Bahnkurven, Bewegungsgleichungen, Differenzialgleichungen

Inst. für Theoretische Physik
3. Übungsblatt - Mechanik
29. November 2013
Bahnkurven, Bewegungsgleichungen, Differenzialgleichungen, Erhaltungssätze
1. Ein Massenpunkt bewege sich entlang der Bahnkurve:
~r(t) = (R cos Ωt,
R sin Ωt,
G
Ωt
)
2π
- Welche geometrische Gestalt hat die Bahnkurve, und welche Bedeutung haben
die Größen R, Ω und G?
- Berechnen Sie die Vektoren der Geschwindigkeit und der Beschleunigung! Welche Richtung haben diese zueinander?
2. Bestimmen Sie für folgende Differenzialgleichungen die allgemeine Lösung!
-
ÿ(t) + 2 ẏ(t) + 2 y(t) = 2 t + 4
-
ẍ + 2ẋ + 10x = 0 (und mit Anfangsbedingungen x(0) = 2, ẋ(0) = 0)
-
z̈ − 10ż + 9z = 9t
-
ẍ(t) + 6 ẋ(t) + 10 x(t) = sin(5t)
-
ẍ(t) + 8 ẋ(t) + 25 x(t) = 5 (mit Anfangsbedingungen x(0) = 0, ẋ(0) = 1)
Interpretieren Sie die damit beschriebenen Bewegungen eines Massenpunktes mit
der Masse m = 1! Welcher Art sind die auftretenden Kräfte und welche von ihnen
besitzen ein Potenzial? Welche Erhaltungssätze gelten?
3. Ein Massenpunkt habe die Geschwindigkeit:
~v (t) = (v0 cos α, 0, v0 sin α − g · t)
- Berechnen Sie seine Beschleunigung ~a(t) sowie die Orts-Zeit-Funktion ~r(t) mit
den Startbedingungen x0 = y0 = z0 = 0 (t = 0).
- Bestimmen Sie die Bahnkurve z(x) und interpretieren Sie ihre geometrische
Form?
- Bestimmen Sie den Gipfelpunkt der Bewegung des Massenpunktes (Höhe und
Entfernung vom Startpunkt, Aufstiegszeit), sowie den Landepunkt auf dem
Nullniveau, d.h. Flugweite und Flugzeit! Bei welchem Startwinkel α erreicht
der Massenpunkt die größte Flugweite?
- Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Massenpunktes auf, wenn eine Stokes’sche Reibungskraft F~R = −γ ~v berücksichtigt wird und lösen Sie diese!
Wie läßt sich jetzt die maximale Flugweite feststellen?
4. Ein Massenpunkt werde auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel α = 30◦ ) von
einer Feder mit der Federkonstanten k am herabgleiten gehindert. Stellen Sie für
den Fall seiner Auslenkung aus der Ruhelage die Bewegungsgleichung mit Hilfe des
Kraftansatzes nach Newton auf und lösen Sie diese!
5. Ein gleichförmiges, ideal biegsames Seil der Länge l und der Masse m rutscht reibungsfrei über eine Tischkante nach unten. Seine vertikal herabhängende Länge zur
Zeit t sei x(t). Man löse die Bewegungsgleichung mit den Anfangswerten x(0) = x0
und ẋ(0) = 0 und bestätige anhand der gefundenen Lösung, daß für diese Bewegung
der Energieerhaltungssatz gilt!