symbolische maschinen

SYBILLE KRAMER
SYMBOLISCHE MASCHINEN
Die Idee der Formalisierung
in geschichtlichem Abriß
WISSENSCHAFTLICHE BUCHGESELLSCHAFT
DARMSTADT
INHALT
Worin besteht die Idee der Formalisierung?
1. Entwicklungsgeschichte arithmetischer und algebraischer Kalküle
1.1 Die Herausbildungtder Zählreihe
1.1.1 Zahlen als Eigenschaften abzählbarer Dinge . . .
1.1.2 Die Repräsentation von Zahlen durch gegenständliche
Hilfsmengen
1.1.3 Der Übergang von der gegenständlichen zur symbolischen Repräsentation von Anzahlen im antiken
Mesopotamien
1.1.4 Die Zählreihe als fortlaufende Folge schriftlicher
Zahlzeichen
1.2 Arithmetik und Algebra im antiken Ägypten und Mesopotamien
. '
1.2.1 Altägyptische Rechentechnik
1.2.1.1 Die Quellenlage
1.2.1.2 Die hieroglyphischen Zahlzeichen
. . .
1.2.1.3 Die Rechenverfahren
1.2.2 Mesopotamische Rechentechnik
1.2.2.1 Das Sexagesimalsystem
1.2.2.2 Babylonische Rechenverfahren
. . . .
1.2.3 Ägyptische und babylonische Algebra
1.2.3.1 Ägyptische Gleichungslehre
1.2.3.2 Babylonische Gleichungslehre
1.2.4 Die Algebra: ein Rezepte wissen für den Umgang mit
Zahlenverhältnissen
1.3 Die Entwicklung schematischer Zahlenoperationen im antiken Griechenland
1.3.1 Die pythagoreische Rechensteinarithmetik
. . .
1.3.1.1 Die figurierten Zahlen
. . . . . . .
1.3.1.2 Die Lehre vom Geraden und Ungeraden
.
1.3.2 Die Stagnation der algebraischen Technik infolge der
Geometrisierung der Algebra
1.3.2.1 Was heißt „geometrische Algebra"? . . .
1.3.2.2 Die Entdeckung der Inkommensurabilität .
1.3.2.3 Die Restriktionen der griechischen Algebra .
1.3.3 Diophant von Alexandrien
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VI
Inhalt
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Algorithmisches Denken in China, Indien und bei den
Arabern
1.4.1 Numerische Algorithmen in China
1.4.1.1 Die „fang-cheng"-Regel
1.4.1.2 Rechenbrett und Stäbchenziffern . . . .
1.4.1.3 Negative Zahlen
1.4.2 Indische Arithmetik und Algebra
1.4.2.1 Das dezimale Stellenwertsystem . . . .
1.4.2.2 Die Fortbildung der algebraischen Symbolik
1.4.3 Arabische Arithmetik und Algebra am Beispiel alHwarizmis
1.5 Algorithmus und Kalkül in der neuzeitlichen Mathematik
1.5.1 Die Durchsetzung des orientalischen Ziffernrechnens
in Europa
1.5.2 Die Ausbildung eines neuen Zahlbegriffes . . . .
1.5.3 Die Kalkülisierung der Analysis
1.5.3.1 Was heißt „Kalkülisierung"?
1.5.3.2 Die Entwicklung der Algebra zum Buchstabenrechnen
1.5.3.3 Die analytische Geometrie Descartes'
. .
1.5.3.4 Leibnizens Infinitesimalkalkül
1.6 Zwischenergebnis I: Über die Entstehung der mathematischen Formel
2. Entwicklungsgeschichte logischer Kalküle
2.1 Zur Vorgeschichte des logischen Kalküls
2.1.1 Formale und formalistische Elemente im logischen
Denken der Griechen
2.1.1.1 Aristoteles
2.1.1.2 Stoische Logik
2.1.2 Scholastische Logik
2.1.2.1 Eine späte Rehabilitierung
2.1.2.2 Die „sekundären Intentionen"
2.1.2.3 Die Suppositionslehre
2.1.2.4 Die Konsequenzenlehre
2.1.3 Weshalb können die stoische und scholastische Logik
als Vorstufen des logischen Kalküls gelten? . . . .
2.2 Von der Kombinatorik zur Idee des logischen Kalküls
. .
2.2.1 Die „Ars Magna" des Raimundus Lullus
. . . .
2.2.2 Quellen des Kalkülgedankens im 17. lahrhundert . .
2.2.2.1 Berechenbarkeit als „Zeitgeist"
. . . .
2.2.2.2 „Mathesisuniversalis": Rene Descartes . .
2.2.2.3 Denken als Rechnen: Thomas Hobbes . .
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Inhalt
2.2.2.4 Kunstsprachliche Ansätze
2.2.2.5 Rechenmaschinen
2.2.3 Das Leibnizprogramm
2.2.3.1 Formales Denken
2.2.3.2 „Scientia generalis": die Idee einer Universalwissenschaft
2.2.3.3 „Characteristica universalis": die Idee einer
universalen Kalkülsprache
2.2.3.4 „Calculus ratiocinator": die Idee des logischen Kalküls
2.2.4 Der Gedanke des logischen Kalküls in der Nachfolge
von Leibniz
2.2.4.1 Gibt es eine „Nachfolge" von Leibniz? . .
2.2.4.2 Johann Heinrich Lambert
2.2.4.3 Gottfried Ploucquet
2.2.4.4 Joseph Gergonne
2.3 Die Ausarbeitung logischer Kalküle in der „Algebra der
Logik"
2.3.1 Die Formalisierung der Algebra als Voraussetzung .
2.3.2 George Boole
2.3.2.1 Die Klassenlogik
2.3.2.2 Die Aussagenlogik
2.3.3 W. Stanley Jevons
2.3.4 Ernst Schröder
2.4 Der Kalkül in der Logistik: Gottlob Freges Begriffsschrift .
2.4.1 Von der „Algebra der Logik" zur Logistik . . . .
2.4.2 Die Begriffsschrift
2.5 Zwischenergebnis II: Über die Entstehung formaler Systeme
in der Logik
3. Grenzen und Präzisierungen kalkulatorisch-algorithmischer Verfahren in der mathematisch-logischen Grundlagendiskussion des
20. Jahrhunderts
3.1 Formalisierbarkeit als Mechanisierbarkeit: die Idee der universalen Denkmaschine und ihre Destruktion
3.2 Unvöllständigkeit und Unentscheidbarkeit formaler Systeme: die Überlegungen von Gödel und Church . . . .
3.2.1 Das Hilbertprogramm
- .
3.2.1.1 Formalisierte Axiomensysteme als Kalküle .
3.2.1.2 Beschreibung des Kalküls als Gegenstand
der Metamathematik
3.2.2 Die >Principia Mathematica< als Versuch vollständiger Formalisierung der Arithmetik
3.2.3 Gödels Beweis der Unvollständigkeit der Arithmetik
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VIII
Inhalt
3.2.3.1 Kerngedanken Gödels
3.2.3.2 Die Richardsche Antinomie
3.2.3.3 Gödelisierung: die Arithmetisierung des Kalküls
3.2.3.4 Die Arithmetisierung der Metamathematik
3.2.3.5 Einzelschritte des Gödelschen Beweises . .
3.2.4 Churchs Nachweis der Unentscheidbarkeit des Prädikatenkalküls
3.2.5 Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit formalisierter Axiomensysteme als Begrenzungen von Rechenmaschinen?
3.3 Präzisierungen des Algorithmenbegriffes: rekursive Funktionen und Turingmaschine
3.3.1 Intuitiver Algorithmenbegriff
3.3.1.1 Was ist ein Algorithmus?
3.3.1.2 Maschinen als realisierte Algorithmen . .
3.3.1.3 Algorithmen als abstrahierte Programme .
3.3.2 Rekursive Funktionen
3.3.2.1 Was bedeutet „rekursiv"?
3.3.2.2 Zur Entwicklung der Theorie der rekursiven
Funktionen
3.3.3 Turingmaschinen
3.3.3.1 Analyse eines Rechenprozesses nach Vorschrift
3.3.3.2 Bestandteile und Arbeitsweise der Turingmaschine
3.3.3.3 Formale Definition der Turingmaschine . .
3.3.3.4 Die Turingmaschine als Algorithmus . . .
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4. Über die Entstehung des formalen Gebrauches von Symbolen Betrachtungen zum Abschluß
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Anmerkungen
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Literatur
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Register
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