BAC 50 α = = < BAC 65 α = = < - Rasch-Web

Mathematik * Jahrgangsstufe 10 * Aufgaben zum Sinus- und Kosinussatz
1. In einem Quader mit den Kantenlängen 5, 3 und 2
teilen die Punkte M und N die Strecken [HG]
bzw. [GC].
a) Berechnen Sie im Dreieck ACH die Größe des
Winkels φ = ∢ AHC .
b) Berechnen Sie Dreieck ANM die Größe des
Winkels μ = ∢ AMN.
M
H
G
µ
ϕ
E
F
N
3
C
D
2
A
B
5
C
2. Im Dreieck ABC sind die drei Seiten a = 3, b = 4
und c = 5 bekannt.
Berechnen Sie die Größe des Winkels ß.
3
4
β
B
5
A
D
E
P
3. Im regulären Sechseck ABCDEF mit der Kantenlänge
a = 3 halbiert P die Strecke [CD].
Berechnen Sie im Dreieck APE die drei Seitenlängen
und den Winkel φ = ∢ EPA.
ϕ
C
M
F
ε
a=3
B
A
C
4. Im gleichseitigen Dreieck ABC mit der
Kantenlänge 8 halbieren M und N die Seiten
[AB] bzw. [CB] und [AP] hat die Länge 1,5.
Berechnen Sie im Dreieck MNP die Länge
der Strecke [PN] und die Größe der Winkel
μ = ∢ NMP und η = ∢ PNM.
N
η
P
µ
A
5. Im Dreieck ABC sind die Streckenlängen
B
M
C
AB = 5 und AC = 4 sowie der Winkel
α = ∢ BAC = 50o bekannt.
Berechnen Sie im Dreieck BDC die Länge
der Strecken [BD] und [CD] sowie die
Größe von φ.
4
3ϕ
50o
A
5
ϕ
D
B
C
6. Im Dreieck ABC sind die Streckenlängen
ϕ
AB = 3 und AC = 5 sowie der Winkel
5
α = ∢ BAC = 65o bekannt.
Berechnen Sie im Dreieck BDC die Länge
der Strecke [CD] sowie die Größe von φ.
a
65o
A
3
B
1,5 a
D
Mathematik * Jahrgangsstufe 10 * Aufgaben zum Sinus- und Kosinussatz * Lösungen
2
1. a) AC = 52 + 22 ⇒ AC =
2
25 + 4 =
29 ; AH = 32 + 2 2 = 13 ; HC =
2
AC 2 = AH + HC − 2 ⋅ AH ⋅ HC ⋅ cos(ϕ) ⇒ cos(ϕ) =
2
2
2
b) AN = NC + AC ⇒ AN =
2
2
2
AM = AH + HM ⇒ AM =
2
34
13 + 34 − 29
= 0, 42808... ⇒ ϕ ≈ 64, 7 o
2 ⋅ 13 ⋅ 34
1,52 + 29 = 31, 25 =
13 + 2,52 =
52 + 32 =
125 5
= ⋅ 5 ;
4
2
77 1
= ⋅ 77 ; MN =
4 2
2,52 + 1,52 =
1
⋅ 34 ;
2
2
AN 2 = AM + MN − 2 ⋅ AM ⋅ MN ⋅ cos(µ) ⇒
cos(µ) =
19, 25 + 8,5 − 31, 25
= − 0,1368.. ⇒ µ ≈ 97, 9o
2 ⋅ 19, 25 ⋅ 8,5
25 + 9 − 16
= 0, 60 ⇒ ß ≈ 53,1o
2⋅5⋅3
2.
42 = 52 + 32 − 2 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ cos(ß) ⇒ cos(ß) =
3.
Alle Innenwinkel im Sechseck ABCDEF haben die Größe 4 ⋅180o : 6 = 120o .
2
2
32 + 1,52 − 2 ⋅ 3 ⋅1, 5 ⋅ (−0,5) = 0,5 ⋅ 63
2
2
32 + 32 − 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ (−0,5) = 3 ⋅ 3
EP 2 = ED + DP − 2 ⋅ ED ⋅ DP ⋅ cos(120o ) ⇒ EP =
AE 2 = AF + FE − 2 ⋅ AF ⋅ FE ⋅ cos(120o ) ⇒ AE =
AC = AE = 3 ⋅ 3 und ∢ACB = ∢FEA = (180o − 120o ) : 2 = 30o ⇒
∢PCA = 120o − 30o = 90o (oder C auf Thaleskreis über [AD])
2
2
AP = AC + PC
2
2
2
⇒ AP =
27 + 1,52 =
also
117 3
= ⋅ 13
4
2
2
AE = EP + AP − 2 ⋅ EP ⋅ AP ⋅ cos(ϕ) ⇒
2
2
2
EP + AP − AE
15, 75 + 29, 25 − 27
cos(ϕ) =
=
= 0, 4193... ⇒ ϕ ≈ 65, 2o
2 ⋅ EP ⋅ AP
2 ⋅ 0, 5 ⋅ 63 ⋅1,5 ⋅ 13
4.
CN = NB = BM = MA = MN = 8 : 2 = 4
2
2
2
PM = AP + AM − 2 ⋅ AP ⋅ AM ⋅ cos 60o = 1, 52 + 4 2 − 2 ⋅1,5 ⋅ 4 ⋅ cos 60o = 12, 25 ⇒ PM = 3, 5
Für ϕ = ∢ PMA gilt :
sin ϕ
AP
1,5
⇒ sin ϕ = sin 60o ⋅
= 0,37115... ⇒ ϕ = 21, 786...o ≈ 21,8o
=
o
sin 60
3,5
PM
µ = 180o − 60o − ϕ ≈ 120o − 21,8o = 98, 2o
2
2
2
PN = PM + MN − 2 ⋅ PM ⋅ MN ⋅ cos µ ≈ 3,52 + 44 − 2 ⋅ 3, 5 ⋅ 4 ⋅ cos 98, 2o = 32, 2436... ⇒
PN = 5, 6783... ≈ 5, 7 und
sin η PM
3,5
=
⇒ sin η ≈ sin 98, 2o ⋅
≈ 0, 60989... ⇒ η ≈ 37, 6o
sin µ PN
5,68
5.
2
CB = 42 + 52 − 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ cos 50o = 15, 288... ⇒ CB = 3, 910... ≈ 3,9
sin (3ϕ)
4
4
1
=
⇒ sin (3ϕ) ≈ sin 50o ⋅
= 0, 7836... ⇒ ϕ = ⋅ 51,598...o = 17,199...o ≈ 17, 2o
o
sin 50
3,91
3
CB
Für ß = ∢ DBC gilt : ß = 180o − 3ϕ = 180o − 51, 598...o ≈ 128, 4o
sin ϕ CB
sin ß
sin128, 4o
=
⇒ CD = CB ⋅
≈ 3, 91 ⋅
= 10, 36... ≈ 10, 4
sin ß CD
sin ϕ
sin17, 2o
ε = ∢BCD = 180o − ß − ϕ ≈ 180o − 128, 4o − 17, 2o = 34,3o
BD sin ε
sin ε
sin 34,3o
⇒ BD = CB ⋅
≈ 3, 91 ⋅
= 7, 451... ≈ 7,5
=
sin ϕ
sin17, 2o
CB sin ϕ
6.
2
CB = 32 + 52 − 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ cos 65o = 21,321... ⇒ a = CB = 4, 617... ≈ 4, 6
Für ß = ∢ CBA gilt :
sin β
5
5
=
⇒ sin β ≈ sin 65o ⋅
= 0, 9808... ⇒ β = 78, 769...o ≈ 78,8o
o
sin 65
4, 62
CB
Für ε = ∢DBC gilt ε = 180o − ß ≈ 180o − 78,8o = 101, 2o
2
CD = a 2 + (1, 5a) 2 − 2 ⋅ a ⋅1,5a ⋅ cos ε = 3, 25a 2 − 3a 2 ⋅ cos ε ≈ 3, 25 ⋅ 21,32 − 3 ⋅ 21,32 ⋅ cos101, 2o
2
CD ≈ 81, 713... ⇒ CD = 9, 039... ≈ 9, 0
sin ϕ BD
1,5 ⋅ BC
1,5 ⋅ 4,62
=
⇒ sin ϕ = sin ε ⋅
≈ sin101, 2o ⋅
= 0, 75199... ⇒
sin ε CD
9, 04
CD
ϕ = 48, 76...o ≈ 48,8o