Angewandte Geometrie

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. J. Hartl
SS 2008
Blatt 9
Angewandte Geometrie
Semestralprüfung am Dienstag, 15. Juli 2008, 12:00 - 13:30 Uhr
1. In der euklidischen Ebene E 2 sei eine algebraische Kurve k bezüglich eines
kartesischen xy-Koordinatensystems gegeben durch die Gleichung
k : (x − 1)2 (x2 + y 2 ) − 2x2 = 0.
(∗)
a) Geben Sie eine Gleichung (**) der projektiv erweiterten Kurve kp in
homogenen Koordinaten x0 , x1 = x0 x, x2 = x0 y an.
b) Ermitteln Sie alle (reellen und komplexen) Fernpunkte Fi von kp
(i = 1, . . .).
c) Führen Sie nun affine Koordinaten ein durch
ξ :=
x1
,
x2
η :=
x0
x2
c1) Welche Gerade g (Angabe bezüglich des xy-Koordinatensystems)
wird durch Einführung der Koordinaten ξ und η zur Ferngeraden?
c2) Geben Sie die Gleichung
Koordinatensystems an.
von
kp \ g
bezüglich
des
ξη-
c3) Geben Sie die ξη-Koordinaten der sämtlichen reellen Fernpunkte
(bezüglich der euklidischen Ebene E 2 ) von kp an.
Viel Erfolg, auch bei allen weiteren Prüfungen!
1
2. Eine gleichsinnige Bewegung β : E 3 → E 3 , β : X(~x) 7→ X ∗ (~x∗ ) ist bezüglich
eines kartesischen x1 x2 x3 -Rechts-Koordinatensystems gegeben durch eine Gleichung der Gestalt ~x∗ = A~x + w.
~ Dabei ist


 
3 0 −4
1



0 5 0
1 .
5A =
,w
~=
4 0 3
1
Aufgrund des Satzes von Chasles ist β eine Schraubung.
a) Ermitteln Sie einen Richtungseinheitsvektor ~r der Schraubachse a von β.
b) Durch welchen Punkt P (~p) = P (p1 , 0, p3 ) der x1 x3 -Ebene geht die
Schraubachse von β?
3. Bezüglich eines kartesischen x1 x2 x3 -Rechts- Koordinatensystems sei eine Kurve c im euklidischen Raum E 3 gegeben durch die Parameterdarstellung


cos t
~x(t) :=  sin t  .
cosh t
a) Ist die Kurve c regulär?
b) Geben Sie die Bogenlänge s(t) von c an, so dass s(0) = 0 gilt und dass
ṡ(0) > 0 gilt.
c) Geben Sie die Vektoren ~t, ~n und ~b des begleitenden Dreibeins von c
abhängig von dem Parameter t an.
d) Ermitteln Sie die Krümmung κ(t) und die Torsion τ (t) von c abhängig
vom Parameter t.
e) Ist c eine Böschungslinie? Begründung!
~ von c, abhängig vom Kurvenpaf ) Ermitteln Sie den Darboux-Vektor d(t)
rameter t.
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