Kombinatorische Optimierung 2 SS 2014 5. ¨Ubungsblatt

Kombinatorische Optimierung 2 SS 2014
5. Übungsblatt
35. Sind die folgenden Mengensysteme (A, F) Unahängigkeitssysteme bzw. Matroide?
(a) Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph, A := V und F := {F ⊆ A : ∀i, j ∈ F , {i, j} 6∈ E}. Die
Elemente aus F heißen stabile Mengen in V .
(b) Sei G = (V, E) ein vollständiger ungerichteter Graph, A := E und
F := {F ⊆ A : F ist eine Teilmenge eines Hamiltonkreises in G}.
(c) Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph, s, t ∈ V zwei unterschiedliche Knoten in G, also s 6= t,
A := E und
F := {F ⊆ A : F ist eine Teilmenge eines s-t-Weges in G}.
(d) Sei n ∈ IN, wi ∈ IR+ für 1 ≤ i ≤ n, und W ∈ IR+ . Nun sei A := {1, 2, . . . , n} und
X
F := {F ⊆ A :
wi ≤ W }.
i∈F
(e) Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph, S eine stabile Menge in V (vgl. (a)) und ks ∈ Z+ ,
∀s ∈ S. Nun sei A := E und F := {F ⊆ A : δF (s) ≤ ks , ∀s ∈ S}.
36. Sei G ein (ungerichteter) Graph. Sei F die Familie derjenigen Menge X ⊆ V (G), für die es ein
maximales keinen Knoten von X überdeckendes Matching gibt. Ist (V (G), F) ein Matroid? Geben
Sie das duale Unabhäbgigkeitssystem bzw. Matroid an.
37. Beweisen Sie: Für ein Matroid (E, F) und eine Gewichtsfunktion c : E → IR+ maximiert der BestIn-Greedy Algorithmus (vgl. Vorlesung) jede Bottleneck-Funktion c(F ) := min{ce : e ∈ F } über die
Menge der Basen.
38. Sei G ein gegebener ungerichteter Graph. Eine Färbung von Kanten heißt zulässig, falls es keinen
Kreis C in G gibt, dessen Kanten alle die gleiche Farbe tragen. Zeigen Sie, dass eine zulässige Kantenfärbung mit minimaler Anzahl von verwendeten Farben in polynomieller Zeit bestimmt werden
kann.
39. Seien (E, F1 ) und (E, F2 ) zwei Matroide. Sei X .⊆ E eine kardinalitätsmaximale partitionierbare
Teilmenge bzgl. (E, F1 ) und (E, F2∗ ) mit X = X1 ∪ X2 , X1 ∈ F1 , X2 ∈ F2∗ . Sei B eine Basis von F2∗
mit X2 ⊆ B. Zeigen Sie, dass X \B2 eine Menge maximaler Kardinalität in (E, F1 )∩(E, F2 ) ist. Lässt
sich daraus schließen, dass das Matriod-Schnittpoblem auf das Matroid-Partitionierungsproblem
zurück geführt werden kann?
40. Seien (E, F1 ) und (E, F2 ) zwei Matroide und c : E → IR. Seien Xo , X1 , . . . , Xm ∈ F1 ∩F2 mit |Xk | = k
und c(Xk ) = max{c(X) : X ∈ F1 ∩ F2 , |X| = k} für alle k. Beweisen Sie, dass c(Xk+1 ) − c(Xk ) ≤
c(Xk ) − c(Xk−1 ) für alle k = 1, 2, . . . , m − 1 gilt.
41. Betrachten Sie folgendes Problem. Gegeben sei ein Digraph G mit Kantengewichten, einen festen
Knoten s ∈ V (G) und eine Zahl k ∈ IN. Es gilt einen Teilgraphen von G mit minimalem Gewicht
zu bestimmen, der k paarweise kantendisjunkte Wege von s aus zu jedem anderen Knoten enthählt,
oder zu entscheiden, dass es keinen solchen Teilgraphen gibt. Zeigen Sie, dass dieses Problem auf das
gewichtete Matroid-Schnittproblem zurückgeführt werden kann.
.
42. Seien A und B zwei endliche Mengen der Kardinalität n ∈ IN und G = (A ∪ B, {{a, b} : a ∈
A, b ∈ B}) der vollständige bipartite Graph. Sei weiters ā ∈ A ein Knoten und c : E(G) → IR
eine Kostenfunktion. Sei T die Familie der Kantenmengen aller aufspannenden Bäume T in G mit
|δT (a)| = 2 für alle a ∈ A \ {ā}. Lässt sich ein Element von T mit minimalen Kosten in polynomieller
Zeit bestimmt werden?
.
43. Betrachten Sie einen gewichteten bipartiten Graphen G = (A ∪ B, E) mit A = {a1 , a2 , a3 }, B =
{b1 , b2 , b3 , b4 } und E = {{a1 , b2 }, {a1 , b3 }, {a2 , b1 }, {a2 , b4 }, {a3 , b2 }, {a3 , b3 }, {a3 , b4 }}. Weiters sei die
Folge der Kantengewichte als 1, 2, 1, 4, 1, 2, 3 gegeben wobei das i-te Gewicht in der Folge der i-ten
Kante in der Auflistung {a1 , b2 }, {a1 , b3 }, {a2 , b1 }, {a2 , b4 }, {a3 , b2 }, {a3 , b3 }, {a3 , b4 } zugeordnet wird,
1 ≤ i ≤ 7. Gesucht ist ein Matching mit maximalem Gewicht in G. Stellen Sie dieses Problem als
gewichtetes Matroid-Schnittproblem dar und lösen Sie es mit dem in der Vorlesung besprochenen
dazugehörigen Algorithmus. Starten Sie mit einem X1 , dass einem Matching mit maximalem Gewicht
unter allen Matchings mit Kardinalität 1 in G entspricht.