SYMBOLISCHE MASCHINEN

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SYBILLE KRÄMER
SYMBOLISCHE MASCHINEN
Die Idee der Formalisierung
in geschichtlichem Abriß
WISSENSCHAFTLICHE BUCHGESELLSCHAFT
DARMSTADT
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Krämer, Sybille:
Symbolische Maschinen: d. Idee d. Formalisierung in
geschieht!. Abriß I Sybille Krämer. - Darmstadt:
Wiss. Buchges., 1988
ISBN 3-534-03207-1
\9
Bestellnummer 03207-1
Das Werk ist in allen seinen Teilen urheberrechtlich geschützt.
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© 1988 by Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt
Satz: Setzerei Gutowski, Weiterstadt
Druck und Einband: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt
Printed in Germany
Schrift: Linotype Times, 9.5110.5
ISBN 3-534-03207-1
INHALT
Worin besteht die Idee der Formalisierung?
1. Entwicklungsgeschichte arithmetischer und algebraischer Kalküle .
1.1 Die Herausbildung der Z~hlreihe .
1.1.1 Zahlen als Eigenschaften abzählbarer Dinge .
1.1.2 Die Repräsentation von Zahlen durch gegenständliche
Hilfsmengen
1.1.3 Der Übergang von der gegenständlichen zur symbolischen Repräsentation von Anzahlen im antiken
Mesopotamien .
1.1.4 Die Zählreihe als fortlaufende Folge schriftlicher
Zahlzeichen
1.2 Arithmetik und Algebra im antiken Ägypten und Mesopotamien
1.2.1 Altägyptische Rechentechnik
1.2.1.1 Die Quellenlage
1.2.1.2 Die hieroglyphischen Zahlzeichen
1.2.1.3 Die Rechenverfahren
1.2.2 Mesopotamische Rechentechnik
1.2.2.1 Das Sexagesimalsystem .
1.2.2.2 Babylonische Rechenverfahren
1.2.3 Ägyptische und babylonische Algebra
'
1.2.3.1 Ägyptische Gleichungslehre
1.2.3.2 Babylonische Gleichungslehre .
1.2.4 Die Algebra: ein Rezeptewissen für den Umgang mit
Zahlenverhältnissen . .
1.3 Die Entwicklung schematischer Zahlenoperationen im antiken Griechenland .
1. 3.1 Die pythagoreische Rechensteinarithmetik
1.3.1.1 Die figurierten Zahlen
1.3.1.2 Die Lehre vom Geraden und Ungeraden
1.3.2 Die Stagnation der algebraischen Technik infolge der
Geometrisierung der Algebra . .
1.3.2.1 Was heißt "geometrische Algebra"? .
1.3.2.2 Die Entdeckung der Inkommensurabilität
1.3.2.3 Die Restriktionen der griechischen Algebra .
1.3.3 Diophant vonAlexandrien .
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VI
Inhalt
104 Algorithmisches Denken in China, Indien und bei den
Arabern
1.401 Numerische Algorithmen in China
1040101 Die "fang-cheng"-Regel 0
1040102 Rechenbrett und Stäbchenziffern
1040103 Negative Zahlen
10402 Indische Arithmetik und Algebra .
104.201 Das dezimale Stellenwertsystem
10402.2 Die Fortbildung der algebraischen Symbolik
1.403 Arabische Arithmetik und Algebra am Beispiel alHwarizmis
105 Algorithmus und Kalkül in der neuzeitlichen Mathematik
1.501 Die Durchsetzung des orientalischen Ziffernrechnens
inEuropa
10502 Die Ausbildung eines neuen Zahlbegriffes
10503 Die Kalkülisierung der Analy~is
1050301 Was heißt "Ka~külisierung"?
1050302 Die Entwicklung der Algebra zum Buchstabenrechnen 0
1.50303 Die analytische Geometrie Descartes'
1050304 Leibnizens Infinitesimalkalkül 0
106 Zwischenergebnis 1: Über die Entstehung der mathematisehen Formel
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20 Entwicklungsgeschichte logischer Kalküle 0
201 Zur Vorgeschichte des logischen Kalküls 0
20101 Formale und formalistische Elemente im logischen
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Denken der Griechen
2010101 Aristoteles
2010102 Stoische Logik .
201.2 Scholastische Logik
2010201 Eine späte Rehabilitierung
2010202 Die "sekundären Intentionen"
2010203 Die Suppositionslehre
2010204 Die Konsequenzenlehre 0
20103 Weshalb können die stoische und scholastische Logik
als Vorstufen des logischen Kalküls gelten? 0
202 Von der Kombinatorik zur Idee des logischen Kalküls
20201 Die "Ars Magna" des Raimundus Lullus
20202 Quellen des Kalkülgedankens im 17. Jahrhundert 0
2020201 Berechenbarkeit als "Zeitgeist"
2020202 "Mathesis universalis": Rene Descartes 0
2020203 Denken als Rechnen: Thomas Hobbes
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Inhalt
2.2.2.4 Kunstsprachliche Ansätze
2.2.2.5 Rechenmaschinen .·
2.2.3 Das Leibnizprogramm
2.2.3.1 Formales Denken .
2.2.3.2 "Scientia generalis": die Idee einer Uni versalwissenschaft .
2.2.3.3 "Characteristica universalis": die Idee einer
universalen Kalkülsprache
2.2.3.4 "Calculus ratiocinator": die Idee des logisehen Kalküls
2.2.4 Der Gedanke des logischen Kalküls in der Nachfolge
von Leibniz .
2.2.4.1 Gibt es eine "Nachfolge" von Leibniz?
2.2.4.2 Johann Heinrich Lambert
'2.2.4.3 Gottfried Ploucquet
2.2.4.4 Joseph Gergonne
2.3 Die Ausarbeitung logischer Kalküle in der "Algebra der
Logik"
2.3.1 Die Formalisierung der Algebra als Voraussetzung
2.3.2 George Boole
2.3.2.1 Die Klassenlogik
2.3.2.2 Die Aussagenlogik
2.3.3 W. Stanley J evons .
2.3.4 Ernst Sehröder
2.4 Der Kalkül in der Logistik: Gottlob Freges Begriffsschrift
2.4.1 Von der "Algebra der Logik" zur Logistik
2.4.2 Die Begriffsschrift
2.5 Zwischenergebnis II: Über die Entstehung formaler Systeme
in der Logik .
3. Grenzen und Präzisierungen kalkulatorisch-algorithmischer Verfahren in der mathematisch-logischen Grundlagendiskussion des
20. Jahrhunderts .
3.1 Formalisierbarkeit als Mechanisierbarkeit: die Idee der universalen Denkmaschine und ihre Destruktion .
3.2 Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit formaler Systeme: die Überlegungen von Gödel und Church
3.2.1 Das Hilbertprogramm
3.2.1.1 FormalisierteAxiomensysteme als Kalküle .
3.2.1.2 Beschreibung des Kalküls als Gegenstand
der Metamathematik . .
3.2.2 Die >Principia Mathematica< als Versuch vollständiger Formalisierung der Arithmetik
3.2.3 Gödeis Beweis der Unvollständigkeit der Arithmetik
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