gleichsinnig geordnete reelle Zahlen: { a1 ≤···≤ an, b1 ≤···≤ bn

U.24 Tschebyscheffsche Ungleichung. Angenommen, a 1 , . . . , an und b1 , . . . , bn seien
gleichsinnig geordnete reelle Zahlen:
½
a1 ≤ · · · ≤ a n ,
oder
b1 ≤ · · · ≤ b n ,
½
a1 ≥ · · · ≥ a n ,
b1 ≥ · · · ≥ b n .
Dann gilt:
n
1X
a i bi ≥
n i=1
Ã
n
1X
ai
n i=1
!Ã
n
1X
bi
n i=1
!
.
Gleichheit gilt genau für a1 = · · · = an oder b1 = · · · = bn .
(U.39)
U.24 Beweis: In beiden Fällen gilt bezüglich der jeweiligen Ordnung der Zahlen a i und bi für
jedes Paar (i, j)
(ai − aj )(bi − bj ) ≥ 0.
(U.113)
Summation über beide Indizes und Ausmultiplizieren führt auf die Behauptung:
n X
n
X
(ai − aj )(bi − bj ) ≥ 0,
i=1 j=1
n
X
ai bi
i=1
2n
n
X
i=1
n
X
(1) −
j=1
ai bi − 2
n
X
i=1
n
X
i=1
ai
ai
n
X
bj −
j=1
n
X
n
X
j=1
aj
n
X
i=1
bi +
n
X
j=1
aj bj
n
X
(1) ≥ 0
oder
i=1
bi ≥ 0.
i=1
Aus (U.113) erkennen wir, daß das Gleichheitszeichen für ai = aj oder bi = bj für alle Paare
(i, j), also a1 = · · · = an oder b1 = · · · = bn gilt. ¤