Statistische Formelsammlung

Horst Rinne
Statistische
Formelsammlung
begründet von G. Creutz/R. Ehlers
3., durchgesehene Auflage
1988
Verlag Harri Deutsch
Thun und Frankfurt/Main
4
Inhaltsverzeichnis
Deskriptive Statistik
1.
Grundlegende Konzepte
13
1.1.
1.2.
1.3.
S t a t i s t i s c h e Massen u n d s t a t i s t i s c h e E i n h e i t e n
Skalen u n d statistische M e r k m a l e
P h a s e n einer statistischen U n t e r s u c h u n g
13
13
16
2.
Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen nominaler, ordinaler und diskreter Merkmale
17
2.1.
2.1.1.
2.1.2.
2.2.
2.3.
Häufigkeitsfunktionen
N o m i n a l m e r k m a l (nicht-häufbar)
O r d i n a l m e r k m a l u n d diskretes M e r k m a l
Empirische Verteilungsfunktion
Perzentile
17
17
18
19
20
3.
Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen
stetiger Merkmale
20
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
Häufigkeitsfunktion u n d H ä u f i g k e i t s d i c h t e
E m p i r i s c h e Verteilungsfunktion
B e s t i m m u n g v o n Anteilsvverten
Bestimmung von Perzentilen
21
22
22
22
4.
Maßzahlen für eindimensionale Häufigkeitsverteilungen.
23
4.1.
4.1.1.
4.1.2.
4.1.3.
4.1.4.
4.1.5.
4.1.6.
Lageparameter
Modus
Perzentile, insbesondere der Median
Bereichsmitte
Schwerster W e r t
Arithmetisches Mittel
Geometrisches Mittel
23
23
24
24
25
25
26
5
4.1.7.
4.1.8.
4.2.
4.2.1.
4.2.2.
4.2.3.
4.2.4.
26
27
27
27
27
28
4.3. .
4.3.1.
4.3.2.
4.3.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.6.1.
4.6.2.
Harmonisches Mittel
Größenbeziehung zwischen Lageparanietern
Streuungsparameter
Spannweite
Perzentilsabstände
Mittlere absolute Abweichungen
Mittlere quadratische Abweichung, Varianz, Standardabweichung, Variationskoeffizient
Empirische Momente
Nullmomente
Zentrale Momente
Beziehung zwischen'Momenten
Schiefemaße
•
Wölbungsmaße
Konzentrationsmaße
Maße der absoluten Konzentration
.
Maße der relativen Konzentration
5.
Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen
34
6.1.
5.1.1.
5.1.2.
5.1.3.
5.1.4.
5.2.
5.2.1.
5.2.2.
5.2.3.
5.3.
5.3.1.
5.3.2.
5.3.3.
34
34
35
36
38
38
38
39
40
41
41
41
5.4.
Vorbemerkungen
Gemeinsame Häufigkeiten
Randverteilungen und deren Parameter
Bedingte Verteilungen und deren Parameter
Statistische Unabhängigkeit
Maße des Zusammenhangs zweier Merkmale
Assoziationsmaße
Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman
Korrelationskoeffizient nach Bravais und Pearson
Regressionsbeziehungen zweier Variablen
Empirische Regression erster Art
Empirische lineare Einfachregression
Einige nicht-lineare Regressionsansätze mit zwei
Variablen
Empirische lineare Zweifachregression
6.
Verhältniszahlen
47
6.1.
6.2.
6.3.
Gliederungszahlen
Beziehungszahlen
Meßzahlen
47
48
48
....
28
30
30
30
30
31
32
32
32
33
44
44
6
6.4.
6.4.1.
6.4.2.
6.4.3.
6.4.4.
6.4.5.
Indexzahlen
Preisindizes
Mengen- oder Volumenindizes
Wertindex
Deflationierung
Zusammenhang zwischen Indizes
49
50
51
51
51
52
7.
Analyse von Bestands- und Ereignismassen
52
7.1.
"7.2.
Fortschreibungsmodelle
Abgangsmodelle, insbesondere Sterbetafel
52
53
8.
Elementare Zeitreihenanalyse
54
8.1.
8.2.
8.3.
8.3.1.
8.3.2.
Zeitreihenkomponenten und ihre Verknüpfung
Globalschätzung
Lokalschätzung
Gleitende Durchschnitte
Zeitreihenzerlegung mittels gleitender Durchschnitte bei
konstanter Saisonfigur
54
55
56
56
57
Wahrscheinlichkeitstheorie
9.
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
59
9.1.
9.1.1.
9.1.2.
9.1.3.
9.2.
9.2.1.
9.2.2.
9.2.3.
9.3.
Einführung in die Kombinatorik
Permutationen
Variationen
Kombinationen und Binomialkoeffizienten
Ereignisalgebra
Definitionen
Operationen mit Ereignissen
Beziehungen zwischen Ereignissen
Wahrscheinlichkeitsinterpretationen und die
Axiomatik von Kolmogoroff
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Stochastische Unabhängigkeit
Einige Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung
59
59
59
60
61
61
61
62
9.4.
9.5.
9.6.
62
63
64
64
10.
Zufallsvariable und deren Verteilung
65
10.1.
10.2.
10.3.
10.3.1.
10.3.2.
10.3.3.
10.3.4.
10.3.5.
10.4.
10.4.1.
10.4.2.
10.4.3.
10.4.4.
10.4.5.
10.4.6.
10.4.7.
10.5.
Eindimensionale diskrete Zufallsvariable
Eindimensionale stetige Zufallsvariable
Beschreibung eindimensionaler Verteilungen
Perzentile
Erwartungswerte
Varianz und Standardabweichung
Momente
Schiefe- und Wölbungsmaße
Zweidimensionale Zufallsvariable
Zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion
Zweidimensionale Dichte
Zweidimensionale Verteilungsfunktion
Randverteilungen und deren Parameter
Bedingte Verteilungen und deren Parameter
Stochastische Unabhängigkeit
Momente einer zweidimensionalen Zufallsvariablen . . . .
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
66
66
67
67
68
68
68
70
70
70
71
71
71
73
74
75
75
11.
Einige Verteilungen diskreter Zufallsvariablen
76
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.
11.6.
11.7.
Bernoulli-Verteilung oder Null-Eins-Verteilung: Be(P) .
Binomialverteilung: Bi (n; P)
Gleichverteilung: Gl (a; b ; L)
_
Hypergeometrische Verteilung: Hy (n; N; M)
Multinomialverteilung: Mu (n; Pi; P 2 ; . . . ; P m )
Negative Binomialverteilung: Nb (c; P)
Poisson-Verteilung: Po(A)
76
77
78
79
80
80
81
12.
Einige Verteilungen stetiger Zufallsvariablen
82
12.1.
12.2.
12.3.
12.4.
12.5.
12.6.
12.6.1.
12.6.2.
Beta-Verteilung: Bt (c; d)
Cauchy-Verteilung: Ca (a; b)
Exponentialverteilung: Ex(A)
Gamma- und Erlang-Verteilung: Ga (b; c)
Lognormalverteilung: Ln (a; b2)
Normalverteilungen
Eindimensionale Normalverteilung: No (ß\ a2)
Zweidimensionale Normalverteilung:
Zn (ftx; /«y; crf,; CTY; e )
82
83
84
84
85
86
86
87
8
12.7.
12.8.
12.9.
12.10
Pareto-Verteilung: Pa (b; c)
Potenzverteilung: P t (b; c)
Rechtecksverteilung: Re (a; b)
Weibull-Verteilung: We (b; c)
88
89
90
90
13.
Gesetze der großen Zahlen und zentrale
Grenzwertsätze
91
13.1.
13.2.
Zentrale Grenzwertsätze
Gesetze der großen Zahlen
92
93
14.
Stichprobenverteilungen
94
14.1.
14.2.
14.3.
Stichprobenvektor und Stichprobenfunktion
Grenzverteilungen von Stichprobenfunktionen
Verteilungen von Stichprobenfunktionen bei
Stichproben aus normalverteilten Gesamtheiten
14.3.1. t-Verteilung (Student-Verteilung): t(v)
14.3.2. x 2 -Verteilung: x2(v)
14.3.3. F-Verteilung (Fisher-Verteilung): F (vi; v%)
94
95
95
95
97
98
Schätztheorie
15.
Punktschätzung
100
15.1.
15.1.1.
15.1.2.
15.1.3.
15.1.4.
15.1.5.
15.1.6.
15.2.
15.2.1.
15.2.2.
15.2.3.
15.2.4.
15.2.5.
15.3.
Eigenschaften von Schätzfunktionen
Erwartungstreue
Mediantreue
Konsistenz
Effizienz
Suffizienz
BLU- und BAN-Schätzer
Konstruktionsprinzipien für Schätzfunktionen
Momentenmethode
Maximum-Likelihood-Methode
Kleinst-Quadrate-Methode
x 2 -Minimum-Methode
Methode der Quantile
Zusammenstellung einiger Schätzfunktionen
100
100
101
101
101
102
102
102
102
103
103
104
104
104
9
16.
Intervallschätzung
16.1.
16.2.
16.2.1.
16.2.2.
Schwankungs- oder Prognoseintervalle
Konfidenzintervalle
Interpretation und Konstruktion
Konfidenzintervalle für ß und a2 einer Normalverteilung
16.2.3. Konfidenzintervalle für P einer Binomial- und einer
hypergeometrischen Verteilung
16.2.4. Konfidenzintervalle für X einer Poisson-Verteilung . . . .
16.3.
Bestimmung des Stichprobenumfang^
104
104
106
106
106
109
110
110
Testtheorie
17.
Grundbegriffe der Testtheorie
113
17.1.
17.2.
17.3.
17.4.
17.5.
Statistische Hypothesen und statistische Tests
Kritischer Bereich und Annahmebereich
Fehler erster und zweiter Art
Gütefunktion und Operationscharakteristik
Übersicht über die Entscheidungsalternativen eines
Tests
113
114
114
114
115
18.
Parametertests
115
18.1.
18.2.
18.2.1.
18.2.2.
18.2.3.
18.2.4.
18.2.5.
18.2.6.
18.2.7.
18.2.8.
18.3.
18.4.
18.5.
Typen von Parametertests
Parametertests bei normalverteilten Gesamtheiten . . . .
Hypothesen über fi bei bekanntem a2
Hypothesen über /j, bei unbekanntem a2
Hypothesen über die Differenz fti — //2
Vergleich mehrerer Erwartungswerte
Hypothesen über a2
Hypothesen über zwei Varianzen a\ und a\
Vergleich mehrerer Varianzen
Hypothesen über g
Hypothesen über /i einer beliebigen Verteilung
Hypothesen über P
Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten Pi und P2
116
116
116
118
118
120
121
122
123
124
124
125
125
10
19.
Anpassungs-, Homogenitäts- und Unabhängigkeitstests .
126
19.1.
19.1.1.
19.1.2.
19.2.
19.2.1.
19.2.2.
19.3.
Anpassungstests
x 2 -Anpassungstest
Kolmogoroff-Smirnoff-Anpassungstest
Homogenitätstests
2
z -Homogenitätstest
Kolmogoroff-Smirnoff-Homogenitätstest
Unabhängigkeitstest
126
126
127
128
128
129
129
Schätz- und Testverfahren
im linearen Regressionsmodell
20.
Das Modell der linearen Einfachregression
130
20.1.
20.2.
130
20.5.2.
Die Annahmen des klassischen Regressionsmodells . . . .
Schätzfunktionen für die Modellparameter und deren
Eigenschaften
Prüfung der Modellannahmen
Test auf Linearität
Test auf Autokorrelationsfreiheit
Test auf Homoskedastizität
Test auf Strukturkonstanz
Inferenzaussagen über die Modellparameter
Aussagen über ßo
Aussagen über ßi
Aussagen über ß0 und ßi
Aussagen über erfy
Prognosen
Punkt- und Intervallprognosen für den bedingten
Erwartungswert
Intervallprognose für den Individualweft
21.
Das multiple lineare Regressionsmodell
20.3.
20.3.1.
20.3.2.
20.3.3.
20.3.4.
20.4.
20.4.1.
20.4.2.
20.4.3.
20.4.4.
20.5.
20.5.1.
131
133
133
133
134
134
135
135
136
136
137
137
137
137
138
Anhang
A.
Mathematische Zeichen
139
A.l.
A.2.
Beziehungszeichen
Zeichen der Algebra
139
140
11
A.3.
A.4.
A.5.
A.6.
A.7.
A.8.
A.9.
Zeichen der Trigonometrie
Zeichen der Analysis
Zahlenmengen
Zeichen der Mengenalgebra
Symbole der Logik . . .
Griechisches Alphabet
Bezeichnung von Konstanten
140
141
142
142
142
143
144
B.
Tabellen
145
B.l.
B.2.
B.3.
B.4.
B.5.
B.6.
B.7.
B.8.
B.9.
B.10.
Fakultäten
Binomialkoeffizienten
Standardnormalverteilung (Verteilungsfunktion)
^-Verteilung (Perzentile)
-.
t-Verteilung (Perzentile)
F-Verteilung (Perzentile-)
Schwellenwerte für den Kolmogoroff-Smirnoff-Test
Schwellenwerte für den Durbin-Watson-Test
Digitale Zufallsziffern
In [0; 1] gleichverteilte Zufallszahlen
145
146
147
149
151
152
154
155
156
157
Literatur
...
158