Ungleichung: Aussageform der Gestalt A(x)

Wirtschaftsmathematik
S4
Seminar 4: Ungleichungen und Beträge
Wiederholung:
Ungleichung: Aussageform der Gestalt A(x) > 0, A(x) ≥ 0, B(x, y) > 0,
B(x, y) ≥ 0 usw.
Definitionsmenge DA: Menge aller x (y…), die in die Ungleichung
einsetzbar sind
Lösungsmenge LA : Menge aller x (y…), für die die Ungleichung eine
wahre Aussage wird
Während die Lösungsmenge bei Gleichungen oft aus nur einem oder
einigen wenigen Punkten besteht, sind die Lösungsmengen von
Ungleichungen typischerweise Intervalle oder Vereinigungen davon (bei
mehreren Variablen entsprechend höherdimensionale Bereiche)
Beispiel: x2 – 4 ≤ 0, Lösungsmenge: L = [−2, 2]
 x falls x ≥ 0
Betrag einer reellen Zahl x: x = 
 − x falls x < 0
Wenn in Gleichungen oder Ungleichungen Beträge von Termen mit
unbekannten reellen Größen vorkommen, so muss man die beiden Fälle
unterscheiden, dass der Term unter dem Betrag ≥ 0 bzw. < 0 ist.
Es gilt immer
x 2 = x (also nichtnegativ!)
Aufgaben:
1. Für welche reellen Zahlen x gelten folgende Ungleichungen:
x
x
a) + 5 < − 7
3
7
x +1
b)
>3
x −1
c) 2 x − 3 ≤ 6
d) x − 5 + 3 − x ≤ 2
2. Analysieren Sie die Funktion
y = f ( x) = x x + 4 x − 2 − 4
und stellen Sie sie im Intervall (–6, 6) grafisch dar (ohne GTR)!
3. Bestimmen Sie die durch folgende Bedingung definierte
Punktmenge der x-y-Ebene!
x−4 + y+6 ≤ 2
4. Zwei Straßen verlaufen geradlinig in N-S- bzw. W-O-Richtung und
kreuzen sich in einem Punkt K. Auf der W-O-Straße liegt 4 km
östlich von K ein Ort A und auf der N-S-Straße 6 km südlich von K
ein Ort B. Geplant ist nun der Bau einer Diagonalverbindung beider
Straßen, um die Kreuzung K zu entlasten und die Fahrzeit von A
nach B zu verkürzen.
a) Wie lang wäre die kürzeste Straße, die A mit B direkt verbindet?
b) Aus Kostengründen kann die direkte Verbindung von A nach B
nicht gebaut werden. Folgende Vorgaben sind einzuhalten:
(1) Die neue Diagonalverbindung ist kurvenfrei (also
geometrisch eine Strecke).
(2) Bei einer Fahrt von A nach B über die neue Diagonalstraße
sollen höchstens 2 km der vorhandenen N-S- und W-OStraße genutzt werden (insgesamt).
(3) Die Kosten, die sich proportional zur Straßenlänge
verhalten, müssen minimal gehalten werden.
Wie lang wird die neue Straße und wie verläuft sie (Skizze)?
Hinweis: Benutzen Sie ein Koordinatensystem mit Achsen
entlang der W-O- bzw. N-S-Straße!