Formelsammlung Mathematik für technische Assistenten - Beck-Shop

Formelsammlung Mathematik für technische Assistenten
Bearbeitet von
Lothar Selle
1. Auflage 2009. Taschenbuch. 296 S. Paperback
ISBN 978 3 8085 8532 0
Format (B x L): 21 x 29,7 cm
Gewicht: 772 g
schnell und portofrei erhältlich bei
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Formelsammlung
Mathematik für technische Assistenten
von L. Selle
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
Europa-Nr.: 85320
Autor: Lothar Selle, Bad Berleburg
Lektorat: Ulrike Klein, Berlin
Bildentwürfe: Lothar Selle
Bilderstellung: Lothar Selle, Bearbeitung durch Verlag Europa-Lehrmittel, Zeichenbüro, Ostfildern
Das vorliegende Buch wurde auf der Grundlage der aktuellen amtlichen Rechtschreibregeln erstellt.
1. Auflage 2009
Druck 5 4 3 2 1
Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern
untereinander unverändert sind.
ISBN 978-3-8085-8532-0
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
© 2009 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten
http://www.europa-lehrmittel.de
Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 42477 Radevormwald
Satz: Satz+Layout Werkstatt Kluth GmbH, 50374 Erftstadt
Druck: Konrad Triltsch Print und digitale Medien GmbH, 97199 Ochsenfurt-Hohestadt
Vorwort
Die ersten Schritte zur Erstellung der Formelsammlung für Technische Assistenten liegen viele Jahre zurück.
Sie ergaben sich aus den Bedürfnissen in meinem eigenen Unterricht.
Zum Inhalt
Technische Assistenten sind auf gute mathematische Kenntnisse angewiesen. Die Anforderungen an die
Berufe
Elektrotechnischer Assistent/Elektrotechnische Assistentin,
Informationstechnischer Assistent/Informationstechnische Assistentin und
Physikalisch-technischer Assistent/Physikalisch-technische Assistentin
sind sehr ähnlich. Deshalb bietet es sich an, eine Formelsammlung zu erstellen, die die Mathematik dieser drei
Fachrichtungen zusammenfasst.
Ebenso werden die Anforderungen der Fachoberschule für Technik erfüllt.
Das Kapitel Statistik ist sehr umfangreich. Deshalb ist diese Formelsammlung auch für Technische Assistenten
der Fachrichtungen Chemie und Biologie hilfreich.
Im Wesentlichen werden zwei Ziele verfolgt.
t %
JF'PSNFMTBNNMVOHTPMMdas mathematische Lehrbuch ergänzen und zusätzliche Grundlagen für den
Unterricht anbieten. Sie soll den Lehrer dabei unterstützen, auf Probleme einzugehen, die in der Unterrichtssituation entstehen, und sie soll es dem Lehrer erleichtern, (auch spontan) fachgerechte Beispiele zu
formulieren, die das Verständnis erleichtern und die Motivation fördern.
Aus diesem Grund sind die Kapitel Wechselstromrechnung und Schaltalgebra aufgenommen sowie viele
technisch bedeutsame Funktionen dargestellt.
Im Anhang findet man naturwissenschaftliche Grundkenntnisse und umfangreiches Datenmaterial aus
Technik und Naturwissenschaften.
t %
JF'PSNFMTBNNMVOHJTUEBSàCFSIJOBVTBMT"SCFJUTNJUUFMEFT4DIàMFSTVOEEFTGFSUJHBVTHFCJMEFUFO5FDInischen Assistenten angelegt. Sie enthält mehr als 150 Musterlösungen für Gleichungen, eine Integraltafel
mit mehr als 300 technisch bedeutsamen Integralen sowie Tafeln aller wichtigen statistischen Verteilungen.
Die korrekte Nutzung anspruchsvoller Formeln wird durch Beispiele erleichtert.
Zur Vertiefung des Verständnisses sind viele Beweise von Sätzen mit aufgenommen, die zugleich auch als
Beispiele für Beweise dienen.
Die Vorgaben aller vorläufigen und gültigen Lehrpläne der Bundesländer für Technische Assistenten der Fachrichtungen Elektrotechnik, Informationstechnik und Physiktechnik sind berücksichtigt.
Zur Darstellung
Das schnelle Auffinden von Informationen wird auf mehrfache Weise unterstützt:
t Unterlegung mit unterschiedlichen Farben
(siehe Hinweise zur Gestaltung, S. 5)
t Drei unterschiedlich detaillierte Inhaltsverzeichnisse:
1) Übersicht der Kapitel, S. 5
2) Grobes Inhaltsverzeichnis (bis Ebene 3), S. 5 ff.
3) Detailliertes Inhaltsverzeichnis (bis Ebene 5), jeweils am Kapitelanfang
t 6NGBOHSFJDIFTSachwortregister mit mehr als 4000 Einträgen
Die Formelsammlung enthält mehr als 600 Abbildungen. Bei der räumlichen Darstellung von Körpern habe ich
auf eine gute plastische Wirkung Wert gelegt.
Hinweise und Ergänzungen, die zur Verbesserung und Weiterentwicklung des Buches beitragen, werden unter
der Verlagsadresse oder per E-Mail ([email protected]) dankbar entgegengenommen.
Bad Berleburg, im November 2009
Lothar Selle
Herzlichen Dank
an die Setzerei Kluth sowie an meinen Kollegen Dr. Gerd Disse für deren Unterstützung.
Inhalt –
Hinweise zur Gestaltung
Um das schnelle Auffinden der gewünschten
Informationen zu unterstützen und bestimmte
Inhalte angemessen hervorzuheben wurden
bevorzugt die folgenden Hintergrundfarben
gewählt:
Definition,
Satz,
wichtige Information
oder
Definition,
Satz,
Übersicht,
wichtige Information
und
Nützlicher Hinweis,
hilfreiche Erläuterung
oder
Tabellenkopf
Tipp,
nützlicher Hinweis,
hilfreiche Erläuterung
und
Tabellenkörper
Musterlösung,
Beweis
Inhalt
Detailliertere Inhaltsangaben an jedem Kapitelanfang
1 Grundlagen
Kapitelinhalt...............................8
Bezeichnungen und Symbole ..8
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
1.1.6
1.1.7
Symbole der Arithmetik ......................8
Symbole für Konstanten ....................9
Symbole der Geometrie .....................9
Symbole der Algebra .........................9
Bezeichnungen für Zahlen .................9
Bezeichnungen in Funktionen ...........9
Bezeichnungen in
Koordinatensystemen ........................9
1.2
Formale Regeln .......................10
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6
1.2.7
1.2.8
1.2.9
1.2.10
Vorzeichen .......................................10
Summen ..........................................10
Differenzen ......................................10
Produkte ..........................................10
Quotienten .......................................10
Klammern ........................................10
Hierarchie der Rechenoperationen ..10
Potenzen.......................................... 11
Wurzeln ............................................ 11
Trigonometrische Funktionen .......... 11
1.3
Ordnung der Zahlen ................11
1.3.1
1.3.2
Übersicht.......................................... 11
Definitionen ...................................... 11
1.4
Grundlegende Gesetze ...........12
1.4.1
1.4.2
1.4.3
Neutrale Elemente ...........................12
Inverse Elemente .............................12
Kommutativgesetze –
Vertauschungsgesetze ....................12
Assoziativgesetze –
Verknüpfungsgesetze ......................12
Distributivgesetz – Verteilungsgesetz .............................................12
1.4.4
und
1.4.5
Beispiel,
Übungsaufgabe
Übersicht
1 Grundlagen
8
2 Arithmetik
30
3 Algebra
50
4 Geometrie
84
5 Imaginäre und
komplexe Zahlen
112
6 Vektorrechnung
116
7 Determinanten und
Matrizen
122
8 Stochastik
134
9 Folgen und Reihen
162
8
1.0
1.1
1.5
Umrechnung von Einheiten ...12
1.5.1
1.5.2
Grundsätzliches Verfahren ..............12
Beispiele ..........................................12
1.6
Runden ....................................13
1.6.1
1.6.2
1.6.3
1.6.4
Allgemeine Rundungsregeln............13
Rundungsverfahren .........................13
Rundungsarten ................................13
Formale Regel .................................13
1.7
Taschenrechner .......................13
1.7.1
1.7.2
1.7.3
1.7.4
1.7.5
1.7.6
1.7.7
1.7.8
1.7.9
1.7.10
Allgemeine hinweise ........................13
TR-Rechenlogiken ...........................14
TR-Typen .........................................14
TR-Zahlenbereich ............................14
TR-Genauigkeit................................14
Rundung ..........................................15
TR-Handhabung ..............................15
Konstantenautomatik .......................16
TR-Bedienungsfehler .......................17
Übungsbeispiele ..............................18
1.8
Kopfrechnen ............................18
1.8.1
1.8.2
1.8.3
1.8.4
1.8.5
Einfache Multiplikationen .................18
Divisionen ........................................19
Quadrate ..........................................19
Produkte ..........................................19
Abschätzung von Brüchen ...............20
1.9
Logik.........................................20
Bezeichnungen ................................20
Symbole ...........................................20
Definitionen ......................................20
Regeln zur Vereinfachung ...............20
Gesetze ...........................................21
10 Funktionen
168
11 Differenzialrechnung
188
12 Integralrechnung
196
1.9.1
1.9.2
1.9.3
1.9.4
1.9.5
216
1.10
Mengenlehre ............................21
1.10.1
1.10.2
1.10.3
1.10.4
1.10.5
1.10.6
1.10.7
1.10.8
Bezeichnungen ................................21
Symbole ...........................................21
Formale Vereinfachung....................22
Mengenbeschreibungen ..................22
Definitionen ......................................22
Spezielle Mengeneigenschaften ......23
Regeln zur Vereinfachung ...............23
Sätze................................................23
13 Beweistechniken
14 Wechselstromrechnung 218
15 Schaltalgebra
226
16 Laborarbeit
230
17 Anhang
238
1.11
Elementare Lösungsverfahren 24
1.11.1
1.11.2
1.11.3
1.11.4
1.11.5
Dreisatz............................................24
Verhältnisrechnung ..........................24
Prozentrechnung .............................26
Zinsrechnung ...................................27
Mischungsrechnung.........................28
1.12
Umgang mit Zahlentabellen ...29
1.12.1 Lineare Interpolation ........................29
1.12.2 Umgekehrte Werteentnahme...........29
2
Arithmetik
30
2.0
2.1
Kapitelinhalt.............................30
Rechnen mit bestimmten
Zahlen.......................................30
2.1.1
2.1.2
2.1.3
Bezeichnungen ................................30
Teilbarkeit von Zahlen ......................30
Rechnen mit 0, 1 und ∞ ...................32
2.2
Rechnen mit allgemeinen
Zahlensymbolen ......................32
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6
2.2.7
Definitionen ......................................32
Brüche .............................................32
Klammern ........................................33
Binome.............................................34
Faktorzerlegung ...............................35
Polynomdivision ...............................35
Spezielle Rechenoperationen ..........36
2.3
Summe .....................................37
2.3.1
2.3.2
Definitionen ......................................37
Rechenregeln ..................................37
2.4
Produkt.....................................37
2.4.1
2.4.2
Definitionen ......................................37
Rechenregeln ..................................38
2.5
Potenzen ..................................38
2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.5.4
Definitionen ......................................38
Formale Vereinfachung....................38
Spezielle Werte................................38
Potenzgesetze .................................38
2.6
Wurzeln ....................................39
2.6.1
2.6.2
2.6.3
2.6.4
Definitionen ......................................39
Formale Vereinfachungen................40
Spezielle Werte................................40
Wurzelgesetze .................................40
2.7
Logarithmen ............................41
2.7.1
2.7.2
2.7.3
2.7.4
2.7.5
Definition ..........................................41
Spezielle Werte................................42
Modul für die Basistransformation ...42
Logarithmengesetze ........................42
Beziehungen zwischen Logarithmen.43
2.8
Zahlensysteme ........................43
2.8.1
2.8.2
Stellenwertsysteme..........................44
Römisches Zahlensystem................47
3
Algebra
50
3.0
3.1
Kapitelinhalt.............................50
Grundlagen ..............................50
3.1.1
3.1.2
3.1.3
Definition ..........................................50
Bezeichnungen ................................50
Gleichungsarten...............................51
3.2
Umformung von Gleichungen .52
3.2.1
3.2.2
Formale Regeln ...............................52
Äquivalenzumformung von
Gleichungen .......................................52
Nichtäquivalente Umformung
von Gleichungen ..............................53
3.2.3
3.3
Lineare Gleichungen
mit einer Unbekannten ...........54
3.3.1
3.3.2
3.3.3
Allgemeiner Hinweis ........................54
Bezeichnungen ................................54
Lösungsschritte................................54
3.4
Quadratische Gleichungen ....54
3.4.1
3.4.2
3.4.3
Lösungsstrategie .............................54
Vorbereitung der Lösung .................54
Übersicht zu den
quadratischen Gleichungen .............55
Musterlösungen ...............................55
Wurzelsätze von Vieta .....................55
3.4.4
3.4.5
5
6 – Inhalt
3.5
Wurzelgleichungen .................56
3.5.1
3.5.2
3.5.3
3.5.4
3.5.5
3.5.6
3.5.7
3.5.8
Formale Regeln ...............................56
Wichtige Beziehungen .....................56
Lösungsstrategie .............................56
Vorbereitung der Lösung .................56
Lösungsschritte................................56
Übersicht zu den Wurzelgleichungen 57
Musterlösungen ...............................57
Sonderfälle.......................................58
3.6
Gleichungen von
höherem Grad..........................58
3.6.1
3.6.2
3.6.3
Formale Vereinfachung ...................58
Übersicht zu den
Gleichungen höheren Grades..........59
Musterlösungen ...............................59
3.7
Exponentialgleichungen.........59
3.7.1
3.7.2
3.7.3
3.7.4
3.7.5
3.7.6
Formale Vereinfachungen................59
Wichtige Beziehungen .....................59
Lösungsstrategie .............................60
Vorbereitung der Lösung .................60
Übersicht zu den
Exponentialgleichungen...................60
Musterlösungen ...............................60
3.8
Logarithmische Gleichungen ..61
3.8.1
3.8.2
3.8.3
3.8.4
3.8.5
3.8.6
3.8.7
Abkürzungen....................................61
Hinweis zur Form .............................61
Wichtige Beziehungen .....................61
Lösungsstrategie .............................61
Vorbereitung der Lösung .................61
Übersicht zu den
logarithmischen Gleichungen ..........62
Musterlösungen ...............................62
3.9
Goniometrische Gleichungen ..62
3.9.1
3.9.2
3.9.3
3.9.5
3.9.6
Formale Vereinfachungen................62
Wichtige Beziehungen .....................62
Lösungsstrategie .............................63
Vorbereitung der Lösung .................63
Übersicht zu den
goniometrischen Gleichungen .........63
Musterlösungen ...............................64
3.9.7
3.10
Lineares Gleichungssystem
mit zwei Unbekannten ............71
3.10.1
3.10.2
3.10.3
3.10.4
Bezeichnungen und Symbole ..........71
Allgemeines Lösungsprinzip ............72
Kriterien für die Lösbarkeit ...............72
Lösungsverfahren ............................72
3.11
Lineares Gleichungssystem
mit drei Unbekannten .............74
3.11.1
3.11.2
3.11.3
3.11.4
Bezeichnungen und Symbole ..........74
Allgemeines Lösungsprinzip ............74
Kriterien für die Lösbarkeit ...............74
Lösungsverfahren ............................75
3.12
Lineares (m, n)-Gleichungssystem ......................................76
3.12.1
3.12.2
3.12.3
3.12.4
3.12.5
Allgemeine Form..............................76
Bezeichnungen ................................76
Kriterien für die Lösbarkeit ...............77
Gaußscher Algorithmus ...................77
Lösung mit Determinanten...............78
3.13
Nichtlineare Gleichungssysteme ....................................78
3.13.1 Erläuterung ......................................78
3.13.2 Lösungsprinzip.................................78
3.13.3 Beispiel ............................................78
3.14
Ungleichungen ........................80
3.15.1 Umformung von Ungleichungen ......81
3.15.2 Lösungsbeispiel ...............................82
4
Geometrie
84
4.0
4.1
Kapitelinhalt.............................84
Grundlagen ..............................85
4.1.1
4.1.2
4.1.3
Winkel ..............................................85
Dreieck.............................................85
Rechtwinkliges Dreieck....................86
Kreis.................................................87
Geometrische Konstruktionen .........87
4.2
Planimetrie ...............................90
4.2.1
4.2.2
Formelzeichen .................................90
Längen – Flächen ............................90
4.3
Stereometrie ............................93
4.3.1
4.3.2
Formelzeichen .................................93
Längen – Flächen – Volumen ..........93
4.4
Koordinatensysteme...............97
4.4.1
4.4.2
4.4.3
4.4.4
Kartesische Koordinaten..................97
Polarkoordinaten..............................97
Koordinatentransformation ..............97
Logarithmische Maßstäbe ...............98
4.5
Trigonometrie ..........................98
4.5.1
4.5.2
4.5.3
Definitionen ......................................99
Formale Vereinfachungen................99
Trigonometrische Funktionen am
Einheitskreis .......................................99
Konstruktion der trigonometrischen
Funktionen ............................................. 99
Funktionswerte ..............................100
Beziehungen zwischen
Funktionswerten ..............................100
Beziehungen zwischen Funktionen .100
4.5.4
4.5.5
4.5.6
4.5.7
6
Vektorrechnung
118
6.0
6.1
Kapitelinhalt...........................118
Grundlagen ............................118
6.1.1
6.1.2
6.1.3
6.1.4
6.1.5
Anwendungsbereich ...................... 118
Definitionen .................................... 118
Symbole ......................................... 118
Bezeichnungen .............................. 119
Eigenschaften von Vektoren .......... 119
6.2
Vektorielle Operationen ........119
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.2.4
6.2.5
6.2.6
6.2.7
6.2.8
Vektoraddition ................................ 119
Vektorsubtraktion ........................... 119
S-Multiplikation .............................. 119
Skalarprodukt................................. 119
Vektorprodukt – Kreuzprodukt .......120
Raumdiagonale..............................120
Fläche ............................................120
Spatprodukt ...................................120
6.3
Spezielle Werte ......................120
6.3.1
6.3.2
Neutrale Elemente .........................120
Inverse Elemente ...........................120
6.4
Gesetze ..................................120
6.4.1
6.4.2
6.4.3
Kommutativgesetze .......................120
Assoziativgesetze ..........................121
Distributivgesetze ..........................121
4.6
Schiefwinklige Dreiecke .......100
4.6.1
4.6.2
4.6.3
4.6.4
4.6.5
4.6.6
4.6.7
4.6.8
4.6.9
4.6.10
4.6.11
4.6.12
4.6.13
Sinussatz .......................................100
Kosinussatz ...................................100
Tangenssatz...................................101
Winkelbeziehungen .......................101
Mollweidesche Formeln .................101
Halbwinkelsätze .............................101
Fläche ............................................101
Höhen ............................................101
Umkreisradius ................................101
Inkreisradius ..................................101
Seitenhalbierende ..........................102
Winkelhalbierende .........................102
Schwerpunkt ..................................102
6.5
Regeln ....................................122
6.5.1
6.5.2
6.5.3
Addition ..........................................122
Subtraktion.....................................122
Vektorprodukt.................................122
4.7
Goniometrie ...........................102
4.7.1
Beziehungen zwischen
Funktionswerten ................................. 102
Additionstheoreme .........................102
Produktformeln ..............................103
Winkelvielfache ..............................103
Winkelbruchteile ............................103
Potenzen von trigonometrischen
Funktionen .....................................103
4.7.2
4.7.3
4.7.4
4.7.5
4.7.6
4.8
Analytische Geometrie .........103
4.8.1
4.8.2
4.8.3
4.8.4
4.8.5
4.8.6
4.8.7
4.8.8
4.8.9
Gerade ...........................................103
Parabel ..........................................104
Hyperbel ........................................104
Kreis...............................................105
Ellipse ............................................105
Länge – Fläche – Volumen ............106
Schnittpunkt – Tangente – Senkrechte 106
Krümmung .....................................107
Schwerpunkt ..................................108
4.9
Perspektivische Darstellung 110
4.9.1
4.9.2
4.9.3
Parallelperspektive ........................ 110
Zentralperspektive ......................... 110
Schriftgröße ................................... 112
5
Umstellen von Formeln ..........79
3.14.1 Allgemeines .....................................79
3.14.2 Grundprinzip ....................................79
3.14.3 Maßvorsilben in Formeln .................80
3.15
4.1.4
4.1.5
Imaginäre und
komplexe Zahlen
114
5.0
5.1
Kapitelinhalt...........................114
Imaginäre Zahlen...................114
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
Anwendungsbereich ...................... 114
Definitionen .................................... 114
Besondere Werte ........................... 114
Rechenregeln ................................ 114
5.2
Komplexe Zahlen ..................114
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.2.5
5.2.6
Definitionen .................................... 114
Symbole ......................................... 114
Algebraische Form......................... 114
Gesetze ......................................... 115
Goniometrische Form .................... 116
Eulersche Form ............................. 116
7
Determinanten und
Matrizen
124
7.0
7.1
Kapitelinhalt...........................124
Determinanten .......................124
7.1.1
7.1.2
7.1.3
Grundlagen ....................................124
Determinantengesetze...................125
Anwendungsbeispiel ......................128
7.2
Matrizen..................................129
7.2.1
7.2.2
Grundlagen ....................................129
Rechenregeln ................................132
8
Stochastik
136
8.0
8.1
Kapitelinhalt...........................136
Kombinatorik .........................136
8.1.1
8.1.2
8.1.3
Permutationen ...............................136
Variationen .....................................137
Kombinationen ...............................138
8.2
Wahrscheinlichkeitsrechnung ................................138
8.2.1
8.2.2
8.2.3
8.2.4
8.2.5
Zufällige Ereignisse .......................139
Wahrscheinlichkeit .........................139
Besondere Ereignisse....................140
Mehrfachereignisse .......................141
Baumdiagramm .............................143
8.3
Statistik ..................................146
8.3.1
8.3.2
8.3.3
8.3.4
8.3.5
8.3.6
8.3.7
8.3.8
Grundlagen ....................................146
Mittelwerte .....................................146
Statistische Streumaße..................150
Verteilungsfunktionen ....................152
Auswertung von Messreihen .........155
Statistische Prüfverfahren..............156
Trendlinien .....................................160
Regressionskurven ........................162
9
Folgen und Reihen
164
9.0
9.1
Kapitelinhalt...........................164
Folgen ....................................164
9.1.1
9.1.2
9.1.3
9.1.4
9.1.5
Symbolik ........................................164
Folgenbeschreibungen ..................164
Spezielle Folgen ............................164
Eigenschaften von Folgen .............165
Grenzwert von Folgen ...................166
9.2
Reihen ....................................167
9.2.1
9.2.2
9.2.3
Arithmetische Reihe.......................167
Geometrische Reihe ......................168
Spezielle endliche Reihen .............168
Inhalt –
9.2.4
9.2.5
10
10.0
10.1
Spezielle unendliche Reihen .........168
Grenzwert von Reihen ...................169
Funktionen
170
Kapitelinhalt...........................170
Definitionen ...........................170
10.1.1 Funktion .........................................170
10.1.2 Umkehrfunktion..............................170
10.2
Eigenschaften........................171
10.2.1
10.2.2
10.2.3
10.2.4
10.2.5
10.2.6
10.2.7
10.2.8
Monotonie ......................................171
Eindeutigkeit ..................................171
Eineindeutigkeit .............................171
Grenzwert ......................................171
Stetigkeit ........................................171
Differenzierbarkeit..........................172
Integrierbarkeit ...............................172
Krümmung .....................................172
10.3
Sätze .......................................173
10.3.1
10.3.2
10.3.3
10.3.4
10.3.5
Existenz der Umkehrfunktion .........173
Sätze für stetige Funktionen ..........173
Weitere Sätze für Funktionen ........173
Grenzwertsätze..............................173
Unbestimmte Ausdrücke ................173
10.4
Spezielle Funktionen ............175
10.4.1
10.4.2
10.4.3
10.4.4
Potenzfunktion ...............................175
Wurzelfunktion ...............................175
Kehrwertfunktion ............................176
Potenzfunktionen mit
beliebigem positivem Exponenten .176
10.4.5 Potenzfunktionen mit beliebigem
ganzzahligem Exponenten ............177
10.4.6 Exponentialfunktion .......................177
10.4.7 Logarithmusfunktion ......................177
10.4.8 Trigonometrische Funktionen ........178
10.4.9 Zyklometrische Funktionen ............179
10.4.10 Hyperbolische Funktionen .............180
10.4.11 Areafunktionen...............................180
10.4.12 Betragsfunktion ..............................181
10.4.13 Gebrochene Funktionen ................181
10.4.14 Technisch bedeutsame Funktionen183
10.4.15 Notenfunktion.................................188
12.2
Integration..............................199
12.2.1 Grundintegrale ...............................199
12.2.2 Integrationsregeln ..........................199
12.2.3 Beweise und Beispiele zu den
Integrationsregeln ................................ 199
12.2.4 Integraltafel ....................................200
12.2.5 Graphische Deutung ......................214
12.2.6 Bestimmtes Integral .......................215
12.3
Anwendung............................216
12.3.1 Längenberechnung (Rektifikation) .216
12.3.2 Flächenberechnung (Quadratur) ...216
12.3.3 Volumenberechnung (Kubatur) ......216
13
13.0
13.1
13.2
13.3
14
218
Kapitelinhalt...........................218
Direkter Beweis .....................218
Indirekter Beweis ..................218
Induktiver Beweis..................218
17.1.1
17.1.2
17.1.3
17.1.4
Teilbarkeit von Zahlen ....................241
Binomialkoeffizienten .....................243
Pythagoreische Zahlentripel ..........243
Statistische Verteilungen ...............244
17.2
Kaufmännische Taschenrechner ...................................... 250
17.2.1
17.2.2
17.2.3
17.2.4
17.2.5
17.2.6
17.2.7
Allgemeine hinweise ......................250
TR-Zahlenbereich ..........................250
TR-Genauigkeit..............................250
Rundung ........................................250
TR-Handhabung ............................251
Konstantenautomatik .....................252
TR-Bedienungsfehler .....................252
17.3
Konstanten ............................252
Beweistechniken
Wechselstromrechnung
220
14.0
14.1
Kapitelinhalt...........................220
Einführung .............................220
14.1.1
14.1.2
14.1.3
14.1.4
14.1.5
14.1.6
14.1.7
Anwendungsbereich ......................220
Symbole .........................................220
Augenblickswerte...........................221
Effektivwert ....................................221
Addition von Wechselgrößen .........222
Wirk-, Blind- und Scheingrößen .....222
Grundschaltungen .........................223
14.2
Wechselstromwiderstände ...223
14.2.1
14.2.2
14.2.3
14.2.4
14.2.5
Widerstände...................................223
Leitwerte ........................................224
Komplexe Scheinwiderstände .......224
Komplexe Scheinleitwerte .............224
Eulersche Form .............................225
14.3
Berechnungsbeispiele ..........225
14.3.1 Reihenschaltung RLC ..................225
14.3.2 Parallelschaltung RLC ..................226
11.0
11.1
Kapitelinhalt...........................190
Grundlagen ............................190
15.0
15.1
Kapitelinhalt...........................228
Grundlagen ............................228
11.1.1
11.1.2
11.1.3
11.1.4
11.1.5
Ziel der Differenzialrechnung .........190
Steigung.........................................190
Symbolik ........................................190
Grenzwertbestimmung...................190
Anwendungsbereich ......................191
15.1.1 Symbolik ........................................228
15.1.2 Grundschaltungen .........................228
11.2
Differenziation .......................191
228
15.2
Gesetze ..................................229
11.2.1 Ableitungen ....................................191
11.2.2 Ableitungsregeln ............................191
11.2.3 Beispiele zu den Ableitungsregeln .191
15.2.1
15.2.2
15.2.3
15.2.4
15.2.5
15.2.6
Kommutativgesetze .......................229
Assoziativgesetze ..........................229
Distributivgesetze ..........................229
Idempotenzgesetze .......................230
Verschmelzungsgesetze ................230
Gesetze von de Morgan ................230
11.3
15.3
Regeln zur Vereinfachung ....231
12.0
12.1
198
Kapitelinhalt...........................198
Grundlagen ............................198
12.1.1 Ziel der Integralrechnung ...............198
12.1.2 Symbolik ........................................198
12.1.3 Anwendungsbereich ......................198
15.3.1 Signal und Konstante.....................231
15.3.2 Signal und Signalumkehrung .........231
16
16.0
16.1
Laborarbeit
232
Kapitelinhalt...........................232
Messwerte ..............................232
16.1.1 Messtechnische Grundbegriffe ......232
16.1.2 Rechnen mit Messwerten ..............233
16.2
Ausgleichsrechnung.............236
16.4.1 Günstigster Schätzwert einer
Messreihe ......................................236
16.4.2 Ausgleichskurven...........................237
Anhang ........................240
Schaltalgebra
Integralrechnung
16.4
Kapitelinhalt...........................240
Ergänzungen zur Mathematik .241
15
12
Reihenentwicklung.........................235
Näherungsformeln .........................235
Näherungswerte ............................236
Trigonometrische Näherungswerte 236
17
Differenzialrechnung 190
Anwendung............................191
Näherungsrechnung .............235
16.3.1
16.3.2
16.3.3
16.3.4
17.0
17.1
11
11.3.1 Kurvendiskussion...........................191
11.3.2 Extremwertaufgaben......................196
11.3.3 Newtonsches Näherungsverfahren197
16.3
Fehlerrechnung .....................234
16.2.1 Einführung .....................................234
16.2.2 Gesetze der Fehlerrechnung .........235
17.3.1 Mathematische Konstanten ...........252
17.3.2 Chemische Konstanten..................253
17.3.3 Physikalische Konstanten ..............253
17.4
Aus den Naturwissenschaften ................................. 253
17.4.1 Grundlagen der Chemie ................253
17.4.2 Aus der Physik ...............................263
17.5
Ausgewählte Daten ...............269
17.5.1
17.5.2
17.5.3
17.5.4
17.5.5
17.5.6
Kernphysikalische Daten ...............269
Astronomische Daten ....................269
Geographische Daten ....................271
Technische Großprojekte ...............272
Angloamerikanische Einheiten ......273
Materialkonstanten ........................275
Abkürzungen.....................................278
Personenregister ..............................279
Literaturverzeichnis .........................283
Mathematik ..............................................283
Technik ....................................................283
Chemie ....................................................283
Physik ......................................................283
Elektrotechnik ..........................................283
Informatik .................................................283
Allgemeine Nachschlagewerke................283
Sachwortregister ..............................284
7
01
8 – 1 Grundlagen
1
Grundlagen
1.6.3
1.0
Kapitelinhalt
1.6.4
Formale Regel .................................13
1.7
Taschenrechner .......................13
1.7.1
Allgemeine hinweise ........................13
1.1
Bezeichnungen und Symbole ..8
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
Symbole der Arithmetik ......................8
Symbole für Konstanten ....................9
Symbole der Geometrie .....................9
Symbole der Algebra .........................9
Bezeichnungen für Zahlen .................9
1.1.5.1
1.1.5.2
Zahlennamen .......................................... 9
Maßvorsilben .......................................... 9
1.1.5.2.1
1.1.5.2.2
Dezimale Maßvorsilben...............................9
Nichtdezimale Maßvorsilben .......................9
1.1.6
1.1.7
Bezeichnungen in Funktionen ...........9
Bezeichnungen in Koordinatensystemen ..9
1.2
Formale Regeln .......................10
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6
Vorzeichen .......................................10
Summen ..........................................10
Differenzen ......................................10
Produkte ..........................................10
Quotienten .......................................10
Klammern ........................................10
1.2.6.1
1.2.6.2
1.2.7
1.2.7.1
1.2.7.2
1.2.7.3
Mehrfache Klammern............................ 10
Doppelte Rechenoperationen ............... 10
Hierarchie der Rechenoperationen ..10
Punkt- und Strichrechnung ................... 10
Bruchstrich ............................................ 10
Auswertung beliebiger Terme................ 10
1.2.8 Potenzen.......................................... 11
1.2.9 Wurzeln ............................................ 11
1.2.10 Trigonometrische Funktionen .......... 11
1.3
Ordnung der Zahlen ................11
1.3.1
1.3.2
Übersicht.......................................... 11
Definitionen ...................................... 11
1.3.2.1
1.3.2.2
1.3.2.3
1.3.2.4
1.3.2.5
1.3.2.6
1.3.2.7
1.3.2.8
1.3.2.9
1.3.2.10
Natürliche Zahlen IN* .............................11
Ganze Zahlen & .....................................11
Bruchzahlen IB ...............................................11
| ................................11
Rationale Zahlen Q
Irrationale Zahlen ...................................11
Algebraisch irrationale Zahlen ...............11
Transzendente Zahlen ...........................11
Reelle Zahlen IR .............................................11
Imaginäre Zahlen ...................................11
| ................................11
Komplexe Zahlen C
1.4
Grundlegende Gesetze ...........12
1.4.1
Neutrale Elemente ...........................12
1.4.1.1
1.4.1.2
1.4.2
1.4.2.1
1.4.2.2
1.4.3
1.4.4
1.4.5
Addition ................................................. 12
Multiplikation ......................................... 12
Inverse Elemente .............................12
Addition ................................................. 12
Multiplikation ......................................... 12
Kommutativgesetze –
Vertauschungsgesetze ....................12
Assoziativgesetze –
Verknüpfungsgesetze ......................12
Distributivgesetz –
Verteilungsgesetz ..........................12
1.5
Umrechnung von Einheiten ...12
1.5.1
1.5.2
Grundsätzliches Verfahren ..............12
Beispiele ..........................................12
1.6
Runden ....................................13
1.6.1
1.6.2
Allgemeine Rundungsregeln............13
Rundungsverfahren .........................13
1.6.2.1
1.6.2.2
1.1
5/4-Rundung ......................................... 13
Rundung nach DIN 1333 ...................... 13
1.6.3.1
1.6.3.2
1.7.1.1
1.7.1.2
1.7.1.3
1.7.2
1.7.2.1
1.7.2.2
1.7.2.3
1.7.2.4
1.7.3
1.7.3.1
1.7.3.2
1.7.3.3
1.7.3.4
1.7.4
1.7.5
1.7.6
1.7.7
1.7.7.1
1.7.7.2
1.7.7.3
1.7.7.4
1.7.7.5
1.7.7.6
1.7.7.7
1.7.8
1.7.8.1
1.7.8.2
1.7.8.3
1.7.9
Rundungsarten ................................13
Absolutes Runden................................. 13
Relatives Runden.................................. 13
Abkürzungen ......................................... 13
Themenbeschränkung .......................... 13
Tastenbeschriftungen ............................ 14
TR-Rechenlogiken ...........................14
AL – algebraische Logik ........................ 14
ALH – algebraische Logik mit Hierarchie .14
UPN – umgekehrte polnische Notation . 14
Mathematische Notation ....................... 14
TR-Typen .........................................14
Kaufmännische TR................................ 14
Einfache wissenschaftliche TR ............. 14
Wissenschaftliche TR mit UPN-Logik ... 14
Komfortable wissenschaftliche TR ........ 14
TR-Zahlenbereich ............................14
TR-Genauigkeit................................14
Rundung ..........................................15
TR-Handhabung ..............................15
Speicher ................................................ 15
Kehrwert-Taste ...................................... 15
Quadrat-Taste ....................................... 15
Wurzel-Taste ......................................... 16
Operandentausch-Taste........................ 16
Große und kleine Zahlen ...................... 16
Vergleich der Tasten für Potenzen ........ 16
Konstantenautomatik .......................16
Bedienungstechnik 1............................. 16
Bedienungstechnik 2............................. 17
Bedienungstechnik 3............................. 17
TR-Bedienungsfehler .......................17
1.7.9.1
1.7.9.2
Vorzeichen ............................................ 17
Brüche................................................... 17
1.7.9.2.1
1.7.9.2.2
Division einer Summe ...............................17
Division durch ein Produkt ........................17
1.7.9.3
1.7.9.4
1.7.9.5
Irrtümlich benutzte Konstantenautomatik 17
Wissenschaftliches Zahlenformat ......... 17
Exponentenvorzeichen ......................... 18
1.7.10 Übungsbeispiele ..............................18
1.7.10.1
1.7.10.2
1.7.10.3
1.7.10.4
Beispiele zu den Grundrechenarten ..... 18
Beispiele zur Konstantenautomatik....... 18
Beispiele mit großen und kleinen Zahlen 18
Beispiele mit Funktionen ....................... 18
1.8
Kopfrechnen ............................18
1.8.1
Einfache Multiplikationen .................18
1.8.1.1
1.8.1.2
1.8.1.3
1.8.1.4
1.8.1.5
1.8.2
1.8.2.1
1.8.2.2
1.8.2.3
1.8.2.4
1.8.2.5
1.8.2.6
1.8.3
1.8.3.1
1.8.3.2
1.8.3.3
1.8.4
1.8.4.1
1.8.4.2
1.8.4.3
1.8.5
Faktor 4 ................................................. 18
Faktor 5 ................................................. 18
Faktor 25 ............................................... 18
Faktor 50 ............................................... 18
Faktor 125 ............................................. 19
Divisionen ........................................19
Stammbrüche........................................ 19
Division durch 4 .................................... 19
Division durch 5 .................................... 19
Division durch 25 .................................. 19
Division durch 50 .................................. 19
Division durch 125 ................................ 19
Quadrate ..........................................19
_1² oder _2² .......................................... 19
_3², _4², _5², _6² oder _7² ..................... 19
_8² oder _9² .......................................... 19
Produkte ..........................................19
Faktor _8 oder _9.................................. 19
Faktoren symmetrisch zu glatten Zahlen... 19
Faktoren mit gerader Differenz ............. 19
Abschätzung von Brüchen ...............20
Bezeichnungen und Symbole
Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe sind in DIN 1302
genormt. Themenspezifische Symbole sind im jeweiligen Kapitel erläutert.
1.1.1
+
–
p
@
·
:
Symbole der Arithmetik
plus
minus
plus oder minus
minus oder plus
mal
geteilt
/
—
()
[]
{}
…
%
‰
1, 2, …
a, b, …
]a]
4
1.9
Logik.........................................20
1.9.1
1.9.2
Bezeichnungen ................................20
Symbole ...........................................20
1.9.2.1
1.9.2.2
1.9.3
1.9.4
Verknüpfungszeichen............................ 20
Zeichen für Folgerungen ....................... 20
Definitionen ......................................20
Regeln zur Vereinfachung ...............20
1.9.4.1
1.9.4.2
1.9.5
Aussage und Konstante ........................ 20
Verknüpfung einer Aussage mit sich selbst 20
Gesetze ...........................................21
1.9.5.1
1.9.5.2
1.9.5.3
1.9.5.4
1.9.5.5
1.9.5.6
Kommutativgesetze – Vertauschungsgesetze...21
Assoziativgesetze – Verbindungsgesetze . 21
Distributivgesetze – Verteilungsgesetze .. 21
Idempotenzgesetze............................... 21
Verschmelzungsgesetze ....................... 21
Formeln von De Morgan ....................... 21
1.10
Mengenlehre ............................21
1.10.1
1.10.2
1.10.3
1.10.4
Bezeichnungen ................................21
Symbole ...........................................21
Formale Vereinfachung....................22
Mengenbeschreibungen ..................22
1.10.4.1
1.10.4.2
Aufzählende Form................................. 22
Beschreibung durch
Grundmenge und Auswahlkriterien ....... 22
Beschreibung durch
Auswahlkriterien in Kurzform ................ 22
Beschreibung durch Bildungsgesetz..... 22
Rekursive Beschreibung ....................... 22
Beschreibung durch Klammern............. 22
Beschreibung durch grafische Elemente 22
1.10.4.3
1.10.4.4
1.10.4.5
1.10.4.6
1.10.4.7
1.10.5 Definitionen ......................................22
1.10.5.1
1.10.5.2
1.10.5.3
1.10.5.4
Mengeneigenschaften........................... 22
Mengenverknüpfungen ......................... 22
Standardmengen (DIN 5473) ................ 23
Weitere Zahlenmengen ......................... 23
1.10.6 Spezielle Mengeneigenschaften ......23
1.10.7 Regeln zur Vereinfachung ...............23
1.10.7.1
1.10.7.2
Verknüpfungen mit der leeren Menge ... 23
Verknüpfungen einer Menge mit sich selbst ..23
1.10.8 Sätze................................................23
1.10.8.1
1.10.8.2
1.10.8.3
1.10.8.4
Kommutativgesetze – Vertauschungsgesetze ..23
Assoziativgesetze – Verbindungsgesetze ..23
Distributivgesetze – Verteilungsgesetze . 23
Spezielle Sätze ..................................... 23
1.10.8.4.1
1.10.8.4.2
1.10.8.4.3
Gleichheit von Mengen .............................23
Teilmengensätze .......................................23
Formeln von De Morgan ...........................23
1.11
Elementare Lösungsverfahren....24
1.11.1 Dreisatz............................................24
1.11.1.1
1.11.1.2
1.11.1.3
1.11.1.4
Lösungsprinzip ...................................... 24
Dreisatz mit geradem Verhältnis ........... 24
Dreisatz mit ungeradem Verhältnis ....... 24
Verketteter Dreisatz .............................. 24
1.11.2 Verhältnisrechnung ..........................24
1.11.2.1
1.11.2.2
1.11.2.3
Verhältnis mit direkter Proportionalität .. 24
Verhältnis mit indirekter Proportionalität .. 25
Lösungsschema bei zusammengesetzter Verhältnisrechnung ................. 25
1.11.3 Prozentrechnung .............................26
1.11.3.1
1.11.3.2
Bezeichnungen und Symbolik............... 26
Formeln ................................................. 26
1.11.4 Zinsrechnung ...................................27
1.11.4.1
1.11.4.2
Einfache Zinsrechnung ......................... 27
Zinsrechnung mit Zinseszinsen ............ 27
1.11.5 Mischungsrechnung.........................28
1.11.5.1
1.11.5.2
1.12
Verdünnung eines Konzentrats ............. 28
Mischung von zwei Lösungen ............... 28
Umgang mit Zahlentabellen ...29
1.12.1 Lineare Interpolation ........................29
1.12.2 Umgekehrte Werteentnahme...........29
geteilt (schräger Bruchstrich)
geteilt (waagerechter Bruchstrich)
runde Klammer auf und zu
eckige Klammer auf und zu
geschweifte Klammer auf und zu
bis, und so weiter bis
Prozent
Promille
bestimmte Zahlen
unbestimmte Zahlen oder Variablen
Betrag von a
(Quadrat-) Wurzel
Summe
”
|
Produkt
teilt
0, 09
!
d
Periode: 0‚090909090909…
Fakultät: n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n–1) · n
unendlich
1.1.2
Abkürzungen: D-Name deutsche, alte englische, französiche Namen (bis1948)
(System ‚lange Leiter‘)
A-Name amerikanische, neue englische, neue französische Namen
(System ‚kurze Leiter‘, hier fehlen die Endungen -iarde)
Hinweise:
Symbole für Konstanten
17.3.1 Mathematische Konstanten
e
Q
°
'
"
c
cc

II
?

9
Symbole der Geometrie
1.1.4
=
x
y
z
_
<
b
<<
>
r
>>
Zahlennamen
Name
null
Zahl
Name
1
eins
10
zehn
2
zwei
20
zwanzig
3
drei
30
dreißig
4
vier
40
vierzig
5
fünf
50
fünfzig
6
sechs
60
sechzig
7
sieben
70
siebzig
8
acht
80
achtzig
9
neun
90
neunzig
10
zehn
100
hundert
11
12
Dutzend
60
144
Vorsilbe
Deka…
Hekto…
Kilo…
Mega…
Giga…
Tera…
Peta…
Exa…
Zetta…
Yotta…
1.1.5.2.2
Bezeichnungen für Zahlen
Zahl
0
Dezimale Maßvorsilben
Symbol
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
Zahl
10–1
10–2
10–3
10–6
10–9
10–12
10–15
10–18
10–21
10–24
Vorsilbe
Dezi…
Centi…
Milli…
Mikro…
Nano…
Piko…
Femto…
Atto…
Zepto…
Yocto…
Symbol
d
c
m
N
n
p
f
a
z
y
Beachte: Zur Unterscheidung großes K für Kilo…!
gleich
entspricht
ungleich
identisch gleich
ungefähr gleich
proportional
kleiner als (3 < 4, –4 < –3)
kleiner als oder gleich (3 b 3, 3 b 4, –4 b –4, –4 b –3)
sehr viel kleiner als (1 << 100)
größer als (4 > 3, –3 > –4)
größer als oder gleich (4 r 4, 4 r 3, –3 r –3, –3 r –4)
sehr viel größer als (100 >> 1)
1.1.5.1
1.1.5.2.1
In der Computertechnik: 1 KB = 1 024 B
Symbole der Algebra
1.1.5
Maßvorsilben
Zahl
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
(Alt-)Grad
(Alt-)Minute
(Alt-)Sekunde
Gon (Neugrad)
Neuminute
Neusekunde
Winkel
parallel
rechtwinklig zu
rechter Winkel (90°)
Dreieck
Mittelpunkt
g
1.1.5.2
Die Maßvorsilben sind international (DIN 1301) festgelegt.
2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 66…
3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 5…
1.1.3
Eingeklammerte Namen sind wenig gebräuchlich.
Quinquillion ist ein Synonym für Quintillion.
Zahl
D-Name
Duodezillion
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
104
Vorsilbe
Zahl
Vorsilbe
Uni…
Bi…, Di…
2–1 Demi…, Semi…, Hemi…
Ter…, Tri…
Tetra…, Tessera…,
Quadr…, Quadri…
Pent…, Penta…,
Quinqu…, Quint…
Sex…, Sexi…, Hex…, Hexa…
Hept…, Hepta…,
Sept…, Septem…, Septi…
Okt…, Okto…, Okta…
Non…, Nona…, Ennea…
Dez…, Deka…
10–1
Dezi
Undeka…, Hendeka…
Dodeka…
Quindeca…
Icos…, Icosa…, Icosi…
Myria…
A-Name
103
tausend
106
Million
million
109
Milliarde
billion
1012
Billion
trillion
1015
Billiarde
quadrillion
1018
Trillion
quintillion
1021
Trilliarde
sextillion
1024 Quadrillion
septillion
1027 (Quadrilliarde)
octillion
1030
Quintillion
nonillion
1033 (Quintilliarde)
decillion
Sextillion
undecillion
1036
1039
duodecillion
1042
Septillion
tredecillion
quattuordecillion
1045
1048
Oktillion
quindecillion
1051
sexdecillion
1054
Nonillion
septdecillion
1057
octodecillion
1060
Dezillion
novemdecillion
1063
vigintillion
1066 Undezillion
Schock 1072
Gros
Zahl
1
2
3
Nichtdezimale Maßvorsilben
1.1.6
Bezeichnungen in Funktionen
3x2
y(x) =
+ 4x + 5
y(x) = ax2 + bx + c
x
y
3; 4
a, b
5
c
1.1.7
unabhängig Variable
abhängig Variable
Koeffizienten (Beizahlen) als bestimmte Zahlen
Koeffizienten (Beizahlen) als unbestimmte Zahlen
Konstante als bestimmte Zahl
Konstante als unbestimmte Zahl
Bezeichnungen in Koordinatensystemen
x-Achse Abszissenachse (horizontal),
Achse der unabhängig Veränderlichen.
Die Abszisse ist die 1. Koordinate eines Punktes.
y-Achse Ordinatenachse (vertikal),
Achse der abhängig Veränderlichen.
Die Ordinate ist die 2. Koordinate
eines Punktes.
9
01
1.2 Formale Regeln –
01
10 – 1 Grundlagen
(0; 0)
Der Koordinatenursprung oder
Koordinatennullpunkt ist der
Schnittpunkt der Koordinatenachsen, d.h. der gemeinsame
Nullpunkt der Koordinatenachsen.
1.2.6.1 Mehrfache Klammern
Klammern gehören paarweise von außen nach innen zusammen.
Diese Zuordnung mehrfacher Klammern ist eindeutig. Um Missverständnisse auszuschließen empfiehlt es sich jedoch unterschiedliche
Klammerebenen zu unterscheiden:
Vorzeichen der xy-Koordinaten in den vier
Quadranten:
Tipp
1.2
1.2.6.2
Formale Regeln
Zur Vereinfachung der Schreibweise gelten die folgenden Regeln.
1.2.1
Vorzeichen
Positive Vorzeichen (am Anfang eines Terms) können entfallen:
+5 + 3 = 5 + 3
+a – b = a – b
+(x – 2) + y = (x – 2) + y
r h r h
r h r h
1.2.2
Summen
Der Summand Null kann entfallen:
Anstatt: (((( 2 + a) · 5 – b) : n + 1) · 2 – 1)2
schreibe: { [(2 + a) · 5 – b] : n + 1} · 2 – 1¯2
Doppelte Rechenoperationen
Klammern müssen immer gesetzt werden,
wenn zwei Rechenzeichen aufeinander treffen:
Falsch:
Falsch:
Falsch:
Falsch:
x + –a
x · –a
x : –a
2 ·p 2
Richtig:
Richtig:
Richtig:
Richtig:
x + (–a)
x · (–a)
x : (–a)
2 · (p 2 )
1.2.7
Hierarchie der Rechenoperationen
1.2.7.1
Punkt- und Strichrechnung
Um Klammern einzusparen gilt:
Punktrechnung ( · : ) vor Strichrechnung (+ –)
a+0=0+a=a
Die 0 ist das neutrale Element der Addition.
Gemischte Zahlen
In gemischten Zahlen kann das Plus entfallen:
3 1 3 1
2
2
1.2.7.2
Der Bruchstrich fasst Zähler und Nenner unmissverständlich
zusammen:
(a b ) a b
(a b ) a b
Dies gilt nur für bestimmte Zahlen.
1.2.3
Differenzen
Der Subtrahend Null kann entfallen:
a–0=a
Beachte: In diesem Beispiel wird die Strichrechnung vor der Punktrechnung ausgewertet!
Einzeilig geschriebene Brüche
a
a / (b c )
b c
a
a / (b – c ) a : b : c
b –c
Die 0 ist das Inverse des neutralen Elements der Addition.
1.2.4
Produkte
Der Faktor 1 kann entfallen:
a· 1 = 1· a = a
Die 1 ist das neutrale Element der Multiplikation.
Produkte mit unbestimmten Zahlen
In Produkten, die unbestimmte Zahlen enthalten, kann das Mal
entfallen:
2 · a = 2a
a · b = ab
Voraussetzung ist, dass die unbestimmten Zahlen durch einzelne
Buchstaben symbolisiert werden, die allenfalls indiziert sein dürfen.
1.2.5
Quotienten
Bruchstrich
Beachte: Der Nenner wird durch den Bruchstrich eingeklammert.
Dies muss bei der Eingabe von Brüchen in den Taschenrechner berücksichtigt werden.
1.2.7.3 Auswertung beliebiger Terme
Für die Auswertung beliebiger Terme gilt folgende hierarchische Ordnung (Rangfolge) der Rechenoperationen:
1. Klammern von innen ( ) nach außen [ ], { }, ¯, …
2. Funktionen (Potenzen, sin, cos, tan, log, …)
3. Punktrechnung ( · : )
4. Strichrechnung (+ –)
Der Divisor 1 kann entfallen:
a:1=a
a b
a b
1
Die 1 ist das Inverse des neutralen Elements der Multiplikation.
1.2.6
Klammern
Klammern fassen Terme zusammen, die bevorzugt ausgewertet
werden.
6 + 4 · 32 = 6 + 4 · 9 = 6 + 36 = 42
(6+4) · 32 – 10 = 10 · 32 – 10 = 10 · 9 – 10 = 90 – 10 = 80
[(4+3) · 2 – 4] · 3 = [7 · 2 – 4] · 3 = [14 – 4] · 3 = 10 · 3 = 30
(2 · r) + h = 2 · r + h = 2r + h
x(n+1) = xn+1
(ln 2) · x = x · ln 2
Tipp:
Ausnahme:
Schreibe
x · ln a
1.2.10 Trigonometrische Funktionen
Anstatt
ln a · x
1.2.8
Diese Körper-Eigenschaften sind bei einigen Zahlenmengen nur teilweise gegeben.
Einige Zahlenmengen bilden jedoch Gruppen:
Potenzen
Die Potenzschreibweise fasst den Exponenten unmissverständlich
zusammen:
e(2x+a) = e2x+a
1.2.9
Der Wurzelexponent 2 kann entfallen:
Die Gruppe heißt kommutative Gruppe oder abelsche1 Gruppe, wenn darüber hinaus
das folgende Axiom erfüllt ist:
3 3
Das Wurzelsymbol fasst den Wurzelexponenten und den Radikanden unmissverständlich zusammen:
( 53 )
sin (2B) = sin 2B
Anstatt
sin B + Q
(sin B) · Q
(sin B)2 = sin2 B
1.3
Ordnung der Zahlen
1.3.1
Übersicht
Definitionen2
1.3.2.1 Natürliche Zahlen IN*
Positive ganze Zahlen, IN* = {1, 2, 3, …}
1.3.2.2 Ganze Zahlen &
Positive und negative ganze Zahlen, & = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}
1.3.2.3 Bruchzahlen IB
Zahlen, die sich mit natürlichen Zahlen als Bruch darstellen lassen
(Verhältnis zweier natürlicher Zahlen, 1.10.5.3 Standardmengen
(DIN 5473)).
|
1.3.2.4 Rationale Zahlen Q
Zahlen, die sich mit ganzen Zahlen als Bruch darstellen lassen
(Verhältnis zweier ganzer Zahlen, 1.10.5.3 Standardmengen
(DIN 5473)).
Körper der
komplexen
Zahlen
Körper der
reellen
Zahlen
Körper der
rationalen
Zahlen
Menge der
ganzen
Zahlen
Bemerkung: Die Null muss ausgeschlossen werden, weil das zu ihr inverse Element
| fehlt.
(d) in Q
1.3.2
Potenzen von trigonometrischen Funktionen können ohne Klammer
geschrieben werden:
Menge der
imaginären
Zahlen
Kommutativgesetz
| der von Null verschiedenen rationalen Zahlen bildet bezüglich der
Die Menge Q*
|
gewöhnlichen Multiplikation die kommutative Gruppe (Q*,
· ) mit e = 1 und a’ = 1/a.
Bei Argumenten von trigonometrischen Funktionen, die ein Vielfaches eines Winkels betragen, kann die Klammer entfallen:
Schreibe
Q + sin B
Q · sin B
(d) a v b = b v a
Die Menge & der ganzen Zahlen bildet bezüglich der gewöhnlichen Addition die kommutative Gruppe (&,+) mit e = 0 und a’ = –a.
| der rationalen Zahlen bildet bezüglich der gewöhnlichen Addition die
Die Menge Q
|
mit e = 0 und a’ = –a.
kommutative Gruppe (Q,+)
(9 16) 53 9 16 25 p5
1.2.10 Trigonometrische Funktionen
Tipp:
Eine Gruppe besteht aus einer Menge G und einer Operation v, die jedem geordneten
Paar (a,b) von Elementen aus G eindeutig ein mit a vb bezeichnetes Element von G so
zuordnet, dass folgende Axiome erfüllt sind:
(a) (a v b) v c = a v (b v c)
Assoziativgesetz
(b) Es gibt ein Element eG, für das gilt:
e v a = a für alle aG
neutrales Element
(c) Zu jedem aG existiert ein Element a’G,
für das gilt: a’ v a = e
inverse Elemente
Wurzeln
2
11
1.3.2.5 Irrationale Zahlen
Nicht als Bruch darstellbare Zahlen; in der Darstellung als Dezimalzahlen haben sie unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode.
Menge der
irrationalen
Zahlen
Menge der
algebraisch
irrationalen
Zahlen
1.3.2.6 Algebraisch irrationale Zahlen
Irrationale Zahlen, die Lösung einer Gleichung der Form
Menge der
transzendenten
Zahlen
Menge der
natürlichen
Zahlen
Anmerkung
Ein Körper besteht aus einer Menge K und zwei Operationen + und ·, die jedem geordneten Paar (a,b) von Elementen aus K eindeutig ein mit a+b bzw. a · b bezeichnetes
Element von K so zuordnen, dass folgende Axiome erfüllt sind:
(a) (a + b) + c = a + (b + c)
Assoziativität der Addition
(b) a + b = b + a
Kommutativität der Addition
(c) Es gibt ein Element 0K, für das gilt:
0 + a = a für alle aK
neutrales Element der Addition
(d) Zu jedem aK existiert ein Element –aK,
für das gilt: (–a) + a = 0
inverse Elemente der Addition
(e) (a · b) · c = a · (b · c)
Assoziativität der Multiplikation
(f) a · b = b · a
Kommutativität der Multiplikation
(g) Es gibt ein Element 1K, für das gilt:
1 · a = a für alle aK
neutrales Element der Multiplikation
(h) Zu jedem aK mit ax0 existiert ein
Element a–1K, für das gilt: a–1 · a = 1 inverse Elemente der Multiplikation
(i) a · (b + c) = a · b + a · c
(b + c) · a = b · a + c · a
Distributivität
(j) 1 x 0
Verschiedenheit der neutralen
Elemente von Addition u. Multiplikation
an xn + … + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0
sein können.
1.3.2.7 Transzendente Zahlen
Nichtalgebraische Zahlen, also Zahlen, die nicht Lösung einer Gleichung der Form
an xn + … + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0
sein können.
1.3.2.8 Reelle Zahlen IR
Gesamtheit der rationalen und irrationalen Zahlen.
1.3.2.9
Imaginäre Zahlen
Alle Vielfachen der imaginären Einheit i =
1.10.5.3 Standardmengen (DIN 5473),
1
5.1 Imaginäre Zahlen.
|
1.3.2.10 Komplexe Zahlen C
Zahlen mit reellem und imaginärem Anteil
1.10.5.3 Standardmengen (DIN 5473) ,
1 Niels Henrik Abel, 1802 – 1829,
5.2 Komplexe Zahlen.
Personenregister.
2 Für die Zahlenmengen verwendet man auf Anregung von Bourbaki (
nenregister) spezielle Symbole.
Perso-
01
1.4 Grundlegende Gesetze –
01
12 – 1 Grundlagen
1.4
Grundlegende Gesetze
1.5
1.4.1
Neutrale Elemente
1.4.1.1
Addition
Der Umgang mit Einheiten ist eine Aufgabe der angewandten Mathematik. Die verlässliche Handhabung von Einheiten ist in den Naturwissenschaften und in der Technik unbedingt erforderlich.
Das neutrale Element der Addition ist die 0:
1.4.1.2
Wenn die Gleichung der Einheiten falsch ist,
dann ist auch die Berechnung falsch!
a· 1 = a
a:1 = a
Ein Element verknüpft mit seinem inversen Element ergibt das
der Verknüpfung entsprechende neutrale Element.
2)
Das Inverse eines inversen Elements ist das Element selbst.
1)
Addition
Bezüglich der Addition ist a das inverse Element zu –a.
–(–a) = a
1.4.2.2
1)
Multiplikation
Bezüglich der Multiplikation ist 1/a das inverse Element zu a.
1
a – 1
a
2)
Bezüglich der Multiplikation ist a das inverse Element zu 1/a.
1
a
1
a
1.4.3
Kommutativgesetze –
Vertauschungsgesetze
Summanden und Faktoren können beliebig vertauscht3 werden:
a+b=b+a
a· b = b· a
1.4.4
1.5.1
Grundsätzliches Verfahren
1) Bestimme die Umwandlungszahl U.
2) Zähle die Einheitensprünge n.
Bezüglich der Addition ist –a das inverse Element zu a.
a + (–a) = 0
2)
Die Fehler schleichen sich häufig beim Umstellen von Formeln ein
( 3.14 Umstellen von Formeln).
Inverse Elemente
1)
1.4.2.1
Durch korrekte Handhabung der Einheiten ist eine schnelle Vorkontrolle von Berechnungen möglich:
Multiplikation
Das neutrale Element der Multiplikation ist die 1:
1.4.2
a+0=a
a–0=a
Umrechnung von Einheiten
Assoziativgesetze –
Verknüpfungsgesetze
3) Prüfe, ob zu teilen oder malzunehmen ist:
Bei Umwandlung in eine kleinere Einheit: mal Un,
Bei Umwandlung in eine größere Einheit: durch Un.
Größe:
Länge Fläche Volumen
mm
mm2 Nl = mm3
cm
cm2 ml = cm3
Reihe
dm
dm2
l = dm3
der
m
m2
m3
Einheiten: dam a = dam2 dam3
hm ha = hm2
hm3
km
km2
km3
U
10
100
1000
1 inch =
Andere
1 Zoll =
Einheiten:
2,54 cm
1 dl = 0,1 l
1 cl = 0,01 l
1 hl = 100 l
Zeit
Winkel
s
min
h
Altgrad:
Neugrad:
“ (Sekunde) cc (Neusekunden)
c (Neuminuten)
’ (Minute)
g (Gon)
° (Grad)
60
60
100
1g = 0,9°
1 rad =
57,295 78°
Präzise Definition des Zoll in DIN 4890-1,
Definition der Winkeleinheiten in DIN 1315.
Englische bzw. amerikanische Längen-, Flächen- und Volumeneinheiten
17.5.4 Angloamerikanische Einheiten
Ziel des Rundens ist es die Anzahl der Stellen einer Zahl entsprechend den Genauigkeitsanforderungen zu beschränken. Dabei soll
der Rundungsfehler möglichst klein sein.
Weiterhin ist es wünschenswert, dass sich die Rundungsfehler im
Mittel aufheben.
Beachte:
Abrunden sollte nicht synonym für Runden benutzt
werden.
Abrunden steht nicht für „weniger Ziffern“, sondern für Zahl verkleinern. Abrunden ist das Gegenteil von Aufrunden, Runden ist der
Oberbegriff.
Summanden und Faktoren können beliebig verknüpft4 werden:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
1.4.5
Distributivgesetz – Verteilungsgesetz
Der Faktor einer Summe kann auf die Summanden verteilt5 werden:
a · (b + c) = a · b + a · c
3 Von kommutare (lat.) vertauschen.
4 Von assoziare (lat.) verknüpfen, verbinden.
5 Von distribuere (lat.) verteilen.
1.5.2
Beispiele
125 000 m = 125 km
125 000 m2 = 0,125 km2
125 000 m3 = 0,000 125 km3
U = 10, n = 3
U = 100, n = 3
U = 1000, n = 3
3h 11m 27,3s = 3h + (11/60)h + (27,3/60/60)h = 3,190 916 667h
3,190916667h = 3h + 60 · 0,190 916 667m
= 3h + 11,455 000 02m
= 3h + 11m + 60 · 0,455 000 02s
= 3h + 11m + 27,300 001 2s
Winkelumrechnungen in Altgrad erfolgen entsprechend den Umrechnungen der Zeiteinheiten. Beispiele für Winkelumrechnungen mit
anderen Winkeleinheiten 4.1.1 Winkel.
1.6
Runden
1.6.1
Allgemeine Rundungsregeln
13
4 Ziffern (1, 2, 3, 4) werden grundsätzlich abgerundet,
4 Ziffern (6, 7, 8, 9) werden grundsätzlich aufgerundet.
Die Ziffer 5 wird zur geraden Zahl gerundet.
Vorteil: Die Rundungsfehler heben sich im statistischen Mittel auf.
1) Zahlen werden (möglichst) in einem Schritt gerundet, denn
ziffernweises Runden vergrößert den Rundungsfehler.
Beispiel: Ziffernweises Runden: 3,45 m 3,5 m 4
Fehler: 0,55
Direktes Runden:
3,45 m 3
Fehler: 0,45
2) Ein Dezimalbruch wird abgerundet, d.h. die letzten, nicht
benötigten Stellen werden weggelassen,
wenn die erste Ziffer von ihnen eine 0, 1, 2, 3 oder 4 ist
oder
wenn sie eine 5 ist und wenn bekannt ist, dass diese 5 durch
Aufrunden entstanden ist.
3) Ein Dezimalbruch wird aufgerundet, d.h. die letzte benötigte
Stelle wird um 1 erhöht,
wenn ihr eine der Ziffern 6, 7, 8 oder 9 folgt,
wenn ihr die Ziffer 5 folgt und dahinter noch mindestens eine
von 0 verschiedene Ziffer steht oder
wenn ihr die Ziffer 5 folgt und wenn bekannt ist, dass diese 5
durch Abrunden entstanden ist.
4) Ein Dezimalbruch, der um eine Stelle gerundet werden soll
und dessen letzte Ziffer eine exakte 5 ist, wird entsprechend
dem gewählten Rundungsverfahren auf- oder abgerundet.
1.6.2
Rundungsverfahren
1.6.2.1 5/4-Rundung
Die 5/4-Rundung wird auch als kaufmännisches Runden bezeichnet. Sie ist das gebräuchlichere Rundungsverfahren, weil sie einer
einfachen Vorschrift folgt:
4 Ziffern (1, 2, 3, 4) werden abgerundet,6
5 Ziffern (5, 6, 7, 8, 9) werden aufgerundet.
Nachteil: Die gerundete Stelle wird im statistischen Mittel geringfügig
vergrößert, im Beispiel ist der mittlere Rundungsfehler 0,5
pro 10 Rundungen, also 0,05 pro Rundung.
Beispiele (Rundung zur ganzen Zahl)
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
Abgerundet
2
2
2
2
Aufgerundet
3
3
3
3
3
Summe:
Rundungsfehler
0
–0,1
–0,2
–0,3
–0,4
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,5
1.6.2.2 Rundung nach DIN 1333
Die DIN-Rundung wird auch als technisch-wissenschaftliches
Runden bezeichnet. Dieses Rundungsverfahren ist außerhalb von
Wissenschaft und Technik wenig bekannt:
6 Bei der Ziffer 0 ist keine Rundung erforderlich.
Zahl
Nicht
gerundet
Abgerundet
2,5
3,5
1.6.3
Aufgerundet
2
4
Summe:
Rundungsfehler
–0,5
0,5
0,0
Rundungsarten
1.6.3.1 Absolutes Runden
Das absolute Runden wird im kaufmännischen Bereich angewandt:
Der Rundungsfehler darf einen bestimmten Absolutwert nicht übersteigen, z.B. die Hälfte der Währungseinheit Cent = 0,01 €. Deshalb wird
immer auf eine feste Anzahl von Nachkommastellen gerundet.
Beispiele: 3 502,545 € → 3 502,55 €
0,545 € → 0,55 €
Vorteil:
Der Rundungsfehler ist immer gleich groß, unabhängig
von der gerundeten Zahl.
1.6.3.2 Relatives Runden
Relatives Runden wird im technisch-wissenschaftlichen Bereich
bevorzugt. Der Rundungsfehler darf im Verhältnis zu der Zahl, die
gerundet werden soll, nicht zu groß werden, z.B. nicht größer als
2,5%. Deshalb wird auf eine feste Anzahl von Ziffern gerundet.
Vorteil:
Der Rundungsfehler ist unabhängig von der Maßeinheit.
1.6.4
Formale Regel
Ein Dezimalbruch, der
nach dem Runden mit der Ziffer 0 endet,
muss mit dieser signifikanten 0 geschrieben werden
um seine Genauigkeit korrekt wiederzugeben.
Signifikante Nullen müssen hinter dem Komma stehen,
weil sie anderenfalls nicht eindeutig
als signifikant bewertet werden können.
16.1.2.1.3 Messwerte ohne Angabe der Messabweichung,
16.1.2.2 Deutung von Messwerten.
Beispiele
Vorteil: Sehr einfache Rundungsvorschrift.
Nicht
gerundet
2
Beispiele (Rundung zur ganzen Zahl)
Beispiele: 2,545 km → 2,55 km
2 545 m → 2 550 m
254 500 cm → 255 000 cm
Die beiden üblichen Rundungsverfahren unterscheiden sich lediglich
bei der Rundung einer exakten 5, d.h. einer 5, der keine weiteren
Ziffern folgen und die auch nicht durch Runden entstanden ist oder
von der zumindest nicht bekannt ist, ob sie durch Runden entstanden
ist.
Zahl
Nachteil: Etwas kompliziertere Rundungsvorschrift.
3,596 m → 3,60 m
gerundet auf 2 Nachkommastellen,
Rundungsfehler < 0,005 m
3,596 m → 3,6 m
gerundet auf 1 Nachkommastelle,
Rundungsfehler < 0,05 m
3 596 m → 3 600 m = 3,60 km
gerundet auf 3 signifikante Ziffern,
Rundungsfehler < 5 m
3 596 m → 3 600 m = 3,6 km
gerundet auf 2 signifikante Ziffern,
Rundungsfehler < 50 m
1.7
Taschenrechner
1.7.1
Allgemeine Hinweise
1.7.1.1 Abkürzungen
AL algebraische Logik
ALH AL mit Hierarchie
TR Taschenrechner
UPN umgekehrte polnische Notation
1.7.1.2 Themenbeschränkung
Bei technischen Assistenten ist der einfache wissenschaftliche TR
( 1.7.3.2) am gebräuchlichsten. Deshalb beschränken wir uns an
01
1.7 Taschenrechner –
01
14 – 1 Grundlagen
dieser Stelle auf die Unterscheidung der verschiedenen TR-Typen,
erläutern im Folgenden dann jedoch nur diesen einfachen wissenschaftlichen TR. Im Anhang geben wir aber entsprechende Hinweise
zum kaufmännischen TR ( 17.2 Kaufmännische Taschenrechner).
Die Testaufgaben zur Prüfung der Anzahl der benutzten verdeckten
Ziffern, zum Rundungsverhalten und zur Konstantenautomatik
sollen helfen, die numerischen Qualitäten der TR zu beurteilen.
1.7.1.3
Benutzt
Tastenbeschriftungen
Alternative Tasten
1.7.3
TR-Typen
Es gibt vier Grundtypen von Taschenrechnern.
1.7.3.1
Kaufmännische TR
Sie enthalten nur die Grundrechenarten
(+ – x :) sowie die Prozentrechnung und evtl.
noch • oder +/–.
Kaufmännische TR arbeiten mit AL.
Bemerkung
Berechnung löschen (Clear)
Diese Taste hat die Zweitfunktion Alles löschen (Clear Entire), die beim zweiten Drücken genutzt wird.
Diese Taste hat die Zweitfunktion Einschalten, diese ist nach dem Einschalten nicht
mehr aktiv.
Zweitfunktion bzw. inverse Funktion
Exponent
Allgemeine Potenz
Allgemeine Wurzel
Speichern (Store)
Speicher anzeigen (Recall Memory)
Speicher löschen (Memory Clear)
Die alternativen Tasten haben die Zweitfunktion Speicher anzeigen (Memory Recall). Sie
müssen doppelt betätigt werden um die
Funktion Speicher löschen auszuführen.
1.7.2
TR-Rechenlogiken
TR rechnen mit den folgenden Logiken:
1.7.2.1
AL – algebraische Logik
TR rechnet in der Reihenfolge der Eingabe ‚von links nach rechts’.
Beispiel
Eingabe: 2
1.7.2.2
3
4
Berechnung: (2+3) * 4 = 20
1.7.3.2
Diese enthalten zusätzlich die üblichen
mathematischen Funktionen (sin, cos, tan,
ln, Yx, …).
Sie arbeiten meistens mit ALH (Punktrechnung vor Strichrechnung) und erlauben die
Eingabe und Anzeige sehr großer und sehr
kleiner Zahlen durch Wechsel zur wissenschaftlichen Zahlendarstellung (scientific
notation: Anzeige einer Zahl als Ziffernfolge
mit Zehnerpotenz).
Beispiel: 12 000 000 000 = 1,2 · 1010.
Darin ist 12 die Ziffernfolge der Zahl.
1.7.3.3 Wissenschaftliche TR mit UPN-Logik
Diese TR hatten sich in den ersten Jahren der Entwicklung der TR
einen beachtlichen Marktanteil erobert.7 Sie sind heute ungebräuchlich und werden deshalb im Folgenden nicht weiter erwähnt.
1.7.3.4 Komfortable wissenschaftliche TR
Im Sinne dieser Übersicht sind dies wissenschaftliche TR, die ein
vergrößertes Display besitzen und die Eingaben so erwarten, wie sie
mathematisch geschrieben werden. Diese TR besitzen erweiterte
Funktionen, sie sind z.T. grafikfähig und können z.B. auch Kurvendiskussionen durchführen.
Die Bedienung der TR mit weiterführenden Funktionen ist sehr
modellabhängig und wird hier nicht erläutert.
ALH – algebraische Logik mit Hierarchie
TR rechnet ebenfalls in der Reihenfolge der Eingabe ‚von links nach
rechts’, berücksichtigt aber die Hierarchie der Rechenoperationen
(Punktrechnung vor Strichrechnung).
1.7.4
1.7.2.3
p1 · 10–99 … p9.999999999 · 10+99,
3
4
Berechnung: 2 + (3*4) = 14
UPN – umgekehrte polnische Notation
TR rechnet mit nachgestellten Rechenoperationen. Diesen TRn fehlt
die Taste
. Führende Operanden werden mit der l -Taste (Enter)
eingegeben.
Beispiel
Eingabe: 2
1.7.2.4
TR-Zahlenbereich
Wissenschaftliche TR arbeiten mit einem Zahlenbereich von
Beispiel
Eingabe: 2
Einfache
wissenschaftliche TR
3
4
Berechnung: (2+3) * 4 = 20
Mathematische Notation
Moderne TR für höhere Ansprüche erwarten eine Eingabe, die der
Niederschrift nach den üblichen Regeln der Mathematik entspricht.
Diese TR besitzen ein mehrzeiliges Display.
einige neuere Modelle sogar mit noch größerem Zahlenbereich. Sie
sind deshalb in dieser Hinsicht unproblematisch.
1.7.5
TR-Genauigkeit
Wissenschaftliche TR arbeiten mit verdeckten Stellen,
d.h. sie rechnen intern mit höherer Genauigkeit
als in der Anzeige darstellbar ist.
Die Anzahl der Ziffern, die eingegeben werden kann, ist i.A. identisch
mit der Anzahl der Ziffern, die angezeigt werden kann. Einige ältere
TR reduzierten jedoch die Anzahl der angezeigten Ziffern, wenn das
wissenschaftliche Zahlenformat benutzt wird.
7 Hersteller: Hewlett Packard.
Größter Konkurrent dieser Zeit: Texas Instruments mit ALH-Konzept.
Bei extremen Genauigkeitsanforderungen empfehlen wir den Windows-Rechner.8
Wissenschaftlichen TR benutzen überwiegend zwei verdeckte Stellen. Die verdeckten Stellen werden sichtbar, wenn man die führenden Stellen subtrahiert.
Eingabe
Genauigkeit
3 333.333333
3 333
0.333333333
0.33333333
0.3333333
0.333333
13 interne Stellen
(3 verdeckte Stellen)
12 interne Stellen
(2 verdeckte Stellen)
11 interne Stellen (1 verdeckte Stelle)
10 Stellen (keine verdeckten Stellen)
Die Grundrechenarten werden nach unseren Erfahrungen im Rahmen der zur Verfügung stehenden internen Stellen (und der evtl. benutzten Rundungstechnik) sehr exakt berechnet, d.h. der Fehler ist
i.A. <1 in der letzten Ziffer, bei Multiplikationen <9.
Die Funktion •x sowie die transzendenten Funktionen ln x, ex, tan x,
arctan x, tanh x und artanh x werden durch Reihenentwicklungen
bestimmt, und zwar mit einer Genauigkeit <9 in der letzten Ziffer (i. A.
sogar <1)!
Die Werte der übrigen Funktionen werden durch Formeln aus diesen
‚Basisfunktionen’ abgeleitet:
1.7.7
y e
sin x 3 906 250
1 024
3 814.697266
3 814
0.69726563
0.69726562
1 024
3 906 250
2 048
1 907,348633
1 907
0.348632813
0.348632812
1.7.7.1
Speicher
Nutze den Speicher M (Memory)
um Zwischenergebnisse, die später benötigt werden, zu speichern.
Aufgaben
Eingabe
1, 2
1.2
1, 22 4, 52
ln y
x
20,25
21.69
4.657 252 409
M 4.657 252 409
0.257 662 65
Entsprechende Formeln werden auch für die hyperbolischen Funktionen benutzt.
4, 5
Rundung
Bemerkung
Kehrwert-Taste
Aufgabe
1
4
9
9
5 555.555555
0.5555556
0.5555555
0.55555556
0.55555555
0.555555556
0.555555555
Aufgerundet (bei 1 verdeckten Stelle)
Nicht gerundet (bei 1 verdeckten St.)
Aufgerundet (bei 2 verdeckten Stellen)
Nicht gerundet (bei 2 verdeckten St.)
Aufgerundet (bei 3 verdeckten Stellen)
Nicht gerundet (bei 3 verdeckten St.)
1
5
Bemerkung
9
4
0.25
5
0.2
Oder noch konsequenter:
4
0.25
5
0.2
3 906 250
Schließt die Klammer(!) und
berechnet das Ergebnis
0.45
7 629,394531
0. 3945313
0. 3945312
Anzeige
20.
4 000 000 000
7 629
:
Eingabe
50 000
5 555
M 4.657 252 409
Nutze die Kehrwert-Taste
Testbeispiele (10-stellige Anzeige)
Anzeige
M 4.5
0.966 234 939
1.7.7.2
Viele wissenschaftliche TR runden die letzte angezeigte Ziffer,
einige nur die 10. angezeigte Ziffer
manche zusätzlich die letzte (verdeckte) Ziffer.
4.5
1, 22 4, 52
Die abgeleiteten Funktionswerte können in den letzten beiden internen Stellen (u.U. sogar in den letzten drei Stellen) ungenau sein.
512
Bemerkung
1.44
tan x
1 024
Anzeige
1.2
1.2
4.5
Eingabe
Aufgerundet (bei 3 verdeckten Stellen)
Nicht gerundet (bei 3 verdeckten St.)
TR-Handhabung
1 tan² x
cos x = –sin(x–90°) bzw. –sin(x–Q/2)
log x = ln 10 · ln x
1.7.6
Aufgerundet (bei 2 verdeckten Stellen)
Nicht gerundet (bei 2 verdeckten St.)
Die folgenden Beispiele sollen die Nutzung der einfachen wissenschaftlichen TR effektiver machen.
yx = ex · ln y
x
1 024
4 000 000 000
10 000
3
Bemerkung
4 000 000 000
Testbeispiel (10-stellige Anzeige)
Eingabe Anzeige
Anzeige
15
9
Aufgerundet (bei 1 verdeckten Stelle)
Nicht gerundet (bei 1 verdeckten St.)
8 Die Fehler, die ein TR mit 10-stelliger Anzeige macht, sind i.A. bedeutungslos.
In der Technik sind ‚genaue‘ Messungen meistens auf die ersten drei Ziffern
beschränkt, gelegentlich sogar die ersten zwei (Bei Geschwindigkeitsmessungen im Straßenverkehr wird ein maximaler Fehler von +3 km/h in der 2.
Ziffer zugesagt und häufig noch deutlich überschritten; Thermometer zeigen
einstellige Temperaturen u.U. schon in der ersten Stelle um mehrere Grad
falsch an!). Mit einer 10-stelligen Anzeige kann z.B. die Entfernung zum Mond
(384 000 km) auf 10 cm genau angegeben werden.
0,05
Kehrwert des Ergebnisses
20.
Der letzte Schritt kann auch durch Operandentausch erfolgen
( 1.7.7.5 Operandentausch-Taste).
1.7.7.3
Quadrat-Taste
Berechne genauere Werte höherer Potenzen mit
:
01
1.7 Taschenrechner –
01
16 – 1 Grundlagen
3., 6., 12. Potenz:
Aufgabe
Eingabe
8n
8
Anzeige
Bemerkung
8.
= 81 = 23
64.
= 82 = 26
512.
= 83 = 29
262144.
= 86 = 218
6.871947674 10
68 719 476 736
= 812 = 236
exakt!
Ergebnis mit verdeckter Stelle:
Zum Vergleich:
Berechnung mit der allgemeinen
Potenztaste
g
8
12 =
Ergebnis mit verdeckter Stelle:
6.871947674 10
68 719 476 735
= 812
(modellabhängig!)
2
36 =
Ergebnis mit verdeckter Stelle:
6.871947674 10
68 719 476 737
= 236
(modellabhängig!)
Aufgabe
Eingabe
5n
5
Anzeige
Bemerkung
25.
= 52
625.
= 54
=
1.525878906 11
152 587 890 625
= 516
exakt!
1.525878906 11
152 587 890 621
= 516
Fehler = 4
Berechne die 4. Wurzel mit
:
Eingabe
625
Anzeige
Nutze die Operandentausch-Taste
9
Eingabe
1
5
Anzeige
4
0.25
5
0.2
9
Bemerkung
0.
12
= 12; falsch
12
1. 00
1. 12
= 1 · 1000
= 1 · 1012; richtig
12
1. 00
1. 12
= 1 · 1000
= 1 · 1012; kürzer
Vergleich der Tasten für Potenzen
Tasten:
und
Taste
a
b
>0 IR
=0 x0
<0 &
/
1.7.8
oder
Bemerkung
genaue Werte (Fehler nur in den verdeckten Stellen)
Fehlermeldung
(Fehlermeldung bei älteren Modellen)
=10 IR
exakte Werte, aber nur Basis 10
=10 &
exakte Werte, aber nur Basis 10 und nur ganzzahlige
Exponenten
Konstantenautomatik
Die Konstantenautomatik erübrigt das wiederholte Eingeben
derselben Konstanten und ihres Operators.
1.7.8.1
Bedienungstechnik 1
Nach jeder Berechnung ist einer der beiden Operanden automatisch
als Konstante mit der benutzten Operation gespeichert.
Eingabe
Anzeige
2
5.
9.
Zähler
0
0.45
Nenner
0.
3.
2.
2
1.
0
0.
–2
3
Taste
6.
1
1.
3.
2.
bzw.
Die Exponenten können bei allen TR-Modellen durch Überschreiben
beliebig korrigiert werden:
12
3
4
Keine Konstantenautomatik für die Addition.
Konstante ist der 1. Summand.
Konstante ist der 2. Summand.
3
2
Eingabe
Bemerkung
3
Nenner
Große und kleine Zahlen
1
12
ab
Wissenschaftliches Zahlenformat (scientific notation)
1034
= 1 · 1000
= 1 · 1012; richtig
Testbeispiele
20.
Ergebnis
Bei Divisionen kann statt der Operandentausch-Taste auch die Kehrwert-Taste genutzt werden ( 1.7.7.2 Kehrwert-Taste).
Zahl
1. 00
1. 12
Leider unterscheiden sich die TR-Modelle bei der Behandlung von
konstanten Summanden und von konstanten Faktoren.
:
0.45
1.7.7.6
12
betätigt wird ohne zuvor eine Operator-Taste
Wenn nur die Taste
(+ – x w) zu drücken, dann ergänzt die Konstantenautomatik die gespeicherte Konstante und den zugehörigen Operator.
um die kompliziertere Berechnungen des 2. Operanden zuerst ausführen zu können:
1
4
Bemerkung
1
10
1.7.7.7
25.
Operandentausch-Taste
Aufgabe
12
Typ 2:
Bemerkung
5.
1.7.7.5
1
Anzeige
Einige TR besitzen eine Konstantenautomatik, die die Eingabe bei
wiederholten Berechnungen mit der gleichen Konstanten (als Summand, Subtrahend, Faktor oder Divisor) vereinfachen.
Wurzel-Taste
Aufgabe
10
Typ 1:
Eingabe
12
5.
5
16
Ergebnis mit verdeckter Stelle:
625
Zahl
58
390625.
Ergebnis mit verdeckter Stelle:
Zum Vergleich:
Berechnung mit der allgemeinen Potenztaste
4
Ziffernfolge = 1
Potenz:
2., 4., 8., 16. Potenz:
1.7.7.4
Die Exponentialtaste funktioniert unterschiedlich bei den
verschiedenen TR-Modellen:
Anzeige
Bemerkung
3
1. 12
1. 23
1. 34
= 1 · 1012; falsch
= 1 · 1023
= 1 · 1034; richtig
2
1.5
1
1.
0.5
Keine Konstantenautomatik für die Subtraktion.
Konstante ist der Subtrahend.
Keine Konstantenautomatik für die Multiplikation.
Konstante ist der 1. Faktor.
Konstante ist der 2. Faktor.
Keine Konstantenautomatik für die Division.
Konstante ist der Divisor.
1.7.8.2
Bedienungstechnik 2
Die Konstante wird mit verdoppeltem Operator eingegeben. Mit dem
nächsten einfach eingetippten Operator wird sie wieder gelöscht.
Zahl
Typ A :
Eingabe
–3
3
3
Testbeispiele
Eingabe
Anzeige
2
Bemerkung
2.
K 2.
Typ B:
–3
3
Konstante ist der Summand 2.
3
K 5.
1.7.9.2
Brüche
0
K 2.
1.7.9.2.1
Division einer Summe
2
2.
Konstante ist gelöscht.
K 2.
Konstante ist der Subtrahend 2.
3
K 1.
Berechnet wird nicht 2 – 3, sondern 3 – 2!
0
K –2.
Berechnet wird 0 – 2.
2
2.
Konstante ist gelöscht.
K 2.
Konstante ist der Faktor 2.
Aufgabe
Eingabe
56
7
Anzeige
=0
= 3; falsch
=3
–3.
= –3; richtig
–0.
–3.
= –0
= –3; richtig
Anzeige
Bemerkung
5.857142857
Falsch
5
6
7
Teile die Summe durch 7:
5
K 6.
6
11
1
K 2.
7
1.571428571
2
2.
Konstante ist gelöscht.
K 2.
Konstante ist der Divisor 2.
K 1.5
Berechnet wird nicht 2 : 3, sondern 3 : 2!
1
K 0.5
Berechnet wird 1 : 2.
Achtung: Diese Bedienungstechnik kann zu unbemerkten Bedienungsfehlern führen ( 1.7.9 TR-Bedienungsfehler)!
1.7.9.2.2
Aufgabe
Eingabe
2
4–5
3
3.
2
2. K
5
Konstante ist der 2. Summand.
3
3.
Konstante ist gelöscht.
2
2. K
Irrtümlich benutzte Konstantenautomatik
Anzeige
3
2
–2. K
Konstante ist der Subtrahend.
3
3.
Konstante ist gelöscht.
2
2. K
Irrtümliche Doppelbetätigung des Operanden
aktiviert die Konstantenautomatik, falls diese
Bedienungstechnik integriert ist.
1.
Beachte: Berechnet wird nicht 2 – 3, sondern 3 – 2!
K2
Irrtümliche Doppelbetätigung des Operanden
aktiviert die Konstantenautomatik, falls diese
Bedienungstechnik integriert ist.
1.5
Beachte: Berechnet wird nicht 2 : 3, sondern 3 : 2!
6. K
2. K
Konstante ist der 2. Faktor.
3
3.
Konstante ist gelöscht.
2
2. K
Wissenschaftliches Zahlenformat
oder
Taste
Ziffernfolge = 1
Zahl
1012
1.5 K
0.5 K
1.7.9.4
Alternative Bezeichnung: scientific notation
1
1
3
Bemerkung
K2
1. K
0
Richtig
1.7.8.2 Bedienungstechnik 2
2
2. K
0.1
4
Eingabe
0
Falsch
2
Bemerkung
5. K
2.5
Teile durch 4 und 5:
1.7.9.3
Anzeige
Bemerkung
2
Bei einigen Modellen wird die Konstantenautomatik über eine spezielle Taste
bedient. Die Konstante wird wieder gelöscht, wenn ein
Operator eingegeben wird.
Eingabe
Anzeige
4
Bedienungstechnik 3
Testbeispiele
Richtig
Division durch ein Produkt
5
1.7.8.3
Bemerkung
0.
3.
3.
3
3
Eingabe
Anzeige
12
10. 12
10
Konstante ist der Divisor.
1
12
Bemerkung
1. 13
= 1 · 1013; falsch
1. 12
= 1 · 1012; richtig
Die Exponentialtaste funktioniert unterschiedlich bei den
verschiedenen TR-Modellen:
1.7.9
TR-Bedienungsfehler
Die folgenden Beispiele sollen auf typische TR-Bedienungsfehler
aufmerksam machen.
1.7.9.1
Zahl
Typ 1:
Eingabe
1012
Typ 2:
Anzeige
Bemerkung
12
0.
12
= 12; falsch
12
1. 00
1. 12
= 1 · 1000
= 1 · 1012; richtig
12
1. 00
1. 12
= 1 · 1000
= 1 · 1012; richtig
1
Vorzeichen
Die Eingabe des Vorzeichens funktioniert unterschiedlich
bei den verschiedenen TR-Modellen:
17
1012
01
1.7 Taschenrechner –
01
18 – 1 Grundlagen
Beispiel
Aufgabe
Eingabe
2,5 · 1012 + 1013
Anzeige
Bemerkung
2.5
1
23
1
67
12
10
1.025 14
13
Falsch
Gib die 2. Ziffernfolge korrekt ein:
2.5
12
1
1.25 13
13
1.7.9.5
Richtig
Exponentenvorzeichen
Die Eingabe des Exponentenvorzeichens funktioniert
unterschiedlich bei den verschiedenen TR-Modellen:
Zahl
10–12
Typ A:
Eingabe
Anzeige
Bemerkung
1. 00
= 1 · 1000
12
1. 00
1. 12
= 1 · 1000
= 1 · 1012; falsch
12
1. 00
1. 12
= 1 · 1000
= 1 · 1012
1.–12
= 1 · 10–12; richtig
1. 00
= 1 · 1000
1.–00
1.–12
= 1 · 10–00
= 1 · 10–12; richtig
1
1
10–12
Typ B:
1
12
1.7.10 Übungsbeispiele
Die Beispiele sind so gewählt, dass typische Bedienungsfehler provoziert werden. Sie enthalten sehr einfache Zahlenwerte, die Tippfehler
fast ausschließen, so dass abweichende Ergebnisse sofort als Bedienungsfehler gedeutet werden können.
Beachte: Der Bruchstrich fasst Zähler und Nenner zusammen
( 1.2.7.2 Bruchstrich).
987 654
5,112149533
321
456 789
0, 267 46988
456 789
11
0, 070512821
12 – 13
:
13
0, 098 484 848
Beachte: Die Werte der Nenner der beiden folgenden Aufgaben stimmen überein:
1
11
1
11
1
12
– 131
14,18181818
Tipp:
Nutze die Exponententaste
:
0, 000123 456789
1, 249999989 – 1016
987654 321 000
987654 321 000
8, 000000073 – 1015
0, 000123 456789
1– 1012 – 3, 3 – 1014 330
Eingabe: 1
anstatt: 10
19
C
Nm2 1, 602 – 10
8, 9876 – 10
–
2
11
C
5, 2917 – 10
m
12
12
2
2
8, 24 – 108 N
Dies ist die Coulombkraft zwischen Proton und Elektron im H-Atom.
1.7.10.4 Beispiele mit Funktionen
Tipp:
Beachte die formalen Regeln um die Ausdrücke richtig zu
deuten und richtig zu berechnen ( 1.2 Formale Regeln)!
Kontrolliere, ob die Anzeige für die Winkelfunktionen auf
Altgrad (DEG) eingestellt ist!
5
1.8
Kopfrechnen
1.8.1
Einfache Multiplikationen
1.8.1.1
Faktor 4
x· 4 = x· 2· 2
Beachte: Die Werte der Zähler der beiden folgenden Aufgaben stimmen überein:
1
1
11 12
0, 098 484 848
1
131
1.7.10.3 Beispiele mit großen und kleinen Zahlen
Verdoppele zweimal!
12 – 34
0, 093 406593
56 – 78
1
12
3,141 592 654
9,869 604 401
31,006 276 68
97,409 091 03
306,019 684 8
2,718 281 828
7,389 056 099
20,085 536 92
54,598 150 03
148,413 159 1
403,428 793 5
2, 5
456 789
3, 738738739
456 789
1
13
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1 cos2 30o
123
0, 369369369
456 789
– 121
Q
Q2
Q3
Q4
Q5
e
e2
e3
e4
e5
e6
Augenblickswert einer gedämpften Schwingung:
1, 5 – e0,5 – sin 20o 0, 311168554
123
0, 098795181
456 789
1
11
1.7.10.2 Beispiele zur Konstantenautomatik
Tipp: Nutze die Konstantenautomatik:
28 – 224 232 8589934 592
123 456
0, 422053232
789
Nutze die Kehrwert-Taste
– 451
5, 761352657
– 891
9
1.7.10.1 Beispiele zu den Grundrechenarten
Tipp:
Beachte: Die Ergebnisse der beiden folgenden Aufgaben stimmen überein:
1
1
23 45
5, 761352657
1
1
67 89
Beispiel:
63 · 4 = 63 · 2 · 2 = 126 · 2 = 252
1.8.1.2
Faktor 5
Halbiere und nimm mit 10 mal!
x · 5 = x : 2 · 10
Beispiel:
164 · 5 = 164 : 2 · 10 = 82 · 10 = 820
1.8.1.3
Faktor 25
Halbiere zweimal und nimm mit 100 mal!
x · 25 = x : 2 : 2 · 100
Beispiel:
384 · 25 = 384 : 2 : 2 · 100 = 192 : 2 · 100 = 9 600
1.8.1.4
Faktor 50
Halbiere und nimm mit 100 mal!
x · 50 = x : 2 · 100
14,18181818
Beispiel:
384 · 50 = 384 : 2 · 100 = 192 · 100 = 19 200
1.8.1.5
Faktor 125
Halbiere dreimal und nimm mit 1000 mal!
x · 125 = x : 2 : 2 : 2 · 1000
Beispiel:
360 · 125 = 360 : 2 : 2 : 2 · 1000 = 180 : 2 : 2 · 1 000 =
90 : 2 · 1 000 = 45 000
1.8.3
Quadrate
1.8.3.1
_1² oder _2²
Gemeint sind diese Quadrate:
Benutze das 1. Binom:
1.8.2
Divisionen
1.8.2.1
Stammbrüche
Wert
1:2
1:3
1:4
1:5
1:6
1:7
1:8
1:9
1 : 11
1 : 12
1 : 25
1 : 30
1 : 35
1 : 40
1 : 45
1 : 50
1 : 55
1 : 60
1 : 65
1 : 70
1 : 75
1 : 80
1 : 85
1 : 90
= 0,5
≈ 0,333
= 0,25
= 0,2
≈ 0,167
≈ 0,143
= 0,125
≈ 0,111
≈ 0,0909
≈ 0,083
= 0,04
≈ 0,033
≈ 0,029
= 0,025
≈ 0,022
= 0,02
≈ 0,018
≈ 0,017
≈ 0,015
≈ 0,014
≈ 0,013
= 0,0125
≈ 0,012
≈ 0,011
312, 412, 512, …
322, 422, 522, …
x2 = (z + 1)2 = z2 + 2z + 1 oder
x2 = (z + 2)2 = z2 + 4z + 4
Beispiele: 412 = (40 + 1)2 = 402 + 2 · 40 + 1 = 1681
522 = (50 + 2)2 = 502 + 4 · 50 + 4 = 2704
1.8.3.2
Merke dir die großen Stammbrüche
Bruch
Fehler
Bemerkung
_3², _4², _5², _6² oder _7²
Gemeint sind diese Quadrate:
–1 ‰
1.8.2.3 Division durch 5
+2 ‰
+1 ‰
Benutze das 3. Binom:
Beispiele: 432 = (43 + 3)
342 = (34 + 4)
952 = (95 + 5)
462 = (46 + 6)
372 = (37 + 7)
–1 ‰
0,1 ‰
–4 ‰
332, 432, 532, …
342, 442, 542, …
352, 452, 552, …
362, 462, 562, …
372, 472, 572, …
(x + a) · (x – a) = x2 – a2
x2 = (x + a) · (x – a) + a2
· (43 – 3) + 32= 46 · 40 + 32 = 1849
· (34 – 4) + 42= 38 · 30 + 42 = 1156
· (95 – 5) + 52= 100 · 90 + 52 = 9025
· (46 – 6) + 62= 52 · 40 + 62 = 2116
· (37 – 7) + 72= 44 · 30 + 72 = 1369
1.8.2.4 Division durch 25
–1 %
+1,5 %
1.8.3.3
_8² oder _9²
Gemeint sind diese Quadrate:
–1 %
1.8.2.5 Division durch 50
–1 %
+2 %
–2,5 %
–2 %
–2,5 %
Benutze das 2. Binom:
282, 382, 482, …
292, 392, 492, …
x2 = (z – 1)2 = z2 – 2z + 1 oder
x2 = (z – 2)2 = z2 – 4z + 4
Beispiele: 892 = (90 – 1)2 = 902 – 2 · 90 + 1 = 7921
782 = (80 – 2)2 = 802 – 4 · 80 + 4 = 6084
+2 %
–1 %
Multipliziere den Wert der Stammbrüche, anstatt zu teilen
1.8.4
Produkte
Beispiele: 2 : 7 ≈ 2 · 0,143 = 0,286
3 : 8 = 3 · 0,125 = 0,375
5 : 9 ≈ 5 · 0,111 = 0,555
6 : 11 ≈ 6 · 0,0909 = 0,5454
1.8.4.1
Faktor _8 oder _9
1.8.2.2
Division durch 4
Halbiere zweimal,
denn das ist i.A. leichter als Ziffer für Ziffer durch vier zu teilen
Beispiel:
190 : 4 = 190 : 2 : 2 = 95 : 2 = 47,5
1.8.2.3
Division durch 5
Multiplikation mit nächstem Zehner und anschließende Korrektur:
Beispiele: 87 · 29 = 87 · 30 – 87 = 8610 – 87 = 2523
18 · 34 = 20 · 34 – 2 · 34 = 680 – 68 = 612
1.8.4.2
Faktoren symmetrisch zu glatten Zahlen
Aufgabe
x· y = ?
mit
Zehner mal 2 + Einer durch 5
Beispiel:
385 : 5 = 38 · 2 + 5 : 5 = 76 + 1 = 77
Alternativ
Verdoppeln und Komma eine Stelle nach links
Beispiel:
283 : 5 = 566 : 10 = 56,6
1.8.2.4
Division durch 25
Hunderter mal 4 + Rest durch 25
Beispiel:
375 : 25 = 3 · 4 + 75 : 25 = 12 + 3 = 15
Alternativ
Zweimal verdoppeln und Komma zwei Stellen nach links
Beispiel:
122 : 25 = 122 · 2 · 2 : 100 = 244 · 2 : 100 = 4,88
1.8.2.5
Division durch 50
Beispiel:
375 : 50 = 3 · 2 + 75 : 50 = 6 + 1,5 = 7,5
Alternativ
Verdoppeln und Komma zwei Stellen nach links
Beispiel:
533 : 50 = 533 · 2 : 100 = 1066 : 100 = 10,66
1.8.2.6
Division durch 125
Tausender mal 8 + Rest durch 125
4375 : 125 = 4 · 8 + 375 : 125 = 32 + 3 = 35
x=z+a
y=z–a
x · y = (z + a) · (z – a)
= z 2 – a2
Beispiele:
52 · 48 = 502 – 22 = 2496
91 · 109 = 1002 – 92 = 9919
1.8.4.3
Faktoren mit gerader Differenz
Es ist gelegentlich einfacher ein Produkt zweifach zu verändern, anstatt
es direkt zu berechnen.
Aufgabe
x· y = ?
Hunderter mal 2 + Rest durch 50
Beispiel:
19
mit
y = x + 2a
y–a =x+a
=z
x =z–a
y =z+a
x · y = (z – a) · ( z + a)
= z2 – a2
z2 berechnet man ebenfalls mit Hilfe des 3. Binoms:
z2 – b2 = (z + b) · (z – b)
z2 = (z + b) · (z – b) + b2
Beispiel:
46 · 56 = 512 – 52
= 50 · 52 + 12 – 52
= 2576
01
1.8 Kopfrechnen –
01
20 – 1 Grundlagen
1.8.5
In der Computertechnik werden stattdessen häufig die englischen
Bezeichnungen true (= wahr) oder false (= falsch) benutzt.
Aussagenvariable sind Buchstaben oder andere Symbole, an deren
Stelle Aussagen oder Wahrheitswerte gesetzt werden können.
Eine Aussage, die bei jeder Belegung ihrer Variablen den Wahrheitswert w annimmt, heißt Wahrform (Tautologie, logisch wahre Aussage, logisches Gesetz).
Eine Aussage, die bei jeder Belegung ihrer Variablen den Wahrheitswert f annimmt, heißt Falschform (Kontradiktion, logisch falsche
Aussage, logischer Widerspruch).
Abschätzung von Brüchen
1. Schritt:
Runden auf volle Zehner (Hunderter)
2. Schritt:
Kürzen und ausrechnen
3. Schritt:
Falls erforderlich: Korrektur
(
16.2 Fehlerrechnung)
Zähler
Aufrunden eines Faktors um x%
erfordert Korrektur durch
Abrunden des Ergebnisses um x%.
Abrunden eines Faktors um x%
erfordert Korrektur durch
Aufrunden des Ergebnisses um x%.
Eine Aussage, die weder Wahrform noch Falschform ist, heißt Neutralform (Neutralität, logisch teilgültige Aussage).
1.9.2
Nenner
Aufrunden eines Faktors um x%
erfordert Korrektur durch
Aufrunden des Ergebnisses um x%.
Abrunden eines Faktors um x%
erfordert Korrektur durch
Abrunden des Ergebnisses um x%.
Zeichen der mathematischen Logik sind in DIN 5474 genormt.
Dabei werden sämtliche Korrekturen einfach addiert.
700 – 50
z
500 – 60
3. Schritt
Rundung in
der Aufgabe
3% 6%
2% 2%
7
1
1 1,167
6
6
%-Korrektur
Ergebnisim Ergebnis
korrektur
3% 6%
m 3%  1,167 + 0,035 =
2% 2%
1,202
Korrektes Ergebnis:
1.9
Eine Bijunktion A j B heißt Äquivalenz A š B, wenn
die Verknüpfung A j B für jede Belegung der Variablen A
und B mit Elementen a, b einer Grundmenge wahr ist.
1.9.3
Logik
Aristoteles hat mit der Syllogistik eine Lehre von den logischen Schlussformen
entwickelt, die von den Stoikern11 zur Aussagenlogik ausgebildet wurde. Diese wurde
in der Scholastik12 aufgegriffen. Die Scholastiker zogen aus zwei Urteilen (Prämissen)
einen Schluss (Conclusio).
10
Die Logik wurde von Boole13 formalisiert und dadurch zu einem Teilgebiet der Mathematik (boolesche Algebra). Whitehead14 und Russell15 machten die Logik zum
Fundament der Mathematik.16 Als Begründer der modernen Logik gilt Frege.17
Bezeichnungen
Die mathematische Logik beschäftigt sich mit Aussagen, definiert
Verknüpfungen zwischen Aussagen und formuliert Gesetze, die für
diese Verknüpfungen gelten.
Aussagen sind Sätze, deren Inhalt entweder
wahrr oder falsch ist.
Die Wahrheitswerte von Aussagen sind nach DIN 5474:
w (wahr) oder f (falsch).
9 Darüber hinaus wurden in der Philosophie auch Logiken entwickelt, die dreiwertig sind (Modallogik, deontische Logik, Temporallogik).
10 Aristoteles, 384 – 322 v. Chr.,
Beachte: Eine Subjunktion A m B heißt Implikation A  B, wenn
die Verknüpfung A m B für jede Belegung der Variablen A
und B mit Elementen a, b einer Grundmenge wahr ist.
1,204
Die Logik ist die Wissenschaft vom rationalen (vernünftigen, korrekten, exakten) Denken und Schließen. Sie beschäftigt sich mit Aussagen, die wahr oder falsch sein können (zweiwertige Logik9).
1.9.1
1.9.2.1 Verknüpfungszeichen
— nicht (Alternative 1.9.3 Definitionen: Negation)
˜ und („sowohl … als auch“)
™ oder (einschließendes oder, im Sinne von „A oder B oder beides“)
m subjungiert (a m b: wenn a, so b)
j bijungiert (a j b: a genau dann, wenn b)
1.9.2.2 Zeichen für Folgerungen
 daraus folgt (umgangssprachlich auch: „wenn …, dann …“)
š äquivalent („genau dann, wenn“ oder „dann und nur dann, wenn“)
Aufgabe 1. Schritt 2. Schritt
682 – 53
492 – 61
Symbole
Personenregister.
11 Die Stoa ist eine Philosophenschule, die um 300 v. Chr. in Athen gegründet
wurde. Aus ihrer Lehre wurde der Begriff der stoischen Ruhe abgeleitet.
Definitionen
Negation In der Technik gebräuchliche Alternative
nicht
für die Negation: A = —A
—A
f
Wir benutzen hier die Schreibweise
w
der mathematischen Logik.
A
w
f
A
B
w
w
f
f
w
f
w
f
Konjunktion
und1
A˜B
w
f
f
f
1.9.4
Regeln zur Vereinfachung
1.9.4.1
Aussage und Konstante
A˜f š f
A˜w š A
w
w
w
A
w
f
1.9.4.2
15 Bertrand Earl Russell, 1872 – 1970,
(
Personenregister.
Personenregister.
16 Mit ihrem fundamentalen Werk: „Principia Mathematica“ (1910 – 1913).
17 Friedrich Ludwig Gottlob Frege, 1848 – 1925,
Personenregister.
Bijunktion
bijungiert
AjB
w
f
f
w
f
f
f
A™f š A
A™w š w
A˜f
f
f
A
w
f
A˜w
w
f
A™f
w
f
A™w
w
w
Verknüpfung einer Aussage mit sich selbst
—(—A) š A
Personenregister.
14 Alfred North Whitehead, 1861 – 1947,
Subjunktion
subjungiert
AmB
w
f
w
w
1 Und in der sprachlichen Bedeutung ‚sowohl … als auch …’.
2 Mit oder ist hier das einschließende ‚oder’ gemeint, d.h. es hat die Bedeutung
‚oder’ oder ‚und’; im Gegensatz zum ausschließenden ‚oder’, das sprachlich
durch ‚entweder … oder’ ausgedrückt wird.
12 Schulwissenschaft, 800 – 1500.
13 George Boole, 1815 – 1864,
Disjunktion
oder2
A™B
w
w
w
f
A ˜ —A š f
A ™ —A š w
1.9.5.4 Idempotenzgesetze)
—A
f
f
— (—A)
w
f
A ˜ —A
f
f
A ™ —A
w
w