Übungszettel 12 - Das Wassersto atom (Abgabetermin

Übungszettel 12
Quantenmechanik - SoSe 2011
Übungszettel 12 - Das Wasserstoatom
(Abgabetermin: 07.07.2011)
Aufgabe 1 - Eigenwerte des Wasserstoatoms mit Sommerfeld (40 Punkte)
(a) Das Elektron mit Masse me in einem wasserstoähnlichen Ion mit Kernladungszahl Z wird durch die dreidimensionale Schrödingergleichung mit dem Zentralpotential
V (r) = −
Ze2
4π0 r
beschrieben. Notiere die eindimensionale, zeitunabhängige Schrödingergleichung für u (r) aus dem allgemeinen
Ansatz zur Lösung der radialen Schrödingergleichung
Ψ (r, θ, ϕ) =
u (r)
Ylm (θ, ϕ)
r
und skizziere das eektive Potential für l = 0, 1, 2. Für welche Werte der Energie können allgemein gebundene
Zustände existieren?
Hinweis: Die radiale Schrödingergleichung ist gegeben durch
~2 d2
−
+ Ve (r) u (r) = E (r)
2m dr2
mit dem eektiven Potential
Ve (r) = V (r) +
~2 l (l + 1)
2mr2
(b) Deniere folgende Einheitenreskalierungen
r
ρ≡Z
,
aB
4π0 ~ 2
,
aB ≡
me e2
~2
ER ≡
,
2me a2B
1
η≡
Z
r
−
E
ER
Zeige, dass sich die Schrödingergleichung für ein wasserstoähnlichen Ion mit Kernladungszahl Z in der Form
d2
2 l (l + 1)
2
+
−
−
η
u (ρ) = 0
dρ2
ρ
ρ2
(1)
schreiben lässt.
(c) Benutze den Ansatz
u (ρ) = e−ηρ ρl+1 P (ρ)
wobei für P (ρ) ein polynomialer Reihenansatz durchgeführt wird, also
P (ρ) =
X
as ρs
(2)
s=0
Leite durch Einsetzen in Gleichung (1) eine Dierentialgleichung für die Polynome P (ρ) her. Benutze die
Sommerfeldsche Polynommethode (wie schon beim harmonischen Oszillator in der Vorlesung) um folgende
Rekursionsformel für die Koezienten as zu erhalten
as+1 = 2
η (l + s + 1) − 1
as
(s + 2l + 2) (s + 1)
1
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und zeige schlieÿlich, dass
1
s0 + l + 1
η=
für s0 ∈ N die einzig erlaubten Werte für η sind.
Hinweis: Beachte den Einuss des Verhaltens der Koezienten as für s → ∞ auf das asymptotische Verhalten
für ρ → ∞ der Funktion P (ρ) um aus der Normierbarkeit von u (ρ) eine Bedingung für das Abbrechen der
Reihe in Gleichung (2) zu erhalten.
(d) Deniere die so genannte Hauptquantenzahl n durch
n = s0 + l + 1
Schreibe die Energieeigenwerte des wasserstoähnlichen Ions mit Kernladungszahl Z in Abhängigkeit der
Hauptquantenzahl. Wie hoch ist die Entartung der Energieniveaus?
(e) Zeige mit Hilfe der Rekursionsformel aus der vorherigen Aufgabe für die as , dass
s
(2l + 1)! (n − (l + 1))!
2
as = a0 (−1)
n
s! (s + 2l + 1)! (n − (l + s + 1))!
s
Deniere κ über
κr ≡ ηρ
Schlussfolgere, dass sich die Radialfunktion R (r) =
in der Form
u(r)
r
l
Rnl (r) = Cnl e−κr (2κr) L2l+1
n+1 (2κr)
schreiben lässt, wobei Cnl =
a0 (2l+1)!(n−l−1)!
((n+l)!)2
k
Lkp (z) = (−1)
2l+1
(−1)
p−k
X
ein Normierungsfaktor ist sowie
2
s
(−1) z s
s=0
(p!)
(p − k − s)! (k + s)!s!
die so genannten zugeordneten Laguerre-Polynome sind.
Hinweis: Für das Herleiten der Gleichung für die as , begründe und benutze die Tatsache, dass sich für das
b!
Produkt aller natürlichen Zahlen von b bis einschlieÿlich a (mit b > a > 0) der Ausdruck (a−1)!
schreiben
lässt.
(f) Ein Elektron im Wasserstoatom (Z = 1) bendet sich in folgendem reinen Zustand
|Ψi =
√
√
1
2 |Ψ100 i − i 2 |Ψ211 i + 2 |Ψ320 i
4
wobei die Zustände Ψnlm die normierten Eigenzustände zu den Quantenzahlen n, l, m sind. Berechne den
~ˆ 2 und L̂z .
Erwartungswert der Energie in Einheiten von ER sowie die Erwartungswerte von L
Aufgabe 2 - Eigenwerte des Wasserstoatoms mit Lenz-Runge (20 Punkte)
Betrachte die radiale Schrödingergleichung für das Wasserstoatom (der Fall Z = 1 von Aufgabe 1)
V (r̂) = −
e2
4π0 r̂
(a) Deniere den Lenz-Runge-Vektor
~ˆ 0 =
M
Zeige, dass
1 ˆ ~ˆ ~ˆ ˆ
e2 ~rˆ
p~ × L − L × p~ −
2me
4π0 r̂
h 0 i
~ˆ , Ĥ
M
= ~0
−
2
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mit dem totalen, dreidimensionalen Hamiltonoperator für das gesamte System
p~ˆ2
+ V (r̂)
2me
Ĥ =
Hinweis: Beweise und benutze die Relation
h
~ˆ × C
~ˆ
Â, B
i
−
h
i
h
i
~ˆ × C
~ˆ + B
~ˆ × Â, C
~ˆ
= Â, B
−
−
für einen allgemeinen skalaren Operator  und Vektoroperatoren
werden, dass
"
~ˆ C
~ˆ .
B,
~rˆ
ˆ ~ˆ ˆ 1
ˆ
~
= p~ˆ2 ,
p~ × L − L × p~,
r̂ −
r̂
(b) Deniere
Es darf zudem ohne Beweis verwendet
#
−
~ˆ 0
M
ˆ
~
M=q
−2Ĥ
me
~ˆ einen gemeinsamen Satz von EigenSchlussfolgere mit den Resultaten von Teilaufgabe (a), dass Ĥ und M
funktionen besitzen. Deniere die Operatoren
ˆ
J~(1)
=
ˆ
J~(2)
=
1 ~ˆ
~ˆ
L+M
2
1 ~ˆ
~ˆ
L−M
2
Die folgenden Kommutatorrelation gelten (dies muss nicht bewiesen werden)
h
h
(1)
(1)
Jˆi , Jˆj
i
(2)
(2)
Jˆi , Jˆj
i
−
−
h
i
(1)
(2)
Jˆi , Jˆj
−
(1)
= i~ijk Jˆk
(2)
= i~ijk Jˆk
=
0
Warum folgen daraus sofort die Eigenwertgleichungen
h
i
ˆ 2
J~(1) |j1 , j2 i = j1 (j1 + 1) ~2 |j1 , j2 i
i
h
ˆ 2
J~(2) |j1 , j2 i = j2 (j2 + 1) ~2 |j1 , j2 i
mit den möglichen Eigenwerten j1 , j2 = 0, 12 , 1, 32 , . . . ?
~ˆ · L
~ˆ = 0, dass j1 und j2 gleich sein müssen. Deniere
(c) Zeige mit Hilfe der (hier nicht zu beweisenden) Relation M
j ≡ j1 = j2 und zeige durch Anwendung der folgenden Gleichung (die auch nicht hergeleitet werden muss)
−
m e e4
2Ĥ (4π0 )
~ˆ 2 + L
~ˆ 2 + ~2 1
=M
2
auf die Energieeigenfunktionen |j1 , j2 i , dass
−
me e4
2
2
2E (4π0 )
= (2j + 1) ~2
Schlussfolgere daraus die Energieeigenwerte des Wasserstoatoms, welche bereits in Aufgabe 1 hergeleitet
wurden. Was ist die Beziehung zwischen j und der Hauptquantenzahl n?
(d) Berechne die Entartung der Niveaus zu konstantem j durch Untersuchung der Tatsache, wie viele verschiedene
Eigenwerte die Operatoren Jˆz(1) und Jˆz(2) für konstantes
j annehmen können.
Hinweis: Es darf angenommen werden, dass der Satz
Observablen für das Wasserstoproblem ist.
3
h
i h
i
ˆ 2 ˆ 2 (1) (2)
J~(1) , J~(2) , Jˆz , Jˆz
ein vollständiger Satz von