Analysis III k2 k2 2 k2 kx y 2 k2 kx y PC.

Prof. E. Wegert, Dr. G. Semmler
TU Bergakademie Freiberg
Sommersemester 2016
Analysis III
2. Aufgabenblatt: Topologische R
aume, Skalarproduktr
aume
1. Auf wieviele Weisen konnen die Mengen
(a) fa; bg
(b) fa; b; c g
zu einem topologischen Raum gemacht werden? Fuhren Sie alle moglichen Topologien auf!
2. Zeigen Sie, da der Durchschnitt zweier Topologien 1 ; 2 auf einer Menge M wieder eine Topologie
ist, ihre Vereinigung aber nicht unbegingt. U bertragt sich das Resultat uber den Durchschnitt von
zwei Topologien auf den Durchschnitt beliebiger Mengen von Topologien?
3. Es bezeichne trace A die Spur einer Matrix A. Man zeige, dass durch
(A; B) = trace(B A)
auf dem linearen Raum Cmn der komplexwertigen m n-Matrizen ein Skalarprodukt deniert
wird.
4. Es sei H ein Innenproduktraum. Man beweise, da durch
kx k := (x; x)1=2
auf H eine Norm deniert wird, die die Parallelogrammidentitat
kx + y k2 + kx y k2 = 2 kx k2 + 2 ky k2:
erfullt.
5. Sei X ein reeller oder komplexer normierter Raum, in dem die Parallelogrammgleichung
kx + y k2 + kx y k2 = 2kx k2 + 2ky k2
fur alle x; y 2 X gelte. Man zeige da durch die Polarisationsformeln
(a) (x; y) := k x +2 y k2 k x 2 y k2 im reellen Fall und
(b) (x; y) := k x +2 y k2 k x 2 y k2 + i k x +2iy k2 i k x 2iy k2 im komplexen Fall
ein Skalarprodukt deniert wird.
Hinweis: Zum Beweis der Homogenitat und Linearitat zeige man in (a) nacheinander (x; x) =
kx k2; (x; 0) = 0; (x; y) + (x 0; y) = 12 (x + x 0; 2y); (2x; y) = 2(x; y); (x + x 0; y) = (x; y) +
(x 0 ; y); (x; y) = (x; y) fur 2 Q, dann 2 R, in (b) zeige man zusatzlich (ix; y) =
i(x; y); (x; y) = (x; y) fur 2 C.
6. Man beweise: In jedem Innenproduktraum folgt aus kx + y k = kx k + ky k, dass einer der Vektoren
x oder y ein skalares Vielfaches des anderen ist.
1
7. Seien H1 und H2 beides reelle oder komplexe Skalarproduktraume mit Skalarprodukten (:; :)1 bzw.
(:; :)2 . Durch
(x1 ; x2 ) + (y1 ; y2 ) := (x1 + y1 ; x2 + y2 );
und
(x1 ; x2 ); (y1 ; y2 ) 2 H1 H2
(x1 ; x2 ) 2 H1 H2 ; 2 K
(x1 ; x2 ) := (x1 ; x2 );
wird H := H1 H2 zu einem Vektorraum.
(a) Zeigen Sie, da durch
(x; y) := (x1 ; y1 )1 + (x2 ; y2 )2 ;
x = (x1 ; x2 ) 2 H; y = (y1 ; y2 ) 2 H
ein Skalarprodukt auf H deniert wird.
(b) Beweisen Sie, da H genau dann vollstandig ist, wenn H1 und H2 vollstandig sind.
8. Man zeige fur jede stetig dierenzierbare Funktion f auf dem Intervall [ ; ] die Ungleichung
Z f (t) cos t
p
f 0 (t) sin t dt 2
Z 2
jf (t)j2 + jf 0(t)j2 dt
1=2
: