Übungen zu Statistik 1

Prof. V. Schmidt
Dipl.-Math. oec. Ralf Thiedmann
Dipl.-Math. oec. Florian Voss
SS 2007
22.5.2007
Übungen zu Statistik 1 - Blatt 5
(Abgabe: Dienstag, 5.6.2007, vor den Übungen)
Aufgabe 1
(3 + 3 + 3 + 3 Punkte)
e∼
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch P oi(λ) verteilt. Weiterhin sei λ eine Realisierung von λ
Γ(α, β).
e.
(a) Wie lautet die Dichte der a-posteriori Verteilung von λ
b 1 , . . . , Xn ) für λ. Ist der Schätzer erwartungstreu bzw. asym(b) Bestimmen Sie den Bayes-Schätzer λ(X
e = λ?
ptotisch erwartungstreu für eine gegebene Realisierung λ
b 1 , . . . , Xn ) = 1/(n + α) · (Pn Xi + β) und von dem ML(c) Bestimmen Sie den MQ-Fehler von λ(X
i=1
e = λ.
Schätzer X n für eine gegebene Realisierung λ
e. Welcher Schät(d) Bestimmen Sie nun den Erwartungswert der beiden MQ-Fehler aus (c) bezüglich λ
zer hat den kleineren erwarteten MQ-Fehler?
Aufgabe 2
(2 + 2 + 1 + 3 Punkte)
Die Treerwahrscheinlichkeit von Sportschützen soll geschätzt werden. Dazu werden n Schützen zufällig
ausgewählt und ihre Schieÿergebnisse x1 , . . . , xn beim einmaligen Schieÿen ausgewertet. Die Schieÿergebnisse seien Realsisierungen der einfachen Zufallsstichprobe (X1 , . . . , Xn ) wobei X1 ∼ B(1, p). Auf
Grundpfrüherer
p Studien lassen sich Vorkenntnisse über die gesuchte Wahrscheinlichkeit p mit Hilfe einer
Beta( n/4, n/4)verteilten Zufallsvariable pe modellieren.
Pn
(a) Berechnen Sie den MQFehler des BayesSchätzers pe(Y ), Y = i=1 Xi für eine gegebene Realisierung pe = p.
(b) Vergleichen Sie den MQFehler des BayesSchätzers aus (a) mit dem MQFehler des MLSchätzers
für p. Für welche p ∈ [0, 1] ist der MQFehler des BayesSchätzers kleiner?
(c) Plotten Sie die obere Schranke und untere Schranke aus (b) als Funktion in n.
(d) Bestimmen Sie nun den Erwartungswert der MQ-Fehler der beiden Schätzer bezüglich pe. Welcher
Schätzer hat den kleineren erwarteten MQ-Fehler?
Aufgabe 3
(3 Punkte)
Sei (X1 , . . . , Xn ) eine einfache Zufallsstichprobe, wobei X1 ∼ N (µ, µ2 ) für µ > 0. Auÿerdem sei
r
n − 1 Γ( n−1
2 )
cn =
.
n
2
Γ( 2 )
p
Zeigen Sie, dass durch φa (X1 , . . . , Xn ) = aX n + (1 − a)cn Sn2 für alle a ∈ IR ein erwartungstreuer Schätzer für µ gegeben ist.
Aufgabe 4
(4 + 2 Punkte)
Sei (X1 , . . . , Xn ) eine einfache Zufallsstichprobe, wobei Xi ∼ U (θ, θ + 1) mit Parameter θ ∈ R. Es seien
zwei Schätzer θb1 und θb2 für θ gegeben durch
1
θb1 (X1 , . . . , Xn ) = X n −
2
und
θb2 (X1 , . . . , Xn ) = min{X1 , . . . , Xn }.
(a) Berechnen Sie den Bias und die Varianz der beiden Schätzer.
(b) Berechnen Sie den MQ-Fehler der beiden Schätzer. Welcher Schätzer hat den kleineren MQ-Fehler?