der Nenner
?
letzten Ste llen des
89
_
9
.
Z ählers
al s
Nullen hat
D e c i m a lbr u c h
D er Nenner hat
1 0000000
D e c i m a lbru c h 7 stellig
2
7
werden und vor
Nullen
89
so sind die
,
zu betrachten
o
,
folgl i ch m u fs
sind mithin noch
5
der
Nullen
zu ergänzen
Der
37
D e c im a lbr u c h
eine Null zu setzen
erhält
3
Stel len mithi n ist vor
,
5 39 A
1 70
.
.
ddi ti
m i t D e c i m a lb r
on
.
5 40 A bb reche n
.
der D
.
e c i m a lb r
.
Folglich ist auch umgekehrt :
84
1 3 5 67
1 0
1 00
7
.
D er We rt eines D e c im a lbr u c h s wird nicht geändert wenn
man am Ende desselben die Nullen w e g läfs t oder beliebig viele
Nullen hinzufügt ; denn
weil der gegebene D ecimal
bruch k e i n e Hundertel k e i n e Ta u s e n d te l enthält
Bei Resultaten wird m a n diese ungültigen Nullen in der Regel
weglassen und z B statt
% nur
1 4 schreiben
Ist umgekehrt
in einen D e c i m a lbr u c h von mehr Stellen zu
verwandeln so könnte man demnach
oder
oder
u s w
schreiben
D ie ganze Zahl 1 7 kann mithi n auch
oder
u s w
g eschrieben werden
D ennoch läfs t man in gewissen Fällen (s ä
di e zuletzt
stehenden N ullen des D e c i m a lbru c h e s nicht weg
.
,
,
.
4
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ä
.
39
.
A d di ti on mi t De c i m albrü c h e n
.
D a nur gleichartige Gr ö fs e n addiert werden k ö nnen (s 7
also nur Ei n er zu Einern Zehntel z u Zehnteln u s w so sind
Kommata aller Summanden unter einander zu setzen
B eisp iel
85
.
.
,
.
.
,
,
di e
.
.
45 6 4
85
mm
Die Addition ergab hier in den Zehnteln
1 Einer
1 0 Zehntel
Einheiten
27
.
Da
,
20
99
2
9:
2 Einer
Folglich sind in die
7 Zehntel
so sind 2 7 Zehntel
Stelle der Zehntel der Summe 7 Einheiten zu setzen d ie 2 Einer
aber mit den 2 6 Einern der folgenden Stelle zu vereinigen
.
,
.
ä
l
ä 32 , 8
fü r 6 7 0355 ,
.
A bb r e c h e n d e r De c ima lbrü c h e
40
.
.
die Zahl 6 7 0
zufolge ist fü r 6 7 03 35 d i fü r
d i fü r
die Zahl ö 7 l zu setzen wenn die
und
Brüche abgeworfen werden sollen und der entstehende Fehler m ö g
li c h s t klein sein soll Hieraus folgt nun dars man auch fü r
nur
und fü r
setzen mu fe wenn der Decimal
.
.
.
,
.
,
.
,
.
.
,
,
ä 41
1 72
.
ge funden haben
u tr k ti o
S b
.
a
m i t D e c i m a lb r ü c h e n
n
In diese m Falle
.
lä fs t
.
man die Nullen am Ende
3
des D e c im a lbr u c h e s n i c h t weg sondern schreibt V9 3 0
um damit anzudeuten d a fs das Resultat a u f 6 Stellen richtig
rechnet worden ist
,
,
be
.
3
wür de bedeuten d a fs das Resultat nur a u f 3
Stellen berechnet und abgebrochen worden i s t und es würde u m
4
besti mmt bleiben wie die
D e c i m a ls te lle lauten
,
,
,
.
Hat man also einen De c im a lbr u c h a u f eine gewisse Anzahl
von D e c i m a ls te lle n berechnet die richtig abgebrochen sich a u f
Nullen endigen oder sogar nur aus Nullen bestehe n so lä fs t man
die Nullen nicht weg wenn der D e c i m a lbr u c h bei Berechnung
einer g rö fs e r n Anzahl von D e c i m a ls te lle n einen andern Wert e r
halten würd e
,
,
,
.
ä
.
41
.
S ubtr a k t i on mi t De c i m a lbr ü c h e n
.
Hier gelten dieselben Regeln w i e in der Addition ; daher sind
die Kommata untereinander zu setzen u s w
.
1
.
Beispiel
mn
mä
—a m5
:
M?
365
a ßa q
.
.
Gedacht
2 Ba q
.
Gedacht
mn
2n
63
:
— a u nmm>
G edacht :
Bei der Addition und Subtraktion von vielen Zahlen ist auch
hier die dekadische Ergänzung (s ä 2 8 E 5 ) von Vorteil Man
setzt a lsdann das Zeich en A unmittelbar vor die erste Einheiten
enthaltende Stelle
.
.
.
B e i s pi e l
.
a7 6
+0A
,
1
i 5 8
2 7 4 6
,
,
.
ä 42
.
B eweis
.
lt l c ti
Mu i p i
on
a
m i t D e c i m a lb r ü c h e n
1 73
.
.
vermindert um
1
Zehntel
0, A 1 2 7 4 6
2
B eispiel
.
=9
.
1 4 3, 7 9
A O2 , 7 1
A , 0 0
4, 8 7
0,
A , 2 4
l
.
42
2
5
2 6 4
3 2
5 8 7 4
7 6 3 1
6 2 2 0 5 8 4
4 9
ä
.
.
M ul t i pli cati on m i t De c i m a lbr ü c h e n
.
.
D e r M u l t i p l i c a t o r e i n e P o t e n z v o n 1 0 (also 1 0 oder
1 00 oder 1 000 u s
Man rückt das Komma im Multiplicand so viel Stellen nach
r e c h t s als der Mul tiplicator Nullen hat
B eispiele
Das Komma ist 2 Stellen nach rechts zu
rücken weil 1 00 zwe i Nullen hat Daher = 4 5 1 3 04 6
.
.
.
,
.
.
,
-
.
.
1 000
o
1 0000
B ewe is
,
.
1 3 00
.
Da
Einer
1 Zehner
1 0 o 5 Einer
5 Zehner
1 0 1 Zehntel
1 Einer u s w
der Mul tiplication mit 1 0 die Einer z u Zehnern
Einern u s w
Einer
1 Hunderter
1 00 1 Zeh n tel
1 Zehntel )
1 0
1 0 1 Einer
1 Zehner u s w
der Multi plication mit 1 00 die E iner zu Hunderten
,
,
.
so werden bei
die Zehntel zu
D a ferner
.
.
,
,
.
.
.
z
,
-
r:
:
o
.
.
.
o
,
so werden bei
u s w
Soll
in Hundertel verwandelt werden so kann dies u n
mittelba r nach S 3 8 6 oder auch durch Erweitern des Bruches
.
.
.
,
.
3
m i t 1 00
Ebe n so
,
geschehen
1 3
un
1 0-1 3
d
;
man erhält
1 36 1 4
'
1 74
ä
.
2
42
lt l c ti
Mu i p i
.
a
on
m i t D e c i m a lb r ü c h e n
.
M u l t i p l i c a t i o n mit D e c i m a l b r ü c h e n
Man m u ltipli c i e r t ohne Rücksicht a u f das Komma un d g i e bt
dem erhaltenen Produkt so viel von rechts n ach links abzuzählende
D e c i m a ls te lle n als die Faktoren zusammengenommen haben
1 B eisp iel
.
.
.
,
.
.
M u ltipli c i e r e 1 7 3 8
1 384
.
D a die gegebenen Faktoren
D e c i m a ls te lle n haben
so müssen die Stellen 1 3 8 4 die letzten Stellen eines ö s te llig e n
D e c i m a lbr u c h s werden
Folglich
,
.
B e w ei s
.
1 73
0, 1 7 3 0, 08
1 3 84
8
o
1 00000
1 00000
(s S
.
.
2
B eisp ie l
.
.
1 621 2
9 26 4
1 85 2 8
1 7 323 68
.
Die gegebenen Faktoren habe n zusammen 0 6 6 Decimal
stellen folglich sin d die 6 letzten Stellen des erhaltenen Pro dukts
zum D e c i m a lbr u c h zu machen :
,
o
M u lti pli c i e r e
5 6 1 9 o 41
Die Faktoren hatten 4
3
B eispiel
.
3
o
.
o
5
5 6 1 9 o 2 05
3
2
1 1 5 1 89 5
.
9 D e c im a ls t e lle n
.
D aher :
M u l tip l i c ati o n m i t e i n er r u n d en Z ah l
Man m u ltipli c i e r e zuerst mit der in der run de n Zahl euthal
tenen P otenz von 1 0 alsda n n mit dem andern Faktor
o 4 3 00
B e i s pi e l
1 00 4 3 ?
.
.
.
,
.
.
43
(3
3 D e c i m a ls te lle n )
0
4 887
65 1 6
( 3 D e c i m a ls te lle n )
4
.
Ab gek ür z te Mu l tip l i c ati on
Oft will man nur die e in flu fs r e i c h s te n also höchsten Stellen
des Produkts kennen lernen die letzten (oft u n s i c h e r n ) Stellen
aber unberücksichtigt lassen Um nun j ene durch ei n e abgekürzte
Rech n u n g allein zu erhalten m u ltipli c ie r t man zuerst d e n Mul
tipli c a n d mit der höchsten Stelle des Multiplicator
Anstatt aber
.
.
,
,
.
,
.
g 43
1 76
.
2
B ei s p i e l
.
Di
.
vi s i on
m i t D e c i m alb rü c h e n
.
.
1 9 7 4 284 1
4 6 06 663
5 2 6 47 6
1 3 1 62
3 29 0
26 3
53
6 5 8 09 47 3
6 5 809 41 7
6 5 80947 8
6 5 8 094 o 2
6 5 899 5
6 5 8 99 4
65 8 o 8
2 4 89 2 7 4 8
o
.
0
.
Vollst ä ndig wur de
m u ltipli c i e r t dann aber a b
gebrochen folglich erhä lt das Prod u kt
D e c i m a ls t e lle n
,
,
A n m e r k u n g Das St reichen der Stellen nimmt man im Mul
tipli c a n d selbst vor
Die hier neben den Par ti a lpr od uk te n stehen
den Pr oduk te dienten n u r zur Erkl ä rung fallen also in der
Praxis w e g
.
.
,
.
ä
l
.
43
Di vi si on mi t De c i m a lb rü c h e n
.
.
D u r c h e i n e P o t e n z v o n 1 0 (Vergl ä
Man rückt das Komma so viel Stellen n ach l i n k s als die
Potenz von 1 0 Nullen hat
B ei spi el e
M a n denke sich :
.
.
.
.
.
.
1 00000
Beweis
Da
1 00000)
1 9 u
Einer
1 0
1 Zehntel (s
1 Zehntel : 1 0
1 Hundertel
1 Einer : 1 00 = l
1 Zehntel : 1 00
1 Ta us e n dte l u s w
so werden bei der Division durch 1 0 die Einer zu Zehnteln
.
1
.
.
,
.
u
.
S
.
W
2
Z ahl
I
a,
99
3,
.
.
,
,
Hun de rt e ln
95
.
D ivisi o n ei n es
.
D e c i m a lb r u c h e s
d urch e in e ganz e
.
Hier ist di e Hauptregel der Division zu beachten :
Jede ein zelne Stelle des Divi dend ist zu dividieren (siehe
g 2 0 4 III )
B e i s p i e l 5 8 1 69 1 1 9 5 z 7 09 3 a u f 9 D e c i m a ls te lle n zu b e
rechnen
Zuerst 5 Zehner
7 09 3
0 Zehner ;
: 7 09 3 = 0 Ein er daher bis jetzt 00 oder
5 8 Einer
5 8 1 Zehntel
: 7 09 3
daher
0 Zehntel
5 8 1 6 Hundert e l
Hundertel
.
.
,
.
,
.
,
.
,
,
,
,
5 8 1 6 9 Ta u s e n d te l
u s w
.
.
.
Ta u s e n d t e l ,
5 43
.
Kürzer :
D i vi i
m i t D e c i m a lb r ü c h e n
s on
.
1 77
.
Einer : 7 09 3 0 Einer ;
Zehntel : 7 09 3 0 Zehntel u s w
Die vollstä ndige Rechnung ist daher :
58
5 81
.
.
.
7 09 3
5 6 7 44
1 4 25 1
1 4 1 86
65 1
0
in
65 1 9
0
der Praxis
w e g z ula s s e n
l
65 1 95
63837
1 3 5 80
.
Hier ist dem Reste die Stelle 0 hinzuge fügt worden da man
sich den Dividend
denken kann
W äre hier d as Resultat über die 9 D e c i m a ls te lle hinaus b e
rechnet worden so würde die vorstehe n de Divi sion in folgender
Weise fortgesetzt worden sein :
,
.
.
,
1 3 5 80
7 09 3
6 48 7
o
.
D a nun jedes Resultat richtig abzubrechen ist un d hier a u f
9 D e c i m als te lle n verlangt war so m u fs t e fü r vorstehe n den Quo
tienten nach ä 4 0:
gesetzt werden
Gewöhnlich gi s ht m a n fü r das Abbrechen des Quotient die
Regel :
Die letzte zu berechnen de ( hier
Stelle ist um 1 zu
erhöhen wenn der fo lgende Rest g r ö fs e r als die H ä l fte
des Divisor (hier 6 4 8 7 g rö fs e r als die H äl fte des Divi sor
7 09 3 ) ist weil dann die folgende Stelle mehr als 5 Ein
h e i te n (hier 9 in der 1 0 D e c i m a ls te lle ) erh ä lt
Man m ü fs te hierbei j edoch n och e i n P a r tia lproduk t berechnen
und subtrahieren Ein facher ist es n achzusehen welch er
Quotie n t aus dem zuletzt zu dividierenden Reste (hier 1 3 5 8 0) n ä her
liegt ob der n ä c h s tkle in e rn oder der n ä c h s th ö h e rn ganzen Zahl
Hier liegt
der 2 n äher als der 1 folglich m ufs bei
fortgesetzter Rechnung a uf den Quotient 1 o ffenbar eine Zi ffer
folgen die g r ö fs e r a ls 5 ist
Wollte man das vorstehende Resultat nicht nach ä 4 0 a b
brechen sondern
als o einen sogenannten u n
v o l l e n d e t e n D e c i m a lbr u c h
schreibe n um durch die Punkte
anzudeuten d a fs man die folgenden Stellen ohne Rücksicht a u f
S h
ig
L h b
h d A i th m ti k I T l
1 2
,
.
.
,
,
.
.
,
.
,
.
,
,
.
,
.
,
,
,
c
ur
,
e
r
uc
er
r
e
.
.
ei
.
5 43
1 78
.
Di
.
i
m i t D e c i m a lb r ü c h e n
v i s on
.
ihre Gr ö fs e ein fach weggelassen habe so könnte m an nicht wissen
ob diese Zahl vollstä ndiger berechnet nicht vielleicht
,
lautet also
,
99 9
1 000
(nahe
1
) Einheit der
9 D e c im a ls te lle m ehr
.
,
a ls
Der Fehler kann also bei dem unvollendeten (nicht
abgebrochenen ) D e c i m a lbru c h e nahezu bis zu e i n e r E i n h e i t der
letzten D e c i m a ls te lle ansteige n w ä hr end er (nach S 4 0 2 ) beim
.
,
abgebroche n e n
D e c i m a lbr u c h e
noch nicht
ä
,
Einheit beträgt Hier
.
aus folgt d a fs k Ye in Resultat d urch einen unvollendeten Decim al
bruch aus e drü c k t werden darf sondern stets richtig abzubrechen
ist Die unkte am Ende des D e c i m a lbr u c h e s können mithin nur
in d e r Theorie (s ä
nicht aber in der Praxis vorkommen Aus
demselben Grunde darf auch keine g e g e b e n e Zahl durch einen
unvollendeten D e c im a lbr u c h ausgedrückt sein
Die Au fgabe : „ Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist
“
M tr ; w i e gro fs ist der Inhalt ?
ist daher u n m a th e
m a ti s c h
Hi er m ü fs t e entweder
oder 1 7 3 3 Meter gegeben
se i n
2 B eispi el
4 9 3 a u f 6 D e c i m a ls te lle n zu berechnen
Zuerst : 0 Ganze
daher 0
49 3
0 Ganze ;
alsdann : 0 Zehntel
49 3
0 Zehntel ;
5 Hundertel
49 3
0 Hundertel ;
,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
: 49 3
5 8 T a u s e n d te l
5 8 2 Z e h n ta u s e n d te l 4 9 3
u
Oder :
S
.
0 Ta u s e n d te l ;
Z e h n ta u s ;
1
.
W
.
493
:
49 3
895
493
4 02 0
.
Hier liegt
der 8 n ä her als der 9 folglich würde
a u f den Quotient 8 eine Stelle fo lgen
die kleiner als 5 ist mit
hin ist 8 beizubehalten
,
,
,
.
6
3
.
B ei s p i el
4 1
.
=5
B e isp iel 31
Man denke sich
4
.
.
3
4
1
6, 9 2 8
9, 5 6 1
:
1
3 9 6 1 6 z 4 1 89 3
auf
7
4
.
au
f 4 D e c i m a ls te lle n
2 9 3 25 1
2 07 1 06
1 675 7 2
3 9 5 3 40
5 D e c i m a ls te lle n
A
.
.
5 43
1 80
.
.
D i vi
m i t D e c i m a lb r ü c h e n
s i on
.
B ei spi el
d i
Im Quotient kommen zu den schon vorhandenen
höchstens noch
hinzu Man findet
.
.
.
4
Stellen
.
8 00
also
9 D e c i m a ls te lle n
.
V 1 Ganzes
1 0 Zehntel
1 00 Hundertel u s w kann
nie dur ch die Divisoren 3 6 7 9 1 1 1 2
au fgehen ; all
gemein :
Enthä lt der Divisor a u fs e r 1 2 und 5 ein Ma fs welches
nicht zugleich ein M a fs des Dividend ist so kann die
Division n icht au fgehen
geht nicht a u f weil der Divisor das M afs 3 enthält
welches kein M a fs des Divi dend (7 3 ) ist Man findet
1 2 = O6 08 3 3 3 3
VI Der Quotient aus einer beliebigen Zahl und einem Di
visor der nur wenigg kleiner als eine Potenz v on 1 0 ist kann in
folgender Weise sehrr eein
i n fach berechnet werden :
a Dividiere
Dividend durch diese Potenz von 1 0
diere ddenn ggegebenen
geb
b M u lti phli c ri e r e ddenn 1im Satze a erhaltenen Quo tient mit der
Di fferenz
aus der Potenz von 1 0 und dem gegebenen Di
n z au
vi sor undd rrücke
üc
das erhaltene Produkt so viel Stellen nach
rechts
t aus als diese Potenz von 1 0 Nullen hat
c Den j edesmal erhaltenen Quotient m u ltipli c i e r e stets m it
der in b angegebenen Di fferenz und rücke das erhaltene
Produkt auch immer so viele Stellen nach rechts aus als
die Po tenz von 1 0 Nullen hat
Die Summe der in a b c
erhaltenen Zahle n g i e bt d e n
gesuchten Quotient
1 1
1 1
1 1
1 1
1 B ei spi el
.
.
,
,
,
,
,
.
.
,
,
,
,
.
,
,
.
,
.
,
,
.
.
.
,
.
,
.
,
.
,
,
,
.
.
.
9 97
1 000
3
1 000
1 000
2
03 3
09 9
29 7
2
.
B ei spi el
.
addiert
63 7 9
‚
99 96
4
+
ä 43
.
.
D vi
i
m i t D e c i m a lb r u c h e n
s i on
1 81
.
Hier sind die letzten Stellen 2 5 6 w e ggelassen w eil dieselben
noch durch die hinz ukom menden Zahlen verä ndert werden
,
.
B
ewei
s
a
.
1 0
"
1
a
—d
1 0
_
"
1
d
1 0
D ur h Pa rt ial di v isio wi r d
c
n
di
e
s :
d
i
‘
a
1 0
"
1 0
"
a
a
n
1 0
"
n
1 0
1 0
2
2"
4
d
d
d
n
1 0
n
n
1 0
D ivi sio n durch eine run de Z ahl
Rücke in beiden Zahl en das Komm a g l e i c h v i e l Stellen nach
l inks und zwar um so viel d a fs di e Null en des Divi sors wegfall en
1 B eispi e l
Das Komma in beiden Zahlen 2
Stellen nach lin ks gerückt (Kürzen durch 1 00 s
1 3
(s 2 Satz )
2 B eispiel
: 4 1 0000 ; das Komm a 4 Ste llen l i nks
3
.
.
,
.
.
.
,
.
00 I
.
.
.
.
.
3
.
B eisp iel
41
.
D as K omm a
1
1 65 8 3 1
Stelle links
79
oder :
4
D i v i s i o n d u r c h e i n e n D e c i m a lb r u c h
Man bilde aus dem D i v i s o r (ohne Rücksicht a u f den Divi
dend ) eine ganze Zahl indem m a n das Komm a nach rechts hi nter
di e letzte Stelle rückt Hierauf ist auch im Divi dend das Komma
g l e i c h v i e l Stellen nach rechts z u rücken
1 B ei sp i e l
D as Komma in beiden Zahlen 2 Stellen n ach rechts gerückt
um den ei n fachen D ivisor 3 7 zu bil den :
(nach dem 2 Satze
ausz u fü hr en )
.
.
,
.
.
.
.
,
.
.
Bew
e
m
.
0
1 00
37
B e i s p i e l 239
Man denke sich
Das K o m ma 4 Stellen
nach rechts :
A n m e r k u n g Hier m u fs noch einer P r o b e fü r di e Multipli
ca tion und Division gedacht werden die oft all en an dern v orz u
2
.
.
.
,
ä 43
1 82
.
Divi i
m i t D e c i m a lb r ü c h e n
s on
.
.
ziehen ist Man berechne die Au fgabe m i t sehr ein fachen Zahlen
die aber nur wenig von den gegebenen abweichen weil sich als
dann auch das Resultat nur sehr wenig von dem beabsichtigten
entfernen kann Im vorstehenden Beispiele kann das Resultat nur
we n ig kleiner als
weil der Divisor wenig g r ö fs e r
als 7 ist H ä tte daher Jemand
oder
oder eine
von 3 4 sehr abweichende Zahl als Quotient erhalten so m ü fs te
das Resultat o ffenbar falsch sein Im 1 B e i s p m u fs das Resultat
.
,
,
.
.
,
.
.
o ffenbar etwas
f
rö s e r
g
als
1 3
1 3
In
g r ö fs e r
is t
es dort
3
.
dem
als
1
z
folgenden
ä
sei n
39
Beispiele
1 3
o ffenbar
B eispiel
und etwas kl einer als
ä
:
n
.
ahe = 6
Das
.
.
'
m u ls
das Resultat wenig
sein In ä 4 2 4 1 B e i s p
4}
In der That ist
.
o
o
'
Ko m m a
1 7 , fer n er
un
d 0, 3 9
'
o
durch
o
K ürze
P
1 3
.
.
.
Stelle nach rechts
(s 2 Satz )
1
.
‘
,
,
i
1 27
4 B e l s pl e l
.
.
und
.
durch
Daher :
(da s K Om m a ö s te l
'
22 00
3
len nach rechts )
5
5
Abgekürz t e D ivi s io n
Um die e in flu fsr e i c h s te n also höchsten Stellen des Quo tient
allein zu erhalten kann m a n die Rechnung in folgender Weise
abkürzen :
M a n verwandelt zun ä chst den Divisor nach dem 3 u n d
4 Satze in eine ein fache gan ze Zahl u n d dividiert alsdan n
ganz wie im 2 Satze Anstatt aber spä ter an den Rest
j edes m al die folgende Stelle des Divi dend anzuhä ngen
streicht man dafür stets die letzte Stelle des zuvor be
nutzte n Divisors
7 O6 9 1 7 3 = P
1 B eispiel
.
.
,
,
.
.
.
.
,
.
‘
.
.
,
5
4 8 42 1 1
69 1 7 3
5 4 5 5 07
48 42 1 1
6 1 2 96 : 6 9 1 73
5 5 33 8
b
5 9 5 8 : 6 9 1 73
a
(s u n te n die A n m e rk )
.
.
5 44
1 84
.
V erw
.
an
d
el
e e e
der g m in
n
w
44 4 8 2 1 3 4 ( i e d e
0
r he
i n D e c i m a lbr ü c h e
B üc
n
.
rh olt)
444 z 8 2 1 3 4
0
O
Diese D i vi soren m i t durch
Stellen
s tri c h n e n
sch
eibt
e
r
m a n m der Prax s m c h t
41 1
i
sondern strei cht j edesmal
3 3 82l
eine Stelle in de m oben
links vom Gleichheitszeichen stehenden Divi sor 8 2 1 3 4
.
C
O
,
O
.
ä
1
44
.
°
Ve rw a n d e ln d e r g e me i n e n Br ü c h e i n De c i ma lbr ü c h e
.
1
.
B eispiel
O
2 B e l s p1
.
e
ä
.
(s
3
3
l
.
.
8
1 1
ä
(s
.
.
ä
.
.
3
7
.
Da hier der
derselbe Rest Wiederkehrt
Q uotient wieder
der erschei ne n und es ist
so mu rs auch derselbe
,
Die stets nach gleichviel Stelle n in derselben Ordnung
kehrenden Stellen nennt man P e r i o d e
In
.
3
1 1
w
ieder
ist die Perio de
sie ist also 2 stellig
A n m e r k u n g Selbstverstä ndlich kom m t man de m Werte des
gegebenen gemei n en Bruches de s to näher j e mehr man Decimal
2 7,
.
.
,
stellen berech n et
dagegen
.
ist z B
So
von
.
3
TI
nur
O
Die Pe riode ist hier
4
.
B ei spi el
1
.
73
,
3
von
.
1 1
verschieden
um
6 6 6 6
6,
also
um
l s te llig
73
.
.
5 44
.
.
V rw
e
an d
el
n
g e m ei n e n
de r
B
ru he
i n D e c i m a lb r u c h e
c
1 85
.
( w i e d erh olt )
7 2O
65 7
630
5 84
460
438
2 20
21 9
1
Da hi er derselbe Rest 1 w i e bei
die Periode die hier 01 3 6 9 8 6 3 ist
1
—
also
1
,
m
,
,
:
erscheint so m u fs nun
neuem beginnen Es ist
73
n
,
.
73
Au m e rk u n g
man vorstehende n
—
i
01
Da
.
9
De c i m a lbru c h
—
d
81
1 1 1 1
durch
n ur
—_
1
l
9
9
.
9,
h at
so
zu divi dieren um
,
1
81
zu erhalte n
Hieraus fol gt aber
.
,
d a fs
und mithin z B
d i
.
1 2 3 45 6 7 9 9
o
7
= 77777 7777
.
.
.
1 2 3 45 6 7 9
se in m ufs M u ltipli c ie r t man daher 1 2 3 45 6 7 9 mit dem 9 fache n
einer l s te lli e n Zahl so m u fs man ein e aus lauter gleichen Z iffe m
bestehende Zahl als Produkt erhalten diese Ziffer aber gleich jener
l s te llig e n Zahl
Enth äl t ein D e c i m a lbru c h von irgend einer Stelle an in
2
allen folgenden Stellen k e i n e Einh ei ten so nennt m a n denselben
einen e n d l i c h e n (vollstä ndigen vollendeten) So ist
(s 0 b
das 1 B e i s p ) ein endli cher D e c i m a lbr u c h Geht also die Division
zweier gan zen Zahle n a u f so ist der entstan dene D e c i m a lbru c h e in
e n d licher
Tritt j edoch so viel Stellen m an auch v om D e c im a lbru c h be
rechnet der Fall n i e ein d a fs von einer gewissen Stelle an die
so nennt man den
folgenden Stellen kein e Einheiten enthalte n
De c im a lbru c h einen u n e n d l i c h e n
Die D e c i m a lbrü c h e des vor
3 und 4 Beispiels sind daher unendliche
stehende n
Werden von einem D e c i m a lbru c h s v on einer gewissen Stelle
a n die folgenden Stelle n ein fach weggel a ssen
ohne die Regeln des
Abbrechens anzuwenden so setzt man einige Pu n kte hinzu Einen
.
g
,
,
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
,
.
,
,
,
,
.
.
.
.
,
,
solche n
D e c im a lbr u c h ,
z B
.
.
.
ä
u n v o l l e n d e t e n o der u n v o l l s t ä n d i g e n
nennt
.
(Ver gl
.
ä
.
m an
43 , 2 ,
einen
I!)
5 44
1 86
.
.
Verw
an
d
el
n
der
g em ei n e n
Die unendlichen periodischen
r he
kürzen Manche durch
nur
2
1 3
ab
Man denke sich
4 7 3 23 ?
.
in einen
De c i m a lbr u c h
.
D e c i m a lbr ü c h e
oder auch durch
3
i n D e c i m a lb r ü c h e
B üc
2
47
1 3
.
und verwandle z un ä chst
.
2
2
2 , 000000
:
1 3
D a hier nach der 6 D e c i m a ls te lle derselbe Rest
so beginnt die P eriode von neuem und es ist
.
2
2
vvi e d e rk e hr t,
oder
1 3
Nun ist die gegebene Zahl = 47
4
1 1
.
1 3
1 3 00
1 3 00
(s
.
ä
43 , 3)
.
Die Periode 8 4 6 1 5 3 beginnt hier nicht mit dem Komma son
dern erst mit der 3 D e c im a ls te lle Ein solcher D e c i m a lbr u c h wird
ein u n r e i n p e r i o d i s c h e r (u n te rbr oc h e n pe ri odis c h e r g e m i s c htpe ri o
discher) genannt Die ersten Stellen des D e c im a lbr u c h s welche
nicht zur Periode gehören und derselben vorausgehen (hier 00)
nennt man Vor z iffe rn oder v orpe ri odi s c h e Stellen
Die D e c i m a lbr ü c h e bei welchen die Periode mi t d e m Kom m a
beginnt (s die B e i S p im 1 Satze ) nennt man r e i n p e r i o d i s c h e
,
.
.
,
,
.
.
,
.
2
.
.
B eispiel
.
B e i s p i el
,
.
2 01
.
29 6
‚
Hier ist die Periode
3
.
05 4 ,
die Vorz iffe r n sind
6 79
.
.
Um bei einem u nvollendeten D e c i m a lbr u c he w i e dem vor
stehenden die Periode zu bestimmen gehe man von der zuletzt
angegebenen Stelle rückwärts Die Stell e welche zuerst von den
ist die letzte der Vorz iffe rn
r e g e lm ä fs i g wiederkehrenden abweicht
und die Periode beg i nnt rechts von derselben
Im vorstehenden D e c i m a lbr u c h e sind die Zi ffern v on rechts
her :
5 9
,
,
,
,
.
,
.
-
,
.
ä 44
1 88
.
V er
.
ä
w an
1
,
5
,
d
5
:
el
r he
B üc
i n D e c i m a lb r ü c h e
o
7
B
C
4 : 1 00
1
5
Nu n
A
9
1 1
ä
ist :
durch
.
3 5
7
1
9 -5
9
1
1 1
5
1 1
B eisp i el
x
3
5
0
9
E
,
1
7
D
= O2
1
5
addiert :
1 1
x
.
1
1
1
1
1
72
Zuerst
1
72
?
1
72
Nu n
i st
1
72
1
2
72
.
72 ,
daher
.
(z8
1
72
,
1
72
3
.
E
1
div
3
C
.
.
o 4 : 1 00
B
2
.
D
1
5
.
2
1
5
g em ein en
de r
n
.
5
44
.
.
V erw
d
an
el
n
g e m ei e
de r
n
r he
i n D e c i m a lb r ü c h e
B üc
n
1 89
.
1
Eben so
72
,
Hieraus fol gt :
1
72
1
1
3 72
,
72
1
‘
72
5
,
,
72
5
A
.
1
1
2 72
,
72
,
1
1
4 -7 2
4
72
4
I
4
B
A
um
B
vermi n dert (ä
x
7
9 , 1 7,
.
= 0 01
Zus )
.
t
i
e
b
:
g
3 79 3 322 1 3 2
,
.
.
Ist der Nenner des ge m einen Bruches eine Zahl die nur
di e Faktoren 2 oder 5 enth ä lt so i s t der gleichbedeutende Decimal
bruch ein e n d l i c h e r ( B eweis s ä 4 3 2 III )
.
,
,
.
.
B ei sp i e l e
9 1 ,—
ä,
1 7
40
Dagegen
8
T5
,
denn
.
1
.
5 ;
1 6
denn
40— 2 2 2
o
0
2 2 2;
o
o
o
D e c i m a lb ru c h ,
4
3
=2
.
den n
u n e n d licher
'
-
,
5
3
1
2
0
5
.
weil
-
2 3
o
.
6
4, 0 0 0 0 0 0 z 7
:
Diese Di vision
Verwandlung von 4 in einen D e c i m a lbr u c h
zeigt die Reste 4 5 1 3 2 6 D a nun kein Rest g r ö fs e r als
6 sein kann und schon alle Reste von 1 bis 6 vorhanden waren
so mu fe o ffenbar der 7 Rest einer der vorhergehenden sein Hier
ist der 7 Rest (aus
gleich
a lso dem 1
Bei gleichen Reste n aber m u fs auch der Quotient Wieder der
selbe sein folglich m üsse n sich nach j enen 6 Stellen 5 7 1 42 8 des
,
,
,
,
,
.
,
.
.
.
.
,
.
5 44
1 90
.
V erw
.
and
el
e e e
der g m in
n
r he
B üc
n
Quotienten dieselben Zi ffern wiederholen
nicht mehr als 7
Stellen haben
i n D e c i m a lb r ü c h e
.
Die Periode kan n also
.
.
6
5
5
9
0 0
1 7
1 7
.
5
Die Reste sind hier 6 9 5
D a kein Rest g r ö fs e r als
1 6 sein kann so sind im ungünstigsten Falle die ersten 1 6 Reste
nur die 1 6 i n (scheinbar) b eliebiger Ordnung auftretenden Zahlen
Weil n un der 1 7 Rest gleic h falls eine der Zahlen
1
2 3 bis 1 6
1 bis 1 6 also einer der früheren Reste und dann auch der Quo
tient derselbe sein m n fs so folgt daraus d a fs die Periode sp ä te
stens mit der 1 7 D e c i m a ls te lle von neuem beginnen m u fs und aus
n icht mehr als 1 7
Stellen bestehen kann
Aus dies en Beispielen e r g i e bt sich der Satz :
Die Periode eines D e c i m a lbru c h e s kann nicht m ehr Stellen
haben als der Nenner des gleichbedeutenden gemeinen
Bruches Einheiten hat weniger eine
,
,
,
.
,
,
.
,
,
,
.
.
,
.
,
1
stens
kann also e i ne hochste h e
1 49
2 6 8 stellige
9
Periode geben
1
1 4 8 stell i ge ,
e i ne hoch
2 69
.
ä
den Rest
(z B
Erhä lt man bei der Ver w andlun g von
.
.
1
in
.
einen D e c i m a lbr u c h nach 72 Stellen wieder
1
so g i e b t
also
den Rest 1 d i die Division ( 1 0
p geht a u f Da
1
2
3
so ist
nun 1 0
1 0
1 0
n
s w
l 0 — 1 eine aus n Nennen bestehende Zahl
Geht daher die Di
vision eine r aus n Nennen bestehenden Zahl durch p a u f so m n fs
auch der Quotient nach j e n Nennen immer wieder derselbe sein
d h die Periode beginnt m i t d e m K o m m a
B e i s pi e l 9 9 9 3 7 = 2 7 , folglich :
,
n
,
.
.
.
.
.
.
,
n
.
,
,
.
.
.
.
1
1
1
l
000
37
.
37
0, 02 7 02 7
1
Geht aber
2
3
15
9 :p
9 9 9
au fgehen d h die Periode
,
.
.
'
aus
m a lbr u c h e s m n fs
i
a u f,
Z
so
m n fs
(z B
.
S
)
—
.
12 7
)
au ch
9
99
entstehenden Deci
gleich falls mit dem Komma beginnen
1 0
Da 9 9
9 nicht durch 2 und 5 teilbar ist so g ilt
der 9 Satz nur dann wenn 2 und 5 nicht Faktoren des Nenners
sind Enth ä lt daher der Nenner des gemeinen Bruches a u fs e r
i
i
andern Zahlen entweder die n Potenz von 2 o d e r die n Potenz
.
.
.
,
,
.
e
e
5 44
1 92
.
V erw
.
an
d
el
g em ei n en
d er
n
r he
B üc
i n De c i m a lb r ü c h e
o
1
Beseitigung di eser Potenz bleibt 1 05
5 21
5
21
mu fe die Periode mit der
t
2 +1
1
oder 4 D e c i m a lste lle begin n en
H H
b4
.
Folglich
.
en
.
.
N
“
n:
ö
O
O
P
<1
<1
O
O
D
c
U1
O
2
1 0
O
Q
B ei spi el
.
Nach Bese i ti g un g der
O
.
1 6 4 000
+2 +1
H H
H
3
.
Pote n z von
Fol gli ch m u fs die Periode m i t der
o der 6 D e c i m als te lle begin n en
bleibt
3
.
O
te n
.
.
N
"
U
"
ö
O
:3
O
D
—
4
b
y
o
l0
B e w e i s Nach dem Ha upts a tz e beg innt bei 2 oder 5 die
t
n
t“
n
1
D
c
i
m
ll
e
Periode mit der +
e
al s t e
Wegen der k Potenz
von 1 0 aber rückt das Komma no ch l: Stellen nach links so d a fs
t
l
nun die Periode mit der Ic + n + 1
D e c i m a ls te lle be gin n t
"
"
.
e
.
,
en
.
1 0 26
1
1 1
1
.
Die Periode von
Rest 1 gicht w i e
7
ist also
1
37
3 stellig ,
weil
3
l0
z3 7
d e n s e lb
,
Allgem ein
'
D ie Periode von
.
t Ic s te lli g
,
we n n
den Re st 1 gicht mithi n (s 9 Satz ) wenn di e aus lt Ne n n e n b
stehende ganze Zahl 1 0 — 1 durch n teilbar is t
d a fs die aus einer geringe m An zahl von Ne n n e n bestehe
n icht schon dur ch n teilbar ist
So i s t 9 d i di e aus e i n e r
bestehende Zahl dur ch 3 und 9 teilbar folglich geben
.
.
,
71
,
.
,
.
.
,
,
1
1
4
5
7
3
9
9
9
9
eine e i n stellige P eriode 9 9 di e aus 2 Ne n nen bestehende
ist
Daher i s t sie dur ch die in
h a lte n e n Zahlen (s ä 2 5
d i dur ch 3 9 1 1 3 3
t l
geben
eine z w e i s t e l l i g e
99
.
.
.
,
,
.
e
.
,
,
,
,
Z ah
5 44
.
Ver
.
l
w an de n
g e m ei n e n
der
F olglich geben
eine 3 stellige Periode
Folglich 1
m i t 4 stelliger Peri ode
r he
B üc
i n D e c i m a lb r ü c h e
d ie
Nenner
01
3 03 , 9 09 , 1 1 1 1
27, 3 7, 1 1 1
1 93
.
,
.
99999
=3
2
.
41
.
.
,
2 7 1 ) ergeben sich
3 3 3 3 3 , 9 9 9 9 9 m i t 5 st e lliger
gleiche Weise findet
6
m an
1 0
a us
—
1
7
,
1 0
2 7 l,
Periode
—1
8
,
1 0
.
2 1 , 3 9 , 6 3 , 7 7 , 9 1 , 1 4 3 , 1 00 1 , 1 0 1 0 1
7 stell Per
2 39 , 7 1 7 , 2 1 5 1 , 4 6 49
7 3 , 1 3 7 , 1 000 1 , 1 0 1 01 01
8 s t Per
9 s t Per
8 1 , 3 33 6 6 7
1 08 t Per
9 09 1
2 1 6 49 , 5 1 3 2 3 9 = 1 l s t Per
9 9 01 = 1 2 s t Per
5 3 , 7 9 , 2 6 5 3 7 1 6 5 3 = 1 3 s t Per
1 4s t Per
9 09 09 1
l ö s t Per
3 1 , 9 3 , 2 9 06 1 6 1
1 6
1 7, 5 1
5 88 2 3 5 3
1 8
1 9 , 5 7 , 5 25 7 9
20 „
2 l st Per
4 3 , 1 2 9 , 1 9 3 3 , 1 08 3 8 6 8 9
23 ,
4 09 3 , 8 7 7 9
22
2 4 s t Per
9 9 9 9 0001
2 6 s t Per
8 5 9 , 1 05 8 3 1 3 04 9
2 7 s t Per
2 4 3 , 7 5 7 , 4 4 03 3 46 5 47 7 7 6 3 1
2 8 s t Per
2 9 , 8 7 , 2 8 1 , 1 2 1 4 99 44 9
2 1 1 , 241 , 287, 2 1 6 1
3 08 t Per
3 2 s t Per
3 5 3 , 4 49 , 6 4 1 , 1 409 , 69 8 5 7
3 3 s t Per
67
1 03 , 401 3 , 2 1 99 3 8 3 3 3 6 9
3 4s t Per
71
3 5 s t Per
9 9 9 9 9 9 00000 1
3 6 s t Per
4 08 t Per
9 99 9 00009 9 9 9 000 1
4 1 8 t Per
83
4 2 s t Per
49 , 1 2 7 , 2 689 , 45 9 69 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
z
.
.
.
.
.
h
u r
ig
,
Le h r
61
27 7
1 51
1 57
1 69
1 91
b h
uc
.
.
.
c
.
.
.
43
44
46
46
50
53
58
Per
.
.
1 73
89
47
1 39
25 1
1 07
59
.
.
.
.
6 stell
.
.
S
3 3 3 3 , 9 99 9
27 L
3 69 , 8 1 3 , 5 43 9 , 1 1 1 1 1
u s
,
.
A us
A uf
,
de r
1 97
60
69
75
78
78
95
r
me
98
99
1 99
1 09
1 1 3
2 27
1
1
1
1
283
i
A ith t k I
.
.
Te i
.
l
.
08
1 2
1 3
41
293
1 49
1 67
1 79
1 81
1 93
1 46
1 48
I66
1 78
1 80
1 92
223
2 29
23 3
25 7
263
2 69
2 22
22 8
232
25 6
2 62
2 68
.
— 1
5 44
1 94
.
Ve
.
rw del der g em ei
n
an
B
n en
rüche
i n De c i m a lb rü c h e
.
Z u s a t z Da di e Division oft durch Zerlegen des Divisor
be quemer wi rd s o dividiert man zuerst durch den Faktor welcher
entweder einen en d lichen D e c i m a lbr u c h oder eine P eriode von g e
ringer Anzahl Stellen g i e bt
.
,
,
.
1
2
.
.
B e is p ie l
B ei s pi e l
.
:
8
:
7
u s w
.
.
53
.
.
1 1
77
u
—
s
.
.
"
1 aufgehenden Nenner
Aus dem Satze „ Alle i n 1 0
1 2
“
geben ein e (h ö chstens ) k s te llig e Peri ode folgt u nmittelbar :
:
.
"
l au fgehenden Ne n n er geben eine (h ö ch
All e in 1 0
“
stens) 2 k stellige P eriode
“
so folgt :
D a nun 1 0
k
Alle in 1 0 + 1 aufgehenden Nenner geben eine h ö ch s te ns
2 k s te llig e Peri ode
„
.
.
B ei sp iele
.
2
1 0
=
1
+
1
eine h ö ch s te n s
01
a
99
Qs te ll
.
4
‚a
9a
P er
.
‚9
6
D a nun 7 und
e ine 6s tell P er
.
in
enthalten sin d
1 001
,
so
gebe n diese auch
.
i
l0
1 3
1 3
+ 1 enthält
und
73
1 37
mit
8 5 tell Pe r
.
.
1 0 1 7 4
1
‘
2
0, 0 1
: 8 3 fortzusetzen
Die Division wäre jetzt mit 4 00
Da aber
: 83 das 4 fache von l
: 83
so müssen die nun folgenden
4
Stellen des Quotient o ffenbar 4 m a l so gr o fs als vorher sein es
mu i s al s o 4 01 2 = O48 folgen Aber auch die Reste müssen 4m al
s o gro fs werden und e s m u fs der bei der 6 D e c im a ls te lle erhaltene
Rest 4 mal so gro fs als der bei der 3 D e c i m a lste lle erhaltene sei n
2
Folglich :
also
4o4
4
.
,
,
.
.
.
.
,
.
1
4
1 6
000
:
83
O4S
D er neue Quotient
is t wieder das 4fache des Quo tient
4 : 8 3 und auch der a u f di e 9 De c i m a ls te lle folgende Rest o ffenbar
3
das 4fache des a uf die 6 D e c im a lste lle folgenden al s o = 4
.
.
,
.
5 44
.
V er
.
1
n
4
1
Daher :
del
w an
,
g e m ei e
de r
n
1 6
B
n
ruche
i n D e c i m a lb r ü c h e
.
1 95
64
000 000 000
O48
1 92
7 68
3 07 2
1 2 28 8
49 1 5 2
äg
O4 8 1 9 2
Hieraus läfs t sich allgemein folgender Satz ableiten :
Ist bei der Verwandlung des Bruches ?r in einen De cimal
bruch vorausgesetzt d a fs n keine Potenz von 2 oder 5
i “
enthält der Rest n ach der n D e c i m a ls te lle = r so m u fs
2
D e c i m a ls te lle
der Rest nach der
(oder r
t
V)
3n
(oder
u s w sein ; ferner müssen die a u f die n ersten Stellen
des D e c i m a lbr u c h s folgenden n Stellen r mal so gro fs als
j ene überhaupt j edesmal die n folgenden Stellen r mal so
gro fs als die vorhergehenden sein
e
,
,
e
,
,
en
‚9
.
n
9,
‚a
"
.
.
,
.
2 B
.
e ls
1
l
i
e
p
7
1
8 1 8
25
2
.
Da hier der Rest 2 ist so ist der erhal tene 6 stellige Quotient
und in der Folge jedes Produkt mit 2 zu m u ltiplic ie re n und stets
Daher :
6 Stellen nach rechts auszurücken
,
.
06 45 1 6
1 2 9 03 2
2 5 8 06 4
1
31
Die Periode ist
3
.
B e i s pi e l
1 5 stellig
(s
41
1
.
59
.
0, 0 1
1 0
.
Satz )
.
5 6 29 5 4 9
6 9 4 9
Hier ist 1 69 49 mit 9 zu m u lti pli c ie r e n u s w
aber 6 Stellen nach rechts auszurücken D aher :
.
.
.
,
j edes Produkt
.
(L
01 6 9 49
1 5 25 41
1 3 7 28 69
1 2 3 5 5 82 1
1
59
1 3
“
S
1 96
.
44
.
er
V
w an
del der g emei e
n
n
B
n
rüche
i n D e c i m alb r ü c h e
6 D e c i m a ls te lle
.
is t 9 folglich ist er bei der
D a er jedoch nicht g rö fs e r als 5 8 sein
1 2 D e c i m a ls te lle
kann so ist 8 1 um das entsprechende Viel fache von 5 9 zu ver
1
min dern Der wirkliche Rest daher = 8 1
Daher
2
V ! Der Rest 8 1 würde auch
der oben hinzugefügte Zusatz r
wirklich geblieben sein wenn man in der 1 2 D e c i m a ls te lle 1 5 9
subtrahiert hätte wie die letzte Stell e der Z ahl 1 5 2 5 4 1 anzeigt
Aus dem Endresultate (der Summe j ener P a rtia lpr odu k te ) ersieht
man jedoch d a fs in der 1 2 D e c ima ls te lle nicht
sondern
D er Res t fü r die 1 8 De c i m a ls te lle ist
2 5 9 zu subtrahieren war
nun das 9 fache des Restes 2 2 der 1 2 D e c im a ls te lle daher = 1 9 8
und um 3 5 9 vermindert = 2 1
Dieses Verfahren einen gemeinen Bruch kürzer in einen D e
läfs t sich auch a u f solche Br che a us
c i m a lbr u c h zu verwandeln
dehnen wel che den Zähler 1 nicht haben
Der Rest bei d er
.
,
.
,
-
.
”
-
.
,
,
.
.
,
-
.
.
.
0
,
.
ü
,
,
.
,
1 6
96
0000000000000
41
man a u f einen Rest der ein Viel faches eines früheren
Restes ist so m u fs auch der Quotient dasselbe V iel fache sein
Hier kann m a n daher weil 9 6 das 6fache von 1 6 ist
6 o 1 4 6 7 8 8 9 9 08 25 6
um 1 3 Stellen n ach rechts ausrück en dann das 6 fache eines jeden
schon gebildeten Produkts 1 3 Stellen ausrücken u s w
S tö fs t
,
.
,
,
,
,
.
l4
.
Z
V erw andelt man
wo der Nenner
n
n :
.
.
P otenzen von
2
und 5 nicht enthält in einen De c i m a lbr u c h und ist der Rest bei
m
der k D e c i m a ls te lle = n —z so hat die P eriode 2 k Stellen und
man erhält die 2 Häl fte der P eriode indem man jede Stelle der
1 Häl fte von 9 abzieht
,
,
.
,
.
.
1
.
B eispi el
3
.
?
7
Die Division
ist nach Vorstehendem
nur so weit auszu führen bis ein Rest
hier
7
3 = 4 ist
Daher :
,
3
2
6
,
also
4
:
.
Zähler
.
,
2
Nenner
Aus der berechneten
Häl fte = 9 9 9
1
.
7
Häl fte der P eriode
daher :
e r g ie b t
sich die
f
:
A n m e r k u n g D e c i m a lbr ü c h e deren Periode diese Eigen
“
schaft zei gen werden zuweilen „ dualistische genannt
.
,
,
.
5
1 98
mindert
.
44
V er
w an
.
e
d ln d e r g e m ei n
Der Rest nach der
.
aus dem letz ten
er ieht
s
r che
B ü
n
um
In D ec i m a lb r ü c h e
D e c im a ls te lle
wirklich wieder der
,
be n e n
m u fs die
2k
e
aber
is t
.
wie
,
Z äh ler
2
d es
meinen B ru ches also dem 1 Reste gl e ich und d
e ri od e von neuem beginnen
Z u s a t z Enthäl t der Ne n n e r p des gemeinen B ruches
te n z e n vo n 2 un d 5
so d a fs nach dem 1 0 Satze die Pe ri ode
mit einer späte m Stelle beginnt un d ist der dieser Stelle
=r so sind auch nur die zwischen diesem Re s
gehende Rest =
und d em später etwa au ftretenden Reste p — r liegenden Ste
von 9 abzuziehen
e
g
.
.
.
.
,
.
,
.
B e i spiel
1 9
.
Nenner
D er
?
52
P eriode erst nach der
2
.
enth ält
folg li ch
begi nnt
Stelle :
s4 28
1 9
9
1
0 0
,
:
52
0, 3 6
Jetz t sind nur die zwische n dem letzten Reste 28 un d d e m s pä
etwa au ftre tenden Res te 5 2
li e g enden Ste ll en von
24
abzuziehen
.
52
D er Rest (2 4 ) is t j etz t j ener vorausbes timmte folgli ch l as sen si
aus d en 3 Stellen 5 3 8 die fol enden d u rc h Subt raktion von
berec hnen = 4 6 1 un d e s ist e m n a c h :
,
,
,
1 5
a
1 st p
.
eme
,
p
n
p
1
g
9
i e
bt
3
,
und
i
e
t
b
g
stellig e P eriode
Beispie le
.
,
,
i
p
eben
g
eine
n s t e lli
P eri ode so m
ge
,
.
.
e i ne
Is te lh g e P e n
od e
.
1
folgl i ch
=
1
—
eme
fi
g
9 stel li ge Periode
e i ne 6 o 7
4 2 s tell P e r
‚
.
1
7
1
n
1
37
1
1 3
i e bt
g
em e 6 stell P er
.
2
.
,
folg l
.
2 -1 1
=
22
=
78
3
6
6
-
1 3
.
Vc r w n n d oln d m g mn oln on 1 1
ß 44
.
Be
we is
1 9
37
1 9
.
2
W
‚
:
11
“t
05
5
1
,
01 1 0
D n o ln m lh r lto lw
In
1 99
.
lo lg h o h
1 9
‘
37
o
a nun
1 9
de r
37
als o
(3 7 h e i fs e n
1 1 1 9
g
,
a uc
so
,
37
tl i
h
37
I
e in e
3
Pe ri od e
lh g e
s tc
ie
g
bt ,
die
is t :
„7
0i 0005 1 3
0 000 " er n
fir
.
27
.
u s w
0, 000000 a 1 37
Ad diert man
in d er
99
d i e s e D e c i m a lb r ü c h e
1 ’
4 .
2
5
und
.
.
1 1 1
.
ra t
19 7
,
n ay)
.
38
.
.
durch 3 7 dividiert den
( fiy ) + 2 fir d enselben R est
i
s
o
ist
die
1
1
4
D
i
dentisch
e bt
e c i m a ls te lle
w
g
o der die P e r iod e
1 7 identis c h mit der 6 u s w
Stellen
a
.
a
.
,
.
.
.
.
.
,
.
—
eine
Primzahl
un
d
h
at
ein e
p
p
—
l d urch n teilbar
ist p
Beispiele
1 6
so
0
.
1 1 4
1 1 7
„
.
.
a
„
D a aber
elben Rest wie
vi e
u s
nit der
die 1
.
n
.
rhäl t
3 De c i m a ls te lle :
z
b
9
3
‚
.
8
9,
e
so
,
.
a
Ist
.
n s t e lli
g
Peri ode
e
,
.
.
1
37
e i ne
3
stell i ge P eri od e
,
1
41
1
73
folgl i ch
—
1
37
3
41
97
0
9
’
kann also keine
te i lbar
.
—1
5
7 stellige
P eri ode geben weil
,
nicht durch
7
73
1
,
teilbar ist
.
d i
.
.
7 2,
ä
1 98
.
mindert
44
V er
w an
.
del
g em ei e
de r
n
n
“
m
2k
Der Rest nach der
.
aus dem letz ten
f;
ersieht
B
n
i n D e c i m a lb r ü c h e
D e c im a ls t e lle
wirklich
,
rüche
wi
.
aber ist wie man
,
eder der Zähler
des
z
g
e
gemeinen Bruches also dem 1 Reste gleich und d a her
Periode von neuem beginnen
Z u s a t z Enthält der Nenner p des gemeinen Bruches P o
te n z e n von 2 und 5
so d a fs nach dem 1 0 Satze die Periode erst
mit einer s päte rn Stelle beginnt und i s t der dieser Stelle voraus
gehende Rest = r so sind auch nur die zwischen diesem Reste r
und dem später etwa auftretenden Reste p — r liegenden Stellen
von 9 abzuziehen
g e be n e n
m u fs die
,
.
.
.
,
.
,
.
B e i spi el
Der
.
Periode erst nach der
2
.
Nenner
enthält
2
2
folglich
,
begi nnt die
Stelle :
1 9
&
1
3 4 28
0 0
:
m
0, 3 6
Jetzt sind nur die zwischen dem letzten Reste 2 8 und dem später
etwa auftr etenden Reste 5 2
liegenden Stellen von 9
24
abzuziehen
D
C
.
52
Der Rest (2 4) ist jetzt jener vorausbestimmte folglich lassen sich
aus den 3 Stellen 5 3 8 die folgenden dur ch Subtraktion von 9
berechnen = 4 6 1 u n d es ist demnach :
,
,
,
,
,
,
1 9
52
1 5
10
eine
2
Ist
.
n
3
p
p s te llig e
Beispi ele
1
g i e bt
9
1
g
7
ie
bt
eme
eme
79
‚9
‚7
9
99
97
1
37
l s te llrg e P e n
ö e ts ll
.
2
’ 3
1
1 3
g ie bt
eine
Periode
n s te lli g e
,
so mu fe
.
.
1
1 1
g
Periode geben
und
Per
e,
99
37
99
.
,
od e
folg l
99
,
folgl i ch
ei ne
—
1
1
3
2
e 1 ne
9 stellige
Periode
6 7
42
o
.
stell P er
.
99
‚9
.
V er
2 00
1
eine
2l
.
wan
d el
g em ei e
der
n
n
B
n
rü he
c
i n D e c i m a lb r ü c h e
3 stellige P eriode u n d doch ist 2 7
durch 3 teilbar D er Grund
d a fs 2 7 keine Primzahl ist
.
—1
.
d i 26 n icht
liegt ei n fach darin
,
.
.
,
,
.
B e w e i s später
1 7
I st
.
p
.
3
eine Primzahl und hat
1
’
eine Periode von einer
g e r a d e n Anzahl Stellen so g ie b t die 1 Häl fte derselben zur 2
addiert eine Z ahl die aus lauter Ne n n e n besteht (Vergleiche den
1 4 Satz )
.
.
,
.
,
.
.
1
.
Beispiel
.
D ie P eriode ist
2
.
B eisp ie l
und
3 07
6 92
Summe
999
3 07 6 9 2
.
.
Die P eriode ist
5 2 044 7 9 5
und
5 2 04
47 9 5
Summe
9 999
.
A n w e n d u n g Es sei
in ei nen D e c im a lbr u c h zu ver
wandeln
D a 1 7 eine 2 stellige Zahl ist so kann die Periode nicht
l s te llig sei n
Nach dem 1 6 Satze aber k ö nnte die P eriode nur
2 4 8 oder l ö s t e lli g sein
Man fi n det den 3 Rest nicht
dem
folglich ist die Pe
riode nur 4 8 oder l ö s te llig
Aber auch der 5 Rest ist n icht
dem
mithin die P e riode
nur 8 oder l ö s te llig
Endlich :
8 1 2 1
7
2
3 1 3 1 1
1 0
.
.
,
.
,
.
,
.
.
.
,
.
.
D a nun der 9 Rest ( 1 0) nich t gleich dem 1 ( 7 ) ist s o
kan n die Periode nur n och 1 6 stellig sein
Da sie ferner geradzahlig ist so geben die beiden Häl ft en der
P eriode als Summe ei n e Zahl die aus lauter Neunen besteht folg
l ich m u fs man auch umgekehrt jede Stelle der 2 Häl fte dadurch
erhalten da i s m a n die Stellen der 1 Häl fte von 9 abzieht
Folglich :
.
.
,
.
,
,
,
.
,
.
7
1 7
7 05 8 8 2 3 5 29 4 1 1 7 6 4
.
5
.
45
.
er
V
w an
del
n
g em ei e B ruche
d e r D e c i m a lb r ü c h e i n
n
2 01
.
Rest
Zähler des gemein en Bruches
1 0 = Nenner
= 1 7 —7 so hätte man hier den gewünschten D e c i m a lbru c h auch
nach dem 1 4 Satze erhalten
D a der
9
.
e
,
.
1 8
.
Au s den vorstehenden Sätzen dieses Paragraphen folgt
d a fs jeder gemei n e Bruch entweder einen e n d l i c h e n oder einen
p e r i o d i s c h e n D e c i m a lbru c h geben m u fs
.
,
.
ä
45
.
l
.
Ve r w an d e ln d e r De c i m a lbrü c h e i n g e m e in e B rü ch e
Endliche
.
De
c
im
Anwendung
Wel che Z a hl ist (a u fs e r
Man denke sich
a
lb r ü
c
he
.
.
.
Welche Zahl ist in
de n
P otenzen von
31
in
7 75
folglich 3 1
4
1 5 87 5
5)
enth alten ?
enthalten ?
enthalten !
Man denke sich
1 27
9
8
folglich 1 2 7
enthalten !
Welche Zahl ist in
folglich 9 1
2
o der
1 1 375
und
7
—
7
enthalten ?
1 3
91
8
2
enthalten !
P e r i o d i s c h e D e c i m a lb r ü c h e
Die P eriode setzt man als Zähler des zu suchenden gemeinen
Bruches D er Nenner desselben ist eine Zahl die aus so viel
Ne n n e n besteh t als die P eri ode Stellen hat
.
.
,
.
.
,
1
2
.
.
63
B B I S pl e l
.
B ei spi el
99
7
1 1
.
07 3 1 7
731 7
81 3
29 8 1
2 43 9
5 42
81 3
Folglich
n
.
och durch
( 2 en t fernt : )
:
27 1
gekürzt
41
81 3
5 45
202
.
1
Ver
.
Beweis
.
w an d
el
g
d e r D e c i m a lb r ü c h e i n
n
e mein
e
.
E s ist
.
folglich :
= 63
)
1
e B rüch
1
W
0
=
63
55
3
2)
731 7
1
— 731 /
o
999 99
9 9 99 9
2
Beweis
.
Setzt man
.
z
1 00 x = 6 3 , 6 3 63 63
Da nun
durch Subtrakti on
1 00 x
( 1 00
x
x
1
x,
'
so ist
so erhält man
:
63 ;
:
99 x = 6 3 ;
1 3 , 3 0 d urch 9 9
9 9 -x
63
°
beide Seiten nach ä
.
dividiert :
99
99
63
x
99
'
= x di e P eriode 07 3 1 7 als Ganze
Wen n bei
erschein en soll so ist diese Gleichung mit 1 00000 z u m ulti pli c i e r e n
D aher :
1 00000 x = 7 3 1 7 07 3 1 7 07 3 1 7
.
.
,
x
9 99 99
dur ch
9 9 9 99 d i v1 d1
e rt
x
,
su
:
= 731
.
731 7
x
9 9 9 99
.
.
.
2
.
.
7;
A n m e r k u n g Ein anderes V erfahr en
Fall wir d im 4 Satze gele h rt
1
b tr
fü r
ein e n
b e s on de rn
.
An m erkung
.
9
— =1
g
Es ist daher
.
Z u s a t z Kenn t man die F ak toren welche m u lti pli c i e r t eine
a us
lauter Neunen bestehende Zahl geben so kann man mittelst
des vorstehenden Verfahrens durch Erweitern in sehr ein facher
Wei se gemeine Brüche in D e c im a lbrü c h e verwandeln
.
,
'
,
.
B eispiele
7
.
P eriode werden
T1
un
d
mit
9
erweitert
man hat l
1 1
folglich
= 0 6 3 63 63
,
mufe
63
zur
5 45
204
.
V er
.
w an
d el
g em ei e B rüch
d e r D e c i m a lb r ü c h e i n
n
n
e
.
Ve r fa h r e n Man setze das Komma hi n ter die Vor z iffe rn
wodurch die gegebene Zahl (nach 5
mit einer Potenz von
1 0 m u lti pli c i e r t worden is t
Mithin m u fs die veränderte Zahl in
welcher man statt des r e in pe r i odi s c h e n D e c i m a lbr u c h e s den gleich
bedeutenden gemeinen Bruch setzt wieder durch j ene P otenz divi
d i e r t werden
1 B eispiel
Die Vorz iffe rn sind 8 7 die P eriode 1 9 5 1 2 ; folglich :
2
.
.
,
.
.
,
,
.
.
.
,
35 75
41
1 43
1 43
1 00
0
1 64
7
1
.
Ve r fa h r e n D en Zähler des gemeinen Bruches erhält man
wenn man die ersten Stellen des D e c i m a lbr u c h e s bis zum S c h lu s s e
der einmaligen P eriode um die Vor z iffe rn vermindert D er Nenner
besteht in seinen ersten Stellen aus so vi e LNe u n e n als die Periode
Stellen hat (s 2 Satz ) , denen eben so viel Nullen anzuhängen sind
als die Anzahl der Vor z iffe rn beträgt
3
.
.
,
.
,
.
.
,
.
1
.
B ei s p i e l
87 1 95 1 2
08 7 1 9 5 1 2 1 9 5 1 2
.
87
.
9 9 9 9 9 00
8 7 1 9 42 5
3 48 7 7 7
3 87 5 3
1 1 o 3 5 23
9 9 9 9 9 00
3 99 9 9 6
4 4 44 4
4 1 1 1 1 1
1 1
'
1 3
o
1 43
1 64
2
.
B eispi el
.
90
1
.
1
3
L
:
1
.
7
90
1 5
1 95 1 2
0
o
87
8 7 00000 — 8 7
( 1 00000
9 9 9 99
+
87 1 95 1 2
1 95 1 2
9 9 9 9 9 1 00
)
1
9 9999
1 00
o
.
.
1 00
8 7 99 9 99
99 9 99
42
B eispiel im 2 V er fahren )
87H } 3
;
ä 1 L erweitert mit
00 = —
B e w e i s (s das
87 2
, 3371
4
46
o
1 95 1 2
1 00
—8 7
9 9 99 9 00
.
A n m e r k u n g Ein 4 Verfahren siehe weiter unten im 5 Satze
4
Die Periode eines r e i n pe ri odi s c h e n D e c i m a lbru c h e s mu rs
( s ä 4 4 8 ) durchschnittlich ö fter geradzahlig als ungeradzahlig sein
in j enem Falle aber wie aus ä 4 4 1 7 hervorgeht die daselbst aus
gesprochene Eigenschaft zeigen Mithin wird das nachstehende
.
.
.
.
-
.
.
.
,
,
,
.
.
,
5 45
.
er
V
.
w an
del
g e m ei e
d e r D e c i m a lb r ü c h e i n
n
B rü c h e
n
r
‚
.
Verfahren ein en r e in pe ri odi s c h e n D e c i m a lbr u c h mit geradzahliger
P eriode l n e i nen geme i nen Bruch zu verwandeln oft in Anwen
dung kommen
B ei geradzahliger Periode untersuch e man ob die 1 Häl fte
derselben zur 2 addiert eine Zahl g i e bt die aus lauter Neunen
bes teht I s t dies der Fall so erhält man den Zähler des gemeinen
Bruches indem man die 1 Häl fte der Periode um 1 erh ö ht den
Nenner aber indem man die der Häl fte der Periode ents prechend e
Potenz von | 0 um 1 erhöht
Die P eriode ist 7 2 und es
1 B eispi el
ist 7
,
,
.
,
.
.
,
,
.
.
,
,
,
.
.
.
2
9
,
folgl i ch
der gegebene
B eispiel
D ie P eriode ist
2
.
428 5 7 1
42 8
b
.
D e c rm a lbr u c h
1
8
1 1
.
.
c i m a l ru c h
3
7
B eispiel
42 8
571
9 9 9 ; folglich
39
3
4 29
1
1 000
und
91
1 001
1
der gegebene D e
7
8 08 2
1 91 7
.
9 9 9 9 ; folglich d e r
ge ebene
g
8 08 3
D e c rm a lbru c h
1 0000
+1
1 0001
1 0001 z 8 08 3
8 083
8 08 3
863 1
:
=1
9
95 9
5 48
95 9
95 9
:
7
1 37
0
Daher noch durch
B e w e i s (s
.
2
.
59
1 3 7 g e k ur z t
Beispiel )
„3
o
.
4 285 7 1
—42 8
9 9 9 1 001
'
c
1
+
9 99
42 8
( 42 8
1
99 9 1 001
0
42 8 9 9 9
+
1
9 9 9 - 1 00 1
9 99
-
42 8 l
( 99 9
42 8 1 000
99 9
o)
o
(1
000
+1 )
+1
000 + 1
42 8
9 99
1
n
ä
206
.
45
V r w n d ln
e
.
a
in g m in
d e r D e c i m a lb rü c h e
e
e
e
e
B
r üc he
.
E inen u n r e in pe ri odi s c h e n D e c i m a lbr u c h mi t geradz a hliger
Periode deren beide Häl ften addiert eine aus lauter Neunen b e
stehende Zahl geben ver w an delt man in folgender Weise in einen
gemeinen Bruch :
Der Z ä h l e r e rg i e bt sich wenn man die ersten S tellen des
D e c i m a lbr u c h e s mit E in s c hl u fs der 1 Hälfte der Periode um die
Vorz iffe r n und um 1 erhöht den N e n n e r wenn man die der
Häl fte der Periode entsprechende Potenz von 1 0 um 1 erhöht und
der Summe eben so viele Nullen anhängt als die Anzahl der Vor
zi ffern beträgt (Beweis wie im 4 Satze )
=9
B eispiel
Die Vorz iffe rn = 5 9 Periode = 6 1 5 3 8 4 und 6 1 5
5
.
,
,
,
.
,
,
,
.
.
.
.
,
3 84
folglich
999 ;
der gegebene
l ehrt
A
en
6
D e c i m albr u c h
me
,
.
52
1 001 00
1 001 00
r k u n g E s le u c h t e t w ohl e i n d afs di e i m
Ve r fa h r e n d i e R e c hn u n g b e d e u t e n d a bkü r z en
n
31
5 9 67 5
4
.
un d
5 S
.
at z e
g
'
e
.
Da j eder gemeine Bruch entwe der einen endlichen oder
ei nen periodischen D e c im a lbr u c h geben m u ls (siehe ä
so
könnte es scheinen als wenn es u n pe ri odi s c h e D e c im a lbr ü c h e
(solche deren Stellen nie die R e g e lm äfs i g k e it eines periodischen
zeigen) n i c h t geben könne Es mag daher noch gezeigt werden
d a fs es allerdings solche D e c i m a lbrü c h e g i e bt
Ein zwi schen zwei ganzen Zahlen liegender Bruch kann immer
.
'
.
,
,
,
.
.
als ein
kür zen
ir re du c i b le r
gedacht werden denn wenn sich auch
,
immer
lä fs t ,
30
m u fs
der gekürzte Bruch
1
dieselbe
-
Stellung z w ischen 3 und 4 behalten da der gekürzte Bru ch dem
ursprünglichen gleich ist E i n B r u c h f e r n e r d e r z w i s c h e n
2 g a n z e n Z a h l e n l i e g t k a n n m i t s i c h s e lb s t m u l t i pl i c i e r t
k e i n e g a n z e Z a h l g e b e n B etrachten wi r z B den zwi schen
,
.
,
,
.
2
ni
und
3
liegenden
cht k ü rzen
läfs t ,
.
ir r e d u c ible n
Bruch
so kann sich auch
.
Da sich
49
mi t
Produkt
das
2o
nicht
kür zen lassen wei l keine neue Zahl hinzutritt vielmehr immer nur
das Kür zen zwi schen 4 9 und 2 0 in Frage käme Dieses Produkt
kann al so auch n ur ein i rr e du c i ble r Bruch aber keine ganze Zahl
sein Nur 2 v e r s c h i e d e n e Brüche wür den m u ltipli c i e r t eine ganze
1 0 21
—
—
Zahl geben können z B
Nun ist V6 nach ä 1 6 di e
,
,
.
,
.
,
.
.
7
Zahl welche mit sich selbst
,
.
5
m ultipli c i e rt
die ganze Zahl
6 g i e bt
.
ä 46
2 08
.
ä
.
46
.
Da s
R h n n mi t b g b r h n n
ec
e
a
oc
e
e
e
D e c i m a lb r ü c h e n
Da s R e c h n e n m i t a b g e b r oc h e n e n
De c i m a lbr ü c h e n
.
un v olle
un d
.
nd e te n
.
l
Die Genauigkeit eines Zahlenwertes richtet sich nach der
Menge der Einheiten der niedrigsten Stelle Ist z B die Ent
fe r n u n g der Gegenstände A und B möglichst genau a uf
Meter
bestimmt worden die von C und
Centimeter s o ist
a uf
die letztere Angabe genauer als die erstere weil sie durch das
6 8 7 4 fache der Einheiten der letzten Stelle
die erstere aber
nur durch das 6 8 7 fache der Einheiten der letzten Stelle
be
stimmt ist Beide Entfernungen kann man sich auch als 6 8 7 00
und
Millimeter denken folglich ist die letztere Angabe g e
nauer weil sie durch 6 8 7 4 Einheiten der letzten Stelle (Hundertel )
erstere nur durch 68 7 Einheiten der letzten Stelle (Hunderte ) aus
gedrückt ist
Eben so ist
Meilen weniger genau als
Meter da
j ene Angabe das 403 fache der letzten Einheit
diese das
5 9 8fache der letzten Einheit
ist
O der : 1 8 7 1 000 Meilen ist weniger g enau wenn nur noch
die Tausende bestimmt werden konnten als
Meter , weil
j ene Angabe das 1 8 7 1 fache der letzten Einheit ( 1 8 7 1 Tausende)
letztere das 2 1 3 6fache der letzten Einheit (2 1 36 Z e hn ta u s e n dte l)
beträgt
Ferner hat m an sich die letzte Stelle einer Zahl deren genauerer
Wert uns unbekannt ist als eine nach den Regeln des ä 4 0 abg e
b r oc h e n e zu denken D enn ist die Entfernung z w eier Gegenstände
m öglichst genau a u f
Meter bestimm t worden so meint man
damit d a fs diese Entfernung eher
als
oder
Meter
ist so d a fs also
als abgebrochener D e c i m a lbr u c h erscheint
Mithin hat man beim Rechnen mit s olchen gemessenen oder b e ob
achteten Angaben eben s o wie d i r e k t bei den abgebrochenen
D e c i m a lbr ü c h e n stets zu berücksichtigen dafe der Fehler nahe
} Einheit der letzten Stelle be tragen k a nn
In den hier folgenden Rechnungen mögen die gegebenen
Zahlen s t e t s a b g e b r o c h e n e bedeuten so d a fs also die letzte
Stelle derselben nahe } Einheit zu gro fs oder zu klein sein kann
wenn nicht durch einen Punkt über der letzten Stelle angedeutet
ist d a fs diese Stelle vollkommen genau der D e c i m a lbru c h also
ein endlicher ist
2
A d di ti o n
Die Summe
kann nahe 2 Ein
h e i te n der letzten Stelle also nahe
zu gro fs oder zu klein sein weil jeder
der 4 Summanden um } Einheit falsch
sein kann
Um die unsichere letzte Stelle zu be
zeichnen sc h reiben Manche
.
.
.
.
D
,
,
,
.
,
,
,
.
,
.
,
,
,
.
,
.
,
.
,
,
.
,
'
,
i
,
7
,
,
,
.
.
.
,
,
i
.
,
5
.
46
Da s
.
R h n n mi t b g b r h n n
ec
e
oc
e
a
e
D e c i m a lb r ü c h e n
e
2 09
.
Hier können schon die Hundertel (siehe
um nahe % Einheit falsch sein folg
lich ist auch die Summe schon in dieser
2 D e c i m a ls te lle bis zu } Einheit u nsicher
so d a fs sie leicht um
zu gro fs o der
zu klein sein kann Die drei letzten D e
c i m a ls te lle n 06 5 haben daher keinen Sinn und man m u fs richtiger
nur
schreiben
(oder sogar
B eim Addieren beginnt man daher in dem vorstehenden Bei
spiele sogleich mit den Hu n d e r te ln die man nur um die 2 aus
den Ta u s e n d te ln hervorgehenden Hundertel verm ehrt
1
,
i
.
,
.
.
,
.
3
S ub tr akti o n
.
Gesagte
Hi er gilt gleich falls das in der Addition
.
.
Das Resul tat kann hier nahe 1 Einhei t
der l etzten Stelle falsch sein weil j ede der
b eiden gegebenen Zahlen in dieser S t elle um
} Einheit falsch sein kann D enn ist z B
der Subtrahen d um } Einhei t zu klein so würde der Rest um
Ist nun no ch der Minuend
ä Einhei t zu gro fs (s ä 9 1 8
} Einheit zu g ro fs so beträgt der Fehler alsdann eine ganze
Einheit
Hi er kann der vollständigere Rest
oder auch der abgebrochene
in den
Ta u s e n d te ln nur um eine halbe Einheit (s den
Subtrahend) falsch sei n da die Ta u s e n dte l des
Minuend noch richtig sind
Hier kann der Rest
der fü r
gesetzt werden m u fs ( siehe 2 Satz
letztes B e i spi e l l) gleich falls nur um Einheit
der letzten S telle falsch sein weil der Sub
tr a h e n d in dieser Stell e noch richtig der Minuend aber unsicher ist
,
e
.
7
.
,
.
7
.
.
,
,
,
.
.
,
.
.
,
,
,
.
,
4
M ul ti p l i c ati on
Hier wird der Fehler des u n g e n a u e rn Faktors noch durch den
andern Fakt or verviel fältigt folglich m u fs das Pro dukt auch sch on
in dieser Stelle falsch sein Man nimm t daher den u n g e n a u e r n
Faktor als Multiplicand den g e n a u e r n als Multiplicator und mul
ti pli c i e rt zuerst mit den höchsten Stellen des le tz t e r n
Wenn aber
di e letzte Stelle des Mul tiplicand um } Einheit falsch sein kan n
so würde d as 1 P a rt i a lpr od u k t in der z u gehörigen Stelle so viel
mal } Einheit falsch sein als die höchste Stelle des Multiplicat or
Einheiten hat und folglich hätten die nach folgenden Stellen keinen
Sinn Man wird mithin die abgekürzte Multiplication (s ä
anwenden und nicht über die letzte Stell e des Multiplicand hinaus
gehen
S h
i g
h d A i t h m t i k I T il
L h b
1 4
.
.
,
.
,
.
7
,
.
i
,
,
.
.
.
c
u r
.
e
r
uc
er
r
e
.
.
e
.
.
5 46
21 0
.
Das
.
R h n n mi t b g b r h n n
e
ec
a
oc
e
e
D e c i m a lb r ü c h e n
e
.
B ei spiel
Der 2 Faktor ist w i e im E in g a n g e dieses Paragraphs gezeigt
F olglich :
W urde der ungenauere
1
o
.
.
,
.
.
,
o
2 3 7 60
1 43
29
= 4 7 62
.
1
3
D er hier in der Stelle 2 des Multiplicand
enthaltene
F ehler wird noch mit 5 ( des Multiplicator) m u ltipli c i e r t ferner sind
auch di e nach folgenden 3 P a r ti a lpr od uk t e (47 5 1 4 3 2 9 ) abgebrochene
Zahl en folglich kann der Fehler in der letzten Stelle des hier
ge fundenen Produkts schon ziemlich gro fs sein (nahe
,
,
,
,
5
o3
1
3
oä
1
4 E i n h e l te n )
.
Man könnte die beiden Grenzen des Pr odukts genau b e s tim
men D enn sin d
und
abgebrochene Zahlen so sin d
u n d beide unbe
beide unbedingt kleiner als
und
di ngt g r ö fs e r als
und
weil j ede letzte Stelle um
5
f
Einheit
d
i
um
E
i
n
h
e
i
t
e
n
der
nächsten
telle
zu
gro
s
oder
S
}
klein sein kann Mithin kann das Produkt nicht g r ö fs e r als
zu
“
( die „ obere Grenze ) und nicht
“
kleiner als
(die untere Grenze )
se i n
2 Be i s p i e l
1 000=
Da hier der Fehler in der Stelle 4 leicht ä Einh eit zu gro fs
oder zu kl ein sein kann so kann der Fehler in der letzten Stelle
i
= 5 00 Einheiten betragen
1
0
0
0
des Produkts
.
,
7
,
.
.
.
„
.
-
.
.
,
o
.
2
5 00
addiert
5 00
subtrahiert
Diese beiden Zahlen würden mithin di e Grenzen des Produkts
vorstellen
5
Division
1 Fall
D er D ivi de n d u ngenau er al s d er D ivi s or
Da hier die letzte S telle des Dividend unsicher ist so darf
die abgekürzte Divisi on (ä 4 3 5 ) nicht über diese Stelle hinaus
gehen (vergl die vorst Multiplication)
B eispiel
Der Dividend hat nur 1 3 5 9 der Divisor 8 1 67 Einheiten der
letzten Stelle j ener ist also ungenauer
.
.
.
.
.
.
,
.
.
,
.
.
.
,
,
.
5 47
21 2
.
D e c i m alb r ü c h e
.
in V r bin d n g mi t g m in n B r ü h n
u
e
e
e
e
c
e
.
Genau er würde man den Quotient dadurch besti m men
man al s obere Grenze
dars
,
al s untere Grenze
berechnet
6
U n v o l l e n d e t e D e c i m a lb r ü c h e D a
von
bis
ansteigen die g e
(nahe
geb ene letzte Stelle al so fast um 1 Einheit g r ö fs e r sein kann so
würde annä hern d die Mitte zwischen beiden Zahlen d i
dem kl einsten Werte
6 3 eben so nahe kommen al s dem g r ö fs
ten
Mithin m ü fs te b ei u nvollendeten (mit Punkten ver
s e h e n e n ) D e c i m a lb r ü c h e n m i t diesen Mittelwert en gerechnet werden
wenn m an nicht der g rö fs e r e n Genauigkeit wegen vorzöge die
beiden Grenzen des Resultats aus den Grenzwerten der gegebenen
Zahlen zu b erechnen
B eispiel
E n t w e d e r ist im D urchschnitte der Quotient
7
.
.
.
,
,
,
.
.
,
,
,
.
.
#
wo bei die 4 D e c im a ls te lle unsicher ist weil es die 4 der gegebenen
Zahlen ist O d e r der höchste Wert des Quotien t ist
,
.
.
.
d er niedrigste
ä
.
47
l
.
.
De c i m a lb rü c h e i n Ve r bi n d un g mi t g e m e i n e n Brü c h e n
Um
.
das We r t v e r h ä l t n i s g e m e i n e r B r ü c h e zu be
stimmen (s ä
kann man diesel ben in D e c i m a lbrü c h e ver
wandeln
B e i s p i e l Welcher von den Brüchen
.
.
.
.
1 9
40
ist der
g r ö fs te ,
’
9
43
90
’
1 9
1 0
’
21
welcher der kleinste ?
A u fl ö s u n g
.
43
90
9
1 9
l0
21
1 1
23
1 1
’
23
’
33
70
5 47
in V r bind n g mi t g m in n B r ü h n
D e c i m a lb r ü c h e
.
e
e
u
e
e
c
e
21 3
.
33
70
B o Ig1
2
'
33
— d er
6
lo
70
“
k le i n e t e ,
'
23
A d di ti o n u n d S ub tr akti on
.
.
.
—6 T9,
2 73
'
d er gro ls t e
"
.
1 7
Verwandle die gemeinen Brüche in D e c i m a lbr ü c h e ! Dieselben
müssen wenn die 3 Zahl
vollständig benutzt werden
soll m i n d e s t e n s a u f 5 D e c i m a ls t e lle n berechnet werden D enn
wollte man z B 2 7 % nur a u f 4 Stellen berechnen so würde die
1 und 3 Zahl als Summe
.
,
,
.
.
.
,
.
.
ergeben Hier aber würde zur falschen 5 D e c im a ls te lle 0 der
1 Zahl die richtige Stelle 9 der 2 Zahl addiert worden sein !
Die Rechnung ist daher folgende :
.
.
.
.
2
A S 6
2 1
A
1
7,
1 ,
9,
3,
A ,
0 1
,
6 6 66 7
08 6 4
7 4 3 89
62632
7 6 47 1
7 8 69 9
.
Um hier die 5 D e c i m a ls te lle ( die höchste der gegebenen ) desto
richtiger zu erhalten verwandel t man die gemeinen Brüche wohl
auch a u f 6 o der 7 D e c i m a ls te lle n
Auch wenn n u r gemeine Brüche zu addieren oder zu sub
tr a hi e r e n sind
benutzt m an D e c i m a lbr ü c h e fü r dieselben wenn
der Generalnenner z u unbe q uem (zu gro fs ) se i n sollte
B eisp i el
.
,
.
,
,
.
.
1 1
81
D afür :
+
51 6
23
76
31
21
+
3 9 43
4 01 2
’
5 47
21 4
.
D e c i m a lb r ü c h e
.
in V r bind n g mi t g m in n B r ü h n
e
e
u
e
e
c
e
.
Auch würde der Wer t der Summe überhaupt j edes Resultates
viel leichter am D e c i m a lbr u c h e beurteilt werden können als an
dem unbequemen gemeinen Bruche mit sehr vi e ls te llig e m Zähler
und Nenner
,
,
,
.
Mul tipli c ati o n un d D ivision
Die D e c i m a lbr ü c h e sin d hier fast nie in gemeine die g e
meinen aber nur in besonderen Fällen in D e c i m a lbrü c h e zu ver
wandeln Ferner sind um das Resultat u n b e g r e n z t richtig zu
erhalten w ä h r e n d der Rechnung all e abgebro chenen D ecimal
brüch e zu vermeiden und nur das Resultat durch einen solchen
auszudrücken
3
.
.
,
.
,
,
.
1
.
B eispiel
.
7
7
So weit auch hier die Division durch 7 ausge führt wird immer
ist das Resultat vollkommen richtig Bei
würden
wegen des abgebrochenen 2 F aktors nur die ersten 6 Stellen rich
tig sein
,
.
.
.
2
.
B ei spi el
.
31
7
00 1 8 3 9
41
3 8
:
3 48
3
1
'
1 839
2f
1
1 1
a B
elS
4 B
e
.
le
p
i s p1
e
66
l
66
'
l
.
1 7 7 81
:
D a die Periode hier eine geringe Anzahl Stellen hat
der D e c i m a lbr u c h b equemer
.
'
1 6 01 8
1 7 09 2
1 60 1 8
1 07 4 7
8 009
,
so ist
5 48
21 6
.
T ilb r ü h
e
.
c
e
.
nächsthöhere Hierau f vermindere man das Produkt aus dem Di
visor (gegebenen Zähler) un d dem Quotient u m den Dividend (g e
g e b e n e n Nenner) und dividiere immer wieder den u r s p r ü n g l i c h e n
D i v i d e n d ( Nenner
nuer de
des gegebenen Bruches) durch den erhaltenen
Rest ganz wie be
beim
i m 1 Mal Diese Div ision des gegebenen Nen
gl i chen Dividenden ) setzt man so lange fort bi s di e
ners (ur sprünglichen
Division auufggeht
e h t oder
das Resultat die ge w ünschte Genauigkeit
erhält Die eerhaltenen Quotienten sind die Nenner der Teilbrüche
.
,
.
.
,
.
1
.
.
B eispiel
71
Es sei
.
71
zu
1 26
rwandeln
.
B
A
1
Ve
Unbequemere Quotienten hätte man erhalten mit
1 26
1 42
1 26 1 6
1 28
2
71
8
1 26
0
71
1
1 26
B
A
2
8
63
'
Man ersieht hieraus d afs es oft vorteilhafter ist nicht den
n ä c h s t h ö h e r n Quotient
sondern einen beliebig h ö h e r n zu nehmen
S 0 würde man z B nicht den Qu otient 3 7 so ndern 4 0 benutzen
weil sich durch 4 0 leichter als durch 3 7 dividieren läfs t
,
,
.
,
,
.
.
,
.
2
.
B ei sp i e l
1 2 z7
7
.
1 2 z2
Daher
7
1
.
=6
A
e
Es sei z B
=2
'
— zu berechnen ;
1 2
7
.
6
48
s
.
3
.
B eispiel
33
.
76
T ilb r h
ü c
e
.
e
21 7
.
— 3
9
.
99
92
80
1 9
76
0
O der wenn die Division durch
wäre :
1 9
dem Rechner nicht geläufig
7 6 33
99
3
92
Es sei z B
.
43 3 8 1 9 5 2
.
33
9
0
-
76
zu
berechnen
.
4 7 38 1 9 5 2
4
6
( z20
1 974
( z20
99
5
4
.
Beispiel
.
O, 3 7 1 6 8 9 =
3 7 1 6 89
1 000000
daher :
1 000000 : 3 7 1 6 8 9
1 1 1 5 06 7
1 000000 : 1 1 5 06 7
1 03 5 603
1 000000 : 3 5 6 03
1 06 8 09 0
30
3
=9
(2 9 zu unbequem l)
1 000000 6 8 09 0
.
Selbstverständlich können Dividend und Divisor imm er g e
kür zt werden nur ist dann in der Folge d e r durch das Kürzen
erhaltene Dividend stets wieder als Divi d end zu benutzen
,
.
s 48
21 8
.
T ilb rü h
e
.
c
Daher :
e
.
1 00000 6 8 09
6 8 09
1 5
31 91 0
3 4 04 5
1 00000 : 2 1 3 5
Dafür
2 0000 z 4 2 7
2 1 35 0
= 5 0 (4 7 zu unbe q u e m ! )
2 0000 : 1 3 5 0
Dafür
F olgl i ch
_i
1
5
.
.
4 00 2 7
405
B eispiel
.
48
B
i
3
23
1 5
-
9
„
-
1 5
30
E
B
C
1 5
50
F
80
.
69
'
63
48
:
60
Nimmt man einen der Quotienten gr ö fs e r z B statt des vor
s tehenden 2 Quotienten 3 den Quotient 4 so m u fs der nach
folgende Qu otient kleiner werden da der g r ö fs e r e Res t alsdann
z um Divis or wi rd Durch Anwendung dieser B emerkung erreicht
m an oft bequemere Quotienten
23 — 3
B eisp iel
?
{
,
.
.
.
,
,
.
.
.
13
23
84
72
B e w e i s fü r die vorstehende Ableitung der Quotienten der
Teilbrüche
Vergleiche die nachstehenden Zahlen mit dem 3 Beispiele !
.
.
33
1
76
3
1
3
1
+
+
L
76
99 —
3
1
-
76
23
76
2m
s
.
1 8
n
e
n
1 6492 1 6
hw
s
i
e
e
“
1
“z A B
: N
“
(
:
7
.
m
.
4
4
D
C
B
4
o
_2
II
1
e
o
F
0
de :
o
2 1 3 5 63
3 5 61 5
3 5 65
2 Z
.
usatz
.
Näh e n
der
si ch
“ er: de s in
7
—
23 4 7 6
B e i s pi e l 6 1 94 7 3 3 6 9 1
1 Ve r f a h r e n
-
1 0
Tei l brü ch e
9
.
.
6 1 94 7 3 5
1 23 4 7 6
( 5 08 76 5 2 4 )
(1
D
Q
‘
M a n fin d et Ü, L b a ®
Da her :
733
-
-
4
l
.
1 2
Q 05 7 66 2 4
4
20
B
C
30
n
l4
.
?
(z 20
‘
25 3 1 1
2 Ve r f a
.
1
.
F a k t or
hr e n
m ir
1 0
M u lti pli c iert m an d e n
e
.
un
d di v i ä m
de n i
1 0,
so
ble ibt na c h
S 48
.
T i lb
e
.
rü c
he
221
.
F ol g li ch
1 8772
1 25 1
1 39
1 2
D as 2
1 2
Ver fahr e n ist w e nn e s de r M ult ipli ca n d z u lä fst de m
1
v orzuz iehen
3 Zusatz
B e i g ö fse ren M u lt i pli c a t or e n k ö n n t e m a n v on d er
nä c hst li ege n d e n g an z e n Z a hl aus g e he n od e r au c h d a s v ors t e h e de
2 Verfa hr en an wen de n
1 Ve r f a h r e n
o
1 B eis p i e l
:4
o
,
.
,
.
.
.
.
-
n
.
.
.
.
.
.
4
.
.
1 8 , 29 46 1
o
—
1
6
8, 2 9 46 1
_1 82 9 46 1
2
.
1
.
Ve rf a h r e n
B ei sp i e l
.
7
7
p
o
5
6
0, 1 082 7
5
.
.
'
2
c
’
B eispi el
2
—
4
B
Q
A
B
3
3
B ei s p i e l
.
05 8 9 1 7 4 3
B
4
.
.
D
C
1.
..
r
.
A n m e r k u n g In a ll en Fä llen in w elc he n e s de r Mult ip li
ca nd g e st a t t e t w ird man am be st e n n a ch d er folg en de n
Re g e l v e rfa hr en ( v e rgl d a s 2 V er fa hr e n im 2 n 3
E n t hä lt di e 1 w e rt volle S t e lle d es M ult ipli c a tor 1 bis e t w a
6 E i n h ei t en
s o ver s chi e bt m an
da s K om m a s o da fs je n e
St ell e in di e Z e hn t el rü ckt be i ei ne r
M e n g e v on
Ein h eit en ( 9 8 7 ) je d och in die H un d e rt e l
l B ei sp i el
,
.
,
.
.
.
.
.
.
,
,
,
,
.
.
,
.
5 48
220
.
dafü r
T ilb ü h
e
.
r
c
Folgl i ch
1
1
.
1 4
1 000000 : 7 4 9 44
1 049 2 1 6
20
1 000000 4 9 2 1 6
—
e
B
4
u s
.
—
+Z +F +
.
.
w
.
1 )
c
—
6
Enthielten nun j ene Angaben auch
1 pr e u fs Elle
par
so wäre die Rechnung folgende :
.
1 0
.
+1
E
F
20
4
.
E n fe ,
( :j4
( :j4
6
2 1 3 86 8
3 5 6 45
3 5 65
25 5
1 3
1 0
Elle
Meter
2 Z us atz
Nähert sich der Wert des i n T e i lbrüche zu ver
wandelnden echten Bru ches der Einheit so würde die u n m itte l
bare Verwandlung wegen der g r ö fs e rn Anzah l Quo tienten sehr
unpraktisch Nachfolgende Beispiele zeigen w i e m an diesem U be l
stande begegnen kann
B e i sp i e l
1 Ve r f a h r e n
o
(1
1 pr e u fs
.
.
.
.
,
„
,
.
.
.
o
.
.
A
1
C
B
Daher :
D
1 2
20
25 8 1 1
8 60
78
6
1 1
1 4
Dies von der oben
stehenden Zahl
s u b tr :
5 5 das gesuchte Resultat
o
2 Ve r f a h r e n
M u ltipli c ie r t man den
1 Faktor mit 1 0 und di vi diert den 2 dur ch 1 0 so bleibt nach
ä 1 3 1 1 Zus das Produkt unverändert Daher :
.
.
.
.
.
.
,
.
,
,
.
.
o
1
A
B
C
D
ä 49
2 22
.
2
B eispiel
.
A
.
n g w ndt Z h l n
e
a
e
a
e
.
.
o
o
1
B
4
0
17
— +
2
5Ö
3 Zu s atz
Nach dem v orstehenden 1 Verfahren kann m a n
bei mehrstelligen M u ltipli c a tor e n auch von der n ä c h s tn i e de rn run
den Zahl ausgeh en
1 B e i s p i el
Es seien b eliebige Zahlen mit 5 1 9 } zu mul
.
‚
.
.
.
.
7
.
t ipli c i e r e n
.
Man denke sich
D a nun
d i (mit
.
.
9
er w eitert)
5 3 40
dafür (durch
gekürzt ) :
84
81
78
so i st
0
a
O w e g7 _
—
Anwendung
4
5 00 +
A
B
C
D
E
30
6
9
1 3
25
]
o
0, 4 3 1 7 6 2 3 5 1 9 g ;
7 6 2 3 5 00
0
.
30
: 6
: 9
: 1 3
1 02 5 1 2 2 5
41 0
:
2
.
B ei spi e l
.
a
a
Da nun
o
(6 0
so ist
ä
.
49
.
A n g e w a n dt e Z a hl e n
.
Um Brüche u n d zu g r ofs e Zahlen zu vermeiden hat man
einen gewissen Teil oder ein Viel faches einer M a fs e i n h e i t als neue
Einheit a u fg e fa fs t und derselben besondere Namen gegeben
l
.
,
.
ä 49
.
A
.
ng w nd t Z h l n
e
a
e
a
e
.
B e i s p i e l 1 Stunde
6 0 Minuten
D ie Anzahl der Teile in welc h e ein M a fs z e rlegt ist hier 6 0
h e i fs t R e d u k t i o n s z a h l ( V ä h r u n g s z a h l) Das früher vorherrschende
1 2 P fennige
l D utzend
1 2
D u o d e c i m a ls y s te m ( l Groschen
Stück ) ist in neuerer Zeit fa st durchgä ngig vom D e c i m a ls y s te m
1 00 P fennige ) B ei letzterem ist meist
verdrä ngt worden ( 1 M a r k
die französische (dem G riechischen und L a teinischen entlehnte ) B e
n e n n u n g s w e i s e einge führt die fü r das 1 0fache : deka
1 00fache : hekto
1 000fache : kilo 1 0000fache : m y ria fü r den 1 0 Teil : deci 1 00 Teil :
centi 1 000 Teil : milli setzt So ist z B die Einheit des L ä n g e n m a fs e s
der Meter daher eine L ange von 1 000 Metern : Kil ometer der
Für die meisten M a fs e sind b e
1 00 Teil des Meters Centimeter
son dere Abkür z ungen einge führt z B Meter
m Centimeter
cm
In B ezug a u f den Gebrauch der Abkürzungen und der z u
gehörigen Z ahlen sind in Deutschland folgende Verfügungen e r
lassen worden :
I Die Tausende sind nicht durch ein Kom m a zu bezeichnen
dafür aber e i n Zwi schenraum z m s c h e n den Hunderten und Tau
senden zwischen den Hunderttausenden und Millionen u s w zu
lassen Z B : 5 3 7 1 6 2 1 4 Einwohner
II Als D e c i m a lz e i c h e n ist nur das Komma zu b enutzen
III Die Abkürzungen sind am S c h lu s s e der Zahlen also
über das D e c i m a lz e i c h e n ferner nicht erhöht sondern in
n icht
dieselbe Zeile und endlich ohne S c hlu fspu n k t zu setzen Es m u fs
“
als o h e i fs e n : „ 7 3 m betrug die L änge un d nicht
m o der
m
m
7 3
oder 7 3
IV Bei D e c i m a le in te ilu n g soll in der Regel das Ha u ptm a fs
allein bezeichnet werden D aher nicht 5 m
cm sondern
m
D er Astron om setzt j edoch die Abkürzungen fü r die Zeit
Z B :
und W i n k e lg r ö fs e n über das D e c i m a lz e i c h e n
h
m
5
2
5
4
7
7
1
2
Grad
Min
Sec
oder
3
43 (7 Stunden 3 Minuten
)
(
1 5
Auch schreibt derselbe stets sämtliche 3 M a fs e setzt
daher fü r irgend einen W
Vi n k e l nicht
sondern
nicht
h
m
sondern 7 0 1 3
E i n t e i l u n g d e r M a fs e
2
I m Nachstehenden bedeuten die zwischen j e 2 M a fs e n stehen
den Zahlen die R e d uk t ion s z a h le n In
stehen die gebräuchlichen
Abkürzungen fü r das vorausgehende M a fs in
die G r ö fs e d e s
M a fs e s verglichen mit andern M a fs e n
.
.
,
,
,
V
.
,
.
,
,
,
,
.
.
.
.
,
,
.
,
.
“
„
,
,
.
.
,
,
.
.
.
.
,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
,
,
.
.
,
,
,
.
.
.
.
,
.
1
.
s
.
.
.
,
,
5
.
.
.
.
,
.
l
.
Z ä h lm
fs e ( S t ü c k m a fs e )
Gr ofs ) 1 2 D utzend 1 2
a
.
Gros (oder
Stück (S t )
1
Schock 4 Mandeln 1 5 St ü ck 1 Bauernmandel
2 4 B ogen S chreibpapier
j
Ballen 1 0 R i es 2 0 Buch l 2 5
Druckpapier
.
6
.
.
,
Stück
.
S 49
2 22
.
2
.
B eispiel
A
.
n g w ndt Z h l n
e
a
e
a
e
.
.
o
o
1
4
c
B
— +
5
E
.
p
Z u s a t z Nach dem vorstehenden 1 Verfahren kann m an
bei mehrstelligen M u ltipli c a tor e n auch von der n ä c h s tn i e de rn run
den Zahl ausgehen
1 B e ispiel
Es seien b eliebige Zahlen mit 5 1 9 % zu mul
3
.
.
.
.
.
.
t ipli c i e r e n
.
Man denke sich
D a nun 5 00 :
d i (mit
.
9
.
er w eitert)
5 3 40
dafür (durch
1 0 6
0
gekürzt ) :
84
81
78
so
1 st
a
O
w eg —
7
Anwendung
4
5 00 +
A
B
C
D
E
30
6
9
1 3
25
]
.
7 6 2 3 o 5 00
30
: 6
:9
: 1 3
1 02 5 1 : 2 5
41 0
:
2
.
B eispi e l
.
63
a
1
a
D a nun
(6 0
so ist
ä
.
49
.
a
°
63
=a
A n g e w an dt e Z a hle n
.
Um Brüche un d zu g r ofs e Zahlen zu vermeiden hat man
einen gewissen Teil oder ein Viel faches einer M a fs e i n h e i t als neue
Einheit a u fg e fa fs t und derselben besondere Namen gegeben
l
.
,
.
ä 49
2 24
.
A
.
ng w n dt Z h l n
e
a
e
e
a
.
II L ä n g e n m a fs e
Die Einheit fü r dieselben ist in D eutschland Frankreich
u s w der M e t e r
alte pariser L inien
frühere s ä c h s Zoll] Dieses M a fs
frühere pr e u fs Zoll
wurde Ende vorigen Jahrhunderts in Frankreich eingeführt und
sollte der 1 0m i lli on te Teil des Erdquadrant ( der a u f der E r d ob e r
flache vom Pol bis zum A qu a tor gezogenen M e ri di a n li n i e ) sein
Neueren Messungen zu folge ist j edoch der Erdquadrant
1 0 000
Meter
D i e L ä n g e n m a fs e D e u t s c h l a n d s
Kilometer
km ) 1 000 Meter oder Stab
m ) 1 00 Centim eter
o der Ne u z oll
cm ) 1 0 Millimeter o der Strich
mm ) 1 D eci
1 0 Meter
meter
dm ) o der Kette
Die geographische oder deutsche Meile ist der 5 400 Teil des
Erdäquators
7
m
Die Seemeile (fü r alle Na ti on e n )a=1 8 5 4 9 6 5 m (nahe i g e og r
M eile )
F r ü h e r i n P r e u fs e n : 1 F u fs
cm ] 1 2 Zoll
1 Elle
m] = 2 5 % Z oll
1 2 L inien
F r ü h e r i n S a c h s e n : 1 Elle 2 F u fs
cm] 1 2 Zoll
5 Ruten 6 F u fs 7 Zoll 8 L inien kürzte man mit
ab
F r a n k r e i c h Meter mit seinen Ober und Unterab teilungen
Früher : Toise 6 pariser F u fs
cm] 1 2 Zoll 1 2 L inien
L ieue
m
E n g l a n d Yard 3 F u fs
cm] 1 2 Zoll Die eng
lische oder britische Meile
m
III F l ä c h e n m a fs e
“
Die E inheit ist in Deutschland Frankreich u s w das „Ar
eine q uadratische Fläche von 1 0 m L änge u n d 1 0 m Breite
D eu t s c h l an d
ha)
Quadratkilometer
qk m o der Ü k m ) 1 00 Hektar
1 00 Ar
a ) 1 00 Q uadratmeter
qm oder E m ) 1 0000 Q uadrat
centimeter
qmm
q c m oder Ü c m ) 1 00 Quadratmillimeter
oder D m m )
I V W i nk e l u n d B o g e n m a fs e
D er Kreis wird in 3 6 0 Grade (0) 6 0 Minuten
6 0 Sekunden
eingeteilt Der voll e Winkel = 3 6 00 der gestreckte Winkel
der rechte Winkel = 9 00
V K ö r pe r m a fs e
Einheiten : K u b i k m e t e r d i ein Würfel von 1 Meter L änge
1 Meter Breite und 1 Meter Höh e
und L i t e r d i ein Würfel
von 1 0 cm L änge Breit e und Höhe
D euts chlan d
Kubikmeter
c b m 0 d Üm ) 1 000000 K u bi k c e n ti m e te r
c cm )
1 000 Kubikmillimeter
cmm)
.
.
,
.
.
.
.
.
.
‚
.
.
.
.
.
.
.
»
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
,
.
,
,
,
.
.
.
.
.
.
5 49
.
A
.
ng w ndt Z hl n
e
a
e
e
a
2 25
.
Hektoliter oder F a fs
h l) 1 00 L iter oder Kan nen od e r Neu
kannen (= l ) 2 Schoppen
1 Sche ffel (Neusche ffel )
5 0 L iter
VI G e w i c h t e
Die Einheit ist das G r a m m das Gewicht eines K u b i k c e n ti
meters W
Va s s e r bei + 4 0 Celsius daher 1 Kilogramm das Gewicht
eines L iters Wasser
D e u ts c h l an d
o 1
=
l
k
Tonne
t ) 1 000 Kilogram m (K i o k g oder ) 000 Gra mm
g ) 1 000 Milligramm
In
g)
Noch gebräuchlich : 1 Centner
Ctr ) 5 0 Kilogramm 2 P fund
=
ü
(
) 5 00 Gramm
dg )
Ursprünglich war noch vorgeschl agen : Dekagramm
o der Neulo t 1 0 Gramm 1 00 C e n ti r a m m
g
P r obi e r g e w i c h t
D er Feingehal t der Gold und Silber
waren der G old u n d Silbermünzen wird nach T a u s e n d te ln b e
stimmt Eine Goldmünz e z B deren F e i n g e h a lt (K orn )
beträgt enthäl t bei 1 G r amm Metallle g ierung ( 1 Gramm Rauh
ewicht Bruttogewicht Schrot) :
Gramm (Net t oge w icht Korn )
Gramm Zusatz ( gewöhnlich Kup fer)
g} old und
.
.
.
.
,
,
.
.
.
.
.
.
,
.
.
,
.
,
,
,
,
.
VII M ü n z e n
D e u t s c h l a n d M a rk
ß ) 1 00 P fen n ige
P f oder
)
9
Die G old und S ilberm ünzen sind 7 % fein (s oben Probier
gewicht )
Geprägt werden :
in G old : 2 0 fl s t ü c k e (Doppelkronen ) v on 1 5 m m Dicke und
Stück gehen a u f
m m D urchmesser
1 P fund
Z stücke (Kr onen ) von 1 1 m m Dicke und
mm
1 0/
D urchmesser
S tück a u f 1 P fund
5 % stücke (halbe Kronen ) v on 1 7 mm Durchmesser
in Silber : 5
1 8 W iegen l P fu nd ;
.
J
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
,
.
.
.
2
1
50
20
99
99
99
99
99
99
P fennigstücke ;
99
1
1
1 80
99
99
wiegen
99
99
P fund ;
1
1
99
Kup fer) :
in Nickel ( bestehend aus ä Nickel
1 0 P fennigstücke ; 1 2 5 wiegen 1 P fund
,
2 00
5
.
1
i n Kup fer ( 3% Kup fer 7 % Z inn 7 7W Zink ) :
2 P fennigstücke ; 1 5 0 wiegen 1 P fund
1
1
,
,
25 0
1
Ös t e r r e i c h
1
Gulden
S
c
h
ur
lg
Gul den
2 deutsche Mark
h rb h d A t h m t k I
1
.
‚9
fl ) 1 00 Kreuzer ( Ne u k re u z e r
.
.
.
‚
Le
uc
er
ri
e i
.
.
Te i l
.
1 5
5
2 26
.
49
A
.
ng w nd t Z hl n
e
a
e
a
e
.
F r a n k r e i c h (Belgien Italien u s
Franc 1 00 C entimes
8 0 deutsche P fennige
1 Franc
E n g l a n d P fund Sterling (als Goldstück : Sovereign = aß)
2 0 Schillinge ( s oder s h ) 1 2 P ence (Einheit : Penn y = d ) 1 P fund
J
4
Sterling
bis
M
N i e d e r l a n d e Gulden 1 00 Cents 1 Gulden
N o r d a m e r i k a D ollar 1 00 Cents 1 D ollar
bis
VIII Z e i t m a fs e
Jahr (s u ) 3 6 5 Tage
St oder
Tg oder d ) 2 4 Stunden
m
Die Stunde hat also 6 0 Zeit
h) 6 0 Minuten ( ) 6 0 S ekunden
minuten der Grad 6 0 B ogenminuten
7 Tage
1 Jah r
1 2 M onate oder nahezu 5 2
1 Wo che
5
Wochen
Jahr
u
tal
Jahr
Semester
Jahre
ar
Q
L ustrum 1 0 Jahre
Decen n ium 1 00 Jahre
Jahrhundert
,
.
.
.
.
,
.
.
,
‚
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
S ä c ulu m
D as 1 9
.
Jahrhundert beginnt am 1 Januar 1 801 u n d endigt
mit dem 3 1 Dezember 1 9 00
Die bürgerlich e Zeitrechnung beginnt den Tag Nachts 1 2 Uhr
der Astronom jed o ch 1 2 Stunden später Es ist daher 2 5 Dez
früh 4 Uhr bürgerlich so vi el als 2 4 Dez 1 6 Uhr astronomisch
Unser Jahr richtet sich nach den Jahreszeiten ist als o das
sogenannte t r o p i s c h e Jahr Die L änge desselben schwankt inner
m
1
1
9
1
m
halb Jahrtausenden zwischen 3 6 5 5 4 8
und 3 6 5 5 4 9
d
h
m
beträgt im Jahre 1 8 8 4 : 3 6 5 5 4 8 4 7 3 1 und nimmt j etzt jährlich
um
ab Wegen des Rü c k s c h r e i te n s des Fr ü h lin g s pu n k te s
ist di eses tropische Jahr kleiner a ls die wahre ( siderische) Umlau fs
d
h
m
zeit der Erde um die Sonne die 3 6 5 6 9 1 0 7 5 beträgt Im
Jahre 4 5 vor Chr Geb gab J u li u s Cäsar dadurch dem (tropischen)
Jahre die nah ezu entsprechende L änge von 3 6 5 % Tagen d a fs er
a u f j e 3 gemeine Jahre von
3 6 5 Tagen ein Sch al tj ahr von 3 6 6
T a gen folgen lie fs Dieser sogenannte julian ische Kalender oder
Kalender alten S ty ls ist noch immer in R u fs la n d Griechenl and
und Rumänien in Gebrauch D a man bei der Berechnung des
O sterfestes annimmt d a fs der An fang des Frühlings a u f den
2 1 März fällt das j uli a nische Jahr von 3 6 5 % Tagen aber etwas
g r ö fs e r als das tr opische ist s o m u fs te sich der An fang des F rü h
lings immer mehr vom 2 1 März entfernen und fiel i m 1 6 Jahr
h u n d e r t s c h on a u f den 1 1 März
Papst Gregor XIII beseitigte
diesen Ü belstand durch seine Kalenderre form im Jahre 1 5 8 2 Er
lie fs a u f den 4 Oktober dieses Jahres so fort den 1 5 Oktober folgen
un d verordnete d a fs zwar j edes Jahr dessen Zahl durch 4 teilbar
se i w i e bisher ein S chaltjahr j ed och die durch 1 00 teilbar e n Jahre
( z B 1 7 00 1 8 00 1 9 00 2 1 00) gemeine Jahre und die durch 4 00
teilbaren Jahre (z B 2 000) wieder Schaltj ahre sein sollten Hier
d u rch ist zwar die L änge des tropischen Jahres ziemlich erreicht
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
,
.
‘
1
1
8
,
.
8
,
.
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
,
.
.
.
.
o
.
.
.
,
,
,
.
,
.
,
,
.
,
.
,
.
,
5 49
22 8
.
A
.
8 04 0
39
Min
8 07 9
Min
ng w n dt Z h l n
e
a
e
e
a
.
( w i e d e r h olt )
.
add
.
8 07 9 o 6 0 S e k
.
S ek
4 8 47 4 0
.
.
add
Sek
4
.
Re du c ie re n
Man dividiert durch die
1 B eispiel
.
in übergeordnete
.
R e du k ti on s z a hl
.
Sek
.
Sek
Min
7 85 3
I
I
.
1
Min
60 S t
.
?
.
28 , G , 5 )
(s s
6 , 3 : 6e
23
.
.
.
/
5
7 85 3
|
I
St Min Sek
6 0 Min
Tg e
.
47 1 2 3
.
= 47 1
7 85 3
.
M a fs e
Ver w andeln der
.
.
.
.
Se k
.
.
.
5
7 85
St
1 30
1 30
St
53
.
Min
Tg e
.
.
Tage
5
.
1 20
1 0 St
5
Daher
2 B e i s pi e l
D a 1 Tg
.
.
Min
Tg e 1 0 S t 5 3
.
.
Sek
.
8 6 4 00 S e k
S ek
(s
.
.
.
Sek
.
.
Tg e ?
.
.
so sind
3,
86 4 00 Tg e
.
.
Tg e
.
4 3 20
3 9 23
3 45 6
4 67 6
4 3 20
3 5 63
3 45 6
1 07 0
5
A d d i e r e n m i t u n g le i c h b e n a n n t e n Z a h l e n
Nu r Gleichar tiges kann addiert werden dah er auch nur gleiche
M afse
B ei spi el
7 5 9 2 7 2 7 3 Min
Tg e + 1 9 3 Tg e 1 4 S t 3 Min
d i 5 Tg e 6 S t 3 2 Min
Sek
.
.
,
.
.
,
.
.
.
.
.
.
37
1 93
2 3 6 Tg e
.
1 1
.
7
.
1 5
1 4
.
.
.
,7
3
St
.
52
Min
.
Sek
.
5 49
.
A
.
ng
ewa
ndt Z h l n
e
e
a
.
Die du r ch d ie Additi on erhaltenen 1 2 9 S e k sind in 2 Min
9 Sek zu verw a ndeln und die 2 Min zu den 3 2 + 1 5 + 3 Min zu
addieren
6
Z eitre c h n u ng A d di er e n b ei de rs e l ben
Da nu r Gleichartiges addiert werden darf s o kann a uch nicht
lau fende Zeit (d i durch Ordnungsz a hlen ausgedrückte Zeit z B
2 3 Jahre 1 0 M on
os s e n e Zeit ( z B
1 8 4 8 den 2 0 März ) und v e r fl
Daher sind alle Zeit
5 Tage ) addiert oder subtra hiert werden
angaben i n v e r floss e n e Zeit zu verwandeln Um 1 8 4 8 den 2 0 März
i n v e rflos s e n e Zeit zu verwandeln hat m a n zu berücksichtigen d a fs
os s e n
sind wenn m an 1 8 4 8 schrei bt d a fs
1 8 47 volle Jahre v e rfl
“
volle 2 Monate v e r fios s e n sind wenn man März schreibt und
F olg
1 9 volle T age v e r fios s e n sind wenn man den 2 0 schreibt
1 8 4 7 J a hre 2 Mon 1 9 Tage
lich ist die verlangte v e r fios s e n e Zeit
Umg ekehrt würde 1 8 5 9 Jahre 1 1 M on 3 Tage v e r flos s e n e Zeit in
“
das Datum „ 1 8 6 0 den 4 Dec zu verwandeln sein
B e i s pi e l A ist 1 8 2 9 den 1 9 Juli geboren und 5 2 Jahre
Wann starb er ?
9 Mon 2 3 T a ge al t geworden
übl i c h e B erech n u n gsweis e :
1
Zu addieren : 1 8 2 8 Jahre 6 M on l 8 Tage
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
‚
,
,
,
,
„
,
,
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
52
23
9
ahre
J
1 88 l
ve r
M on
4
.
1 0
flos s e n e
zeit
Tage
d i den 1 1 Mai 1 8 8 2
2 3 T a ge = 6 Mon
Hier hatte man zunächst 6 Mon 1 8 Tage
4 1 Tage zu addieren Da hier aber zu den 6 v e r fios s e n e n Mo
naten l ganzer Monat al s o der 7 (Juli ) zu addieren ist der 3 1
T a ge hat so sind j ene 4 1 T a ge 1 Mon 1 0 T a ge folglich 6 Mon
7 M on 1 0 Tg e v e rfl
os s e n e Zeit
2 3 Tg e (s Au fgabe )
1 8 Tg e
wozu nun erst die 9 Mon der untern Zeile zu addieren sind
2 übliche B ere chnungsweise
D a man vom 1 8 Mai bis 1 8 Juni oder vom 1 8 Juni bis
s o addiert man
zunächst zu
1 8 Jul i u s w 1 Monat rechnet
1 8 2 8 Jahren 6 Mon 1 8 Tg e : 5 2 Jahr 9 Mon = 1 8 8 1 Jahre 3 Mon
d i 1 8 8 2 den 1 9 April H ierzu sind nun
1 8 Tg e v e r fl
os s e n e Zeit
1 8 8 2 den
noch die 2 3 Tage ( der unteren Zeile) zu addieren
42 April oder ( 3 0 Tage subtrahiert weil der April 3 0 T age hat)
1 8 8 2 den 1 2 Mai
S u b t r a k t i o n m i t u n g le i c h b e n a n n t e n Z a h l e n
7
36
1 B e i s p i el
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
:
.
,
.
.
.
.
,
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
so
24
2 7 Tg e
4 St
'
°
.
.
M
% in
.
1 4
20
.
56
1
1 3
9
1 7 Tg e
0
6 6
2 7
=
7
St
.
Min
.
33
ä 49
23 0
.
Hier ist
1
Tg
Min
.
a
e
St geborgt worden
24
.
Min
1
n g w ndt Z h l n
A
.
.
.
B e i sp i e l
.
1 6 3 Tg e
89
.
.
= 73
Tg e
e
a
dann
,
St
1
.
6 0 Min
.
.
und zuletzt
.
24
2
e
60
.
St
.
.
3 8%
21
2
.
Min
.
St 2 1 % Min
dann von den
.
.
24 St
Hier m u fs te 1 Tg
2 4 St
1 St
6 0 Min geborgt werden
8
S u b t r a k t i o n b e i Z e i t r e c h n u n g (Vergl den 6 Satz )
IV starb am 1 6 April 1 8 4 6 im Alter von 2 8 J
1 Beispiel
Wann war er geboren ?
9 Mon 2 4 T agen
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 4
1 8 45
28
.
Jahr
3
9
.
M01 1
.
1 5 Tg e
3,
ve r
.
flos s e n e
99
Jahr 5 M on 2 2 Tg e
d i den 2 3 Juni 1 8 1 7
3 1 Tage geborgt weil es der Monat
Mon
1 81 6
.
.
.
.
.
.
Hier wu rde 1
März war
S wurde den 1 9 Okt 1 7 9 9 geboren u n d starb
2 B eispiel
den 4 Juni 1 8 7 3 Wie alt wurde er ?
Von 1 7 9 9 den 1 9 Okt bis 1 8 00 den 1 9 Mai
1 Ve r f a h r e n
sind es 7 Mona t e von 1 8 00 den 1 9 Mai bis 1 8 7 3 den 1 9 Mai :
7 3 Jahre vom 1 9 Mai bis 4 Juni d i vom 1 9 Mai bis ( 3 1 + 4
oder) 3 5 Mai : 1 6 Tage D aher 7 3 Jahr 7 Mon 1 6 Tg e
Von 1 7 9 9 den 1 9 Okt bis 1 8 7 2 den 1 9 Okt
2 Ve r f a h r e n
Vom 1 9 0 k t bis 1 Nov o der 1 9 Okt bis 3 2 Okt
7 3 Jahre
Hierzu fü r
1 3 T age
Nov Dec Jan Febr M ä rz April M ai
3 1 + 30
30
3 1 + 3 1 + 28
3 1 = 2 1 2 Tage
und vom 1 Juni bis 4 Ju ni
3 Tage
D aher
7 3 Jahre und 1 3
21 2
3 T age
oder
7 3 ahre 22 8 Tage
9
M u l t i p l i c a ti o n u n d D i v i s i o n m i t u n g l e i c h b e n a n n
ten Z ahl en
B ei kleineren M u ltipli c a t ore n und Divisoren deren 1 bis 9 faches
s og e n a n n
geläufig ist behält man die einander untergeordneten
ten u n g le i c hb e n a n n te n
M a fs e bei
1 B eispiel
3 1 St 1 4 Min 2 5 % S e c
6
1 8 7 S t 2 6 Min 3 1 % S e k
Hier b e g a n n fm a n mit
2 5 % S ek
Sek
2 Min 3 1 % S e k
und addierte die 2 Min zu dem Produkte 1 4 Min 6 u s w
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
J
.
.
.
,
,
.
.
.
.
.
u
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-
.
.
.
5 49
23 2
.
5
B e i s p i el
.
2 9 Tg e
.
A
.
ng w nd t Z h l n
St
1 2
.
29
a
e
a
e
.
Min o
.
.
1 2
Min
e
o
.
5 67
daher
°
83
5 67
2 1 262 3 65
2 5 5 1 4 83 8
29 7 6 7 3 1 1
M in
241 1 1
1 66
Min
83
.
.
75 1
7 47
41 5
41 5
21 9
1 66
5 31
4 8 4 1 St
2 01 Tg e
Min ( s s 2 8 G 5 )
1 7 St
Min
Nachstehende Aufgabe rechnete D as e in
.
.
B e i sp i e l
kunden im Kop fe
6
.
.
2 6 00 3 3
6 2 4 000
5 6 85 1 9
5 5 48 1
.
,
.
.
o
,
.
26
Se
3 3 8 2931 5
2 40
2 6 00 5 5‘
.
.
1
°
81 21 7
81 21 7
=7 z ,
2 0449942,
j
„
3 00
u
s
w
J
7 B ei sp i el
3 9 1 ß ! wurden unter e i ne Anz ahl Arme verteilt
Jeder erhielt 8 5
Wie viel Arme waren es ?
85 1
Nach
können nur g le i c h b e n a n n te Gr ö fs e n d u rch ein
Daher :
a nder dividiert werden
4 6 0 ( unbe n annte Zahl
s ä
3 9 1 00 J 8 5 J
Es ist 8 5 j in 39 1 00 J 4 6 0mal
3 40
enthalten l )
5 1 0
1 6 6 4 4 3 00
.
‚
.
.
.
‚
.
.
.
.
‚
‚
.
„
‚
5 1 0
0
Die Anzahl der Ar men ist also
8 B eispiel
5 1 7 Tg e 1 1 % St
.
.
.
.
460
.
31
Min
.
1 7% S e k
5 1 7 24
0
1 03 4
2 06 8
1 1 2,
1 2 4 1 94
St
.
o
3 600
(da
1
St.
60 o 60
Sek )
.
.
.
50
g
St
1 24 1 9?
P r opo r ti o n a li t a t
.
3 6 00 ( w
.
23 3
.
i d rh l t )
e
o
e
1 02 8 4
3 725 7
7 45 1 4
4 4 7 09 4 2 84 S e k :
= 4 47 09 42 84
Sek
l877 %
:
.
3
.
1 6 00
4 02 3 8 4 8 5 7 4,
1 6 9 00
(s 9
5 71 ‚
1 69
4 02 3 8 4 8
/
.
.
28 , G, 5 )
338
6 43
5 07
1 368
1 35 2
1 6 48
1 5 21
89 3
8 9 3 00
Es ist also 3 1 Min 1 7 % Sek in 5 1 7 Tgn
enthalten
8 B eispiel
9 4 Tg e 7 St 4 3 Min
Sek
i n T e ilbrüche verwandelt
.
.
1
.
89 3
’
3 ‘1
1 % St 2 3 8 09 1 Tä3
'
.
mal
.
.
Sek
.
.
.
.
o
.
.
1
‚
Daher :
B
4
8 1 49 4 1 7 9 0
c
D
30
1 3
Sek
+
E
1 00
6
.
4
1 1
30
1 3
1 00
.
= 2 002
Tg e
ä
A
nw n dung
e
d
es
Sek
5 Min
.
B
.
1
St
.
Sek
.
.
Pr 0 p0rt i on a li t ä t
50
.
.
i h rig n
s
1
e
e
a u
f L os u
ng
v on
A
fg b n
u
a
e
.
Bewi rkt die Ä nderung einer G r ö fs e die Ä nderung einer
zweiten so ist die eine a b h ä n g i g von der andern So ist z B
der Preis einer Ware abhängig von dem Gewichte derselben
l
.
,
.
.
.
.
5 50
234
.
P r 0 p0 r t i on a li tä t
.
.
Bewirkt das Gr ö fs e r (oder Kleiner werden einer Gr ö lse
d e fs eine andere v on i hr abhängige G r ö fs e eben so vielmal so grofs
( oder so klein ) wird so ist die zweite der e rs t e r n p r o p o r t i o n a l
Der Preis einer Ware ist gewöhnlich ihrem Gewichte pr 0 por
3 € 25 einer Ware kosten 3 mal so vi el als 1 € 35
ti on a l
Ein Arbeiter vollb ringt in 4 Stunden 4m al so vi el als i n 1 Stunde
(Die Arbeit ist der Zeit proportional )
6 Ar beiter vollbringen in derselben Zeit 6 mal so viel als 1
Arbeiter (Die Arbeit ist der Kraft proportional )
3
Eine Gr ö fs e ist einer zweiten u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l
Mal s o g r o fs
(indirekt proport i onal ) wenn das 2 , 3 4 5
werden der zweiten ein 2 3 4 5
Mal s e k l e i n werden der
e r s t e r n bewirkt
4 Arbeiter brauchen 4 mal so wenig Zeit al s 1 Ar beiter
(Die
Zeit ist der Kraft umgekehrt proport ional )
1 Person reicht mit demselben Vorrat von L ebensmitteln 1 0mal
so l ange als 1 0 Personen
2
.
,
.
,
.
.
.
.
.
.
.
-
,
,
,
-
-
-
,
,
,
-
.
.
.
.
4
Die Falltiefe eines Körpers ist dem Q u a d r a t der Fallzeit
p r o p o r t i o n a l Ein Körper fällt in 7 Sek 49 mal so tief als in
.
.
1
Sek
.
.
Die B eleuchtung einer Fläche ist dem Q u a d r a t des L icht
abstandes u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l Ein Geldstück wird 5 Meter
vom L icht entfernt 2 5 mal so schwach beleuchtet als bei 1 Meter
Entfernung
5
L ö s u n g v o n A u fg a b e n d u r c h R e d u k t i o n a u f d i e
E i n h e i t (E i n h e i ts sc hlu fs )
F ür
bekommt man 5 € 25 einer Ware Wie
1 A u fg a b e
viel kosten 9 ü
folglich kostet 1
den 5 Teil
A u flösung 5 ü kosten 7
von 7 1 5 O der :
7
1 ü kostet — J
4
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
9 € 25
kosten aber 9 mal so viel
9 € 21
al s
1
ü
,
kosten
folgli ch :
1 2%
/
J
Z
A n m e r k u n g Bei ( direkt ) proportionalen Gr ö fs e n kann man
also stets beide Zahlen mit einer gleichen Zahl m u ltipli c ie r e n o der
beide durch dieselbe Zahl dividieren
B eispi ele
5 ü kosten 7 1 4 ; beide mit 3 mult :
21
o der beide dur ch 7 div :
.
.
.
.
.
.
5
7
Zu s atz
gegebenen
.
3
1
99
”
Die Berechnungsweise welche eine Grö fs e aus
Gr ö fs e n findet nennt m an auch Regel de tri wie
,
,
,
g 50
23 6
.
P r opor ti on a li t a t
.
in 1 8 Min In welcher Zeit wird das
Röhren zugleich geö ffnet werden ?
c
A u fl ö s u n g
füllt
a
.
in
Minute — des
1
1
ge füllt wenn alle
G e fäfs
.
3
.
-
1 2
,
G e fafs e s ,
1
b
9
’
’
9
‚9
99
9
’
9,
1
b
99
99
Folgl i ch fullen alle
d i
.
37
.
des
1 80
das
(mit
37
2
1 30
1
Ge fä fs e s
31
3
1 1 4.
99
99
1 8
Rohren i n
3
99
99
M i nute
1
1
1
l
1 2
1 5
1 8
Wenn aber
.
des
in
G e fä fs e s
Min gefüllt wird
1
.
,
so wird
1 8 0 m u lti pli c i e r t) :
das
3 7 fache
1 fache
des
G e fäfs e s
in 1 8 0 Min und (durch 3 7
d i das Ge fä fs selbst in
.
.
1 80
.
493;
:
37
,
Min ge füllt
.
.
A u fg a b e 1 V fährt 4 8 0 Ki log r fü r 1 0% 9 % 1 5 Meilen weit
ß 1 2 Meilen weit fahren ?
Wie viel K ilog r kann er fü r 1 7 % /
A u fl ö s u n g :
1 V fahrt 4 8 0 K i log r fü r
1 5 Meilen wei t
Wi e viel
A Kilogramm kann er fü r 1 7 %
1 5 Meilen weit ( a lso gleich
weit) fahren ?
4 8 0 K i log r fü r 1 0% J
Folglich :
5
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
480
1
’
‚3
Man
nun
w e ifs
,
‚9
9
9
’
Ki log r fü r
d a fs IV
1 5
.
Meilen
2
ß (al so
weit fährt Wie viel Kilogram m kann er fü r 1 7 % /
fü r dasselbe Geld ) 1 2 Meilen weit fahren ?
I s t die v orstehende Frage gelöst so ist auch die ursprünglich
gegebene Aufgabe gelöst w ie eine Vergleich u ng derselben m i t
dem 2 Teile v on B zeigt
.
,
,
.
.
Es werden also ( s B )
.
fahren
.
1 0%
Ist die Entfernung nur
1
K i log r 1 5
.
Meile
,
also
Meilen weit
1 5 m al
ge
so gering
,
5 50
so
kann m an o ffenbar
P r 0 p0 r t i o n a li t ä t
,
.
dasselbe Geld
fü r
23 7
.
1 5 mal
viel
so
fahren
.
n a he “
K ilog r
1 0%
Bei 1 2 mal
wenig fahren :
so
f
ro s e r
g
1 0%
o
Meile weit
l
.
.
Ent fernung kann man nur
K i log r
1 2
1 2
.
Meilen weit
1 2 mal
so
.
Die L ösung der ursp r ünglichen Au fga b e ist als o :
480 3 5
4 80
1 0%
-
2 -21
1 2
1 2
0
Vorstehende Au flösung lä fs t sich o ffenbar übersichtlicher und
kürzer rechnen wenn man zunächst die Angaben der Au fgabe in
2 Zeil en s o an ordnet d a fs man die Angaben des ersten v ollständig
bekannten Teil es der Au fgabe in die 1 Zeil e u n d unter j edes Ele
ment das gleichartige des
die zu suchende G rö fs e enthaltenden
Teiles der Au fgabe setzt Hierbei kann man die gesuchte Gr ö fs e
vorläufig mit einem bezeichnen
Mithin ist die
O r d n u n g : 4 8 0 K i log r
1 5 M ln ( 1 Teil der Au fgabe )
,
,
,
,
.
.
.
.
.
.
(2
’
’
7
7
'
99
’
‚9
9
D as Resultat ist w i e die oben ausge fü hrte Auflösung zeigte
ein Bruch bei welchem der 1 Faktor des Zählers diej enige b e
kannte G r ö fs e ( 4 8 0 K ilog r ) des 1 Teiles der Au fgabe ist welcher
die zu suchende (mit ? bezeichnete ) Gr ö fs e des 2 Teiles gegenüber
steht D aher zunächst
,
,
,
.
.
,
.
.
.
die gesuchte
48 0
G r ö fs e
'
K ilog r
.
D urch eine Frage bestimmt man nun welches von den beiden
gleichartigen in der Ordnung unter einander stehenden Elementen
i n den Zähler und wel ches in den Nenner k omm en m u fs
1 Frage
(Ansetzen der Mark )
4 8 0 Ki log r fährt IV fü r
wie viel
1 7%
s A l) ?
(e b e n s o w e i t
A n t w o r t Mehr Kil ogramm ! Meh r Kilogramm erhält m a n
aber wenn man mit der g r ö fs e r n Zahl
m u lt i pli c i e r t
und durch die kleinere Zahl
dividier t
,
,
.
.
.
.
.
.
‚7
,9
.
.
,
.
Man findet somit
2
.
F rage
4 80 - 1 7 %
1 0%
1 5
1 2
.
K ilog r
(Ansetzen der Meilen )
K ilog r
.
fäh r t N
Meilen w eit ; wie vi el
Meilen weit ?
.
wie
,
.
.
so
K i log r (fü r
.
eben berechnet w orden
das g l e i c h e Geld
s
.
is t,
B !)
5
23 8
Antwort
.
50
P r 0 p0 r ti on a li t ä t
.
.
Mehr Kil ogramm folglich m u fs die g r ö fs e r e Zahl
( 1 5 ) m u ltipli c i e r e n die kleinere ( 1 2) dividieren
.
,
,
.
-
1 04 1 2
Zu beachten ist d a fs man
Frage die Meilen g l e i c h g r o fs
den beiden Te ile n l) bei der
die Mark g l e i c h g r o fs annahm
bei der
die Mar k ansetzende
annahm (s oben A : 1 5 Meil en in
die Meilen ansetzenden Frage aber
in den beiden
(s oben B :
,
.
,
,
.
Te i le n l)
.
Aus Vorstehendem e rg i e b t sich nun als R e g e l fü r die A uf
lösung j eder Aufgabe :
Man ordnet (der U b e rs i c h t wegen ) zu e rst die Angaben der
Au fgabe so d a fs die gleichartigen unter einand e r z u stehen
kommen Hierau f setzt man als 1 Faktor des Zählers des
gesuchten Bruches diej enige Gr ö fs e der ge ordneten A n
gaben unterhalb welcher die gesuchte (mit ? bezeichnete )
Vo n den ü brigen unter einander
G r ö fs e sich befindet
stehenden gleichartigen Gr ö fs e n nimmt man nun das 1 Paar
heraus und untersucht durch eine Frage welches von den
beiden Elementen in den Zähler gesetzt werden m u fs wobei
die übrigen gleichartigen Elemente der Ordnung stets
i
l
c h
f
anzunehmen
sind
gleicher
Weise
ver
e
r
o
s
I
n
g
g
fä h r t man m i t j edem folgenden Paare
Siehe die folgende Aufgabe !
Ein Kanal wird von 1 5 00 Arbeitern in 8 4 0
6 A u fg a b e
Tagen 1 2 5 00 m lan g 6 m tie f 2 0 m breit gegraben Wie lange
werden 1 7 5 0 Arbeiter mit einem andern Kana l zubringen wenn
sie denselben 1 4 000 m lang 7 % m tie f und 1 8% m breit graben
wollen und die B od e n h är te bei j enem 1 % mal so gr ofs ist als bei
diesem ?
A u fl ö s u n g
Ordnung : 1 5 00 A r b 8 40 Tg e 1 2 5 00 m l 6 m t 2 0 m br 1 % Härte
u
,
.
.
,
.
.
,
,
.
.
.
.
,
.
,
,
,
,
.
.
.
1 75 0
Die gesuchte
.
.
.
1 8%
1 4 000
G r ö fs e
8 40
ist zunächst
1
°
Tg e
.
F r a g e 1 5 00 Arbeiter brauchen 8 4 0 Tg e ; wie viel Tage
1 7 5 0 Arb ( wenn die L änge d i e s e l b e die Tie fe d i e s e l b e
A n t w o r t : Weniger Tage l Folglich m u fs die g rö fs e r e Zahl
divi dieren die kleinere m u ltipli c i e r e n und es ist bis j etzt die g e
1
.
.
.
.
,
,
suchte
,
Gr ofs e
1 75 0
F r a g e B ei 1 2 5 00 m L änge braucht man 8 4 0
eine gewisse Anzahl ) Tage wie viel bei 1 4 000 m L änge
Arbeiterzahl d i e s e l b e die Tiefe d i e s e l b e u s
2
.
.
,
,
.
.
(richtiger :
(wenn die
2 40
S
O
1 7—
20
P r 0 p0 r t i on a li tä t
1 7 20
B
1 6
.
1 6
1 7 20
A
99
.
—
A b e k om m t
de r
50
.
5
C
1 7 20
3 1 4,
.
1 6
1 7 20
B
99
,
.
5 ’
1 7 20
Hieraus e rg i e b t sich folgende R e g e l :
Um irgend einen Anteil der Summe zu erhalten dividiert
man die zu teilende Summe durch die S umme der g e
erhältniszahlen
und
den Quotient
e be n e n
V
m
u lti li c i e r t
g
p
mit der j enem Anteil en tsprechenden Verhältniszahl
M a n rechnet dies abgekürzt in folgender Weise :
,
.
8
5
3
A
B
C
2
erhält
1 1
.
1 07 %
1 07 %
99
99
99
A u fg a b e A fährt 4% Meilen B
Meilen C 1 b? Mei
4 0 J zu bezahlen
Sie hab en zusammen
Wie viel
.
.
,
1
,
len
Jeder ?
A u fl ö s u n g Bezahlte A das 3 0fache von
so m ü fs te B
das 3 0fache von
bezahlen Hieraus
0 das 3 0fache von 1 %
folgt d a fs man die gegebenen Verhältniszahlen mit einer beliebigen
Zahl m u lti pli c i e r e n kann Würde aber A den 7 T eil von 4 % zu
bezahlen haben so m ü fs te n auch B und C den 7 Teil von
resp
bezahlen Hieraus folgt d a fs man die Verhältniszahlen
auch durch eine beliebige Zahl dividieren kann Man wird also
die Verhältniszahlen um sie in die kleinsten ganzen Zahlen zu
verwandeln mit dem Generalnenner m u ltipli c i e r e n wenn sie g e
br e chen sein s ollten u n d durch das gemeinsame Mafa dividieren
wenn sie ein s olches
1 ) enthalten
Anstatt
wird man ( mit 3 0 m u ltipli c ie r t)
setzen : 1 2 6 6 3 5 6 und dafür ( durch 7 dividiert )
‚
.
.
.
.
,
.
.
,
.
.
.
,
.
,
,
,
,
,
.
,
1 8,
.
,
9,
8
.
Die abgekürzte Rechnung ist d ah er
-
44
21 1 %
30
1 26
63
56
2 40
‚
J
:
folgende :
7
1 8
9
8
35
= 6ä J
L
‚
.
5
A
i
b
t
e
g
B
.
50
P r opor t i on a li t a t
.
daher
6%
‚a
kam
1 65 0
A u fg a b e
.
ä
M
o
J
j
„
93
99
6%
C
3
‚
und
A, B
.
5 4 571
teilen sich in eine Summe
C
/
’
z,
B
3 00 J
d avon und
davon und
W
Vi e viel erhielten A und
!
24 1
.
und
B
A
.
be
C erhiel t
2 00 %
gro fs war die
Wi e
Summe ?
A u fl ö s u n g
0
welcher
ä
N
und
N
aui fs e r d e m
und
nd a
o ffenbar
m ü fs te
Teilten sich
.
1 00
P
Z + 7 00 J
! das
J
was an der Einheit fehlt
a
ber
fehlende
,
Jerhielten
7 00 äf
ä
,
von
,
so
d h das sein
.
.
,
In unserer Au fgabe ist
.
2
3
9
folglich fehlen
in eine Summe
P
47
90
1 0
an der Einheit
’
Mithin
m u fs
der zu teilenden Summ e
D er
90
Teil der Summe
‘e
= 4 5 00 /
ß
die Summ e selbst
A erhiel t also
B
4
A u fg a b e
.
hatte bestimmt
un d
C
ä
J —
und
ä
6 00
A
d a fs
,
1
seinen
N hi n te r li e fs
.
dav on und
400
Söhnen
J
5
,
B
1 6 2 00
1
71
und
/ bekommen sollte n
7 00 ß
B
,
4
.
.
J
ä un d
5 00
Wie viel
erhielt Jeder ?
A u fl ö s u n g
dem
B
1
2:
'
c
J
J
h
un
g
,
Wollte man hier dem
4 u s
/ + 4 00 J
1 6 2 00 i d
1 6 2 00 5 nicht
von 4 00 4, B
S
.
Le h r
.
genau au fgehen
.
w
.
geben so W ür de die Su m m e
,
zuerst d e m A die Summ e
J z u geben der Rest von
folglich ist
C 6 00 Z, D 7 00 IZ
b h
uc
de r
i i
A th t k
r
me
J
.
l
,
.
Te
il
A
.
,
1 6
P r 0 p0 r ti on a li tä t
5 50
2 42
.
1 6 200
1
1
h a ltm s z a hle n
4
3
1
1
,
,
5
zu te i len
6
.
1
Daher :
3
.
60
1 5
4
1
1 2
5
1
1 0
6
= 2 4 5 g—
gfl
57
Folglich erhä lt A noch
2 4ö ä% %
B
-
1 5
.
Te i l kleiner als 2 0 so erh äl t
—
B 4 9 1 2%—
4
1
2
9
(
9
g
da seine Verh ä ltniszahl ( 1 0)
w ür de halb so viel als A e r halten
die H äl fte derj enigen des A ist
5 A u fg a b e
A erö ffnet am 1 Januar mit 3 5 00 %
ein Ge
am 1 April tritt B mit 2 4 00
am 1 Juni C mit 4 8 00 %
s c h ä ft
hinzu Nach J
a hr e s s c hl u ls betrug der reine Gewinn 1 7 00 %
W ie
vi el erh ä lt Jeder ?
A u fl ö s u n g Das Geld des A s te h t 1 2 Monate des B 9 Mo
nate des 0 7 Monate
gewinnen in 1 2 Monaten eben so viel al s 3 5 00 1 2 %
3 5 00 %
in 1 Monat ; 2 4 00 % gewinnen in 9 Mon a ten eben so vi el als
in 1 Monat u s w Mithin sind die 1 7 00 % nach den
2 400 9
Verh ä ltniszahlen
zu teilen Folglich :
1 5
um
den
aber nach den Ver
20
1
Da
.
7 00 = 1 4000
6 00
5 00
400
.
4
,
.
D
,
.
.
,
.
.
.
.
'
.
‘
.
,
.
,
.
,
,
.
.
.
0
,
:
3 5 00 - 1 2
2 4 00 9
4 8 00
7
0
0
1 00
:
3 5 -1 2
24
9
48
7
°
.
1 2
2
4
1 7 00
A
B
erhä lt daher
C
was
81
35
1 8
o 28
v
2 0, 9 8 7 7 %
o
4
( oder F dessen
,
erh ält)
A n m e r k u n g Entstehen wie im vorstehenden Beispiele die
Verhä ltniszahlen nach welc h en geteilt werden m u fs durch Mul
A
.
.
,
,
,
,
2 44
50
s
.
P r 0 p0 r t i on a li tä t
.
.
A u fg a b e A hat 4 Sorten Mehl den C entner zu 2 0
Er will durch Mischung eine Sorte zu
2 2% und 2 3
herstellen Wie viel C entner nimmt er von jeder Sorte ?
3
.
.
,
,
—
.
20
21
—C tr
zu wenig
20
%
3
1 9
4
20
1 0 C tr
.
.
2% m i t
1 9
2 2%
1
2 2f
f
zu
2
el
Vi
1
1 9
Denn
1
2;
9,
1 9
3
2
20
4
also Dasselbe , zu viel !
2%
20
21
i
2
3
1 9
4
20
vertauscht !
3
97
1
45
2I
1
i
%
4
9,
39
1
C tr zu wen i g und
.
1 9
1
2
20
zu wenig
99
C tr
ä
97
1
2
1
4
.
9
.
2 71
’
1 9
m lt
20
3
}
C tr
O der auch :
2 271,
2 2J
3
Vi
3
el
’
1
2
4
vertauscht !
1 9
2%
20
A u fg a b e Aus 5 Sorten den C entner zu 1 8 2 2 2 7 3 0
soll eine Sorte zu 2 5 % ge m ischt werden Wie viel ist von
33 %
j eder Sorte zu nehmen ?
4
.
.
,
,
,
,
,
.
1 8
7
3
27
30
33
2
5
8
zu W enig
99
9:
zu Viel
Z
Z „
Cm
5 01
Denn hier ist z B
.
T
.
zu weni g und 2 7 8 7
zu viel folglich gleichen sich
'
7
3
7
.
i
°
,
beide aus
.
Aber auch ganz beliebige Quantitäten wü r de man nehmen
können wenn man darauf sieht d a fs die Produkte aus den Diffe
renzen der schlechtem Sorten eben so gro fs werden als die Pro
d u k t e aus den Di fferenzen der bessern Sorten
,
,
,
.
g
B eispiel
1 8
22
.
.
50
P r 0 p0 r t i o n a li t ä t
.
zu wenig
7
3
l
24 5
.
4 ü
beliebig
9
25
%
vi el
be
l
iebig
9
angenom m en
i
Nun soll 7 o 4 + 3 mal eine un bekannte Zahl eben so g r o fs als
se in d i
2 8 + 3 mal ein e unbekann t e Zah l = 4 5
1 7
Folg lich das 3 fache der unbekannten Zahl
ä 8 1 Zu )
5%
un d die unbekannte Zahl selbs t
( 1 2 1 Zus )
Man nimm t a l s o 4 Ü v on der e rsten Sorte 5 % {Z von der
9 ü v on der 3 Sort e
30
.
,
5
.
.
.
.
,
s
,
.
2
,
,
.
,
.
8
I
P r oc
.
.
e n tre c
hn
un
g
e n
.
Z uweil en g ie b t man an wie vi el Einheiten einer Gr ö fs e
zu 1 00 Einheiten e i ner an dern Gr ö fs e gehören und nennt j ene :
P r o c e n t e ( oder P e r c e n t e ) abgekürzt mi t 0
B e i s p i e l V hat 4 6 000 4 2 hinterlassen w ovon A 8%
P r oc e n t ) bekommen soll
“ i e viel beträ g t di es ?
A u fl ö s u n g Da
bedeutet d a fs A von j e
l
83 /
bekommen soll so bekommt er ( durch 1 00 dividier t )
,
.
,
.
.
.
,
'
.
.
7
,
,
8%
von j e
und (m it
bekommt also
A
1 00
4 6 000 m u lti pli c i e rt )
v on
25
1
4 6 000 II
o
-
3
„
8g
:
4 6 000
J
4 6 M) G
.
1 00
1
3
3
8
3
5
1
1 00
I4
„
{l
’
id
Die unbenannte Zahl welche die Anzahl der
a n i e bt
8
(
&
g
in vors t ehendem B eispiel ) nennt man Pr oc e n t s a tz (P r oc e n t fu fs)
,
,
.
Kauft Jemand fü r
Waren ein und verka uft sie
Z gewonnen der Gewin n
fü r
wi eder
so hat er an 1 00 I S /
beträ gt mi t hin
1
1 A u fg a b e
Ist die Eink au fs s umme 3 7 5 0 J
die Verkaufs
4 und soll der Ge w inn nach
sum me 3 9 2 0 J
bestimmt werden
so m ufs di e Einkau fssumme a u f 1 00 gebracht w erden Daher :
E inkaufs s umme Verka u fssumme
(durch 3 7 5 0 di vi diert )
II
.
.
.
.
,
,
.
,
.
.
.
3 9 20
(m i t
3 75 0
1 00
Mithi n ist an
4 1 85
3 9 2 000
37 5 0
1 00
—1
01
l
«
1 00 m ult i pli c xe rt )
Q
n
.
gewonne n worden oder der Ge w inn
50
ä
246
.
.
A u fg a b e
2
k a uf
ss
Fre s
6 25
di e E hi k a ufss u m m e 6 2 5 Fre s ,
’
“ i e vi el c o be tr ä g t d er Ver l u s t ?
Fre s
5 81
umm e
Fre s
J
( dur ch
.
OQ
"
lus r
A n 1 0 0 F re s
be m w
.
di e Ver
”
5 81
.
.
m
Es
.
.
P r opo rt i ona li rä x
.
(m i t
wu r den
6 25
di vid )
.
1 00 m u lt ipl )
.
mi thin
Fre s ver lore n
.
o
der
.
fü r
A u fg a b e Y ka u ft
°
2
5?
w
verk
e
2
g
0
e wi nnen
uf n
e
n
n
er
a
o
%
A u fl o s u n g
%
Im Ei nka ufs kos t en 3 C t r :
3
.
.
“ i e t euer
'
.
w
,
ill ?
er
m u fs
.
.
d a h er
"1 ‘
1
2
1
°la
1 00 e
a 1
'
5 1 0-1 1
1
'
3 57 - 1 1 1 0
4 -7
1
5 1 0-1 1
-
2
I4,
4 -7
2%
Q"
-
1 00
6
%
k os t en
1 1
-
a lso
(s A u fg
1 20
5 1 0-1 1
/
.
.
ü
Ei nk a ufs
.
35 0
{ A u fg a b e
S
37 fü r 1 9 l 6 0 I
:
4 -7
1 00
1 65 3
2
I CZH)
.
im
1 20
ka uft
“ de
1 00
w o di v )
.
2
1 04)
u
2
4'
fü r L3 4 2
ha t e r ge w
.
k ost en
M
4
A uflö s un g
Im E in k a ufs
-
2
a
4 5 57
vi e l
.
-
dur c h
.
-
-
e
on n e n
Er ve r ka u ft
oder v e r lore n ?
24 8
5
j e d oc h
.
50
.
P r 0 p0 r ti o n a li tät
.
unl g is h d e s h at nu r d i 1 A r t
l t z t n A u fg ab B sin d nu r sch in b r
de
I
d n d i A u fg b ah m d r t nich t a n d f 1 07
d e b e d a r u m w u hs 1 00
f 1 07 7 a n
g ie b t
r
n
c
o
e
e
e
e
en
un
e
un
a
e
z
.
o
n
7
a s
,
au
c
n
a
e
.
2
B r ec h t i g u g
v or h n d e n
d e r 1 00 7
P r oc e n t e n
e
“
1
0
a uf
0
v on
.
s on
n
a
.
,
n
.
V Steht ein Wertpapier 9 4
so meint man damit dars es
zwar ur sprünglich über 1 00 o der
u s w lautete j etzt aber
nur noch den baren Wert von 9 4 oder
u s w hat
O
VI Wie sic h 0 a u f 1 00 beziehen so bezieht sich der Aus
druck „ pro mille a bg e k ü r z t m it
a u f 1 000
B e i s p i e l Vom Kapital 4 5 6 0 fl bekommt N 2 %
Fo lglich : Von I OOOÄ bekommt er
.
,
.
/
.
.
.
,
.
.
.
.
,
“
,
.
.
.
2%
1
D
‘
93
4 5 60
3
99
2%
”
-
45 60
1 000
2 1 000
s
Zinsrechnung
4 leiht dem B ein K a p i t a l ( Geldsu m me ) oder irgen d ein
Wertstück (z B Grundstück ) Die Geldsumme welche B d e m A
fü r die B enutzung dieses Ka pitals (resp W e r ts tü c k e s ) zahlt nennt
m an „ Z i n s
Der fü r die Berechnung der Zinsen gegebene Pro
c e n t s a t z wird auch Z i n s fu fs genannt und gilt stets fü r e i n Jahr
Wird daher ein Kapital zu
ausgeliehen so versteht man dar
unter d a fs fü r j e 1 00 % des Kapitals in e i n e m Jahre 5 % Zinsen
( o der Interessen ) gezahlt werden D e r Monat wird hierbei z u 3 0
Tagen das Jahr also zu 3 6 0 Tagen gerechnet in England und
Nordamerika und in einzelnen F ä llen auch in Deutschland : 1 J
ahr
zu 3 6 5 Tagen Ist ein Z i n s fu fs nicht angegeben so wird ein gericht
licher Z in s fu fs von 5
(in b e s on d e r n F ä llen a uch mehr oder w e
niger) angenommen
I B ere chnung der Zi ns en
1 A u fg a b e
Wie viel Zinsen geben 7 000 fl zu
in
3 % Jahren ?
A u fl ö s u n g
ß g i e bt in 1 Jahre 4% fl Zinsen
Das Kapital 1 00 /
Zinsen
1 00
3%
9
.
.
.
.
,
.
.
.
,
“
.
.
,
,
.
,
,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
3 % 4%
o
77
99
1
0
3%
7 000
4%
,
J
1 Zinsen
.
Wäre das Kapital 8 5 0 ß die Zeit 1 % Jahr der
würde man in gleicher Weise fü r die Zinsen :
‚
so
n
99
79
99
99
93
,
Z i n s fu fs 5 %
.
ä
50
.
l
.
’O
I
por t i on n li t u t
H ieraus folgt die allgemeine Regel
24 9
.
:
Die Zinsen e r h ä l t man wenn man d a s Ka pital mit der
Zeit (in Jahren ) und mit d e m Z i n s fu ls e m u lti pli c ie r t und
das Produkt d u rch 1 00 dividiert O der :
,
'
.
Ist das Kapital
K die Jahre
die Zinsen = z so ist :
,
,
k ap
Z
staben des Wortes
Die obige Au fgabe
(
a
1 00
ann il
) die
,
P r oc e n t e
(k a p die 3 ersten B uch
°
also :
e bt
i
g
7 000 3 % 4 %
=p
7 000 1 1
o2
3
9
=1
1 00
1 55
Z
J
’
.
4 in 1 Jahr 9 Mon
A u fg a b e Wie viel Zinsen geben 9 07 ; J
2 0 Tagen zu 3 g
A u fl ö s u n g Zun ä chst hat man hier 1 Jahr 9 % Mon = 1 Jahr
2
1
.
7
.
.
.
Jahr
1
.
3% Jahr
4
9 07 % 1
.
Zinsen
Daher nach Z :
.
ä
g
3
M4
1 00
62 %
A u fg a b e Wie viel Zinsen geben
Mon 1 8 Tagen ?
A u fl ö s u n g
3
7
J
25
.
4 8 6 00
.
4 zu
J
5%
in
.
.
q
7
Mon
.
1 8 Tg e
7 3%
7
.
Mon
7%
.
Mon
.
Jahr
.
q
I
D aher :
Z i nsen
d
:
1 00
5%
4 8 6 00 7 %
H ieraus folgt
.
1
.
4
J
man in dem Q uotient an die Stelle der
Jah re : Monate setzen kann wenn man den Nenner 1 2 in den a n
dern H auptteil des Bruches (in den H auptnenner) setzt
Vorstehender Ausdruck g i e b t
,
d a fs
,
.
di e
Z i nsen
4 8 6 00 3 8 1 7
:
1 2
O
5
O
B e r e c h n u n g d e s K a pi t a l s
W
Vi e gro fs ist ein Kapital welches in
Zinsen bringt ?
II
.
.
,
7
Jahren zu 4 %
31 5 1 !
.
25 0
ä
50
P r 0 p0 r ti on a li tä t
.
.
.
A u fl ö s u n g
Das Kapital 1 00 % g i e bt in 1 Jahre
Zinsen
Ist die Zeit 7 m al so gro fs so m u ls das Kapital 7 mal so klein
sein wenn die Zinsen dieselben (hier
bleiben sollen Daher :
.
.
'
,
.
,
Kap
Kap
2
1
0
.
in
g i e bt
1 00
.
Kap
‘
99
99
9,
99
99
99
7
Jahren
7
Zinsen
l
99
97
31 5
99
99
99
7
99
1 00 3 1 5
.
0
Das gesuchte Kapital ist also hier
1
7 42
,
bei
ahren
J
3
und
und würde
übergehen
Folglich ist immer :
B
.
.
Zinsen in
49 %
z.
.
Z i nse n
X
Kapital
K)
(
Jahre X P r oc e n t e
A n m e r k u n g Durch sp ä tere S ä tze lä fs t sich weit einfacher
und j edes andere Element aus d e m schon bekannten Ausdrucke
O
1 00
o
.
k
z
k ap
1 00
able i ten
.
Für vorstehende Au fgabe ist also :
1 00
das Kapital
A u fg a b e
Tagen zu 3 %
2
25
.
A u fl ö s u n g
Mon
5
8%
Kap
.
?
6
53
J
Wie gro fs ist ein Kapital
8 % 40
Zinsen bringt ?
.
‚
,
welches in
5
Mon
.
.
2 5 Tg e
.
4
5
40
g
.
g
‚
5
.
J
gg
0g
(s ä
.
Mon
5%
.
35
Jahr
1 2
Jahr
,
D aher nach K :
1 00 8 4 - 6 1 2 -4
9
.
42 , 1
)
9
1 0
B e r e c h n u n g d e s Z i n s fu fs e s
1 A u fg a b e
Zu w i e viel
sind 4 7 5 % ausgeliehen wenn
sie in
Jahren 1 7 1 % Zinsen bringen ?
A u fl ö s u n g
K a p 4 7 5 % in 6 % Jahren
Zinsen
1 71 %
I II
.
.
.
,
.
.
.
7,
,
1
1 71
99
9
’
7,
99
77
ä
25 2
A
2 A u fg a b e
5 6 00 %
z u 6%
.
.
von
A u fl o s u n g
J
.
.
50
.
P r 0 p0 r ti on a li t ä t
.
leiht dem B am 2 6 Nov 1 8 7 4 ein Kapital
An welchem Tage betragen die Zinsen
.
.
Jahre
g i e bt
7
—
2 1 5 Jahr
2 Jahr
2 Jahr 5 Mon 7 } Tg e
Mon
D er T a gesbruch ist noch abzubrechen da das Abtrage n der
Zinsen nur an den Tag ab er nicht an eine bestimmte Stunde g e
b unden ist
D aher : 2 Jahre 5 Mon 8 Tg e
Die gesuchte Zeit e r g i e b t sich nun nach ä
1 8 7 3 Jahr 1 0 Mon 2 5 Tg e
2
5
v e rfl
8
os s e n e Zeit
4 Mon
3 Tg e
1 8 7 6 Jahr
d i 4 Mai 1 8 7 7
A n m e r k u n g Vergleicht man die fü r das Kapital die Pro
cente und die Zeit ge fundenen Ausdrücke K P und J so findet
man folgende allgemeine Regel :
D er Z ähler ist stets 1 00 X Zinsen
Der Nenner erh ä lt
das Produkt der bis dahin noch nicht berührten Elemente
Soll z B die Zeit ( in Jahren ) b erechnet we r den so ist
der Z ä hler „ 1 00 X Zinsen
Da Zeit u n d Zinsen schon
b erührt sind so fehlen noch Kapital und P r oc e n te deren
Produkt in den Nenner zu setzen ist Daher :
1 00 X Zinsen
Kapital X Proc
V Vermehrt man ein Kapital um seine sä mtlichen Zinsen
“
so erh ä lt man das a n g e w a c h s e n e K a p i t a l
u n d erh ä lt nach 8 Mon
1 A u fg a b e
A leiht dem B 5 8 5 0 %
2 0 Tagen an Kapital und Zinsen
Wie gro fs ist der
.
.
7
.
,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
,
“
„
.
.
.
.
,
“
.
,
,
.
.
.
,
„
.
.
.
.
Z i n sfu fs ?
A u f l ö s u n g Vermindert man
um das Kapital
5 85 0
so erh ä lt man
Zinsen Die Aufgabe verwandelt
sich nun in folgende :
Zu w i e vi el
sind 5 8 5 0 % ausgeliehen wenn sie in
Z i n s e n br i n g e n ?
8 % Mon
Nach P findet man :
1 2
3 _ 1 O
4
.
.
,
.
k
-
-
“
'
5
A u fg a b e N leiht 3 8 0 % zu
würde das angewachsene Kapital 4 1 2 %
A u f l ö s u n g Die Zinse n betragen
geht die Au fgab e in folgende über :
2
.
.
.
/
Nach welcher Zeit
b etragen ?
Dami t
41 2
5
In
J
50
0
.
3 8 o g i2
.
25 3
.
zu 3 %
3 80 %
.
in
P r opor t i on a li t a t
.
Zeit geben
w e lc h e r
lNa c h
.
32
Jahr
32
400 - 4
4 Zinsen
J
?
Jah i
Jahr
2 Jahre 2 Mon 2 8 Tage
3 A u fg a b e
Ein Kapital wuchs in 1 0 Mon 2 0 T a gen zu
a uf 5 2 2 5
an ? Wie gro fs war es ?
Man berechne zunä chst a u f welche Summe das Kapital 1 00
in
Mon zu
anwä chst D a nun nach P die Zinsen des
Kapitals 1 00 in dieser Zeit
.
.
.
.
.
,
.
.
1 00 1 043 6 7}
0
1 2
betragen
auf
0
3 o4
1 00
o
1 2
= ög
so w ä chst also das Kapital 1 00 in 1 0% Mon zu 6 71
1 05 % fl an
D ie ursprüngliche Au fgabe geht j etzt in folgende über :
Ist das angewachsene Kapital
so ist das ausgeliehene
1 00
Wie gro i s ist das ausgeliehene wenn das a n g e w a c h
sene 5 2 2 5 beträ gt ?
1 05 5 a n g e w Kap
1 00 a u s g e l Kap ( durch 1 05 3 divid )
,
.
‚
.
'
.
7
,
L
.
.
.
.
.
1 00
1
3)
99
1 00 o 5 2 2 5
97
‚3
99
1 00 5 2 25
0
D as gesuchte Kapital ist also
9
4Q5 OM
95 0
u fgab e f l g e d er F r m Ver m i d e r t m
i
p i tal m e i e fü 2 0 T a g e m i t
erh ä l t
b ere h e t e Z i e
IZ W i
g r f wa r d K ap i ta l ? fi d e i d Di t e h
( 3 B e i p i el ) B er ü k i h t i g u g
A
n
u
s
..
.
1 0
A
n
o
o
n
r
n
c
o s
e
s c
c
s
.
m
erkun g
0
“
as
n
:
n
n
n
n
an
n
„
n
n
ns
,
so
s c on or
er
e n
c
Ka
man
n un g
.
Sconto )
Diskont ist ein Abzug der fü r eine vor dem bestim mten Zah
lu n g s t e r m i n e geleistete Zahlung b ewilligt wird An manchen Orten
wird dieser Abzug auch „ Rabatt genannt
Die ü b l i c h e Berechnungsweise besteht darin die Zinsen fü r
die betre ffende Zei t von dem zu diskontierenden K a pital abzuziehen
um das zu zahlende (das diskontierte ) Kapital zu erhalten
D er Z in s fu fs bezieht sich auch hier a u f e i n Jahr
zu zah
1 B ei spi el
N hat d e i n S a m 2 7 Juni 1 8 8 3
len Wie viel beträ gt der mit 3 % berechnete Diskont wenn er
die Zahl ung schon am 1 2 Juni leistet ?
A u fl ö s u n g D a der Diskont (Abzug von der zu zahlenden
Summe ) den Zinsen fü r die betre ffende Zei t ( 1 5 Tage ) gleich ist
so b eträ gt derselbe :
.
D i s k on t or e c h n
un
Diskont
(
g
,
.
,
.
“
.
,
,
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
5
25 4
.
1 5
'
50
opo rt i on a li tä t
.
.
3
365
1 00
1 V hat
m ithi n
-
_3 5 3 1
1 00
,
zu za hl en
2860
B e i s p i e l A hat d em d e n 1 3 Mai 1 8 8 3
Er will die Zahl un g aber s c hn den 2 2 Apr il 1 8 8 3
W i e vi el h a er zu zahl e n we n n
früher l eisten
?
konto be w illigt wird
2
.
A u flö s u n g Vo n
.
5 40
i n d d i e fü r 2 1
.
berechnete n Zinsen
m it
,
,
.
,
zu
zi ehe n
za hle n
al so 2 1 Tag e
ihm 4 % Dis
zu
.
.
.
21
T a ge
365
F olgli c h
.
_
=
diskontierte K pi
5 40
t
.
h
J
a
re
)
das
4
-
a
.
1 00
5 40
3 65
-
1 00
5 40
„
ß
.
B e i s p i e l Jeman d h 1 e d e n 1 9 O kt 1 88 2 einen Wechsel
zu zahlen Er zahlte 1 5 T
früher a lso a m 4 O k to be r m it
Diskonto
A u f wel ch e S um m e l aute te der
85 1
Wechsel ?
3
.
.
.
.
.
.
,
.
,
.
A u f l ö s u n g Wenn i m Be ispi e l d as z u dis ko n ti e re n de Ka
pital
unbekannt g e m n w ä r e un d a us d e m dis ko n tierten
Kapital
le n so ll te so m ü fs te w i e sich aus
j b erechnet
5 40
( Zinse ou 5 40)
ein Kapital (hier 5 41 e sucht wer de n w e l ch es u m se ine
e rg i e b t
Zinsen vermindert
t
Im vorliege n den B C i S pi t ist mi thi n auch e in un be k a nn tes
Kapi t al (das zu diskonti eren d z u suchen wel c h es u m se ine fü r
1 5 Tage mit
berechnete insen ve rm inde rt d as disko n tie rte
K apita l 7 7 3 8 8 5 J
ä g ie b t
Zu diesem Zwecke v e r m e re m an zun ä ch st d as K api ta l 1 00
'
u m seine fü r 1 5 T a ge mi t 3
M an fin det
9 b e r ec hn eten Zi n se n
.
„
,
,
G
,
,
.
:
,
.
,
.
,
.
1 00
1 5
'
36:
3*
1 00
noo
:
1 00
1 44
Ist also das diskontie rte apita l
so is t d as zu di
k on t i e re n d e 1 00 Wie g ro fs m fs d as zu disko n tie r e n de sein w e n n
das disko n tierte
1 4 ist
c
,
.
.
5
25 4
.
P r 0 p0 r t i on a li t ät
50
1 5
°
.
3
3 65
1 00
N
hat mithin
.
_3 5 3 fl
1 00
zu zahlen
2 860
.
B ei s p i e l A hat dem B den 1 3 Mai 1 88 3 5 4 0 % zu zahlen
Er will di e Zahlung aber schon den 2 2 Apri l 1 8 8 3 also 2 1 Tage
früher leisten
Wie vi el hat er zu zahlen wenn ihm
Dis
konto bewilligt w ird ?
2
.
.
.
.
,
.
,
.
,
A u flö s u n g Von
.
mit
sind die
5 40 %
Tage (
fü r 2 1
berechneten Zinsen abzuziehen
4
21
z
3 65
Jahre )
Folglich beträ gt das
1
5 40 o 1
4
.
o
di skonti erte Kap i tal
3 65
5 40
1 00
5 40 2 1
5 40
3 65
o
4
1 00
274
5 40
.
.
B e i s p i e l Jemand hatte den 1 9 Okt 1 8 8 2 einen Wechsel
zu zahlen Er zahlte 1 5 Tage früher also am 4 Oktober mit
Diskonto 7 7 3 8 fl 8 5 j
A u f welche Summ e lautete der
Wechsel ?
3
.
.
.
.
.
„
,
.
,
.
A u f l ö s u n g Wenn im 1 B eispiel das zu diskontierende K a
pital ( 5 4 0 ß ) unbekannt gewesen wä re und aus dem diskontierten
Kapital
f
b
erechnet
werden
sollte
so
m
s te
ü
w i e sich aus
J
5 40
(Zinsen von 5 4 0)
e r i e bt
ein Kapital (hier 5 4 0) gesucht werden welches um seine
g
Zinsen verminde r t 5 3 8 7 6 fl g i e bt
Im vorliegenden Beispiele ist mithin auch ein unbekanntes
Kapi t al (das zu diskontierende) z u suchen wel ches um seine fü r
1 5 Tage mit 3 %
berechneten Zinsen vermindert das diskontierte
Kapital 7 7 3 8 8 5 fl g i e b t
Zu diesem Zwecke vermindere m an zun ä chst das Kapital 1 00
u m seine fü r 1 5 T age mit 3
berechneten Zinsen Man findet
}
.
.
‚
,
,
,
,
,
.
,
,
,
.
7
l ooi
1 00
.
1 5
i fii T
O
1 00
1
SÜ
1 00
1 00
:
Ist also das diskontierte Kapital
so i s t das zu dis
k on ti e r e n d e 1 00 Wie gro fs mu fe d as zu diskon tierende sein wenn
das diskontierte 7 7 3 8 8 5 fl ist ?
.
,
,
5
.
50
’
I rO
por t i on a li t a t
.
A das diskont Kap
J
.
1 00
.
25 0
F
.
d das zu diskont Kap
J
.
.
1 00
1
77
77
77
n
77
77
77
77
77
77
77
1 00
n
Das gesuchte Kapital ist also :
—7 7 5 0
77
77
J
A n m e r k u n g Diese allgemein übliche B erechnungsweise ist
falsch
Denn h ä tte N dem P am 1 Juli 1 8 8 3 ein Kapital von
2 0000 Jz u zahlen und soll berechnet werden
wie vi e l er dafür
am
1 April
also 9 1 Tage früher mit 6 % Diskonto bezahlt so
würde N nach der üblichen B erechnungsweise
.
.
.
5
,
.
,
,
o
2 0000
2 0000
zu zahlen haben
5
,
1
9—
6
65
1 00
.
Rationell j edoch h ä tte N am 1 April ein Kapital z u zahlen
welches mit
bis zum 1 Juli a u f 2 0000 Janwä chst Um dies
Kapital zu berechnen wä re zunä chs t zu untersuchen wie gro fs
das Kapital 1 00 in 9 1 Tagen zu
wird Da nun das Kapital
1 00 in 9 1 Tagen zu
.
,
.
.
.
,
,
.
91
1 00
6
365
Zinsen
1 00
t
i
e
b
,
g
so w ä chst
1 00
J
a uf
1 01
% ääJ a n g e w
——
1 01
.
an
% {fä
Kap ,
Folglich :
.
1 00
/
J
aus
g
el
.
Kap
.
1 00
1
77
77
77
77
97
77
‚7
99
77
1 00 -2 0000
n
9)
D as rationell zu zahlende Kapital ist mithin :
2 000000 :
denn g i e b t
Summe zu
2 0000 fl
ll
N
dem P am 1 April
aus so is t er den
,
Te r m i n
J
Jund
leiht P diese
Juli im B esitz von genau
.
re c
hn
un
g
1
.
A m ag dem B am 1 Jan 2 000 J
Z am 1 M ä rz 3 000 /
J am
1 Juli 1 6 00 fl zu zahlen haben O ffe nbar wird nun A diese 6 6 00 J
Ä
auch so zahlen können d a fs er z B 4 000 fl am 1 Febr zahlt
4 an einem s pä te rn Termine (Z a hlun g s
und die übrigen 2 6 00 J
.
.
.
.
.
.
,
.
,
.
,
.
.
.
.
5
25 6
.
50
P r 0 p0 r ti on a li t ä t
.
.
zeitpunkt ) der von der Te r m in r e c h n u n g so zu bestimmen ist d a fs
weder A noch B einen Verlust erleidet
Die Au fgabe der Te r m i n r e c h n u n g ist also fü r gegebene Ter
m ine andere Termine so zu bestimmen d a fs weder der Gl ä ubiger
no ch der Schuldner dabei zu Schaden kommt
Im Nachstehenden beschä ftigen wir uns nur mit der B e r e c h
nung des sogenannten m i t t l e r n T e r m i n s d i mit dem B e s tim
m en desj enigen Tages a n welchem mehrere zu verschiedenen Zeiten
zahlbare Kapitalien mit e i n e m Male bezahlt werden können weil
Au fgab en bei denen m e h r e r e ve r ä nderte Termine in Frage kom
m e n r a ti g n e ll n u r mit Hil fe der Alge b ra gelöst werden können
A hat in 2 Monaten 9 00 in 4 Monaten 1 5 00
1 A u fg a b e
5 zu zahlen In wie viel Monaten kann er die
in 7 Monaten 1 00 J
9 00 + 1 5 00 + 1 000 = 3 4 00 fl mit einem Male bezahlen ?
Ä geben in 2 Monaten denselben Gewin n
A u fl ö s u n g 9 00 J
Jgeben in 4 Mon
wie 9 00 2 J
Ä in 1 Monat
Eben so : 1 5 00 /
Z in 7 Mon
denselben Gewinn wie 1 5 00 4 J
Ä in 1 M on
und 1 000 J
= 1 000 7 J
Ä in 1 Mon
Werden nun die 3 Kapitalien an einem noch unbekannten
Tage zugleich bezahlt der in x Mo n aten fallen mag so h ä tte man
zun ä chst zu berü cksichtigen d a fs
Z in x Mon denselben Gewinn geben w i e 9 00 90 %
9 00 J
Ä in x Mon
in 1 Mon Eben so : 1 5 00 J
1 5 00 x J
ä in
Ä in x Mon
1 000 x J
5 in 1 Mon
1 M on und 1 000 J
Diese a: Monate sind o ffenbar nur dann richtig gew ählt wenn
1 5 00 o x
1 000 x in 1 Mon denselben Gewinn geben
9 00 o x
wie 9 00 2 + 1 5 00 4 + 1 000 7 in 1 Mon
D aher ist :
9 00 x + 1 5 00 x + 1 000 90 = 9 00
geschrieben werden :
Dafür kann nach ä
o
o
=
0
0
1
00
x
9
0
2
1
5
4 + 1 000 7
1
5
0
00
9
00
0
)
(
+
D a ferner (nach ä 1 2 1 Zus ) das Produkt (hier die rechte
Seite der Gleichung) durch den einen Faktor (die P arenthese links )
dividiert den andern Faktor (x) geben m u fs so ist :
,
,
.
,
,
.
,
.
.
,
,
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
°
.
.
o
.
.
,
°
.
,
,
,
-
,
.
.
o
.
.
o
.
.
o
-
.
,
.
,
o
o
.
.
.
.
,
,
.
,
x
9 00
1 5 00 + 1 000
M on a w
Allgemein :
D er m i t t l e r e T e r m i n ist gleich der Summe der Pro
d u k te der Kapitalien und Zeiten dividiert durch die Summe
der Kapitalien
Für vorstehende Au fgabe fällt mithin der mittlere Termin in
‚
.
1 8 00
6 000
3 4 00
7 000
5
25 8
.
50
P r 0 p0 r t i on a li t ä t
.
.
Allgemein
D er m i t t l e r e T e r m i n ist gleich der Summ e der Produkte
der Kapitali en Zeiten un d P r oc e n t e di vi di ert durch die
Summe der Produkte der K a pitalien un d P r oc e n te
F ür vo rstehende A u fgabe fallt m i thin der mittlere Termin in
,
.
31 1 4
j
67
a
Mon
37
Mon
6
.
9
.
Tage
.
Noch könnte di e Frage aufgeworfen werden welcher m i t t
l e r e Z i n s fu fs di eser Aufgabe entspricht
Bezeichn et m an den m ittleren Z in s fufs mit x so ist die Rech
nun g folgende :
O
4
geben i n 0 Mon m i t x o denselben Gewi n n w i e
1 4 00 1
in 1 Mon mit
Eben so :
d geben in 3 Mon m i t
denselben Gewin n wi e
1 8 00 /
in 1 Mon mit
In gleicher Weise 4 000 o 8 x u n d 3 000 o 9
i n 1 Mon
mi t l
O ffe n bar geben nun
1 4 00 0 x + 1 8 00 3 75 + 4 000 8 25 + 3 000
densel ben G ewinn wi e der schon oben h erech
i n l Mon mit
nete Ausdruck :
,
.
‘
,
.
/
.
,
.
.
.
,
.
.
-
.
-
„
,
.
-
in
1
„
Mon mit
3
-
5 ß
-
9 -5
.
F olglich ist
.
1 400
=1
4 00 - 0
-
3
.
Hieraus folgt :
-
4 -l
1 4 00 - 0 + 1 8 00 3
o
+
4 000 - 8
+
3 000 9
o
Allgemein :
D er m i t t l e r e Z i n s fu fs ist gleich der Summe der Pro
d u k t e der Kapi t alien Zeiten und P r oc e n t e dividiert dur ch
die Sum me der Produkte der Kapitalien und Zeiten
F ü r vorstehende Au fgab e ist der mittlere Z in s fu fs daher :
1
1
4
3
_
_
O
o
,
.
/
.
6 44
0
e r k g D i h i e r g elehrt e B ere ch g we i e i t w a r d i h
l i he i i t ab er i h t r a t i ell D e b i d e A u fl ö g d 1 A f
gab e wur d e b eh a u p t e t d f 1 000 4 i 7 M d e el b e Gew i g e b e w i
4 i
h
1 000 7 J
1 M
D i e i t ab er u r i h t i g d e d i i 7 M
le d e 1 000 1 1 si d je t z t ( 7 M f ü her ) k l ei er l
S i nd i z B
A
c
n
m
s e
,
un
e
.
n c
s
on
,
on
n
n
n
5
n un
n
.
a
s
nn
.
e
n
s
on
.
on
n
.
r
e
c
s
ns
,
n
nn
a s
e
z
s un
r
.
s
s
n
on
u
.
nn
n
e
er
u
e
n
.
zu
s e
za
.
.
ä 50
25 8
.
P r0 p0 r ti on a li t ä t
.
.
Allgemein :
Der m i t t l e r e T e r m i n ist gleich der Summe der Produkte
der Kapitalien Zeiten und P r oc e n te dividiert durch die
Summe der Produkte der Ka pitalien und P r oc e n te
Für vorstehende Aufgabe fällt mithin der mittlere Termin in
,
.
1 4
12
1 4
67
4
7 51
1
7
Mon = 6 Mon
.
9
.
Tage
.
Noch k ö nnte die Frage au fgeworfen werden welcher m i t t
l e r e Z i n s fu l s dieser Aufgabe entspricht
Bezeichnet man den mittleren Z i n s fu fs mit x so ist die Rech
nung folgende :
O
Ä geben in 0 Mon mit w o denselben Gewinn wie
1 4 00 J
1 4 00 0 x J
4 in 1 Mon mit
Eben so :
1 8 00 J geben in 3 Mon mit as 0 o denselben Gewinn
wie
Ä in 1 Mon mit
xJ
In gleicher Weise 4000 o 8 x und 3 000 9 x J
ä in 1 Mon
,
'
.
,
/
.
.
.
/
.
.
-
,
,
o
.
1 8 00 3
o
in 1 Mon mit
nete Ausdruck :
denselben
.
-
in
1
„ 22
.
4
-
+
4 000 8 x
o
Ge w m n
,
.
—
O ffenbar geben nun
1 4 00 0
o
3 000 9 l
l
.
o
i
o
wie der schon o b en herech
l
Mon mit
Folglich ist
.
1 4 00 O x
o
o
+
1 8 00 3
0
Hieraus folgt :
.
+1
8 00 3 1 3 4
l 4 00 - 0 + 1 8 00 3
1 4 00 0 4
.
o
o
o
o
4000 8
o
4%
o
9 5
.
+ 3 000 9
o
Allgemein :
D e r m i t t l e r e Z i n s fu fs ist gleich der Summe der Pro
d u k te der Kapitalien Zeiten und P r oc e n te dividiert durch
die Summe der Produkte der Kapitalien und Zeiten
F ür vorstehende Aufgabe ist der mittlere Z in s fu fs daher :
1
1
4
3
_
_
O
,
.
6 44
0
e r k g Di h i er g elehr t e B er e h g we i e i t z w ar d i ü b
l i he i i t ab er i h t r ati ell D e b i d A u fl ö g d 1 A f
gab e wur d e b eh a u p t e t d f 1 000 J
4 i 7 M
geb e w i
d e el b e Gew i
1 000 7 %
i
1 M
h
D i e i t ab er u r i h t i g d e d i i 7 M
le d e
i d je tzt ( 7 M
fr ü her ) k l ei er l
Si d i z B
A
c
n
m
s e
,
un
on
n c
s
,
n
‚
n
n
c
e
.
on
s n
.
a s
s
nn
.
n
n
s
on
.
s
s
ns
.
,
n
nn
a s
e
s
sun
er
e
on
c
n un
n
on
n
u
.
nn
n
e
er
e
n
.
zu
s e
za
.
.
P r 0 p0 rt i on a li t ä t
ä 50
2 60
.
.
.
betrage n oder das Kapital ist n ach einem Jahre
,
au
f
angewachsen Die nicht abgetragenen Zinsen sind mithin stets
“
zum Kapital zu schlagen wodurch die sogenannten Zinseszinsen
en tstehen (auch „ Zins a u f
Wä re das Kapital nicht 8 00
s ondern 3 7 9 0 J
4 so würde es m i t 5 %
nach 1 Jahre a u f
.
„
,
,
,
angewachsen sein
3 7 90
Hieraus folgt
(Y)
,
da fs
.
ä
haben will
i
j edes K apital mit ( 1 +
1 ö
zu
ist wenn man die Summe
welche es mit 5 %
nach e i n e m Jahre a nwä chst
tipli c i e r e n
man
L ä fs t
,
m ul
,
a uf
.
jenes ( schon an gewachsene ) Kapital
n un
5%
—
—
—
8 00
1 00
wieder ein Jahr a nw achse n so wird es hiernach
,
5%
Jwürden
+
(1
also nach
8 00 Z
1
2
anwachsen
L ä fs t
1
5%
1 00
Jahre
a uf
1 00
5%
Jahren
1 00
.
man das letztere K apital
+
8 00 ( 1
wieder
5%
5i
+ 1 00
(1
5
Jahr anwachsen so wird es j ener Regel
Y
,
5%
8 00
J
Ä wachsen
in
3
(1
+
zu folge :
5%
5%
O der
1 00
.
mit Zinses zinsen
Jahren
a uf
8 00 ( 1
o
+
5%
1 00
1
4
8 00 4 1
In g leicher Weise fä nde man
Zinseszins e n
o
in
4 Jahren a u f 3 7 9 0
,
u s
4
d a fs
.
w
.
an
.
J zu
mit
3 79 0 ä
4g
1 00
4%
a
.
1 00
anwachsen
.
5
.
50
P r 0 p0 r t i o n al i t ä t
.
26 1
.
Hieraus re s ul tie r t fol g ende a l l g e m e i n e R e g e l :
Um zu be r ec h nen a u f w el che Summ e ein Kapita l a n
w ä ch s t wenn die j ä h r l i c h zu zahlenden Zinsen nicht a h
getra gen w erden hat m an di e P r oc e n t e durch 1 00 zu divi
diere n und zu dem Q u oti e n t l zu addieren Die Summe
is t hierauf s o oft mit sich s elbs t zu m u lti plic ie re n als die
Zahl der Jahre Einhei t en hat Das erhaltene Produk t (Potenz )
i s t alsd a nn noch m i t dem Kapi ta l zu m ult i pli c i e r e n
,
,
,
.
,
.
.
J zu
B e i s p i e l N leiht dem
35 0
D i e Zinsen
welche j ä hrlich abgetra gen werden sollten ha t te B 5 Jahre l a ng
n ich t
bezahlt A u f w elche Summe war das Kapita l in diesen
?
5 Jahren angewachsen
A u fl ö s u n g
5
1 0
34
5
_
A uf
B
.
4 000 4
7
0
.
,
,
.
.
)
3 00
1 00
31
31
di e
31
1
30
4 000
is t
31
31
Da
so
31
Multipli cation mit
man die j edesmal zu
e r höht Folglich :
d a fs
+
4 000
—
30
am besten dadurch aus z ufü hren
,
Zahl um den
m u lt ipli c i e r e n de
30
.
T e il
.
30
4 000
4 7 1 2, 6 1 7
B e i s p i e l Die Stadt
wohner un d nah m j ä hrlich
?
Dez 1 88 7 sein
am 1
2
.
.
.
N
:
30
:
30
:
30
:
30
J
d d
as
gesuch t e Kapi t a l
.
hatte am 1 Dez 1 8 8 0 4 5 7 1 9 Ein
Wie gro fs w ird di e S ta dt
zu
.
.
.
A u fl ö s u n g Da B evö lker u ngen An p flanz ungen u s
b a r e ben so z u nehm en m ü ssen w i e ein mi t Zin seszinsen
send e s Kapita l so is t hi er di e gesuchte Zahl
.
,
,
,
.
.
w
.
o ffen
an w ac
h
P r 0 p0 r t i on a li t ä t
ä 50
2 60
.
betragen oder
Kapital ist
da s
,
.
n
.
ach einem Jahre
au
f
angewachsen Die nicht abgetragenen Zinsen sind mithin stets
“
zum Kapital z u schlagen wodurch die sogenannten „ Zinseszinsen
en tstehen (auch Zins a u f
W ä re das Kapital nicht 8 00
4 so würde es mit 5 %
sondern 3 7 9 0 J
nach 1 Jahre a u f
.
,
„
,
,
1
3 7 90
o
57
(1
an gewachsen sein
1 00
.
1
Hieraus folgt
j edes Kapital mit ( 1
zu mul
ti pli c i e r e n ist
wenn man die Summe haben w ill a u f
welche es mit
nach e i n e m Jahre anwä chst
(Y)
,
da fs
,
.
man nun j enes ( schon angewachsene ) Kapital
5%
L ä fs t
1 00
wi eder ein Jahr a nw achsen so wird es hiern ach
,
8 00 0
8 00
+
J
ä würden
an w achsen
L ä fs t
5%
(1 +
1 00
also nach
1
1 00
1
Jahre
2
Jahren
a uf
8 00 ( 1
1 00
1 00
.
man das letztere Kapital
5%
+
8 00 ( 1
wieder
5%
Jahr anwachsen so wird es j ener Regel
Y
,
57
8 00
J
Z wachsen
.
1 00
m it
(1
+
5%
(1 +
zufolge :
57
O der
1 00
:
Zinses zinsen
1
in
3
4
99
Jahren
99
a uf
99
8 00
u s
8 00
In gl e icher Weise fä nde man
Zinseszi n sen
in 4 Jahren a u f
1
5?
,
.
d a fs
3 790
4
.
w
.
an
.
J
ä zu
mit
3
4%
anwachsen
.
5
26 2
45 7 1 9
0
45 7 1 9
(1
.
50
.
P r 0 p0 r ti on a li t ät
.
5
= 45 7 1
9
g; 3
%
g;
45,
„
Auch hier kann man die Multiplication mit
1
1
+ 8 0 dadurch leicht aus führen
t ipli c ie re n d e
Zahl um den
80
.
,
d a fs
:
80
:
80
:
80
.
.
man die j e desmal zu mul
Teil erh ö ht
45 7 1 9
d i mit
D aher :
.
80
4 8 04
80
4987
:
80
:
80
Einwohner
zu
B zahlt die
A u f welche Summe wäch st das
.
A u f g a b e N le i ht dem B
l ich abzutragenden Zinsen nicht
K apital in 4g Jahren an ?
A u fl ö s u n g Zunächst berechne man
Ä in 4 Jahren anwachsen
7 000 J
.
.
.
,
a uf
welche Summe die
.
Man
+5
erhält
:
'
20
20
1
6
Dah er :
5
o
B1
eses
7
k
lieh e n werden
o
ap tal
.
m u fs
i
50
.
P r 0 p0 r t i on a li t a t
nun noch
Es wachst daher
.
7
a uf
-
26 3
.
g
Jahre zu
a us
g
e
a uf
—
f (Z insen von
g;
in
-
ä
Jahren ) an
5
1 00
7
5
z;
‚
l3
K e tte n r e c h n
R e e s is c h e r Ansatz )
.
un
g
(Kettenregel
,
Kette
Ke tte n a n s a t z ,
.
Diese höchst praktische Rechnung lehrt wie der 5 Satz dieses
P ara graphen aus 3 gegebenen Gr ö fs e n eine Unbekannte finden
Sie löst j edoch derartige Aufgaben weit ein facher als j ener 5 Satz
wenn die gleichartigen Gr ö fs e n n i c h t g l e i c h b e n a n n t sind viel mehr
ers t durch Z w i s c h e n g le i c h u n g e n in B eziehung zu einander gebrach t
werden kön n en Fe r ner kan n die K e tte n r e c h n u n g zunächst nur
bei dir ekt proportionalen G r ö fs e n Anwendung finden
D as Ver fahren selbst besteht darin d a fs man zwei senkrechte
Zahlenreihen bildet die linke Seite oben mit der zu suchenden
ge w öhnlich mit x (oder einem F r agezeichen ) bezeichneten Gr ö fs e
b egi n n t un d dieser gegenüber also a u f die rechte Seite oben die
in der A u fgabe mit der Unbekannten zugleich im F r a g e s a tz e ste
hende (und daher mit derselben ungleichartige ) Gr ö fs e A stellt
Hierau f geht man zu der mit dieser le tz te r n (A ) g l e i c h a r t i g e n
G r ö fs e B der Au fgab e über indem m a n die Z w is c h e n g le i c h u n g e n
benutzend j ede neue Z eile mit de mselben M a fs e begi n nt mit dem
man die vorhergehende beendigte Ist man a u f diese Weise bei
der Gr ö fs e B ( a u f der linken Seite ) an gelangt so setzt man ihr
gege n über (a u f die rechte Seite ) die G r ö fs e C wel che mit der zu
suchenden (x) gleichartig ist Jede nun folgende Zeile beginnt
wi eder wie bisher mit dem die vorhergehende Zeile s c hlie fs e n de n
M a fs e bis man rechts unten z u einer G r ö fs e gelangt die mit der
z u suchenden (x ) d u rch d a s s e l b e M a fs ausge d rückt ist
Ist a u f diese Weise die Kette angesetzt so richte t m an etwa
vorhanden e gemischte Zahlen ein behält von den Brüchen die
Zähler a u f derselben Seite und setzt die Nenner a u f die entgegen
gesetz t e Hierau f kürz t man die Zahlen links mit denen rechts
Endlich e r g ie bt sich die unbekannte G r ö fs e (x) dadurch d a fs man
das Produkt der rechtsstehenden Z ahlen durch das Produkt der
Zahlen links dividiert
.
,
.
,
.
,
,
.
-
.
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
,
,
.
,
,
,
,
.
,
,
.
.
,
.
P r 0 p0 r ti on a li t ä t
.
B e i s pi e l 1 3 } engl Yard kosten 1 5 Shilling Wie viel
—
Meter bekommt man fü r 49 Mark wenn 1 Yard
ää M e t e r
1 P fu n d Sterling
1 0 Shilling
2 07} Mark ?
Ansatz
x Meter 49 ß ( Gr ö fs e A s ob d E rk lär )
2 04 fl
1 Pf St
1 P f St
20 Shill
(L )
1 3 % Y ard ( G r ö fs e C )
( Gr ö fs e B ) 1 5 Shill
32
1 Yar d
Meter
1
a
.
.
.
.
,
,
.
‚
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
35
Jetzt sind
27
un
links
20i
4
1 34
;
einzurich ten
27
4
2
rechts 8 1 links zu behalten die Nenner
rechts zu setzen So erh ält m a n die Zahlen :
x Meter 4 9
d 32
,
und
1
8
—
,
,
die Zähler
2
und
35
.
8|
1 5
2
35
(M )
20
27
32
4
Hierau f i s t 2 7 mit 8 1 zu kürzen ( 3 an die Stelle von 8 1 zu
setzen desgleichen 3 5 mit 4 9 5 und 2 der li n ken Seite mit 2 0
rechts zu kürzen So e rg ie bt sich :
49 7
x Meter
,
,
.
3 81
1 5
2
5 35
(N )
20 2
27
32
4
1 792
3
O
Meter
45
1 5
.
A n m e r k u n g Die hier durch die Z ahlenkomplex e M u n d N
veranschaulichten O perationen nimmt man in der Prax is s ogleich
in der angesetzten Kette (siehe L ) vor indem m a n
streicht
dafür a u f dieselbe linke Seite den Zähler 8 1 a u f die rechte Seite
d e n Nenner 4 setzt u s w
B e w e i s Die Gleichungen
4 9 Mark
x Meter
Mark
1 Pf St
2 0 Shill
1 P f St
1 3 % Y ard
1 5 Shill
Meter
1 Y ard
3%
können auch
4 9 l Mark
x l Meter
Ma r k
Pf S t
1 1 P f St
2 0 1 Shill
1 5 1 8 hil l = 1 3 ä—1 Ya r d
Y ard
Meter
.
,
,
,
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
,
.
4
-
o
,
.
°
,
.
.
.
.
0
,
o
.
,
2 66
ä
50
x
K i log r
.
P r 0 p0 r ti on a li tä t
.
.
1 25
.
8
1 00
25
1 1 2
3
2
30
2
1 75
1 2
32
1 00
2
4
5
Nachdem man n och 1 00 mit 1 00 2 mit 2
mit 2 5 die entstehende 7 m i t 1 1 2 u s w gekürzt
rechts 1 2 5 links 2 4 und 6 Folglich ist :
,
.
,
.
.
,
,
.
,
,
mit 8 1 7 5
behält man
,
1 25
Ki log r
x
.
B e i s p i e l D er Kau fmann S aus München kau fte (im Jahre
in England 7 5 P fund einer Ware fü r 1 2% P fd S te r l A u f
0
dem Trans porte nach München verdarb 2 % o der Ware Die
Spesen (Trans portkosten ) betrugen
Wie vi el Lot konnte S
?
2
von dieser Ware fü r 3 5 Kreuzer geben um 0
zu ge w innen
5 6 0 Gr ;
1 engl Pfd
3 2 L ot
Gr ; 1 bayer Pfd
7 bayer Gulden ;
1 P fd S te r l
Th lr ; 4 Thlr
1 bayer Guld
6 0 Kreuzer
3 5 Kr
Ansatz
x L ot
(A )
1
bayer Gld
6 0 Kreuzer
4 Thlr
7 bayer Gld
1
Pfd St
Th lr
1 2 % P fd St
7 5 e n gl P fd
(B)
(C )
1
engl P fd
Gramm
1
bayer P fd
5 6 0 Gramm
bayer Pfd
3 2 L ot
1
3
1 8 5 0)
.
.
/
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 20
1 00
1 00
a
b
1 00
c
A n m e r k u n g zu a : Um zu gewinnen ( 1 2 0 Kreuzer beim
Verkau f gegen 1 00 Kr beim Einkau f zu erhalten ) mu fe er fü r
dasselbe Geld w e n i g e r L ot geben Folglich ist die ( ohne die 2 0
berechnete ) L otz a hl noch durch die g rö fs e r e Zahl 1 2 0 zu divi
dieren und mit der kleinern Zahl 1 00 zu m u ltipli c i e r e n mithin 1 2 0
a u f di e
dividierende (linke) 1 00 a u f die m u lti pli c i e re n d e (rechte )
Seite zu stellen
Z u b : Da 2 %
der Ware verdorben so hat er von 1 00
nur noch 9 7 %
Ware Folglich m u fs es rechts statt 7 5 h e i fs e n :
75
ä d h 9 7 ist a u f die Seite der 7 5 1 00 a u f d i e entgegen
}
,
.
.
,
,
.
,
.
.
-
0
.
.
1
ge setzte Seite zu stellen
,
.
50
ä
.
Zu
De r
c :
geworden stat t
und folglich ist
Seite zu stellen
P r 0 p0 r t i o n a li t ä t
P fd
1 01
}
7
a uf
St
.
.
26 7
.
Preis de r Ware war d urch
1 2%
,
.
die
1 23 1 0 1
.
es daher
m u fs
Spesen
höher
L
3
h e l fs e n
1 00
die Seite der
1 00
a uf
die andere
.
45 36
Nach dem die gemisch ten Zahlen eingerichtet
un
d
man
die Nen n er
die Zahlen :
au
f
1 0
die a n dere Seite gesetzt worden sind erhält
,
x L ot
35
60
7
27
64
5 60
1 20
1 00
4 05
1 0
5
4
75
45 36
32
1 00
4 86
1 00
4
5
4
S i n d hier die Zahlen gegenseitig gekürzt so behält man rechts
n och die Zahl 6 Folglich ist :
,
n ur
.
x
6
:
L ot
.
Z u s a t z Um Au fgaben mit i n dir e k tpropor tion a le n G r ö fs e n
anzusetzen hat man nach dem vorläufigen dir e k tpr oporti on a le
G r ö fs e n voraussetzenden Bilden der Kette sämtliche Zahlen von
A bis B (s ob die Erklärung ) a u f die entgegengesetzte Seite zu
stellen
B e i s p i e l 3 0 Männer vollenden eine Arbei t in 4 8 Stunden
In welcher Zeit 4 0 Frauen wenn 5 Frauen dasselbe leisten wie
4 Männer ?
Denk t man sich dir e k t pr opor tion a le G r ö fs e n so würde man
anzusetze n haben :
x Tage
4 0 Frauen (A )
5 Frauen
4 Männer
( B ) 3 0 Männer 4 8 Stunden (C )
D a aber 4 0 P ersonen die Arbeit in w e n i e r Zeit vollenden
als 3 0 die Au fgabe also i n d i re k tpr opor tion a le Gr ö fs e n enthält so
sind die Zahlen von A bis B a u f die entgege n g e setzte Seite z u
s t ellen Daher ist der endgültige
Ansatz :
x Tage
5
.
,
,
.
.
.
.
.
,
,
.
'
o
,
,
.
40
30
5
26 8
.
50
P r0 p0 r t i on a li t ä t
.
B e r e ch n u n g :
x
l4
=5
o
x
5
40
38
.
= 4 5 Stunden
3 3
°
.
R e g u l a fa l s i
Man berechnet die Angaben der Au fgabe an Stelle der zu
suche n de n Zahl mit 2 beliebig angenommenen Z ahlen ( Hypothesen )
schlie fst dann aus dem ge funde n en mit der Au fgabe nicht
un d
übereinstimme n den Resultate mittelst de r proportionalen Reduktion
a u f die Einheit a u f die zu s uchende Zahl
A sagt zu B : Me r ke dir eine Zahl multipli
1 Bei spiel
subtrahiere vom Produkt 1 0 addiere zum Reste
c i e r e sie mit 4
das D oppelte der gemerkten Zahl dividiere die Summe durch 3
Wie
u n d ziehe vom Quotie n t die Häl fte der gemerkten Zahl ab
viel hast du j etzt ? B antwortet : Ich habe
meh r als ich mir
gemerkt hatte Welche Zahl hatte sich B gemerkt ?
A u fl ö s u n g
1 H y p o th e s e ( Annahme )
Angenommen B hätte sich 1 5
gemerkt so würde er der Au fgabe g e m ä fs folgen de Operationen
vorgenommen haben :
.
.
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
.
.
,
,
1 30
26%
D iese Zahl ab er i s t 4 % mehr al s die angenommene Zahl 1 5 Folg
lich ist 1 5 die gemerkte Zahl nicht weil B nach der Au fgabe nur {
mehr erhalten sollte
2 Hyp o th e s e
B mag sich 1 0 gemerkt haben Da n n rech
n ete er :
40
3 0 +2 1 0 = 5 0;
.
r
,
.
.
.
.
o
1 0
1 6%
1 1
2
2
31
.
Dies i s t 1 % mehr als die gemerkte Zahl 1 0 nicht aber
Au fgabe verlangt { mehr
Resultat Gemerkte Zahl
,
,
r
,
wie die
.
J
1 5
1 0
46
(Die der A u fg en t sprechende
gem erkte Zahl )
1
.
ö
.
d i um
so fällt
Fällt also das R e sultat von 41 1; a u f
die gemerk t e Z ahl von 1 5 a u f 1 0 d i um 5 Um wie viel m u fs
1 5 bis zur gesuchten Zahl fallen wenn das Resultat von 4% bis
d i um 4 fallen soll ?
.
,
,
.
.
.
.
.
.
5
a
.
l
Von d e n
.
.
B
1 28
4
1 28
V or dem A us t eilen d es
64
en
g
q
C
D
64
Gr
e g en ä eae m e n
O
t
4
-
S
2 :
E
I 2S
B
1 2S
m ufs
Je d e r
7 68
.
3 84
64
geh a b t ha be n D abe r offen ba r : 1 2 8 v er m ehrt um d a s
(L i
l 28 + 6 4
A B C und E gege be n
Vor dem A us te ilen d e s B be s aß e n si e a ls o :
,
w a s er
,
de m
’
,
.
.
,
glei cher “ eis e finde t
'
In
32
Für
e rg i e
C
bt
si
Vor dem Aus t e ilen
e r g i e bt
s
32
35 2
i e bt
S 51
„
.
s
de s
:
.
96
.
i ch
65 6
d es
.
4
9
336
1
od e r
d er
1 68
ES
an
fän glich e Be si
zz :
4S
.
ich
Von d en
.
1 76
336
32S
e rg
u st e i e n
1 92
35 2
9
Vor dem Aus t ei len
ü
A
w
de s B :
1 6
F r A
Sie
dem
32
1 6
B
v or
.
ch
32
Für
m an
3 54
7 04
64
61
64
( P osi
t ve
i
en
u n
d
tg e g e n g es e tz t e n
n e
g
a
tive
Gr ö fs e n
.
’
Gr öt s e n )
.
E n t s t e h u n g u n d We s e n
i
a
Be tr a ch t e t m an Gr ö fs e n di e n u r in e i n e r R c ht un g v o
h a nden si n d von em em S ta n dp un k e inn erh a lb d er se lb e n a u s s o
erge ben si ch zwe i e n t g e g e n g e s e n t e Ri c h t un g en
Be t ra ch t e t m an z B di e Teile d e r g e ra d e n Lin e L I
L
.
r
.
,
t
,
.
.
i
.
.
11
-
L
.
Y
von 1 ! a us so e r ge b e n si ch di e beid en e n tg e g en g e e tz t
i
Ri chtun gen 1 1 5 u n d II L M an n en n t als d a nn di e e in e R c h
t un g z B V I di e p o s i t i v e die e n t ge g e n g e e t t e 1 1 1
di e n e g a t i v e
Be tr a ch t et m an die Tei l e d e r G er a d e n {I B
von S aus so is t z B OS posi t i v 5 B n e g a ti v Ge w ö h n
li c h se tz t m an die Ri ch t un g n a c h re c h t s ( AI J
) und n a c h
oben (S O) p osi ti v n a ch li n ks ( U L) un d n a ch un t en ( S E )
ne g a ti v
,
.
-
.
.
,
.
‚
.
,
s
.
.
,
.
,
.
‘
,
.
“
s
.
z
.
.
.
5 50
2 70
.
P r 0 p0 r ti on a li t ä t
.
.
Steigt die Summe der Zinsen von 1 3 7 bis 2 4 9 d i um 1 1 2
so steigt das Kapital des A von 1 5 00 bis 2 7 00 d i um 1 2 00
Steigt nun die Summe der Zinsen von 1 3 7 bis 3 05 d i um 1 6 8
um w i e viel w ird dann 1 5 00 bis zum gesuchten Kapital steigen
müssen ?
Steige n der Summe Ve r g r ö fs e r u n g des
der Zinsen :
Kapitals 1 5 00 :
.
,
.
,
,
1 1 2
1 68
Bei
1 1 2
1
9,
.
,
.
.
.
.
,
1 2 00
ist die Ve rg rö fs e r un g (der
1 5 00)
1 2 00 ;
1 2 00
99
3,
1 2 00 1 6 8
1 68
1 1 2
D as Kapital 1 5 00 ist also um 1 8 00 zu vermehren
gesuchte Kapital des A zu erhalten Dieses ist daher
=1
8 00
.
um
,
d as
.
3 3 00
1 8 00
1 5 00
und mithin das Kapital des B
l5
A u fl ö s e n d u r c h R ü c k w ä r t s s c h r e i t e n
G ewisse Au fgaben lassen sich ein fach dadur ch lösen d a fs man
vom bekannten Endresultat aus bis z ur unbekannten Ausgangszahl
rückwärts schreite t
B e i s pi e l 5 P ersonen 4 B C B E machen ein Spiel
Zuerst soll A jeder der übrigen Perso n en so viel geben als er
schon h at (hatte z B B : 1 7 s o würde A dem B l 7 zu geben
habe n ) hierau f soll B j eder der übri gen P ersonen so viel geben
al s er jetzt h at hierauf C dan n B und zuletzt E Nachdem E
Jedem so viel gegeben als er schon hatte b e s a fs e n sie alle gleich
viel u n d zwar Jeder
Wie viel hatte Jeder im An fange ?
A u fl ö s u n g Nachdem E gegeben hatte
B
C
B
E
A
.
.
,
.
,
.
,
.
,
,
,
,
.
,
.
.
,
,
,
.
,
,
,
,
.
25 6
25 6
25 6
25 6
25 6
.
vorher A ( desgleichen B C und B ) 1 2 8 gehabt
haben weil er alsdann von E noch 1 2 8 zu bekommen hatte so
d a fs er nun j ene 2 5 6 be s a fs
Mi thin hatten sie vor dem A usteile n des E :
B
B
C
E
A
Folglich m u fs
,
,
,
.
1 28
un
d
51 2
D a E jedem
noch imm e r
1 28
1 28
1 28
zusammen al so
gegeben hatte
behalten s o m u fs er vor dem Auste i le n
25 6
7 6 8 gehabt haben
Folglich b e s a fs e n sie vor dem Austeilen des E :
1 28 ,
25 6
,
.
ä 51
272
.
Vo n d e n
.
e t g e g e ge et te
n
n
s
z
n
G r ofs e n
.
b L iegen die Gr ö fs e n nicht so d a fs sie v on irgend einem
Sta n dpunkte aus betrachtet nur in 2 e n tgege n gesetzten Richtungen
vorhanden sind können sie vielmehr j ede nur mögliche Richtung
einnehmen so sind sie weder positiv noch negativ man nennt sie
alsdann a b s o l u t e G r ö fs e n So sind z B die Seiten eines Dreiecks
absolute G r ö fs e n (L inien ) da jede in Bezug a u f die andere eine
beliebige Richtung einnehmen kan n
Eben so ist der Radius eines Kreise s
eine absolute Gr ö fs e da er nac h
j eder Richtung hin liegen kann Z ieh t
man dagegen vom D urchmesser U V
eines Kreises nach oben und unten
V
Se n krechte bis a n die P eripherie so
sind die oberen d e n untere n immer
entgegengesetzt und man bezeichne t
daher die oberen al s positive die
unteren als negative Senkrechte
.
,
,
,
,
.
.
.
,
.
,
.
,
,
,
.
d
e
c
b
c
M A
a
B
C D
E
,
Der Mittel punkt M v on dem aus die Gr ö fs e n e n tg e g e n g e s e z t
liegen ist bei den Z a hlen o ffenbar 0 (Null ) D enn m ifs t man von
M aus die S trecken M A M B M C
mit der als Einheit g e
=M a so erhält man fü r M A die Zahl 1 fü r
dachten L änge M A =
M B die Zahl 2 fü r M 0 : 3 u s w
1 ) aus
Geht man von A
in der Richtu n g nach M so nimmt auch die von M aus gemessene
Strecke folglich auch die g leichbedeutende Zahl fortwährend ab
,
,
.
,
,
,
,
.
.
.
,
,
,
1
un d man erhalt z B —
der Häl fte von M A )
1 0
1 00
2
4
u s w bis man zu M = 0 gelangt A u f der andern Seite würde
man die jenen Gr ö fs e n M A = 1 M B = 2
e n t
e
e n g e s e tz
g g
t e n Gr ö fs e n M a = 1 M b = 2 M c = 3 erhalten
.
.
.
.
1
1
1
.
,
,
.
,
,
.
,
8
7
d
Setzt man i n vorstehender L inie die gleichweit abstehenden
Punkte mit den Zahlen 6 7 8 9
identisch und be
trachtet man 9 als den Mittelpunkt so würden die von 9 gleich
weit abstehenden Zahlen 1 1 un d 7 o ffenbar entgegengesetzte Zah
len vorstellen D a nun 1 1 um 2 g r ö fs e r als 9 7 u m 2 kleiner
als 9 so würde man demnach vom Mittelpunkte 9 aus durch A n
wendung der entgege n gesetz te n Operationen Ad dition und Sub
t raktion e n t g e g e n g e s e t z t e Z a h l e n erhalten
L ä ls t m a n die Zahlen nach rechts hi n abnehmen z B
.
,
,
,
,
,
.
,
,
.
'
,
1 1
1 0 9
8
7
.
.
5
.
51
.
e tg eg e g e et te
Von d e n
s
n
n
z
n
G r ofs e n
27 3
.
so würden gleichwohl 1 1 und 7 in B ezug a u f den Mittelpunkt 9
entgegengesetzt l iegen und die eine Zahl würde ganz wie vorher
d urch Addition der Zahl 2 zum Mittel punkte 9 die entgegen
gesetzte durch Subtraktion der 2 vom Mittelpunkte 9 ents tehen
Hieraus folgt : E n t g e g e n g e s e t z t e Z a h l e n e n t s t e h e n d a
d u r c h d a fe m a n v o m M i t t e l p u n k t e a u s d i e s e l b e
Zah l ad diert und subtrahi ert
e D a nun nicht 9 sondern wie oben gezeigt worden ist
0 der Mittelpunkt der Zahlen ist
so müsse n die beiden Zahlen
welche durch Vermehrung von 0 um 4 einerseits und durch Ver
minderung v o n 0 um 4 andererseits entstehen o ffenbar entgegen
gesetzt liegen Obgleich es gleichgültig is t welche von diesen
beiden aus 0 und 4 entstehenden Zahlen p ositiv und welche negativ
genannt wird da Positives und Negative s nur Entgegengesetztes
bezeichnet so entspricht es doch dem bisheri gen C harakter de r
Zah len d a fs diejenigen welche
0 sind positive (a ffirm a tiv e b e
a h e n de
wi
klich
vorhandene
und
die
welche
0
sind
negative
r
)
j
genan nt werden
D a man die p ositiven Gr ö fs e n mit
(plus ) die negativen
mit
( minus) bezeichnet so ist die p o s i t i v e Z a h l + 4 di e
—
f
i
4
r
e
e
n
e
welche
u
m
ö
s
r
als
0
die
n
e
g
a
t
i
v
e
Z
a
h
l
4 die
j g
g
je n i g e welche um 4 k leiner als 0 ist
f D er bisherigen Entwickelung g e m ä fs gewinnt man durch
nachstehende L inie Y ein anschauliche s Bild sämtlicher positiven
und negativen Zahlen :
,
.
,
.
,
,
.
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
,
.
—5
—4 —3 —2 —1
0
( Y)
Negative Zahlen
Positive Zahlen
.
.
Zugleich ergab sich da fe
+ 4 um 4 g rö fs e r als die li n ks liegende Zahl 0
—4
0 d i (s ä
4 kleiner
4 g r ö fs e r
die l i nks liegende Zahl —4
0
und folglich :
—
4 ist
4
um
f
als
die
l
inks
liegende
Zahl
s
e
r
8 g rö
+
Jede in der L inie Y enthaltene Zahl ist demnach g rö fs e r als
eine links liegende und zwar um so viel Einheiten g rö fs e r um s o
vi el Abschnitte (E inh e iten ) sie von der lin ks liegenden en t fernt
ist D aher ist
2
7
f
um
r
als
9
ö
s
e
r
+
+
g
8
+9
+1
0
9
+9
,
,
.
,
.
.
.
,
.
,
.
,
n
+9
+9
S
c
h
ur
ig
,
n
a:
Le h r b u c h d e r A r i t h m e u k
I Te i l
.
:
1 ,
1 1
1 0
20
.
a:
,
.
,
1 8
ä 51
274
.
.
e t geg e g e et te
Von d e n
um
3
6
+ 40
1
n
3
4
und folglich auch
’
um
1
9
77
8
s
n
n
9
n
G r ö fs e n
als
7 g r ö fs e r
1 0
30
1
z
4,
+
n
’
’
7
’
99
7
1 6,
1 0,
3
4
kleiner als
2
5
50
.
+
3
1 ,
4,
42
.
Die Strecke von 0 bis + 5 (s die L inie Y) is t eben so
gro fs als di e vo n — 5 bis 0 oder von —3 bis + 2 oder von
1 1 bis
6
Diese Strecke (von 5 Einheiten L änge ) würde also
wenn sie unabhängi g von einer entgegengesetzten L age gedacht
wi rd die a b s o l u t e (weder positive noch negative ) Zahl 5 vor
“
stellen (s Satz b ) M i fs t man j edoch mit dieser „ absolute n Zahl
vom Mittel punkte 0 aus nach rechts so e n tsteht die positive Zahl
—
5
n
5
entgege gesetzt (nach links ) : die negative Zahl
+
Folglich hat man in der positiven Zahl + 5 u n d in der nega
—5 zuerst das Vo r z e i c h e n
tiv e n Zahl
oder
z u unter
scheiden welches die vom Mittelpu n kte ausgehende Richtu n g a n
n t fernung
e bt
und
dann
die
absolute
Zahl
mit
welcher
die
E
i
g
vom Mittel punkte (0) gemesse n wi r d
Abstrahiert man von der Richtung so drückt man sich aus :
2
ist a b s o l u t g e n o m m e n um 3 g r ö fs e r als
(d h die
absolute S trecke res p Zahl 5 ist um 3 g r ö fs e r als die absolute
— 6 ist absolut genommen um 1 0
Strecke resp Zahl
oder :
kleiner als — 1 6 (vergl das 7 B e i s p in
h Da di e ab solute Strecke 4 ( die absolute Zahl 4 ) um 1
081
r ö fs e r als di e absolute Strecke 3
die
absolute
Zah
l
die
p
(
g
tive Zahl + 4 aber auch um 1 g r ö fs e r als die positive Zahl + 3
ist (die negative Zahl —4 ist um 1 kleiner als
so sind
mithin d i e p o s i t i v e n Z a h l e n d e n a b s o l u t e n g l e i c h Für die
posi t ive Zahl kann also stets die absolute fü r die absolute die
positive gesetzt werden
“
i I n 8 P erso n e n ist die Zahl 8 zunächst eine absolute weil
hi e r keine entgegengesetzte Richtung auftritt Nach Satz h ist diese
absolute 8 aber auch der positive n 8 gleich Von 8 P e rsonen
2 Per
können sich 1 0 Personen nicht entfernen d a s Resultat
“
sone n w ü rde wegen der man gel n den entgegengesetzten Richtung
unm ö glich sein Allgemein :
I n d i v i d u e n b e i w e lc h e n e i n e e n t g e g e n g e s e t z t e R i c h
t u n g n i c h t a u ft r i t t l a s s e n n u r p o s i t i v e n i c h t a b e r
n e gative Z ah l en z u
Tritt ein E r eignis 2 ( d i + 2 ) Minuten oder + 1 0 f 1
2
Minuten n a c h 7 Uhr ein so m u fs es res p 7 Uhr 2 M i n
.
,
,
,
.
,
,
.
.
,
.
,
,
,
.
,
“
.
.
.
,
,
.
“
.
.
.
.
.
.
,
.
.
,
„
.
.
,
.
,
,
,
.
-
.
,
,
.
,
.
,
‚
,
ä 51
2 76
.
Von d e n
e t geg e g e et te
n
n
s
z
n
Gr ö fs e n
.
1 4 Man lä fs t jedoch
und vermehrt um die negative Zahl
d as Additionszeichen s tets weg und schreibt di e zu ad d ierenden
Jene Summe
G r ö fs e n nur mi t ihren V orzeichen neben e i nander
—8 + 1 1 — 1 4
ist daher
—5 1 3 ;
Die Summe von —5 und
1 3
und + 3 0 =
6 — 7 und — 8 = — 6 — 7 — 8
Ist der 1 Summand positi v so läfs t man das V orzeichen weg
Dahe r :
di e Summe von + 3 u n d
—
2 0 und
1
+
+1 8
Eine solche S umme von p ositiven und negativen Zahlen nennt
“
m an „ a l g e b r a i s c h e S u m m e die z u addierenden Z ahlen Glie
“
der derselben Die vorletzte Summe ist also eine dreig liederige
4
Umgekehrt bedeutet
6
8 s o vi el als
1 1
.
.
.
-
,
.
.
.
,
,
n
a9
39
„
,
.
.
-
Q
‘
N
CD
C-9 '
o
O
Q -‘
N
U
g
:
N
o
m
(a
8)
N
O
"
5
CD
S
1 9
Zus atz
b
.
— 2 3 bedeutet
V ergleicht man
mit
d e fs
5)
so
3
in
übergeht
e rg i e b t
sich
,
.
M ateri e l l e A d d i ti o n
L G l e i c h s t i m m i g e (m i t gleichen Vorzeichen behaftete ) Z a h
l e n addiert man indem man ihr e absoluten Zahlen addiert und der
Summe das Vorzeichen der Summanden gicht
B eisp ie le
7 —5 = —1 2 ;
oder
oder
.
.
,
.
.
2
7
4
B eweis
’
.
Summe von
7 und
’
7 di e D i fl
Da fü r
5
e re n z 0 —
7 fü r
setzt we rden kan n so ist
5)
7)
7
-
,
,
7)
di e Di fferenz 0
(0
(0 7 )
5
5)
0
e
[:VO
5 1
ä
.
Vo n d e n
absol ute Zahlen
7, 5
Si
.
nd ]
Eben so :
n
s
n
z
n
Gr ofs e n
27 7
.
Minuszeichen aber Subtraktionszeichen
—7
2 ( D ifti )
1 2 (n e Ö Zahl )
di e
,
0
1
0
e t g e ge g e et te
‘
o
.
.
= 0 +7 ( Summe )
=0
7
5 d e n k e n al s
D er A n fä n g er k ö n n t e si ch au ch — 7 —
A n merkun g
S u mm e v on 7 n e g a t i ve n E i n he i te n u n d 5 n e g a t i ve n E i n he i t e n = 1 2 n e a
1 2
3
4 = S u mm e v on 3 u 4 p os i t i v e n
ti ve E i n he it e n
Eb en s o
g
.
E i h e i te
n
.
n
7 pos
.
E i he i t e
n
n
II Um 2 u n g le i c h s tim m ig e ( mit verschiedenen Vorzeichen
beha ftete ) Zahlen zu addieren vermindert man die g r ö fs e r e a bs o
l ute Zahl um die kleinere und g ie bt der Di fferenz das V orzeichen
des Summanden mit der g rö fs e r e n absoluten Zahl
Die g r ö fs e r e absolute Zahl 1 3
1 B ei sp i e l
um die kleinere 8 vermindert gicht 5 als ab solute Zahl der zu
suchenden Summe D as Vorzeichen derselben ist das der g r ö ls e
ren absoluten Zahl
also
Folglich ist die verlangte Summe
.
,
.
.
.
'
.
5
Be i s p i e l — 7 + 1 9 ? D ie g rö fs e r e absolute Zahl 1 9 ver
mindert um die kleinere
(die absolute Zahl der Summe )
Das Zeichen ist das des Gliedes + 1 9 weil dieses die g r ö fs e r e
a bsolute Zahl hat
D aher
oder = 1 2
1 B ewei s
1 3
— 8)
=0
5 (n e g a t Zahl )
O
5 (Di ff )
2
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
-
7
=
Summe
1 2 (posit Zahl )
)
(
2 Bewe is
Zwei u n g le i c h sti m m i g e Zahlen mit gleichen a b
s olu t e n Zahlen heben sich
z B
7
7
0 ; denn
8)
8)
0+ 1 9
(1 9
.
1 2
.
.
.
.
,
.
(0
—5 — 8 + 8 (u n d w e il
Nun ist
sich hebt )
— 5 Eben so
—
1 2 ( un d weil
sich hebt )
B e i s p i e l e + 3 — 7 = —4 oder 3 —7 = — 4 ;
oder 1 1
+1 1
.
.
5
8
1 1
1 2
Zahl der Summe
22
1 5
24
,
ü
?
die wegen
2
2
1 5
:
24
22
24
=
ä
g
ie
bt d i e
negativ ist ; daher
absolute
7
24
'
D a 1 7%
und die g rö fs e re ab e o
—3
lute Zahl 1 7 % das Zeichen
hat so ist die Summe
6%
1 3%
ist
die
absolute
Zahl
der
S
umme
6
%
o
d i e wegen + 1 3 % positiv ist ; daher
,
,
ä
27 8
.
51
.
Von d e n
e t g eg e ge et te
n
s
n
z
Gr ö fs e n
n
.
A n m e r k u n g Geh t Jemand (siehe die L inie unter 1 c ) von
M aus nach C und dann von C nach e so ist er vom Null punkte M
aus 3 Schritte nach r e c h t s und dann 8 Schritte nach l i n k s oder
3 Schritte in p ositiver Richtu n g und dann 8 Schritte in negativer
Ri chtung gegangen mithin stell t diese Bewegung die Summe
—
=
5 (Punkt e ! )
8
dar Absolut genommen ist er aber zuerst 3 dann 8 also z u
1 1 Schritte gegangen
Man s a gt daher : Die absolute
sa m m e n
“
Summe von + 3 — 8 (d i die Summe der absoluten Zahlen )
ist = 1 1
III Mehr als 2 u n g le i c h s ti m m ig e Zahlen addiert man e n t
w e d e r indem man nach I die positiven Zahlen fü r sich eben s o
die negati ven fü r sich addiert un d d a n n beide Summen nach II
v ereinigt Z B
7 a + 5 a + 8a — 1 7 a = 5 a + 8 a — 7 a — l 7 a
.
,
,
,
,
-
.
,
,
„
.
.
.
.
.
,
,
.
.
.
1 1 11
5
.
O d e r m an addiert zunächst (nach ä 3 3 4 d) die Brüche
welche einen kleinem Generalnenner geben
7
—
—
71 %
D aher
,
.
sich
fü r
,
.
_1
1
— 4 kann e b e n s ow oh l als Addition von + 7 un d —
4
w i e auch als Subtraktion der absoluten Zahl 4 von der absoluten
Zahl 7 a u fg e fa fs t werden Ein Fehler kann hierbei nicht entstehen
da man in j edem Falle + 3 oder 3 erhält
V O bgleich nur die G l e i c h u n g die mathematische Form
der Zahlenlehre (wie der Algebra ) i s t so stellt man doch auch die
Summanden des be quemeren Rechnens we g en unter einander
D aher
1 V
7
.
,
,
.
.
.
,
.
—
7
1 1
4
Eben so :
— 23
+1 4
—
—
=
1
4
1
statt +
7
+6
.
5
—2
+ 24
9
.
S u b t r ak t i o n m i t e n tg e g e n g e tz te n Z a h l e n
a Soll von 7
3)
3 subtrahiert werden so hat man 7
z u schreiben 8 um — 5 vermindert ist = 8
Das Mi nuszeichen ist also Subtr aktionszeichen wenn die dar
a u f folgen den Zahlen mit Richtungszeichen versehen sind
b Eine solche Subtraktion verwandelt man stets in eine
Addition indem man die a u f das Subtraktionszeichen folgende
3
.
.
.
,
.
,
.
.
,
28 0
5
Von 5
s
51
.
Vo n d e n
.
e t ge g e g e et t
—2 5 + 4 9 [ denn + 1
1 8
1 1
Un m
th e m
a
1
.
— 49 )
5
5
3
a
8
g e da c h t l]
these
.
G r ö fs e n
z en
s
— 4 9 sub trah iert werden :
oll
-
c
n
n
in
d e r P ar e n
.
tis c
he
Form
.
Subtraktion bedeute t
1 2
Nach dem 1 Zus ä tze des Sa t zes b kann man eine Addi tion
da raus bil den wenn man den Subtrahend (di e un tere Zahl) in di e
entgegeng e setzte verwandel t Daher :
—
_—1 1 2 A d d1 t
.
,
.
l+
5
Eben
_
3
1 5
so
}
}
7
S u b tr
.
.
„
.
_I
l
+
=1
_
6 ]
1 9
S u btr
1 4
6,
S u b tr
l
8
Addi t
.
.
6
1 9
Addi t
_6 2 }
A dd1 t
+
.
o
3 1
1 5
.
—4 8
mit 7 — 3
.
Ver gleicht
d
.
ma n 7
un d
7
3)
3 ) mi t 7
+ 3 so
,
er g i e bt
si c h d a fa
,
in
in
übergeht
Stellt man diese Form en mit denen des Z usatzes in
s am m e n
s o erhä lt man :
.
2,
a
zu
,
wird
oder :
au fei n ander folgende gleich e Zeichen verwandeln sich
2 au fei n ander folgende entgege n ge s etzte Zeichen
n
i
2
in
B e i s pi e l e
—3 )
-
4
a
.
.
— 3 7 = —1
=5
.
6
—5
—2 )
2
.
M ul tip l i c a t i o n m i t en tgegeng e s e tz t e n Z a h l en
Multi plication zweier Faktoren
.
.
ä
.
o
5 1
.
e t g e ge g e et te
Von d e n
n
s
n
z
G r o fs e n
n
28 1
.
?
oder
geschrieben
8
3
)
)
[
]
Da die positive Zahl
der absoluten ist so geh t die A u f
gabe über in 8 3 = 2 4 und weil die absol ute Zahl
der posi
ti v e n ist so erhält m a n + 2 4
o
H
m
u lti li c i e r e n ]
zu
ier
ist
es
also
nicht
nötig
0
3
0
8
)
)
(
(
[
p
2 positive Faktoren gebe n mithi n e i n positives Produkt
II — 8 + 3 [oder
8)
—
—
f
f
0
8 fü r + 3 die a b e o
Für
8 setze man die Di erenz
lute Zahl 3 Daher
(s
2 4 (Di ff )
0
2 4 (n e g a t Zahl )
Eine negative Zahl mit ei n er positiven m u lti pli c ie r t g ie b t also
ein negatives Produkt
4
Beispiel
36
I
8
.
3
,
o
,
.
,
.
,
.
o
.
,
.
,
.
.
.
.
.
II I
.
+9
Da die
_4 [ oder
.
der Faktoren beliebig ist so ist dies
und nach I = —3 6
Ei n e p ositive Zahl mit einer negativen m u ltipli c ie rt g ie b t also
ein negatives Produkt
42
B e i s pi e l 7 (
—8 — 3 [ oder
1 V
Setzt man statt des 1 Faktors eine Di fferenz so erhäl t man
—
0
8)
3 ) [ wo 0 und 8 absolute Zahlen das 1 Minuszeichen
(
o
5
Der
aber Subtraktionszeichen ]
1
1
0o
3)
8
s
ä
[
1 Tei l ist hier = 0 und die absolute 8 auch der positiven 8 gleich
d aher
2 4)
0
2 4 ( Summe )
0
8)
0
2 4 ( posit Zahl )
2 negative Faktoren geben also ein positives Produkt
A n or d n u n
,
.
.
.
.
-
.
.
.
.
,
.
.
,
.
.
,
.
.
,
.
.
.
V
.
Aus I und IV sowie I I u III folgt :
Haben beide Faktoren gleiche Zeichen so ist das Pro dukt
pos i tiv
.
,
,
.
Beispiele
.
Haben die beiden Faktoren verschiedene Zeichen
das Produkt n egativ
so ist
,
.
Bei spi ele
3
.
7
21
1
40
,
9
3
1
1 2
4
.
b Sind m e h r a l s 2 F a k t o r e n zu m u ltipli c ie r e n so ver
wandelt man je 2 negative Faktoren in ein positives Resultat
1 Beispiel
4)
2)
3)
5)
1 )
o
2
+ 20
+
+3
.
,
.
.
.
s
ä 51
2 82
.
2
.
B eispiel
4)
Von d e n
.
e t g eg e g e et te
s
n
n
Gr ö fs e n
n
z
.
.
6)
1
—1 0)
o
— 7 2 00
.
Aus beiden Beispielen folgt die a l l g e m e i n e R e g e l (die auch
die Sätze unter a überflüssig macht) :
D as Z eich en des Pro dukts ri chte t si ch n ur n ach
d e r An z ah l de r ne gative n F ak toren I s t di es e A n
z ah l
a l s o g e r a de s o i s t d a s P r o d u k t
0 2 4
5
1
r
a
n
i
i
i
s
t
s
i
e
3
a
l
s
o
u
e
de s o i s t
o
t
s
v
g
p
d a s P r o d u k t n e g at iv
B ei sp i e l e
2)
3 negative Faktoren geben ein neg Pro
3)
dukt daher
2)
4 n e g a t Faktoren geben
2) (
4)
2 o 4 o1 0 2 5
ein posit Produkt daher
8 00
1 n e g a t Faktor
daher
2 (
8?
— 2 5 6 8 = —4 8 0
daher
0 (kein ) negativer Faktor
3) o
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
.
.
,
o
o
,
.
-
o
.
.
.
o
o
0
.
3 4
1 2
.
Z u s a t z Die Glieder einer Summe sind nicht immer ein
fache Zahlen vielmehr oft auch Produkte Quotienten überhaupt
Ausdrücke die durch höhere Rechnungsarten als Addition und
Sub traktion entstanden sind immer aber sind sie durch
oder
getrennt
1 B eispi el
9)
1 —1 — 2 )
3) t
t
S
A
A
S
“
“
wo A Additionszeichen S „ Subtraktionszeichen 7 und 6 ab
solute Zahlen bedeuten fü r die auch positive Zahlen gesetzt wer
den können Diese Summe ist d aher auch :
— 2)
1
1 )
4)
9)
Hier ist
4 Glied
1 Glied 2 Glied
3 Glied
1 0) 1 + 2 )
1 + 6) 1
5 Glied
z u unterscheiden de n n die Zahl welche mit der folgenden nicht
mehr durch Multiplication oder D ivision oder höhere R e c h n un g s
arten verbunden ist bildet die Grenze des Gliedes — 2 ist daher
die Grenze des 2 Gliedes noch nicht weil diese Zahl noch mit
der folgenden
Jene Summe ist nun
3 ) m u ltipli c i e r t ist
1
.
.
,
,
,
,
,
.
.
.
-
-
-
„
-
,
,
,
.
-
.
-
.
.
.
.
,
,
.
,
.
,
.
ä 51
284
.
—1 0
(1
+2
+4
n eg at
.
8
.
1 0
.
n eg at
1
5
2
.
.
1 2
—
m
9
5
Zahlen )
.
1 2
:
Gr ö fs e n
n
'
Zahlen
.
(3
2)
.
z
Quot )
m
1
2
(2 megat
1 2)
B ew eis
Zahl
s
n
1
—
( 5)
3
n
4
—8
—1 2
_9
e t geg e g e et te
Von d e n
.
8
Quot X D sr
.
9
1 2
°
9
9
.
—9
.
= —1 2 = D i vide n d l
In gleicher Weise die übrigen Fälle !
B e i s p i e le
2
.
6
7
+2
—6
—6
—
6
1
1 0
—
7
2
+1 + + 1 0
—4
+5
1 0
7
+7
v
v
o
1
3
1
1
—1
1
2
—5
1
—
1 2l
4
o
_4 _
4
“
Z us atz
+
6
—
8)
1
—
1 0)
1
6)
3
—2 0
20
5
6
1 5)
.
1 2
.
Es ist + 8
:
—1 =
= —8 ;
f
-
8
:
f
—
Divi diert man also irgend eine (positive oder negative) Zahl durch
1
so erhält man den entgegengesetzten Wert dieser Zahl (Ve r
gleiche den 2 Zusatz i n 4 b)
.
,
.
b
.
Da
,
.
6
8
di e 3
Minuszeichen der
5
.
51
e t g eg e g e et te
Von d e n
.
n
n
s
z
Gr ofs e n
n
28 5
.
Au fgab e also ein ne atives Resultat geben müssen so kann man
die allgemein e Regel hinsichtlich der Anzahl der Minuszeichen
auch a u f das Vorzeichen ausdehnen D aher :
g
,
—1
—1
_4
Min
1
.
3
Min
.
2
5
——
1 6
1 0
-
s
Min
2
.
5
1
7
Min
2
.
1 0
Min
.
1 6
8
_
_+ 1
1
7
2
.
2
1 5
+
4
Min
1
.
E
7
s
4
i + öi
6
3
— 63
7
5s
21
40
'
c Enthält der Zähler oder der Nenner Summen o der D i ffe
renzen so si nd diese v o r der B es t i mmung des Zeichens in e i n e
Z ahl z u verwandeln
.
,
.
1
.
B eisp iel
2
_5
—7
.
O
(2 M l n
6
2
.
B ei spiel
.
folg h c h)
,
o
Nh u o
,
Bei
3
.
_4
Beisp i el
—1
1
:
2
-
7
4%
1
i
2
4
22
5
0
33
41 1 2
0
2
3 -2 0 1 1
o
1
2
30
49
.
+4
3
7
TT
2
l
d
H
5i
q
2
—5 +
.
_1
'
1 5
(
=1 2
0
1 5
4
.
fOID II Ch )
,
5 —7
4
4
6
.
20
s pl e 1
5
0
5
-
1 2
2 49
0
1 1
98
°
1
7
_4
—
24
1
,
;F
(2 Min und 3 M in
.
,
d a her )
ä
28 6
.
5
.
B ei spiel
—
31
1
-
1
Von d e n
.
—4
4
Min
.
_
41
1
8
1
1
e t geg e ge et te
Min
o
s
’
_2 “
1
+
%
1
—2 H
1
Min
4
.
—3
%
1
-
—4T7
.
6
n
n
z
n
Grö ls e n
.
.
21
5
li
51
‘
4
5
+3
3
.
—6%
.
2
.
5
t
2%
-
Min
.
24
1 3
1—003
1 1 1
52
s
“
'
6
7
(s s
.
D r uc k
v on
G G r um b
.
ac
h i n L e i pz ig
.
.
-
3%