zeitdiskrete Systeme

zeitdiskrete Systeme
Einleitung
nach Abtastung und vor Rekonstruktion -> zeitdiskrete Signale
Elemente dazwischen (AD-Wandler, Prozessor, DA-Wandler) -> zeitdiskretes System
zeitdiskrete Systeme ordnen jedem Element der Eingangsfolge eindeutig, entsprechend eines
Algorithmus bzw. Systemoperators, genau ein Element der Ausgangfolge zu
x  kT   f x  kT 
a
A
e
A
zeitdiskrete Systeme werden durch einen Algorithmus bzw. Systemoperator charakterisiert
die Beschreibung der Systeme erfolgt analog zu den zeitdiskreten Signalen im Zeit-, Bild- und
Frequenzbereich
Systemdefinition und Systemeigenschaften
um Systeme zu beschreiben sind Systemeigenschaften zu beschreiben bzw. eine
Systemklassifizierung vorzunehmen
statische und dynamische Systeme
statisches System
keine Speicherelemente
xa  kTA  hängt zum Zeitpunkt kTA nur von xe  kTA  zum Zeitpunkt kTA ab
dynamisches System
besitzen Speicherelemente, die auf zurückliegende Signalwerte zurückgreifen können
lineare und nichtlineare Systeme
lineares System
Superpositionsprinzip, von mehreren Signalen hervorgerufene Systemantworten
überlagern sich
nichtlineares System
erfüllen das Superpositionsprinzip nicht
zeitinvariante und zeitvariante Systeme
zeitinvariantes System
keine Änderung des Systemoperators über die Zeit
zeitvariantes System
der Systemoperator f ändert sich über der Zeit
kausale und nichtkausale Systeme
kausales System
das Ausgangssignal hängt ausschließlich vom Eingangssignal zu ein und demselben
Zeitpunkt kTA ab
sind praktisch realisierbare Systeme
nichtkausales System
zeigen vor der Systemerregung eine Systemreaktion
stabile und instabile Systeme
stabiles System
reagieren auf ein beschränktes Eingangssignal mit einem beschränkten
Ausgangssignal
BIBO-stabil, Bounded-Input-Bounded-Output
instabiles System
reagiert auf ein beschränktes Eingangssignal mit einem unbeschränkten
Ausgangssignal
die dargestellte Klassifizierung zeigt die Vielschichtigkeit möglicher Systeme
weitere Behandlung von LTD-Systemen (linear, time-invariant, discrete), statisch als auch
dynamisch
Beschreibung zeitdiskreter Systeme im Zeitbereich
Einleitung
Beschreibung zeitdiskreter Systeme mittels Differenzengleichungen
Veranschaulichung mittels Blockdiagramm
Lösen von Differenzengleichungen im Zeitbereich über Rekursionsverfahren
Vorstellung von Reaktionen auf häufige Systemerregungen
Systembeschreibung mit Differenzengleichungen
Systeme (linear, kausal, zeitinvariant) lassen sich durch eine lineare Differenzengleichung mit
konstanten Koeffizienten beschreiben
an xa  k  n  TA   an 1 xa  k   n  1  TA   ...  a0 xa  kTA  
bm xe  k  m  TA   bm 1 xe  k   m  1  TA   ...  b0 xe  kTA 

a x  k  n  TA    j 0 b j xe  k  j 
i 0 i a 
ai , b j als konstante Koeffizienten
n
m
Beispiel zu einem technischen System
C1 wird durch die Spannung ue aufgeladen
Schalter in Stellung 2
C1 lädt C2
UC2 bildet ua
Schalter in Stellung 1
C1 lädt
Vorgang wiederholt sich
Ladungen addieren sich
Die zugehörige Differenzengleichung lautet:
ua  kTA   ua  k  1 TA  
C1
ue  k  1 TA 
C2 
Ersetzung: ua durch xa, ue durch xe, C1/C2 durch b1
xa  kTA   xa  k  1 TA   b1 xe  k  1 TA 
b1  0
diese Differenzengleichung beschreibt einen diskreten Integrator
integrierend: xa  kTA  ist abhängig von der Ausgangs- und Eingangsgröße zum
zurückliegenden Zeitpunkt, die sich addieren (Invertierung -> entgegengesetzte Vorzeichen)
stetige Addition, diskrete Integration
Differenzengleichung -> allgemeine Systembeschreibung im Originalbereich
Ausgangs- und Eingangssignale zu bestimmten Zeitpunkten  k  n  TA mit konstanten
Koeffizienten verknüpft
kein konkretes Signal für das Eingangssignal
Eingangssignal wird erst bei der Lösung festgesetzt
Lösen von Differenzengleichungen
1. Lösung im Zeitbereich
Rekursionsverfahren, Ergebnis : Elemente der Ausgangsfolge
x  kT   x  0 ; x T  ; x  2T ...
a
A
a
a
A
a
A
Ansatzverfahren, Ergebnis : Bildungsvorschrift der Ausgangsfolge
x  kT  : x  kT   f  kT 
a
A
a
A
2. Lösung im Bildbereich
Partialdivision
A
x  kT   x  0 ; x T  ; x  2T ...
a
A
a
a
A
a
A
Korrespondenzen der z-Transformation
x  kT  : x  kT   f  kT 
a
A
a
A
A
geschlossene und nicht geschlossene Lösungen möglich
Vorteil geschlossener Lösungen
Aussagen zum Gesamtverhalten möglich
Vorteil nicht geschlossener Lösungen
bei einfachen Systemen recht schnell zu finden
Rekursionsverfahren
1. Auflösen der Differenzengleichung nach xa  kTA 
2. Einsetzen eines konkreten Signals (z.B. Einheitsimpuls, Einheitssprungfolge)
für xe  kTA  und das zeitlich verschobene Signal xe  k  1 TA  , xe  k  2  TA  ,...
3. Berechnung von xa  kTA  beginnend beim Zeitpunkt kTA  0 und unter
Berücksichtigung, dass es sich um ein kausales System handelt xa  TA   xa  2TA  ...  0
4. Grafische Darstellung der ersten Elemente der Folge xa  kTA  bis
Tendenz erkennbar.
Darstellung von Differenzengleichungen in Blockdiagrammen
2 Darstellungsformen für lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten
1. Darstellung im Blockdiagramm
2. Darstellung im Signalflussgraphen
Darstellung im Blockdiagramm
Addierer oder Summierer
Verzweigungsstelle
Koeffizientenmultiplizierer
Speichern um einen Takt (2 Formen)
Schritte zum Blockdiagramm
Auflösen der Differenzengleichung nach xa  kTA 
Aufstellung mit xa  kTA  beginnen, Start von Hinten
Rückführung über so viele Speicherelemente, wie durch die Differenzengleichung
vorgegeben sind
die einzelnen Elemente mit Koeffizienten multiplizieren
und mit gewichteten Eingangssignalen, die Speicherungen unterworfen sein können
verknüpfen
rekursive und nichtrekursive Systeme
bei zeitdiskreten Systemen treten grundsätzlich zwei Systemstrukturen auf
1. rekursive Systeme
2. nichtrekursive Systeme
rekursive Systeme
das Ausgangssignal xa  kTA  hängt von den Werten des Eingangssignals
xe  kTA  , xe  k  1 TA  ,... und auch von zurückliegenden Ausgangssignalen
xa  k  1 TA  , xa  k  2  TA  ,...
erkennbar an den Rückführungen in der Systemstruktur
nicht rekursive Systeme
weisen keine Rückführungen auf
das Ausgangssignal xa  kTA  ist nur von den Werten des Eingangssignals
xe  kTA  , xe  k  1 TA  ,... abhängig
Impuls- und Sprungantwort
Systemreaktionen auf bestimmte Systemerregungen sind von besonderem Interesse und
werden häufig verwendet
hauptsächlich sind dies die Systemreaktionen auf den Einheitsimpuls und die
Einheitssprungfolge
Impulsantwort g  kTA 
Die Impulsantwort g  kTA  ist die Systemreaktion auf den Einheitsimpuls   kTA 
f   kTA   g  kTA 
Sprungantwort h  kTA 
Die Sprungantwort h  kTA  ist die Systemreaktion auf die Einheitssprungfolge   kTA 
f   kTA   h  kTA 
Bei Kenntnis der Impulsantwort eines Systems ist es möglich, die Reaktion eines Systems auf
jedes beliebige Eingangssignal zu ermitteln.
(Herleitung der diskreten Faltung für zeitdiskrete Systeme)
Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangssignal
x  kT   f x  kT 
a
A
e
A
Beschreibung eines Abtastsignals als Summe von Einheitsimpulsen, die durch die Werte der
Abtastfolge gewichtet sind
x  kT   
A

n 


x  nTA    k  n  TA 
fasst man beide zusammen
x  kT   f 
a
A

n 


xe  nTA    k  n  TA 
bzw.
x  kT    x  nT  f   k  n  T 

x  nT   g  k  n  T 

a
n 
A
e
A
A

n 
e
A
A
entspricht der Gleichung der diskreten Faltung (Skript zeitdiskrete Signale und Systeme 2.3.4
Diskrete Faltung S. 16)
Angewendet auf die Signal-System-Verknüpfung, ergibt sich die Systemreaktion auf ein
beliebiges Eingangssignal durch diskrete Faltung der Impulsantwort mit diesem
Eingangssignal.
xa  kTA 
  xe  kTA    g  kTA    g  kTA    xe  kTA 




  n   xe  nTA  g  k  n  TA    n   g  kTA  xe  k  n  TA 


FIR- und IIR-Systeme
FIR-Systeme
weisen eine Impulsantwort mit endlicher Dauer auf
FIR – Finite Impuls Response
sind durch nicht rekursive Systeme realisierbar
IIR-Systeme
weisen eine Impulsantwort mit unendlicher Dauer auf
IIR – Infinite Impulse Response
sind durch rekursive Systeme realisierbar (Rückführungen des Ausgangsgröße)
theoretisch über ein System mit unendlich vielen Speicherelementen realisierbar
Beschreibung zeitdiskreter Systeme im Bildbereich
Einleitung
Übertragungsfunktion
im Zeitbereich gibt es eine allgemeine Systembeschreibung, die aus der z-Transformierten der
Differenzengleichung gewonnen werden kann

Z b x

 k  1 T   b x  kT 
Z an xa  k  n  TA   ...  a1 xa  k  1 TA   a0 xa  kTA  
m e
 k  m  TA   ...  b1 xe
A
0 e
die Transformation erfolgt über die bekannten Rechenregeln
man erhält folgende Gleichung
an X a  z  z  n  ...  a1 X a  z  z 1  a0 X a  z  
bm X e  z  z  m  ...  b1 X e  z  z 1  b0 X e  z 
A
Umstellen der Gleichungen nach X a  z  und X e  z  , dann Bildung von
Xa z
der
Xe z
Übertragungsfunktion des Systems.
X a  z  bm z  m  ...  b1 z 1  b0
G  z 

X e  z  an z  n  ...  a1 z 1  a0
bei kausalen Systemen gilt m  n
weitere wichtige Darstellung in Linearfaktorzerlegung (PN-Darstellung)
G  z 
Xa z
 z  z N 1  z  z N 2  ...
C
Xe  z
 z  zP1  z  zP 2  ...
die PN-Darstellung wird genutzt, um im PN-Plan die Pol- und Nullstellen des Systems
abzutragen, eingetragen wird in die z-Ebene
hiermit können Aussagen zur Stabilität des Systems getroffen werden
Möglichkeit 2
aus der Kenntnis der Impulsantwort kann die Übertragungsfunktion gewonnen werden
G  z   Z g  kTA 
da die einseitige z-Transformation gilt, kann die Übertragungsfunktion aus der zTransformierten der Impulsantwort gewonnen werden
G  z   Z g  kTA   n0 g  nTA  z  n

Zusammenhang zwischen Übertragungsfunktion und
Systemreaktion
Beschreibung im Bildbereich liefert Aussagen zu Systemeigenschaften und Systemreaktionen
sind als geschlossene Lösungen zu finden.
Zusammenhang
Xe  z G  z  Xa  z
Ursache * Systembeschreibung = Wirkung
Stabilität
Stabilität ist eine von System bestimmte Eigenschaft
aus der Systembeschreibung – der Übertragungsgleichung – kann man Rückschlüsse auf die
Stabilität ziehen
Beispiel
G z 
1
1  az 1
stabil oder instabil ?
unter welchen Bedingungen ist es stabil?
stabil, wenn bei Impulsantwort eine begrenzte Systemreaktion ist
Die Systemantwort  g  kTA   a k   kTA  ist durch eine multiplikative Verknüpfung von
Einheitsimpulsfolge mit Exponentialfolge beschrieben. für unterschiedliche a ergeben sich
folgende Systemantworten
Die Stabilität hängt vom Koeffizienten a ab. Das System ist stabil für a  1 . Bei Betrachtung
der Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion erkennt man bei zP  a eine Polstelle.
Die Lage der Polstelle ist bestimmend für die Stabilität eines Systems.
Die Stabilitätsbedingung kann folgend formuliert werden:
Ein lineares, zeitinvariantes und kausales System ist stabil, wenn alle Polstellen der
Übertragungsfunktion G  z  im Einheitskreis der komplexen z-Ebene liegen. Liegt nur eine
Polstelle außerhalb, dann ist das System instabil. Die Nullstellen der Übertragungsfunktion
haben keinen Einfluss auf die Stabilität.
Stabilität bei FIR und IIR-Systemen
FIR-Systeme sind stets stabil, da aufgrund der Struktur dieser Systeme nur endliche
Impulsantworten entstehen.
Aus der Übertragungsfunktion eines FIR-Systems ist ablesbar, dass ein m-facher Pol im
Ursprung der z-Ebene auftritt, kein Pol in der Nähe des Einheitskreises, das System ist
strukturstabil.
Aufgrund der Rückführungen des Ausgangssignals bei IIR-Systemen, kann Stabilität oder
Instabilität auftreten, es ist eine Prüfung der Polstellen notwendig.
Das System ist Stabil, wenn alle Polstellen im Einheitskreis der komplexen z-Ebene liegen.
Zusammenfassendes Beispiel für die Verknüpfung von Zeit- und
Bildbereich
Beschreibung zeitdiskreter Systeme im Frequenzbereich
Einleitung
Frequenzgang
zeitdiskrete Systeme mit linearem Phasengang
Strukturen und Eigenschaften digitaler Filter
Einleitung
Entwurf von IIR-Filtern mittels bilinearer Transformation
Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode