Kapitel 05

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Prof. Dr.-Ing. W. Scheideler
5
Vektoralgebra
5.1 Grundsätzliche Betrachtungen
Aus der Physik sind Skalare und Vektoren von Bedeutung. Skalare sind Größen, die durch
ihre Maßzahl vollständig bestimmt sind.
Beispiel:
Temperatur, hydrostatischer Druck, Energie
Vektorielle Größen sind jedoch erst durch ihre Maßzahl und die Richtungsangabe vollständig definiert!
Beispiel:
Geschwindigkeit, Kraft, Moment, Impuls
Darstellung von Vektoren in der Ebene:
b
Geometrische Addition
c
a
c=a +b
Län ge ≡ Bet r a g = c
b
Die Folge der geometrischen Addierbarkeit von Vektoren ist die Zerlegbarkeit in „Komponenten“, die ja auch nur eine Vektoraddition darstellt. Wenn ein Vektor aus der Addition von
anderen Vektoren gewonnen werden kann, so können wir Vektoren in der x-y-Ebene z.B. aus
der Addition von zwei Vektoren auffassen, von denen der eine in die x-Richtung und der andere in die y-Richtung weist:
y
a
ay
a = ax + ay
ax
x
Die Vektoren e x , e y sind Einheitsvektoren ( d.h. Vektoren der Länge „1“) in Richtung der
jeweiligen Koordinatenachsen. Wir vereinbaren nun noch, daß die Multiplikation dieser Einheitsvektoren mit einem skalaren Faktor zu einem Vektor führt, dessen Länge gleich dem
Wert dieses Faktors entspricht:
a
x
= ax e x ;
a
y
= ay ey
also der Vektor ax die Länge ax und der Vektor ay die Länge ay besitzt, so kann man den
Vektor a als Addition darstellen:
a = a x ex + a y ey
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Falls die skalaren Faktoren negativ sind, führen sie vereinbarungsgemäß zu einer Richtungsumkehr.
Zur genauen Unterscheidung sei hier angemerkt, daß wir die Größen mit Unterstrich als
Vektoren und die Größen ohne Unterstrich als Skalare auffassen wollen. Hier sollte jedem
auch klar werden, daß als Basis nicht notwendigerweise Einheitsvektoren gewählt werden
müssen. Auch müssen diese „Basisvektoren“ nicht senkrecht aufeinander stehen! Man wählt
diese „orthogonalen“ Einheitsvektoren allerdings deshalb sehr gern, da die Rechenregeln mit
ihnen besonders einfach zu formulieren sind. Im Rahmen dieser Lehrveranstaltung werden
wir uns im wesentlichen mit Basisvektoren begnügen, die Einheitsvektoren(Länge „1“) sind
und paarweise senkrecht aufeinander stehen, wenn wir uns die Vektoren nicht nur in der x-yEbene sondern im räumlichen Fall vorstellen. Wenn wir einen zweiten Vektor b auf die gleiche Art mit den Basisvektoren definieren
b = b x ex + b y ey
,
so können wir die Addition zweier Vektoren (d.h. die geometrische Addition) auf einfache
Art rein rechnerisch durchführen. Wenn wir folgendes bedenken,
(
a x ex + b x ex = a x + b x
)e
x
(
a y e y + by e y = a y + by
;
)e
y
so folgt daraus sofort:
a+b=
(a
x
+ bx
)e
x
+
(a
+ by
y
)e
y
Nach Einigung auf ein Basisvektorsystem z.B. e x , e y , e z , das für alle Zeit und jeden
Vektor benutzt wird und sich selber nicht bewegt, kann man für viele praktische Berechnungen sich allein mit der Betrachtung der Komponenten des Vektors begnügen:
a =a x e x + a y e y + a z e z
⇒
Komponenten des Vektors a
Die ausschließliche Notation der Komponenten führt zur lässigen Schreibweise (aber üblich,
da sehr nützlich):
 a
 x
a =  ay

 a
 z






oder
a
 x
a =  ay

 a z
Addition:
 ax

a + b =  ay

 a z
  bx
 
 +  by
 
  b z
  ax + bx 

 
 =  ay + by 

 
  a z + b z 





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Man sollte sich jedoch immer im Klaren sein, daß die Basisvektoren zum Vektor dazugehören. Die häufige Verwendung dieser „Kurznotation“ läßt dies oft in Vergessenheit geraten. Es
soll an dieser Stelle ganz klar gestellt werden, daß wir unter Vektoren nur solche Größen verstehen wollen, die aus Komponenten und Basisvektoren bestehen.
5.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Aus der Physik ist die Eigenschaft der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar deutlich. Als Beispiel sei hier der Satz von Newton angeführt. Die Aussage „Kraft = Masse x
Beschleunigung“ verknüpft die beiden Vektoren „Kraft“ und „Beschleunigung“ über die
Multiplikation mit der skalaren Größe „Masse“. Dieser physikalische Satz besagt, daß
„Kraft“ und „Beschleunigung“ in die gleiche Richtung weisen und nur der „Wert“ bzw. der
„Betrag“ der „Kraft“ sich um den Faktor „Masse“ unterscheidet. Diese Forderung stellen
wir auch an die mathematische Definition dieser Multiplikation.
Die Multiplikation des Vektors a mit dem Skalar α soll einen Vektor b ergeben, dessen
„Länge“ α-mal so lang ist wie die Länge von a :
b =α ⋅a
Ergebnis:
b =α ⋅ a
Ausschließlich Längenänderung, die Richtung bleibt erhalten!
(α < 0
⇒
Richtungsumkehr )
Wir haben dies schon bei der Darstellung eines Vektors mittels der Basisvektoren benutzt.
Jetzt wollen wir dies auf beliebige Vektoren verallgemeinern. In der Darstellung mit Basisvektoren folgt:
y
a x = ax ⋅ ex
αa
x
= α ax ⋅ ex
a y = ay ⋅ e y
ay e y
a
α a y = α ay ⋅ ey
ax e x
e x , e y sind Vektoren der Länge “ 1 “ in Richtung
der jeweiligen Koordinatenachsen!
Also:
b = α ⋅ a = α (a x + a y ) = (α a x e x + α a y e y )
Hieraus folgt natürlich
b =α ⋅ a ,
was eingangs von der skalaren Multiplikation gefordert wurde.
x
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Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar in „lässiger Notation“:
 λ a 
x


λ a =  λ ay 


 λ a z 
Beispiel:
1
a=  ;
 2
λ c= λ
3
b=  ;
1 
(a + b) = λ
λ = 1, 5 ⇒
1  3  4 
c= a+ b=   +   =  
 2  1   3 
 4   6   1, 5   4 , 5 
a + λ b= λ   = 

 + 
 = 
 3   4 , 5  3   1, 5 
Beispiel aus der Physik:
F= m⋅a
5.3
F = F1 + F2 + ............. Fn
Betrag oder Länge eines Vektors
y
a
a
≡ Länge eines Vektors
ay
a =
ax
Beispiel:
a x2 + a y2
x
Gegeben seien die Eckenkoordinaten eines dreieckigen Bleches.
P1 = (1, 1)
;
P2 = ( 2, 4 ) ;
P3 = ( 6, 2 )
y
P2
P3
P1
x
Berechnen Sie die Ortsvektoren P1 ; P2 ; P3 , die Vektoren P1 P2 ; P2 P3 ; P3 P sowie die Ab1
stände der Punkte P1 ; P2 ; P3 zueinander!
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Die Ortsvektoren:
 1
;
P1 =  
 1
 2
P2 =  
 4
 1
P1 P2 =   oder Formel:
3 
P2 + P2 P3 = P3
⇒
P3 + P3 P1 = P1
⇒
=
 6
P3 =  
 2
;
P1 + P1 P2 = P2
⇒
P1 P2 = P2 − P1
4 
P2 P3 = P3 − P2 = 

− 2 
−5 
P3 P1 = P1 − P3 = 

 −1 
P1 P2 =
12 + 3 2
10
;
P2 P3 =
P3 P1 =
( − 5 ) 2 + ( −1) 2
=
26
4 2 + ( −2 )
2
=
20 = 2
5
5.4 Skalarprodukt zweier Vektoren
In der Physik treten Gleichungen auf, in denen Vektoren auftreten. Neben z.B. dem Satz vom
Newton, in dem die zwei Vektoren Kraft und Beschleunigung durch einen Skalar miteinander
verknüpft werden, gibt es auch noch andere Verknüpfungen. Als Beispiel für eine weitere,
völlig andere Art der Verknüpfung sei die Formel „Arbeit“ = „Kraft“ x „Weg“ genannt.
Hierin werden die Vektoren „Kraft“ und „Weg“ miteinander multipliziert. Als Ergebnis erhalten wir die „Arbeit“, also eine skalare Größe! Diese Gleichung unterscheidet sich somit
fundamental in der Art der Multiplikation von derjenigen, die z.B. im Satz von Newton notwendig war. Offensichtlich gibt es mehrere Arten der Multiplikation in der Vektorrechnung.
Die Frage danach, wie die Multiplikation definiert werden muß, wenn wir die Formel
„Arbeit“ = „Kraft“ x „Weg“ mittels der Vektorrechnung physikalisch korrekt ausführen
wollen, soll uns eben diese Formel selbst erklären. Nehmen wir an, daß wir eine „Kiste“ eine
schiefe Ebene hinauf ziehen wollen. Dies soll mit einer Kraft geschehen, die nicht in Richtung des Weges weist:
Wir zerlegen die Kraft in die Komponente
in „Wegrichtung“ und senkrecht dazu. Es
ist klar, daß nur die Komponente in Wegrichtung zur Arbeit beiträgt:
A=
y
s
β
F ⋅ c o s (β − α )
⋅s
1442443
Kraft in Wegrichtung
(Skalares Ergebnis aus 2 Vektoren! )
A = Arbeit von F entlang des Weges s !
F
α
α
Die Vektoren für die Kraft F und den Weg s sehen folgendermaßen aus:
x
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 F cos α 
F = 
;
 F sin α 
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 s ⋅cos β 
s = 

 s⋅sin β 
Mit dem Additionstheorem für die Kosinusfunktion folgt weiter:
A = F s (cos α cos β + sin α sin β )
(*)
=
F cosα ⋅ s cos β
123 123
sx
Fx
+
F sin α ⋅ s sin β
123 123
sy
Fy
A = Fx ⋅ s x + Fy ⋅ s y
Verfolgen wir nun die Frage, wie ein Produkt zweier Vektoren definiert werden muß, damit
es sich dafür eignet, dieses physikalische Problem der Berechnung der Arbeit zu lösen. Zunächst wollen wir ein bisher noch nicht verwendetes Zeichen verwenden, um diese Multiplikation zu kennzeichnen:
A = F ⊗ s
Zur Herleitung wollen wir uns darauf beschränken, Vektoren in der x-y-Ebene zu betrachten,
damit der Überblick nicht verloren geht. Gehen wir zur „exakten“ Schreibweise von Vektoren
zurück und formulieren ganz allgemein F und s :
F = Fx e x + Fy e y ;
s = sx e x + s y e y
Nun führen wir die Multiplikation dieser beiden Vektoren durch. Wir wollen dabei unterstellen, daß die Rechenregeln für das Ausmultiplizieren von Klammern weiterhin Gültigkeit besitzen:
F ⊗ s
= ( Fx e x + Fy e y ) ⊗ (s x e x + s y e y ) =
= Fx s x e x ⊗ e x
+
Fy s x e y ⊗ e x
Fx s y e x ⊗ e y
+
Fy s y e y ⊗ e y
+
Wenn dieses Ergebnis die Arbeit ergeben soll, dann müssen wir diese Formel mit unserem
vorherigen Ergebnis (*) vergleichen:
(*)
A = Fx ⋅ s x + Fy ⋅ s y
Diese beiden Ergebnisse können nur dann identisch sein, wenn folgende Bedingungen gelten:
e x ⊗ e x = 1;
e y ⊗ex =0
e x ⊗ e y =0;
e y ⊗ e y =1
Diese Ergebnisse lassen sich sehr kurz zusammenfassen:
⇒
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 0 für i ≠ j
δi j = ei ⊗ e j = 
 1 für i = j
(δ:
„Kroneker-Delta“)
Einfach ausgedrückt:
Werden zwei Basisvektoren mit gleichem Index multipliziert (das bedeutet, daß ein Basisvektor mit sich selbst multipliziert wird!), ist das Ergebnis die Eins, wenn die beiden Indizes
nicht gleich sind, ist das Ergebnis die Null !
Zur leichteren Merkbarkeit hat es sich eingebürgert, diese Art der Vektormultiplikation als
„skalares Vektorprodukt“ zu bezeichnen und das normale Multiplikationszeichen zu verwenden, welches wir schon von der gewöhnlichen Multiplikation her kennen:
A = F ⊗ s = F ⋅ s
= Fx ⋅ s x + Fy ⋅ s y
Mit dieser Definition können wir nun die Vektormultiplikation auf den allgemeinen Fall erweitern, ohne das wir hier den exakten Beweis antreten wollen:
Skalares Vektorprodukt:
 a x  bx 
   
a ⋅ b =  a y  ⋅ b y  = a x ⋅ b x + a y ⋅ b y + a z ⋅ bz
 a z  bz 
Da der physikalische „Inhalt“ eines Vektors nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhängen darf, können wir uns ohne Verlust an Allgemeinheit vorstellen, daß wir zur Beschreibung zweier Vektoren ein Koordinatensystem verwenden, in dem die Vektoren in der x-yEbene liegen. Der Winkel α liege zwischen dem Vektor a bzw. der Winkel β zwischen dem
Vektor b und der x-Achse. In diesem Fall können wir die beiden Vektoren folgendermaßen
schreiben:
 cos β 
 co s α 
a = a 
; b = b 


 si n β 
 si n α 
Führen wir nun das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren aus:
 a x   bx 
a ⋅ b =   ⋅   = a x ⋅ bx + a y ⋅ b y
 a y   by 
 cos α
= a 
 si n α
 cos β 

s α c o s β + si n α si n β )
 ⋅ b  si n β  = a ⋅ b ⋅ ( c1o44444
2444443



cos
a ⋅ b= a ⋅ b ⋅ co s (α − β
)
(α
−β
)
⇒
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An dieser Form können wir erkennen, daß das Skalarprodukt verschwindet, wenn der Winkel
zwischen den beiden Vektoren (α - β) 90° beträgt! Mithilfe des Skalarproduktes können wir
daher sehr leicht überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Geometrische Darstellung:
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ c o s (α − β )
a
α
γ
γ =α −β ≡
b
Winkel zwischen
a ∧b !
β
a ⋅ b = b ⋅ a ⋅ cos γ
{
14243
W eg
Kra f t in
"W e g r i c h t u n g "
Nun einige Beispiele zur Anwendung der Vektorrechnung:
1) Berechnen Sie die Arbeit von F entlang des Weges s !
y
s
 cos α 
s= s

 si n α 
F
β
 cos β 
F = F 

 si n β 
α
x
α = 60 °
1

2
s= s
 1
 2 3
A r bei t = s ⋅ F = s ⋅ F ⋅
( 12 ⋅
= s ⋅ F ⋅ c o s 30 °
β = 30 °




1

2 3
F= F
 1

2 

1
2
3 + 12
)
3 ⋅ 12 = s ⋅ F ⋅ 12
3
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2) Berechnen Sie die Stabkräfte und Auflagerreaktionen des skizzierten Systems mittels der Vektorrechnung!
y
geg.: a , b , F
B
II
2
3
b
 F1 


F =  − F2 
 0 


III
I
1
x
A
a
F
noten i:
s2
Stabkräfte als
Zugstäbe angesetzt!
s1
F
Wenn man die Vektoren von Kräften aufstellen möchte, deren Richtung vorab bekannt ist,
und nur der „Wert“ gesucht ist, wie das z.B. bei Stabkräften der Fall ist, so geht man sinnvoll
so vor, daß man sich zunächst einen „Richtungsvektor“ beliebiger Länge aufstellt, der in die
„positiv“ angenommene Richtung weist. Wenn man diesen Vektor durch seinen Betrag „teilt“
(Multiplikation des Richtungsvektors mit einen Skalar), erhält man den Einheitsvektor in
Richtung der Kraft. Die Stabkraft erhält man dann durch die skalare Multiplikation mit dem
Wert der Kraft, da bei einem Vektor seine „Länge“ dem „Wert“ entsprechen soll:
es =
1
r I , III
r I , III
; ⇒ s1 = e s ⋅ s1 =
1
r I , III
r I , III
∧
⋅ s1 = s1 ⋅ r I , III
∧
mit
s1 =
s1
r I , III
Hierin ist e s der Einheitsvektor in Richtung von Stabkraft S1 , während s1 die Stabkraft als
1
„Wert“ repräsentiert. Da diese Einheitsvektoren meistens „krumme Wurzeln“ enthalten, während in den Richtungsvektoren in der Regel keine Wurzeln auftreten, führt man sinnvoller∧
weise die Abkürzung s1 ein. Dies bietet den Vorteil, daß in den Gleichungssystemen diese
Wurzeln nicht vorkommen, sondern erst dann wieder erscheinen, wenn man von den
„ˆ“-Größen auf die wirklichen Stabkräfte umrechnet. Dieser „Kniff“ ist jedoch nicht notwendig, er erleichtert nur die reine Rechenarbeit.
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−a

s1 = s1 ⋅  0
 0
∧




;
F + s 2 + s1 = 0
∧  − a
∧
s1 ⋅ 
+ s2

 0
−a

s2 = s2 ⋅  b
 0
∧
⇒
 − a   − F1 
⋅

 =
 b   F2 




 0 


s3 = s3 ⋅  − b 
 0 
∧
;
s1 + s 2 = − F
∧
⇒
∧
− a s1 − a s 2 = − F1
∧
b s 2 = F2
⇒
∧
F2
b
∧
a F2 
F
F
1
 F1 −
 = 1 − 2
a
b 
a
b
s2 =
s1 =
F
F
s1 =  1 − 2
b
 a
a


  −a  = −  F1 − F2  ;
b
 


 0 

 0
noten ii:
s2 =
F2
 FB 
FB = 

 0 
FB
s2
s3
F B − s 2 + s3 = 0
∧
 a 
 0  0
 FB   −
F2 
 0  −  b  + s3  − b  =  0 


  

 F2 
FB = +
a
F = 0
b 2
∧
− F2 − b s 3 = 0
 a

F2 

FB = b
;


 0 
 a

 −a  − F2 
=
b  b   b

 F2 
⇒
FB = −
⇒
s3 = −
∧
a
F
b 2
F2
F
= − 2 b
b
b
∧ 
0   0  F2  0 
s3 = s3 
=
= 
b  − b 
 − b   F2 
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noten iii:
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 FAx 
FB = 

 FA y 
− s3
FA
s1
− s 3 + F A − s1 = 0
⇒
∧  0 
∧  −a 
 FA x 
s3   + 
 − s1   = 0
 −b   FA y 
0 
∧
F 
a
 F
FA x = − a s1 = − a  1 − 2  = F2 − F1 = FA x
 a
b  b
∧
s3 b + FA y = 0
⇒
∧
 F 
FA y = − s 3 b = − b  − 2  = F2 = FA y
 b 
5.5 Vektorielles Produkt
Das Moment einer Kraft bezüglich eines Bezugspunktes ist ein Vektor gemäß der Definition
„Hebelarm x Kraft“. Dies mag zunächst nicht einleuchten, wenn man sich jedoch überlegt,
daß das Moment auch 3 Komponenten hat, nämlich die „Momente um die x, y und z-Achse“.
Eben diese Achsen können wir auch als Richtung interpretieren, es liegt daher auch beim
Moment der gleiche Sachverhalt wie bei den Kräften vor: Es existiert der Betrag und die
Richtung. Beim Moment ist die Richtung allerdings etwas anders definiert, als dies bei den
Kräften der Fall war. Die Richtung des Momentes ist die Achse, um die das Moment dreht!
Da sowohl die Kraft als auch der Hebelarm Vektoren sind, benötigen wir
y
offenbar ein weiteres Produkt zwischen
F
zwei Vektoren, dessen Ergebnis aber
keine skalare Größe wie in vorherigen
Fall sondern wiederum ein Vektor sein
Fy
soll. Diesen Sachverhalt wollen wir nun
näher untersuchen. Der Bezugspunkt
Fx
r
für das Moment sei der Koordinatenursprung. Damit erhalten wir für das
Fz
ry
Moment bezüglich des Ursprungs
rz
x
rx
z
den Ausdruck:
(
)
M = − F y rz + F z r y ⋅ e x +
(− Fz rx
+ F x rx ) ⋅ e y +
(− Fx ry
)
+ F y rx ⋅ e z
An dieser Formel sieht man deutlich, daß es offenbar sinnvoll ist, sich das Moment als Vektor
derart vorzustellen, daß die Länge des Vektors dem Betrag des Momentes entspricht und die
Richtung des Vektors die „Drehrichtung“ repräsentiert. Kraft und Hebelarm stellen wir ebenfalls wie gewohnt mit Hilfe der Basisvektoren dar:
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F = F x e x + F y e y + Fz e z
r = rx e x + r y e y + rz e z
;
Die noch näher zu definierende Multiplikation soll wieder durch das ⊗ - Zeichen dargestellt
werden. Wir suchen nun die Regeln für diese „vektorielle“ Multiplikation, die mit der Gleichung
M = r ⊗ F
die Formel für das Moment erzeugt!
r ⊗F =
(rx e x +
) (
ry e y + rz e z ⊗ Fx e x + Fy e y + Fz e z
(
)+
ry F y (e y ⊗ e y ) +
ry Fz (e y ⊗ e z ) +
= rx Fx ( e x ⊗ e x ) + ry Fx e y ⊗ e x
(
rx Fy e x ⊗ e y
)
+
rx Fz (e x ⊗ e z ) +
)
⇒
rz Fx ( e z ⊗ e x )
+
rz Fy e z ⊗ e y
+
(
)
rz Fz ( e z ⊗ e z )
Der Vergleich dieser Formel mit dem Ausdruck für M , den wir aus der Skizze ermittelt
haben, liefert unter der Voraussetzung, daß beide Ausdrücke identisch sein sollen, folgende
Gleichungen:
(
)
M = − F y rz + F z r y ⋅ e x +
(− Fz rx
+ Fx rx ) ⋅ e y +
ex = − ez ⊗ ey = e y ⊗ ez
x-Komponente
ey = − ex ⊗ ez = ez ⊗ ex
y-Komponente
ez = − ey ⊗ ex = ex ⊗ ey
z-Komponente
(− Fx ry
)
+ F y rx ⋅ e z
Alle übrigen Produkte der Form e i ⊗ e j müssen offenbar verschwinden, da sie in der Formel
für den Momentenvektor M nicht vorkommen! Daher gilt:
(
)
r ⊗ F = rx Fx (e x ⊗ e x ) + ry Fx e y ⊗ e x + rz Fx (e z ⊗ e x )
=0
(
rx Fy e x ⊗ e y
= − ez
)+
(
ry Fy e y ⊗ e y
= ez
=0
(
rx Fz (e x ⊗ e z ) + ry Fz e y ⊗ e z
= − ey
)+
)+
= ex
+
= ey
(
rz Fy e z ⊗ e y
)
+
= − ex
rz Fz (e z ⊗ e z )
=0
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offenbar muß gelten:
ei ⊗ ei = 0
i = x , y , z für jedes i
Weiterhin muß gelten:





e y ⊗ e x = − ez
ez ⊗ e y = − e x
ex ⊗ ez = − e y
"−" ;
ex ⊗ ey =
ez
e y ⊗ ez =
ex
ez ⊗ e x =
ey





"+"
Die Multiplikation der Basisvektoren muß in diesem Fall einen Vektor ergeben! Das positive
Vorzeichen ergibt sich, wenn in den Formeln eine positive „Laufrichtung“ der Indizes vorliegt. Diese „Laufrichtung“ kann man sich an Hand der Elemente in der Klammer klarmachen:
[x y z x y z ]
→ +
Wenn man auf Indizes stößt, die in der Klammer von links nach rechts direkt nebeneinander
angeordnet sind, so ergibt sich die positive „Laufrichtung“, während sich die negative „Laufrichtung“ von rechts nach links ergibt. Falls zwei Indizes gleich sind, so ergibt sich der Nullvektor!
Zur Bezeichnung dieses Vektorproduktes
M
=
r ⊗ F = r × F
hat sich das „ד durchgesetzt. Diese Produkt heißt dementsprechend „Vektorielles Produkt“
oder „Kreuzprodukt“, was an das Multiplikationszeichen und an die unten angeführte Merkregel erinnern soll. Wichtig ist auch, daß das Kreuzprodukt zweier Vektoren wieder einen
Vektor ergibt, im Gegensatz zum Skalarprodukt, wie der Name auch schon zum Ausdruck
bringt. Hier neigen Studenten oft zu fatalen „Verwechslungen“.
ei × ei = 0
Unter Verwendung von
liefern diese Definitionen:
(
)
i = x, y, z
(
)
M = r × F = ry Fz − rz Fy e x + ( rz Fx − rx F ) e y + rx Fy − ry Fx e z
Für die auf diese Weise definierte Multiplikation wollen wir künftig das Zeichen × verwenden.
Merkregel:
“ Zuhälter - Regel “
Man hält diejenige Zeile bei den Ausgangsvektoren zu, deren Wert man
im Ergebnisvektor ermitteln möchte. Mit den vier übrigen Elementen
#9;@@G;@K;@MD=!ZKK=D<GJ>
5-129
Prof. Dr.-Ing. W. Scheideler
Vorlesungsmanuskript Mathematik I/II
bildet man das Produkt „Hauptdiagonale minus Nebendiagonale“ gemäß der Formel:
 r y Fz − rz F y
r 
F 
x
x

 


r y  ×  Fy  =  − r x F z − r z F x

 


 r x F y − r y F x
 r z 
 F z 
(
)





Wichtig:
Man beachte, daß bei der Auswertung der mittleren Zeile das Ergebnis negativ genommen werden muß! Man merke sich „Hauptdiagonale minus Nebendiagonale“ ,
weil das auch in anderen Zusammenhängen auftritt.
c = a × b heißt Kreuzprodukt zweier Vektoren oder vektorielles Produkt.
Wir wollen uns noch einen anderen wichtigen Zusammenhang beim Kreuzprodukt klarmachen. Zur Vereinfachung unseres Beweises wählen wir ein Koordinatensystem, bei dem die
beiden Vektoren a und b die x-y-Ebene aufspannen. Dies ist keine Einschränkung der Gültigkeit, da die Vektorrechnung unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems sein muß!
Man spricht davon, daß alle Vektoroperationen (Addition, Multiplikation usw.) invariant
gegen Änderungen des Bezugssystems sein müssen. Die Wahl dieses speziellen Koordinatensystems soll uns nur der Übersichtlichkeit dienen. In diesem System sehen zwei beliebige
Vektoren folgendermaßen aus:
cosα 
a = a  sinα  ;
 0 
cos β 
b = b  sin β 
 0 
y
V
Vy
Mit diesen Vektoren wollen wir nun das Kreuzprodukt ausführen:
ϕ
Vx
x
cos α 
cos β 




c = a ⋅ b ⋅  sin α  ×  sin β 
 0 
 0 
⇒
y
0






c= a ⋅ b ⋅

0


s α co s β − si n α si n β 
 c1o44444
42444444
3


s i n (β − α )
c = a ⋅ b ⋅ si n ( β − α
)
c
b
γ
β
a
α
x
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5-130
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Vorlesungsmanuskript Mathematik I/II
Nachdem wir nun herausgefunden haben, daß M = r × F ist, wollen wir untersuchen, was
das Ergebnis von M = d × F ist, wenn der Vektor d nicht zum Fußpunkt der Kraft, sondern
auf „irgendeinen“ Punkt auf der Wirkungslinie weist:
F
M =r×F
d=r+
r
⇒
d×F =?
F
⋅λ
F
d
d = Ortsvektor zur Wirkungslinie von F


r + λ ⋅F  × F = r × F +


r


λ
⋅F ×F =r×F = M
F 123
0
=d
Dies bedeutet, man kann das Moment einer Kraft F bezüglich eines beliebigen Bezugspunktes durch
M= d× F
berechnen, wenn der Vektor d vom Bezugspunkt zu „irgendeinem“ Punkt auf der Wirkungslinie der Kraft
F weist.
5.6 Rechengesetze der Vektoralgebra
5.6.1 Skalarprodukt
Kommutativgesetz:
a ⋅ b = b ⋅ a = ax ⋅ bx + a y ⋅ by + az ⋅ bz = bx ⋅ ax + by ⋅ ay + bz ⋅ az
q.e.d.
Distributivgesetz:
(
a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c = a x (bx + c x ) + a y b y + c y
(
) (
) + a (b
z
z
+ cz ) =
)
= a x ⋅ b x + a y ⋅ b y + a z ⋅ bz + a x ⋅ c x + a y ⋅ c y + a z ⋅ c z
14444
4244444
3
14444
4244444
3
a ⋅b
a⋅c
Weiterhin gilt: µ ( a ⋅ b ) = ( µ ⋅ a ) ⋅ b = ( µ ⋅ b ) ⋅ a
q.e.d.
#9;@@G;@K;@MD=!ZKK=D<GJ>
5-131
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a und b seien zwei Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen.
Dann gilt:
a⋅b= 0
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ c os α
α ≡ Winkel zwischen a und b !
wegen
Mit dieser Formel läßt sich sehr einfach der Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen:
co s α =
a ⋅b
a ⋅ b
Der „Betrag“ bzw. die Länge eines Vektors errechnet sich gemäß Skizze durch zweimalige
Anwendung des Satzes von Pythagoras:
y
a
2
a
= a y2 + d 2 = a z2 + a 2y + a x2
12
4 4
3
ax
az
d2
x
az
d
ax
z
a =
a x2 + a 2y + az2
“ Räumlicher Pythagoras“
Gleichheit zweier Vektoren:
 bx 
 ax 
 
 
a = b =  a y  =  by 
 
 
 bz 
 az 
a= µ ⋅b
a =
⇒
⇒
Alle Komponenten müssen gleich sein!
a = µ ⋅ b
a 2x + a 2y + a 2z =
µ
(b
2
x
weil
+ b 2y + b 2z
)
= µ ⋅b
⇒
Die Multiplikation eines Vektors a mit einem Skalar µ ergibt einen Vektor b , der in Richtung von a weist und die µ - fache Länge ( Betrag ) besitzt.
Falls µ < 0 , weist b in die negative a - Richtung.
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5-132
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Vorlesungsmanuskript Mathematik I/II
5.6.2 Projektion eines Vektors b auf den Vektor a
y
c ist der Vektor in Richtung von
b
a mit der Länge des Anteils von
a
α
b in a- Richtung !
c
( Zerlegen von b in a - Richtung )
x
c= µ
a
a
µ = Länge ( Betrag ) von c
µ = b ⋅ c os α
c os α =
;
a⋅b
a ⋅ b
⇒
c=
a⋅b a
⋅
a
a
⇒
Damit erhält man für die Projektion eines Vektors b auf den Vektor a die Beziehung:
c=
(a ⋅ b) ⋅ a
a
2
5.6.3 Kreuzprodukt
c
α≡
b
α
c
Winkel zwischen a und b
steht sowohl auf a als auch
auf b senkrecht
a
Der Ergebnisvektor c steht sowohl auf a als auch auf b senkrecht (s. Skizze).Die c - Richtung ist die Drehrichtung, die gewählt werden muß, um a auf „kürzestem“ Weg in die
b - Richtung zu drehen. Die Länge des Ergebnisvektors c ergibt sich zu
(*)
c= a× b
⇒
c = a ⋅ b ⋅ sin α
Betrachten wir nun das Parallelogramm, welches durch die Vektoren a, b gemäß Skizze aufgespannt wird:
b
Parallelogramm
h
α
a
Der Flächeninhalt A läßt sich sehr einfach mit dem Kreuzprodukt ermitteln:
A= a ⋅h
( Grundlinie x Höhe )
h = b ⋅ s in α
⇒
A = a ⋅ b ⋅ s in α = a × b
(s. Gl. (*))
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5-133
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Bildung des Kreuzprodukts:
ay bz − az by
 ax   bx  
  
 
 a y  ×  by  =  − ( ax bz − az bx )
  
 
ax by − ay bx
 az   bz  

 a y bz − az by 



 = 
az bx − ax bz 

 a b − a b



x
y
y
x
 1
4444244443
[xyzxyz]
Zyklisches Verschieben der Indizes
Das zyklische Verschieben der Indizes bedeutet, daß man die Indizes in der eckigen Klammer
immer in der Reihenfolge von links nach rechts durchläuft und keinen ausläßt:
x
Å
y;
y
Å
z;
Å
z
x
usw.
Rechengesetze:
Antikommutativ - Gesetz:
a× b= − b× a
 bx   ax  

   
 by  ×  ay  = 

   
 bz   az  
ex × ey = − ey × ex )
( Erinnerung:
by az − bz a y
bz ax − bx az
bx ay − by ax




 = − 




ay bz − az by
az bx − ax bz
ax by − ay bx





Distributivgesetz:
a × ( b + c) = a × b + a × c
 a y d z − az d y

=  az d x − ax d z

 ax d y − a y d x
; d= b+ c
⇒
(
)

 a y (b z + c z ) − a z b y + c y 



 =  a z (b x + c x ) − a x (b z + c z )  =




 a x b y + c y − a y (bz + c z ) 
 a y bz − a z b y + a y c z − a z c y 


=  ( a z bx − a x bz ) + ( a z c x − a x c z ) 


 a x b y − a y bx + a x c y − a y c x 
(
(
)
(
) (
)
) (
)
(b + c) × a = b × a + c × a = − a × (b + c)
Weiterhin gilt:
Wenn gilt
µ ⋅(a × b) = (µ a) × b = a × (µ b)
a=µb
⇒
c=a×b=µa×a =0
wegen
q.e.d .
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5-134
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Vorlesungsmanuskript Mathematik I/II
c = a × b = a × a ⋅ si n α
α = 0
;
5.6.4 Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes P
y
P3
F
M
r 03
P0
= r PF × F
= r 01 × F
P1
r PF
P0
x
r 0 + r 01 = r 1
r0 3 × F = ?
Frage:
(r
01
+ µ F
⇒
⇒
)×F=r
01
r 01 = r 1 − r 0
r0 + r03 = r 3
⇒
r 0 3 = r 01 + µ F
× F + µ F × F
12
4 4
3
= 0
r 0 3 × F = r 01 × F = M P0
Moment einer Kraft bezüglich P:
MP = r × F
mit
r ≡ Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt auf der Wirkungslinie !
5.7 Linearkombinationen von Vektoren
Die Summe von Vektoren gemäß
λ 1 a1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 + ...... λ k a k
heißt Linearkombination der Vektoren
,
λi∈ ℜ
a1 , a 2 , a 3 , . . . . . a k .
In diesem Sinne ist auch
a = ax e x + a y e y + az ez
eine Linearkombination der Basisvektoren e x , e y , e z . Aus diesem Ansatz wird klar,
daß die Gleichung
ax e x + a y e y + az ez = 0
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5-135
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Vorlesungsmanuskript Mathematik I/II
nur erfüllbar ist, wenn a x , a y , a z (die in diesem Fall die Bedeutung der λi übernehmen!) sämtlich gleich Null sind. Wenn man nur die Basisvektoren e x , e y , e z durch
beliebige Vektoren a 1 , a 2 , a 3 ersetzt, kann man analog
λ 1 a1 + λ
2
a2 + λ
3
a3 = 0
aufstellen und auch hier feststellen, daß diese Gleichung für λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0 erfüllt ist.
Wir fragen uns, ob es auch eine Lösung dieser Gleichung gibt, bei der nicht alle λ i verschwinden müssen. Wir können obige Gleichung als homogenes Gleichungssystem für die λ i auffassen. Aus dieser Kenntnis heraus ergibt sich nur die Lösung λ i = 0 , falls das Gleichungssystem nur eine Lösung besitzt! Betrachten wir nun den Fall, daß die Vektoren
a 1 , a 2 , a 3 alle in einer Ebene liegen:
y
λ a 3 + µ a1 = a 2
a2
a1
a3
x
(∗)
a 3 x λ + a 1 x µ = a 2 x 
 ⇒ λ , µ f a l l s D = a 3x a 1 y − a 3 y a 1x ≠ 0
a 3 y λ + a 1 y µ = a 2 y 
Diese Gleichungssystem läßt sich jedoch nicht eindeutig lösen,
wenn
a3 = ν a1
⇒
a 3 x = ν a 1x , a 3 y = ν a 1 y
⇒
D = ν a 1x a 1y − ν a 1y a 1x = 0 !
Fassen wir zusammen:
λ a3 + µ a1 + ν a2 = 0
ist erfüllbar mit nicht verschwindenden λ , µ , ν , wenn die Vektoren a 1 , a 2 , a 3 in
einer Ebene liegen. Allgemein nennt man die Vektoren ai linear abhängig. Wenn
λ1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 + . . . . .λ n a n = 0
erfüllt werden kann, ohne daß alle λ i verschwinden müssen. Die von uns verwendeten Basisvektoren e x , e y , e z zur Beschreibung beliebiger Vektoren sind daher linear unabhängig:
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 0  0
 0
 1
  
 
 
λ  0  + µ  1  + ν  0 =  0
  
 
 
 1  0
 0
 0


 ⇒


λ = µ = ν = 0
Im R 3 sind 4 Vektoren a 1 , a 2 , a 3 , a 4 immer linear abhängig:
λ1 a 1 + λ2 a 2 + λ3 a 3 + λ4 a 4 = 0
Man kann irgendein λ i einfach vorgeben(z.B. λ4) und erhält ein inhomogenes Gleichungssystem:
λ1 a 1 + λ2 a 2 + λ 3 a 3 = − λ4 a 4 = 0
Dieses System besitzt genau eine Lösung, es sei denn, die Vektoren a 1 , a 2 , a 3 sind schon
für sich linear abhängig. ( Siehe Beispiel ( ∗ ) ). Das bedeutet, z.B., daß im R 3 4 vorgegebene Kräfte immer ins Gleichgewicht zu bringen sind, wenn man die Beträge der Kräfte geeignet wählt.
Im R 2 sind 3 Vektoren immer linear abhängig. Daraus folgt, daß in diesem Fall 3 Kräfte
durch Anpassung der Beträge ins Gleichgewicht zu bringen sind!
y
a1 = λ 1 e1
a2
a2 = λ
2
e2
a1
a3
x
a 3 = λ1 e 1 + λ2 e 2
Machen Sie sich aus diesen Ausführungen selber klar, daß man einen beliebigen Vektor
a = ax e x + a y e y + az e z
auch mit 3 anderen Basisvektoren darstellen kann, wenn diese linear unabhängig sind. Das
ist die einzige Bedingung, die von Basisvektoren erfüllt werden muß. Sie müssen weder paarweise senkrecht aufeinander stehen noch die Länge Eins besitzen, wie die normalerweise benutzen Basisvektoren ex , ey , ez. Man wählt diese Basisvektoren in vielen Berechnungen deshalb aus, weil es sehr praktisch ist, damit zu rechnen. Würde man andere Basisvektoren verwenden, ergäben sich völlig andere Rechenregeln! Trotzdem gibt es einige spezielle Fälle, bei
denen auch wir von diesen Basisvektoren auf ein anderes System übergehen werden. Allerdings werden wir sehr schnell wieder zur gewohnten Darstellung mit ex , ey , ez zurückgehen.
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5-137
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Daher sollten wir diese Ausführungen im Hinterkopf behalten. Also könnte ich einen beliebigen Vektor a auch mit (fast) beliebigen Vektoren vi darstellen:
a = λ1 v1 + λ 2 v 2
+ λ3 v 3
( vi linear unabhängig )
Wem dies etwas „theoretisch klingt, der erinnere sich an seine Statik–Aufgaben. Dort haben
Sie keinerlei Bedenken, die resultierende Kraft F aus Kräften zusammenzusetzen, die weder
den Betrag Eins besitzen noch alle senkrecht aufeinander stehen. Wir haben diesen Sachverhalt hier nur etwas präziser und mit den Bedingungen zur Verwendung als Basisvektoren untersucht.
5.8 Das Spatprodukt
Betrachten wir den Körper (Spat) gemäß Skizze, der durch die 3 Vektoren a, b und c aufgespannt wird. Das Volumen läßt sich gemäß der angegebenen Formeln bestimmen:
y
A= b×c
h = a ⋅ co s α
a
α
c
V = A ⋅ h = a ⋅ b × c ⋅ co s α
A
b
x
z
a ⋅ ( b × c ) = a ⋅ b × c ⋅ c o sα = V
⇒
Das Volumen des Spats:
V = a ⋅ (b × c)
Rechenregeln für das Spatprodukt:
a ⋅ ( b × c) = c ⋅ ( a × b) = b ⋅ ( c × a)
[a , b , c , a , b , c ] ⇒
Zyklisches Vertauschen ändert den Wert des
Spatproduktes nicht.
Liegen die Vektoren in einer Ebene, so verschwindet das Volumen des Spats! Sind zwei
Vektoren des Produktes linear abhängig ( oder gleich ), bedeutet dies mit z.B.
c = λ a:
a ⋅ (b × λ a ) = λ a ⋅ (b × a ) = λ a ⋅ b × a ⋅ c os α = 0
da α = 90° ! ( a steht senkrecht auf b × a )
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Vorlesungsmanuskript Mathematik I/II
Drei nicht verschwindende Vektoren, deren Spatprodukt verschwindet, heißen komplanar.
Sie liegen in einer Ebene. Mit Hilfe des Spatprodukts läßt sich also überprüfen, ob drei Vektoren linear abhängig sind. In diesem Fall verschwindet das Spatvolumen nicht!
5.9 Geradengleichung in Vektorform
Eine Gerade wird durch die Definition von zwei Punkten eindeutig festgelegt. Mit Hilfe der
Vektorrechnung läßt sich die Beschreibung insbesondere im räumlichen Fall sehr leicht bewältigen:
y
P
P1
P0
r0
Gegeben seien die Punkte P0 , P1
r
r 0 , r 1 , r seien die Orssvektoren
r1
zu den Punkten P0 , P1 , P !
x
z
Die Geradengleichung in Vektorform lautet damit:
r 01 = − r 0 + r 1
oder
r = r0 + λ∆r
; r = r 0 + λ ⋅ r 01 = r 0 + λ
mit
(r
1
− r0
)
∆r = - r0 + r1
Die Variable λ übernimmt nun die Funktion, die in der analytischen Geradengleichung im
„ebenen Fall“ die Variable x übernahm (y = a x + b). Der Wert für λ legt somit fest, auf
welchen Punkt der Gerade der Ortsvektor r weist, d.h. welcher Punkt „gemeint“ ist. Wir können λ daher auch als Koordinate interpretieren, die „schräg im Raum“ verläuft, bei P0 beginnt
und in Richtung von P1 weist:
λ = 0 bedeutet, r weist auf P0
λ = 1 bedeutet, r weist auf P1
Der Vektor ∆r heißt auch Richtungsvektor der Geraden, da er in ihre Richtung weist.
Beispiel:
Gegeben seien die Punkte P1 ( 1,1, 3 ) und P2 ( − 1 , 2 , 1 ) . Wie lautet die Geradengleichung durch P1 ∧ P2 ?
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5-139
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Lösung:
 1 
 
r1 =  1 
 
 3
−1


r2 =  2 


 3
;
⇒
1 
− 2 
 


r = 1  + λ  1 
;
 3
− 2 
 


∧
r (λ = 0 ) = r 1 , r (λ = 0 ) = r 1
g
2
 1 
 2
 
 
= 3  + µ  1
 
 
 2
 1
r 12
 −1− 1

= − r1 + r 2 =  − 1 + 2

 −3+1
 − 2
 
 =  1
 
 − 2
1 
+ 2 
∧
 


r = 1  + λ  −1
 3
+ 2 
 


∧
r ( λ = 1 ) = r 2 , r ( λ = −1 ) = r 2
b z w.
,
= r 2 + µ ∆r 2
g = r1 + λ ∆r1
1
g =g
Schnittpunkt von g und g :
1
2
r1 + λ ∆ r1 = r 2 + µ ∆ r 2
1
⇒
⇒
2
λ ∆ r1 − µ ∆ r 2 = r 2 − r1 = d
Das ist nur erfüllbar, wenn ∆ r 1 , ∆ r 2 und d linear abhängig sind !
− 2

λ  1

− 2
 2



 − µ  1


−1

  1
 
 −  3
 
  2
  0 

 
 =  − 2

 
  1 
− 2 λ −2 µ = 0
⋅12
  1
 
 =  1
 
  3
λ − µ = − 2
−λ − µ = 0
−2 µ = −2
λ = − 2 + µ = −1
⇒
µ =1
⇒
λ = −1
Überprüfung der letzten Gleichung: − 2 λ + µ = 1
− 2 ( − 1 ) + 1 = 1 ist erfüllt ⇒ g 1 und g 2 schneiden sich tatsächlich !
Falls gilt
∆ r1 = ξ ∆ r 2
sind die Geraden g 1 und g 2 mit g 1 = r 1 + λ ∆ r 1
parallel. Das bedeutet:
;
g2 = r2 + µ ∆ r2





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1. Sind die Richtungsvektoren ∆ r 1 und ∆ r 2 linear abhängig, so verlaufen die Geraden parallel zueinander.
2. Es gilt dann mit
∆ r = ∆ r1
g1 = r1 + λ ∆ r
3.
g2 = r2 + µ ∆ r
;
Falls g = g erfüllbar ist, so sind die Geraden identisch!
1
2
g =g
1
2
r1 + λ ∆ r = r 2 + µ ∆ r
λ − µ) ∆r =
(14
24
3
⇒
r 2 − r1 = d ⇒
ν
g =g
1
2
ist erfüllbar, wenn ∆ r und d linear abhängig sind.
Sind sowohl ∆ r 1 und ∆ r 2 als auch ∆ r 1
(
abhängig, so sind die Geraden g und g
identisch!
1
2
∆ r2
) und
r 2 − r 1 linear
Beispiele :
α = 30 0
geg.:
F,
ges.:
Auflagerreaktionen
30°
B
A
a
a
 − F ⋅ c o s 30 0   − F ⋅ 1 2 3

 
F =  − F ⋅ c o s 30 0  = 
−F⋅12



0
0

 
r
∑
M
A
A ,F
a

= 0
 0
A 
 x 
A =  Ay 


 0 




= 0 = r A , F × F + r A ,b
∧
= − a F 1− 0⋅
(
∑
3
;

 3 
∧ 


 = − F 1 

 0 



 0

B =  By

 0
1  
  
× B =a  0  × 
 0  

) + a (2 B
 Ax  0 


 
 ∧ 
F = 0 =  A y  +  By  − F 


 

 0   0 

y
)
− 0⋅0 = 0
3   0
 
1  =  0

0   0





3
1
0





;
∧
F
F=
2
r
 2a 


=  0 
 0 
A ,B

 2   0  0
∧
  

  
  − F  + a  a  ×  B y  =  0 

 0   0   0 



⇒
∧
F
F
By =
=
2
2
#9;@@G;@K;@MD=!ZKK=D<GJ>
5-141
Prof. Dr.-Ing. W. Scheideler
Ax =
∧
3 F
=
Vorlesungsmanuskript Mathematik I/II
3
2
∧
F
F
Ay = F − B y =
−
2
4
F
=
F
4
geg.:
ges.:
F2
8a
3a
3a
F1
5a
6a
4a
4a
5a
a
 F1 
 −3 a 
∧ 
∧



F =  F2  ; S 1 = S 1  − 4 a  ; S 2 = S 2
 0 

0 
 −a

 −4 a

0

 3a 
∧ 


 ; S3 = S3  −5 a 


0 
F
S1
S2
S3
 −3 a 
 −a 
∧ 
 ∧ 
 ∧
S1  − 4 a  + S 2  − 4 a  + S 3




 0 
 0 
 3 a   F1

 
 − 5 a  +  F2

 
 0   0


 =0


r1 , 2 × S 2 + r 1 , 3 × S 3 + r 1 , F × F = 0
 11 a   3 a   8 a   F1
 5a  −a 
∧ 
 
 
 
 ∧ 
 
S 2  0  ×  − 4 a  + S 3  0  ×  − 5 a  +  0  ×  F2
 
 
 


 

 0   0   0   0
 0   0 
∧
S2
(
2 0 a2
)+
∧
S3
(
− 55 a 2 ) + F2 ⋅ 8 a
∧
− 3 S1 −
∧
S2
+
∧
3 S3
∧
− 4 S1 −
∧
4 S2
−
∧
5 S3
+
∧
S3
∧
S2
(


 = 0


2 0 a2
∧
21 ∧
6 ∧
S1 = −
F 2 − F1 ;
100
5
)
∧
S2 =
(
F1
2
F2
= −
2
= −
− 55 a 2
)=
51 ∧
11 ∧
F2 +
F1 ;
100
5
∧
= − F1
∧
= − F2
− F2 ⋅ 8 a
∧
∧ 
1 ∧
S3 = −
 F 2 + 20 F1 

25 
a , F1 , F 2
S1 , S 2 , S 3
#9;@@G;@K;@MD=!ZKK=D<GJ>
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Prof. Dr.-Ing. W. Scheideler
Vorlesungsmanuskript Mathematik I/II
5.10 Ebenengleichung
Gehen wir gemäß Skizze davon aus, daß eine Ebene vorliegt, die durch 3 Punkte P0 , P1 und
P2 aufgespannt wird. Wir suchen einen Vektor r dergestalt, daß seine Spitze immer auf diese
Ebene zeigt. Sehen wir uns die Skizze an, dann erkennen wir, daß r = r0 + d diese Forderung erfüllt, wenn der Vektor d in der Ebene liegt. Aus der Skizze erkennen wir, daß der
y
P1
r
d
∆r1
P0
r0
∆r2
r
P2
x
∆r1 = Vektor von P0 nach P1
∆r2 = Vektor von P0 nach P2
z
Vektor d als Linearkombination gemäß
d = λ⋅∆r1 + µ ⋅∆r2
diese Bedingung für beliebige λ, µ -Werte erfüllt. Daher lautet die Ebenengleichung in Vektorform:
(*)
r = r0 +
λ ⋅ ∆r1 +
µ ⋅ ∆r 2 ;
λ, µ ∈ ℜ
Einen Vektor senkrecht zu dieser Ebene können wir sehr leicht aufstellen, wenn wir uns an
das Kreuzprodukt zweier Vektoren erinnern:
n = ∆r 1 × ∆r 2 = − ∆r 2 × ∆r 1
Diese Formel liefert einen Vektor n bzw. – n , der sowohl senkrecht auf ∆r1 als auch senkrecht auf ∆r2 steht. Damit steht dieser Vektor senkrecht auf der Ebene! Damit verschwindet
das skalare Vektorprodukt
d ⋅n =0
(s. Skalarprodukt zweier Vektoren in diesem Kapitel)
Wenn wir die Gleichung (*) nach d auflösen, so erhalten wir: