Ph11 GK Bilanzgleichung am Beispiel der Energieerhaltung 2017

Ph11 GK
Bilanzgleichung am Beispiel der Energieerhaltung
2017-02-12
Bilanzgleichungen am Beispiel der Energieerhaltung
Die Erhaltungssätze der Energie- und Impulserhaltung dienen∗
• zur Aufstellung von Bilanzgleichungen, welche
• die Energie (bzw. die Impulse) in bestimmten Zuständen I, II etc. eines Systems
(z. B. ein fallender Stein in den Höhen hI , hII etc.) miteinander vergleichen und
• zur Bestimmung von Systemvariablen wie Geschwindigkeit v, Masse m, Höhe h
etc. in einem der Zustände verwendet werden können. Der zeitliche Verlauf (etwa
der Bewegung) kann dabei außer acht gelassen werden, was die Problemstellung
oft erheblich vereinfacht!
• Der absolute Zahlenwert der Energie eines Zustandes interessiert normalerweise nicht!
In einem Zustand eines mechanischen Systems verteilt sich die Gesamtenergie des
Systems auf alle oder einzelne verschiedene mechanische Energieformen potentielle,
kinetische, Feder-, Rotations- und Reibungs-Energie (oder Reibungsverluste bzw.
Energie, welche zur plastischen Verformung beiträgt):
(1)
Zustand I: EI = EIkin + EIpot + EIFeder + EIrot + EIReibung
In einem anderen Zustand II verteilt sich die Gesamtenergie wiederum auf die
einzelnen Energieformen.
II
II
II
II
Zustand II: EII = EII
kin + Epot + EFeder + Erot + EReibung
(2)
Die Verteilung auf die einzelnen Energieformen kann in diesem Zustand völlig anders
sein, d. h. im Allgemeinen ist z. B. EIkin 6= EII
kin .
Ist das System abgeschlossen, so bleibt die Gesamtenergie erhalten, ist also in allen
Zuständen gleich:
E = const ⇒ EI = EII = EIII = . . .
(3)
Der Vergleich der Energien zweier Zustände führt auf eine Bilanzgleichung:
EI = EII ⇔ . . .
∗
(4)
unter anderem!
Schuljahr 2016/17
Bonow
Seite 1–3
Ph11 GK
Bilanzgleichung am Beispiel der Energieerhaltung
2017-02-12
Beispiel A: Fallende Masse im Vakuum
Betrachtet werden drei Zustände: (I) Ausgangszustand in Höhe h, (II) auf halber Höhe
und (III) im Moment vor dem Aufprall auf den Boden.
EI = EIpot = mgh
II
EII = EII
pot + Ekin = mg
1
2
EIII = EIII
kin = mvIII
2
h 1
+ mv2II
2 2
(5)
Das System ist abgeschlossen, Energieerhaltung liefert E = EI = EII = EIII = const.
Vergleicht man Zustand I und III, so erhält man eine Bilanzgleichung (Auf den Index
von v wird hier der Übersichtlichkeit halber verzichtet.):
p
1
2⇔v=
mv
2gh
EI = EIII ⇔ mgh
= 2
(6)
Die Masse wird weggekürzt; der Fall ist also unabhängig von der Masse des fallenden
Körpers: Körper fallen im Vakuum alle mit gleicher Geschwindigkeit. Der absolute
Zahlenwert der einzelnen Energien ist hierbei nicht von Bedeutung! ∗
Beispiel B: Schiefe Ebene
Betrachtet werden zwei Zustände: (I) Beginn der Bewegung in Höhe h und (II) am
Ende der schiefen Ebene.
1
2
(7)
EI = EIpot = mgh und EII = EII
kin = mv
2
Das System ist abgeschlossen, Energieerhaltung liefert E = EI = EII = const.
Vergleicht man die Zustände I und II, so erhält man die identische Bilanzgleichung
wie in Gleichung (6):
p
1
2⇔v=
EI = EII ⇔ mgh
= mv
2gh
2
(8)
Die Endgeschwindigkeit v am Boden ist also unabhängig vom Weg, auf dem die Masse
den Boden erreicht hat: Für den freien Fall oder die schiefe Ebene mit beliebigem
Insbesondere ginge durch Zahlenwerte—etwa 42 J = 21 kg · v2 —die physikalische Information
verloren!
∗
Schuljahr 2016/17
Bonow
Seite 2–3
Ph11 GK
Bilanzgleichung am Beispiel der Energieerhaltung
2017-02-12
Neigungswinkel kommt es ausschließlich auf den Höhenunterschied an. Der absolute
Zahlenwert der einzelnen Energien ist hierbei nicht von Bedeutung! ∗
Aufgabe 1 Komplexes Beispiel
Ein Körper der Masse m hängt im Zustand I auf Höhe h an einer Feder mit Federkonstante D, welche er um die Strecke ∆s aus ihrer Ausgangslänge gedehnt hat. Der
Körper bewegt sich mit der Geschwindigkeit vI nach unten.
Im Zustand II hat er die Feder um die doppelte Strecke 2∆s gedehnt. Gesucht ist
die Geschwindigkeit vII des Körpers.
a) Skizzieren Sie die beiden Zustände I und II. Hinweis: Die Masse befindet sich im
Zustand I auf Höhe h, im Zustand II auf Höhe h − ∆s; die Feder ist oberhalb
der Masse. Die Länge der Feder interessiert nicht, für die Energiebetrachtung
reicht die Ausdehnung aus der Ausgangslänge aus!
b) Geben Sie die Gesamtenergie für Zustand I als Summe einzelner Energieformen an.
c) Geben Sie die Gesamtenergie für Zustand II als Summe einzelner Energieformen an.
d) Stellen Sie mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes eine Bilanzgleichung auf und
ermitteln Sie vII .
Der absolute Zahlenwert der einzelnen Energien ist hierbei nicht von Bedeutung!
verhindert !
gedehnte Feder mehr Energie speichert. Explizite Zahlenwerte hätten die anschauliche Interpretation
Bewegungsenergie umgewandelt hat. Der Term
3D/m
· (∆s)2 wird abgezogen, weil die um das doppelte
Der Term 2g∆s kommt hinzu, weil die Masse durch die Bewegung nach unten potenzielle Energie in
EI = EII ⇔ vII =
vI2 + 2g∆s −
3D
(∆s)2
m
1
1
I
I
I
+ EFeder
= mgh + mvI2 + D(∆s)2
EI = Epot
+ Ekin
2
2
1
1
II
II
II
2
2
EII = Epot
+
E
kin + EFeder = mg(h − ∆s) + mvII + D(2∆s)
2
2
r
(9)
Lösung:
Wiederum hätten andere Zahlenwerte für die Variablen m, g und h diesen Zusammenhang verdeckt :
3,147 J = 2,718 kg · v2
∗
Schuljahr 2016/17
Bonow
Seite 3–3