Probeklausur

T2: Quantenmechanik für Bachelor
Wintersemester 2015/16
Ludwig-Maximilians-Universität
–/–/— - Probeklausur
Prof. Dr. Armin Scrinzi
Name:
Vorname:
Matrikelnr.:
Tutor:
Die Probeklausur besteht aus 20 Seiten (inklusive dieser Deckseite) und 6 Aufgaben. Bitte prüfen
Sie, dass Sie alle Seiten bekommen haben. Füllen Sie die oberen Felder der Titelseite aus und geben
Sie auf jeder Seite Ihren Namen an für den Fall, dass diese auseinanderfallen.
Als Hilfsmittel ist ausschließlich ein selbst angefertigter, beidseitig handgeschriebener DINA4 Spickzettel erlaubt. Insbesondere ist das Mitführen elektronischer Geräte untersagt. Wird ein
elektronisches Gerät (Mobiltelefon, Tablet, etc.) gefunden, so wird das als Betrugsversuch bewertet
und gemäß Paragraph 30 der Prüfungsordnung durch Bewertung mit 5 und Benachrichtigung des
Prüfungsamts geahndet. Es ist dabei ohne Belang, ob das Gerät in Betrieb ist oder nicht. Versehentlich mitgebrachte Geräte können für die Dauer der Prüfung beim Prüfer deponiert werden.
Es müssen alle Aufgaben bearbeitet werden, dabei gilt Folgendes:
• Falls Sie eine “fundamentale Formel” benutzen, müssen Sie diese kennzeichnen und gegebenfalls begründen, warum sie angewendet werden
darf.
Aufgabe
Punkte
1
27
• Organisieren Sie Ihre Antworten. Schreiben
Sie leserlich und in einer übersichtlichen Reihenfolge.
2
31
3
12
• Es gibt keine Punkte ohne Begründung der
Antworten. Lösungen müssen aus einem nachvollziehbaren, schriftlich festgelegten Gedankengang folgen. Bei Rechnungen mit falschen Schritten
kann es bei mehrheitlich richtigem Weg gegebenenfalls noch Punkte geben.
4
17
5
15
6
22
• Es dürfen keine eigenen Blätter verwendet
werden. Falls Sie weitere Blätter brauchen, bekommen Sie diese beim Prüfer.
Summe
124
Bearbeitungszeit: 180 Minuten
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Erreicht
T2: Quantenmechanik für Bachelor
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Name:
Aufgabe 1
1. (T) Wissensfragen
(a) Was ist das Superpositionsprinzip in der Quantenmechanik? (In Worten und als Formel.
Beachte bei der Formel auch die Normierung.)
[2 Punkte]
(b) Was meint man mit Drehimpulsbarriere?
Welcher Term (in Polarkoordinaten) beschreibt die Drehimpulsbarriere?
Wie verhält sich die Wellenfunktion bei r → 0 als Folge der Drehimpulsbarriere?
[3 Punkte]
(c) Was sind orthogonale Polynome Qn (x)? Was ist der Grad von Qn ? Welche Rolle spielt
die Gewichtsfunktion w(x)? Welches ist die einzige Voraussetzung an w(x)? Was braucht
man, außer w(x), um die Qn eindeutig festzulegen?
[3 Punkte]
(d) Was besagt der Spektralsatz für normale Operatoren (genaue Definition und Formeln,
ohne Entartung)? Gib zuletzt auch eine Form mit Entartung an.
[5 Punkte]
(e) Wie hängt beim photoelektrischen Effekt die Energie der emittierten Elektronen mit der
Frequenz des Lichts zusammen (in Worten und Formel)? Was geschieht bei Erhöhung der
Intensität des Lichts bei fester Wellenlänge (verbal, keine Formel)?
[6 Punkte]
(f) Erlaubt der endlich tiefe Potentialtopf immer gebundene Zustände? Haben diese eine bestimmte Symmetrie? Wie sieht die Energie der Zustände im vergleich zu denen des unendlichen Potentialtopfs aus?
[3 Punkte]
(g) Welche Tatsache der Quantenmechanik bezeichnet man als ”Kollaps der Wellenfunktion”?
Wie kann man das mittels eines Projektionsoperators mathematisch ausdrücken?
[3 Punkte]
(h) Es sei Ŝ eine Observable mit der Eigenschaft Ŝ 2 = 1. Was sind die möglichen Messwerte?
Begründe die Aussage!
[2 Punkte]
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Name:
Aufgabe 1
T2: Quantenmechanik für Bachelor
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Name:
Aufgabe 1
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Name:
Aufgabe 2
~ˆ 2 und L̂z
2. (Z) Gemeinsames Spektrum von L
Motivation: Während die einzelnen Komponenten des Drehimpulses nicht gleichzeitig messbar
sind kann man aber zumindest den Betrag des Drehimpulses und eine seiner Komponenten
gleichzeitig messen. Die Leiteroperatoren sind zum Lösen des Drehimpulsproblems sehr hilfreich. Hier leiten wir rein aus der algebraischen Struktur das Spektrum ab.
~ˆ 2 und L̂z kompatible Observablen sind.
(a) Zeige, dass L
[2 Punkte]
~ˆ 2
Es gibt also eine gemeinsame Eigenbasis. Es sei also |f i ein gemeinsamer Eigenvektor von L
~ˆ 2 |f i = λ|f i und L̂z |f i = µ|f i.
und L̂z mit L
~ˆ 2 zum Eigenwert λ ist (oder verschwindet).
(b) Zeige, dass auch L̂± |f i ein Eigenvektor von L
(Verwende die Kommutatorrelationen aus Aufgabe 10.1.)
[2 Punkte]
(c) Zeige, dass auch L̂± |f i ein Eigenvektor von L̂z zum Eigenwert µ±~ ist (oder verschwindet).
[5 Punkte]
(d) Zeige, dass µ2 ≤ λ.
[3 Punkte]
Die möglichen Eigenwerte von L̂z sind also nach oben und nach unten beschränkt. Mit den
Leiteroperatoren L̂± können wir immer neue Eigenzustände generieren, und zwar mit immer
größeren bzw kleineren Eigenwerten. Es müssen also irgendwann Eigenzustände |ft i und |fb i
erreicht werden mit L̂+ |ft i = 0 und L̂− |fb i = 0. (t und b stehen hier fuer ”top” und ”bottom”.)
Wir nehmen hier an, dass diese Zustände für gegebenes λ eindeutig gegeben sind. Genau wie
beim harmonischen Oszillator haben wir hier also eine ”Leiter” von Eigenzuständen, wobei
jeder Stufe ein um ~ verschiedener Eigenwert zugeordnet wird.
~ˆ 2 = L̂± L̂∓ + L̂2z ∓ ~L̂z .
(e) Zeige, dass L
[2 Punkte]
Wir bezeichnen für festes λ den größten Eigenwert von L̂z mit ~l, den kleinsten mit ~˜l. Also
L̂z |ft i = ~l|ft i und L̂z |fb i = ~˜l|fb i.
~ˆ 2 |ft/b i und schlussfolgere l(l + 1) = ˜l(˜l − 1).
(f) Berechne L
[3 Punkte]
(g) Argumentiere, dass deshalb ˜l = −l, und damit λ = ~2 l(l + 1).
[3 Punkte]
(h) Argumentiere, dass der Parameter m := µ/~ in ganzen Schritten von −l bis l laufen muss,
und dass deshalb l ganz- oder halbzahlig sein muss.
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Name:
Aufgabe 2
[5 Punkte]
Den Eigenvektor zu Eigenwerten λ = ~2 l(l + 1) und m := µ/~ bezeichnen wir nun als |flm i und
fassen zusammen:
~ˆ 2 |f m i = ~2 l(l + 1)|f m i
L
l
l
(1)
L̂z |flm i
(2)
=
~m|flm i
mit
1
3
l = 0, , 1, , . . .
2
2
m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l.
(3)
(4)
~ˆ 2 und L̂z .
Betrachte nun Messungen von L
(i) Stelle die möglichen Kombinationen von m und l grafisch dar. (Kartesische Koordinaten,
eine Achse für m und eine für l.)
[2 Punkte]
~ˆ 2 . Was sind die möglichen
(j) Wir wissen zunächst nichts über das Teilchen, und messen erst L
Messergebnisse?
Dann messen wir L̂z . Was sind die möglichen Messergebnisse?
[2 Punkte]
(k) Wieder wissen wir zunächst nichts, messen diesmal erst L̂z . Was sind die möglichen Messergebnisse?
~ˆ 2 . Was sind die möglichen Messergebnisse?
Dann messen wir L
[2 Punkte]
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Name:
Aufgabe 2
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Name:
Aufgabe 2
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Name:
Aufgabe 3
3. (T) Dreidimensionaler harmonischer Oszillator
Motivation: Nochmal zur Entartung von Energien, vergleiche Aufgabe 9.5.
Der Hamiltonoperator Ĥ : H → H für den dreidimensionaler harmonischer Oszillator sei
Ĥ =
p~ˆ2
1
+ mω 2~rˆ2 .
2m 2
(5)
(a) Auf welchem Hilbertraum H operiert Ĥ? Wie kann man ihn zerlegen?
[3 Punkte]
(b) Gib der obigen Kurzschreibweise für den Hamiltonoperator Sinn, schreibe also die unterschlagenen Tensorprodukte explizit aus.
[4 Punkte]
(c) Was sind die Eigenwerte dieses Systems? Gibt es entartete Eigenwerte? Wie stark sind die
Eigenwerte entartet?
[5 Punkte]
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Name:
Aufgabe 3
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Name:
Aufgabe 3
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Name:
Aufgabe 4
4. (T) Qualitative Analyse von Potentialen
Betrachte ein Teilchen der Masse m im endlich tiefen Potentialtopf:
(
−V0 für − a < x < a
V (x) =
0
sonst,
mit a > 0 und V0 > 0. Der Hamiltonoperator des Systems ist Ĥ =
p̂2
2m
+ V̂ .
(a) Wie verändert sich (wächst, sinkt, bleibt gleich) die Anzahl der gebundenen Zustände in
Abhängigkeit von a und V0 ? Gibt es eine Mindestanzahl? Gibt es eine Höchstanzahl?
[2 Punkte]
(b) Skizziere qualitativ das Spektrum des Systems. Wie hängt es von a und V0 ab?
[3 Punkte]
(c) Fertige eine analoge Skizze für den Fall(des unendlich tiefen Potentialtopfs an, wobei dessen
−V0 für − a < x < a
Potential gegeben sei durch V∞ (x) =
∞
sonst.
Wie verhalten sich die Eigenenergien im Vergleich zum endlich tiefen Topf (bei gleichem
a und V0 ); sind sie größer, kleiner oder genau gleich? Begründe die Aussage.
[4 Punkte]
(d) Wie sehen die Eigenfunktionen des endlich tiefen Topfes qualitativ aus? Skizziere repräsentative Eigenfunktionen: zwei des diskreten, zwei des kontinuierlichen Spektrums.
Beachte dabei:
Wo oszillieren sie (und welche schneller als andere), wo fallen sie exponentiell ab (und
welche schneller als andere), wieviele Knoten haben sie, wo sind die Umkehrpunkte der
Krümmung?
[8 Punkte]
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Name:
Aufgabe 4
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Name:
Aufgabe 4
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Name:
Aufgabe 5
5. (T) Harmonischer Oszillator
Betrachte den Hamiltonoperator
Ĥ = ↠â +
1
2
(6)
Hierbei erfüllen â und ↠die Relation
[â, ↠] = 1
(7)
Ferner seien die orthonormierten Eigenzustände {|ni, n = 0, 1, 2, . . .} von Ĥ bekannt:
1
Ĥ|ni = (n + )|ni
2
(8)
Verwende für die folgenden Teilaufgaben ausschließlich die obigen drei Gleichungen.
(a) Zeige, dass auch ↠|ni Eigenzustand von Ĥ ist und berechne den Eigenwert.
[2 Punkte]
(b) Zeige, dass auch â|ni Eigenzustand von Ĥ ist (oder verschwindet, was hier ignoriert werden
kann) und bestimme den Eigenwert.
[2 Punkte]
(c) Zeige, dass gilt: ↠|ni =
√
n + 1|n + 1i und â|ni =
√
n|n − 1i.
[2 Punkte]
Es seien definiert: x̂ :=
√1 (â†
2
+ â) und p̂ :=
√i
2
(↠− â).
(d) Berechne [x̂, p̂].
[1 Punkt]
(e) Berechne hn|x̂|ni und hn|p̂|ni.
[1 Punkt]
(f) Berechne hn|x̂2 |ni und hn|p̂2 |ni.
[4 Punkte]
(g) Verfiziere explizit, dass die Heisenbergsche Unschärferelation für alle |ni erfüllt ist. Für
welches n ist die Unschärfe minimal?
[3 Punkte]
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Name:
Aufgabe 5
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Name:
Aufgabe 5
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Name:
Aufgabe 6
6. (T) Störungstheorie
Betrachte den Hilbertraum H = C2 . Bezüglich der Basis {|1i, |2i} sei der Hamiltonian Ĥλ
gegegeben durch
a 0
D1 C ∗
Ĥλ =
+λ
(9)
0 b
C D2
(a) Zeigen Sie, dass für λ = 0 die Energien der Eigenfunktionen des Systems durch a und b
(0)
(0)
gegeben sind und deswegen die Notation a = E1 und b = E2 gerechtfertigt ist.
[3 Punkte]
(b) Bestimmen Sie die genauen Eigenewerte E± von Ĥλ .
[5 Punkte]
(c) Bestimmen Sie mithilfe der Störungstheorie die Näherung erster Ordnung in λ für die
Eigenwerte.
Sei nun im folgenden D1 = D2 = 0
(d) Bestimmen Sie mithilfe der Störungstheorie die Näherung zweiter Ordnung in λ für die
Eigenwerte.
√
Hinweis: Sie dürfen die Näherung 1 + bx2 = 1 + 2b x2 + O(x3 ) ohne Beweis verwenden.
(e) Finden Sie ein d~ = (d1 , d2) ∈ C2 welches die Gleichung
Ĥ(d1 |1i + d2 |2i) = E± (d1 |1i + d2 |2i)
(f) Entwickeln Sie
d~
~
|d|
(10)
inklusive Terme erster Ordnung in λ.
1
Hinweis: Sie dürfen die Näherung (a2 + b2 x2 )− 2 =
verwenden.
1
|a|
−
b|a| 2
x
2a4
+ O(x3 ) ohne Beweis
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Name:
Aufgabe 6
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Name:
Aufgabe 6