Blatt 2 - userpages

Universität Koblenz-Landau
FB 4 Informatik
1
Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans∗
2
Dipl.-Inform. Markus Bender∗
28.04.2017
Übung zur Vorlesung Logik für Informatiker
Aufgabenblatt 2
Abgabe bis 05.05.2017, 17:00 s.t.
Aufgabe 2.1
Sei n ∈ N. Zeigen Sie die folgenden Aussage: Falls n durch 5 teilbar ist, dann ist auch n2
durch 5 teilbar.
Verwenden Sie dazu
a) einen direkten Beweis,
b) einen Beweis durch Kontraposition, und
c) einen Beweis durch Widerspruch.
Aufgabe 2.2
Sei n ∈ N. Zeigen Sie mithilfe von Induktion über die natürlichen Zahlen, dass die
folgenden Aussagen gelten:
a) n3 − n ist durch 3 teilbar
b) 3n + 1 ist durch 2 teilbar
c) 32n + 3 ist durch 4 teilbar
Aufgabe 2.3
Sei n ∈ N und F (n) die Fibonacci-Zahl von n, die wie


0
F (n) := 1


F (n − 1) + F (n − 2)
folgt definiert ist:
wenn n = 0
wenn n = 1
wenn n ≥ 2
Zeigen Sie mithilfe von verallgemeinerter vollständiger Induktion über die natürlichen Zahlen, dass die folgende Aussage gilt:
F (n) ist durch 3 teilbar, genau dann wenn n durch 4 teilbar ist.
Aufgabe 2.4
Zeigen Sie mithilfe eines Beweises durch Widerspruch, dass
√
3 6∈ Q.
Aufgabe 2.5
Machen Sie sich mit der Datei allgroups/sheets/sheet02.pl vertraut. Sie zeigt die Verwendung einiger Konzepte aus der Arithmetik in Prolog.
Erweitern Sie die Datei mit dem Prädikat div(Dividend, Divisor, Quotient), das genau dann wahr ist, wenn Divident : Divisor = Quotient ist, d.h. wenn Dividend und
Divisor gegeben sind, berechnet das Prädikat Dividend : Divisor und gibt dies in der
Variablen Quotient aus.
Bei Dividend, Divisor, Quotient handelt es sich um natürliche Zahlen. Um die Aufgabe einfach zu halten, nehmen wir an, dass Divisor immer ein Teiler von Dividend ist,
d.h. Quotient ist immer eine ganze Zahl. Andere Eingaben müssen nicht beachtet und
behandelt werden.
Die Prädikate, die bereits in sheet02.pl definiert sind dürfen nicht zur Lösung verwendet
werden.
Sie dürfen für diese Aufgabe keine built-in Prologprädikate verwenden. Mit Ausnahme von
+, -, * dürfen Sie keine arithmetischen Operationen verwenden.
Die Zuweisung in der Arithmetik (is) darf verwendet werden.
Achten Sie darauf, dass es beim Laden Ihrer Wissensbasis zu keinen Fehlern oder Warnungen kommt.
∗1
∗2
B 225
B 224
[email protected]
[email protected]
www.uni-koblenz.de/~sofronie
www.uni-koblenz.de/~mbender
Bitte beachten Sie die Modalitäten zur Abgabe, die Sie unter http://userp.uni-koblenz.de/~mbender/
ss17logic.html einsehen können.
Bei Fragen zu Ihrer Korrektur wenden Sie sich an [email protected].