Unendliche Reihen

Mathematik III (für ET und IK)
Vorlesung: Prof. Dr. Gert Wanka
Übung: Dr. Sorin-Mihai Grad, Christopher Hendrich
7. Unendliche Reihen
(Studienmaterial 9)
Zahlenreihen
(3) Prüfe mit dem notwendigen Konvergenzkriterium, welche der folgenden Reihen divergent sind:
2 4
6
8
d) + +
+
+ ...
3 9 27 81
e)
+∞
X
(1 + (−1)n ).
n=0
(1) d) Untersuche für folgende unendliche Reihe jeweils die zugehörige Teilsummenfolge auf Konvergenz. Gib gege+∞
X
1
.
benenfalls die Summe s der unendlichen Reihe an:
n(n + 1)
n=1
(4) Untersuche folgende alternierende Reihen auf Konvergenz:
a)
+∞
X
(−1)n
√ ,
n
n=1
d)
+∞
X
(−1)n .
n=1
+∞
X
1
.
(5) a) Verwende die Vergleichskriterien zur Konvergenzuntersuchung:
2
n
n=1
(6) Verwende das Quotientenkriterium zur Konvergenzuntersuchung:
g)
+∞
X
1
,
n2
n=1
f)
+∞ n
X
2
.
n!
n=0
(7) b) Verwende das Wurzelkriterium zur Konvergenzuntersuchung:
+∞ X
1
n=1
1
+
2 n
n
.
(8) Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz:
i)
+∞
X
3n
,
n3n
n=1
p)
+∞
X
n=1
1
n
,
(1+ 1 )
q)
n
+∞
X
(1 + i)n
.
(2 − i)n
n=1
(9) Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz und auf absolute Konvergenz:
d) 1 −
1 1 1
+ − + ...,
2 3 4
f)
+∞
X
(−1)n
p
n=1
n(n2 + 1)
.
Potenzreihen
+∞
X
(x − 2)n
(14) g) Für welche reellen Zahlen x ist die Potenzreihe
absolut konvergent?
n(n + 1)
n=1
(15) a) Bestimme für die Potenzreihe
(16) d) Ermittle für die Potenzreihe
+∞ n
X
x
den Konvergenzradius und das Konvergenzintervall!
n
n=1
+∞
X
3n (z + i)n den Konvergenzradius und das Konvergenzgebiet!
n=0
(17) Nenne die Summenfunktion und das Konvergenzgebiet für folgende Potenzreihen:
a)
+∞ n
X
z
,
n!
n=0
c)
+∞ n+1
X
z
,
n!
n=0
j)
+∞
X
n=0
(−1)n
n+1 n
z ,
n!
1
g)
+∞
X
(z − 2)n
.
3n
n=0
(19) b) Entwickle die Funktion f (z) =
1
an der Stelle z0 = i in eine Potenzreihe und gib den Konvergenzradius an!
z
2x3 4x5 6x7 8x9
−
+
−
+ . . . die Summenfunktion f (x) (Hinweis: Gliedweise
3!
5!
7!
9!
Differentiation und dann Integration!)
(23) b) Finde für die Potenzreihe f (x) =
(31) e) Gib die ersten drei Glieder der Potenzreihe von f (x) an der Stelle x0 = 0 an: f (x) = ex cos x
Fourierreihen I
(33) Gib für die folgenden periodischen Funktionen f (x) die Fourierreihen an.
f (x)
6
1
-1
h)
1
x
2
-1
c)f (x) =
−1 für −π < x ≤ 0
2 für 0 < x ≤ π
, f (x + 2kπ) = f (x) , k ∈ Z.
(35) Gegeben sei die Funktion f (x) = x2 , 0 ≤ x < π , f (x + kπ) = f (x) , k ∈ Z .
a)
b)
c)
Gib die Fourierreihe von f (x) an.
Entwickle f (x) im Intervall 0 ≤ x < π in eine Sinusreihe.
Entwickle f (x) im Intervall 0 ≤ x < π in eine Cosinusreihe.
Fourierreihen II
(33) i) Gib für die periodische Funktion f (x) =
an.
0 für −π < x < 0
sin x für 0 ≤ x ≤ π
, f (x + 2kπ) = f (x), k ∈ Z die Fourierreihe
(45) Wie lautet die Fourierreihe für die Einweggleichrichtung von Drehstrom?
(Verwende die Fourierreihe für die Einweggleichrichtung des Wechselstroms
z.B. nach 33i mit Phasenverschiebungen!)
(46) Vergleiche den Oberwellengehalt der beiden Saitenschwingungen durch Berechnung des Klirrfaktors K aus K 2 =
(A22 +A23 +. . . )/(A21 +A22 +A23 +. . . ) mit den Amplituden A2k = a2k +b2k aus den Fourierkoeffizienten ak und bk (k ≥
1) :
 2A
π

− ≤x≤0
 + x+A
π
π
π
2
b) y =
a) y = A cos x − ≤ x ≤

2
2
2A
π
 − x+A
0≤x≤
π
2
Benutze dazu die erweiterten Grundfunktionen mit der Periode 2π .
(40) Ein periodischer Spannungsverlauf mit der Periodenlänge T lässt sich im Intervall
T
T
− <t<
folgendermaßen beschreiben:
2
2


 0 für − T < t < 0 ,
2
U (t) =
4t
T


für 0 ≤ t <
.
T
2
Stelle den Spannungsverlauf durch eine Fourierreihe dar.
Überführe diese Reihe in die komplexe Form.
2