L=ML - Inst. für Mechanik TU Berlin

Theorieaufgaben
1. Differenzieren Sie folgende Funktionen nach der Zeit:
(je 1 Punkt)
2. Geben Sie die MaDeinheiten folgender GroDen ausschlieSlich in den Einheiten 1, kg, m und s
an:
Winkelgeschwindigkeit w
Reibungskoeffizent p
Leistung der Kraft P
-
3. Der Punkt P bewegt sich auf dern Kreis mit dern Radius R mit einer konstanten Winkelgeschwindirrkeit w. Geben Sie den Geschwindiekeitsvektor
des Punkes P in der kartesischen Basis
.,
g , g , an. Gegeben: R, w
Federkraft
Widerstandskraft
4. Ohne Einwirkung von auileren Krliften s t o k n 2 Kugeln mit den Massen ml und mz unter dern
Winkel von 90" zusammen . Vor dern StoD hatten die Massen die Geuchwindigkeiten vl bzw.
vz. Nach dern Stoss bewegen sie sich nls ein Ganzes mit der Geschwindigkeit v ~Geben
.
Sie den
Impulserhaltungssatz in x-Richtung an.
Gegeben: m l , mz, v l , y , v ~
Reibungskraft
5. Welche der folgenden Krafte sind konservativ? Bitte ankreuzen!
Gravitationskraft
6. Berechnen Sie die Arbeit WAB,die die Kraft F,, die immer in Richtung der Bahn gerichtet ist,
zwischen den Punkten A und B leistet. Gegeben: k, m, R, F,,(s) = 9 s
B
L = M L y -e ,
7. Die Masse m hhingt
- a n einer starren und masselosen Stange.
- Geben Sie den Drehimpuls der
Masse m beziiglich des Pullktes A an.
i!
Gegeben: m, 1
4
8. Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen beziiglich eines mechanischen Systems an!
Die Arbeit einer Kraft auf dem Weg von A nach B ist gleich der Arbeit von B nach A.
Die Kraft heiilt konservativ, wenn die von dieser Kraft auf einem beliebigen geschlossenen Weg geleistete Arbeit gleich Null ist.
Die Zwangskrlifte leisten keine Arbeit.
12
11
Die Arbeit einer Kraft F wird als Integral W = SEdt definiert.
n - t h
9. Eine Masse m wird im Abstand h iiber dem Ende einer ungespannten Feder ohne Anfangageschwindigkeit losgelassen. Schreiben Sie den Energieerhaltungssatz zwischen dem Anfangspunkt
und der groilten Zusammendriickung der Feder.
I
C
Gegeben: m, h, c, g
'i
Krafte F, und F,!
10. Die potentielle Energie ist gegeben durch U = - ~ w 2 x 2 + r n g g .Bestimmen Sie die dazugehorige
'
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Lösungshinweise Seite 1
Version 8. Dezember 2005
Aufgabe 1
Für die Bewegung eines Paketes bis zum Ende der Rutschbahn soll der Arbeitssatz benutzt werden:
U2 + T2 − U1 − T1 = W12
(1)
Zu Beginn gilt für die potentielle und kinetische Energie eines
Warenstücks, das bei 1 aufgelegt wird:
U1 = mg(h + h )
= mg(h + a sin α) ,
a
1
h
T1 = 0 ,
α
2
am Ende der Rutsche:
b
U2 = mgh ,
m
T2 = v22 .
2
h
NN
Dazwischen leistet die Reibkraft die Arbeit:
2
W12 =
F · ds = −aμmg cos α
1
Gleichung (1) lautet damit:
mgh +
m 2
v − mg(h + a sin α) = −aμmg cos α
2 2
also:
v22 = (aμg cos α + g(h + a sin α) − gh) · 2
v2 = 2ga(sin α − μ cos α) .
(2)
Ab 2 erfolgt ein ’schiefer Wurf’ mit der Anfangsgeschwindigkeit
v2 nach dem 2. Newtonschen Axiom:
¨=0
mx̃
=⇒ x̃(t) = c1 t + c2
mz̃¨ = −mg
=⇒ z̃(t) = −
gt2
+ c3 t + c4
2
z̃
2
Anfangsbedingungen:
x̃
α
x̃(t = 0) = 0
˙ = 0) = v2x = v2 cos α
x̃(t
z̃(t = 0) = 0
˙ = 0) = −v2z = −v2 sin α
z̃(t
=⇒ c2 = 0
v2
=⇒ c1 = v2 cos α
=⇒ c4 = 0
=⇒ c3 = −v2 sin α
also:
x̃(t) = v2 cos α · t
z̃(t) = −
gt2
− v2 sin α · t
2
(3)
Um nun eine Beziehung zwischen der gesuchten Länge a und dem gegebenen Abstand b (s. Skizze) herzuleiten,
wird angenommen:
x̃(te ) ≡ b = v2 cos α · te =⇒ te =
b
v2 cos α
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Version 8. Dezember 2005
in (3) eingesetzt:
b
g
v2 b sin α
)2 −
z̃(te ) ≡ −h = − (
2 v2 cos α
v2 cos α
2
(−h + b tan α) · 2 cos α
1
]·
⇐⇒ [
= 2
−g
b2
v2
b2 g
.
⇐⇒ v22 =
2(h − b tan α) cos2 α
Mit der Glg. (2) ergibt sich:
b2 g
2 cos2 α(h − b tan α)
b2
.
⇐⇒ a =
4 cos2 α(h − b tan α)(sin α − μ cos α)
2ga(sin α − μ cos α) =
(4)
a ist die gesuchte Position der Markierung. Legt man das Warenstück nun genau bei a auf, wird es genau
zwischen beiden Auffangwagen landen. Wird es weiter oben aufgelegt, fliegt es weiter, also in den zweiten
Wagen. Das sieht man auch in Gleichung (4): Bei einer Vergrößerung von a wird sich auch b vergrößern.
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Lösungshinweise Seite 3
Aufgabe 2
In Arbeit
(a) Mann kann die Ableitungen gleich machen und die dann später geschickt einsetzen:
r = l 1 − κt2
ṙ = −2κtl
r̈ = −2κl
ϕ = κt2
ϕ̇ = 2κt
ϕ̈ = 2κ
Der Ortsvektor in Polarkoordinaten er , eϕ :
r(t) = r(t)er = l 1 − κt2 er
Der Geschwindigkeitsvektor in er , eϕ :
v(t) = ṙer + rϕ̇eϕ
v(t) = −2κtler + l 1 − κt2 2κteϕ
Der Beschleunigungsvektor in er , eϕ :
a(t) = r̈ − rϕ̇2 er + (rϕ̈ + 2ṙϕ̇) eϕ
a(t) = −2κl − l 1 − κt2 4κ2 t2 er
+ l 1 − κt2 2κ + 2(−2κtl)2κt eϕ
= 2κl 2κ2 t4 − 2κt2 − 1 er + 2κl 1 − 5κt2 eϕ
(b) Wir ermitteln zuerst die Zei t1 für die zu untersuchende Lage ϕ1 :
ϕ1 = κt21 =
π
4
t1 =
π
4κ
Der Geschwindigkeitsvektor v 1
v 1 = −2κt1 ler + l 1 − κt21 2κt1 eϕ
π
π
π
ler + l 1 − κ
2κ
e
= −2κ
4κ
4κ
4κ ϕ
√
π√
v 1 = − κπler + l 1 −
κπeϕ
4
Betrag der Geschwindigkeit v1 :
√
2 π √ 2
v1 =| v 1 | =
− κπl + l 1 −
κπ
4
π 2
v1 = κπl2 1 + 1 −
4
(c) Der Körper erreicht A für r = 0 zum Zeitpunkt tE :
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l 1 − κt2E = 0
1 − κt2E = 0
⇒
tE =
Sinnvoll ist nur positives Wert für tE
ϕE = κt2E = κ
ϕE = 1
1
κ
1
κ
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Aufgabe 3
(a)
Freischnittskize:
R1
N1
S
g
S
Mg
y
P
R2
x
mg
N2
α
Das Newtonsche Grundgesetz liefert für die beiden Klötze:
M x¨1 = M g sin α + S − R1
M y¨1 = N1 − M g cos α
mx¨2 = mg sin α − S − R2 + P
my¨2 = N2 − mg cos α
y¨1 = y¨2 = 0
⇒
N1 = M g cos α
und
N2 = mg cos α
Mit dem Reibungsgestz R = μN und ausgerechneten Reaktionskräften N folgt die Beschleunigung :
R1 = μ1 N1 = μ1 M g cos α
R2 = μ2 N2 = μ2 mg cos α
S
− μ1 g cos α
M
S
P
x¨2 = g sin α −
− μ2 g cos α +
m
m
x¨1 = g sin α +
Die Klötze sind starr zu einem Körper verbunden , deswegen gilt x¨1 = x¨2 . Daraus bestimmt man die
unbekannte Stabkraft S.
g sin α +
S=
S
S
P
− μ1 g cos α = g sin α −
− μ2 g cos α +
M
m
m
Mm
M
P+
g cos α(μ1 − μ2 )
M +m
M +m
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Lösungshinweise Seite 6
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Die Beschleunigung des Systems ist entweder x¨1 oder x¨2 . (Die beiden sind gleich!)
m
P
+
g cos α(μ1 − μ2 ) − μ1 g cos α
M +m M +m
M
MP
P
x¨2 = g sin α −
−
g cos α(μ1 − μ2 ) +
− μ2 g cos α
m(M + m) M + m
m
x¨1 = g sin α +
(b) Nach dem Einsetzen von P = 0 und μ1 = μ2 = μ ist die Beschleunigung:
a0 = x¨1 = g(sin α − μ cos α)
Zweifache Integration liefert unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen x(0) = 0, v(0) = v0 und durch
Eliminieren von Zeit:
v(t) = ẋ = v0 + a0 t
⇒t=
v − v0
a0
1
x(t) = v0 t + a0 t2
2
v − v0
1
v − v0 2
x = v0 (
) + a0 (
)
a0
2
a0
v 2 − v02
x=
⇒
2a
0
v(x) = v02 + 2a0 x
(c) Aus der Bedingung v(xE ) = 0 (Ruhe) ergibt sich die zurückgelegte Strecke xE .
v02 + 2a0 xE = 0
xE = −
v02
2a0
Dami xE positiv ist, muss a0 < 0 sein, d.h.
g(sin α − μ cos α) < 0
sin α − μ cos α < 0
sin α
μ>
cos α
μ > tan α