Blatt 14 - Mathematik, TU Dortmund

Prof. Dr. L. Schwachhöfer
WS 2013/14
14. Übungsblatt zur Algebraischen Topologie
Abgabe: Montag, 03.02.14, bis 16 Uhr in dem Ablagefach
bei Raum 931, 9. OG
Aufgabe 1:
ı
π
Sei 0 → G1 → G2 → G3 → 0 eine kurze exakte Sequenz abelscher Gruppen. Zeigen
Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
a) Es gibt einen Homomorphismus φ : G2 → G1 mit φ ◦ ı = IdG1 .
b) Es gibt einen Homomorphismus ψ : G3 → G2 mit π ◦ ψ = IdG3 .
c) Es gibt einen Isomorphismus λ : G2 → G1 ⊕ G3 , so dass λ ◦ ı(g1 ) = (g1 , 0) und
π ◦ λ−1 (g1 , g3 ) = g3 für alle gi ∈ Gi .
Geben Sie ein Beispiel einer kurzen exakten Sequenz, für die diese Bedingungen
nicht erfüllt sind.
Bemerkung: Eine kurze exakte Sequenz, für die a) - c) gilt, heißt split-exakt.
Aufgabe 2:
a) Zeigen Sie: Ist (X, Y ) triangulierbar und Y ⊂ X ist ein Deformationsretrakt
von X, so ist H∗ (X, Y ) = 0.
b) Sei K ein simplizialer Komplex mit Teilkomplexen K1 , K2 , für die K = K1 ∪K2
gilt, und sei K0 := K1 ∩ K2 . Sei L ⊂ K ein weiterer Teilkomplex, und setze
Li := L ∩ Ki . Zeigen Sie: Es gibt eine exakte Sequenz der Form
· · · → Hk (K0 , L0 ) → Hk (K1 , L1 )⊕Hk (K2 , L2 ) → Hk (K, L) → Hk−1 (K0 , L0 ) → · · ·
Aufgabe 3:
Sei X ein triangulierbarer topologischer Raum. Sie dürfen ohne Beweis annehmen,
dass alle im folgenden verwendeten Räume und Paare triangulierbar sind. Zeigen
Sie:
a) Für p ∈ S n , n ≥ 0, gilt für alle k ∈ Z
Hk (X × S n , X × p) ∼
= Hk−n (X).
Hinweis: Induktion über n. Schreiben Sie S n als die Vereinigung der oberen
und unteren Halbsphäre und verwenden Sie Aufgabe 2.
b) Der von der Inklusion ı : X × p ,→ X × S n induzierte Homomorphismus
ı∗ : H∗ (X) → H∗ (X × S n ) hat ein Linksinverses. Folgern Sie, dass es splitexakte Sequenzen
ı
∗
Hk (X × S n ) −→ Hk (X × S n , X × p) −→ 0
0 −→ Hk (X × p) −→
gibt (vgl. Aufgabe 1).
c) Für alle k ∈ Z gilt:
Hk (X × S n ) ∼
= Hk−n (X) ⊕ Hk (X).
d) Bestimmen Sie H∗ (S n × S m ).
Aufgabe 4:
Zeigen Sie, dass die folgenden Räume eine Darstellung als CW -Komplexe haben
und beschreiben Sie die Zellen.
a) RPn .
b) CPn .
1
c) Tn := S
· · × S}1 .
| × ·{z
n−mal