Grundlagen der Technischen Informatik 2

Technische Informatik
Prof. Dr. M. Bogdan
Institut für Informatik
Grundlagen der Technischen Informatik 2
SS 2016
Übungsblatt 1
Abgabe: bis zum 26.04.2016 im weißen Briefkasten Nähe Raum P514 1
“Was man zu verstehen gelernt hat, fürchtet man nicht mehr.“ - Marie Curie
Aufgabe 1: Bezeichnung logischer Verknüpfungen und dessen Präzedenzen
1. Vervollständigen Sie die nachfolgenden Tabellen (Präzedenz des Operators: 1 = max., 5 = min.).
Operator-Bezeichnung
Disjunktion
Junktor
∧
¬
logische Äquivalenz
Aussprache
oder
Präzedenz
nicht
genau dann, wenn
4
→
←
Elementarverknüpfungen der Boolschen-Algebra:
Operator-Bezeichnung
Disjunktion
Beispiel
Mengenalgeb. Repräsentation
A∪B
A∧B
Schaltalgeb. Repräsentation
A∗B
∼A
¬A
A
2. Klammern Sie den nachfolgenden Term so weit wie möglich, unter Beachtung der Präzedenz:
¬a∧ ¬b ∨ c → b ∧ ¬c ↔ a ∧ ¬b ∨ c → ¬b ∧ r
1
Dieser trägt die Aufschrift:“Einwurf für Übungsblätter GdTI 1 und 2“
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Aufgabe 2: Herleitung bekannter Junktoren
1. Formulieren Sie die Implikation A → B mit Hilfe der Elementarverknüpfungen.
2. Formulieren Sie die logische Äquivalenz A ↔ B
(a) Vorerst unter Zuhilfenahme der Implikation:
(b) Danach verwenden Sie bitte ausschließlich Elementarverknüpfungen. Die gesuchte Funktion
soll zwei Disjunktionen mit einer Konjunktion verknüpfen.
3. Beweisen Sie die Endresultate aus 2.1 und 2.2.b mit Hilfe einer Wahrheitstabelle.
4. Konstruieren Sie die Funktion aus 2.2.b mit Hilfe von Logikgattern.
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Aufgabe 3: Rechnerische Minimierung von Schaltfunktionen
Minimieren Sie die nachfolgenden Funktionen unter Zuhilfenahme der für die Schaltalgebra geltenden
Gesetzmäßigkeiten auf Seite 5.
1. f1 = y ∗ (y + x)
2. f2 = y + y ∗ x
3. f3 = y ∗ (y + x)
4. f4 = y + y ∗ x
5. f5 = x ∗ y ∗ (x + y) ∗ (x ∗ y + x + y) ∗ (x + y)
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Aufgabe 4: Rekonstruktion einer Schaltfunktion
Gegeben sei das logische Schaltbild in Abbildung 1.
Rekonstruieren Sie zunächst die Schaltung 1:1 in eine schaltalgebraische Funktion und minimieren Sie
diese danach.
Abbildung 1: Unbekannte Logikschaltung
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Gesetze der Schaltalgebra:
• Kommutativgesetz:
y+x=x+y
y∗x=x∗y
• Assoziativgesetz:
(y + x) + z = y + (x + z)
(y ∗ x) ∗ z = y ∗ (x ∗ z)
• Distributivgesetz:
(y ∗ x) + z = (y + z) ∗ (x + z)
(y + x) ∗ z = (y ∗ z) + (x ∗ z)
• Neutrales Element der Oder-Verknüpfung (Disjunktion)
x+0=x
• Neutrales Element der Und-Verknüpfung (Konjunktion)
x∗1=x
• Elementar-Tautologie:
x+x=1
• Elementar-Kontradiktion:
x∗x=0
• Komplementbildung:
x=x
• Gesetz von De Morgan:
x∗y =x+y
x+y =x∗y
• weiter gilt:
x ∗ x ∗ x ∗ x... ∗ x = x
x + x + x + x... + x = x
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