4) Arten von Reglern

REGLER
1
Arten von Reglern
Eine Kunst des Regeltechnikers ist es, zu einer bekannten Regelstrecke den passenden
Regler zu dimensionieren. Im Wesentlichen beschränkt man sich dabei auf 3 Grundtypen
von Reglern, die in passender Kombination zusammenwirken.
Wie solche Regler schaltungstechnisch realisiert werden können, würde hier zu weit führen.
Regler sind für uns hier einfach Übertragungsglieder mit bestimmten Eigenschaften, die mit
den schon bisher verwendeten Rechenmethoden beschrieben werden können.
e(t)
y(t)
1) P – Regler
Die Übertragungsgleichung eines Proportionalreglers wird durch die einfache Beziehung :
y (t )  kpr * e(t )
beschrieben. Die Konstante
=>
Übertragungsfunktion :
kpr heißt
Und so sieht die Sprungantwort
FR( s ) 
y( s)
 kpr
e( s)
Übertragungsbeiwert der Proportionalreglers.
( dynamische Kennlinie ) des
Proportionalreglers aus :
y(t)
e(t)
y(t)
e(t)
t
In der Praxis ist der Wert der Stellgröße y nur in einem begrenzten Bereich proportional
zur Regeldifferenz e .
y
Statische Kennlinie eines P – Reglers :
YH ... linearer Stellbereich
e=w-x
eP ... Proportionalbereich
REGLER
2
Aus der statischen Kennlinie des P – Reglers kann der Proportionalitätsfaktor
abgelesen werden.
kpR 
k pR
Yh
ep
Der Wert von Yh ist meistens konstruktionsbedingt festgelegt.
Oft wird in der Praxis die Größe des Proportionalbereiches in %
vom gesamten Messbereich angegeben. ( siehe Bild unten )
ZB Boilertemperatur
Sollwert ...w = 50
40 von 100 Skalenteilen also XP = 40%
2) I –Regler
( Integrierender Regler )
e(t)
y(t)
Die Übertragungsgleichung eines Integrierenden Reglers wird durch die Beziehung :

y (t )  kIR *  e(t )dt
=>
Übertragungsfunktion :
0
beschrieben. Die Konstante
kIR heißt
FR( s ) 
y ( s ) kIr

e( s)
s
Integrationsbeiwertbeiwert des I – Reglers .
Sie ist ein Mass für die Änderungsgeschwindigkeit der Stellgrösse, wenn am
Reglereingang der Einheitssprung e(t) = (t) anliegt.
REGLER
3
Und so sieht die Sprungantwort ( dynamische Kennlinie ) des Integrierenden Reglers aus :
(Vergl. auch I – Strecke §3 )
Die oben geschriebene Integralgleichung kann man Laplacetransformieren und erhält :
y ( s )  kIr
e( s )
s
legt man am Eingang eine Sprungfunktion an e(t) = (t) , so erhält man für y(s) :
1 1
y ( s )  kIr *
s s
=>
mit der Transformationstabelle aus §2 erhält man für die Rücktrafo in den Zeitbereich :
y (t )  kIr * t
Grafische Darstellung ( vergl. auch I – Strecke ) für kIr = 1, 2, 3:
7
6
5
y t  k Ir
4
3
2
e(t) ...Sprungfkt.
1
0
0.5
1
t
1.5
2
Mit anderen Worten :
Solange am Eingang des I - Reglers eine Regeldifferenz e > 0 anliegt, wird die
Stellgröße y(t) erhöht. Das geht solange, bis die Regelgröße x den Sollwert w endlich
erreicht hat. Dann nämlich wird die Regeldifferenz e = 0 und die Ausgangsspannung y(t)
des I – Reglers ( also die Stellgröße ) behält ihren zuletzt angenommenen Wert bei.
I - Regler machen einen Regelkreis zwar langsamer, sie haben aber den Vorteil, dass sie
Regeldifferenzen solange ausgleichen, bis die Regelgröße den Sollwert erreicht hat. ( e = 0 )
REGLER
3) D – Regler (differenzierender Regler )
4
e(t)
y(t)
Tritt in einem Regelkreis der von Hand geregelt wird, eine grosse Störung auf, so wird der
Bediener die Auswirkung dieser Störung abzufangen versuchen, indem er die
Stellgröße anfangs besonders stark verstellt, um den Sollwert möglichst
schnell wieder zu erreichen.
Genau das macht auch der D – Regler.
Das Ausgangssignal y(t) vom D – Regler ist proportional zur Änderungsgeschwindigkeit
des Eingangssignales e(t) ( also der Regelabweichung ).
Wenn sich die Regelabweichung e(t) nicht ändert, so ist das Ausgangssignal y(t) = 0.
D – Regler alleine sind daher als Regler unbrauchbar. Sie kommen immer nur in
Verbindung mit I - und P – Reglern vor.
Die Übertragungsgleichung eines differenzierenden Reglers wird durch die Beziehung :
y (t )  kDr *
de(t )
dt
beschrieben. Die Konstante
=>
Übertragungsfunktion :
kDr heißt
FR( s) 
y ( s)
 kDr * s
e( s )
Differenzierbeiwertbeiwert des D - Reglers.
Reaktion des D – Reglers :
auf die Eingangssprungfunktion (t)
bzw.
auf eine Rampenfunktion am Eingang
e(t)
e(t)
5
1
y(t)
y(t)
5
1
1
REGLER
5
In der Praxis kommen die gerade besprochenen Regler oft in Kombinationen vor
4) PI – Regler
e(t)
y(t)
Die Übertragungsfunktion vom PI – Regler lautet :

y (t )  kpr * e(t )  kIr *  e(t )dt
0
es ist üblich den Faktor kpr herauszuheben :

y (t )  kpr *(e(t ) 

kIr
1
*  e(t )dt )  kpr *(e(t )  *  e(t )dt )
kpr 0
Tn 0
Dieser Faktor wird mit 1 / Tn
( Tn ... Nachstellzeit) bezeichnet
y(s)  kpr * (e( s)  Tn1 * 1s * e(s))
=>
Übertragungsfunktion :
FR ( s ) 
y( s)
1
 k pr (1 
)
x( s)
s * Tn
Und so sieht die Sprungantwort des PI – Reglers aus :
y(t)
y(t)= kIr * t + kpr
e(t)
kpr
Tn
REGLER
6
5) PID – Regler
e(t)
y(t)
Die Übertragungsfunktion vom PID - Regler lautet :


kdr de(t ) kIr
de(t ) 1
y (t )  kpr *(e(t ) 
*

*  e(t )dt )  kpr *(e(t )  Tv *
 *  e(t )dt )
kpr dt
kpr 0
dt
Tn 0
Dieser Faktor wird Tv
( Tv ... Vorhaltezeit) bezeichnet
Y ( s)  kpr * (e( s )  Tv * s * e( s) 
=>
Übertragungsfunktion :
1 1
* * e( s))
Tn s
FR( s) 
y ( s)
1
 kpr (1  s * Tv 
)
e( s )
s * Tn
Und so sieht die Sprungantwort des PID – Reglers aus :
Eigentlich ein unendlich hoher Impuls
s(t)
e(t)
kpr
Tn
Wie man oben sehen kann, eignet sich die Sprungfunktion am Eingang des
PID – Reglers schlecht, um ihn zu testen.
Besser ist es am Eingang eine Rampenfunktion anzulegen.
Nur so kann der D - Anteil des Reglers wirklich sichtbar gemacht werden.
REGLER
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PID – Regler mit Rampenfunktion am Eingang :

de(t ) 1
y (t )  kpr *(e(t )  Tv *
 *  e(t )dt )
dt
Tn 0
mit Rampenfunktion am Eingang also:
1
y s k pr
2
s
bzw .
e ( t) t
1
T v s
2
s
es
1
=>
2
s
1  1 1
T n s s2
Die Rücktransformation in den Zeitbereich mit MATHCAD ergibt :
1 k
y (t )  k pr * t  k pr * TV  * pr * t 2
2 TN
mit TV = 5 , Tn = 1 , kpr = 1 erhält man die folgende Antwort auf die Rampe am Eingang :
.
25
22.5
20
17.5
15
y( t )
e( t )
y(t)
12.5
10
7.5
e(t)
5
Dieser Wert ist: kpr * TV
2.5
0
0
0.5
1
1.5
Aber nur wenn e(t) den Anstieg 1 hat wie in diesem Beispiel sonst :
!! kpr * TV * de/dt !!
2
2.5
t
3
3.5
4
4.5
5
REGLER
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RB1) Um den D - Anteil eines Reglers zu messen, wurde am Reglereingang eine
Rampenspannung angelegt und das Ausgangssignal gemessen ( siehe unten ).
Berechne die Konstante kDR dieses D – Reglers.
U(v)
Ausgangssignal y
4
Eingangssignal
3
e
2
1
1
RB2)
2
3
4
t(s)
An einen PID Regler mit den Parametern kpr = 3, kir = 2 s-1 und kdr = 3 s
wurde als Eingangssignal eine Einheitssprungfunktion angelegt.
Zeichne massstabgetreu, wie das Ausgangsignal des Reglers aussehen wird.
Welchen Wert haben die Kenngrössen Tv und Tn
U(v)
4
3
2
1
1
2
3
4
t(s)
RB3) Derselbe PID – Regler wie in RB2) bekommt am Eingang eine Rampenspannung
Wie sieht jetzt das Ausgangssignal UY(t) aus :
Uy (v)
10
5
4
3
2
1
1
2
3
4
t(s)