4. Mini-Klausur

Hochschuldozent Dr. Christian Schindelhauer
Paderborn, den 1.2.2006
4. Miniklausur
in
Einführung in Berechenbarkeit,
formale Sprachen und Komplexitätstheorie
Name
:
................................
Matrikelnummer
:
................................
Meine Übung ist (bitte ankreuzen!)
2
2
2
2
2
Mo 9–11
Di 11–13
Mi 11–13
Do 9–11
Fr 9–11
2
2
2
2
2
Mo 11–13
Di 14–16
Mi 14–16
Do 11–13
Fr 11–13
2 Mo 14–16
2 Di 16–18
2 Mi 16–18
Punkteverteilung (bitte freilassen!)
Aufgabe 1
von 5
Aufgabe 2
von 10
Aufgabe 3
von 15
Aufgabe 4
von 10
Summe
von 40
Die Klausur besteht aus vier Aufgaben und 8 Seiten. Es können insgesamt 40 Punkte erreicht werden. Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihre
Matrikelnummer.
Zugelassene Hilfsmittel: Keine! Insbesondere keine schriftlichen Unterlagen oder elektronischen Geräte.
Schreiben Sie Ihre Lösung bitte in die vorgesehenen Platzhalter. Sollte der
Platz nicht ausreichen, erhalten Sie auf Anfrage weiteres Papier.
1
EBKFS WS 2005/2006
3. Miniklausur
Aufgabe 1 (5 Punkte)
Gibt es Sprachen in P, die nicht in NP liegen? Beweisen Sie Ihre Aussage!
2
Matrikelnummer:
1.2.2006
Fortsetzung von Aufgabe 1:
3
EBKFS WS 2005/2006
3. Miniklausur
Aufgabe 2 (10 Punkte)
Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Eine unabhängige Menge von G ist eine
Teilmenge U ⊆ V , so dass keine zwei Knoten aus U in G durch eine Kante verbunden
sind.
Betrachten Sie die folgende Sprache
hG, ki G ist ein ungerichteter Graph mit einer unabhängigen
Independent =
Menge der Größe mindestens k
Zeigen Sie, dass die Sprache Independent in NP liegt.
4
Matrikelnummer:
1.2.2006
Fortsetzung von Aufgabe 2:
5
EBKFS WS 2005/2006
3. Miniklausur
Aufgabe 3 (15 Punkte)
Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Eine Clique von G ist eine Teilmenge U ⊆ V ,
so dass alle Knoten aus U in G durch eine Kante verbunden sind.
Betrachten Sie die folgende Sprache
hG, ki G ist ein ungerichteter Graph mit einer Clique
Clique =
der Größe mindestens k
Konstruieren Sie eine polynomielle Reduktion von Clique auf die Sprache Independent
aus Aufgabe 2.
6
Matrikelnummer:
1.2.2006
Fortsetzung von Aufgabe 3:
7
EBKFS WS 2005/2006
3. Miniklausur
Aufgabe 4 (10 Punkte)
Beantworten Sie die folgenden Fragen ohne Begründung. Für jede richtige Antwort
gibt es einen Pluspunkt, für jede falsche einen Minuspunkt. Nicht beantwortete Fragen
erhalten null Punkte. Sie können insgesamt für diese Aufgabe nicht weniger als null
Punkte erreichen.
1. Die Sprache Independent aus den Aufgaben 2 und 3 ist NP-vollständig.
2 Richtig 2 Falsch
T
2. Die Klasse NP ist definiert als: NP := k∈N NTIME(nk ).
2 Richtig 2 Falsch
3. Es gibt Sprachen in NP, die in polynomieller Zeit entschieden werden können.
2 Richtig 2 Falsch
4. Wenn P = NP, dann gibt es einen Algorithmus mit polynomieller Laufzeit für
SAT.
2 Richtig 2 Falsch
5. Wenn es einen Algorithmus mit polynomieller Laufzeit für SAT gibt, dann gilt
P = NP.
2 Richtig 2 Falsch
6. Aus L1 ∈ NP und L2 ∈ NP folgt: L1 ≤p L2 .
2 Richtig 2 Falsch
7. Jede entscheidbare Sprache ist in NP.
2 Richtig 2 Falsch
8. Es gibt nur entscheidbare Sprachen in NP.
2 Richtig 2 Falsch
9. Jede kontextfreie Sprache liegt in P.
2 Richtig 2 Falsch
10. Es gibt nicht komprimierbare Wörter.
2 Richtig 2 Falsch
8